高考数学一轮复习6 第6讲 二项分布及其应用

二项分布概念：二项分布即重复n次独立的伯努利试验。

在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布。

该事件发生k次的概率为:P=C(k,n)×p^k×(1-p)^(n-k)，其中C(k,n)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数.，p为事件发生的概率，k是发生的次数，其中k=1,2,3...n，Ek=np，方差:Dk=np(1-p)例6-1某种药物治疗某种非传染性疾病的有效率为0.70，无效率为0.30。

今用该药治疗该疾病患者10人，试分别计算这10人中有6人、7人、8人有效的概率(《医学统计学》，第三版，孙振球)。

#源代码例6-1：dbinom(6,10,0.7)#二项分布函数dbinom(7,10,0.7)dbinom(8,10,0.7)#其中dbinom(k,n,p)中，k是发生的次数，10是共次数，p是概率>#源代码例6-1：>dbinom(6,10,0.7)[1]0.2001209>dbinom(7,10,0.7)[1]0.2668279>dbinom(8,10,0.7)[1]0.2334744>#其中dbinom(k,n,p)中，k是发生的次数，10是共次数，p是概率例6-2在对13名输卵管结扎的育龄妇女经壶腹部-壶腹部吻合术后，观察其受孕情况，发现有6人受孕，试据此资料估计该吻合术受孕率的95%可信区间。

#源代码例6-2：binom.test(6,13,p=6/13,conf.level=0.95)>#源代码例6-2：>binom.test(6,13,p=6/13,conf.level=0.95)Exact binomial testdata:6and13number of successes=6, number of trials=13, p-value=1alternative hypothesis:true probability of success is not equal to0.461538595percent confidence interval:0.19223240.7486545sample estimates:probability of success0.4615385例6-3在观测一种药物对某种非传染性疾病的治疗效果时，用该药治疗了此种非传染性疾病患者100人，发现55人有效，试据此估计该药物治疗有效率的95%可信区间。

