函数图像的变换

函数图像变换与旋转一.平移变换：1.y=f （x ）→y=f(x±a )(a>0) 原图像横向平移a 个单位（左+右-）2.y=f （x ）→y=f(x)±b(b>0) 原图像纵向平移b 个单位（上+下-）3.若将函数y=f （x ）的图像右移a ，上移b 个单位，得到函数y=f （x-a ）+b二．对称变换：1.y=f （x ）→y=f(-x) 原图像与新图像关于y 轴对称；对比：若f=（-x ）=f （x ） 则函数自身的图像关于y 轴对称；2.y=f （x ）→y=-f(x) 原图像与新图像关于x 轴对称；3.y=f （x ）→y=-f(-x) 原图像与新图像关于原点对称；对比：若f （-x ）=-f （x ） 则函数自身的图像关于原点对称；4.y=f （x ）→y=f -1（x ） 原图像与新图像关于直线y=x 对称；5.y=f （x ）→y=f -1（-x ） 原图像与新图像关于直线y=-x 对称；6.y=f （x ）→y=f（2a-x ） 原图像与新图像关于直线x=a 对称；7.y=f （x ）→y=2b-f （x ） 原图像与新图像关于直线y=b 对称；8.y=f （x ）→y=2b-f （2a-x ） 原图像与新图像关于点（a ，b ）对称； 三．翻折变换：1. y=f （x ）→y=f(|x|)的图像在y 轴右侧（x>0）的部分与y=f （x ）的图像相同，在y 轴的左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称；2. y=f （x ）→y=|f(x)|的图像在x 轴上方部分与y=f （x ）的图像相同，其他部分图像为y=f （x ）图像下方部分关于x 轴的对称图像；3. y=f （x ）→y=f(|x+a|)变换步骤：法1:先平移|a|个单位（左+右-）保留直线x=a 右边图像，后去掉直线x=a 左边图像并作关于直线x=a 对称图像y=f （x ）→y=f(x+a )→y=f(|x+a|)法2:先保留y 轴右边图像，去掉y 轴左边图像，并作关于y 轴对称图像，后平移|a|个单位（左+右-）y=f （x ）→y=f(|x|)→y=f(|x+a|)四．伸缩变换：1.y=f （x ）→y=af(x)（a>0） 原图像上所有点的纵坐标变为原来的a 倍，横坐标不变；2.y=f （x ）→y=f(ax)（a>0） 原图像上所有的横坐标变为原来的1a ，纵坐标不变；五．对称性：1.函数自身对称性之轴对称：（1）.若f （x ）=f （2a-x ）（或f （a+x ）=f （a-x ）或f （-x ）=f （2a+x ））则函数自身关于直线x=a 对称；（2）.若y=f （x ）的图像关于直线x =a+b 2对称 等价于f （a+mx ）=f （b-mx ）等价于 f （a+b-mx ）=f （mx ）；2.函数自身对称性之中心对称：（1）.若f （mx+a ）=-f （b-mx ），则函数自身关于点（a+b 2，0）对称； （2）.若f （mx+a ）+f （b-mx ）=c ，则函数自身关于点（a+b 2，c 2）对称； （3）.若f(a+x)+f(a-x)=2b （或f （x ）+f(2a-x)=2b 或f （-x ）+f(2a+x)=2b则函数自身关于点（a,b ）对称；3.不同函数之间的对称性：（1）.函数y=f （a+x ），y=f （b-x ）的图像关于直线x =b−a 2对称；推论：函数y=f(a+x)与f(a-x)的图像关于直线x=0对称；函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a 对称；函数y=f(-x)与y=f(2a+x)的图像关于直线x=-a 对称；特例：函数y=f （a+x ），y=f （a-x ）的图像关于直线x=0对称；（2）.函数y=f （a+x ），y=-f （b-x ）的图像关于点（b−a 2，0）对称；特例：函数y=f （a+x ）与y=-f （a-x ）关于原点中心对称4.抽象函数的对称性：（1）.性质一：若函数y=f(x)关于直线x=a 轴对称，则以下三个时式子成立切等价： f(a+x)=f(a-x); f(2a-x)=f(x); f(2a+x)=f(-x)；（2）.性质二：若函数y=f(x)关于点（a ，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： f(a+x)=-f(a-x); f(2a-x)=-f(x); f(2a+x)=-f(-x);易知，y=f （x ）为偶（或奇）函数分别为性质一（或二）当a=0时的特例；六．周期性；1.f （x+a ）=f （x ） 周期：|a|2.f （x+a ）=-f （x ） 周期：2|a|3.f （x+a ）=±1f （x ）（或−11+f (x )） 周期：2|a| 4.f （x+a ）=f （x-a ） 周期：2|a|5.f （x+a ）=-f （x-a ） 周期：4|a|6.f （x+a ）=1−f （x ）1+f （x ）（或1+f （x ）1−f （x ）） 周期：4|a|7.f(x+2a)=f(x+a)-f(x) 周期：6|a|8.若p>0,f(px)=f(px-p 2) 周期：p 2 七．对称性与周期性：1.若y=f （x ）的图像关于直线x=a ，x=b 对称（a 不等于b ），则f （x ）是周期函数， 且周期T=2|a-b|；特例：若y=f （x ）是偶函数且其图像关于直线x=a 对称，则周期T=2|a|；2.若y=f （x ）关于点（a ，0），（b ，0）对称，则f （x ）是周期函数，且周期T=2|a-b|；3.若y=f （x ）的图像关于直线x=a ，对称中心（b ，0）对称（a 不等于b ）则f （x ）为周 期函数，且周期T=4|a-b|；特例；若y=f （x ）是奇函数且其图像关于直线x=a 对称，则周期T=4|a|；综上：若函数的图像同时具备两种对称性，两条对称轴或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数。

