中考数学复习-圆专题复习-教案
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第1页共21页 中考数学专题复习六 几何(圆）
【教学笔记】
一、与圆有关的计算问题（重点)
1、扇形面积的计算
扇形：扇形面积公式 213602nRSlR n：圆心角 R:扇形对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积
圆锥侧面展开图：
（1）SSS侧表底=2Rrr
（2）圆锥的体积：213Vrh
2、弧长的计算：弧长公式 180nRl；
3、角度的计算
二、圆的基本性质(重点）
1、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
2、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半；
推论:(1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
(2）相等的圆周角所对的弧也相等。
（3)半圆（直径)所对的圆周角是直角。
(4）90°的圆周角所对的弦是直径。
注意:在圆中,同一条弦所对的圆周角有无数个。
3、垂径定理定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧
推论：(1)平分弦（不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
(3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧
(4)在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等
三、圆与函数图象的综合 第2页共21页 一、与圆有关的计算问题
【例1】（2016•资阳）在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是( ）
A．2﹣π B．4﹣π C．2﹣π D．π
【解答】解:∵D为AB的中点，∴BC=BD=AB，∴∠A=30°,∠B=60°．∵AC=2，
∴BC=AC•tan30°=2•=2，∴S阴影=S△ABC﹣S扇形CBD=×2×2﹣=2﹣π．
故选A．
【例2】（2014•资阳)如图,扇形AOB中,半径OA=2，∠AOB=120°，C是的中点,连接AC、BC，则图中阴影部分面积是（ ）
A．﹣2 B． ﹣2 C．﹣ D．﹣
解答：连接OC，
∵∠AOB=120°,C为弧AB中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC=OB=2,
∴△AOC、△BOC是等边三角形,∴AC=BC=OA=2，
∴△AOC的边AC上的高是=,△BOC边BC上的高为, ∴阴影部分的面积是﹣×2×+﹣×2×=π﹣2，故选A．
【例3】（2013•资阳）钟面上的分针的长为1,从9点到9点30分,分针在钟面上扫过的面积是( ）
A． π B． π C． π D． π
解答： 从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°， 则分针在钟面上扫过的面积是：=π．故选：A． 第3页共21页 【例4】(2015成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和BC弧线的长分别为（ ）
A．2，3 B．23， C．3，23 D．23,43
【课后练习】
1、（2015南充）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点,AC是⊙O的直径，已知∠P=40°,则∠ACB的大小是( B ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
2、（2015达州）如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′,则图中阴影部分的面积是( B ）
A．12π B．24π C．6π D．36π
3、（2015内江）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径,∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P,则∠ADP的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
解析：连接BD,∵∠DAB=180°-∠C=50°，AB是直径，∴∠ADB=90°，∠ABD=90°-∠DAB=40°，∵PD是切线，∴∠ADP=∠B=40°．故选A．
4、（2015自贡）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,∠CDB＝30°，CD＝32，则阴影部分的面积为 第4页共21页 A．2π B．π C．3 D．32
解析：∠BOD＝60°
5、(2015凉山州）如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°,则∠A的度数为（ ）
A．80° B．100° C．110° D．130°
6、(2015凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径 ( ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
7、（2015泸州)如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点,若∠C=65°,则∠P的度数为( ）
A．65° B．130° C．50° D．100°
8、（2015眉山）如图,⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=450，则∠B的度数为（ )
A．300 B．350 C．400 D 450
9、（2015巴中）如图,在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（ ）
A．25° B．50° C．60° D．30°
10、（2015攀枝花）如图，已知⊙O的一条直径AB与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=3,CE=1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．239 B．439 C．29 D．49
11、(2015甘孜州）如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°,连接AB,则图中阴影部分的面积是
（ ）
A．π﹣2 B．π﹣4 C．4π﹣2 D．4π﹣4 第5页共21页 12、（2015达州）已知正六边形ABCDEF的边心距为3cm，则正六边形的半径为
cm．
13、（2015自贡）如图，已知AB是⊙O的一条直径,延长AB至C点，使AC=3BC，CD与⊙O相切于D点．若CD＝3，则劣弧AD的长为 ．
14、（2015遂宁)在半径为5cm的⊙O中,45°的圆心角所对的弧长为 cm．
15、（2015宜宾）如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切⊙O于点C，点B是CF的中点，弦CF交AB于点E．若⊙O的半径为2，则CF= ．
16、（2015泸州)用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径是
．
17、(2015眉山）已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半经是_________cm．
18、（2015广安）如图，A．B．C三点在⊙O上，且∠AOB=70°，则∠C= 度．
19、24．（2015巴中)圆心角为60°，半径为4cm的扇形的弧长为 cm．
20、（2015甘孜州）如图,AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为 度．
二、圆的基本性质
【例1】(2016•资阳)如图，在⊙O中,点C是直径AB延长线上一点,过点C作⊙O的切线，切点为D,连结BD．
（1）求证:∠A=∠BDC；
（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．
【解答】解：（1）如图,连接OD, 第6页共21页 ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，
又∵CD与⊙O相切于点D，∴∠CDB+∠ODB=90°，
∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∴∠A=∠BDC；
（2）∵CM平分∠ACD,∴∠DCM=∠ACM，
又∵∠A=∠BDC,∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，∵∠ADB=90°,DM=1,∴DN=DM=1，∴MN==．
【例2】（2015•资阳)如图11，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点,连接DE.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接AE，若∠C=45°，求sin∠CAE的值.
解答:解:（1）连接OD，BD,∴OD=OB ∴∠ODB=∠OBD．
∵AB是直径，∴∠ADB=90°,∴∠CDB=90°．
∵E为BC的中点,∴DE=BE,∴∠EDB=∠EBD，
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD,即∠EDO=∠EBO．
∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC,∴∠EBO=90°，∴∠ODE=90°,
∴DE是⊙O的切线；
（2）作EF⊥CD于F，设EF=x
∵∠C=45°，∴△CEF、△ABC都是等腰直角三角形，∴CF=EF=x，
∴BE=CE=x，∴AB=BC=2x,在RT△ABE中，AE==x，
∴sin∠CAE==．
【例3】（2014•资阳）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C,连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E,连接AD．
（1）求证：△CDE∽△CAD； 第7页共21页 (2）若AB=2，AC=2，求AE的长．
解答: （1）证明：∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠B+∠BAD=90°，
∵AC为⊙O的切线，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAE=90°,∴∠B=∠CAD，
∵OB=OD,∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE,∴∠B=∠CDE,∴∠CAD=∠CDE，
而∠ECD=∠DCA,∴△CDE∽△CAD；
（2）解：∵AB=2,∴OA=1，
在Rt△AOC中,AC=2,∴OC==3,∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2,
∵△CDE∽△CAD，∴=，即=，∴CE=．
【例4】(2013•资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．
（1）如图1,若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
（2）如图2,若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．
解答： （1）如图，过点O作OE⊥AC于E，则AE=AC=×2=1，
∵翻折后点D与圆心O重合，∴OE=r，
在Rt△AOE中,AO2=AE2+OE2，即r2=12+（r）2，解得r=;
（2）连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°,
