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数学归纳法知识点数学归纳法是数学证明的一种强有力的方法，广泛应用于数论、组合数学、算法分析等多个领域。
它的基本思想是通过验证某个性质在初始情况下成立，以及证明当该性质对某个自然数n成立时，它对n+1也成立，从而可以推导出该性质对于所有自然数均成立。
数学归纳法不仅增强了数学论证的严谨性，还能帮助发现数学中的规律。
一、数学归纳法的基本步骤1.基础步：验证命题在n=1或其他小的自然数情况下成立。
通常此步被称为“基础案例”或“基础情况”。
它是数学归纳法的起始点，确保我们的论证是有基可依的。
2.归纳假设：假设当n=k时，命题成立。
这个假设是归纳法的核心，它允许我们利用这种假设来进行进一步的推导。
3.归纳步骤：在归纳假设的基础上，证明当n=k时，命题成立，则在n=k+1时也成立。
这一步表明了命题从一个自然数延续到下一个自然数。
1.自然数求和公式：通过数学归纳法可以简单地证明自然数求和的公式，即1+2+...+n=n(n+1)/2。
通过验证基础情况n=1和归纳步骤，可以得出这一结论。
2.组合计数：在组合数学中，许多计数问题都可以利用归纳法进行证明，例如证明C(n, k) + C(n, k-1) = C(n+1, k)。
3.算法复杂度：在算法分析中，归纳法用于证明递归算法的时间复杂度。
例如，可以对归纳法求解的递推公式进行严格的时间复杂度分析。
三、数学归纳法的性质1.简洁性：归纳法通过简单的基础案例和归纳步骤，减少了需要直接证明的情况，使得证明过程简单化。
2.广泛性：适用于多种数学命题，不仅限于数论，还适用于几何、组合等各个数学领域。
3.严谨性：归纳法提供了一种结构化的证明方式，使得结果更加严谨，易于理解与复现。
1.适用范围：并非所有命题都适用于数学归纳法，特别是涉及到非自然数的情况。
2.复杂命题：有些复杂命题的归纳步骤可能过于繁琐，难以为归纳假设提供强有力的支撑。
3.直观理解：对于某些初学者而言，归纳法的逻辑可能不易理解，容易造成错误。
根据多边形的证明的所有方法
1. 数学归纳法证明：
- 首先，证明多边形的结论对于n=3（三角形）成立。
- 假设结论对于n=k（任意正整数）成立。
- 接下来，证明结论对于n=k+1也成立。
- 因此，根据数学归纳法，结论对于所有正整数n成立。
2. 直接证明：
- 基于多边形的定义、定理和引理，证明多边形的结论。
- 通过逻辑推理和数学运算，展示结论的正确性。
3. 反证法证明：
- 假设多边形的结论不成立。
- 利用逻辑推理和数学运算，推导出矛盾的结论。
- 因此，原假设不成立，多边形的结论成立。
4. 归谬证明：
- 假设多边形的结论不成立。
- 利用逻辑推理，展示结论导致其他结论的不可能性。
- 因此，原假设不成立，多边形的结论成立。
5. 数字证明：
- 利用具体的数值示例和计算，展示多边形的结论成立。
这些方法可以根据多边形的具体情况和结论的要求来选择使用。
在证明过程中，要使用严密的数学逻辑和推理，避免推测和没有基
础的假设。
同时，要注意结论的定义和背景知识，确保证明的正确
性和可靠性。
数学归纳法相关知识点总结一、数学归纳法的基本概念数学归纳法的基本思想是：如果我们能够证明一个结论对于第一个自然数成立（通常是对于n=1），并且能够证明结论对于某一个自然数成立时，它也对于下一个自然数成立，那么我们就可以得出结论对于所有自然数都成立的结论。
因此，数学归纳法通常包括两个步骤：基础步骤（base case）和归纳步骤（inductive step）。
基础步骤是证明一个结论对于第一个自然数成立，通常是证明结论对于n=1时成立。
这个步骤通常是比较直接的，可以通过代入数值或者简单的推理来进行证明。
归纳步骤是假定结论对于某一个自然数n成立，然后证明结论对于下一个自然数n+1也成立。
这个步骤通常是通过数学推理和逻辑推导来进行证明，因此需要一定的数学技巧和思维能力。
通过基础步骤和归纳步骤，我们就可以得出结论对于所有自然数都成立的结论。
这就是数学归纳法的基本思想和步骤。
二、数学归纳法的原理数学归纳法的原理是非常简单的，可以用如下的语言来描述：如果一个结论对于第一个自然数成立，并且对于某一个自然数n成立时，它也对于下一个自然数n+1成立，那么这个结论对于所有自然数都成立。