第64课时 二项分布及其应用【考点点知】知己知彼，百战不殆新课标对二项分布的要求是：了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．本节在高考试题中多以解答题的形式考查,有时也以选择和填空的形式考查,解决本节问题的思路是:首先要搞清事件间的关系,然后根据相应的概率公式求解.对于较复杂的概率问题,就应该分清事件的构成和概率的转化,并注意运用集合的观点将复杂事件的概率向简单事件的概率转化.考点一:二项分布 (1)二项分布概念如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：kn k k n qp C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0 ] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B （n·p），其中n ，p 为参数，并记p)n b(k;qp C k n k k n ⋅=- (2)二项分布的判断与应用.①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.【小题热身】明确考点，自省反思1.已知随机变量ξ服从二项分布,1(6,)3B ξ ,则(2)P ξ== .2.（2010江西卷）有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是(01)p p ＜＜，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为 .3.(2010湖北卷)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为 （用数字作答）.【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为________．命题立意:本题考查二项分布与二项式定理的综合,考查知识迁移的能力.思路透析:由题，因为()p n B ,~ξ且ξ取不同值时事件互斥，所以，[][]n n n n n n n n n p p q p q q p C q p C q p C P P P P )21(121)()(21)4()2()0(44422200-+=-++=+++=+=+=+==-- ξξξ（因为1=+q p ，所以p p q 21-=-）点评：本题获解的切入点是二项展开式中的偶数次的和.这需要抓住np q )(+与n p q )(-展开式的特点：联系与区分，从而达到去除p 奇次，留下p 偶次的目的.例2.某车间有5台机床，每台机床所附电动机功率均为10kW ，每台机床是否工作是独立的，且工作的概率均为15．若供电部门只能提供30kW 的电力给该车间，试问是否会对该车间的正常工作产生较大影响？思路透析:用ξ表示开动机床的台数，如果开动4台或4台以上的机床，则用电超过30kW ，不能正常工作．所以事件（ξ≥4）表示该车间不能正常工作．由于每台机床工作的概率均为15，各台机床工作与否又彼此独立，所以ξ服从二项分布：ξ~()B 515，．ξ的分布列如表不能正常工作的概率为：P P P ()()()ξξξ≥==+=445445555141()()()555C C =+210.006723125=≈ 若按一天8小时工作时间计算，不能正常工作的时间为0006728603.⨯⨯≈分钟，对生产几乎没有影响．点评：本题考查二项分布解决实际问题的能力,属综合题.像本例中，事件()ξ≥4发生的概率（0.00672）很小，一般称这样的事件（指概率小于0.05）为小概率事件．由于小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，因此通常可视小概率事件为不可能事件而忽略不计，如客机、客车在正常行进中发生重大灾难事故等．例 3.抛掷两个骰子,取其中一个的点数为点P 的横坐标,另一个点数为P 的纵坐标,求连续抛掷这两个骰子三次,点P 在圆2216x y +=内次数ξ的概率分布.命题立意:这是一道二项分布的计算与概率综合的问题,考查概率与解几的交汇,有利于学生分析问题能力的提高.思路透析:点P 的坐标可能有6636⨯=种情况,而符合题意的点只有下列8个:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(1,3),(2,3),(3,2).那么在抛掷骰子时,点P 在圆2216x y +=内的概率为82369=,由题意可知(3,)B p ξ ,所以003327343(0)()()99729P C ξ===,112327294(1)()()99729P C ξ===22132784(2)()()99729P C ξ===,3303278(3)()()99729P C ξ===可得ξ的分布列如下表:点评:先求出在一次试验中点P 在圆2216x y +=内的概率,然后结合题意知(3,)B p ξ ,这是解决问题的关键.例 4.一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A 的各位数字中,11,(2,3,4,5)k a a k ==出现0的概率为13,出现1的概率为23.例如:A=10 001,其中151a a ==,2340a a a ===,记12345a a a a a ξ=++++.当启动一次仪器时:(Ⅰ)求3X =的概率 (Ⅱ)求X 的概率分布.思路透析(Ⅰ)3X =时,(2,3,4,5)k a k =中有2个1,2个0出现,所以2224218(3)()()3327P X C ==⨯⨯=.(Ⅱ)设3Y X =-,则2(4,)3Y B .所以4421(1)()()33kk k P Y X k C -=-==⨯⨯即4421(1)()()kk k P X k C -=+=⨯⨯,故X 的概率分布如表:点评:.二进制属信息技术的范畴,计算机技术已融入新课程之中,在概率与统计处命制交汇题,立意新颖,富有时代气息.【即时测评】学以致用，小试牛刀1. 一射手对同一目标独立地进行了四次射击，已知他至少命中一次的概率为6581，则四次射击中他命中三次的概率为( ) A.3281B. 1681C. 481D. 8812. 一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是( ) A. 0.1808 B. 0.1708 C. 0.1608 D. 0.15083. 在四次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A. [0.4,1)B. [0.6,1)C. [0,0.6)D. [0.4,0.6) 4. 已知随机变量ξ服从二项分布1~(6,)3B ξ,则P (ξ=2) =( )A. 75243B. 60243C. 80243D. 85243 【课后作业】学练结合，融会贯通一、填空题:1. 某产品寿命超过１０００小时的为一级品，如果此产品中一级品率为０.２，现从中任抽取５件，其中恰有两件一级品的概率为 .2. 袋中有5个球,用1,2,3,4,5编号,从中抽取3次,每次抽取一个且抽后放回,则3次中恰有两次抽得奇数编号的概率为 .3. 已知一组抛物线1212++=bx ax y ，其中a 为2,4,6,8中任取的一个数，b 为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x =1交点处的切线相互平行的概率是 .4. 设随机变量X 的概率分布列为()(1,2,,)P X k ak k n === ,则常数a = .5. 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0．80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 ．（精确到0．01）6. 设随机变量(2,)X B p ,随机变量(3,)Y B p ,如果3(1),4P X ≥= 则(1)P X ≥=二、解答题:7. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（I ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II ）任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．8.下面玩掷骰子放球游戏，若掷出1点，甲盒中放一球，若掷出2点或3 点，乙盒中放一球，若掷出4点、5点或6点，丙盒中放一球，设掷n 次后，甲、乙、丙各盒内的球数分别为z y x ,,.(Ⅰ)n =3时，求z y x ,,成等差数列的概率; (Ⅱ)当n =6时，求z y x ,,成等比数列的概率.第64课时 二项分布及其应用参考答案【小题热身】1. 802432. 1(1)n p --3. 0.9477【即时测评】1. D2. A3. A4. C【课后作业】一、填空题:1. 0.020482. 0.4323. 6074. 2(1)n n + 5. 0.94 6. 78 二、解答题:7.解析:任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =． （I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=所以该人参加过培训的概率是21110.10.9P P =-=-=． 解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是3()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=该人参加过两项培训的概率是4()0.60.750.45P P A B ==⨯= ． 所以该人参加过培训的概率是5340.450.450.9P P P =+=+=．（II ）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布(30.9)B ，，33()0.90.1kk k P k C ξ-==⨯⨯，0123k =，，，，即ξ的分布列是8.解析:(Ⅰ)∵z x y z y x +==++2,3①⎪⎩⎪⎨⎧===210z y x ②⎪⎩⎪⎨⎧===111z y x ③⎪⎩⎪⎨⎧===012z y x ①表示：掷3次，1次出现2点或3点，2次出现4点，5点或6点，共13C 种情况,故2,1,0===z y x 的概率为41)21(·)31()61(3210=②1===z y x 的概率为6121·31·61·6＝③0,1,2===z y x 的概率为 361)21()31()61(3012=故n ＝3时，x 、y 、z 成等差数列，概率为943616141=++ (Ⅱ)n=6时，x 、y 、z 成等比数列. ∴2===z y x 所求概率为725)21()31()61(222224226=C C C .。

