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数学归纳法知识点数学归纳法是数学证明的一种强有力的方法，广泛应用于数论、组合数学、算法分析等多个领域。
它的基本思想是通过验证某个性质在初始情况下成立，以及证明当该性质对某个自然数n成立时，它对n+1也成立，从而可以推导出该性质对于所有自然数均成立。
数学归纳法不仅增强了数学论证的严谨性，还能帮助发现数学中的规律。
一、数学归纳法的基本步骤1.基础步：验证命题在n=1或其他小的自然数情况下成立。
通常此步被称为“基础案例”或“基础情况”。
它是数学归纳法的起始点，确保我们的论证是有基可依的。
2.归纳假设：假设当n=k时，命题成立。
这个假设是归纳法的核心，它允许我们利用这种假设来进行进一步的推导。
3.归纳步骤：在归纳假设的基础上，证明当n=k时，命题成立，则在n=k+1时也成立。
这一步表明了命题从一个自然数延续到下一个自然数。
1.自然数求和公式：通过数学归纳法可以简单地证明自然数求和的公式，即1+2+...+n=n(n+1)/2。
通过验证基础情况n=1和归纳步骤，可以得出这一结论。
2.组合计数：在组合数学中，许多计数问题都可以利用归纳法进行证明，例如证明C(n, k) + C(n, k-1) = C(n+1, k)。
3.算法复杂度：在算法分析中，归纳法用于证明递归算法的时间复杂度。
例如，可以对归纳法求解的递推公式进行严格的时间复杂度分析。
三、数学归纳法的性质1.简洁性：归纳法通过简单的基础案例和归纳步骤，减少了需要直接证明的情况，使得证明过程简单化。
2.广泛性：适用于多种数学命题，不仅限于数论，还适用于几何、组合等各个数学领域。
3.严谨性：归纳法提供了一种结构化的证明方式，使得结果更加严谨，易于理解与复现。
1.适用范围：并非所有命题都适用于数学归纳法，特别是涉及到非自然数的情况。
2.复杂命题：有些复杂命题的归纳步骤可能过于繁琐，难以为归纳假设提供强有力的支撑。
3.直观理解：对于某些初学者而言，归纳法的逻辑可能不易理解，容易造成错误。
根据多边形的证明的所有方法
1. 数学归纳法证明：
- 首先，证明多边形的结论对于n=3（三角形）成立。
- 假设结论对于n=k（任意正整数）成立。
- 接下来，证明结论对于n=k+1也成立。
- 因此，根据数学归纳法，结论对于所有正整数n成立。
2. 直接证明：
- 基于多边形的定义、定理和引理，证明多边形的结论。
- 通过逻辑推理和数学运算，展示结论的正确性。
3. 反证法证明：
- 假设多边形的结论不成立。
- 利用逻辑推理和数学运算，推导出矛盾的结论。
- 因此，原假设不成立，多边形的结论成立。
4. 归谬证明：
- 假设多边形的结论不成立。
- 利用逻辑推理，展示结论导致其他结论的不可能性。
- 因此，原假设不成立，多边形的结论成立。
5. 数字证明：
- 利用具体的数值示例和计算，展示多边形的结论成立。
这些方法可以根据多边形的具体情况和结论的要求来选择使用。
在证明过程中，要使用严密的数学逻辑和推理，避免推测和没有基
础的假设。
同时，要注意结论的定义和背景知识，确保证明的正确
性和可靠性。
数学归纳法相关知识点总结一、数学归纳法的基本概念数学归纳法的基本思想是：如果我们能够证明一个结论对于第一个自然数成立（通常是对于n=1），并且能够证明结论对于某一个自然数成立时，它也对于下一个自然数成立，那么我们就可以得出结论对于所有自然数都成立的结论。
因此，数学归纳法通常包括两个步骤：基础步骤（base case）和归纳步骤（inductive step）。
基础步骤是证明一个结论对于第一个自然数成立，通常是证明结论对于n=1时成立。
这个步骤通常是比较直接的，可以通过代入数值或者简单的推理来进行证明。
归纳步骤是假定结论对于某一个自然数n成立，然后证明结论对于下一个自然数n+1也成立。
这个步骤通常是通过数学推理和逻辑推导来进行证明，因此需要一定的数学技巧和思维能力。
通过基础步骤和归纳步骤，我们就可以得出结论对于所有自然数都成立的结论。
这就是数学归纳法的基本思想和步骤。
二、数学归纳法的原理数学归纳法的原理是非常简单的，可以用如下的语言来描述：如果一个结论对于第一个自然数成立，并且对于某一个自然数n成立时，它也对于下一个自然数n+1成立，那么这个结论对于所有自然数都成立。
这个原理也可以用数学符号来表达。
假设P(n)是关于自然数n的一个命题，那么数学归纳法的原理可以用如下的数学表达来描述：(1) 基础步骤：证明P(1)成立；(2) 归纳步骤：假设对于某一个自然数n，命题P(n)成立，证明P(n+1)也成立。
通过基础步骤和归纳步骤，我们就可以得出结论对于所有自然数都成立的结论。
这就是数学归纳法的原理。
三、数学归纳法的应用数学归纳法是数学中非常重要的一种证明方法，它被广泛应用于代数、数论、组合数学、离散数学等多个数学领域中。
下面我们将介绍数学归纳法在不同数学领域中的具体应用。
1. 代数在代数中，数学归纳法常常被用来证明各种恒等式和不等式的成立。
例如，我们可以用数学归纳法来证明各种整式的恒等式、不等式和递推关系式。
第二章 推理与证明
课题：2.3数学归纳法(1) 总第78导学案
【学习目标】
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
学习重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
学习难点：明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用.
【学习过程】 一、学生自学
1、数学归纳法:对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n=k(k ∈N*，k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
2、数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n =n 0时，命题成立，再假设当n =k (k ≥n 0，k ∈N *)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n =k +1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.
3、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确； (2)假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n =k +1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确
二、展示交流
1．华罗庚的“摸球实验”.
2．“多米诺骨牌实验”.
问题：如何保证所摸的球都是红球？多米诺骨牌全部倒下？处了利用完全归纳法全部枚举之外，是否还有其它方法？
数学归纳法：数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数问题的有力工具.
3．数学归纳法的本质：
无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）
4．数学归纳法公理：
（1）（递推奠基）：当n 取第一个值n 0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n =k +1时结论也正确.（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确.
三、训练提升
例1、用数学归纳法证明：等差数列{a n }中，1a 为首项， d 为公差，则通项公式为d n a a n )1(1-+=.
例2、用数学归纳法证明：当n N *∈时，2135
(21)n n +++-= .
例3、用数学归纳法证明：当n N *∈时，2222(1)(21)1236n n n n +++++
+=.
例4、在数列{n a }中, 1a ＝1, n
n n a a a +=+11(n ∈*N ), 先计算2a ，3a ，4a 的值，再推测通项n a 的公式, 最后证明你的结论．
四、评价小结
1．数学归纳法公理：
（1）（递推奠基）：当n 取第一个值n 0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n =k +1时结论也正确.（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确.
2. 注意从n=k 到n=k+1时,添加项的变化.利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系.
五、检测反馈
1.书P87.No.2-5；
2.用数学归纳法证明:111111111234212122n n n n n
-+-++-=+++-++ (1)当n=1时,左边有_____项,右边有_____项；(2)当n=k 时,左边有_____项,右边
有_____项；(3)当n=k+1时,左边有_____项,右边有_____项；(4)等式的左右两边,由n=k 到n=k+1时有什么不同?
【课后作业】
1、用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3,n ∈N)第一步应验证n= .
2、某个命题与正整数有关，若n=k (k ∈N +)时，命题成立，那么可推出当n=k+1时，该命题也成立.现已知当n=5时，该命题不成立，那么可以推得当n= 时，该命题不成立.
3、设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≤成立时，总可推出(1)f k +≤2
)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的序号是 . ①若(2)f ≤4成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≤成立；②若(4)f ≤16成立，则当
k ≤4时，均有2()f k k ≤成立；③若(6)36f >成立，则当k ≥7时，均有2()f k k >成立；④若(7)50f =成立，则当k ≤7时，均有2()f k k >成立.
4、用数学归纳法证明()111112321
n n n N n ++++<∈>-且，第二步证明从“k 到k+1”，左端增加的项数是 . 5、用数学归纳法证明：21427310(31)(1)n n n n ⨯+⨯+⨯+
++=+.
6、用数学归纳法证明：(1)(2)
()213(21),().n n n n n n N *+++=⋅⋅-∈n
7、若n 为大于1的自然数，求证 2413212111>+++++n n n
8、设正数数列{}n a 的前n 次之和为n S 满足n S =2)2
1(+n a . ①求321,,a a a ，4a ； ②猜测数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
9、用数学归纳法证明11111231
n n n ++⋅⋅⋅+≥+++(n ∈N,n ≥2).
10、设f(n)=1+11123n
++⋅⋅⋅+,求证n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=nf(n) (n ∈N,n ≥2).
11、用数学归纳法证明21111222
n ++⋅⋅⋅+< (n ∈N +).。