这个原理也可以用数学符号来表达。
假设P(n)是关于自然数n的一个命题，那么数学归纳法的原理可以用如下的数学表达来描述：(1) 基础步骤：证明P(1)成立；(2) 归纳步骤：假设对于某一个自然数n，命题P(n)成立，证明P(n+1)也成立。
通过基础步骤和归纳步骤，我们就可以得出结论对于所有自然数都成立的结论。
这就是数学归纳法的原理。
三、数学归纳法的应用数学归纳法是数学中非常重要的一种证明方法，它被广泛应用于代数、数论、组合数学、离散数学等多个数学领域中。
下面我们将介绍数学归纳法在不同数学领域中的具体应用。
1. 代数在代数中，数学归纳法常常被用来证明各种恒等式和不等式的成立。
例如，我们可以用数学归纳法来证明各种整式的恒等式、不等式和递推关系式。
第一讲 数学归纳法1. 教学基本要求了解数学归纳法的实质，理解不同形式数学归纳法之间的关系，能够选用数学归纳法的恰当形式解决相关问题． 2. 教学具体内容最小数原理，跳跃归纳法，倒退归纳法等．重点与难点：归纳起点的选择，归纳形式的选择，归纳变量的选择． 教学内容数学归纳法是证明序列命题的常用方法．设n 是整数，()P n 是与n 有关的命题，A 是非负整数集的一个子集，要证明n A ∀∈，命题()P n 成立，这时可以考虑用数学归纳法．数学归纳法有多种表现形式，中学数学中常用的第一数学归纳法与第二数学归纳法是它的两种重要表现形式．在竞赛数学中，还需要了解其他的表现形式． 一、基本原理数学归纳法发源于自然数的归纳公理或最小数原理．可以证明自然数的归纳公理或最小数原理等价，所以人们常用最小数原理证明数学归纳法．皮亚诺（归纳）公理：若M N ⊆，且112M a M ︒∈︒∀∈；，有'a M ∈，则M N =．即自然数的某个集合若含1，且如果含一个自然数a 就一定含a ’，那么这个集合含全体自然数）最小数原理：设M 是自然数集的一个非空子集，则M 中必有最小数，即0n M ∃∈，使得n M ∀∈，均有0n n ≥.定理1 设A 是一个非空集合，12k A ,A ,,A ,均为非空集合，12kA A A A =若1n A ∀∈，有命题()P n 成立，又在假设k n A ∀∈，命题()P n 成立的前提下，能推出1k n A +∀∈，命题()P n 成立，则n A ∀∈，命题()P n 成立．在定理1中，当取{}k A k ,k Z +=∈，则得到第一数学归纳法． 在定理1中，当取{}123k A ,,,k ,k Z +=∈，则得到第二数学归纳法．在定理1中，设2l N ,l ∈≥，令{}{}{}1212312+32(1)1(1)2(1)+3k A ,,,l ,A l ,l ,l ,l ,A k l ,k l ,k l ,kl ,==++=-+-+-，，，则得到跳跃式归纳法． 数学归纳法的几种形式定理2（第一数学归纳法）设)(n P 是关于自然数n 的命题，若 Ⅰ（奠基）)(n P 在1=n 时成立Ⅱ（归纳）)(k P （k 是任意自然数）成立的假设下可以推出)1(+k P 成立． 则)(n P 对一切自然数n 都成立．这是数学归纳法的标准形式证明：设M 是使命题成立的所有自然数组成的集合，则由 Ⅰ M ∈1； Ⅱ 若M k ∈，则M k ∈+，由归纳公理，得证．第一数学归纳法的一种变形（移动起点）设)(n P 是关于自然数n 的命题，若 Ⅰ)(n P 在0n n =时成立．其中0n 为任何一个具体的自然数． Ⅱ)(k P （0n k ≥）成立的假设下可以推出)1(+k P 成立． 则)(n P 对一切自然数n （0n n ≥）都成立．定理3第二数学归纳法（串值归纳法）设)(n P 是关于自然数n 的命题，若 Ⅰ)(n P 在1=n 时成立．Ⅱ)(m P 对于所有适合k m <的自然数m 成立的假设下可推出)(k P 成立． 则)(n P 对一切自然数n 都成立．第二数学归纳法的一种变形（增多起点）设)(n P 是关于自然数n 的命题，若 Ⅰ)(n P 在1=n ，2=n 时成立．Ⅱ 假设)1(),(+k P k P 真，则)2(+k P 真． 则)(n P 对一切自然数n 都成立．定理4 跳跃式归纳法（加大跨度）设)(n P 是关于自然数n 的命题，若 Ⅰ)(,),2(),1(l P P P （2l ≥）为真命题．