数学归纳法1

课题：数学归纳法【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。

2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。

教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。

【教学目标】1.了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。

2.会证明简单的与正整数有关的命题。

3.努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。

【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n 取无限多个值）有关的数学命题。

【教学难点】1.学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤作用，不易根据归纳假设作出证明。

2.运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

n1、“多米诺骨牌”游戏动画演示：探究“多米诺骨牌”全部倒下的条件引导学生思考并分析“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件；①第一块骨牌倒下；②任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

强调条件②的作用：)211a ++=)2322a --(12k a +-+(2221k -+【板书设计】这节课的小结是以“提出问题”的方式进行的，我设计以下问题并和学生共同讨论回答。

22n n ++=I.数学归纳法是怎样运作的？（在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题据有传递性,形成了逻辑推理链，以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.）II.数学归纳法适用于证明什么样的的命题?（数学归纳法适用于证明：和正整数有关的命题。

）III.数学归纳法基本思想是什么？（在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题。

磐石五中高二年级数学导学案【学生姓名】 【组号】 【总节数】 7【制作时间】 2.20【制作教师】 张义杰 【授课时间】 二、探索新知1、了解多米诺骨牌游戏，思考只要满足哪两个条件，所有多米诺骨牌就都能一一倒下。

2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。

思考：你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？ 3、数学归纳法的原理一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值0n 时命题成立（0n 为n 取的第一个值）； （2）（归纳递推）假设),(*0N k n k k n ∈≥=时命题成立，证明当1+=k n 时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立。

上述证明方法叫做数学归纳法。

用框图表示数学归纳法的步骤思考：数学归纳法的两个步骤之间有怎样的联系？提示：第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可． 【新知应用】1.用数学归纳法证明121*11(,1)1n n a a a a n N a a++-++++=∈≠-L 在验证1n =成立时,左边所得的项为( )A.1 B. 1+a C. 21a a ++ D. 231a a a +++；2．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确【授课类别】 新授课【授课教材】2-2【授课教师】【课题名称】 2.3数学归纳法【学习目标】1.了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 【教材地位】 证明一些简单命题的方法 【知识精髓】 数学归纳法 【课前5分钟】 学生自行组织【知识回顾】（1）反证法： .（2）反证法的步骤：①作出 的假设； ②进行推理，导出 ； ③ 假设，肯定结论. 【预习自测】预习教材内容回答： 数学归纳法及步骤：①验证： ；②在假设当 时命题成立的前提下，推出当 时，命题成立. 注：（1）、“二步一结论”缺一不可。

数学归纳法（1）考情分析1、理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．2、初步能用数学归纳法证明整除和不等式问题。

1. 若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N )，则n ＝1时，f(n)＝________. 2. (选修22P 88练习题3改编)用数学归纳法证明不等式“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取为________．3. 设f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f(k ＋1)－f(k)＝________.1. 由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2. 对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n 取第1个值n 0时，命题成立；然后假设当n ＝k(k ∈N ，k ≥n 0)时命题成立；证明当n ＝k ＋1时，命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法．3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：(1) 归纳奠基：证明凡取第一个自然数n 0时命题成立；(2) 归纳递推：假设n ＝k(k ∈N ，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题成立；(3) 由(1)(2)得出结论．例1 用数学归纳法证明：f(n)＝(2n ＋7)·3n ＋9(n ∈N *)能被36整除．证明：(1) 当n ＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．(2) 假设n ＝k 时，f(k)能被36整除，则当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]·3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)·3k ＋9]＋18(3k －1－1)，由归纳假设3[(2k ＋7)·3k ＋9]能被36整除，而3k －1－1是偶数，所以18(3k －1－1)能被36整除．所以n ＝k ＋1时，f(n)能被36整除．由(1)(2) 知，对任何n ∈N ，f(n)能被36整除．变式练习若5n ＋2×3n －1＋1(n ∈N *)能被正整数m 整除，请写出m 的最大值，并给予证明．解：当n ＝1时，51＋2×30＋1＝8，∴m ≤8.下证5n ＋2×3n －1＋1(n ∈N *)能被8整除．①当n ＝1时已证；②假设当n ＝k(k ∈N *)时命题成立，即5k ＋2×3k －1＋1能被8整除．则当n ＝k ＋1时，5k ＋1＋2×3k ＋1＝5·5k ＋6·3k －1＋1＝(5k ＋2×3k －1＋1)＋4(5k ＋3k －1)．∵5k ＋2×3k －1＋1能被8整除，而5k ＋3k －1为偶数，∴4(5k ＋3k －1)也能被8整除，即当n ＝k ＋1时命题也成立．由①②，得m 的最大值为8.例2 用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n)＝n (3n ＋1)2(n ∈N *)． 证明：(1) 当n ＝1时，左边＝2，右边＝1×(3＋1)2＝2＝左边，等式成立． (2) 假设n ＝k 时等式成立，即(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(k ＋k)＝k (3k ＋1)2.则当n ＝k ＋1时，左边(k ＋2)＋(k ＋3)＋…＋(k ＋k)＋(k ＋k ＋1)＋(k ＋k ＋2)＝[(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(k ＋k)]＋3k ＋2＝k (3k ＋1)2＋3k ＋2＝3k 2＋7k ＋42＝(k ＋1)(3k ＋4)2＝(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]2，∴n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)和(2)知对任意n ∈N *，等式成立．变式练习证明：对任意的正整数n 都有()()61213212222++=++++n n n n K 成立。

高考第一轮复习指导方法之数学归纳法数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个(或者局部)自然数范畴内成立。

(一)第一数学归纳法一样地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤(1)证明当n取第一个值时命题成立，关于一样数列取值为1，但也有专门情形，(2)假设当n=k(k[n的第一个值]，k为自然数)时命题成立，证明当n=k +1时命题也成立。

(二)第二数学归纳法关于某个与自然数有关的命题，(1)验证n=n0时P(n)成立，(2)假设no综合(1)(2)对一切自然数n(n0)，命题P(n)都成立，(三)螺旋式数学归纳法P(n)，Q(n)为两个与自然数有关的命题，假如(1)P(n0)成立，(2)假设P(k)(kn0)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k +1)成立，综合(1)(2)，关于一切自然数n(n0)，P(n)，Q(n)都成立，(四)倒推数学归纳法(又名反向数学归纳法)(1)关于无穷多个自然数命题P(n)成立，(2)假设P(k+1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，综合(1)(2)，对一切自然数n(n0)，命题P(n)都成立要练说，得练看。

看与说是统一的，看不准就难以说得好。

练看，确实是训练幼儿的观看能力，扩大幼儿的认知范畴，让幼儿在观看事物、观看生活、观看自然的活动中，积存词汇、明白得词义、进展语言。

在运用观看法组织活动时，我着眼观看于观看对象的选择，着力于观看过程的指导，着重于幼儿观看能力和语言表达能力的提高。

数学归纳法的内容确实是这些，查字典数学网期望考生都能够考生理想的大学。

观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。

随机观看也是不可少的，是相当有味的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，小孩一边观看，一边提问，爱好专门浓。

我提供的观看对象，注意形象逼真，色彩鲜亮，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观看，保证每个幼儿看得到，看得清。