函数的图象变换函数图象的基本变换：(1)平移；(2)对称；(3)伸缩。

由函数y = f (x)可得到如下函数的图象1． 平移：(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平移-m 个单位）。

(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平移-m 个单位）。

2． 对称：✧ 关于直线对称(Ⅰ) (1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。

(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。

(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。

(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。

(5)函数)x (f y 1-=与y = f (x)的图象关于直线y = x 对称。

(6)函数)x (f y 1--=-与y = f (x)的图象关于直线y = -x 对称。

(Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。

（留正去负，正左翻（关于y 轴对称））；(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。

(留正去负，负上翻；)一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (b -mx)的图象关于直线m2a b x -=对称。

✧ 关于点对称(1) 函数y = - f (-x)与y = f (x)的图象关于原点对称。

(2) 函数y = 2b -f (2a -x)与y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。

3． 伸缩(1) 函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的m 1倍得到。

函数图像的四种变换1．平移变换左加右减，上加下减)()(axfyxfy+=−→−=沿x轴左移a个单位；)()(axfyxfy-=−→−=沿x轴右移a个单位；axfyxfy+=−→−=)()(沿y轴上移a个单位；axfyxfy-=−→−=)()(沿y轴下移a个单位。

2.对称变换同一个函数求对称轴或对称中心，则求中点或中心。

两个函数求对称轴或对称中心，则求交点。

（1）对称变换）①函数)(xfy=与函数)(xfy-=的图像关于直线x=0(y轴)对称。

②函数)(xfy=与函数)(xfy-=的图像关于直线y=0(x轴)对称。

③函数)(axfy+=与)(xbfy-=的图像关于直线2ab x -=对称（2）中心对称①函数)(xfy=与函数)(xfy--=的图像关于坐标原点对称②函数)(xfy=与函数)2(2xafyb-=-的图像关于点（a,b）对称。

