流体力学课件——5、圆管层流

c1

u0 h
，c2
0 ；由于 p 0 ，则代入式(3.5-6)得
u u0 y( y 0) h
(5.3-9)
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p 4L
(R2

r
2
)
知，r=0时有最大流速
u
max，且
u max
u(r) r0

p 4L
R2
平均流速 2）剪应力分布规律
u＝ Q A

pd 2 32L

p 8L
R2

1 2
u
max
根据牛顿内摩擦定律可求剪应力
－ du d [ p (R2 r 2 )] p r
(5.3-1)
不可压缩流体
u u y x y
uz z
0 ，又
uy
uz
0 ，则u 0
x
2u x 2

0
则

1
p x

v(
2u y 2

2u z 2
)

0
p

y

0
(5.3-2)
p

z

0
由式(5.3-2)知，压力p仅为x的函数，与y和z无关；即
1 4
(a)
hf
5
(b)
2
3
(c)
图 5-1 雷诺实验装置 1 — 水龙头；2—容器；3—水管；4—容器；5—控制阀
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参看图5-1，打开水龙头1，使容器2保持溢流状态；再打开管3的控制阀5 使水处于连续滴出状态。为观察流动状态，在容器4中加入染色（如红色）液 体。逐步打开阀门5，使管3中流体流速变大，可以观察到：
dp 2
dx r
p1
根据牛顿粘性定律 du
dr
再考虑到
dp p dx L
u
τ
r
p
p+dp p2
dx
L
则有
du p r
dr 2L
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2、速度分布规律与流量 对上式作不定积分，
u p r2 c
4L
(1)当水平管3中流体流速较小时，染色流体呈一条鲜明的细流（线），非 常平稳，染色线与水平管轴线平行或重合（图5－1(a)）；
(2)当管中流速增大到某定值时，染色线开始弯曲颤动，这表明管内流体 不再保持安定，不仅有横向脉动速度，而且纵向速度脉动（图5-1(b)）；
(3)继续增大流速，染色液体不再保持完整形状而是破裂成杂乱无章、瞬 息变化的状态。当使管内流速下降到一定程度时又重复前述状态。这就是著名 的雷诺实验。
dt dt dt
即uy uz 0, ux u在。上述条件下，由N－S方程可得如下方程。
p1 p
y o
z
p2
p+dp
h
τ
dx
x
L
yp o
x
z
(a) x轴在下平面上
图 5-5 平行平面缝隙流
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τ dx
L (b) x轴在h/2处
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1
p x
x
y
(5.3-6)
化简后得
p y x
2、速度分布规律与流量
积分式(5.3-3)，则有
u


p 2L
y2

c1
y

c2
(5.3-8)
式中 c1和c2为积分常数，其值必须据边界条件确定 。
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2.1 剪切流 y
h
p1
p2
u0 p1 yh
Re ud ud v
式中： ― 流体密度，kg/m3；
u — 管内平均流速，m/s；
— 动力粘度，Pa.s；
— 运动粘度，m2/s；
d — 圆管直径，对异形管为水力直径，m
水力直径可表示为
d 4A

式中: A — 过流断面面积。
— 湿周长度（与液面接触的壁面长度）。
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p x

dp dx
；压力减小服从线性
分布规律，即 dp p；对于充分宽的平行平面，任意宽度坐标z处的流动状态是相同的
dx L
即 u 。0则 z
d 2u dy 2


p
L
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1.2 微元长方体动力平衡分析法——牛顿力学法
微元长方体上的动力平衡分析法简洁明确，要求分析者对速度梯度和剪应力 的变化规律有明确判断。如图5-6所示。
边界条件： r = R，u = 0；则可得定积分常数
则
u p (R2 r 2 )
4L
c p R 2
4L
umax
(5.2-13)
u
τ
dr
R
τ0
图 5-4 圆管层流的速度和剪应力分布
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3、其他几个问题 1）最大流速与平均流速
由
u

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圆管中流体的流态判别：

Re < 2320时为层流；

Re > 2320时为紊流；
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5.2 圆管层流
1、圆管层流时的运动微分方程（牛顿力学分析法）
取长为dx 半径为r 的圆柱体，不计质量力 和惯性力，仅考虑压力和剪应力，则有
r 2 p r 2 ( p dp) 2rdx 0
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5.1 层流、紊流和雷诺判据
1、雷诺实验
流体的阻力特性直接影响到流体流动时的能量损失，为探索流体摩擦阻力 的规律，人们进行了长期研究。1883年，雷诺(Osborne Reynolds)通过大量 实验，终于发现了液体在管道中流动时有着两种不同的流动状态，阻力特性也 不相同。这种现象可用图5-1所示的雷诺实验装置观测出来。
x
y
(5.3-4)
化简后则有
p y x
又 du , dy
p x

dp dx


p L
，则有
(5.3-5)
d 2u dy 2


p L
(5.3-3)
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同样对5-6(b)中微六面体作力平衡分析有
pdzdy ( p p dx)dydz dxdz ( dy)dxdz 0
x
p2
p1
yh
x
uo p2
x
a、剪切流
b、压差流 图 5-7 平行平面流的边界状态
c、压差－剪切流
在压力差 p p1 p2 0 条件下，因平行平面间的相对运动产生的流动称剪
切流（图5-7(a)）。若下平面固定，上平面以速度u0在x向运动，边界条件为
y=0，u=0；y=h，u=u0。可定
y
随y的变大，故有 du ，而在5-6(b)中速度随y的增大而减小，故有 du
dy
dy
。两种方法导出的运动微分方程是一致的。 化简后则有
对图5-6(a)的微六面体，宽度为dz，不计质量力和惯性力，则有
pdzdy ( p p dx)dzdy dxdz ( dy)dxdz 0
层流：流体质点无横向脉动，质点互不混杂，层次分明， 稳定安详的流动状态。 紊流 ：流体质点不仅在轴（横）向而且在纵向均有不规 则脉动速度，流体质点杂乱交错的混沌流动现象。
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2、雷诺数——流态判别准则
雷诺经过大量实验发现，与流动状态的相关的流速、管径、动力粘度 和密度可归结为一个无因数——雷诺数。
(a)
(b)
图 5-6 平行平面间微元体的力
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在图5-6(a)中，微元体离O-xz平面较近，随y增加而减少，故上部剪应力
表示为 dy ；而在图5-6(b)中，由于x轴取在中缝线上，剪应力随y而 y
增大，故上部剪应力 表示为 dy ；同时必须注意到在图5-6(a)速度
dr
dr 4L
2L
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5.3 平行平面缝隙流
缝隙流 —— 间隙两端存在着压力差或构成间隙的运动副发生相对运动， 油液便在间隙中产生流动形成的另一类层流。
1、平行平面间流体运动微分方程 1.1 由N－S方程简化分析
如图5-5；在平行平面缝隙流中，粘性力处于主导地位，故惯性力可不计，即 dux du y duz ；0 因缝隙甚小，质量力可不计， X Y Z ； 0假定流动为一维流，
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《流体力学》课题组
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第五章 圆管层流和缝隙流
5.1 层流、紊流和雷诺判据 5.2 圆管层流 5.3 平行平面缝隙流 5.4 倾斜平面间的缝隙流 5.5 环形缝隙流 5.6 平行圆盘缝隙流 5.7 球面缝隙流 5.8 椭圆管层流
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v(2u x 2

2u y 2

2u ) v (u z 2 x x

u y y

uz ) z