2018-2019第一学期南京市鼓楼区九年级期末数学试卷(含答案)

2018-2019学年第一学期南京市联合体九年级期末考试数学注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．一元二次方程x 2＋x ＝0的根是A ．x 1＝0，x 2＝1B ．x 1＝0，x 2＝﹣1C ．x 1＝x 2＝0D ．x 1＝x 2＝12．为了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查，下列抽取学生的方法最合适的是A ．随机抽取该校一个班级的学生B ．随机抽取该校一个年级的学生C ．随机抽取该校一部分男生D ．分别从该校初一、初二、初三年级中各班随机抽取10%的学生 3．如图，DE 是△ABC 的中位线，则△ADE 与△ABC 的面积的比是A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶94．关于x 的一元二次方程x 2－（k ＋1）x ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为A ．k ＞－1B ．k ＜－1C ．k≠－1D ．k 为任意实数AE DCB（第3题）（第5题）5. 如图，点A 、B 、C 、D 、E 都是⊙O 上的点，AC ⌒ ＝AE ⌒，∠B ＝118°，则∠D 的度数为A ．128°B ．126°C ．124°D ．122°6. 在二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则m 、n 的大小关系为A ．m ＞nB. m ＜nC. m ＝nD.无法确定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．方程（x －2）2＝9的解为▲．8．甲、乙、丙三名射击运动员在某场测试中各射击10次，三人的测试成绩如下： 甲： 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 乙： 7 7 7 8 8 9 9 10 10 10丙： 7 8 8 8 8 9 9 9 9 10这三人10次射击命中的环数的平均数_ x 甲＝_ x 乙＝_x 丙＝8.5，则测试成绩比较稳定的 是▲．（填“甲”或“乙”或“丙”）9．已知四条线段a 、2、6、a ＋1成比例，则a 的值为▲ ．10．如图，在△ABC 中，点E 、D 分别为AB 与AC 边上两个点，请添加一个条件 ▲ ，使得△ADE ∽△ABC .11. 关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋2＝0的一个根为，则另一个根为 ▲ ，m 的值为 ▲ . 12. 现有一个半径长为4cm 的半圆，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．该圆锥底面圆的半径为▲ cm ．13. 如图，在⊙O 中，直径EF ⊥CD ，垂足为M ，EM•MF ＝12，则CD 的长度为 ▲.14．从地面竖直向上抛出一个小球.小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式是h ＝24t －4t 2.小球运动的高度最大为▲m .2 （第10题） （第13题）（第16题）15. 在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝2，∠BAC ＝120°，则△ABC 外接圆的半径长度为 ▲. 16. 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的对称轴为直线x ＝﹣1.下列结论正确的 有▲.①若图象过点（﹣3，y 1）、（2，y 2），则y 1＜y 2； ②ac ＜0； ③ 2a －b ＝0； ④b ²－4ac ＜0.三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解下列方程（1）x 2－2x －15＝0 ；（2） 2x （x －3）＝6－2 x .18．（8分）光明中学全体学生1100人参加社会实践活动，从中随机抽取50人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，结合图中所给信息解答下列问题： （1）填写下表：（2）估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．19.（8分）小明的书包里只放了A4大小的试卷共4张，其中语文2张、数学1张、英语1（1）若随机地从书包中抽出2张，求抽出的试卷中有英语试卷的概率． （2）若随机地从书包中抽出3张，抽出的试卷中有英语试卷的概率为▲.20．（8分）如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点E ，且∠ABD ＝∠ACD ． （1）求证EB EC ＝EA ED ；（2）求证∠DAC ＝∠CBD ．（第18题）21.（8分）用20㎝长的铁丝围矩形．（1）若所围矩形的面积是16㎝2，求所围矩形的长宽分别为多少cm？（2）能围成一个面积是30㎝2的矩形吗？若能请求长宽分别为多少cm，若不能请说明理由.22．（8分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），该函数y与自变量x的部分对应值如下表：（1）求该二次函数的表达式；（2）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为；不等式ax2＋bx＋c＜3的解集为.23．（8分）如图，AC是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点A．四边形ABCD是平行四边形，BC交⊙O于点E．（1）证明直线CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为5cm，弦CE的长为8cm，求AB的长．24．（8分）某商场以每个60元的价格进了一批玩具，当售价为100元时，商场平均每天可售出40个．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，经调查发现：在一定范围内，玩具的单价每降低1元，商场每天可多售出玩具2个．设每个玩具售价下降了x元，但售价不得低于玩具的进价，商场每天的销售利润为y元．（1）若降价3元后商场平均每天可售出个玩具；（2）求y与x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；（3）商场将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？25 （9分）下面从认知、延伸、应用三个层面来研究一种几何模型. 【认知】如图1，已知点E 是线段BC 上一点，若∠AED ＝∠B ＝∠C. 求证△ABE ∽△ECD.【延伸】如图2，已知点E 、F 是线段BC 上两点，AE 与DF 交于点H ，若∠AHD ＝∠B ＝∠C. 求证△ABE ∽△FCD.【应用】如图3，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，点D 是BC ⌒上一点，连接BD 并延长交AC 的延长线于点E ；连接CD 并延长交AB 的延长线于点F . 猜想B F 、BC 、CE 三线段的关系，并说明理由.图1 图2图326．（8分）已知二次函数y＝(x－m)2－1（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）请根据m的不同取值，探索该函数图象过哪些象限?（直接写出答案）（3）当1≤x≤3时，y的最小值为3，求m的值．27．（9分）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，点D为AB边上一动点，若AD的长度为m，且m的范围为0＜m＜9，在AC与BC边上分别取两点E、F，满足ED ⊥AB，FE⊥ED.（1）求DE的长度；（用含m的代数式表示）（2）求EF的长度；（用含m的代数式表示）（3）请根据m的不同取值，探索过D、E、F三点的圆与△ABC三边交点的个数.2018-2019学年第一学期九年级期末考试数学试卷参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．5或﹣1． 8．丙． 9．3． 10．∠ADE ＝∠B 等． 11．﹣1、3． 12．2． 13．43．14．36． 15．2． 16．①②③． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（本题6分）（1）解：x 2－2x －15＝0（x －5）（x ＋3）＝0 …………………………………………………1分 x －5＝0或x ＋3＝0x 1＝5，x 2＝﹣3…………………………………………………3分（2）解： 2x （x －3）＝6－2 x（x －3）（2x ＋2）＝0…………………………………………………1分 x －3＝0或2x ＋2＝0x 1＝3，x 2＝﹣1…………………………………………………3分18．（本题8分）（1）4、4…………………………………………………………………4分 （2）1×2＋2×9＋3×13＋4×14＋5×12＝175（分）…………………………6分175÷50×1100＝3850（分）…………………………………………………8分 答：全校成绩总分为3850分 19. （本题8分）（1） 所有可能出现的结果有：（语1，语2）、（语1，数）、（语1，英）、（语2，数）、（语2，英）、（数，英）共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“有英语试卷”（记为事件A ）的结果有3种，所以P (A )＝12．………………… 6分（备注：如果用树状图正确得3分，列出所有结果或在树状图上有结果再得1分，出现它们是等可能再得1分，计算结果再得1分，否则均扣1分） （2）34. ………………………………………………… 8分20．（本题8分）（1）证明：∵∠ABD ＝∠ACD ，………………………………………………… 1分 又∵∠AEB ＝∠DEC ，………………………………………………… 2分 ∴△AEB ∽△DEC ，………………………………………………… 3分 ∴EB EC ＝EAED. ………………………………………………… 4分（2）证明：∵EB EC ＝EA ED ，∴EB EA ＝ECED ，…………………5分（备注：如果不转换，均扣1分）又∵∠AED ＝∠BEC ，……………………………………………6分∴△AED ∽△BEC ，………………………………………………7分∴∠DAC ＝∠CBD .……………………………………………8分 21（本题8分）（1）解：设矩形一边长为x cm ，由题意得：（10－x ）x ＝16…………………………………………………2分 解得x 1＝2，x 2＝8……………………………………4分 答：矩形的长和宽分别为8cm 和2cm.（3）设矩形一边长为x cm ，由题意得:（10－x ）x ＝30…………………6分 x 2－10x ＋30＝0，a ＝1，b ＝﹣10，c ＝30，则b 2－4ac ＝﹣20＜0……………………………………………7分 ∴此方程无解. ………………………………………………… 8分 答：不能围成一个面积是30㎝2的矩形. （如果两问均没有答，总体扣1分）22.（本题8分） 解：（1）设该二次函数的关系式为y ＝a （x －m ）2＋n ， ∵顶点坐标为（2，﹣1），∴y ＝a （x －2）2－1，………………………1分∵该二次函数过点（1，0），∴0＝a （1－2）2－1.…………………3分 解得a ＝1，…………………………………………………4分 即y ＝（x －2）2－1.（2）x ＜1或x ＞3…………………………………………………6分（只答一个给1分）0＜x ＜4…………………………………………………8分 （只答一半比如0＜x 或x ＜4不给分）23.（本题8分） 解：（1）直线CD 与⊙O 相切．理由如下：∵AC 是⊙O 的直径，AB 与⊙O 相切于点A ， ∴AC ⊥AB …………………………………………………1分 ∴∠CAB ＝90º．…………………………………………………2分 ∵在□ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠ACD ＝90º，∴AC ⊥CD ．…………………3分 ∵点C 在⊙O 上，∴直线CD 是⊙O 切线．…………………………………………………4分 （如果不讲点C 在⊙O 上或直线CD 经过半径的外端点C 就扣1分） （2图1图2过点O 作OF ⊥CE ，垂足为F （如图1），则EF ＝CF ＝4cm ………………………………5分 在Rt △C OF 中，OF ＝OC 2－CF 2＝3cm ．……………………………6分由△COF ∽△CBA ，得OF AB ＝CFCA ，…………………………………………………7分∴AB ＝7.5cm ．…………………………………………………8分 解法二：连接AE （如图2），则AE ⊥BC ．………………………………………5分在Rt △C AE 中，AE ＝AC 2－CE 2＝6cm ．……………………………6分由△CAE ∽△CBA ，得AE AB ＝CECA ，…………………………………………………7分∴AB ＝7.5cm ．…………………………………………………8分 （其他方法参照给分） 24．（本题8分)（1）46；…………………………………………………2分 （2）y ＝（100－x －60）（40＋2x ）（或y ＝－2x 2＋40x ＋1600或y ＝－2（x －10）2＋1800）…………………………………………………3分（0≤x≤40）…………………………………………………4分 （3）y ＝（100－x －60）（40＋2x ）＝－2x 2＋40x ＋1600＝－2（x －10）2＋1800………6分 ∵a ＝﹣20＜0，∴当x ＝10时y 有最大值1800元. ………………………………………7分 100－10＝90…………………………………………………8分 答：售价定为90元时，可使每天获得的利润最大1800元. 25 （本题9分） 【认知】证明：∵∠AEC 是△ABE 的外角，∴∠AEC ＝∠A ＋∠B ，又∵∠AEC ＝∠AED ＋∠DEC ，∴∠A ＋∠B ＝∠AED ＋∠DEC ， ∵∠B ＝∠AED ，…………………………………………………1分 ∴∠A ＝∠DEC ，又∵∠B ＝∠C ，∴△ABE ∽△ECD.…………2分 【延伸】证明：∵∠AEC 是△ABE 的外角，∴∠AEC ＝∠A ＋∠B ，………………………………………1分 ∵∠HEC 是△EFH 的外角，∴∠AEC ＝∠HFE ＋∠FHE ，…………………………………2分∴∠A ＋∠B ＝∠HFE ＋∠FHE ，…………………………………………………3分 ∵∠B ＝∠AHD ，∠AHD ＝∠HFE ，∴∠B ＝∠FHE ，∴∠A ＝∠HFE ，………4分 ∵∠B ＝∠C ，∴△ABE ∽△FCD. ………………………………5分 【应用】证明：∵四边形ABDC 是⊙O 的内接四边形，∴∠BDC ＋∠A ＝180°，∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠ACB ＝∠ABC ＝60°，∴∠BDC ＝120°，………………………………6分 ∵∠FDC 是△CDE 的外角，∴∠FDC ＝∠E ＋∠DCE ， ∴∠E ＋∠DCE ＝120°，∵∠ACB ＝∠ABC ＝60°，∴∠CBF ＝∠ECB ＝120°， ∴∠DCB ＋∠DCE ＝120°，∴∠E ＋∠DCE ＝∠DCB ＋∠DCE ， ∴∠E ＝∠DCB ，…………………………………………………7分 又∵∠ACB ＝∠ABC ＝60°，∴△FBC ∽△BCE ，…………………………………………………8分 ∴BC CE ＝FBCB，∴BC 2＝BF ×CE . …………………………………………………9分 26．（本题8分）（1）解：y ＝(x －m )2－1y ＝x 2－2mx ＋m 2－1，令y ＝0，x 2－2mx ＋m 2－1＝0…………………………1分 ∵a ＝1，b ＝－2m ，c ＝m 2－1，∴b 2－4ac ＝4m 2－4（m 2－1）＝4＞0，此方程有两个不相等的实数根，∴该函数图象与x 轴总有两个公共点.…………………………………………2分 （备注：如果没有令y ＝0，即x 2－2mx ＋m 2－1＝0这一步必须扣1分）（2）解：当m ≤﹣1时，图象过一、二、三；……………………………………………3分当﹣1＜m ＜1时，图象过一、二、三、四；…………………………………4分 当m ≥1时，图象过一、二、四. …………………………………………………5分 （3）解：∵a ＝1＞0，图象开口向上，又∵对称轴为直线x ＝m ，∴当m ≤1时，y 随x 增大而增大，当x ＝1时y 有最小值3， 即3＝(1－m )2－1，解得m 1＝﹣1，m 2＝3＞1（舍去）；………………………6分 当1＜m ＜3时，当x ＝m ，时y 有最小值﹣1，y 的最小值为3不可能；………7分 当m ＞3时，y 随x 增大而减小，当x ＝3时y 有最小值3， 即3＝(3－m )2－1，解得m 1＝1＜3（舍去），m 2＝5.……………………………8分 答：当1≤x ≤3时，y 的最小值为3，m 的值为﹣1或5． 27．（本题9分）（1）解：∵ED ⊥AB ，∴∠EDA ＝90°，∴∠EDA ＝∠C ＝90°，∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，…………………………………………………1分 ∴AD AC ＝DE CB ，∴m 15＝DE 20，∴DE ＝4m3；…………………………………………………2分 （2）解：△ADE ∽△ACB ，∴AD AC ＝AE AB ，∴m 15＝AE 25，∴AE ＝5m3，…………………3分 ∵ED ⊥AB ，FE ⊥ED ∴∠EDA ＝∠DEF ＝90°，∴EF ∥AB ，∴∠A ＝∠CEF ，又∵∠EDA ＝∠C ，△ADE ∽△ECF ，………………………4分∴AD EC ＝AE EF ，∴m ：（15－5m 3）＝5m 3：EF ，∴EF ＝25－25m 9.…………5分 （3）当ED ：EF=3:4，⊙O 与AC 相切于点E ，4m 3：（25－25m 9）=3:4，m ＝22541，…………………………………………………6分 当ED ：EF=4:3，⊙O 与BC 相切于点F ，4m 3：（25－25m 9）=4:3，m ＝22534，…………………………………………………7分 情况一、当0＜m ＜22541时，⊙O 与△ABC 有六个交点； 情况二、当m ＝22541时，⊙O 与△ABC 有五个交点； 情况三、当22541＜m ＜22534时，⊙O 与△ABC 有六个交点； 情况四、当m ＝22534时，⊙O 与△ABC 有五个交点； 情况五、当22534＜m ＜9时，⊙O 与△ABC 有六个交点……………………………9分 （备注：分类两种情况正确可以给1分，全对给2分）。

九年级上学期数学期末练习卷（满分：120分 考试时间：120分钟）一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分） 1．下列哪个方程是一元二次方程（ ▲ ）A ．2s ＋t ＝1B ．x 2－xy ＝－1C ．x 2＋1x＝3D ．m 2＝m －5 2．关于x 的二次函数y ＝x 2－2x ＋1与x 轴的交点情况是（ ▲ ）A ．有两个交点B ．有1个交点C ．没有交点D ．无法判断3．如图，有三条绳子穿过一片木板，两同学分别站在木板的左、右两边，各选该边的一条绳子．若每边每条绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的概率是 （ ▲ ）A ．12B ．13C ．16D ．194．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样 调查显示，截止2017年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2015年底该市汽车拥有量为10万辆，设2015年底至2017年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x ，根据题意列方程得 （ ▲ ）A ．10＋10(1＋x )＋10(1＋x )2＝16.9B ．10(1＋2x )＝16.9C ．10(1＋x )2＝16.9D ．10(1＋x )＋10(1＋x )2＝16.95．如图，在三角形纸片ABC 中，AB =6，BC =8，AC =4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 相似的是 （ ▲ ）6．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的部分对应值如图所示，下列结论：①该抛物线开口向下；②b 2－4ac ＞0；③2a ＋b ＝0；④m ＞n ；⑤方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个解x 1的范围是－1＜x 1＜0，另一个解x 2的范围是2＜x 2＜3．其中正确的有（ ▲ ）A ．①②③B ．②③⑤C ．②④⑤D ．②③二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分） 7．若x y ＝35 ，则xx ＋y ＝ ▲ ．A.B.C.D.(第3题)(第6题)8．已知平面上一条线段OA 的长度为6，以O 为圆心，r 为半径作⊙O ，若要使得A 点在⊙O 内，写出一个可能的r 的值： ▲ ．9．已知m 、n 是一元二次方程ax 2－2x －3＝0的两个根，若m ＋n ＝1，则mn ＝ ▲ ．10．如图，正方形ABCD 的边长为8，以BC 为直径向正方形内部画半圆，EF 切半圆于点G ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．则四边形AEFD 的周长 ▲ ．11．如图，□ABCD 中，∠B ＝70°，BC ＝6，以AD 为直径的圆O 交CD 于点E ，则 ⌒DE 的长为 ▲ ． 12．如图，平行四边形ABCD 中，点E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于点F ，已知BE :AB ＝2︰3,S △BEF ＝4，则S □ABCD ＝ ▲ ． 13．如果从半径为3的圆形纸片上剪去 13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高是 ▲ ．14．如图，⊙M 与x 轴相切于点A ，与y 轴分别交于点B （0，2）和点C （0，8），则圆心M 的坐标是▲ ．15．如图，直线l 1、l 2分别经过正五边形ABCDE 的顶点A 、B ，且l 1∥l 2，若∠1＝58°，则∠2＝ ▲ °． 16．如图，已知A ，B 两点的坐标分别为(2，0)，(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是 ▲ ．三、解答题（共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）解方程：（1）2x 2－4x －3＝0； （2）3x (x －1)＝1－x ．(第16题)(第15题)(第14题)(第10题)(第11题)(第12题)F ECBAD18．（8分）小明为爸爸煮汤圆作早点：一个芝麻馅，一个红豆馅，两个花生馅．（1）爸爸吃的第一个的汤圆是花生馅的概率为▲ ．（2）求爸爸吃前两个汤圆的刚好都是花生馅的概率．（3）若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性▲ ．（填“变大”、“变小”或“不变”）．19．（8分）甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图,根据以上信息，整理分析数据如下：（1）填写表格．（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？请说明理由．20．（7分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，点C的坐标为(0，－1)．（1）在如图的方格纸中把△ABC以点O为位似中心扩大，使放大前后的位似比为1︰2，画出△A1B1C1(△ABC与△A1B1C1在位似中心O点的两侧，A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1)；（2）利用方格纸标出△A1B1C1外接圆的圆心P，P点坐标是▲ ，⊙P的半径＝▲ ．21．（7分）如图，已知CD ⊥AB ， CD 2＝BD·AD ．求证：∠ACB ＝90°．22．（7分）如图所示，已知⊙O 的弦AB ，E ，F 是 ⌒AB上两点， ⌒AE 与 ⌒BF 相等，OE 、OF 分别交AB 于C 、D ．求证：AC ＝BD ．23．（8分）旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，初定每辆车的日租金为100元，营运过程中，发现规律如下：若每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆，设实际每辆车的日租金为x 元，所有观光车每天的管理费是1000元：（1）设每日的利润为w 元，请写出w 与x 之间的函数关系式，并求出日租金为多少时，每日利润最大？ （2）若每日的利润不低于3680元，请直接．．写出日租金x 的取值范围．24．（9分）已知二次函数y ＝(x －m )2－2(x －m )（m 为常数）． （1）求证：该抛物线的图像与x 轴有两个交点； （2）求该二次函数图像的顶点P 的坐标；（3）如将该函数的图像向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到了函数y ＝x 2的图像，那么，m ＝ ▲ ．CBD A(第21题)(第22题)25．（9分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与边AB 、BC 分别交于点D 、E ．过点E的直线与⊙O 相切，与AC 的延长线交于点G ，与AB 交于点F ． （1）求证：△BDE 为等腰三角形； （2）求证：GF ⊥AB ；（3）若⊙O 半径为3，DF ＝1，求CG 的长．26．（8分）在四边形ABCD 中，P 为CD 边上一点，且△ADP ∽△PCB ．分别在图①和图②中用尺规作出所有满足条件的点P ．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，四边形ABCD 是矩形；（2）如图②，在四边形ABCD 中，∠D ＝∠C ＝60°．CBABC(第26题)①②(第25题)27．（9分）如图，二次函数y＝ax2+bx－3的图像与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为M．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）判断△BCM的形状，并说明理由；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．(第27题)九年级上学期数学期末练习卷答案一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）7. 38； 8. r 大于6即可，如r ＝7；9.－32；10. 24； 11. 23 π；12.30； 13. 5；14.（4,5）；15. 22°； 16. 2－22三、解答题（共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）∵ b 2－4ac ＝(－4)2－4×2×(－3) ＝40；…………………………………………………….…2分∴ x ＝4±404；∴ x 1＝1＋102，x 2＝1－102． ……………………………………………………………..…….4分（2）3x (x －1)＋(x －1)＝0；(3x +1)(x －1)＝0； ……………………………………………………………………………. 6分∴ x 1＝1，x 2＝－13． (8)分18. 解：（1） 12 (2)分（2）分别用A ，B ，C 表示芝麻馅、红豆馅、花生馅的汤圆，画树状图得： (2)分∵ 共有12种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的有2种情况，∴ 爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率为212＝16 (6)分（3）变大 ……………………………………………………………………………………………. 8分 19. （1）……………………………………………………………………………………………………….……5分（2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定，综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大． …………………………………………………………………………………………………. 8分20.（1）△A 1B 1C 1就是所求的图形．……………………………………………..………………………….3分（2）（3，1）， (5)分10． .……………………………………………………………………………………..…………7分21.∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°， (1)分∵CD2＝AD•DB，∴CD︰AD＝BD︰CD， (2)分∴△ADC∽△CDB， (4)分∴∠ACD＝∠B， (5)分∵∠B＋∠DCB＝90°，∴∠ACD＋∠DCB＝90°， (6)分即∠ACB＝90°． (7)分22. 证明：连接OA、OB则OA＝OB∴∠OAC＝∠OBD ………………………………………….1分∵⌒AE＝⌒BF，∴∠AOE＝∠BOF ………………………………………….3分在△AOC与△BOD中∵∠OAC＝∠OBD，OA＝OB，∠AOC＝∠BOD∴△AOC≌△BOD (6)分∴AC＝BD (7)分23.（1）w ＝(50－x－1005)x－1000 (3)分＝－15x 2＋70x －1000 (4)分＝－15(x －175)2＋5125，当x ＝175时，w 的最大值为5125. (6)分（2）90≤x ≤260 (8)分24. 解：（1）令y ＝0(x －m )2－2(x －m )＝0 (1)分(x －m )2－2(x －m －2)＝0x 1＝m ，x 2＝m (3)分∴ 该方程有两个不相等的实数根；∴ 该抛物线的图像与x 轴有两个交点.（拆开亦可） (4)分（2）y ＝(x －m )2－2(x －m )＋1－1＝(x －m －1)2－1 (6)分∴ P （m ＋1，－1）（公式法亦可） (7)分（3）2 (9)分25. 证明：（1）∵ 四边形ACDE 是圆的内接四边形，∴ ∠ACB ＋∠ADE ＝180°， ∵ ∠BDE ＋∠ADE ＝180°，∴ ∠BDE ＝∠ACB ， ………………….…………………….……………………………1分∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠ACB ． (2)分∴ ∠B ＝∠BDE ，∴ △BDE 为等腰三角形；…………………………………….…………………………3分（2）连结OE ，∵ 直线FG 与⊙O 相切，∴ ∠OEG ＝90°，………………………………………………………………………..1分∵ OC ＝OE ，∴∠OEC ＝∠ACB ，∵ ∠B ＝∠ACB ，∴ ∠B ＝∠OEC ，…………………………………………………………………………2分∴ OE ∥AB ，∴∠AFG ＝∠OEG ＝90°，即 GF ⊥AB ；…………………………………………………………………………….. 6分（3）∵ △BDE 为等腰三角形，GF ⊥AB ，∴ BF ＝DF ＝1，AF ＝AB －BF ＝AC －BF ＝5，…………………….…………………7分∵ OE ∥AB ，∴△GOE ∽△GAF ，∴OE AF ＝OG AG∴ 35＝x ＋3x ＋6……………………………………….………………………….…………8分解得x ＝32，即CG ＝32. ……………………….…………………………………………9分26．（1）如图①，点P 1，P 2即为所求． ………………………………………………….…………………4分（2）如图②，点P 1，P 2即为所求． ………………………………………………………….…………8分27. 解：（1）∵ 函数y ＝ax 2＋bx －3的图像经过点A （－1，0），B （3，0），∴ ⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a …………………………………………………………..……………2分 解得：⎩⎨⎧-==21b a∴ 二次函数关系式为y ＝x 2－2x －3 (3)分（2）解：△BCM 为直角三角形．如图1，作MF ⊥y 轴于F ，ME ⊥x 轴于E∵ y ＝x 2－2x －3＝（x －1）2－4，∴顶点M （1，－4）．当x ＝0时，y ＝－3，∴ C （0，－3）． …………………………………………………………………..……4分∴ 在Rt △CMF 中，CM 2＝CF 2＋MF 2＝12＋12＝2，在Rt △CBO 中，CB 2＝OC 2＋OB 2＝32＋32＝18，在Rt △EMB 中，BM 2＝ME 2＋BE 2＝42＋22＝20，∴ CM 2＋CB 2＝BM 2，∴ ∠MCB ＝90°，∴ △BCM 为直角三角形．（也可以根据∠FCM ＝∠BCO ＝45°推出） …………………………………..…………6分（3）如图2，在坐标轴上存在点P ，使得以点P ，A ，C 为顶点的三角形与△BCM 相似．如图分三种情形：① 若假设点P 在x 轴上，构成以AC 为斜边的Rt △ACP ，由△P AC ∽△CMB ，得52102,==AP MC AP MB AC ，∴ AP ＝1． 由A （－1，0）与点P 在x 轴上，可知P 与原点重合，即点P 的坐标为（0，0）． ……………………………………………………………………………………………7分② 假设点P 在x 轴上，构成以AC 为直角边的Rt △ACP ，由△ACP ∽△MCB ，得21052,==PA BM PA MC AC ∴ P A ＝10，∴ PO ＝9，∴ P (9，0）． …………………………………………………………………………8分③ 若假设点P 在y 轴上，构成以 AC 为直角边的 Rt △ACP ，由△ACP ∽△CBM ，得231052,==PC BM PC BC AC ，∴PC ＝310，∴PO ＝31，∴P (0，31） 综上，P (0，0)，(9，0)，(0，31).`…………………………………………………9分。

