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数学归纳法教案优秀数学归纳法教案设计意图一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》第二章第六节“数学归纳法”。
详细内容包括数学归纳法的定义、数学归纳法证明的步骤、数学归纳法在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明一些简单的数学问题，提高逻辑推理能力。
3. 了解数学归纳法在实际问题中的应用，培养运用数学知识解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点重点：数学归纳法的定义和证明步骤。
难点：运用数学归纳法证明数学问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的数学问题（如：1+2+3++n的计算公式）引入数学归纳法。
2. 例题讲解（1）讲解数学归纳法的定义和证明步骤；（2）以等差数列求和公式为例，详细讲解数学归纳法证明过程。
3. 随堂练习让学生尝试运用数学归纳法证明一些简单的数学问题，如：1^2+2^2+3^2++n^2=(n(n+1)(2n+1))/6。
4. 课堂讲解（1）讲解数学归纳法在实际问题中的应用；（2）分析学生在随堂练习中遇到的问题，给出解答。
六、板书设计1. 板书数学归纳法的定义、证明步骤和应用。
2. 板书随堂练习的题目和解答过程。
七、作业设计（1）1+3+5++(2n1)=n^2；（2）C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)++C(n,n)=2^n。
2. 答案：见教材课后习题解答。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的定义和证明步骤掌握程度，以及对实际问题的应用能力。
2. 拓展延伸：引导学生探索数学归纳法在解决更复杂数学问题中的应用，如：数列的通项公式、组合恒等式等。
重点和难点解析：1. 教学难点与重点的明确；2. 例题讲解的详细程度；3. 随堂练习的设计与指导；4. 作业设计中的题目难度与答案解析；5. 课后反思及拓展延伸的深度。
§2.1数学归纳法及其应用举例一、教材分析本节课是选自人民教育出版社《全日制普通高级中学教科书错误！未找到引用源。
数学》第三册(选修II)第二章第一节的内容.根据教学大纲，本节共3课时，这是第1课时，讲的是P62～P64的内容。
1.教材的地位和作用在高一数列的学习中，学生已经学习了用归纳法推导等差数列、等比数列的通项公式，但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。
因此，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。
数学归纳法安排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。
2.教学目标(1)在知识上：理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的三个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的恒等式.(2)在能力上：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质.(3)在情感上：培养学生对于数学内在美的感悟能力.3.教学重难点⑪教学重点:使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用).⑫教学难点:如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设.二、学情教法分析学生对等差（比）数列、数列求和、二项式定理等知识有较全面的把握和较深入的理解，同时也具备一定的从特殊到一般的归纳能力，但对归纳的概念是模糊的．利用多媒体、投影仪辅助教学;借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材,真正辅助课堂教学. 用问题引入法，引导学生学习。
三.过程分析1.引入（用问题引入概念）问题1：今天,据观察第一个到学校的是男同学,第二个到学校的也是男同学,第三个到学校的还是男同学,于是得出:这所学校里的学生都是男同学。
问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°,四边形的内角和为2•180°,五边形的内角和为3•180°,于是有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
第 11 讲 数学归纳法-证题原理及步骤（第1课时）数学归纳法⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧+==明探索性问题的猜想与证有关整除问题的证明等式或不等式证明数学归纳法的应用时命题成立推证时命题成立假设验证初始值数学归纳法证明的步骤推思想）数学归纳法的原理（递1k n k n n 重点：1．数学归纳法的原理与证题步骤；2．数学归纳法的应用。
难点：1．归纳、猜想、证明猜想；2．由k n =时的命题成立推证1+=k n 时的命题成立。
2．能进行一些探索性问题的归纳、猜想与证明,初步形成“观察→归纳→猜想→证明”的思维方法。
主要为证明不等式、恒等式以及整除这三个方面的应用，考题又常以数列问题为背景，将数学归纳法证与一些探索性问题综合起来考察。
⑴ 定义按下述步骤证明一个与自然数有关的数学命题的方法叫做数学归纳法： ① 验证当n 取第一个值时这个命题成立；② 假设当k n =，命题成立，然后证明当1+=k n ，命题也成立。
⑵ 数学归纳法与不完全归纳法的区别与联系 归纳是一种由特殊事例导出一般原理的思维方法。
归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。
不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。
完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在数学解题中有着广泛的应用。
它是一种递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n ＝1(或n 0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n ＝k 时命题成立，再证明n ＝k ＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。
这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n ≥n 0且n ∈N ）结论都正确”。
课题：数学归纳法【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。
2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。
教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。
【教学目标】1.了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。
2.会证明简单的与正整数有关的命题。
3.努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。
【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n 取无限多个值）有关的数学命题。
【教学难点】1.学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤作用，不易根据归纳假设作出证明。
2.运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
n1、“多米诺骨牌”游戏动画演示：探究“多米诺骨牌”全部倒下的条件引导学生思考并分析“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件；①第一块骨牌倒下；②任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。
强调条件②的作用：)211a ++=)2322a --(12k a +-+(2221k -+【板书设计】这节课的小结是以“提出问题”的方式进行的，我设计以下问题并和学生共同讨论回答。