第7节二项分布及其应用最新考纲了解n次独立重复试验的模型及二项分布.知识梳理1.事件的相互独立性（1）定义：设A，B为两个事件，如果P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A 与事件B相互独立.（2）性质：若事件A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立，P（B|A）＝P（B），P（A|B）＝P（A）.2.独立重复试验与二项分布（1）独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中A i（i＝1，2，…，n）是第i次试验结果，则P（A1A2A3…A n）＝P（A1）P（A2）P（A3）…P（A n）.（2）二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（X＝k）＝C k n p k（1－p）n－k（k＝0，1，2，…，n），此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率.[常用结论与微点提醒]1.相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P（AB）＝P（A）P（B）.互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P（A∪B）＝P（A）＋P（B）.2.（1）判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.（2）二项分布与超几何分布的联系与区别.有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体数量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.诊 断 自 测1.思考辨析（在括号内打“√”或“×”）（1）若事件A ，B 相互独立，则P （B |A ）＝P （B ）.（ ）（2）P （AB ）表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P （AB ）＝P （A ）·P （B ）.（ ）（3）二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P （X ＝k ）＝C k n p k （1－p ）n －k ，k ＝0，1，2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布.（ ）解析 对于（2），若A ，B 独立，则P （AB ）＝P （A ）·P （B ），若A ，B 不独立，则P （AB ）＝P （A ）·P （B |A ），故（2）不正确. 答案 （1）√ （2）× （3）√2.设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P （X ＝3）等于（ ）A.516B.316C.58D.38解析 X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，由二项分布可得， P （X ＝3）＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516. 答案 A3.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ） A.12B.512C.14D.16解析 设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品；事件B ：乙实习生加工的零件为一等品，且A ，B 相互独立，则P （A ）＝23，P （B ）＝34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P （AB －）＋P （A －B ）＝P （A ）P （B －）＋P （A －）P （B ）＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＝512.答案 B4.连续掷一个质地均匀的骰子3次，各次互不影响，则恰好有一次出现1点的概率为 .解析 掷一次骰子出现1点的概率为P ＝16，所以所求概率为P ＝C 13·16·⎝ ⎛⎭⎪⎫562＝2572. 答案 25725.（2018·嘉兴测试）天气预报，端午节假期甲、乙、丙三地降雨的概率分别是0.9，0.8，0.75，若甲、乙、丙三地是否降雨相互之间没有影响，则其中至少一个地方降雨的概率为 .解析 ∵甲、乙、丙三地降雨的概率分别是0.9，0.8，0.75， ∴甲、乙、丙三地不降雨的概率分别是0.1，0.2，0.25， 甲、乙、丙三地都不降雨的概率是0.1×0.2×0.25＝0.005， 故至少一个地方降雨的概率为1－0.005＝0.995. 答案 0.995考点一 相互独立事件的概率【例1】 （2017·天津卷）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.（1）记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 解 （1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，P （X ＝0）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P （X ＝1）＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P （X ＝2）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P （X ＝3）＝12×13×14＝124. 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E （X ）＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.（2）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P （Y ＋Z ＝1）＝P （Y ＝0，Z ＝1）＋P （Y ＝1，Z ＝0） ＝P （Y ＝0）P （Z ＝1）＋P （Y ＝1）P （Z ＝0） ＝14×1124＋1124×14＝1148.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.规律方法 （1）求解该类问题在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算. （2）求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.②正面计算较繁（如求用“至少”表述的事件的概率）或难以入手时，可从其对立事件入手计算.【训练1】 某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答对这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错的概率是112，乙、丙两个家庭都回答对的概率是14.若各家庭回答是否正确互不影响.（1）求乙、丙两个家庭各自回答对这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答对这道题的概率.解 （1）记“甲答对这道题”、“乙答对这道题”、“丙答对这道题”分别为事件A ，B ，C ，则P （A ）＝34，且有 ⎩⎪⎨⎪⎧P （A －）·P （C －）＝112，P （B ）·P （C ）＝14，即⎩⎪⎨⎪⎧[1－P （A ）]·[1－P （C ）]＝112，P （B ）·P （C ）＝14，所以P （B ）＝38，P （C ）＝23. （2）有0个家庭回答对的概率为P 0＝P （A －B －C －）＝P （A －）·P （B －）·P （C －）＝14×58×13＝596，有1个家庭回答对的概率为P 1＝P （AB －C －＋A －BC －＋A －B －C ）＝34×58×13＋14×38×13＋14×58×23＝724，所以不少于2个家庭回答对这道题的概率为P ＝1－P 0－P 1＝1－596－724＝2132. 