Ⅱ在)(k P （k 是任意自然数）成立的假设下可以推出)(l k P +成立． 则)(n P 对一切自然数n 都成立．在跳跃式归纳法中，人们常把整数l 称为归纳跨度或归纳步长．定理5（反向归纳法）设)(n P 是关于自然数n 的命题，若 Ⅰ 有无限多个值使)(n P 成立．Ⅱ 在)(k P （k 是任意自然数）成立的假设下可以推出)1(-k P 成立． 则)(n P 对一切自然数n 都成立． 二、试题生成编制数学归纳法试题的方法之一是改变归纳的跨度，对于与整数n 有关的命题)(n P ，如果由()P k 成立不易推出(1)P k +成立，但由()P k 成立容易推出()(2)P k l l +≥成立，则可用)(n P 的这一特性编制与跳跃归纳法相关的试题．例1 已知n 为正整数(45)n ≥，求证：必存在非负整数x,y ，使得49n x y =+．证明： 4559=⨯465914792475924593485934394=⨯+=⨯+⨯=⨯+=⨯+⨯=⨯+=⨯+⨯ 假设n k =时命题成立，即存在非负整数x,y ，使得49k x y =+． 则44944(1)9k x y x y +=++=++．所以对n 为正整数(45)n ≥，必存在非负整数x,y ，使得49n x y =+．编制数学归纳法相关试题的另一种方法是将一般问题特殊化，若命题)(n P 对一切正整数都成立，那么对于特定的正整数0n ，命题0()P n 也成立． 例2 证明方程222011x y z += 存正整数解． 分析：证明方程22()n x y z n Z ++=∈ 存正整数解．证明：当n=1时，命题成立，即22x y z +=有正整数解（1，2，5）当n=2时，命题成立，即222x y z +=有正整数解（3，4，5）假设n k =时命题成立，即22k x y z +=存在正整数解000()x ,y ,z ，即22000k x y z += 记100x x z =⋅，100y y z =⋅，所以11x ,y Z +∈，且22222222222110000000000()k k x y x z y z x y z z z z ++=⋅+⋅=+⋅=⋅= 上式说明110()x ,y ,z 是方程222k x y z ++=的一组正整数解． 说明步长为2时，命题成立． 由跳跃归纳法得原命题成立． 显然2011n =时，命题成立，即方程222011x y z += 存正整数解． 三、方法解读在数学归纳法的教学中应注意（1）要使学生弄清数学归纳法与普通形式逻辑中的归纳法的区别．归纳法是通过观察、试验、推理或猜测，得出一个关于全体对象的判断，属于归纳．分为完全归纳法和不完全归纳法．完全归纳法是考察一类事物的每一对象肯定它们都具有某一属性，从而得出这类事物都有这一属性的一般性结论．不完全归纳法是考察一类事物的部分对象具有某一属性，从而得出这类事物都有这一属性的一般性结论．数学归纳法是对给定结论予以证明，属于证明． （2）帮助学生正确理解数学归纳法． ① 数学归纳法中的两个步骤，缺一不可． 例如不要Ⅰ（奠基）． 例 证明所有正整数都相等．证：假设k n =时，第k 个整数等于第1+k 个整数，即1+=k k ；两边都加上1，得到21+=+k k ，即第1+k 个整数等于第2+k 个整数 所以，1+=k n 时命题也成立．例如不要Ⅱ（递推步骤）例 法·费尔马（1601－1665）猜想，12)(2+=nn f 对所有非负整数n 均为素数．20123421351725765537nn F ,F ,F ,F ,F ,F ,=+===== 542949672976416700417F ==⨯， F (5)是合数 ② 防止“貌合神离” 例3 若0(1,2,,)i a i n >=，且121=+++n a a a ．求证：)2(122221≥≥+++n na a a n ． 错误证法：︒1 当2=n 时，命题成立． 用反证法：当21a a +=1时，设212221<+a a ，则可得4121>a a ， 又由2221a a +〉212a a ，可得4121<a a 矛盾 ︒2 假设当k n =时，命题成立．