300 280 260 240 220 200 180 160一、选择题【鼓楼区】2019 年中考模拟卷（一）九年级数学1．4 的算术平方根是（ ）A ． ±2B ．2C ． -2D ．162. 鼓楼区公益项目“在线伴读”平台开通以来，累计为学生在线答疑 15000 次.用科学记数法表示 15000 是（ ）A ． 0.15 ⨯106 3．计算(-a )2⋅ (a2)3B ．1.5 ⨯105的结果是（ ）C ．1.5 ⨯104D ．15 ⨯103A ． a 8B ． -a 8C ． a 7D ． -a 74.若顺次连接四边形 ABCD 各边中点所得的四边形是菱形，则下列结论中正确的是（ ）A. AB ∥CDB. AB ⊥ BCC. AC ⊥ BDD. AC = BD5.下图是某家庭 2018 年每月交通费支出的条形统计图，若该家庭 2018 年月交通费平均支出为 a 元，则下列结论中正确的是（ ）1月2月 3月4月 5月 6 月 7 月 8 月9月 10月 11月 12月 月份A ． 200 ≤ a ≤ 220B ． 220 ≤ a ≤ 240（第5题）C ． 240 ≤ a ≤260D ． 260 ≤ a ≤ 2806.A 、B 两地相距 900km ，一列快车以 200km/h 的速度从 A 地匀速驶往 B 地，到达 B 地后立刻原路返回 A 地，一列慢车以 75km/h 的速度从 B 地匀速驶往 A 地.两车同时出发， 截止到它们都到达终点时，两车恰好相距 200km 的次数是（ ） A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题 7. -3的绝对值是．8. 若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是．⎨⎪x - 3( x - 2) ≥ 49.计算 - 的结果是 ．10. 方程 1 x + 2 = 2的解是 ．x11.正五边形的每个外角的大小是°．12.已知关于 x 的方程 x 2 + mx - 2 = 0 有一根是 2，则另一根是， m = ．13．如图，AB ∥EG ∥CD ，EF 平分∠BED ，若∠D =69°，∠GEF =21°，则∠B =°．14.如图，圆锥底面圆心为 O ，半径 OA =1，顶点为 P ，将圆锥置于平面上，若保持顶点 P位置不变，将圆锥顺时针滚动三周后点 A 恰好回到原处，则圆锥的高 OP = ． 15.如图，点 A 、B 、C 、D 在⊙O 上，B 是 AC 的中点，过 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E .若∠AEC =84°，则∠ADC =°．A GACD（第13题）（第14题）DEC（第15题）16.在△ ABC 中，AB =5，AC =4，BC =3.若点 P 在△ ABC 内部（含边界）且满足PC ≤ PA ≤ PB ,则所有点 P 组成的区域的面积为 ．三、解答题17．（7 分）解不等式组⎧⎪3x > 2x - 2 ．⎩19．（8 分）⑴解方程 x 2 - x - 1 = 0 ．⑵在实数范围内分解因式 x 2 - x - 1 = 0 的结果为 ．2720．（8分）如图，AB=AD，AC=AE，BC=DE，点E在BC上⑴求证△ABC≌△ADE；A⑵求证∠EAC =∠DEB.DB E C(第20题）21.（8 分）⑴两只不透明的袋子中均有红球、黄球、白球各 1 个，这些球除颜色外无其他差别.分别从每个袋子中随机摸出一个球，求摸出两个球都是红球的概率.⑵鼓楼区实施全面均衡分班，某校为七年级各班随机分配任课教师.已知该校七年级共有10 个班，语文洪老师、数学胡老师都执教该年级，则他俩都任教七⑴班的概率为.22．（8分）妈妈准备用5万元投资金融产品，她查询到有A、B两款“利滚利”产品，即上一周产生的收益将计入本金以计算下一周的收益。

2019–2019学年度第一学期期末学情分析样题九年级数学(考试时间120分钟，试卷满分120分)一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．16 的值等于（ ▲ ）A ．4B ．–4C ．±4D ．2 2．二次函数y = x 2－2x +3的图象的顶点坐标是（ ▲ ）A ．（－1，－2）B ．（1，－2）C ．（－1，2）D ．（1，2）3．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ▲ ）A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线平分一组对角D ．对角线互相垂直4．顺次连接等腰梯形ABCD 各边中点E 、F 、G 、H ，则四边形EFGH 的形状为（ ▲ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形5．如图，在△ABC 中，点O 为△ABC 的内心，则∠OAC +∠OCB +∠OBAA ．45°B ．60°C ．90°D ．120° 6．如图，四边形OABC 为菱形，点B 、C 在以点O 为圆心的 ⌒EF 上， 若OA ＝2cm ，∠1＝∠2，则 ⌒EF的长为（ ▲ ） A ．π3 cm B ．2π3 cmC ．4π3 cmD ．8π3 cm二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分. 不需写出解答过程，请把答案填写在题中横线上．．．．．） 7．要使2–x 在实数范围内有意义，那么x 的取值范围是 ▲ ．8．如图，AB 是⊙O 的一条弦，AB =6，圆心O 到AB 的距离为4，则⊙O 的半径为 ▲ ． 9．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，． 如果60APB ∠=，8PA =，那么弦AB 的长是 ▲ ．10．已知圆锥的底面半径为1cm ，母线长为3cm ，则其侧面积为 ▲ cm 2．第8题第6题A P第9题11．如图，海边有两座灯塔A 、B ，暗礁分布在经过A 、B 两点的弓形（弓形的弧是⊙O 的一部分）区域内，∠AOB =80°，为了避免触礁，轮船P 与A 、B 的张角∠APB 的最大值应为___▲__°． 12．已知关于x 的一元二次方程（k +1）x 2+2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ▲ ． 13．等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm ，则它的高为 ▲ cm ．14．如图，两个半径为2cm 的等圆互相重叠，且各自的圆心都在另一个圆上，则两圆重叠部分的面积是 ▲cm 2．(结果保留π)15．二次函数y =－x 2+bx +c 的部分图象如图所示，图象的对称轴为过点（－1，0）且平行于y 轴的直线，图象与x 轴交于点（1，0），则一元二次方程－x 2+bx +c =0的根为 ▲ ．16．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交函数y 1=x 2（x ≥0）与y 2=x 23（x ≥0）的图象于B 、C 两点，过点C作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2的图象于点E ，则DEAB = ▲ .三、解答题（本大题共11小题，共计88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：（212 －313）×6 ．18．（6分）解方程： 2x 2＋4x －1＝0 ．19．（6分）解方程： x (x –1)=2–2x ．20．（6分）为了迎接2019年江苏省“时代杯”数学竞赛，某校要从小孙和小周两名同学中挑选一人参加比第14题第11题赛，在最近的五次选拔测试中，两人的成绩等有关信息如下表所示： （1）根据题中已知信息，完成上述统计表（填入上表即可，不写过程）；（2）根据以上信息，若你是数学老师，你会选择谁参加比赛，理由是什么？ （参考公式：s 2= 1n[（x 1－_x )2+（x 2－_x )2+ … +（x n －_x )2] ．）21．（7分）已知二次函数y = x 2－2x ．（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围； （3）若将此图象沿x 轴向右平移3个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式．22．（8分）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别是E 、F ，且DE =DF ． （1）求证：△ADE ≌△CDF ；（2）判断四边形ABCD 的形状，并说明理由．23．（9分）如图，AP 是∠MAN 的平分线，B 是射线AN 上的一点，以AB 为直径作⊙O 交AP 于点C ，过第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 平均分 方差 小孙 75 90 75 90 70 70 小周708080908080AC点C 作CD ⊥AM 于点D ．（1）判断直线DC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若OA = 6，AD = 10，求CD 的长．24．（9分）如图，函数y =x －3的图象分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，点C 坐标为（–1，0）．一条抛物线经过A 、B 、C 三点．（1）求抛物线所对应的函数关系式；（2）设点D 是线段AB 上的动点，过点D 作y 轴的平行线交抛物线于点E ，求线段DE 长度的最大值．25．（9分）七年级我们学过三角形的相关知识，在动手实践的过程中，发现了一个基本事实：A三角形的三条高（或三条高所在直线）相交于一点．其实，有很多八年级、九年级的问题均可用此结论解决．【运用】如图，已知：△ABC 的高AD 与高BE 相交于点F ，且∠ABC =45°，过点F 作FG ∥BC 交AB 于点G ，求证：FG +CD =BD ．小方同学在解答此题时，利用了上述结论，她的方法如下： 连接CF 并延长，交AB 于点M ， ∵△ABC 的高AD 与高BE 相交于点F ， ∴CM 为△ABC 的高.（请你在下面的空白处完成小方的证明过程.）【操作】如图AB 是圆的直径，点C 在圆内，请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．画出△ABC 中AB 边上的高．BAAE CDG BFBCA D EF G M HN 26．（11分）如图，梯形ABCD 是某世纪广场的示意图，上底AD=90m ，下底BC =150m ，高100m ，虚线MN 是梯形ABCD 的中位线．要设计修建宽度均x m 的一条横向和两条纵向大理石通道，横向通道EGHF 以MN 为中心线，两条纵向通道均与BC 垂直． （1）试用含x 的代数式表示横向通道EGHF 的面积1s ；（2）若三条通道的面积之和恰好是梯形ABCD 面积的14时，求通道宽度x ； （3）经测算大理石通道的修建费用1y （万元）与通道宽度为x m 的关系式为：114y x ，广场其余部分的绿化修建费用为0.05万元／2m ,若设计要求通道宽度x ≤8m ，则宽度x 为多少时，世纪广场修建总费用最少？最少费用为多少？27．（11分）如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，动点P 以2个单位/秒的速度从A 点出发，沿对角线AC 向C 移动，同时动点Q 以1个单位/秒的速度从C 点出发，沿CB 向点B 移动，当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）求△CPQ 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；（2）以P 为圆心，P A 为半径的圆与以Q 为圆心，QC 为半径的圆相切时，求出t 的值． （3）在P 、Q 移动的过程中，当△CPQ 为等腰三角形时，直接写出．．．．t 的值；备用图2019－2019学年第一学期期末学情分析样题(2)九年级数学答卷纸(考试时间120分钟，试卷满分120分)注意事项：1．答题前务必将密封线内的项目填写清楚．2．请用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）在答卷纸上按照题号顺序，在各题目的答题区域内作答书写，字体工整、笔迹清楚．在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题（每小题2分，共16分）二、填空题（每小题2分，共16分）7．．12．．8．．13．．9．．14．．10．．15．．11．．16．．三、计算与求解17．（6分）计算：（212 －313）×6 ．18．（6分）解方程：2x2＋4x－1＝0 ．19．（6分）解方程：x(x–1)=2–2x．20．平均分方差小孙70小周80数学试卷21．22． 23．AAC数学试卷24．25．运用：连接CF 并延长，交AB 于点M ， ∵△ABC 的高AD 与高BE 相交于点F ， ∴CM 为△ABC 的高.BAAE CDGBF数学试卷BCA D E F G M HN 26． 27．备用图2019–2019学年度第一学期期末学情试卷参考答案及评分标准九年级数学说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（每题2分，共12分）1．A 2．D 3．B 4．B 5．C 6．C二、填空题 (每小题2分，共20分)7．x ≤2 8．5 9．8 10．3π 11．40 12．k ＞－2且k ≠－113．8 14．83π－2 3 15．x 1=1，x 2=－3 16．3－ 3 三、解答题 (共88分)17．解：原式=（43－3）×6………………………………………………………………2分=33×6 …………………………………………………………………………4分= 9 2 …………………………………………………………………………6分18．解：(x +1)2 = 32………………………………………………………………………………3分 x 1=－1+62，x 2=－1－62………………………………………………………………6分 19．解：(x +2)( x －1)=0 …………………………………………………………………………3分x 1 =－2, x 2 = 1……………………………………………………………………………6分20．解：（1）80； 40． ………………………………………………………………………4分（2）选择小周参加比赛． ……………………………………………………………5分理由：小孙、小周两人成绩的平均数相同，但小周成绩的方差小于小孙，因此小周的成绩更稳定，所以选择小周参加数学比赛．……………………………………………6分21．解：（1）画图正确；…………………………………………………………………………2分（2）0＜x ＜2； …………………………………………………………………………4分（3）y =(x －4)2．（或y =x 2－8x+16）……………………………………………………7分22．解：（1）∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ∴∠AED =∠CFD =90°， ……………………………1分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A =∠C ，………………………………………………………………………3分在△AED 和△CFD 中, ∠AED =∠CFD ,∠A =∠C ,DE =DF ,∴△AED ≌△CFD （AAS ）； ……………………………………………………5分（2）四边形ABCD 是菱形． …………………………………………………………6分理由如下：∵△AED ≌△CFD ∴AD =CD ， ……………………………………7分又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形． ………………8分23．解：（1）直线DC 与⊙O 相切． …………………………1分理由如下：连接OC ， …………………………2分在⊙O 中，OA=OC ，∴∠OAC = ∠OCA ，∵AP 平分∠MAN ，∴∠DAC = ∠CAO ，∴∠DAC = ∠OCA ，∴AD ∥OC ， ……………3分又∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD ，且OC 为⊙O 半径，∴直线DC 与⊙O 相切． ………………………4分（2）解法一：连接CB ，………………………………………………………………5分∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°， …………………………………………6分∵AD ⊥CD ，∴∠ADC =90°，又∵∠DAC = ∠CAB ，∴△DAC ∽△ CAB ， …………………………………7分∴DA CA = CA BA ，即10CA = CA 12，CA 2=120， ………………………………………8分 ∴在Rt △ADC 中，CD =AC 2－AD 2 =20=25．………………………………9分解法二：作OE ⊥AD 于E ，………………………………………………………5分证OEDC 为矩形，…………………………………………………………………7分在Rt △OAE 中，OE =AO 2－AE 2=25=CD ．……………………………………9分24．解：（1）令x = 0，则y =－3，∴B （0, －3）；…………………………1分令y = 0，则x =3，∴A （3，0）…………………………………2分设抛物线所对应的函数关系式为y =ax 2+bx +c ，……………3分由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c =－3 0 =9a +3 b + c 0 = a － b + c ． 解之，得a = 1，b =－2 ，c = －3， 故函数的关系式为y = x 2 －2x －3．………………………………………5分（2）设D （x ，x －3），E （x ，x 2 －2x －3），(0≤x ≤3) ………………………6分则DE = x －3－（x 2 －2x －3）……………………………………………7分=－x 2 +3x =－(x －32)2+94， ………………………………………8分 故x = 32 时，DE 的最大值为 94 ． ……………………………………9分A25．解：（1）在Rt △ADB 中，AD =BD ，………………………1分∵在Rt △BCM 中，∠MBC =45°，∴∠BCM =45°，即∠DCF =45°，…………………2分∴在Rt △CFD 中，CD =DF ， ……………………3分∵FG ∥BC ，∴∠AGF =∠ABC =45°，∴在Rt △AFG 中，AF =FG ，………………………4分∴FG +CD =AF +DF =AD =BD ． ……………………5分（2）如右图，CG 即为所画的高，画图正确． ………9分26．解：（1）1120s x = ……………………………………………………2分（2）根据题意得： 21112021002(90150)10042x x x +⨯-=⨯⨯+⨯ …………4分 解得：110x =，2150x =（不合题意，舍去） ……………6分（3）y=0.05(12000-320x+2x 2)+14x ……………7分20.1(10)590x =-+ ……………9分∵x ≤8∴当x =8时，y 有最小值590．4（万元）． ……………11分27．解：在矩形ABCD 中，∠B =90°，AB =6，BC =8，则AC =10，由题意得：AP =2t ，CP =10－2t ，CQ =t ，（1）过点P 作PF ⊥BC 于F ，可得△CPF ∽△ CAB ，∴PF AB = CP CA ，即PF 6 = 10－2t 10， ∴PF =6－65t ， ………2分 ∴S =12×QC ×PF =－35t 2+3t （0≤t ≤5）． ……………………3分 （2）∵△PCF ∽△ACB ， ∴PF PC FC AB AC BC ==，即1026108PF t FC -==，∴PF =665t -，FC =885t -， 则在Rt △PFQ 中，2222226841(6)(8)56100555PQ PF FQ t t t t t =+=-+--=-+． …………4分 ①当⊙P 与⊙Q 外切时，有PQ =P A +QC =3t ， 此时222415610095PQ t t t =-+=，整理得：2701250t t +-=， 解得t 1=156－35， t 2=－156－35（舍去）．………………………………6分A②当⊙P 与⊙Q 内切时，有PQ =P A －QC =t ， 此时22241561005PQ t t t =-+=，整理得：29701250t t -+=， 解得t 1= 259，t 2=5．……………………………………………………………8分 综上所述：⊙P 与⊙Q 相切时t =259或t =5或t =156－35． （3）当t = 103秒（此时PC =QC ），t = 259秒（此时PQ =QC ），或t = 8021秒（此时PQ =PC ）△CPQ 为等腰三角形． ……………………………………………………………………11分。

一、选择题（每题3分，共15分）1. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1=2，a5=16，则d=（）A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B2. 已知函数f(x)=x^2+2x+1，则f(-1)=（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A3. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则sinA+sinB+sinC=（）A. 9B. 12C. 15D. 18答案：B4. 若方程x^2-3x+2=0的两根为x1、x2，则x1+x2=（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B5. 若等比数列{an}的公比为q，若a1=2，a4=16，则q=（）A. 1/2B. 2C. 4D. 8答案：C二、填空题（每题5分，共25分）6. 若函数f(x)=x^2-4x+3的图象与x轴有两个交点，则f(0)=______。