考点二 独立重复试验与二项分布【例2】 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得－200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率.解 （1）设“每盘游戏中击鼓三次后，出现音乐的次数为ξ”.依题意，ξ的取值可能为0，1，2，3，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，则P （ξ＝k ）＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫123－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＝C k 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫123. 又每盘游戏得分X 的取值为10，20，100，－200.根据题意 则P （X ＝10）＝P （ξ＝1）＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38，P （X ＝20）＝P （ξ＝2）＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38， P （X ＝100）＝P （ξ＝3）＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P （X ＝－200）＝P （ξ＝0）＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.所以X 的分布列为（2）设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i （i ＝1，2，3）， 则P （A 1）＝P （A 2）＝P （A 3）＝P （X ＝－200）＝18. 所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P （A 1A 2A 3）＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.规律方法 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P （X ＝k ）＝C k n p k （1－p ）n －k 的三个条件：（1）在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ；（2）n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；（3）该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率.【训练2】 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列.解 （1）记事件A 1为“从甲箱中摸出的1个球是红球”， A 2为“从乙箱中摸出的1个球是红球”， B 为“顾客抽奖1次能获奖”， 则B 表示“顾客抽奖1次没有获奖”.由题意A 1与A 2相互独立，则1A 与2A 相互独立，且B ＝1A ·2A ，因为P （A 1）＝410＝25，P （A 2）＝510＝12，所以P （B ）＝P （1A ·2A ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝310， 故所求事件的概率P （B ）＝1－P （B ）＝1－310＝710. （2）设“顾客抽奖一次获得一等奖”为事件C ， 由P （C ）＝P （A 1·A 2） ＝P （A 1）·P （A 2）＝15， 顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15， 于是P （X ＝0）＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P （X ＝1）＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫151⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P （X ＝2）＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125， P （X ＝3）＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153⎝ ⎛⎭⎪⎫450＝1125. 故X 的分布列为基础巩固题组一、选择题1.（2018·金华调研）打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则他们同时中靶的概率是（ ） A.1425B.1225C.34D.35解析 因为甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，所以P （甲）＝45，P （乙）＝710，所以他们都中靶的概率是45×710＝1425. 答案 A2.先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（ ） A.18B.38C.58D.78解析 三次均反面朝上的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，所以至少一次正面朝上的概率是1－18＝78. 答案 D3.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为18和p ，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为940，则p ＝（ ） A.110 B.215 C.16 D.15解析 由题意得18（1－p ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－18p ＝940，∴p ＝215，故选B.答案 B4.甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（ ） A.34B.23C.45D.710解析 设甲命中目标为事件A ，乙命中目标为事件B ，丙命中目标为事件C ，则击中目标表示事件A ，B ，C 中至少有一个发生.又P （A ·B ·C ）＝P （A ）·P （B ）· P （C ）＝[1－P （A ）]·[1－P （B ）]·[1－P （C ）]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14.∴目标被击中的概率P ＝1－P （A ·B ·C ）＝34. 答案 A5.（2017·丽水市调研）一袋中有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P （X ＝12）等于（ ）A.C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582B.C 912⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫58238C.C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫582⎝ ⎛⎭⎪⎫382D.C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582解析 由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次红球2次白球，由于每次取到红球的概率为38，所以P （X ＝12）＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389×⎝ ⎛⎭⎪⎫582×38. 答案 D 二、填空题6.设随机变量X ～B （2，p ），随机变量Y ～B （3，p ），若P （X ≥1）＝59，则P （Y ≥1）＝ .解析 ∵X ～B （2，p ），∴P （X ≥1）＝1－P （X ