函数图像及其变换解读
数x
y 4=的图象分别交于点P 、Q ，且点P 在直线上方，点Q 在直线下方，要使得方程0
44=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k k x x x x 所对应的点),,2,1)(4,(k i x x i i =均在直线x y =的同侧，只须将函数
3x y =图像上下平移，将点Q 移至函数x
y 4=图像与直线x y =交点A )2,2(--左侧或将点P 移至函数x
y 4
=图像与直线x y =交点B )2,2(右侧即可。将点A 与点B 坐标分别代入方程a x y +=3解得6=a 或6-=a 。从而可得实数a 的取值范围是a ＞6或a ＜－6。
（二）伸缩变换及其应用：
函数)(bx af y =的图像可以看作是由函数)
(x f y =的图像先将横坐标伸长|(|b ＜1）或缩短|(|b ＞1）到原来的|
|1b 倍，再把纵坐标伸长|(|a ＞1）或缩短|(|a ＜1）到原来的||a 倍即可得到。如：
例2、（2008上海文11）在平面直角坐标系
中，点C B A ,,的坐标分别为)6,2(),2,4(),1,0(。如果),(y x P 是△ABC 围成的区域（含边界）上的点，那么当xy =ω取得最大值时，点
P 的坐标是 。
分析：由xy =ω变形可得x
y ω=，则问题可转化为当函数x
y ω=的图象与△ABC 围成的区域（含边界）有公共点时求ω的最大值的问题。由函数图
像伸缩变换的规律可知，ω的值越大，则函数x
y ω
=图象上点的横纵坐标越大，即图像整体越向上移动，由此可以判定，当ω取得最大值时，函数x
y ω
=的图象与△ABC 的边BC 相切或过经点C 。下面求点P 的坐标。
法一：由线段BC 与函数的解析式联立方程组可得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-==).42(102,x x y x y ω消去y 得方程01022=+-ωx x ，由
判别式△=0解得225=ω，此时25=x ，从而得点)5,2
5(P 。即所求点P 的坐标是)5,2
5(P 。 法二：线段BC 的方程为：)40(102≤≤=+x y x ， 则225
)22(21221
2=+≤⋅⋅===y x y x xy ω，当且仅当52==y x ，即.5,25
==y x 所以所求点P 的坐标是)5,2
5(P 。 （三）对称变换：
函数当中，图像关于某点或某条直线对称的情
况较多，除函数的奇偶性、互为反函数的两函数与对称性有关之外，还经常会出现其他一些情况，这就需要我们能够掌握“以点代线”的数学方法对具体情况进行分析。常见情况有以下几种。
1、关于特殊直线的轴对称变换：
）（轴x f y x f y y -=−→−=)(；
）（轴x f y x f y x -=−→−=)( ； ）（y f x x f y x y =−−→−==)(（两者互为
反函数）；
2、关于特殊点的对称变换：
）（），原点（x f y x f y --=−−−→−=00)(；
3、局部对称变换：偶函数），）（(||)(x f y x f y =−→−=
；）（||)(x f y x f y =−→−=
注：以上为两个函数图像之间的关系。
4、自身对称变换：若函数y=f （x ）满足
），（）（或x a f x a f x a f x f +=--=)2()(则函数y=f （x ）的图像关于直线x=a 对称。特别地，当0=a 时，函数)(x f 为偶函数。
若函数y=f （x ）满足)()(x f x f -=-，则函数y=f
（x ）的图像关于原点成中心对称。即函数)(x f 为奇函数。
例3、（2005上海理16）设定义域为R 的函
数,1,01||,1|lg |)(⎩⎨⎧=≠-=x x x x f 则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有
7个不同实数解的充要条件是（ ）
A 、b ＜0且c ＞0
B 、b ＞0且c ＜0
C 、b ＜0且0=c
D 、0≥b 且0=c 。
（
图三）
（图四） 分析：函数)1(||1|lg |≠-=x x y 的图像是由函数
||lg x y =的图像先向右平移一个单位，得到函数
)
1(|1|lg ≠-=x x y 的图像，再将函数)1(|1|lg ≠-=x x y 的图像位于x 轴上方部分保持不变，下方的部分关于x 轴通过局部对称得到。又因为0)1(=f ，所以由（图三）可知，函数)(x f 图像与x 轴有三个公共点。
x y 2-22c -c 0x y 1=x )
1(||1|lg | x x y -=)1(||1|lg | x x y -=2-20b y -=
方程0
bf
x
f中，若b＜0且0=c，则由
+c
x
+
)
)
(
(2=
bf
x
f可得0
+x
(2=
(
)
)
=
)
(。结合函数)(x f图像
f-
x
(=
)
f或b
x
易知，方程0
f-
=
)
(有
x
)
(=
x
f有三个不同的解，方程b
四个不同的解，即方程0
+c
x
bf
x
f有7个不同
+
)
(
)
(2=
实数解。所以选C。
值得一提的是，在高考当中，对函数图像的考查，并不一定考查某一单一的变换，有时可能是几种变换同时考查。如：
（2003上海理16）)(x f是定义在区间],[c c-例4、
上的奇函数，其图像如图（四），令b
(
)
(，
x
=)
g+
af
x
则下列关于函数)(x g的叙述正确的是（）（A）若a＜0，则函数)(x g的图像关于原点对称；
（B）若1=a，0＜b＜2，则方程0
g有大于2的
x
(=
)
实根；
（C）若2-=a，b=0，则函数)(x g的图像关于y轴对称；
（D）若0≠a，b=2，则方程0
g有3个实根。
x
)
(=
分析：由图（2）知)0
=b
g，
)0(≠
0(=
f，若b≠0，则0此时)(x g的图像不关于原点对称，所以A选择支不符合题意。当1-=a时，)(x g的图像可由)(x f的图像关于x轴对称，再向下平移||b个单位得到。此