答案：37. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=20，a1=1，则d=______。

答案：38. 在△ABC中，若a=5，b=7，c=8，则cosA=______。

答案：7/259. 若方程x^2-2x+1=0的两根为x1、x2，则x1^2+x2^2=______。

答案：210. 若等比数列{an}的公比为q，若a1=3，a4=81，则q=______。

答案：3三、解答题（共60分）11. （15分）已知函数f(x)=2x^2-4x+3，求函数的顶点坐标和开口方向。

解：首先，将函数f(x)写成顶点式，即f(x)=a(x-h)^2+k。

其中，顶点坐标为(h,k)。

f(x)=2x^2-4x+3=2(x^2-2x)+3=2(x^2-2x+1)-2+3=2(x-1)^2+1。

所以，顶点坐标为(1,1)，开口方向向上。

12. （15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=20，a1=1，求第10项an。

解：由等差数列的前n项和公式得，Sn=n(a1+an)/2。

九年级数学上册期末模拟题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.某市2014年1月21日至24日每天的最高气温与最低气温如表：其中温差最大的一天是( )A．1月21日B．1月22日C．1月23日D．1月24日2.2015年我国大学生毕业人数将达到7 490 000人，这个数据用科学记数法表示为( )A．7.49³107B．7.49³106C．74.9³105D．0.749³1073.．下列四个图形中，不是中心对称图形的是( )A．B．C．D．4.用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x+2）2=9 C．（x﹣1）2=6 D．（x﹣2）2=95.把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2 B．a（x+2）2 C．a（x﹣4）2 D．a（x+2）（x﹣2）6.下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，不能摆成三角形的一组是（）A．2，3，5 B．3，4，6 C．4，5，7 D．5，6，87.函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠28.如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=A. 80°B. 90°C. 100°D. 无法确定9.某中学举行校园歌手大赛，7位评委给选手小明的评分如下表：若比赛的计分方法是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，其余分数的平均值作为该选手的最后得分，则小明的最后得分为 ( )A．9．56 B．9．57 C．9．58 D．9．5910.明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S（单位：m2）与工作时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（）A．300m2 B．150m2 C．330m2 D．450m211.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c＜0解集是( )A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5 12.已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且﹣1＜x1＜x2，x3＜﹣1，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13.比较大小：12-____5-； 2_____(2)----． 14.如图，点C 是线段AB 上一点，AC ＜CB ，M 、N 分别是AB 和CB 的中点，AC=8，NB=5，则线段MN= ．15.已知a 4b 2n 与2a 3m+1b 6是同类项，则m= ，n= ．16.在一副扑克牌中，拿出红桃2，红桃3，红桃4，红桃5四张牌，洗匀后，小明从中随机摸出一张，记下牌面上的数字为x ，然后放回并洗匀，再由小华随机摸出一张，记下牌面上的数字为y ，组成一对数（x ，y ）．则小明、小华各摸一次扑克牌所确定的一对数是方程x+y=5的解的概率为 ．17.方程2x 7x 5-=的解是________________. 18.若函数y=mx 2+2x+1的图象与x 轴只有一个公共点,则常数m 的值是三、计算题（本大题共1小题，共6分）19.计算：四、解答题（本大题共5小题，共42分）20. “先化简，再求值：，其中，x=﹣3”．小玲做题时把“x=﹣3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？21.如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证：AF CE ．DC AB EF22.为了丰富同学们的课余生活，某学校举行“亲近大自然”户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是？”的问卷调查，要求学生只能从“A（植物园），B （花卉园），C（湿地公园），D（森林公园）”四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请解答下列问题：（1）本次调查的样本容量是；（2）补全条形统计图；（3）若该学校共有3600名学生，试估计该校最想去湿地公园的学生人数．23.如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E．（1）求证：∠1=∠CAD；（2）若AE=EC=2，求⊙O的半径．24.如图,二次函数y=ax2-4x+c的图象过原点,与x轴交于点A(-4,0).(1)求此二次函数的解析式.(2)在抛物线上存在点P,满足S△AOP=8,请直接写出点P的坐标.25.如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）五、综合题（本大题共1小题，共12分）26.如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．九年级数学上册期末模拟题答案1.B2.B3.C4.C5.A ．6.A7.C ．8.B9.C 10.B. 11.D ． 12.D 13.___>__；__<_;14.4 ;15.答案为：1，3．16.P(和等于5)=．17.x=-518. 答案:1或019.略20.解：原式=(+)•(x+2)(x ﹣2)=•(x+2)(x ﹣2)=x 2+4，∵(﹣3)2+4=32+4=9+4，∴她的计算结果也是正确的．21.证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，ACB CAD ∴∠=∠．又BE DF ∥，BEC DFA ∴∠=∠，BEC DFA ∴△≌△，∴CE AF =【解析】略22.【解答】解：（1）本次调查的样本容量是15÷25%=60；（2）选择C 的人数为：60﹣15﹣10﹣12=23（人），补全条形图如图：（3）³3600=1380（人）．答：估计该校最想去湿地公园的学生人数约由1380人．故答案为：60．23.【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，∵AC为⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD+∠CAD=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠1=∠BDO，∴∠1=∠CAD；（2）解：∵∠1=∠CAD，∠C=∠C，∴△CAD∽△CDE，∴CD：CA=CE：CD，∴CD2=CA•CE，∵AE=EC=2，∴AC=AE+EC=4，∴CD=2，设⊙O的半径为x，则OA=OD=x，则Rt△AOC中，OA2+AC2=OC2，∴x2+42=（2+x）2，解得：x=．∴⊙O的半径为．24.【解析】(1)依题意,得解得∴二次函数的解析式为y=-x2-4x.(2)令P(m,n),则S△AOP=AO²|n|=³4|n|=8,解得n=±4,又∵点P(m,n)在抛物线y=-x2-4x上,∴-m2-4m=±4,分别解得m1=-2,m2=-2+2和m3=-2-2,∴P1(-2,4),P2(-2+2,-4),P3(-2-2,-4).25.【解答】（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO=∠CEO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF=CE，∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=，在Rt△CDF中，cos∠DCF=，∠DCF=30°，∴CF==2，∵四边形AECF是菱形，∴CE=CF=2，∴四边形AECF是的面积为：EC•AB=2．26.解答：解：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或．故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=³2³4+³（+4）³（﹣2）﹣³³=4+﹣=；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，∵P的坐标为（2，4），∴4=³2+b，解得b=3，∴直线PM的解析式为y=x+3．由，解得，，∴点M的坐标为（，）．。

2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．下列图形是我们日常生活中经常看到的一些标志，则其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．若关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个解是﹣1，则a的值为（）A．1B．﹣2C．﹣1D．23．下列事件中是必然事件的是（）A．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次B．任意一个六边形的外角和等于720°C．同时掷两枚质地均匀的骰子，两个骰子的点数相同D．367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日4．如图，在⊙O中，M是弦CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4cm，EM＝6cm，则⊙O的半径为（）A．5B．3C．D．45．抛物线y＝x2﹣4x+6的顶点坐标是（）A．（﹣2，2）B．（2，﹣2）C．（2，2）D．（﹣2，﹣2）6．已知方程x2+2018x﹣3＝0的两根分别为α和β，则代数式α2+αβ+2018α的值为（）A．1B．0C．2018D．﹣20187．如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得C′C∥AB，则∠CAB'等于（）A．30°B．25°C．15°D．10°8．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝80°，∠OBC＝60°，则∠ODC的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．30°9．已知a、b是等腰三角形的两边，且a、b满足a2+b2+29＝10a+4b，则△ABC的周长为（）A．14B．12C．9或12D．10或1410．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴为直线l，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c ＞0；③a+c＞0；④a+b＞0，正确的是（）A．①②④B．②④C．①③D．①④二、填空题（8小题，每小题4分，共32分）11．在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是．12．抛物线y＝x2的对称轴是直线．13．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是．14．小明和他的哥哥、姐姐共3人站成一排，小明与哥哥相邻的概率是．15．圣诞节，小红用一张半径为24cm，圆心角为120°的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子，则这个圆锥形帽子的高为cm．16．已知关于x的方程x2+x﹣m＝0有实数解，则m的取值范围是．17．某校规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上修建同样宽度的三条小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，如果草坪部分的总面积为112m2，设小路的宽为xm，那么x满足的方程是．18．已知二次函数y＝ax2+bx﹣2自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表，则在实数范围内能使得y﹣1＞0成立的x的取值范围是．三、解答题：（7个小题，共78分）19．（8分）解方程（1）x2﹣2x﹣48＝0．（2）2x2﹣4x＝﹣1．20．（10分）将抛物线y1＝2x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到抛物线y2．（1）直接写出平移后的抛物线y2的解析式；（2）求出y2与x轴的交点坐标；（3）当y2＜0时，写出x的取值范围．21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（3，4）、B（1，2）、C（5，3）（1）将△ABC平移，使得点A的对应点A1的坐标为（﹣2，4），在如图的坐标系中画出平移后的△A1B1C1；（2）将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1并直接写出A2、B2的坐标；（3）求△A2B2C1的面积．22．（12分）传统节日“元宵节”时，小丽的妈妈为小丽盛了一碗汤圆，其中一个汤圆是花生馅，一个汤圆是黑芝麻馅，两个汤圆草莓馅，这4个汤圆除了内部馅料不同外，其他均相同．（1）若小丽随意吃一个汤圆，刚好吃到黑芝麻馅的概率是多少？（2）小丽喜欢草莓馅的汤圆，妈妈在盛了4个汤圆后，又为小丽多盛了2个草莓馅的汤圆，若小丽吃2个汤圆，都是草莓馅的概率是多少？23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于点D，E为BC 的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点E．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若CF＝2，DF＝4，求⊙O的半径．24．（12分）一年一度的“春节”即将到来，某超市购进一批价格为每千克3元的桔子，根据市场预测，该种桔子每千克售价4元时，每天能售出500千克，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10千克，物价部门规定，该种桔子的售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给这种桔子定价，使得超市每天销售这种桔子的利润为800元．25．（12分）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．【分析】根据中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，结合选项即可得出答案．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】此题考查了中心对称的知识，解答本题一定要熟练中心对称的定义，关键是寻找中心对称点，要注意和轴对称区分开来．2．【分析】把x＝﹣1代入方程x2﹣ax＝0得1+a＝0，然后解关于a的方程即可．【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣ax＝0得1+a＝0，解得a＝﹣1．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．3．【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件；B、任意一个六边形的外角和等于720°是不可能事件；C、任同时掷两枚质地均匀的骰子，两个骰子的点数相同是随机事件；D、367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日是必然事件；故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．【分析】如图，连接OC．设⊙O的半径为r．首先证明EN经过圆心O，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，连接OC．设⊙O的半径为r．∵CM＝DM＝2cm，EM⊥CD，∵EM经过圆心O，在Rt△COM中，∵OC2＝OM2+CM2，∴r2＝22+（6﹣r）2，∴r＝，故选：C．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．5．【分析】已知抛物线的一般式，利用配方法转化为顶点式，直接写成顶点坐标．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+6＝x2﹣4x+4+2＝（x﹣2）2+2，∴抛物线y＝x2﹣4x+6的顶点坐标为（2，2）．故选：C．【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）；此题还考查了配方法求顶点式．6．【分析】由根与系数的关系得到α+β＝﹣2018，将其代入整理后的代数式求值．【解答】解：依题意得：αβ＝﹣3，α+β＝﹣2018，α2+2018α﹣3＝0，所以α2+αβ+2018α＝α（α+β）+2018α＝﹣2018α+2018α＝0．故选：B．【点评】考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，解题的巧妙之处在于将所求的代数式转化为α（α+β）+2018α的形式，然后代入求值．7．【分析】先根据平行线的性质得∠ACC′＝∠CAB＝70°，再根据旋转的性质得AC＝AC′，∠CAC′＝∠BAB′，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAC′＝40°，所以∠BAB′＝40°，然后计算∠CAB′＝∠CAB﹣∠BAB′即可．【解答】解：∵C′C∥AB，∴∠ACC′＝∠CAB＝70°，∵△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，∴AC＝AC′，∠CAC′＝∠BAB′，∴∠ACC′＝∠AC′C＝70°，∴∠CAC′＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BAB′＝40°，∴∠CAB′＝∠CAB﹣∠BAB′＝70°﹣40°＝30°．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．8．【分析】在四边形OBCD中，利用四边形内角和定理即可解决问题．【解答】解：∵∠A＝80°，∴∠C＝180°﹣80°＝100°，∠BOD＝2∠A＝160°，∴∠ODC＝360°﹣160°﹣60°﹣100°＝40°，故选：A．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．【分析】利用配方法分别求出a、b，根据三角形三边关系、等腰三角形的概念计算．【解答】解：a2+b2+29＝10a+4b，a2﹣10a+25+b2﹣4b+4＝0，（a﹣5）2+（b﹣2）2＝0，a﹣5＝0，b﹣2＝0，解得，a＝5，b＝2，∵2、2、5不能组成三角形，∴这个等腰三角形的周长为：5+5+2＝12，故选：B．【点评】本题考查的是配方法、非负数的性质、等腰三角形的性质以及三角形三边关系，掌握配方法、完全平方公式是解题的关键．10．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①抛物线的对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即ab＜0．抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0．所以abc＞0．故正确；②如图所示，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，故错误；③由图可知，当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，所以a+a+c+c＜0．所以2a+2c＜0．所以a+c＜0．故错误；④由图可知，当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0．当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以4a+2b+b﹣a＞0，所以3a+3b＞0．所以a+b＞0．故正确．故选：D．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换．二、填空题（8小题，每小题4分，共32分）11．【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），可得答案．【解答】解：在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是（1，﹣2），故答案为：（1，﹣2）．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．12．【分析】直接利用y＝ax2图象的性质得出其对称轴．【解答】解：抛物线y＝x2的对称轴是直线y轴或（x＝0）．故答案为：y轴或（x＝0）．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握简单二次函数的图象是解题关键．13．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x（x﹣2）＝x﹣2，x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0，x﹣1＝0，x1＝2，x2＝1，故答案为：1或2．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．14．【分析】根据题意可以写出所有的可能性，从而可以解答本题．【解答】解：设小明为A，哥哥为B，姐姐为C，则所有的可能性是：（ABC），（ACB），（BAC），（BCA），（CAB），（CBA），∴他的哥哥相邻的概率是＝，故答案为：．【点评】此题考查的是用树状图法求概率的知识．注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．15．【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是16π，列出方程求解即可求得半径，然后利用勾股定理求得高即可．【解答】解：半径为24cm、圆心角为120°的扇形弧长是：＝16π，设圆锥的底面半径是r，则2πr＝16π，解得：r＝8cm．所以帽子的高为＝16故答案为：16．【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．16．【分析】方程有解时△≥0，把a、b、c的值代入计算即可．【解答】解：依题意得：△＝12﹣4×1×（﹣m）≥0．解得m≥﹣．故答案是：m≥﹣．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是注意：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．17．【分析】设小路的宽为xm，则草坪部分可合成长为（16﹣x）m，宽为（9﹣2x）m的矩形，根据矩形的面积公式结合草坪部分的总面积为112m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设小路的宽为xm，则草坪部分可合成长为（16﹣x）m，宽为（9﹣2x）m的矩形，依题意，得：（16﹣x）（9﹣2x）＝112．整理，得：2x2﹣41x+32＝0．故答案为：2x2﹣41x+32＝0．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18．【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数的对称性得出y＝1的自变量x 的值即可．【解答】解：∵x＝0，x＝2的函数值都是﹣3，相等，∴二次函数的对称轴为直线x＝1，∵x＝﹣1时，y＝1，∴x＝3时，y＝1，根据表格得，自变量x＜1时，函数值逐点减小，当x＝1时，达到最小，当x＞1时，函数值逐点增大，∴抛物线的开口向上，∴y﹣1＞0成立的x取值范围是x＜﹣1或x＞3，故答案为：x＜﹣1或x＞3．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图表信息，求出对称轴解析式是解题的关键．此题也可以确定出抛物线的解析式，再解不等式或利用函数图形来确定．三、解答题：（7个小题，共78分）19．【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式解方程即可；（2）直接利用配方法将原式变形，进而解方程即可．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣48＝0（x+6）（x﹣8）＝0，解得：x1＝﹣6，x2＝8；（2）2x2﹣4x＝﹣1（x2﹣2x）＝﹣（x﹣1）2＝，则x﹣1＝±，解得：x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】此题主要考查了十字相乘法、配方法解方程，正确分解因式是解题关键．20．【分析】（1）利用点平移规律写出平移后的顶点坐标为（3，﹣2），然后利用顶点式写出抛物线y2的解析式；（2）通过解方程2（x﹣3）2﹣2＝0得y2与x轴的交点坐标；（3）利用函数图象写出抛物线在x轴上方对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）平移后的抛物线y2的解析式为y2＝2（x﹣3）2﹣2；（2）当y2＝0时，2（x﹣3）2﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝4，所以y2与x轴的交点坐标为（2，0），（4，0）；（3）当2＜x＜4时，y2＜0．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．21．【分析】（1）由点A及其对应点A1的位置得出平移方向和距离，再将点B和点C分别按此方式平移得出其对应点，继而首尾顺次连接即可得；（2）由旋转的性质作出变换后的对应点，再首尾顺次连接即可得；（3）利用割补法求解可得．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，△A2B2C1即为所求，其中A2的坐标为（﹣1，1）、B2的坐标为（1，﹣1）；（3）△A2B2C1的面积为2×4﹣×2×2﹣×1×2﹣×1×4＝3．【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换和平移变换，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．22．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）所有等可能结果中，满足吃一个汤圆，吃到黑芝麻馅的结果只有1种，∴吃到黑芝麻馅的概率为；（2）列表如下：由表知，共有30种等可能结果，2个都是草莓馅的结果有12种，所以都是草莓馅的概率是．【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．【分析】（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE＝∠DCE，由∠ODC＝∠OCD且∠OCD+∠DCE＝90°可得答案；（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2＝OF2，即r2+42＝（r+2）2可得r＝3，即可得出答案．【解答】解：（1）如图，连接OD、CD，∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠CDE＝∠DCE，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠ACB＝90°，∴∠OCD+∠DCE＝90°，∴∠ODC+∠CDE＝90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，∵∠ODF＝90°，∴OD2+DF2＝OF2，即r2+42＝（r+2）2，解得：r＝3，∴⊙O的半径为3．【点评】本题主要考查切线的判定与圆周角定理、直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握切线的判定与圆周角定理是解题的关键．24．【分析】设每千克桔子的定价为x元时，每天的利润为800元，则每天可售出（500﹣10×）千克桔子，根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合售价不能超过进价的200%即可确定x的值，此题得解．【解答】解：设每千克桔子的定价为x元时，每天的利润为800元，则每天可售出（500﹣10×）千克桔子，依题意，得：（x﹣3）（500﹣10×）＝800，整理，得：x2﹣12x+35＝0，解得：x1＝5，x2＝7．∵售价不能超过进价的200%，∴x≤3×200%，即x≤6，∴x＝5．答：每千克桔子的定价为5元时，每天的利润为800元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25．【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得抛物线解析式．（2）当x＝0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x＝0可求D点坐标．（3）由题意可知P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P点横坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得解得∴y＝x2﹣2x﹣3（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）设y＝kx+b，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入解得∴y＝﹣x﹣1∴D（0，﹣1）（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2）∴P点纵坐标为﹣2，∴x2﹣2x﹣3＝﹣2解得：x＝1±，∵x＞0∴x＝1+．∴P（1+，﹣2）【点评】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式可求点P的横坐标．。

2018-2019（上）南京市秦淮区九年级期末数学试卷九年级数学注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．2．答选择题必须用2B 铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效．3．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题．．卷．相应位置．．．．上） 1．从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，下列事件与抽到“A ”的概率相同的是A ．抽到“大王”B ．抽到“2”C ．抽到“小王”D ．抽到“红桃” 2．某选手在比赛中的成绩（单位：分）分别是90，87，92，88，93，方差是5.2（单位：分2），如果去掉一个最高分和一个最低分，那么该选手成绩的方差会A ．变大B ．不变C ．变小D ．不确定 3．x 1，x 2是一元二次方程x 2－x －1＝0的两个根，32＜x 1＜2，对x 2的估算正确的是A ．－1＜x 2＜－12B ．－12＜x 2＜0C ．0＜x 2＜12D ．12＜x 2＜14．如图，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，若△ABC ∽△EPD ，则点P 所在的格点为下列各点中的A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 45．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是OB 的中点，过点C 作CD ⊥AB ，交半圆于点D ，则BD ⌒与AD ⌒的长度的比为A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5（第4题）（第5题）（第10题）6．若点A （0，1）在二次函数y ＝ax 2－2ax ＋b （a 、b 是常数）的图像上，则下列各点一定．．在该图像上的是A ．（1，0）B ．（2，0）C ．（1，1）D ．（2，1）二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置．．．．．．．上) 7．若 a b ＝23，则 a ＋b 2b＝ ▲ ．8．一组数据：－1，3，2，x ，5的众数是3，则这组数据的中位数是 ▲ ．9．圆锥的底面半径是4 cm ，母线长为5 cm ，则这个圆锥的侧面积是 ▲ cm 2．（结果保留π）10．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在涂色部分的概率是 ▲ ．11．将二次函数y ＝－2x 2＋1的图像绕点（0，2）顺时针旋转180°，得到的图像所对应的函数表达式为 ▲ ．12．关于x 的方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，则方程a (x －1)2＋b (x －1)＋2＝0的两根分别为 ▲ ．13．如图，E 、F 是线段AB 的两个黄金分割点，AB ＝1，则线段EF 的长为 ▲ ．（结果保留根号）14．将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，则∠1＋∠2＋∠3＝ ▲ °． 15．如图，二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3的图像与x 轴交于两点A 、B ，它的对称轴与x 轴交于点N ．过顶点M 作ME ⊥y 轴，垂足为E ，连接BE ，交MN 于点F ，则△EMF 与△BNF 的面积的比为 ▲ ．A BEF（第13题）（第14题）12316．如图，在⊙O 中，C 是弦AB 上一点，AC ＝2，CB ＝4．连接OC ，过点C 作DC ⊥OC ，与⊙O 交于点D ，DC 的长为 ▲ ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）求二次函数y ＝x 2＋4x ＋5的最小值，并求出对应的x 的值．18．（8分）用代入法解二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝10，2x ＋y ＝16的过程可以用下面的框图表示：尝试按照以上思路求方程组⎩⎨⎧x －y ＝0，x 2＋2y ＝4的解．19．（6分）将二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图像向左平移1个单位长度后，经过点（0，3）、（2，－5），求a 、b 的值．20．（8分）青山村种的水稻2015年平均每公顷产7000 kg ，2017年平均每公顷产8470 kg ．求该村种的水稻每公顷产量的年平均增长率．BD OAC （第16题）21．（6分）某地铁站有4个出站口，分别为1号、2号、3号、4号，小华和小明先后在该地铁站下车，任意选择一个出站口出站．（1）小华从1号出站口出站的概率是 ▲ ； （2）求两人不从．．同一个出站口出站的概率．22．（8分）在物理课上，我们学习过“小孔成像”——用一个带有小孔的薄板遮挡在物体与光屏之间，在光的照射下，光屏上就会形成一个倒立的实像．如图，光线分别经过物体AB 的两端A 、B 和小孔P ，投射在与AB 平行的光屏l 上形成了实像A'B'．已知AB ＝a ，小孔P 与AB 、l 的距离分别为m 、n ．求A'B' 的长（用含a 、m 、n 的代数式表示）．23．（8分）某食品商店将甲、乙、丙3种糖果的质量按5∶4∶1配置成一种什锦糖果，已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为16元／kg 、20元／kg 、27元／kg ．若将这种什锦糖果的单价定为这三种糖果单价的算术平均数，你认为合理吗？如果合理，请说明理由；如果不合理，请求出该什锦糖果合理的单价．l（第22题）24．（8分）如图，AB 为⊙O 的直径，AB ＝4，C 为⊙O 上一点，且AC ⌒＝BC ⌒，P 为BC ⌒上的一动点，延长AP 至Q ，使得AP •AQ ＝AB 2，连接BQ ． （1）求证：直线BQ 是⊙O 的切线；（2）若点P 由点B 运动到点C ，则线段PQ 扫过的面积是 ▲ ．（结果保留π）25．（8分）已知二次函数y ＝(x －1)(x －m －3)（m 为常数）．（1）求证：不论m 为何值，该函数的图像与x 轴总有公共点； （2）当m 取什么值时，该函数的图像与y 轴的交点在x 轴的下方？26．（10分）如图①，P 是⊙O 外一点，过点P 做⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ．若∠APB ＝60°，则点P 叫做⊙O 的切角点．（1）如图②，⊙O 的半径是1，点O 到直线l 的距离为2．若点P 是⊙O 的切角点，且点P 在直线l 上，请用尺规作出点P ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）如图③，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1＋3，⊙O 是△ABC的内切圆．若点P 是⊙O 的切角点，且点P 在△ABC 的边上，求AP 的长．C P（第26题）①② ③lC（第24题）27．（12分）问题情境有一堵长为a m的墙，利用这堵墙和长为60m的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？题意理解根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图①）和一边“包含”墙（如图②）．特例分析（1）当a＝12时，若按图①的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是▲m2；若按图②的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是▲m2．（2）当a＝20时，解决“问题情境”中的问题．解决问题（3）直接写出“问题情境”中的问题的答案．2018-2019学年度第一学期第二阶段学业质量监测九年级数学参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（每小题2分，共计12分）二、填空题（每小题2分，共计20分）7．56 8．3 9．20π 10．14 11．y ＝2x 2＋312．2，3 13 14．84 15．1∶4 16．2 2三、解答题（本大题共11小题，共计88分） 17．（本题6分）解：方法一y ＝x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1． ····························································································· 2分 所以二次函数y ＝x 2＋4x ＋5的最小值是1． ························································· 4分 对应的x 的值为－2． ······················································································ 6分 方法二二次函数y ＝x 2＋4x ＋5的最小值＝4ac －b 24a··························································· 1分＝1， ································································ 3分x ＝－b2a········································································································ 4分＝－2． ······································································································ 6分18．（本题8分）解： ⎩⎨⎧x －y ＝0， ①x 2＋2y ＝4． ②由①，得y ＝x ． ③ ························································································ 2分 将③代入②，得x 2＋2x ＝4． ····························································································· 4分解这个方程，得x 1＝－1x 2＝－1 ····················································· 6分将x 1、x 2分别代入③，得y 1＝－2＝－1所以，原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1 y 1＝－1x 2＝－1 y 2＝－····································· 8分（说明：在正确求出x 、y 1分）19．（本题6分）解：二次函数图像向左平移1个单位长度后，经过点（0，3）、（2，－5），可得原二次函数图像经过点（1，3）、（3，－5）， ····························································· 2分 得⎩⎨⎧a ＋b ＋1＝3，9a ＋3b ＋1＝－5．························································································· 4分 解得 a ＝－2，b ＝4．······················································································ 6分20．（本题8分）解：设该村种的水稻每公顷产量的年平均增长率为x ． ······················································· 1分根据题意，得7000(1＋x )2＝8470． ····························································································· 5分 解这个方程，得x 1＝0.1，x 2＝－2.1（不合题意，舍去）． ·································································· 7分答：该村种的水稻每公顷产量的年平均增长率为10%． ········································· 8分 （说明：未列方程，只写了“设……”不给分．）21．（本题6分）解：（1）14． ········································································································ 2分（2）两人任意选择一个出站口出站，所有可能出现的结果有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4），共有16种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“两人不从同一个出站口出站”（记为事件A ）的结果有12种，所以P （A ）＝ 34． ·················································· 6分（说明：少说明“等可能性”扣1分）22．（本题8分）解：∵AB ∥A'B'，∴∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'． ··································································· 2分∴△APB ∽△A'PB'，且相似比为m ∶n ． ····························································· 4分 ∴AB A'B'＝mn． ·································································································· 6分 又∵AB ＝a ，∴A'B'＝an m． 所以A'B' 的长为anm． ······················································································ 8分23．（本题8分）解：这样定价不合理． ·································································································· 1分＝16×510＋20×410＋27×110······················································································ 4分 ＝18.7（元／kg ）． ····························································································· 7分 答：该什锦糖果合理的单价为18.7元／kg ． ································································· 8分24．（本题8分） （1）证明：连接PB ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB ＝90°． ···································· 1分 ∵AP •AQ ＝AB 2，∴AP AB ＝ABAQ ． ·················· 2分在△ABP 和△AQB 中，∠BAP ＝∠QAB ， ∴△ABP ∽△AQB ． ······························· 4分 ∴∠ABQ ＝∠APB ＝90°，即AB ⊥BQ ． ······ 5分 ∵AB 是⊙O 的直径，∴直线BQ 是⊙O 的切线． ······································································ 6分（2）解：6－π．···································································································· 8分25．（本题8分） （1）证明：方法一 当y ＝0时，(x －1)(x －m －3)＝0． ··························································· 1分解得x 1＝1，x 2＝m ＋3． ········································································ 3分C当m ＋3＝1，即m ＝－2时，方程有两个相等的实数根；当m ＋3≠1，即 m ≠－2时，方程有两个不相等的实数根．所以，不论m 为何值，该函数的图像与x 轴总有公共点． ···························· 4分方法二 将原表达式化为y ＝x 2－(m ＋4)x ＋m ＋3． ················································· 1分 因为一元二次方程x 2－(m ＋4)x ＋m ＋3＝0 ················································· 2分 的根的判别式b 2－4ac ＝[－(m ＋4)] 2－4(m ＋3)＝m 2＋4m ＋4＝(m ＋2)2≥0． ······················· 3分所以，不论m 为何值，该函数的图像与x 轴总有公共点． ···························· 4分 （2）解：当x ＝0时，y ＝m ＋3，即该函数的图像与y 轴交点的纵坐标是m ＋3． ················ 6分当m ＋3＜0，即m ＜－3时，该函数的图像与y 轴的交点在x 轴的下方． ············· 8分26．（本题10分）解：（1）如图，点P 即为所求． ···································（说明：若点P 未在图中标出，也没有写结论扣1分；若图中标出了点P ，未写结论不扣分）（2）∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1＋3，∴AB ＝2＋23，AC ＝3＋3． ···································································· 6分 ∵⊙O 是△ABC 的内切圆，设AB 、BC 、AC 分别与⊙O 相切于点M 、N 、D ，∴OD ⊥AC ，ON ⊥BC ，OM ⊥AB ，BM ＝BN ，CN ＝CD ，AM ＝AD ． ∵∠ACB ＝90°，∴四边形ONCD 为矩形． ∵OD ＝ON ，∴矩形ONCD 为正方形． 设⊙O 的半径为r ，则CN ＝CD ＝r ， BN ＝BM ＝1＋3－r ，MA ＝AD ＝1＋3＋r ． ∴AC ＝AD ＋CD ＝1＋3＋r ＋r ．①（P ）九年级数学 第11页 共6页即1＋3＋r ＋r ＝3＋3．解得 r ＝1． ···························································································· 7分 ∴CD ＝1，BM ＝3．如图①，∵∠B ＝60°，且BA 、BC 与⊙O 分别相切于点M 、N ，∴点B 是⊙O 的切角点，即点P 与点B 重合，此时AP ＝AB ＝2＋23． ·············· 8分 如图②，若⊙O 的切角点P 在线段AB 上，PQ 与⊙O 相切于点Q ． 由切角点的概念知∠MPQ ＝60°．连接MO 、QO 、PO ，有∠PMO ＝∠PQO ＝90°． ∵MO 、QO 是⊙O 的半径，∴MO ＝QO ． ∵PO ＝PO ，∴△PMO ≌△PQO ． ∴∠MPO ＝∠QPO ＝12∠MPQ ＝30°．∵r ＝1，∴MP ＝3．∴AP ＝BA －BM －MP ＝2． ····································· 9分 如图③，若⊙O 的切角点P 在线段AC 上． 与上一种情况类似计算可得PD ＝3． 则AP ＝AC －CD －PD ＝2．综上，AP 的长为2＋23或2． ·································································· 10分27．（本题12分）解：（1）288，324． ······························································································· 2分（2）如图①，设AB ＝x m ，则BC ＝(60－2x ) m ． 所以S 矩形ABCD ＝x (60－2x )＝－2(x －15)2＋450． ········································· 4分根据题意，得20≤x ＜30． 因为－2＜0，所以当20≤x ＜30时，S 矩形ABCD 随x 的增大而减小．即当x ＝20时，S 矩形ABCD 有最大值，最大值是400（m 2）.··································· 5分如图②，设AB ＝x m ，则BC ＝(40－x ) m ．所以S 矩形ABCD ＝x (40－x )＝－(x －20)2＋400．································ 7分根据题意，得0＜x ≤20．D ③②CD九年级数学 第12页 共6页因为－1＜0， 所以当x ＝20时，S 矩形ABCD 有最大值，最大值是400（m 2）. ······················································ 8分综上，当a ＝20时，该养鸡场围成一个边长为20 m 的正方形时面积最大，最大面积是400 m 2． ····················································································· 9分 （3）当0＜a ≤20时，围成边长为a ＋604m 的正方形面积最大，最大面积是a 2＋120a ＋360016m 2．当20＜a ＜30时，围成两邻边长分别为a m ，60－a 2m 的养鸡场面积最大，最大面积为－a 2＋60a 2m 2．当a ≥30时，当矩形的长为30 m ，宽为15 m 时，养鸡场最大面积为450 m 2．····························································································································· 12分。

2018-2019学年第一学期南京市联合体九年级期末考试数 学注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1． 一元二次方程 x 2 ＋x ＝0的根是A ．x 1＝0，x 2＝1B ．x 1＝0，x 2＝﹣1C ．x 1＝x 2＝0D ．x 1＝x 2＝12．为了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查，下列抽取学生的方法最合适的是A ．随机抽取该校一个班级的学生B ．随机抽取该校一个年级的学生C ．随机抽取该校一部分男生D ．分别从该校初一、初二、初三年级中各班随机抽取10%的学生 3．如图，DE 是△ABC 的中位线，则△ADE 与△ABC 的面积的比是A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶94．关于x 的一元二次方程x 2－（k ＋1）x ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为A ．k ＞－1B ．k ＜－1C ．k≠－1D ．k 为任意实数A ED C B （第3题） （第5题）AEDCB（第3题）5. 如图，点A 、B 、C 、D 、E 都是⊙O 上的点，AC ⌒ ＝AE ⌒，∠B ＝118°，则∠D 的度数为A ．128°B ．126°C ．124°D ．122°6. 在二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则m 、n 的大小关系为A ．m ＞nB. m ＜nC. m ＝nD.无法确定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7． 方程（x －2）2＝9的解为 ▲ ．8．甲、乙、丙三名射击运动员在某场测试中各射击10次，三人的测试成绩如下： 甲： 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 乙： 7 7 7 8 8 9 9 10 10 10丙： 7 8 8 8 8 9 9 9 9 10这三人10次射击命中的环数的平均数_ x 甲＝_ x 乙＝_x 丙＝8.5，则测试成绩比较稳定的 是 ▲ ．（填“甲”或“乙”或“丙”）9．已知四条线段a 、2、6、a ＋1成比例，则a 的值为 ▲ ．10．如图，在△ABC 中，点E 、D 分别为AB 与AC 边上两个点，请添加一个条件 ▲ ，使得△ADE ∽△ABC .11. 关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋2＝0的一个根为，则另一个根为▲ ，m 的值为 ▲ . 12. 现有一个半径长为4cm 的半圆，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．该圆锥底面圆的半径为 ▲ cm ．13. 如图，在⊙O 中，直径EF ⊥CD ，垂足为M ，EM•MF ＝12，则CD 的长度为 ▲ .14．从地面竖直向上抛出一个小球.小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t（单位：s ）之间的关系式是h ＝24t －4t 2.小球运动的高度最大为 ▲m .2 （第10题） （第13题）（第16题）15. 在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝2，∠BAC ＝120°，则△ABC 外接圆的半径长度为 ▲ . 16. 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的对称轴为直线x ＝﹣1.下列结论正确的 有 ▲ .① 若图象过点（﹣3，y 1）、（2，y 2），则y 1＜y 2； ② ac ＜0； ③ 2a －b ＝0； ④ b ²－4ac ＜0.三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解下列方程（1）x 2－2x －15＝0 ； （2） 2x （x －3）＝6－2 x .18．（8分）光明中学全体学生1100人参加社会实践活动，从中随机抽取50人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，结合图中所给信息解答下列问题： （1）填写下表：（2）估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．19.（8分）小明的书包里只放了A4大小的试卷共4张，其中语文2张、数学1张、英语1（1）若随机地从书包中抽出2张，求抽出的试卷中有英语试卷的概率． （2）若随机地从书包中抽出3张，抽出的试卷中有英语试卷的概率为 ▲.20．（8分） 如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点E ，且 ∠ABD ＝∠ACD ． （1）求证EB EC ＝EAED； （2）求证 ∠DAC ＝∠CBD ．（第18题）21.（8分）用20㎝长的铁丝围矩形．（1）若所围矩形的面积是16㎝2，求所围矩形的长宽分别为多少cm？（2）能围成一个面积是30㎝2的矩形吗？若能请求长宽分别为多少cm，若不能请说明理由.22．（8分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），该函数y与自变量x的部分对应值如下表：（1）求该二次函数的表达式；（2）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为；不等式ax2＋bx＋c＜3的解集为.23．（8分）如图，AC是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点A．四边形ABCD是平行四边形，BC交⊙O于点E．（1）证明直线CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为5cm，弦CE的长为8cm，求AB的长．24．（8分）某商场以每个60元的价格进了一批玩具，当售价为100元时，商场平均每天可售出40个．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，经调查发现：在一定范围内，玩具的单价每降低1元，商场每天可多售出玩具2个．设每个玩具售价下降了x元，但售价不得低于玩具的进价，商场每天的销售利润为y元．（1）若降价3元后商场平均每天可售出个玩具；（2）求y与x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；（3）商场将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？25 （9分）下面从认知、延伸、应用三个层面来研究一种几何模型. 【认知】如图1，已知点E 是线段BC 上一点，若∠AED ＝∠B ＝∠C. 求证 △ABE ∽△ECD.【延伸】如图2，已知点E 、F 是线段BC 上两点，AE 与DF 交于点H ，若∠AHD ＝∠B ＝∠C. 求证 △ABE ∽△FCD.【应用】如图3，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，点D 是BC ⌒上一点，连接BD 并延长交AC 的延长线于点E ；连接CD 并延长交AB 的延长线于点F . 猜想B F 、BC 、CE 三线段的关系，并说明理由.图1 图2图326．（8分）已知二次函数y＝(x－m)2－1（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）请根据m的不同取值，探索该函数图象过哪些象限?（直接写出答案）（3）当1≤x≤3时，y的最小值为3，求m的值．27．（9分）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，点D为AB边上一动点，若AD的长度为m，且m的范围为0＜m＜9，在AC与BC边上分别取两点E、F，满足ED ⊥AB，FE⊥ED.（1）求DE的长度；（用含m的代数式表示）（2）求EF的长度；（用含m的代数式表示）（3）请根据m的不同取值，探索过D、E、F三点的圆与△ABC三边交点的个数.2018-2019学年第一学期九年级期末考试数学试卷参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．5或﹣1． 8．丙． 9．3． 10．∠ADE ＝∠B 等． 11．﹣1、3． 12．2． 13．43．14．36． 15．2． 16．①②③． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（本题6分）（1）解：x 2－2x －15＝0（x －5）（x ＋3）＝0 …………………………………………………1分 x －5＝0或x ＋3＝0x 1＝5，x 2＝﹣3…………………………………………………3分（2）解： 2x （x －3）＝6－2 x（x －3）（2x ＋2）＝0…………………………………………………1分 x －3＝0或2x ＋2＝0x 1＝3，x 2＝﹣1…………………………………………………3分18．（本题8分）（1）4、4 …………………………………………………………………4分 （2）1×2＋2×9＋3×13＋4×14＋5×12＝175（分）…………………………6分175÷50×1100＝3850（分）…………………………………………………8分 答：全校成绩总分为3850分 19. （本题8分）（1） 所有可能出现的结果有：（语1，语2）、（语1，数）、（语1，英）、（语2，数）、（语2，英）、（数，英）共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“有英语试卷”（记为事件A ）的结果有3种，所以P (A )＝12．………………… 6分（备注：如果用树状图正确得3分，列出所有结果或在树状图上有结果再得1分，出现它们是等可能再得1分，计算结果再得1分，否则均扣1分） （2）34 . ………………………………………………… 8分20．（本题8分）（1）证明：∵∠ABD ＝∠ACD ，………………………………………………… 1分 又∵∠AEB ＝∠DEC ，………………………………………………… 2分 ∴△AEB ∽△DEC ，………………………………………………… 3分 ∴EB EC ＝EAED. ………………………………………………… 4分（2）证明：∵EB EC ＝EA ED ，∴ EB EA ＝ECED，…………………5分 （备注：如果不转换，均扣1分）又∵∠AED ＝∠BEC ，……………………………………………6分∴△AED ∽△BEC ，………………………………………………7分∴∠DAC ＝∠CBD . …………………………………………… 8分 21（本题8分）（1）解：设矩形一边长为x cm ，由题意得：（10－x ）x ＝16…………………………………………………2分 解得x 1＝2，x 2＝8……………………………………4分 答：矩形的长和宽分别为8cm 和2cm.（3）设矩形一边长为x cm ，由题意得:（10－x ）x ＝30…………………6分 x 2－10x ＋30＝0，a ＝1，b ＝﹣10，c ＝30，则b 2－4ac ＝﹣20＜0……………………………………………7分 ∴此方程无解. ………………………………………………… 8分 答：不能围成一个面积是30㎝2的矩形. （如果两问均没有答，总体扣1分）22.（本题8分） 解：（1）设该二次函数的关系式为y ＝a （x －m ）2＋n ， ∵顶点坐标为（2，﹣1），∴y ＝a （x －2）2－1，………………………1分∵该二次函数过点（1，0），∴0＝a （1－2）2－1. …………………3分 解得a ＝1，…………………………………………………4分 即y ＝（x －2）2－1.（2）x ＜1或x ＞3 …………………………………………………6分（只答一个给1分）0＜x ＜4 …………………………………………………8分 （只答一半比如0＜x 或x ＜4不给分）23.（本题8分） 解：（1）直线CD 与⊙O 相切．理由如下：∵AC 是⊙O 的直径，AB 与⊙O 相切于点A ， ∴AC ⊥AB …………………………………………………1分 ∴∠CAB ＝90º．…………………………………………………2分 ∵在□ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠ACD ＝90º，∴AC ⊥CD ．…………………3分 ∵点C 在⊙O 上，∴直线CD 是⊙O 切线． …………………………………………………4分 （如果不讲点C 在⊙O 上或直线CD 经过半径的外端点C 就扣1分） （2图1图2过点O 作OF ⊥CE ，垂足为F （如图1），则EF ＝CF ＝4 cm ………………………………5分 在Rt △C OF 中，OF ＝OC 2－CF 2＝3 cm ． ……………………………6分由△COF ∽△CBA ，得OF AB ＝CFCA ， …………………………………………………7分∴AB ＝7.5 cm ． …………………………………………………8分 解法二：连接AE （如图2），则AE ⊥BC ．………………………………………5分在Rt △C AE 中，AE ＝AC 2－CE 2＝6 cm ．……………………………6分由△CAE ∽△CBA ，得AE AB ＝CECA ，…………………………………………………7分∴AB ＝7.5 cm ．…………………………………………………8分 （其他方法参照给分） 24．（本题8分)（1）46；…………………………………………………2分 （2）y ＝（100－x －60）（40＋2x ）（或y ＝－2x 2＋40x ＋1600或y ＝－2（x －10）2＋1800）…………………………………………………3分（0≤x≤40）…………………………………………………4分 （3）y ＝（100－x －60）（40＋2x ）＝－2x 2＋40x ＋1600＝－2（x －10）2＋1800………6分 ∵a ＝﹣20＜0，∴当x ＝10时y 有最大值1800元. ………………………………………7分 100－10＝90…………………………………………………8分 答：售价定为90元时，可使每天获得的利润最大1800元. 25 （本题9分） 【认知】证明：∵∠AEC 是△ABE 的外角，∴∠AEC ＝∠A ＋∠B ，又∵∠AEC ＝∠AED ＋∠DEC ，∴∠A ＋∠B ＝∠AED ＋∠DEC ， ∵∠B ＝∠AED ，…………………………………………………1分 ∴∠A ＝∠DEC ，又∵∠B ＝∠C ，∴△ABE ∽△ECD. …………2分 【延伸】证明：∵∠AEC 是△ABE 的外角，∴∠AEC ＝∠A ＋∠B ，………………………………………1分 ∵∠HEC 是△EFH 的外角，∴∠AEC ＝∠HFE ＋∠FHE ，…………………………………2分∴∠A ＋∠B ＝∠HFE ＋∠FHE ，…………………………………………………3分 ∵∠B ＝∠AHD ，∠AHD ＝∠HFE ，∴∠B ＝∠FHE ，∴∠A ＝∠HFE ，………4分 ∵∠B ＝∠C ，∴△ABE ∽△FCD. ………………………………5分 【应用】证明：∵四边形ABDC 是⊙O 的内接四边形，∴∠BDC ＋∠A ＝180°，∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠ACB ＝∠ABC ＝60°，∴∠BDC ＝120°，………………………………6分 ∵∠FDC 是△CDE 的外角，∴∠FDC ＝∠E ＋∠DCE ， ∴∠E ＋∠DCE ＝120°，∵∠ACB ＝∠ABC ＝60°，∴∠CBF ＝∠ECB ＝120°， ∴∠DCB ＋∠DCE ＝120°，∴∠E ＋∠DCE ＝∠DCB ＋∠DCE ， ∴∠E ＝∠DCB ，…………………………………………………7分 又∵∠ACB ＝∠ABC ＝60°，∴△FBC ∽△BCE ，…………………………………………………8分 ∴BC CE ＝FBCB，∴BC 2＝BF ×CE . …………………………………………………9分 26．（本题8分）（1）解：y ＝(x －m )2－1y ＝x 2－2mx ＋m 2－1，令y ＝0，x 2－2mx ＋m 2－1＝0…………………………1分 ∵a ＝1，b ＝－2m ，c ＝m 2－1，∴b 2－4ac ＝4m 2－4（m 2－1）＝4＞0，此方程有两个不相等的实数根，∴该函数图象与x 轴总有两个公共点. …………………………………………2分 （备注：如果没有令y ＝0，即x 2－2mx ＋m 2－1＝0这一步必须扣1分）（2）解：当m ≤﹣1时，图象过一、二、三；……………………………………………3分当﹣1＜m ＜1时，图象过一、二、三、四；…………………………………4分 当m ≥1时，图象过一、二、四. …………………………………………………5分 （3）解：∵a ＝1＞0，图象开口向上，又∵对称轴为直线x ＝m ，∴当m ≤1时，y 随x 增大而增大，当x ＝1时y 有最小值3， 即3＝(1－m )2－1，解得m 1＝﹣1，m 2＝3＞1（舍去）；………………………6分 当1＜m ＜3时，当x ＝m ，时y 有最小值﹣1，y 的最小值为3不可能；………7分 当m ＞3时，y 随x 增大而减小，当x ＝3时y 有最小值3， 即3＝(3－m )2－1，解得m 1＝1＜3（舍去），m 2＝5. ……………………………8分 答：当1≤x ≤3时，y 的最小值为3，m 的值为﹣1或5． 27．（本题9分）（1）解：∵ED ⊥AB ，∴∠EDA ＝90°，∴∠EDA ＝∠C ＝90°，∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，…………………………………………………1分 ∴AD AC ＝DE CB ，∴m 15＝DE 20，∴DE ＝4m3；…………………………………………………2分 （2）解：△ADE ∽△ACB ，∴AD AC ＝AE AB ，∴m 15＝AE 25，∴AE ＝5m3，…………………3分 ∵ED ⊥AB ，FE ⊥ED ∴∠EDA ＝∠DEF ＝90°，∴EF ∥AB ，∴∠A ＝∠CEF ，又∵∠EDA ＝∠C ，△ADE ∽△ECF ， ………………………4分∴AD EC ＝AE EF ，∴m ：（15－5m 3）＝5m 3：EF ，∴EF ＝25－25m 9. …………5分 （3）当ED ：EF=3:4，⊙O 与AC 相切于点E ，4m 3：（25－25m 9）=3:4，m ＝22541，…………………………………………………6分 当ED ：EF=4:3，⊙O 与BC 相切于点F ，4m 3：（25－25m 9）=4:3，m ＝22534，…………………………………………………7分 情况一、当0＜m ＜22541时，⊙O 与△ABC 有六个交点； 情况二、当m ＝22541时，⊙O 与△ABC 有五个交点； 情况三、当22541＜m ＜22534时，⊙O 与△ABC 有六个交点； 情况四、当m ＝22534时，⊙O 与△ABC 有五个交点； 情况五、当22534＜m ＜9时，⊙O 与△ABC 有六个交点……………………………9分 （备注：分类两种情况正确可以给1分，全对给2分）。

2018—2019学年度上学期期末教学质量监测试题九年级数学温馨提示：1．本试题共4页，考试时间120分钟．2．答题前务必将自己的姓名、考号、座位号涂写在答题卡上；选择题答案选出后，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号(ABCD)涂黑，如需改动，请先用橡皮擦拭干净，再改涂其他答案；非选择题，请用0.5毫米的黑色签字笔笔直接答在答题卡上．试卷上作答无效．3．请将名字与考号填写在本卷相应位置上．一、选择题(共12小题，下列各题的四个选项中只有一个正确)1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义求解.【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误；C.既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项正确；D.既不轴对称图形，又不是中心对称图形，故该选项错误.故选C.【点睛】本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的定义. 轴对称图形的关键是找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合，中心对称图形是要找对称中心，旋转180°后两部分能够完全重合.2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )A. x2＋3x＝0 B. y2－2x＋1＝0C. x2－5x＝2D. x2－2＝(x＋1)2【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高指数是2的整式方程,即可进行判定,【详解】A选项,x2＋3x＝0,因为未知数出现在分母上,是分式方程,不符合题意,B选项,y2－2x＋1＝0,因为方程中含有2个未知数,不是一元二次方程,不符合题意,C选项,x2－5x＝2,符合一元二次方程的定义,符合题意,D选项,将方程x2－2＝(x＋1)2整理后可得:-2x-3=0,是一元一次方程,不符合题意,故选C.【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义.3. “明天降水概率是30%”，对此消息下列说法中正确的是（）A. 明天降水的可能性较小B. 明天将有30%的时间降水C. 明天将有30%的地区降水D. 明天肯定不降水【答案】A【解析】【分析】根据概率表示某事情发生的可能性的大小，依此分析选项可得答案．【详解】解：A. 明天降水概率是30%，降水的可能性较小，故选项正确；B. 明天降水概率是30%，并不是有30%的时间降水，故选项错误；C. 明天降水概率是30%，并不是有30%的地区降水，故选项错误；D. 明天降水概率是30%，明天有可能降水，故选项错误．故选：A．【点睛】本题考查概率的意义，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．概率表示随机事件发生的可能性的大小．4. 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）A. 30°B. 45°C. 90°D. 135°【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理求解.【详解】设小方格的边长为1，得，=，=，AC=4，∵OC 2+AO 2=22+=16， AC 2=42=16，∴△AOC 是直角三角形， ∴∠AOC=90°． 故选C ．【点睛】考点：勾股定理逆定理.5. 圆外一点P 到圆上最远的距离是7，最近距离是3，则圆的半径是（ ） A. 4 B. 5C. 2或5D. 2【答案】C 【解析】【分析】分两种情况：点在圆外，直径等于两个距离的差；点在圆内，直径等于两个距离的和． 【详解】解：∵点P 到⊙O 的最近距离为3，最远距离为7，则： 当点在圆外时，则⊙O 的直径为7-3=4，半径是2； 当点在圆内时，则⊙O 直径是7+3=10，半径为5， 故选：C ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意此题的两种情况．从过该点和圆心的直线中，即可找到该点到圆的最小距离和最大距离．6. 关于x 的方程kx 2+2x -1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A. k ＞-1且k≠0 B. k≥-1且k≠0C. k ＞-1D. k ≥-1【答案】D 【解析】【分析】由于k 的取值范围不能确定，故应分0k =和0k ≠两种情况进行解答． 【详解】解：(1)当0k =时，原方程为：210x -=，此时12x =有解，符合题意； (2)当0k ≠时，此时方程式一元二次方程∵关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根， ∴()2242410b ac k =-=--≥即44k ≥- 解得1k ≥-综合上述两种情况可知k 的取值范围是1k ≥- 故选D ．【点睛】本题考查了根的判别式，解答此题时要注意分0k =和0k ≠两种情况进行分类讨论解答． 7. 如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为5，AB=8，则CD 的长是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】【详解】试题分析：已知AB 是⊙O 的弦，半径OC⊥AB 于点D ，由垂径定理可得AD=BD=4，在Rt△ADO 中，由勾股定理可得OD=3，所以CD=OC-OD=5-3=2.故选A. 考点：垂径定理；勾股定理.8. 用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣4=0，下列变形正确的是（ ） A. （x ﹣6）2=﹣4+36 B. （x ﹣6）2=4+36C. （x ﹣3）2=﹣4+9D. （x ﹣3）2=4+9【答案】D 【解析】【分析】配方时，首先将常数项移到方程的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，据此进行求解即可. 【详解】x 2﹣6x ﹣4=0， x 2﹣6x=4， x 2﹣6x+9=4+9，（x ﹣3）2=4+9， 故选D.9. 抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( )A. 23(1)2y x =++ B. 23(1)2y x =+- C. 23(1)2=--y x D. 23(1)2y x =-+【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的图象平移判断即可；【详解】23y x =向右平移1个单位得到()231y x =-，再向下平移2个单位得到()2312x y =--； 故答案选C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像平移，准确分析判断是解题的根据．10. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共50个，除颜色不同外其他完全相同，通过多次摸球实验后，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在26%和44%，则口袋中白色球的个数可能是（ ） A. 20 B. 15C. 10D. 5【答案】B 【解析】【分析】利用频率估计概率得到摸到红色球、黑色球的概率分别为0.26和0.44，则摸到白球的概率为0.3，然后根据概率公式求解．【详解】解：∵多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在0.26和0.44， ∴摸到红色球、黑色球的概率分别为0.26和0.44， ∴摸到白球的概率为1-0.26-0.44=0.3， ∴口袋中白色球的个数可能为0.3×50=15． 故选：B ．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 11.（）A. 2B. 1C. 3D.3 【答案】B 【解析】【分析】根据题意可以求得半径，进而解答即可． 【详解】因为圆内接正三角形的面积为3， 所以圆的半径为23， 所以该圆的内接正六边形的边心距23×sin60°＝23×3＝1， 故选B ．【点睛】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距．12. 如图为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，与x 轴交点为()()3,0,1,0-，则下列说法正确的有（ ）①a ＞0 ②20a b +=③a b c ++＞0 ④当1-＜x ＜3时，y ＞0A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】由开口方向可判断①；由对称轴为直线x=1可判断②；由x=1时y ＞0可判断③；由1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方可判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下∴a ＜0，故①错误； ∵抛物线的对称轴x=2b a-=1 ∴b=-2a ，即2a+b=0，故②正确；由图像可知x=1时，y=a+b+c ＞0，故③正确；由图像可知，当1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方，即y ＞0，故④正确；故选C ．【点睛】本题主要考查图像与二次函数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．二、填空题（共6小题）13. 在平面直角坐标系中，点P(-2，3)关于原点对称点的坐标为________． 【答案】(2，-3) 【解析】【分析】直接利用点关于原点对称点的性质，平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（-x ，-y ），从而可得出答案．得出答案．【详解】解：点P （-2，3），关于原点对称点坐标是：（2，-3）． 故答案为：（2，-3）．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 14. 如图，在⊙O 中，点C 是弧AB 的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 等于_____度．【答案】40． 【解析】【分析】由于点C 是弧AB 的中点，根据等弧对等角可知：∠BOC 是∠BOA 的一半；在等腰△AOB 中，根据三角形内角和定理即可求出∠BOA 的度数，由此得解． 【详解】△OAB 中，OA ＝OB ， ∴∠BOA ＝180°﹣2∠A ＝80°， ∵点C 是弧AB 的中点， ∴AC BC =， ∴∠BOC ＝12∠BOA ＝40°， 故答案为40．【点睛】本题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等是解题的关键. 15. 方程的()()121x x x +-=+解是______.【答案】11x =-，23x = 【解析】【分析】先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可. 【详解】解：()()121x x x +-=+，()()12(1)0x x x +--+=， ()()1210x x +--=，即10x +=或210x --=，解得121,3x x =-=， 故填：121,3x x =-=.【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解决本题时需注意：用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根. 需通过移项，将方程右边化为0.16. 已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm ，则这个扇形的面积为_____cm 2． 【答案】3π 【解析】【分析】根据扇形的面积公式即可求解．【详解】解：扇形的面积＝21203360π⨯＝3πcm 2．故答案是：3π．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题的关键．17. 分别写有-1，0，-3，2.5，4的五张卡片，除数字不同，其它均相同，从中任抽一张，则抽出负数的概率是___ 【答案】25【解析】【分析】根据概率的计算公式直接得到答案．【详解】解：-1，0，-3，2.5，4五张卡片中是负数的有：-1，-3， ∴P （抽出负数）=25，故答案为：25． 【点睛】此题考查概率的计算公式，负数的定义，熟记概率的计算公式是解题的关键． 18. 正方形边长3，若边长增加x ，则面积增加y ，y 与x 的函数关系式为______． 【答案】y=x 2+6x 【解析】【详解】解：22(3)3y x =+-=26x x +，故答案为26y x x =+．三、解答题（共7小题）19. 解方程：x 2－4x －7＝0.【答案】12211211x x ，=+=- 【解析】【详解】x²－4x －7＝0, ∵a=1,b=-4,c=-7, ∴△=(-4)²-4×1×(-7)=44>0, ∴x=--4444211211±±==±（） , ∴12211,211x x =+=-.20. 如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P =50º，求∠BAC 的度数．【答案】25° 【解析】【分析】由PA ，PB 分别为圆O 的切线，根据切线长定理得到PA=PB ，再利用等边对等角得到一对角相等，由顶角∠P 的度数，求出底角∠PAB 的度数，又AC 为圆O 的直径，根据切线的性质得到PA 与AC 垂直，可得出∠PAC 为直角，用∠PAC-∠PAB 即可求出∠BAC 的度数． 【详解】解：∵P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B 点，AC 是⊙O 的直径， ∴∠P AC ＝90°，P A ＝PB ， 又∵∠P ＝50°，∴∠PAB ＝∠PBA ＝180502︒︒-＝65°，∴∠BAC ＝∠P AC ﹣∠P AB ＝90°﹣65°＝25°．【点睛】此题考查了切线的性质，切线长定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．21. 某种商品每件的进价为30元，在某段时向内若以每件x 元出售，可卖出(100-x )件，应如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？【答案】当定价为65元时，才能获得最大利润，最大利润是1225元 【解析】【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价-每件进价．再根据所列二次函数求最大值． 【详解】解：设最大利润为y 元， y=(100－x)(x －30)=－(x －65)2+1225 ∵-1＜0，0＜x ＜100，∴当x=65时，y 有最大值，最大值是1225∴当定价为65元时，才能获得最大利润，最大利润是1225元．【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．22. 一个不透明的袋子中装有大小、质地完全相同的4只小球，小球上分别标有1、2、3、4四个数字． （1）从袋中随机摸出一只小球，求小球上所标数字为奇数的概率；（2）从袋中随机摸出一只小球，再从剩下的小球中随机摸出一只小球，求两次摸出的小球上所标数字之和为5的概率． 【答案】（1）12；（2）13． 【解析】【详解】试题分析：（1）用奇数的个数除以总数即可求出小球上所标数字为奇数的概率；（2）首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次摸出的小球上所标数字之和为5的情况数即可求出其概率．试题解析：（1）∵质地完全相同的4只小球，小球上分别标有1、2、3、4四个数字，∴袋中随机摸出一只小球，求小球上所标数字为奇数的概率=24=12；（2）列表得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球上所标数字之和为5的情况数为4，∴两次摸出的小球上所标数字之和为5的概率=412=13．考点：列表法与树状图法；概率公式．23. 如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,（1）求证：BE＝CF ；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．【答案】（1）证明见解析（22【解析】【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以22BD=BE﹣DE求解．【详解】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，在△ACF和△ABE中，AC ABCAF BAEAF AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACF≌△ABE∴BE=CF.（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴∴BD=BE﹣1．考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．24. 有一条长40m的篱笆如何围成一个面积为275m的矩形场地？能围成一个面积为2101m的矩形场地吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．【答案】能围成一个面积为75m2的矩形场地，矩形场地相邻的两边长度分别为15m和5m．不能围成一个面积为101m2的矩形场地，理由见解析【解析】【分析】设围成的矩形场地一边长为xm，则相邻的另一边长为（20-x）m，根据矩形场地的面积为75m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；不能围成一个面积为101m2的矩形场地，设围成的矩形场地一边长为ym，则相邻的另一边长为（20-y）m，根据矩形长度的面积为101m2，即可得出关于y 的一元二次方程，由根的判别式△=-4＜0，可得出不能围成一个面积为101m2的矩形场地．【详解】解：设围成的矩形场地一边长为xm，则相邻的另一边长为（20-x）m，依题意得：x（20-x）=75，整理得：x2-20x+75=0，解得：x1=5，x2=15，当x=5时，20-x=15；当x=15时，20-x=5．∴能围成一个面积为75m2的矩形场地，矩形场地相邻的两边长度分别为15m和5m．不能围成一个面积为101m2的矩形场地，理由如下：设围成的矩形场地一边长为ym，则相邻的另一边长为（20-y）m，依题意得：y（20-y）=101，整理得：y2-20y+101=0，∵△=（-20）2-4×1×101=-4＜0，∴不能围成一个面积为101m2的矩形场地．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB=5，CD=4，求BE的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【详解】分析：（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB=OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODC 为直角，即可得证；（2）过O作OM垂直于BE，可得出四边形ODCM为矩形，在直角三角形OBM中，利用勾股定理求出BM的长，由垂径定理可得BE=2BM．详解：（1）连接OD．∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB．∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠OBD=∠CBD．∵∠CBD=∠ODB，∴OD∥BC．∵∠C=90º，∴∠ODC=90º，∴OD⊥AC．∵点D在⊙O上，∴AC是⊙O的切线．（2）过圆心O作OM⊥BC交BC于M．∵BE为⊙O的弦，且OM⊥BE，∴BM=EM，∵∠ODC=∠C=∠OMC= 90°，∴四边形ODCM为矩形，则OM=DC=4．∵OB=5，∴BM =22-=3=EM，54∴BE=BM+EM=6．点睛：本题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解答本题的关键．26. 已知，二次函数y=x2+bx+c 的图象经过A(-2，0)和B(0，4)．（1）求二次函数解析式；（2）求AOB S；（3）求对称轴方程；（4）在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2+4x+4；（2）4；（3）x=-2；（4）存在，(﹣2，4)或(﹣2，﹣4)【解析】【分析】（1）由待定系数法，把点A、B代入解析式，即可求出答案；（2）由题意，求出OA=2，OB=4，即可求出答案；（3）由2bxa=-，即可求出答案； （4）由题意，可分为两种情况进行讨论：①当点P 在点A 的上方时；②当点P 在点A 的下方时；分别求出点P 的坐标，即可得到答案．【详解】解：（1）∵y=x 2+bx+c 的图象经过A （－2，0）和B （0，4）∴42b 04c c +=⎧⎨=⎩－ 解得：b 44c =⎧⎨=⎩；∴二次函数解析式为：y=x 2+4x+4； （2）∵A （﹣2，0），B （0，4）， ∴OA=2，OB=4， ∴S △AOB =12OA•OB=12×2×4=4； （3）对称轴方程为直线为：4221x =-=-⨯； （4）∵以P ，A ，O ，B 为顶点的四边形为平行四边形， ∴AP=OB=4，当点P 在点A 的上方时，点P 的坐标为（﹣2，4）， 当点P 在点A 的下方时，点P 的坐标为（﹣2，﹣4），综上所述，点P 的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣4）时，以P ，A ，O ，B 为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题。

2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．方程x2＝x的解是（）A．x1＝3，x2＝﹣3B．x1＝1，x2＝0C．x1＝1，x2＝﹣1D．x1＝3，x2＝﹣12．关于x的一元二次方程x2+8x+q＝0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（）A．q＜16B．q＞16C．q≤4D．q≥43．抛物线y＝（x+2）2﹣2的顶点坐标是（）A．（2，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（﹣2，﹣2）4．将抛物找y＝2x2向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物找解析式为（）A．y＝2（x﹣4）2+1B．y＝2（x﹣4）2﹣1C．y＝2（x+4）2+1D．y＝2（x+4）2﹣15．下列图形：（1）等边三角形，（2）矩形，（3）平行四边形，（4）菱形，是中心对称图形的有（）个A．4B．3C．2D．16．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠P＝66°，则∠C＝（）A．57°B．60°C．63°D．66°7．下列事件中，是随机事件的是（）A．任意画一个三角形，其内角和为180°B．经过有交通信号的路口，遇到红灯C．太阳从东方升起D．任意一个五边形的外角和等于540°8．如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是（）A．B．C．D．9．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝（）A．3B．4C．5D．610．如图，AB⊥OB，AB＝2，OB＝4，把∠ABO绕点O顺时针旋转60°得∠CDO，则AB扫过的面积（图中阴影部分）为（）A．2B．2πC．D．π二、填空题（每小题3分，共15分)11．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0有一个根为0，则另一个根为．12．抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴两个交点之间的距离为．13．在半径为40cm的⊙O中，弦AB＝40cm，则点O到AB的距离为cm．14．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形，点D恰好在双曲线上，则k值为．15．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB＝6，则△AEC的面积为．四、解答题(8个小题，共75分)16．（8分）已知，如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于E．求证：DE⊥AE．17．（8分）如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽．18．（9分）“五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．（1）该顾客至多可得到元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率．19．（9分）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．20．（10分）如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O 于点D，（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求CD的长．21．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B （﹣3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S．△ABC22．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，O是AB的中点，AC＝6，∠MON＝90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别交边AC于点D，交边BC于点E（D、E不与A、B、C重合）（1）判断△ODE的形状，并说明理由；（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积是否发生变化？若不改变，直接写出这个值，若改变，请说明理由；（3）如图2，DE的中点为G，CG的延长线交AB于F，请直接写出四边形CDFE的面积S的取值范围．23．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是直线CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）求PE的长最大时m的值．（3）Q是平面直角坐标系内一点，在（2）的情况下，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．方程x2＝x的解是（）A．x1＝3，x2＝﹣3B．x1＝1，x2＝0C．x1＝1，x2＝﹣1D．x1＝3，x2＝﹣1【分析】方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程变形得：x2﹣x＝0，分解因式得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝1，x2＝0．故选：B．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．关于x的一元二次方程x2+8x+q＝0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（）A．q＜16B．q＞16C．q≤4D．q≥4【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝64﹣4q＞0，解之即可得出q 的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+8x+q＝0有两个不相等的实数根，∴△＝82﹣4q＝64﹣4q＞0，解得：q＜16．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．3．抛物线y＝（x+2）2﹣2的顶点坐标是（）A．（2，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（﹣2，﹣2）【分析】根据二次函数的顶点式方程可地直接写出其顶点坐标．【解答】解：∵抛物线为y＝（x+2）2﹣2，∴顶点坐标为（﹣2，﹣2），故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标的求法，掌握二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k是解题的关键．4．将抛物找y＝2x2向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物找解析式为（）A．y＝2（x﹣4）2+1B．y＝2（x﹣4）2﹣1C．y＝2（x+4）2+1D．y＝2（x+4）2﹣1【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物找y＝2x2向左平移4个单位所得直线解析式为：y＝2（x+4）2；再向下平移1个单位为：y＝2（x+4）2﹣1．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．5．下列图形：（1）等边三角形，（2）矩形，（3）平行四边形，（4）菱形，是中心对称图形的有（）个A．4B．3C．2D．1【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．【解答】解：矩形，平行四边形，菱形是中心对称图形，等边三角形不是中心对称图形，故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，判断中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠P＝66°，则∠C＝（）A．57°B．60°C．63°D．66°【分析】连接OA，OB，根据切线的性质定理得到∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，根据四边形的内角和等于360°求出∠AOB，根据圆周角定理解答．【解答】解：连接OA，OB，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣66°＝114°，由圆周角定理得，∠C＝∠AOB＝57°，故选：A．【点评】本题考查的是切线的性质，圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．7．下列事件中，是随机事件的是（）A．任意画一个三角形，其内角和为180°B．经过有交通信号的路口，遇到红灯C．太阳从东方升起D．任意一个五边形的外角和等于540°【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和为180°是必然事件；B、经过有交通信号的路口，遇到红灯是随机事件；C、太阳从东方升起是必然事件；D、任意一个五边形的外角和等于540°是不可能事件；故选：B．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．8．如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可．【解答】解：黑色区域的面积＝3×3﹣×3×1﹣×2×2﹣×3×1＝4，所以击中黑色区域的概率＝＝．故选：C．【点评】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．9．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝（）A．3B．4C．5D．6【分析】欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y＝的系数k，由此即可求出S1+S2．【解答】解：∵点A、B是双曲线y＝上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|＝4，∴S1+S2＝4+4﹣1×2＝6．故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度．10．如图，AB⊥OB，AB＝2，OB＝4，把∠ABO绕点O顺时针旋转60°得∠CDO，则AB扫过的面积（图中阴影部分）为（）A．2B．2πC．D．π【分析】根据勾股定理得到AC，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵∠AB⊥OB，AB＝2，OB＝4，∴OA＝2，∴边AB扫过的面积＝﹣＝π，故选：C．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分)11．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0有一个根为0，则另一个根为．【分析】先把x＝2代入方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0得到满足条件的m的值为﹣2，此时方程化为4x2﹣3x＝0，设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到0+t＝，然后求出t即可．【解答】解：把x＝2代入方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0得方程m2﹣4＝0，解得m1＝2，m2＝﹣2，而m﹣2≠0，所以m＝﹣2，此时方程化为4x2﹣3x＝0，设方程的另一个根为t，则0+t＝，解得t＝，所以方程的另一个根为．故答案为．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．12．抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴两个交点之间的距离为2．【分析】令y＝0，可以求得相应的x的值，从而可以求得抛物线与x轴的交点坐标，进而求得抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴两个交点之间的距离．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣3）（x﹣1），∴当y＝0时，0＝（x﹣3）（x﹣1），解得，x1＝3，x2＝1，∵3﹣1＝2，∴抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴两个交点之间的距离为2，故答案为：2．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．13．在半径为40cm的⊙O中，弦AB＝40cm，则点O到AB的距离为20cm．【分析】作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理计算即可．【解答】解：作OC⊥AB于C，连接OA，则AC＝AB＝20，在Rt△OAC中，OC＝＝20（cm）故答案为：20．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形，点D恰好在双曲线上，则k值为4．【分析】作DE⊥x轴于点E，易证△OAB≌△EDA，求得A、B的坐标，根据全等三角形的性质可以求得D的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，即可求解．【解答】解：作DE⊥x轴于点E．在y＝﹣3x+3中，令x＝0，解得：y＝3，即B的坐标是（0，3）．令y＝0，解得：x＝1，即A的坐标是（1，0）．则OB＝3，OA＝1．∵∠BAD＝90°，∴∠BAO+∠DAE＝90°，又∵Rt△ABO中，∠BAO+∠OBA＝90°，∴∠DAE＝∠OBA，在△OAB和△EDA中，∵，∴△OAB≌△EDA（AAS），∴AE＝OB＝3，DE＝OA＝1，故D的坐标是（4，1），代入y＝得：k＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得D的坐标是关键．15．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB＝6，则△AEC的面积为4．【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD 中，∠ACD＝30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC＝∠ECA，利用等角对等边得到AE＝CE，设AE＝CE＝x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．【解答】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD＝AC′＝AC，∴在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，即∠DAC＝60°，∴∠DAD′＝60°，∴∠DAE＝30°，∴∠EAC＝∠ACD＝30°，∴AE＝CE，在Rt△ADE中，设AE＝EC＝x，则有DE＝DC﹣EC＝AB﹣EC＝6﹣x，AD＝×6＝2，根据勾股定理得：x2＝（6﹣x）2+（2）2，解得：x＝4，∴EC＝4，＝EC•AD＝4．则S△AEC故答案为：4．【点评】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的运用，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．四、解答题(8个小题，共75分)16．（8分）已知，如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于E．求证：DE⊥AE．【分析】由切线的性质可知∠ODE＝90°，纵坐标OD∥AE即可解决问题；【解答】证明：连接OD．∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠DAB，∴∠CAB＝∠ADO，∴OD∥AE，∴∠E+∠ODE＝180°，∴∠E＝90°，∴DE⊥AE．【点评】本题考查切线的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（8分）如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽．【分析】如果设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16﹣2x），（9﹣x）；那么根据题意即可得出方程．【解答】解：设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16﹣2x），（9﹣x）．根据题意即可得出方程为：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，解得x1＝1，x2＝16．∵16＞9，∴x＝16不符合题意，舍去，∴x＝1．答：小路的宽为1m．【点评】本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．18．（9分）“五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．（1）该顾客至多可得到70元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率．【分析】（1）由题意可得该顾客至多可得到购物券：50+20＝70（元）；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客所获得购物券的金额不低于50元的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）则该顾客至多可得到购物券：50+20＝70（元）；故答案为：70；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，该顾客所获得购物券的金额不低于50元的有6种情况，∴该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率为：＝．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．（9分）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．【分析】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润＝（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围．（2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y＝m（x﹣30），又∵m＝162﹣3x，∴y＝（x﹣30）（162﹣3x），即y＝﹣3x2+252x﹣4860，∵x﹣30≥0，∴x≥30．又∵m≥0，∴162﹣3x≥0，即x≤54．∴30≤x≤54．∴所求关系式为y＝﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）．（2）由（1）得y＝﹣3x2+252x﹣4860＝﹣3（x﹣42）2+432，所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．∵500＞432，∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润＝（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法．20．（10分）如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O 于点D，（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求CD的长．【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠BCD，根据圆周角定理，等腰三角形的定义证明；（2）作AE⊥CD于E，根据等腰直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出AE、CE，DE，结合图形计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，由圆周角定理得，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，∴∠AOD＝∠BOD，∴DA＝DB，即△ABD是等腰三角形；（2）解：作AE⊥CD于E，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB＝5，∵AE⊥CD，∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝AC＝3，在Rt△AED中，DE＝＝4，∴CD＝CE+DE＝3+4＝7．【点评】本题考查的是圆周角定理，勾股定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．21．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B （﹣3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S．△ABC【分析】（1）由一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点，首先求得反比例函数的解析式，则可求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）根据图象，观察即可求得答案；（3）因为以BC为底，则BC边上的高为3+2＝5，所以利用三角形面积的求解方法即可求得答案．【解答】解：（1）∵点A（2，3）在y＝的图象上，∴m＝6，∴反比例函数的解析式为：y＝，∵B（﹣3，n）在反比例函数图象上，∴n＝＝﹣2，∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y＝kx+b上，∴，解得：，∴一次函数的解析式为：y＝x+1；（2）﹣3＜x＜0或x＞2；（3）以BC为底，则BC边上的高AE为3+2＝5，＝×2×5＝5．∴S△ABC【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．注意待定系数法的应用是解题的关键．22．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，O是AB的中点，AC＝6，∠MON＝90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别交边AC于点D，交边BC于点E（D、E不与A、B、C重合）（1）判断△ODE的形状，并说明理由；（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积是否发生变化？若不改变，直接写出这个值，若改变，请说明理由；（3）如图2，DE的中点为G，CG的延长线交AB于F，请直接写出四边形CDFE的面积S的取值范围．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，OC平分∠ACB，求得∠AOD＝∠COE，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到四边形CDOE的面积＝△AOC的面积，根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）当四边形CDFE是正方形时，其面积最大，根据正方形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）△ODE是等腰直角三角形，理由：连接OC，在等腰Rt△ABC中，∵O是AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，∴∠OCE＝45°，OC＝OA＝OB，∠COA＝90°，∵∠DOE＝90°，∴∠AOD＝∠COE，在△AOD与△COE中，，∴△AOD≌△COE，（ASA），∴OD＝OE，∴△ODE是等腰直角三角形；（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积不发生变化，∵△AOD≌△COE，∴四边形CDOE的面积＝△AOC的面积，∵AC＝6，∴AB＝6，∴AO＝OC＝AB＝3，∴四边形CDOE的面积＝△AOC的面积＝×3×3＝9；（3）当四边形CDFE是正方形时，其面积最大，四边形CDFE面积的最大值＝9，故四边形CDFE的面积S的取值范围为：0＜S≤9．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，连接OC构造全等三角形是解题的关键．23．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是直线CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）求PE的长最大时m的值．（3）Q是平面直角坐标系内一点，在（2）的情况下，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点C，D的坐标，进而可得出0＜m＜4，由点P的横坐标为m可得出点P，E的坐标，进而可得出PE＝﹣m2+m+2，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）分PE为对角线、PC为对角线、CD为对角线三种情况考虑，由平行四边形的性质（对角线互相平分）结合点P，C，D的坐标可求出点Q的坐标，此题得解．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5．（2）∵直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D，∴点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（4，0），∴0＜m＜4．∵点P的横坐标为m，∴点P的坐标为（m，﹣m2+4m+5），点E的坐标为（m，﹣m+3），∴PE＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+．∵﹣1＜0，0＜＜4，∴当m＝时，PE最长．（3）由（2）可知，点P的坐标为（，）．以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形分三种情况（如图所示）：①以PD为对角线，∵点P的坐标为（，），点D的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），∴点Q的坐标为（+4﹣0，+0﹣3），即（，）；②以PC为对角线，∵点P的坐标为（，），点D的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），∴点Q的坐标为（+0﹣4，+3﹣0），即（﹣，）；③以CD为对角线，∵点P的坐标为（，），点D的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），∴点Q的坐标为（0+4﹣，3+0﹣），即（，﹣）．综上所述：在（2）的情况下，存在以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（，）、（﹣，）或（，﹣）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数的性质解决最值问题；（3）分PE为对角线、PC为对角线、CD为对角线三种情况，利用平行四边形的性质求出点Q的坐标．。

