四点共圆问题-(数学竞赛)

P

四点共圆问题

四点共圆是平面几何证题中一个十分有利的工具，四点共圆这类问题一般有以下两种形式： （1） 证明某四点共圆或者以四点共圆为基础证明若干点共圆； （2） 通过某四点共圆得到一些重要结论，进而解决问题 下面给出与四点共圆有关的一些基本知识

（1） 若干个点与某定点的距离相等，则这些点在一个圆上；

（2） 在若干个点中有两点，其他点对这两点所成线段的视角均为直角，则这些点共圆； （3） 若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角，则这四点共圆；

（4） 若点C 、D 在线段AB 的同侧，且ACB ADB ∠=∠，则A B C D 、、、四点共圆； （5） 若线段AB CD 、交于E 点，且AE EB CE ED =g g ，则A B C D 、、、四点共圆； （6） 若相交线段PA PB 、上各有一点C D 、，且PA PC PB PD =g g ，则A B C D 、、、四点共圆。 四点共圆问题不但是平面几何中的重要问题，而且是直线形和圆之间度量关系或者位置关系相互转化的媒介。

例1、已知PQRS 是圆内接四边形，0

90PSR ∠=，过点Q 作PR PS 、的垂线，垂足分别为点H K 、求证：HK 平分QS

例2、给定锐角ABC V ，以AB 为直径的圆与边AB 上的高线'

CC 及其延长线交于点M N 、，以AC 为直径的圆与AC 上的高线'

BB 及其延长线交于点P Q 、。证明：M P N Q 、、、四点共圆。

例3、在等腰ABC V 中，P 为底边BC 上任意一点，过点P 做两腰的平行线分别与AB AC 、交于点

Q R 、，又点'P 是点P 关于直线QR 的对称点。求证：点'P 在ABC V 分析：

C P'

C 例4、ABC

D 是圆内接四边形，AC 是圆的直径，BD AC ⊥，AC 与BD 的交点为

E ，点

F 在DA 的延长线上，连结BF ，点

G 在BA 的延长线上，使得//DG BF ，点

H 在GF 的延长线上，GF . 证明：B E F H 、、、四点共圆。

例5、在ABC V 的边AB AC 、上分别取点Q P 、，使得1

PBC QCB A ∠=∠=∠。求证：BQ CP =

例6、在梯形ABCD 中，//AD BC ，1BC BD ==，,1AB AC CD =<，且0

180BAC BDC ∠+∠=，求CD 的长

例7、在锐角ABC V 中AB AC ≠,AD 是高，H 是AD 上一点，联结BH 并延长交AC 于点E ，联结CH 并延长交AB 于F ，已知B C E F 、、、四点共圆，问：点H 是否一定是ABC V 的垂心？证明你的结论

C

E

例8、已知ABC V 的重心G 关于边BC 的对称点是'G ，证明：'A B G C 、、、四点共圆的充要条件是2

2

2

2AB AC BC +=

例9、若过一点的三个圆的三个不同的交点共线，则三个圆的圆心和它们的公共点共圆。

例10、已知凸五边形ABCDE 中，3,BAE BC CD DE α∠===，且满足

01802BCD CDE α∠=∠=-，求证：A B C D E 、、、、五点共圆

例11、已知A e 和B e 相交于C D 、，延长AC 交B e 于E ，延长BC 交A e 于F ，试证：C 是DEF V 的内心

A

H P

C

E Q D

课后思考题：

1、设D 是等腰Rt ABC V 底边BC 的中点，过C D 、两点（但不过点A ）任作一圆交直线AC 于E ，联结BE ，交此圆于点F ，求证：AF BE ⊥

2、AB 为O e 的直径，点C 在O e 上且OC AB ⊥，P 为O e 上一点，位于点B C 、之间，直线CP 与AB 的延长线交于点Q ，过Q 作直线与AB 垂直，交直线AP 于点R ，求证：BQ QR =

3、如图，在ABC V 中，,AD BC BE CA ⊥⊥，AD 与BE 交于点H ，P 为边AB 的中点，过点C 作

CQ PH ⊥，垂足为Q ，求证：2PE PH PQ =g

4、凸四边形ABCD 的内切圆，切边AB BC CD DA 、、、1111A B C D 、、、11111111A B B C C D D A 、、、，点E F G H 、、、分别为11111111A B B C C D D A 、、、的中点，

求证：四边形EFGH 为矩形的充分必要条件是A B C D 、、、四点共圆

5、如图，在锐角△ABC 中，AB

P

四点共圆问题

四点共圆是平面几何证题中一个十分有利的工具，四点共圆这类问题一般有以下两种形式： （3） 证明某四点共圆或者以四点共圆为基础证明若干点共圆； （4） 通过某四点共圆得到一些重要结论，进而解决问题 下面给出与四点共圆有关的一些基本知识

（7） 若干个点与某定点的距离相等，则这些点在一个圆上；

（8） 在若干个点中有两点，其他点对这两点所成线段的视角均为直角，则这些点共圆； （9） 若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角，则这四点共圆；

（10） 若点C 、D 在线段AB 的同侧，且ACB ADB ∠=∠，则A B C D 、、、四点共圆； （11） 若线段AB CD 、交于E 点，且AE EB CE ED =g g ，则A B C D 、、、四点共圆； （12） 若相交线段PA PB 、上各有一点C D 、，且PA PC PB PD =g g ，则A B C D 、、、四点共圆。 四点共圆问题不但是平面几何中的重要问题，而且是直线形和圆之间度量关系或者位置关系相互转化的媒介。

例1、已知PQRS 是圆内接四边形，0

90PSR ∠=，过点Q 作PR PS 、的垂线，垂足分别为点H K 、求证：HK 平分QS

证法一：利用P K H Q 、、、四点共圆从而得出=TKS QRP TSK ∠∠=∠然后得出=TKQ TQK ∠∠进而证明TS TK TQ ==

证法二：利用P K H Q 、、、四点共圆得出G K S Q 、、、四点共圆

进而有四边形G KQ S 为矩形

例2、给定锐角ABC V ，以AB 为直径的圆与边AB 上的高线'

CC 及其延长线交于点M N 、，以AC 为直径的圆与AC 上的高线'

BB 及其延长线交于点P Q 、。证明：M P N Q 、、、四点共圆。 证法一：设MN PQ 、交于点D 则'DP DQ DC DC =g g

'DN DM DB DB =g g ,又易知''B B C C 、、、四点共圆