3伸缩变换（1）)(xafy=的图像，可以将)(xfy=的图像纵坐标伸长（a>1）或缩短（a<1）到原来的a倍，横坐标不变。

（2）)(axfy=（a>0）的图像，可以将)(xfy=的横坐标伸长（0<a<1）或缩短（a>1）到原来的1/a倍，纵坐标不变。

4．翻折变换（1）形如)(x f y =，将函数)(x f 的图像在x 轴下方的部分翻到x 轴上方，去掉原来x 轴下方的部分，保留原来在x 轴上方的部分。

!（2）形如)(y x f =，将函数)(x f 在y 轴右边的部分沿y 轴翻到y 轴左边并替代原来y 轴左边部分，并保留)(x f y 轴左边部分，为)(y x f =的图像。

习题：①做出32y 2++=）（x 的图像 ②做出3+=x y 的图像。

函数图像伸缩变换
函数图像伸缩变换规律：
1、平移变换，平移变换又分为两种，一是左右平移变换，而是上下平移变换。

2、对称变换，当y=f（x）是奇函数时，它的图像则关于原点对称，当y=f（x）为偶函数时，它的图象则关于y轴对称。

3、伸缩变换法，它是把图象上的所有点的纵坐标改变成原来的A 倍从而得到的。

函数图像伸缩变换规律是显示函数变化、化繁为简的重要解题方法。

扩展资料：
函数图象性质：
1、作法与图形：通过如下3个步骤（1）算出该函数图象与Y轴和X轴的交点的坐标（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。

2、性质：在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：
y=kx+b。

3、k，b与函数图象所在象限。

当k>0时，直线必通过一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大；
当k<0时，直线必通过二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小；
当b>0时，直线必通过一、二象限；当b<0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限；当k<0时，直线只通过二、四象限。

4、（1）函数关系中自变量可取值的集合叫做函数的定义域。

反比例函数图像求用解析式表示的函数的定义域，就是求使函数各个组成部分有意义的集合的交集，对实际问题中函数关系定义域，还需要考虑实际问题的条件。

（2）值域与定义域内的所有x值对应的函数值形成的集合，叫做函数的值域。

（3）单调性定义：对于给定区间上的函数f(x)。

函数的变换（平移，对称，翻折，周期）【自主梳理】1．() (0)y f x a a =+>的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到．() (0)y f x a a =->的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到． 2．() (0)y f x b b =+>的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到．() (0)y f x b b =->的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到． 3．() (0)y Af x A =>的图象可由()y f x =图象上所有点的纵坐标变为 ，不变而得到．4．() (0)y f ax a =>的图象可由()y f x =图象上所有点的横坐标变为 ，不变而得到． 【自我检测】1．若()f x 的图象过(0,1)点，则(1)f x +的图象过点 ． 2．函数2xy =的图象向右平移2个单位所得函数解析式为 ． 3．将函数lg()y x =-的图象 可得函数lg(1)y x =-+的图象．4．函数xy x a =-+的图象的对称中心为(1,1)--，则a = ． 5．将函数1cos 2y x =图象的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标扩大为原来的2倍，所得函数解析式为 ． 6．为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点向左平移 个单位长度，再向 平移个单位长度． 二、课堂活动： 【例1】填空题：（1）设函数()y f x =图象进行平移变换得到曲线C ，这时()y f x =图象上一点(2,1)A -变为曲线C 上点(3,3)A '-，则曲线C 的函数解析式为．（2）如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是．（3）要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos2y x =的图象． （4）若函数()2sin y x θ=+的图象按向量(,2)6π平移后，它的一条对称轴是4x π=，则θ的一个可能的值是．【例2】作出下列函数的图象．（1）12x y -= （2）211x y x +=-【例3】（1）函数()24log 12y x x =-+的图象经过怎样的变换可得到函数2log y x =的图象？（2）函数21cos cos 12y x x x =+⋅+的图象可由sin y x =的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【自主梳理】1．（1）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称； （2）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于对称；（3）函数()y f x =--与()y f x =的图像关于 对称． 2．奇函数的图像关于对称，偶函数图像关于对称．3．若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()()f a x f b x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称． 4．对0a >且1a ≠，函数xy a =和函数log a y x =的图象关于直线对称．5．要得到()y f x =的图像，可将()y f x =的图像在x 轴下方的部分以为轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．6．要得到()y f x =的图像，可将()y f x =，[)0,x ∈+∞的部分作出，再利用偶函数的图像关于的对称性，作出(),0x ∈-∞时的图像．3．函数y e =-的图象与函数 的图象关于坐标原点对称．4．将函数1()2x f x +=的图象向右平移一个单位得曲线C ，曲线C '与曲线C 关于直线y x =对称，则C '的解析式为 ．5．设函数()y f x =的定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像的关系为关 于 对称． 6．若函数()f x 对一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，且方程()0f x =恰好有四个不同实根，求这些实根之和为 ． 二、课堂活动：（1（2）对于定义在R 上的函数()f x ，有下列命题，其中正确的序号为．①若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；②若对x R ∈，有(1)(1)f x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线1x =对称；③若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 是偶函数；④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称．（3）将曲线lg y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到曲线C ．如果曲线C '与C 关于原点对称，则曲线C '所对应的函数式是．【例2】作出下列函数的图象：（1）12log ()y x =-；（2）12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）2log y x =；（4）21y x =-．【例3】（1）将函数12log y x =的图象沿x 轴向右平移1个单位，得图象C ，图象C '与C 关于原点对称，图象C ''与C '关于直线y x =对称，求C ''对应的函数解析式； （2）已知函数()y f x =的定义域为R ，并且满足(2)(2)f x f x +=-．①证明函数()y f x =的图象关于直线2x =对称；②若()f x 又是偶函数，且[]0,2x ∈时，()21f x x =-,求[]4,0x ∈-时()f x 的表达式．一.周期函数的定义：设函数y=f(x)的定义域为D ，若存在常数T ≠0，使得对一切x ∈D ，且x+T ∈D 时都有f(x+T)=f(x)，则称y=f(x)为D 上的周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期。

函数图象的几种常见变换⑪ 平移变换：左右平移---“左加右减”（注意是针对x 而言）；上下平移----“上加下减”(注意是针对()f x 而言).⑫翻折变换：()|()|→f x f x ；“下沿X 轴翻折到上面”()(||)→f x f x .“右往左翻折—沿Y 轴”⑬对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.②证明图像1C 与2C 的对称性,即证1C 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C 上,反之亦然.③函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =(y 轴)对称；函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于直线0y =(x 轴)对称；④若函数()y f x =对x R ∈时，()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立,则()y f x =图像关 于直线x a =对称；⑤若()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则()y f x =图像关于直线2a b x +=对称；⑥函数()y f a x =+,()y f b x =-的图像关于直线2b a x -=对称(由a x b x +=-确定)；⑦函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于直线2a b x +=对称；⑧函数()y f x =,()y A f x =-的图像关于直线2A y =对称(由()()2f x A f x y +-=确定)；⑨函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点成中心对称；函数()y f x =,()y n f m x =--的图像关于点22(,)m n对称；⑩函数()y f x =与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称；曲线1C ：(,)0f x y =,关于y x a =+,y x a =-+的对称曲线2C 的方程为(,)0f y a x a -+=(或(,)0f y a x a -+-+=；曲线1C ：(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线2C 方程为：(2,2)0f a x b y --=. 9.函数的周期性：⑪若()y f x =对x R ∈时()()f x a f x a +=-恒成立,则 ()f x 的周期为2||a ；⑫若()y f x =是偶函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为2||a ；⑬若()y f x =奇函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为4||a ；⑭若()y f x =关于点(,0)a ,(,0)b 对称,则()f x 的周期为2||a b -；⑮()y f x =的图象关于直线x a =,()x b a b =≠对称,则函数()y f x =的周期为2||a b -；⑯()y f x =对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1()()f x f x a +=-,则()y f x =的周期为2||a ；。