1． 2． 3． 鼓楼区九年级数学、选择题（本大题共 6小题，每小题 2分，共 12 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有 一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相．应．位．置．上） 若关于 x 的方程 （ m － 1）x2＋ mx － 1＝ 0是一元二次方程，则 A ．m ≠1 B ．m ＝1 C ．m ≠0 已知△ ABC ，以 AB 为直径作⊙ O ，∠C ＝88°，则点 C 在 A ．⊙O 上B ．⊙O 外C ．⊙O 内 要得到函数 y ＝2（x －1）2＋3 的图像，可以将函数 y ＝ 2x 2的图像m 的取值范围是 m ≥1 D ． D ． A ． 向左平移 1 个单位长度， 再向上平移 3 个单位长度 B 向左平 1 个单位长再向下平移 3个单位长度 C ． 向右平移 1 个单位长度， 再向上平移 3个单位长度 D ． 向右平移 1 个单位长度， 再向下平移 3 个单位长度 如图， OA 、OB 是⊙ O 的半径， C 是⊙ O 上一点．若∠ OAC ＝16°， 4． ∠ OBC ＝54°，则∠ AOB 的大小是 A ．70° B ．72° C ．74° 无法确定 D ． 5．下图是甲、乙两人 2019年上半年每月电费支出的统计，则 他们 2019 年上半年月电费支出的方差 D ．无法确定C ． s 甲2< s乙222A ．s 甲>s 乙22B ．s 甲＝s乙s 甲2和 s 乙2的大小关系是6．已知关于 x 的函数 A ．m ≥1 y ＝x 2＋2mx ＋1，B ．m ≤1若 x>1 时， y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是 C ． m ≥－ 1D ．m ≤－1二、填空题（本大题共 10小题，每小题 2分，共 20 分．不需写出解答过程，请把答案直接填 写在答．题．卡．相．应．位．置．上）07．数据 2，3，5，5，4 的众数是 ▲ ．08．二次函数 y ＝x 2－4x+5 图像的顶点坐标为 ▲ ．09．若扇形的半径长为 3，圆心角为 60°，则该扇形的弧长为 ▲ ．10．某企业 2017 年全年收入 720 万元， 2019 年全年收入 845 万元，若设该企业全年收入的 年平均增长率为 x ，则可列方程 ▲ ．11．若 x 1，x 2是一元二次方程 2x 2＋x －3＝0的两个实数根，则 x 1＋x 2＝ ▲ ． 12．一个不透明的袋中原装有 2 个白球和 1个红球，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红 球的概率为 23，则袋中应再添加红球 ▲ 个（以上球除颜色外其他都相同） ．3 13．如图，二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点 A （ 3， 0），对称轴为直线 x ＝ 1，则方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝ 0的根为 ▲ ．14．如图， A ⌒B 、C ⌒D 、 E ⌒F 所在的圆的半径分别为 r 1、r 2、r 3，则 r 1、r 2、r 3的大小关系是15．如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O ，AD ∥BC ，直线 EF 是⊙O 的切线， B 是切点．若∠ C ＝ 80°，∠ADB ＝54°，则∠ CBF ＝ ▲ °．16．已知三点 A （0，0），B （5，12），C （14，0），则△ ABC 内心的坐标为 ▲ ． 三、解答题（本大题共 11小题，共 88 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）解下列一元二次方程．（1）x 2＋x －6＝0；18．（6 分）二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 中的 x ， y 满足下表x－10 1 3y31不求关系式，仅观察上表，直接写出该函数三条不同类型的性质： （1） ▲ ； （2） ▲ ； （3）▲．19．（8 分）学校为了解九年级学生对“八礼四仪”的掌握情况，对该年级的 500 名2）2（x －1）2－8＝0．▲ ．（用“<”连接） 第 14题） D第 15题）同学进行数学试卷第 2 页（共13 页）问卷测试，并随机抽取了 10 名同学的问卷，统计成绩如下：（ 1）计算这 10 名同学这次测试的平均得分；（ 2）如果得分不少于 9 分的定义为“优秀” ，估计这 500 名学生对“八礼四仪”掌握情况优秀的人数；（3）小明所在班级共有 40人，他们全部参加了这次测试，平均分为 7.8 分．小明的测试成绩是 8 分，小明说，我的测试成绩在班级中等偏上，你同意他的观点吗？为什么？20．（ 8 分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，求两辆车经过这个十字路口时，下列事件的概率：（1）两辆车中恰有一辆车向左转；（2）两辆车行驶方向相同．21．（8分）如图， BD 是⊙ O的直径．弦 AC 垂直平分 OD ，垂足为 E．1）求∠ DAC 的度数；2）若 AC＝6，求 BE 的长．22．（8分）已知二次函数 y ＝ x 2－ 2x ＋ m （ m 为常数）的图像与 x 轴相交于 A 、B 两点． （ 1）求 m 的取值范围；（2）若点 A 、B 位于原点的两侧，求 m 的取值范围．23．（8 分）用铁片制作的圆锥形容器盖如图所示．（1）我们知道：把平面内线段 OP 绕着端点 O 旋转1 周，端点 P 运动所形成的图形叫做圆． 类比圆的定义，给圆锥下定义 ▲ 2）已知 OB ＝2cm ，SB ＝3cm ， ①计算容器盖铁皮的面积；②在一张矩形铁片上剪下一个扇形，用它围成该圆锥形容器盖．以下是可供选用的矩形铁片的长和宽，其中可以选择且面积最小的矩形铁片是 ▲24．（ 8 分）某果园有 100 棵橙子树，平均每棵结 600 个橙子．现准备多种一些橙子树以提高 果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就要减少．根据经验 估计，每增种 1 棵树，平均每棵树就少结 5 个橙子．设果园增种 x 棵橙子树，果园橙子的总产 量为 y 个． （1）求 y 与 x 之间的关系式；（2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在 60400 个以上？A ．6cm ×4cmB ．6cm ×4.5 cmC ．7cm ×4cmD ．7 cm × 4.5 cm 第 23 题）25．（8分）（1）如图，已知 AB、CD是大圆⊙ O的弦， AB＝CD，M是AB的中点．连接 OM，以 O 为圆心， OM 为半径作小圆⊙ O ．判断 CD 与小圆⊙ O 的位置关系，并说明理由；2）已知⊙ O，线段 MN，P是⊙ O外一点．求作射线 PQ，使 PQ被⊙ O截得的弦长等于 MN．不写作法，但保留作图痕迹）B26．（10分）已知函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c为常数）的图像经过点 A（－1，0）、B （0，2）．（ 1） b＝▲ （用含有 a 的代数式表示）， c＝▲ ；（2）点 O是坐标原点，点 C是该函数图像的顶点，若△ AOC的面积为 1，则 a＝▲ ；（3）若 x>1时， y< 5．结合图像，直接写出 a 的取值范围．27．（10 分）现代城市绿化带在不断扩大，绿化用水的节约是一个非常重要的问题．如图 1、图 2 所示，某喷灌设备由一根高度为 0.64 m 的水管和一个旋转喷头组成，水管竖 直安装在绿化带地面上，旋转喷头安装在水管顶部（水管顶部和旋转喷头口之间的长度、水管 在喷灌区域上的占地面积均忽略不计） ，旋转喷头可以向周围喷出多种抛物线形水柱，从而在 绿化带上喷灌出一块圆形区域． 现测得喷的最远的水柱在距离水管的水平距离 3 m 处达到最高， 高度为 1m ．（1）求喷灌出的圆形区域的半径；（2）在边长为 16 m 的正方形绿化带上固定安装三个该设备，喷灌区域可以完全覆盖该绿化带 吗？如果可以， 请说明理由； 如果不可以， 假设水管可以上下调整高度， 求水管高度为多少时， 喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带． （以上需要画出示意图，并有必要的计算、推理过程）图1示意图2鼓楼区 2019-2020 学年度第一学期期末调研测试卷九年级数学参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标7．5 8．（ 2，1） 9．π 10．720（1＋x ）2＝845 11．－ 12 12．313．x 1＝－1，x 2＝3 14．r 2<r 1<r 315．4616．（ 6，4）三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分．） 17．（本题 6 分） （1）解： x 2＋x － 6＝0（ x －2）（ x ＋ 3）＝0 ..................................... 1 分 x －2＝0 或 x ＋3＝0x 1＝2，x 2＝－3． ............................................. 3 分（2）2（x －1）2－ 8＝0（x － 1）2＝ 4x －1＝± 2 ................................................... 1 分 x 1＝－ 1， x 2＝ 3． ........................................... 3 分 18．（本题 6 分）本题答案不惟一，每条性质 2 分，例如：（1）该函数图像是抛物线，开口向下； （2）该函数图像关于直线 x ＝1 对称； （3）当 x<1时，y 随 x 的增大而增大；当 x>1时，y 随x 的增大而减小； （ 4）函数图像的顶点坐标为（ 1， 1）； （5）当 x ＝1时， y 有最大值 1． 19．（本题 8 分）10×3＋9×3＋8× 2＋7×1＋6×13＋3＋2＋1＋1答：这 10 名同学在这次测试中的平均得分是 8.6分．（2） ＝0.6，500× 0.6＝300（人）3＋3＋2＋1＋11） ＝8.6（分）........................ 3 分 、填空题 （本大题共 10小题，每小题 2 分，共 20分．）答：估计这 500 名学生对“八礼四仪”掌握情况优秀的人数约为 300人． . 5 分（3）不同意小明的观点，成绩中等偏上，指小明成绩超过了班级一半以上的同学，也就是说他的成绩应超过了中位数．小明的成绩超过了平均数，未必能超过中位数．................................................................... 8 分20．（本题 8 分）解：两辆车分别记为车 1 和车 2，可以用下表列举出所有等可能的结果．车1 车2车1左转直行右转左转（左，左）（直，左）（右，左）直行（左，直）（直，直）（右，直）右转（左，右）（直，右）（右，右）可以看出，两辆车经过这个十字路口时，可能出现的结果有 9 种，并且它们出现的可能性相等．................................................................... 4 分（1）两辆车中恰有一辆车向左转（记为事件 A）的结果有 4 种，即（直，左）、（右，左）、（左，4直）、（左，右），所以 P （A）＝49．................................................................... 6 分（2）两辆车行驶方向相同（记为事件B）的结果有 3种，即（直，直）、（左，左）、（右，右），31所以 P （B）＝39＝31．.............................................. 8 分21．（8 分）（ 1）连接 OA．∵ AC 垂直平分 OD ，∴ AO＝ AD ．又 OA＝ OD，∴ △OAD 是等边三角形．........................................... 2 分∴ ∠DAO＝ 60°．AC⊥ OD，AO＝AD，14分∠DAC＝∠ OAC＝× 60°＝ 30°．22) ∵ OD ⊥AC，AC＝6，1∴ AE＝2AC＝ 3．∵ AC 垂直平分 OD ，垂足为 E ，1∴ ∠ AEO ＝90°， OE＝2OD．第211∴ OE＝2OA．设 OE＝x，则 OA＝OB＝ 2x．在 Rt△AEO 中， AE2＋EO2＝AO2，即： 32＋x2＝（2x）2．............ 6分解得， x ＝ 3 ．∴ BE＝OE＋OB＝x＋2x＝3x＝3 3．............. 8 分22．（ 8 分）答案不惟一，例如：（1）解：令 y＝0，得 x2－2x＋m＝0． ................................. 1 分∵ 图像与 x 轴相交于点 A、 B，∴ 方程 x2－2x＋m＝ 0 有两个不相等的实数根．∴ b2－ 4ac＝ 4－ 4m> 0． .......................................... 2 分解得 m<1．......................................................... 4 分（2）本小题如学生结合函数图像、平移等解释正确也可得分．设 A（x1 ，0）、B（x2 ，0），则 x1、x2 是方程 x2－2x＋ m＝0 的两个实数根．∵ 点 A、B 位于原点的两侧，∴ x1?x2< 0． .......................... 6 分∴ m< 0．由（ 1）m< 1，∴ m< 0．........................................... 8 分23．（本题 8 分）答案不惟一，例如：解：（1）空间中，把直角三角形 SOB绕着直角边 SO旋转 1周，另外两边 SB、OB 旋转而成的面所围成的几何体叫做圆锥． 3 分（2）① S＝πrl ＝π×2×3＝ 6π．............................ 5 分②B．...................................................... 8 分24．（ 8 分）（1）y＝（100＋x）（600－5x）＝－5x2＋100x＋60000 .... 3 分注：不化简不扣分．（2）令 y＝ 60 400，解得 x1＝10－2 5，x2＝10＋2 5． ....................... 5 分y＝－ 5x2＋100x＋60 000＝－ 5（x－ 10）2＋ 60 500．该函数图像关于直线 x＝10对称，当 x<10时，y随 x的增大而增大；当 x>10时，y随x的增大而减小；所以当 10－2 5<x<10＋2 5时， y> 60 500．.................................................................... 7 分增种的棵树为 6、7、8、9、10、11、12、13、14时，可以使橙子的总产量在 60 400个以上．.................................................................... 8 分注：说理部分如果有草图，并结合图像说理正确，算对．25．（本题 8 分）（1）解： CD 与小圆⊙ O 相切，理由如下： 如图，连接 OA 、 OB ．在△ OAB 中， OA ＝OB ，M 是 AB 的中点， ∴ OM ⊥ AB ．∴ ∠ OMB ＝90°． .............. 过O 作 OG ⊥CD ，垂足为 G ．1∴ ∠OGD ＝90°，DG ＝2CD ． 1∵ AB ＝CD ，BM ＝2AB ，∴ BM ＝DG ． ........................................................ 3 分 连接 OD ， 又 OB ＝ OD ， ∴ Rt △OMB ≌Rt △ OGD ．∴ OG ＝OM ，即 OG 是小圆⊙ O 的半径．这样， CD 经过小圆⊙ O 的半径 OG 外端点 G ，并且垂直于半径 OG ，CD 与小圆⊙ O 相切． ........................................... 5 分 2）如图所示，射线 PQ 即为所求作． ................................ 8 分 26．（本题 10 分）（1）b ＝a ＋2；c ＝2． ............................................... 2 分（2）a ＝－2或 6－4 2或 6＋4 2． ................................... 6 分 （注：其中， a ＝－2占 4分中的 2分，其余一个 1分）（3）a ＜－8＋2 15． ............................................... 10 分 27．（本题 10 分）（1）根据题意，以水管在地面安装处为坐标原点，以该处和喷的最远的水柱落地处所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系， 则喷的最远的水柱所在的抛物线顶点为 （3，1），过（ 0，0.64）．2分B代入（ 65， 0），解得， a ＝ 49－ 665250.64＋ 49－ 6 652565－ 6 65 2510 分答：水管高度为 65－ 6时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带．................................................................... 1 分 可设该抛物线对应的函数表达式是 y ＝a （x －3） 2＋1，代入（ 0，0.64），所以 y ＝－ 215 （x －3） 2＋1． ....................................... 3 分 令y ＝0，解得 x 1＝－ 2（舍）， x 2＝ 8． ............................. 4 . 分4分 所以，喷灌出的圆形区域的半径为 8m ．（2）在边长为 16m 的正方形绿化带上按如图的位置固定安装三个该设备，................................................................... 6 分 如图 1，喷灌出的圆形区域的半径的最小值是 3810，8< 83 10，这样安装不能完全覆盖；如图 2，喷灌出的圆形区域的半径的最小值是 65， 8< 65，这样安装也不能完全覆盖；65< 38 10，如果喷灌区域可以完全覆盖该绿化带．则一个设备喷灌出的圆形区域的半径的最 小值应为 65 m ． ............................................ 8 分 设水管向上调整 am ，则调整后喷的最远的水柱所在的抛物线函数表达式是 y ＝－ 1 （x －3） 2＋ 1＋ a ．25解得， a ＝－125图 1）（说明：正确画出两个图形 2分，每个图形各 1分；求出83 10、 65并进行正确判断2分，如未作出正确判断只得 1分；求出49－26565得1分，求出65－26565得2分．）。

2018—2019学年九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）方程x2=3x的解为（）A．x=3 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=0，x2=32．（3分）下面左侧几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．（3分）如果=2，则的值是（）A．3 B．﹣3 C．D．4．（3分）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有20个，黑球有n个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（）A．20 B．30 C．40 D．505．（3分）关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣36．（3分）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入300美元，预计2018年人均年收入将达到950美元，设2016年到2018年该地区居民人均年收入平均增长率为x，可列方程为（）A．300（1+x%）2=950 B．300（1+x2）=950 C．300（1+2x）=950 D．300（1+x）2=950 7．（3分）今年，某公司推出一款的新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买新手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款2000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（）A．y=+2000 B．y=﹣2000 C．y=D．y=8．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=38°，则∠E的值是（）A．19°B．18°C．20°D．21°9．（3分）下列说法正确的是（）A．二次函数y=（x+1）2﹣3的顶点坐标是（1，3）B．将二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到二次函数y=（x+2）2的图象C．菱形的对角线互相垂直且相等D．平面内，两条平行线间的距离处处相等10．（3分）如图，一路灯B距地面高BA=7m，身高1.4m的小红从路灯下的点D出发，沿A→H 的方向行走至点G，若AD=6m，DG=4m，则小红在点G处的影长相对于点D处的影长变化是（）A．变长1m B．变长1.2m C．变长1.5m D．变长1.8m11．（3分）一次函数y=ax+c的图象如图所示，则二次函数y=ax2+x+c的图象可能大致是（）A．B．C．D．12．（3分）如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（）A．①③B．②③C．②③④D．②④二、填空题（本题共有4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）有三张外观完全相同的卡片，在卡片的正面分别标上数字﹣1，0，﹣2，将正面朝下放在桌面上．现随机翻开一张卡片，则卡片上的数字为负数的概率为．14．（3分）二次函数y=﹣（x﹣1）（x+2）的对称轴方程是．15．（3分）如图，点A在曲线y=（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，OA的垂直平分线交OB、OA于点C、D，当AB=1时，△ABC的周长为．16．（3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是OB上一点，且OB=3OE，连接AE，过点D作DG⊥AE于点F，交AB边于点G，连接GE，若AD=6，则GE的长是．三、解答题（本大题共7小题，共52分）17．（5分）计算：（﹣1）2018﹣（）﹣1+2×（）0+．18．（5分）x2﹣8x+12=0．19．（8分）在不透明的布袋中装有1个红球，2个白球，它们除颜色外其余完全相同．（1）从袋中任意摸出两个球，试用树状图或表格列出所有等可能的结果，并求摸出的球恰好是两个白球的概率；（2）若在布袋中再添加a个白球，充分搅匀，从中摸出一个球，使摸到红球的概率为，试求a的值．20．（8分）如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠ABC=60，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长．21．（8分）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：（1）填空：每天可售出书本（用含x的代数式表示）；（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？22．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，▱OABC的一个顶点与坐标原点重合，OA边落在x轴上，且OA=4，OC=2，∠COA=45°．反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过点C，与AB交于点D，连接AC，CD．（1）试求反比例函数的解析式；（2）求证：CD平分∠ACB；（3）如图2，连接OD，在反比例的函数图象上是否存在一点P，使得S△POC=S△COD？如果存在，请直接写出点P的坐标．如果不存在，请说明理由．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m=，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）方程x2=3x的解为（）A．x=3 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=0，x2=3【解答】解：∵x2﹣3x=0，∴x（x﹣3）=0，则x=0或x﹣3=0，解得：x=0或x=3，故选：D．2．（3分）下面左侧几何体的左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从左面看，是一个长方形．故选C．3．（3分）如果=2，则的值是（）A．3 B．﹣3 C．D．【解答】解：∵=2，∴a=2b，∴==3．故选A．4．（3分）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有20个，黑球有n个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（）A．20 B．30 C．40 D．50【解答】解：根据题意得=0.4，解得：n=30，故选：B．5．（3分）关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2=0有两个不相等的实数根，∴△＞0且a≠0，即32﹣4a×（﹣2）＞0且a≠0，解得a＞﹣1且a≠0，故选B．6．（3分）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入300美元，预计2018年人均年收入将达到950美元，设2016年到2018年该地区居民人均年收入平均增长率为x，可列方程为（）A．300（1+x%）2=950 B．300（1+x2）=950 C．300（1+2x）=950 D．300（1+x）2=950 【解答】解：设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意得2018年年收入为：300（1+x）2，列出方程为：300（1+x）2=950．故选：D．7．（3分）今年，某公司推出一款的新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买新手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款2000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（）A．y=+2000 B．y=﹣2000 C．y=D．y=【解答】解：由题意可得：y==．故选：C．8．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=38°，则∠E的值是（）A．19°B．18°C．20°D．21°【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=60°，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=38°，即∠E=19°．故选A9．（3分）下列说法正确的是（）A．二次函数y=（x+1）2﹣3的顶点坐标是（1，3）B．将二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到二次函数y=（x+2）2的图象C．菱形的对角线互相垂直且相等D．平面内，两条平行线间的距离处处相等【解答】解：A、二次函数y=（x+1）2﹣3的顶点坐标是（﹣1，﹣3），错误；B、将二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到二次函数y=x2+2的图象，错误；C、菱形的对角线互相垂直且平分，错误；D、平面内，两条平行线间的距离处处相等，正确；故选D10．（3分）如图，一路灯B距地面高BA=7m，身高1.4m的小红从路灯下的点D出发，沿A→H 的方向行走至点G，若AD=6m，DG=4m，则小红在点G处的影长相对于点D处的影长变化是（）A．变长1m B．变长1.2m C．变长1.5m D．变长1.8m【解答】解：由CD∥AB∥FG可得△CDE∽△ABE、△HFG∽△HAB，∴=、=，即=、=，解得：DE=1.5、HG=2.5，∵HG﹣DE=2.5﹣1.5=1，∴影长边长1m．故选：A．11．（3分）一次函数y=ax+c的图象如图所示，则二次函数y=ax2+x+c的图象可能大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵一次函数y=ax+c的图象经过一三四象限，∴a＞0，c＜0，故二次函数y=ax2+x+c的图象开口向上，对称轴在y轴左边，交y轴于负半轴，故选：C．12．（3分）如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（）A．①③B．②③C．②③④D．②④【解答】解：①错误．因为当点P与BD中点重合时，CM=0，显然FM≠CM；②正确．连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP=∠DCP，∵四边形PECF是矩形，∴OF=OC，∴∠OCF=∠OFC，∴∠OFC=∠DAP，∵∠DAP+∠AMD=90°，∴∠GFM+∠AMD=90°，∴∠FGM=90°，∴AH⊥EF．③正确．∵AD∥BH，∴∠DAP=∠H，∵∠DAP=∠PCM，∴∠PCM=∠H，∵∠CPM=∠HPC，∴△CPM∽△HPC，∴=，∴PC2=PM•PH，根据对称性可知：PA=PC，∴PA2=PM•PH．④正错误．∵四边形PECF是矩形，∴EF=PC，∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线，∵AC=2，∴PC的最小值为1，∴EF的最小值为1；故选B．二、填空题（本题共有4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）有三张外观完全相同的卡片，在卡片的正面分别标上数字﹣1，0，﹣2，将正面朝下放在桌面上．现随机翻开一张卡片，则卡片上的数字为负数的概率为．【解答】解：∵共有3张卡片，卡片的正面分别标上数字﹣1，0，﹣2，卡片上的数字为负数的有2张，∴卡片上的数字为负数的概率为；故答案为：．14．（3分）二次函数y=﹣（x﹣1）（x+2）的对称轴方程是x=﹣．【解答】解：y=﹣（x﹣1）（x+2）=﹣（x2+x﹣2）=﹣（x+）2+，∴二次函数y=﹣（x﹣1）（x+2）的对称轴为x=﹣，故答案为：x=﹣．15．（3分）如图，点A在曲线y=（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，OA的垂直平分线交OB、OA于点C、D，当AB=1时，△ABC的周长为4．【解答】解：∵点A在曲线y=（x＞0）上，AB⊥x轴，AB=1，∴AB×OB=3，∴OB=3，∵CD垂直平分AO，∴OC=AC，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=1+BC+OC=1+OB=1+3=4，故答案为：4．16．（3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是OB上一点，且OB=3OE，连接AE，过点D作DG⊥AE于点F，交AB边于点G，连接GE，若AD=6，则GE的长是．【解答】解：作EH⊥AB于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=A D=6，∴OA=OB=6，∵OB=3OE，∴OE=2，EB=4，∵∠EBH=∠BEH=45°，∴EH=BH=2，∴AH=AB﹣BH=4，∵∠ADG+∠DAF=90°，∠DAF+∠EAH=90°，∴∠ADG=∠EAH，∵∠DAG=∠AHE，∴△DAG∽△AHE，∴=，∴=，∴AG=3，∴GH=AH﹣AG=，在Rt△EGH中，EG==．故答案为．三、解答题（本大题共7小题，共52分）17．（5分）计算：（﹣1）2018﹣（）﹣1+2×（）0+．【解答】解：原式=1﹣3+2+3=3．18．（5分）x2﹣8x+12=0．【解答】解：x2﹣8x+12=0，分解因式得（x﹣6）（x﹣2）=0，∴x﹣6=0，x﹣2=0，解方程得：x1=6，x2=2，∴方程的解是x1=6，x2=2．19．（8分）在不透明的布袋中装有1个红球，2个白球，它们除颜色外其余完全相同．（1）从袋中任意摸出两个球，试用树状图或表格列出所有等可能的结果，并求摸出的球恰好是两个白球的概率；（2）若在布袋中再添加a个白球，充分搅匀，从中摸出一个球，使摸到红球的概率为，试求a的值．【解答】解：（1）画树状图得：∵共有6种等可能的结果，随机从袋中摸出两个球都是白色的有2种情况，∴随机从袋中摸出两个球，都是白色的概率是：=．（2）根据题意，得：=，解得：a=5，经检验a=5是原方程的根，故a=5．20．（8分）如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠ABC=60，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长．【解答】（1）证明：∵EF是DC的垂直平分线，∴DE=EC，DF=CF，∠EGC=∠FGC=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ECG=∠FCG，∵CG=CF，∴△CGE≌△FCG（ASA），∴GE=GF，∴四边形DFCE是平行四边形，∵DE=CE，∴四边形DFCE是菱形；（2）解：过D作DH⊥BC于H，则∠DHF=∠DHB=90°，∵∠ABC=60°，∴∠BDH=30°，∴BH=BD=1，在Rt△DHB中，DH==，∵四边形DFCE是菱形，∴DF∥AC，∴∠DFB=∠ACB=45°，∴△DHF是等腰直角三角形，∴DH=FH=，∴BF=BH+FH=1+．21．（8分）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：（1）填空：每天可售出书300﹣10x本（用含x的代数式表示）；（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？【解答】解：（1）∵每本书上涨了x元，∴每天可售出书（300﹣10x）本．故答案为：300﹣10x．（2）设每本书上涨了x元（x≤10），根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）=3750，整理，得：x2﹣20x+75=0，解得：x1=5，x2=15（不合题意，舍去）．答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．22．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，▱OABC的一个顶点与坐标原点重合，OA边落在x轴上，且OA=4，OC=2，∠COA=45°．反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过点C，与AB交于点D，连接AC，CD．（1）试求反比例函数的解析式；（2）求证：CD平分∠ACB；（3）如图2，连接OD，在反比例的函数图象上是否存在一点P，使得S△POC=S△COD？如果存在，请直接写出点P的坐标．如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，过点C作CE⊥x轴于E，∴∠CEO=90°，∵∠COA=45°，∴∠OCE=45°，∵OC=2，∴OE=CE=2，∴C（2，2），∵点C在反比例函数图象上，∴k=2×2=4，∴反比例函数解析式为y=，（2）如图2，过点D作DG⊥x轴于G，交BC于F，∵CB∥x轴，∴GF⊥CB，∵OA=4，由（1）知，OC=CE=2，∴AE=EC=2，∴∠ECA=45°，∠OCA=90°，∵OC∥AB，∴∠BAC=∠OCA=90°，∴AD⊥AC，∵A（4，0），AB∥OC，∴直线AB的解析式为y=x﹣4①，∵反比例函数解析式为y=②，联立①②解得，或（舍），∴D（2+2，2﹣2），∴AG=DG=2﹣2，∴AD=DG=4﹣2，∴DF=2﹣（2﹣2）=4﹣2，∴AD=DF，∵AD⊥AC，DF⊥CB，∴点D是∠ACB的角平分线上，即：CD平分∠ACB；（3）存在，∵点C（2，2），∴直线OC的解析式为y=x，OC=2，∵D（2+2，2﹣2），∴CD=2﹣2Ⅰ、如图3，当点P在点C右侧时，即：点P的横坐标大于2，∵S△POC=S△COD，∴设CD的中点为M，∴M（+2，），过点M作MP∥OC交双曲线于P，∴直线PM的解析式为y=x﹣2③，∵反比例函数解析式为y=④，联立③④解得，或（舍），∴P（+1，﹣1）；Ⅱ、当点P'在点C左侧时，即：点P'的横坐标大于0而小于2，设点M关于OC的对称点为M'，M'（m，n），∴=2，=2，∴m=2﹣，n=4﹣，∴M'（2﹣，4﹣），∵P'M'∥OC，∴直线P'M'的解析式为y=x+2⑤，联立④⑤解得，或（舍），∴P'（﹣1，+1）．即：点P的坐标为（﹣1，+1）或P（+1，﹣1）．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m=，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y=a（x+2）（x﹣4），∵OC=2OA，OA=2，∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a=﹣，∴y=﹣（x+2）（x﹣4）或y=﹣x2+x+4或y=﹣（x﹣1）2+．（2）如图1中，作PE⊥x轴于E，交BC于F．∵CD∥PE，∴△CMD∽△FMP，∴m==，∵直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），∵BC的解析式为y=﹣x+4，设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），∴PF=﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）=﹣（n﹣2）2+2，∴m==﹣（n﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当n=2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．①当DP是矩形的边时，有两种情形，a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，有（2）可知P（2，4），代入y=kx+1中，得到k=，∴直线DP的解析式为y=x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），由△DOE∽△QOD可得=，∴OD2=OE•OQ，∴1=•OQ，∴OQ=，∴Q（，0）．根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，∴N（2+，4﹣1），即N（，3）b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，∵直线PD的解析式为y=x+1，PQ⊥PD，∴直线PQ的解析式为y=﹣x+，∴Q（8，0），根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2=x2+1，QP2=（x﹣2）2+42，PD2=13，∵Q是直角顶点，∴QD2+QP2=PD2，∴x2+1+（x﹣2）2+16=13，整理得x2﹣2x+4=0，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．。

2018-2019学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．（2分）一元二次方程x（x﹣5）＝0的解是（）A．0B．5C．0和5D．0和﹣52．（2分）下列四点，在函数y＝x2+1的图象上的是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（0，﹣1）D．（﹣1，0）3．（2分）若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积的比为（）A．1：2B．1：4C．2：1D．4：14．（2分）已知某扇形的圆心角为60°，半径为1，则该扇形的弧长为（）A．πB．C．D．5．（2分）如图，若点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB＝2，则AP的长度是（）A．B．C．D．6．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于D，则tan∠BCD的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．（2分）若，则∠A＝°．8．（2分）若，则的值为．9．（2分）若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝120°，则∠C的度数是．10．（2分）一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝1，则另一个根是．11．（2分）二次函数y＝x2﹣4x的图象的顶点坐标是．12．（2分）圆锥底面圆的半径为2，母线长为5，它的侧面积等于（结果保留π）．13．（2分）如图，△ABC的中线BE、CD交于点G，则值为．14．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，当y＝0时，x的值是．x…﹣1012…y…0343…15．（2分）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝12，点D、E分别在AB、AC上，其中BD＝x，AE＝2x．当△ADE与△ABC相似时，x的值可能是．16．（2分）如图，⊙O的两条弦AB和CD相交于点P，若弧AC、弧BD的度数分别为60°、40°，则∠APC的度数为．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（8分）求下列各式的值：（1）sin230°+cos230°（2）sin45°cos45°+4tan30°sin60°18．（8分）解下列方程：（1）x2﹣16＝0；（2）x2﹣5x﹣6＝0．19．（7分）如图，在阳光下，身高1.7m的小明AB在地面上的影长BC为3.4m．在同一时刻，测得旗杆DE在地面的影长EF为24m，求旗杆DE的高度．20．（8分）如图，△ABC中，D在边AC上，∠ABD＝∠C．（1）求证：△ADB∽△ABC；（2）若AB＝6，AD＝4，求AC的长．21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，连接OC．（1）求⊙O的半径；（2）求sin∠COA的值．22．（8分）一块长方形菜地的面积是150m2，如果它的长减少5m，那么它就成为正方形菜地．求这个长方形菜地的长和宽？23．（8分）已知二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1的图象经过点（0，3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）直接写出y＞0时x的取值范围；（3）该函数的图象通过左右平移可以经过原点，写出所有的平移方案．24．（8分）如图，为测量某建筑物EF的高度，小明在楼AB上选择观测点A、C，从A测得建筑物的顶部E的仰角为37°，从C测得建筑物的顶部E的仰角为45°，A处高度为20m，C处高度为10m．求建筑物EF的高度（精确到1m）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37≈0.75，≈1.4）25．（8分）△ABC中，BC＝12，高AD＝8，矩形EFGH的一边GH在BC上，顶点E、F 分别在AB、AC上，AD与EF交于点M．（1）求证：；（2）设EF＝x，EH＝y，写出y与x之间的函数表达式；（3）设矩形EFGH的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并写出S的最大值．26．（8分）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上的点，∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB 的延长线于点E．（1）求证：直线CE与⊙O相切；（2）若AC＝8，AB＝10，求CE的长．27．（9分）如图是某同学对一道作业题的解题思路，课堂上师生据此展开了讨论．问题如图，已知A（1，）、B（4，0），∠OAB的平分线AC交x轴于点C，求OC 的长．思路：作AD⊥OB，CE⊥AB，CF⊥OA①A坐标→OD＝1，AD＝，OA＝2→∠AOC＝60°；②A、B坐标→OA＝2，OB＝4，AB＝2→∠OAB＝90°；③AC平分∠OAB→CE＝CF；④S△AOC +S△ABC＝S△AOB→AO•CF+AB•CE＝OA•AB→CF＝3﹣；⑤综上，Rt△OCF中，OC＝﹣2．可以优化吗？（1）同学们发现不需要证“∠OAB＝90°”也能求解，简要说明理由．几位同学提出了不同的思路①甲说：S△AOC 和S△ABC的面积之比既是，又是，从而；②乙说：在AB边上取点G，使AG＝AO，连接CG，可知BG的长即为所求；③丙说：延长AC交△AOB的外接圆于N，再利用一次函数或相似求出OC．请你选择其中一种解法，利用图2和已有步骤完成解答．有什么收获？（2）面积法是图形问题中确定数量关系的有效方法，请利用面积法求解：如图1，⊙O 与△ABC的边AC，边BA、BC的延长线AE、CF相切，切点分别为D、E、F．设△ABC 的面积为S，BC＝a，AC＝b，AB＝c，请用含S、a、b、c的式子表示⊙O的半径R，直接写出结果．2018-2019学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．（2分）一元二次方程x（x﹣5）＝0的解是（）A．0B．5C．0和5D．0和﹣5【分析】利用因式分解法求解可得．【解答】解：∵x（x﹣5）＝0，∴x＝0或x﹣5＝0，解得：x1＝0，x2＝5，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．2．（2分）下列四点，在函数y＝x2+1的图象上的是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（0，﹣1）D．（﹣1，0）【分析】分别计算自变量为1、0、﹣1所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征对各选项进行判断．【解答】解：当x＝1时，y＝x2+1＝1+1＝2；当x＝0时，y＝x2+1＝0+1＝1；当x＝﹣1时，y＝x2+1＝1+1＝2；所以点（0，1）在函数y＝x2+1的图象上．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．3．（2分）若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积的比为（）A．1：2B．1：4C．2：1D．4：1【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式即可求解．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积的比为（1：2）2＝1：4．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．4．（2分）已知某扇形的圆心角为60°，半径为1，则该扇形的弧长为（）A．πB．C．D．【分析】根据弧长公式进行求解即可．【解答】解：弧长l＝＝．故选：C．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：l＝．5．（2分）如图，若点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB＝2，则AP的长度是（）A．B．C．D．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；所以AP＝AB，代入数据即可得出AP的长度．【解答】解：由于点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB＝2，则AP＝AB＝×2＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．6．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于D，则tan∠BCD的值为（）A．B．C．D．【分析】先求得∠A＝∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝3，在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°．∴∠A＝∠BCD．∴tan∠BCD＝tan A＝＝，故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．（2分）若，则∠A＝30°．【分析】根据特殊锐角的三角函数值可得答案．【解答】解：∵sin A＝，∴∠A＝30°，故答案为：30．【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值，应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．8．（2分）若，则的值为．【分析】依据比例的性质，即可得到2a＝3b，进而得出的值．【解答】解：∵，∴2a＝3b，∴a＝1.5b，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．9．（2分）若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝120°，则∠C的度数是60°．【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．【解答】解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠A＝60°，故答案为：60°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．10．（2分）一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝1，则另一个根是﹣3．【分析】根据根与系数的关系x1x2＝来解题．【解答】解：设方程的另一根为t，则1×t＝﹣3，解得，t＝﹣3．故答案是：﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系．熟记公式是解题的关键，此题属于基础题．11．（2分）二次函数y＝x2﹣4x的图象的顶点坐标是（2，﹣4）．【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，确定顶点坐标即可．【解答】解：∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4∴抛物线顶点坐标为（2，﹣4）．故本题答案为：（2，﹣4）．【点评】本题考查了抛物线解析式与顶点坐标的关系，求顶点坐标可用配方法，也可以用顶点坐标公式．12．（2分）圆锥底面圆的半径为2，母线长为5，它的侧面积等于10π（结果保留π）．【分析】根据圆锥的底面半径为2，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl＝π×2×5＝10π，故答案为：10π．＝πrl是解决问题【点评】此题主要考查了圆锥侧面积公式．掌握圆锥侧面积公式：S侧的关键．13．（2分）如图，△ABC的中线BE、CD交于点G，则值为．【分析】根据三角形重心的性质即可求解．【解答】解：∵△ABC的中线BE、CD交于点G，∴CG：DG＝2：1，∴＝＝．故答案为：．【点评】考查了三角形的重心，重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．14．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，当y＝0时，x的值是﹣1或3．x…﹣1012…y…0343…【分析】利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，然后利用二次函数的性质由x＝﹣1时，y＝0得到x＝3时，y＝0．【解答】解：∵x＝0和x＝2时，y的值都是3，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，而x＝﹣1时，y＝0，∴x＝3时，y＝0，即y＝0时，x的值为﹣1或3．故答案为﹣1或3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．15．（2分）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝12，点D、E分别在AB、AC上，其中BD＝x，AE＝2x．当△ADE与△ABC相似时，x的值可能是x＝1.2或x＝3．【分析】分△ADE∽△ABC和△AED∽△ABC两种情况，依据相似三角形的性质求解，结合0＜BD＜6取舍即可得．【解答】解：∵AB＝6，AC＝12，BD＝x，AE＝2x，∴AD＝6﹣x，AE＝2x，若△ADE∽△ABC，则＝，即＝，解得x＝3，若△AED∽△ABC，则＝，即＝，解得x＝1.2；综上，x的值可能是0＜x＜6中的任意实数，故答案为：x＝1.2或x＝3．【点评】本题主要考查相似三角形的判定，相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．16．（2分）如图，⊙O的两条弦AB和CD相交于点P，若弧AC、弧BD的度数分别为60°、40°，则∠APC的度数为50°．【分析】连接AD，根据三角形的外角的性质、圆周角定理计算即可【解答】解：连接AD，∵∠APC＝∠BAD+∠ADC＝×（+）的度数，∴∠APC＝（40°+60°）＝50°．故答案为50°．【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形的外角的性质，掌握圆周角定理和三角形的外角的性质定理是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（8分）求下列各式的值：（1）sin230°+cos230°（2）sin45°cos45°+4tan30°sin60°【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．【解答】解：（1）sin230°+cos230°＝（）2+（）2＝1；（2）sin45°cos45°+4tan30°sin60°＝×+4××＝+2＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．18．（8分）解下列方程：（1）x2﹣16＝0；（2）x2﹣5x﹣6＝0．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣16＝0，∴x2＝16，则x1＝4，x2＝﹣4；（2）∵x2﹣5x﹣6＝0，∴（x+1）（x﹣6）＝0，则x+1＝0或x﹣6＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝6．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．19．（7分）如图，在阳光下，身高1.7m的小明AB在地面上的影长BC为3.4m．在同一时刻，测得旗杆DE在地面的影长EF为24m，求旗杆DE的高度．【分析】利用在同一时刻身高与影长成比例计算．【解答】解：根据题意可得：根据在同一时刻身高与影长成比例可得：＝，∴＝，解得：DE＝12．答：旗杆DE的高度是12米．【点评】本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度，体现了方程的思想．20．（8分）如图，△ABC中，D在边AC上，∠ABD＝∠C．（1）求证：△ADB∽△ABC；（2）若AB＝6，AD＝4，求AC的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC；（2）解：∵△ADB∽△ABC，∴，∵AB＝6，AD＝4，∴＝，∴AC＝9．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，连接OC．（1）求⊙O的半径；（2）求sin∠COA的值．【分析】（1）由CD⊥AB知CE＝CD＝2，设OC＝OA＝r，则OE＝r﹣1，在Rt△COE 中，由OC2＝OE2+CE2列出关于r的方程求解可得；（2）由OC＝，CE＝2根据sin∠COA＝计算可得．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝2，设OC＝OA＝r，则OE＝r﹣1，在Rt△COE中，由OC2＝OE2+CE2知r2＝（r﹣1）2+22，解得r＝，即⊙O的半径为；（2）在Rt△COE中，OC＝，CE＝2，∴sin∠COA＝＝＝．【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握垂径定理与圆周角定理、勾股定理及三角函数的应用等知识点．22．（8分）一块长方形菜地的面积是150m2，如果它的长减少5m，那么它就成为正方形菜地．求这个长方形菜地的长和宽？【分析】根据“如果它的长减少5m，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多5m，利用矩形的面积公式列出方程即可．【解答】解：∵长减少5m，菜地就变成正方形，∴设长方形的宽为xm，则长为（x+5）m，根据题意得：x（x+5）＝150．解得：x＝10，或x＝﹣15（舍去），则x+5＝15，答：这个长方形菜地的长为15m，宽为10m．【点评】本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，找到等量关系．23．（8分）已知二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1的图象经过点（0，3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）直接写出y＞0时x的取值范围；（3）该函数的图象通过左右平移可以经过原点，写出所有的平移方案．【分析】（1）把（0，3）代入y＝a（x﹣2）2﹣1中求出a即可得到抛物线解析式；（2）先解方程（x﹣2）2﹣1＝0得抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可；（3）利用点（1，0）或点（3，0）平移到原点的方案得到得到抛物线平移的方案．【解答】解：（1）把（0，3）代入y＝a（x﹣2）2﹣1得a（0﹣2）2﹣1＝3，解得a＝1，所以y＝（x﹣2）2﹣1；（2）当y＝0时，（x﹣2）2﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝3，抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），所以当x＜1或x＞3时，y＞0；（3）把抛物线向左平移1个或3个单位时，抛物线经过原点．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．24．（8分）如图，为测量某建筑物EF的高度，小明在楼AB上选择观测点A、C，从A测得建筑物的顶部E的仰角为37°，从C测得建筑物的顶部E的仰角为45°，A处高度为20m，C处高度为10m．求建筑物EF的高度（精确到1m）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37≈0.75，≈1.4）【分析】设CH＝xm，根据矩形的性质得到AG＝CH＝x，根据正切的定义用x表示出EH、EG，结合图形列式计算即可．【解答】解：设CH＝xm，由题意得，四边形ACHG为矩形，∴AG＝CH＝x，GH＝AC＝20﹣10＝10，∵∠ECH＝45°，∴EH＝CH＝x，在Rt△EAG中，tan∠EAG＝，即tan37°＝，解得，EG≈x，则x﹣x＝10，解得，x＝40，∴EF＝FH+EH＝50，答：建筑物EF的高度约为50m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．25．（8分）△ABC中，BC＝12，高AD＝8，矩形EFGH的一边GH在BC上，顶点E、F 分别在AB、AC上，AD与EF交于点M．（1）求证：；（2）设EF＝x，EH＝y，写出y与x之间的函数表达式；（3）设矩形EFGH的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并写出S的最大值．【分析】（1）先判断出AM是△AEF的高，再判断出△AEF∽△ABC，即可得出结论；（2）先判断出四边形EMDG是矩形，得出DM＝EH，进而表示出AM＝8﹣y，借助（1）的结论即可得出结论；（3）由矩形的面积公式得出函数关系式，即可得出结论．【解答】解：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EF∥BC，∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴AM⊥EF，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴（相似三角形的对应边上高的比等于相似比）；（2）∵四边形EFGH是矩形，∴∠FEH＝∠EHG＝90°，∵AD⊥BC，∴∠HDM＝90°＝∠FEH＝∠EHG，∴四边形EMDH是矩形，∴DM＝EH，∵EF＝x，EH＝y，AD＝8，∴AM＝AD﹣DM＝AD﹣EH＝8﹣y，由（1）知，，∴，∴y＝8﹣x（0＜x＜12）；（3）由（2）知，y＝8﹣x，∴S＝S＝xy＝x（8﹣x）＝﹣（x﹣6）2+24，矩形EFGH∵a＝﹣＜0，∴当x＝6时，S max＝24．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的面积公式，掌握相似三角形的性质是解本题的关键．26．（8分）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上的点，∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB 的延长线于点E．（1）求证：直线CE与⊙O相切；（2）若AC＝8，AB＝10，求CE的长．【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，推出∠DCO＝∠D，得到OC∥DE，根据平行线的性质得到OC⊥CE，于是得到结论；（2）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据切线的性质得到∠BCE＝∠BAC，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠ACD＝2∠A，∴∠DCO＝∠ACO＝∠A，∵∠A＝∠D，∴∠DCO＝∠D，∴OC∥DE，∵CE⊥DB，∴OC⊥CE，∴直线CE与⊙O相切；（2）解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝8，AB＝10，∴BC＝6，∵直线CE与⊙O相切，∴∠BCE＝∠BAC，∵∠CEB＝∠ACB＝90°，∴△ABC∽△CBE，∴，∴，∴CE＝．【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．27．（9分）如图是某同学对一道作业题的解题思路，课堂上师生据此展开了讨论．问题如图，已知A（1，）、B（4，0），∠OAB的平分线AC交x轴于点C，求OC 的长．思路：作AD⊥OB，CE⊥AB，CF⊥OA①A坐标→OD＝1，AD＝，OA＝2→∠AOC＝60°；②A、B坐标→OA＝2，OB＝4，AB＝2→∠OAB＝90°；③AC平分∠OAB→CE＝CF；④S△AOC +S△ABC＝S△AOB→AO•CF+AB•CE＝OA•AB→CF＝3﹣；⑤综上，Rt△OCF中，OC＝﹣2．可以优化吗？（1）同学们发现不需要证“∠OAB＝90°”也能求解，简要说明理由．几位同学提出了不同的思路①甲说：S△AOC 和S△ABC的面积之比既是，又是，从而；②乙说：在AB边上取点G，使AG＝AO，连接CG，可知BG的长即为所求；③丙说：延长AC交△AOB的外接圆于N，再利用一次函数或相似求出OC．请你选择其中一种解法，利用图2和已有步骤完成解答．有什么收获？（2）面积法是图形问题中确定数量关系的有效方法，请利用面积法求解：如图1，⊙O 与△ABC的边AC，边BA、BC的延长线AE、CF相切，切点分别为D、E、F．设△ABC 的面积为S，BC＝a，AC＝b，AB＝c，请用含S、a、b、c的式子表示⊙O的半径R，直接写出结果．【分析】（1）根据甲、乙、丙的三种思路解决问题即可；（2）根据S△ABC ＝S△AOB+S△OBC﹣S△AOC，利用面积法解决问题即可．【解答】解：（1）方法可以优化．方法一：如图2﹣1中，作CE⊥OA于E，CF⊥AB于F．∵CA平分∠OAB，CE⊥OA，CF⊥AB，∴CE＝CF，∵＝＝＝＝，∴OC＝OB•＝2﹣2．方法二：如图2﹣2中，在AB边上取点G，使AG＝AO，连接CG．∵AO＝AG，∠OAC＝∠CAG，AC＝AC，∴△ACO≌△ACG（SAS），∴OC＝CG，∵∠AOC＝∠AGC＝60°，∠ABO＝30°，∠AGC＝∠GCB+∠ABO，∴∠GCB＝∠GBC，∴GC＝GB，∴OC＝GB＝2﹣2．方法三：如图2﹣3中，延长AC交△ABC的外接圆于点N，连接ON，BN．易知N（2，﹣2），∵A（1，），∴直线AN的解析式为y＝（﹣2﹣）x+2+2，令y＝0，得到x＝2﹣2，∴C（2﹣2），∴OC＝2﹣2．本题收获：学会了利用面积法解决问题，学会构建一次函数，利用数形结合的思想解决问题．（2）如图1中，连接OB，OE，OD，OF．∵⊙O与△ABC的边AC，边BA、BC的延长线AE、CF相切，切点分别为D、E、F，∴OE⊥AB，OD⊥AC，OF⊥BC，∵S△ABC ＝S△AOB+S△OBC﹣S△AOC，∴S＝•c•R+•a•R﹣•b•R，∴R＝．【点评】本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，三角形的面积，切线的性质，一次函数的应用，勾股定理，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会一题多解，学会利用面积法解决问题，属于中考压轴题．。