即121=+++k a a a 时，ka a a k 122221≥+++ 当1+=k n 时，1111212122221+>>+≥++++++k k a k a a a a k k k 综合︒1、︒2，命题对于不小于2的所有自然数成立．剖析：当1+=k n 时，条件为1121=+++++k k a a a a ，其中0(1,2,i a i n >=． 所以，不能套用121=+++k a a a 的结论，而应改造前提条件，使之符合归纳假设的要求．正确证法：︒1当2=n 时，命题成立．（反证法）当121a a +=时，设212221<+a a ，则可得4121>a a ， 又由2212122a a a a +>，可得4121<a a 矛盾︒2 假设当k n =时，命题成立．即121=+++k a a a 时，ka a a k 122221≥+++ 当1n k =+时，由0,1,2,,1i a i k >=+，且1211k k a a a a +++++=．12110k k a a a a +∴+++=-≠得121111101111k ik k k k a a a a a a a a +++++++=>----，且由归纳假设，得222121111111k k k k a a a a a a k +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()212222212111k k k k a a a a a a k+++-∴++++≥+，要证()2121111k k a a kk ++-+≥+， 即 ()()()2211111,k k k a k k a k +++-++≥()()221112110k k k a k a ++⇒+-++≥例4 设5>n ，求证任何一个正方形都可以分分割为n 个小正方形．（小正方形的大小可以不同）证明：（跳跃式归纳法）7n =时成立， 10n =时成立， 6n =时成立 8n =时成立所以n =13，n =16成立． 9n =时成立 11n =时成立12n =时成立 14n =时成立以此类推步长为3时都成立，综合上述6,7,8n =时，命题均成立．又步长为3时都成立，即(8)n n ≥成立可3n ⇒+也成立。
第七年级数学是中学生学习的重要数学课程，是中学生学习数学知识的基础。
其主要内容包括数的概念与运算、数列、函数、方程组等，以及几何、统计、概率、解析几何等。
下面总结整理一下第七年级数学的知识点：
一、数的概念与运算
1、正数、负数、零的概念；
2、整数与分数的相互转换；
3、百分数的计算；
4、三角函数的概念与基本运算；
5、数的因数和约分；
6、整除、余除与商数的概念；
7、将整数转换成不同进制的表示形式；
8、根式的概念与运算；
9、立方根、四次根、立方数的概念；
10、指数的概念与运算；
11、立方根式、四次根式的展开运算；
12、对数的定义与基本运算；
13、自然数与质数；
14、互质数和欧拉函数。
二、数列
1、等差数列、等比数列的定义及求和；
2、根据给定的先验条件求取数列的前几项；
3、数列的通项公式求解；
4、数列的前项构成公式及比率；
5、首项、公比、前n项和的关系；
6、等差数列和等比数列的构造；
7、构建栅栏；
8、数列的几何图形表示；
9、等比数列的发展；
10、等差数列的发展；
11、数列的数学归纳法；
12、数列的总和；
13、和与差值的关系；
14、数列的统计和推断。
三、函数。
数学奔驰定理
数学中的奔驰定理是指，对于任意一个正整数n，如果将它的每个数字逆序排列得到一个新的数m，然后再将n和m相加，重复上述操作直到得到一个回文数为止，那么这个回文数就是196。
例如，对于n=87，m=78，相加得到165，再将165的相反数561加上165，得到726，继续操作得到196。
奔驰定理的证明需要用到数学的一些基本知识和技巧，例如数位分解、模运算、逆元等。
具体证明方法有多种，其中一种比较简单的方法是通过数学归纳法进行证明。
假设对于任意的k<k0，奔驰定理都成立，现在考虑k=k0的情况。
设将k0的每个数字逆序排列得到的数为m0，则有：
k0 + m0 = a0
其中a0是一个不是回文数的数。
现在将a0的每个数字逆序排列得到的数记为m1，则有：
a0 + m1 = b0
继续进行操作，得到：
b0 + m2 = c0
...