22n n ++=I.数学归纳法是怎样运作的？（在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题据有传递性,形成了逻辑推理链，以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.）II.数学归纳法适用于证明什么样的的命题?（数学归纳法适用于证明：和正整数有关的命题。
）III.数学归纳法基本思想是什么？（在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题。
高中数学《数学归纳法(第一课时)》教学设计一、教材分析1、教学内容数学归纳法是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2》第二章推理与证明第3节的内容，主要内容是了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．2、地位和作用数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理，皮亚诺公理中第五条：设M是正整数的一个子集，且它具有下列性质：①1∈M；②若k∈M，则k+1∈M．那么M是全体正整数的集合，即M=N*）也叫做归纳公理。
不难看出归纳公理是数学归纳法的理论根据，数学归纳法的两个证明步骤恰是验证这条公理所说的两个性质。
数学归纳法是高中数学中的一个较难理解的概念，也是一种重要的数学方法。
证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题（例如：数列通项及前n项和等）。
数学归纳法的学习是学习数列知识的深化和拓展，也是归纳推理的具体应用．3、教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题，对于数学归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析。
4、教学难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设。
如果不会运用“假设当n=k,（k ≥n0，k∈N*）时，命题成立”这一条件，直接将n=k+1代入命题，便说命题成立，实质上是没有证明。
二、学情分析1、学生知识准备在进行本节课的教学时，学生已经在必修5中学习了不完全归纳法(推导等差、等比数列的通项公式)；在本章的合情推理中已经学习了归纳推理，在演绎推理中学习了“三段论”。
这些内容的学习是学生理解推理思想和证明方法的重要基础。
2、能力储备学生具备一些的从特殊到一般的归纳能力，但对复杂的逻辑推理是模糊的。
数学归纳法（1）
常州市第一中学高二数学备课组
【教学目标】
知识与技能： 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的步骤；
过程与方法： 经历观察、思考、分析、抽象、概括出数学归纳法的两个步骤，
初步形成归纳、猜想和发现的能力；
情感态度价值观：通过数学归纳法的学习初步形成严谨务实的科学态度和严谨的
数学思维品质与数学理性精神。
【教学重点】 理解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤。
【教学难点】 运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推
关系。
【教后反思】 【教学过程】 一．创设情景 1. 摸球实验
已知盒子里面有5个兵乓球，如何证明盒子里面的球全是橙色？
2. 今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。
象这种由一系列特殊事例得出一般结论的方法，我们把它叫做归纳法。
（1） 是完全归纳法，结论正确（2）是不完全归纳法，结论不一定正确。
问题：这些问题都与自然数有关，自然数有无限多个，我们无法对其一一验证，那么如何证明一个与自然数有关的命题呢？例如对于数列{}n a ,已知
111,1n n n
a a a a +==
+, 通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想其通项公式为1n
a n
=。
这个猜想是否正确，如何证明？数学中常用数学归纳法证明。
二．探索新知
1、了解多米诺骨牌游戏，可得，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。
思考：条件（1）（2）的作用是什么？ 2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。
思考：你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值0n 时命题成立（0n 为n 取的第一个值 ）；
（2）（归纳递推）假设)
,(*
0N k n k k n ∈≥=时命题成立，证明当1+=k n 时命题
也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立。
上述证明方法叫做数学归纳法。
注：（1）这两步步骤缺一不可；
（2）用数学归纳法证明命题时第二步必须用到归纳假设； （3）数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。
三．例题讲解 例一、已知数列{}n a ,1
11,1n n n
a a a a +==
+，用数学归纳法证明其通项公式为1n
a n
=。
【教学预设】 【教学过程】 【学生活动】
例二、用数学归纳法证明：等差数列{a n }中，a 1为首项，d 为公差，则通项公式为d
n a a n
)1(1-+= 。
【教学预设】 【教学过程】 【学生活动】
例三、用数学归纳法证明：2
)1()13(1037241+=+++⨯+⨯+
⨯n n n n 。
【教学预设】 【教学过程】 【学生活动】 四．课堂小结
【课后练习】
一．选择
1．用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3,n ∈N )第一步应验证( )
A n =1
B n =2
C n=3
D n =4
2．用数学归纳法证明某命题时，左边为
1
2
14
13
12
1n
-+
++
+
从k 变到k ＋1时，左边应
增添的代数式是 （ ）
A ．
1
211
k -+ B ．
k
21＋1
2
11
k -+
C ．
k
2
1
＋
1
21
k
+＋
1
2
11
k -+ D ．
k 2
1＋
1
2
1k
+＋……＋
1
2
11
k -+
3．用数学归纳法证明3
)
12(12)1()1(21
2
2
2
2
2
2
2
2
+=
+++-++-+++n
n n n n 时，由k n =的假设到证明1+=k n 时，等式左边应添加的式子是 （ ）
A ．2
2
2)1(k k ++
B ．22)1(k k ++
C ．2
)1(+k D ．]1)1(2)[1(3
1
2
+++k k
4．某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立．现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当n=6时该命题不成立 B ．当n=6时该命题成立 C ．当n=4时该命题不成立 D ．当n=4时该命题成立 5．从一楼到二楼的楼梯共有n 级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n 级台阶共有)(n f 种走法，则下面的猜想正确的是 （ ）
A ．()(1)(2)(3)f n f n f n n =-+-≥
B ．)2()1(2)(≥-=n n f n f
C ．)2(1
)1(2)(≥--=n n f n f D ．)3()
2()1()(≥--=n n f n f n f
二．用数学归纳法证明等比数列通项公式与前n 项和公式。
三．用数学归纳法证明下列等式（*
N n ∈）。
（1） 2
)12(531n n =-++++ （2）1122334(1)(1)(2)3
n n n n n ⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++
（3）2
1
(1)(1)1n n
x x x x x --+++⋅⋅⋅+=-
（4） 2222
(1)(21)
1236
n n n n +++++⋅⋅⋅+=
（5）3
3
3
3
2
123(123)n n +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+。