2018-2019学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分） 1. 一元二次方程x （x -5）=0的解是（ ）A. 0B. 5C. 0和5D. 0和-5 【答案】C【解析】解：∵x （x -5）=0， ∴x =0或x -5=0， 解得：x 1=0，x 2=5， 故选：C ．利用因式分解法求解可得．本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．2. 下列四点，在函数y =x 2+1的图象上的是（ ）A. （1，0）B. （0，1）C. （0，-1）D. （-1，0） 【答案】B【解析】解：当x =1时，y =x 2+1=1+1=2；当x =0时，y =x 2+1=0+1=1；当x =-1时，y =x 2+1=1+1=2；所以点（0，1）在函数y =x 2+1的图象上． 故选：B ．分别计算自变量为1、0、-1所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征对各选项进行判断．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．3. 若△ABC ∽△DEF ，相似比为1：2，则△ABC 与△DEF 的面积的比为（ ）A. 1：2B. 1：4C. 2：1D. 4：1 【答案】B【解析】解：∵△ABC ∽△DEF ，相似比为1：2，∴△ABC 与△DEF 的面积的比为（1：2）2=1：4． 故选：B ．根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式即可求解． 本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．4. 已知某扇形的圆心角为60°，半径为1，则该扇形的弧长为（ ）A. πB. C. D.【答案】C【解析】解：弧长l ==．故选：C ．根据弧长公式进行求解即可．本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：l=．5.如图，若点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB=2，则AP的长度是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由于点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB=2，则AP=AB=×2=-1．故选：A．根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；所以AP=AB，代入数据即可得出AP 的长度．本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的．6.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，CD⊥AB于D，则tan∠BCD的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：∵∠ACB=90°，AB=5，AC=4，∴BC=3，在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°．∴∠A=∠BCD．∴tan∠BCD=tan A==，故选：D．先求得∠A=∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．本题考查了解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7.若，则∠A=______°．【答案】30【解析】解：∵sin A=，∴∠A=30°，故答案为：30．根据特殊锐角的三角函数值可得答案．本题主要考查特殊锐角的三角函数值，应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．8.若，则的值为______．【答案】【解析】解：∵，∴2a=3b，∴a=1.5b，∴==，故答案为：．依据比例的性质，即可得到2a=3b，进而得出的值．本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．9.若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A=120°，则∠C的度数是______．【答案】60°【解析】解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∴∠C=180°-∠A=60°，故答案为：60°．根据圆内接四边形的对角互补计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．10.一元二次方程x2+kx-3=0的一个根是x=1，则另一个根是______．【答案】-3【解析】解：设方程的另一根为t，则1×t=-3，解得，t=-3．故答案是：-3．根据根与系数的关系x1x2=来解题．本题考查了根与系数的关系．熟记公式是解题的关键，此题属于基础题．11.二次函数y=x2-4x的图象的顶点坐标是______．【答案】（2，-4）【解析】解：∵y=x2-4x=（x-2）2-4∴抛物线顶点坐标为（2，-4）．故本题答案为：（2，-4）．用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，确定顶点坐标即可．本题考查了抛物线解析式与顶点坐标的关系，求顶点坐标可用配方法，也可以用顶点坐标公式．12.圆锥底面圆的半径为2，母线长为5，它的侧面积等于______（结果保留π）．【答案】10π【解析】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×5=10π，故答案为：10π．根据圆锥的底面半径为2，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．此题主要考查了圆锥侧面积公式．掌握圆锥侧面积公式：S侧=πrl是解决问题的关键．13.如图，△ABC的中线BE、CD交于点G，则值为______．【答案】【解析】解：∵△ABC的中线BE、CD交于点G，∴CG：DG=2：1，∴==．故答案为：．根据三角形重心的性质即可求解．考查了三角形的重心，重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．14.二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，当【解析】解：∵x=0和x=2时，y的值都是3，∴抛物线的对称轴为直线x=1，而x=-1时，y=0，∴x=3时，y=0，即y=0时，x的值为-1或3．故答案为-1或3．利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，然后利用二次函数的性质由x=-1时，y=0得到x=3时，y=0．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．15.如图，△ABC中，AB=6，AC=12，点D、E分别在AB、AC上，其中BD=x，AE=2x．当△ADE与△ABC相似时，x的值可能是______．【答案】x=1.2或x=3【解析】解：∵AB=6，AC=12，BD=x，AE=2x，∴AD=6-x，AE=2x，若△ADE∽△ABC，则=，即=，解得x=3，若△AED∽△ABC，则=，即=，解得x=1.2；综上，x的值可能是0＜x＜6中的任意实数，故答案为：x=1.2或x=3．分△ADE∽△ABC和△AED∽△ABC两种情况，依据相似三角形的性质求解，结合0＜BD ＜6取舍即可得．本题主要考查相似三角形的判定，相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．16.如图，⊙O的两条弦AB和CD相交于点P，若弧AC、弧BD的度数分别为60°、40°，则∠APC的度数为______．【答案】50°【解析】解：连接AD，∵∠APC=∠BAD+∠ADC=×（+）的度数，∴∠APC=（40°+60°）=50°．故答案为50°．连接AD，根据三角形的外角的性质、圆周角定理计算即可本题考查的是圆周角定理、三角形的外角的性质，掌握圆周角定理和三角形的外角的性质定理是解题的关键．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.解下列方程：（1）x2-16=0；（2）x2-5x-6=0．【答案】解：（1）∵x2-16=0，∴x2=16，则x1=4，x2=-4；（2）∵x2-5x-6=0，∴（x+1）（x-6）=0，则x+1=0或x-6=0，解得：x1=-1，x2=6．【解析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．四、解答题（本大题共10小题，共80.0分）18.求下列各式的值：（1）sin230°+cos230°（2）sin45°cos45°+4tan30°sin60°【答案】解：（1）sin230°+cos230°=（）2+（）2=1；（2）sin45°cos45°+4tan30°sin60°=×+4××=+2=．【解析】（1）直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．19.如图，在阳光下，身高1.7m的小明AB在地面上的影长BC为3.4m．在同一时刻，测得旗杆DE在地面的影长EF为24m，求旗杆DE的高度．【答案】解：根据题意可得：根据在同一时刻身高与影长成比例可得：=，∴=，解得：DE=12．答：旗杆DE的高度是12米．【解析】利用在同一时刻身高与影长成比例计算．本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度，体现了方程的思想．20.如图，△ABC中，D在边AC上，∠ABD=∠C．（1）求证：△ADB∽△ABC；（2）若AB=6，AD=4，求AC的长．【答案】（1）证明：∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，∴△ADB∽△ABC；（2）解：∵△ADB∽△ABC，∴，∵AB=6，AD=4，∴=，∴AC=9．【解析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．21.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE=1，CD=4，连接OC．（1）求⊙O的半径；（2）求sin∠COA的值．【答案】解：（1）∵CD⊥AB，∴CE=DE=CD=2，设OC=OA=r，则OE=r-1，在Rt△COE中，由OC2=OE2+CE2知r2=（r-1）2+22，解得r=，即⊙O的半径为；（2）在Rt△COE中，OC=，CE=2，∴sin∠COA===．【解析】（1）由CD⊥AB知CE=CD=2，设OC=OA=r，则OE=r-1，在Rt△COE中，由OC2=OE2+CE2列出关于r的方程求解可得；（2）由OC=，CE=2根据sin∠COA=计算可得．本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握垂径定理与圆周角定理、勾股定理及三角函数的应用等知识点．22.一块长方形菜地的面积是150m2，如果它的长减少5cm，那么它就成为正方形菜地．求这个长方形菜地的长和宽？【答案】解：∵长减少5m，菜地就变成正方形，∴设长方形的宽为xm，则长为（x+5）m，根据题意得：x（x+5）=150．解得：x=10，或x=-15（舍去），则x+5=15，答：这个长方形菜地的长为15m，宽为10m．【解析】根据“如果它的长减少5m，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多5m，利用矩形的面积公式列出方程即可．本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，找到等量关系．23.已知二次函数y=a（x-2）2-1的图象经过点（0，3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）直接写出y＞0时x的取值范围；（3）该函数的图象通过左右平移可以经过原点，写出所有的平移方案．【答案】解：（1）把（0，3）代入y=a（x-2）2-1得a（0-2）2-1=3，解得a=1，所以y=（x-2）2-1；（2）当y=0时，（x-2）2-1=0，解得x1=1，x2=3，抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），所以当x＜1或x＞3时，y＞0；（3）把抛物线向左平移1个或3个单位时，抛物线经过原点．【解析】（1）把（0，3）代入y=a（x-2）2-1中求出a即可得到抛物线解析式；（2）先解方程（x-2）2-1=0得抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可；（3）利用点（1，0）或点（3，0）平移到原点的方案得到得到抛物线平移的方案．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．24.如图，为测量某建筑物EF的高度，小明在楼AB上选择观测点A、C，从A测得建筑物的顶部E的仰角为37°，从C测得建筑物的顶部E的仰角为45°，A处高度为20m，C处高度为10m．求建筑物EF的高度（精确到1m）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37≈0.75，≈1.4）【答案】解：设CH=xm，由题意得，四边形ACHG为矩形，∴AG=CH=x，GH=AC=20-10=10，∵∠ECH=45°，∴EH=CH=x，在Rt△EAG中，tan∠EAG=，即tan37°=，解得，EG≈x，则x-x=10，解得，x=40，∴EF=FH+EH=50，答：建筑物EF的高度约为50m．【解析】设CH=xm，根据矩形的性质得到AG=CH=x，根据正切的定义用x表示出EH、EG，结合图形列式计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．25.△ABC中，BC=12，高AD=8，矩形EFGH的一边GH在BC上，顶点E、F分别在AB、AC上，AD与EF交于点M．（1）求证：；（2）设EF=x，EH=y，写出y与x之间的函数表达式；（3）设矩形EFGH的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并写出S的最大值．【答案】解：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EF∥BC，∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴AM⊥EF，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴（相似三角形的对应边上高的比等于相似比）；（2）∵四边形EFGH是矩形，∴∠FEH=∠EHG=90°，∵AD⊥BC，∴∠HDM=90°=∠FEH=∠EHG，∴四边形EMDH是矩形，∴DM=EH，∵EF=x，EH=y，AD=8，∴AM=AD-DM=AD-EH=8-y，由（1）知，，∴，∴y=8-x（0＜x＜12）；（3）由（2）知，y=8-x，∴S=S矩形EFGH=xy=x（8-x）=-（x-6）2+24，∵a=-＜0，∴当x=6时，S max=24．【解析】（1）先判断出AM是△AEF的高，再判断出△AEF∽△ABC，即可得出结论；（2）先判断出四边形EMDG是矩形，得出DM=EH，进而表示出AM=8-y，借助（1）的结论即可得出结论；（3）由矩形的面积公式得出函数关系式，即可得出结论．此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的面积公式，掌握相似三角形的性质是解本题的关键．26.如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上的点，∠ACD=2∠A，CE⊥DB交DB的延长线于点E．（1）求证：直线CE与⊙O相切；（2）若AC=8，AB=10，求CE的长．【答案】（1）证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∵∠ACD=2∠A，∴∠DCO=∠ACO=∠A，∵∠A=∠D，∴∠DCO=∠D，∴OC∥DE，∵CE⊥DB，∴OC⊥CE，∴直线CE与⊙O相切；（2）解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∵AC=8，AB=10，∴BC=6，∵直线CE与⊙O相切，∴∠BCE=∠BAC，∵∠CEB=∠ACB=90°，∴△ABC∽△CBE，∴，∴，∴CE=．【解析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质得到∠A=∠ACO，推出∠DCO=∠D，得到OC∥DE，根据平行线的性质得到OC⊥CE，于是得到结论；（2）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据切线的性质得到∠BCE=∠BAC，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．27.如图是某同学对一道作业题的解题思路，课堂上师生据此展开了讨论．问题如图，已知A（1，）、B（4，0），∠OAB的平分线AC交x轴于点C，求OC的长．思路：作AD⊥OB，CE⊥AB，CF⊥OA①A坐标→OD=1，AD=，OA=2→∠AOC=60°；②A、B坐标→OA=2，OB=4，AB=2→∠OAB=90°；③AC平分∠OAB→CE=CF；④S△AOC+S△ABC=S△AOB→AO•CF+AB•CE=OA•AB→CF=3-；⑤综上，Rt△OCF中，OC=-2．可以优化吗？（1）同学们发现不需要证“∠OAB=90°”也能求解，简要说明理由．几位同学提出了不同的思路①甲说：S△AOC和S△ABC的面积之比既是，又是，从而；②乙说：在AB边上取点G，使AG=AO，连接CG，可知BG的长即为所求；③丙说：延长AC交△AOB的外接圆于N，再利用一次函数或相似求出OC．请你选择其中一种解法，利用图2和已有步骤完成解答．有什么收获？（2）面积法是图形问题中确定数量关系的有效方法，请利用面积法求解：如图1，⊙O与△ABC的边AC，边BA、BC的延长线AE、CF相切，切点分别为D、E、F．设△ABC的面积为S，BC=a，AC=b，AB=c，请用含S、a、b、c的式子表示⊙O的半径R，直接写出结果．【答案】解：（1）方法可以优化．方法一：如图2-1中，作CE⊥OA于E，CF⊥AB于F．∵CA平分∠OAB，CE⊥OA，CF⊥AB，∴CE=CF，∵====，∴OC=OB•=2-2．方法二：如图2-2中，在AB边上取点G，使AG=AO，连接CG．∵AO=AG，∠OAC=∠CAG，AC=AC，∴△ACO≌△ACG（SAS），∴OC=CG，∵∠AOC=∠AGC=60°，∠ABO=30°，∠AGC=∠GCB+∠ABO，∴∠GCB=∠GBC，∴GC=GB，∴OC=GB=2-2．方法三：如图2-3中，延长AC交△ABC的外接圆于点N，连接ON，BN．易知N（2，-2），∵A（1，），∴直线AN的解析式为y=（-2-）x+2+2，令y=0，得到x=2-2，∴C（2-2），∴OC=2-2．本题收获：学会了利用面积法解决问题，学会构建一次函数，利用数形结合的思想解决问题．（2）如图1中，连接OB，OE，OD，OF．∵⊙O与△ABC的边AC，边BA、BC的延长线AE、CF相切，切点分别为D、E、F，∴OE⊥AB，OD⊥AC，OF⊥BC，∵S△ABC=S△AOB+S△OBC-S△AOC，∴S=•c•R+•a•R-•b•R，∴R=．【解析】（1）根据甲、乙、丙的三种思路解决问题即可；（2）根据S△ABC=S△AOB+S△OBC-S△AOC，利用面积法解决问题即可．本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，三角形的面积，切线的性质，一次函数的应用，勾股定理，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会一题多解，学会利用面积法解决问题，属于中考压轴题．。