直到得到一个回文数P。
由于每一步操作都是将一个数和它的逆序相加，因此可以证明m0,m1,m2,...,m(k-1)都是在模9意义下等于k0的。
另外，由于a0不是回文数，因此可以证明a0和m1在模11意义下互不相同，并且b0和m2在模101意义下互不相同，以此类推。
由于196是一个回文数，因此可以证明P在模100000001意义下等于196。
综合以上结论，就可以证明奔驰定理成立。
第二章 推理与证明
课题：2.3数学归纳法(1) 总第78导学案
【学习目标】
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
学习重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
学习难点：明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用.
【学习过程】 一、学生自学
1、数学归纳法:对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n=k(k ∈N*，k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
2、数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n =n 0时，命题成立，再假设当n =k (k ≥n 0，k ∈N *)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n =k +1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.
3、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确； (2)假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n =k +1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确
二、展示交流
1．华罗庚的“摸球实验”.
2．“多米诺骨牌实验”.
问题：如何保证所摸的球都是红球？多米诺骨牌全部倒下？处了利用完全归纳法全部枚举之外，是否还有其它方法？
数学归纳法：数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数问题的有力工具.
3．数学归纳法的本质：
无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）
4．数学归纳法公理：
（1）（递推奠基）：当n 取第一个值n 0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n =k +1时结论也正确.（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确.
三、训练提升
例1、用数学归纳法证明：等差数列{a n }中，1a 为首项， d 为公差，则通项公式为d n a a n )1(1-+=.
例2、用数学归纳法证明：当n N *∈时，2135
(21)n n +++-= .
例3、用数学归纳法证明：当n N *∈时，2222(1)(21)1236n n n n +++++
+=.
例4、在数列{n a }中, 1a ＝1, n
n n a a a +=+11(n ∈*N ), 先计算2a ，3a ，4a 的值，再推测通项n a 的公式, 最后证明你的结论．
四、评价小结
1．数学归纳法公理：
（1）（递推奠基）：当n 取第一个值n 0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n =k +1时结论也正确.（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确.
2. 注意从n=k 到n=k+1时,添加项的变化.利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系.
五、检测反馈
1.书P87.No.2-5；
2.用数学归纳法证明:111111111234212122n n n n n
-+-++-=+++-++ (1)当n=1时,左边有_____项,右边有_____项；(2)当n=k 时,左边有_____项,右边
有_____项；(3)当n=k+1时,左边有_____项,右边有_____项；(4)等式的左右两边,由n=k 到n=k+1时有什么不同?
【课后作业】
1、用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3,n ∈N)第一步应验证n= .
2、某个命题与正整数有关，若n=k (k ∈N +)时，命题成立，那么可推出当n=k+1时，该命题也成立.现已知当n=5时，该命题不成立，那么可以推得当n= 时，该命题不成立.
3、设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≤成立时，总可推出(1)f k +≤2
)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的序号是 . ①若(2)f ≤4成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≤成立；②若(4)f ≤16成立，则当
k ≤4时，均有2()f k k ≤成立；③若(6)36f >成立，则当k ≥7时，均有2()f k k >成立；④若(7)50f =成立，则当k ≤7时，均有2()f k k >成立.
4、用数学归纳法证明()111112321
n n n N n ++++<∈>-且，第二步证明从“k 到k+1”，左端增加的项数是 . 5、用数学归纳法证明：21427310(31)(1)n n n n ⨯+⨯+⨯+
++=+.
6、用数学归纳法证明：(1)(2)
()213(21),().n n n n n n N *+++=⋅⋅-∈n
7、若n 为大于1的自然数，求证 2413212111>+++++n n n
8、设正数数列{}n a 的前n 次之和为n S 满足n S =2)2
1(+n a . ①求321,,a a a ，4a ； ②猜测数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
9、用数学归纳法证明11111231
n n n ++⋅⋅⋅+≥+++(n ∈N,n ≥2).
10、设f(n)=1+11123n
++⋅⋅⋅+,求证n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=nf(n) (n ∈N,n ≥2).
11、用数学归纳法证明21111222
n ++⋅⋅⋅+< (n ∈N +).。
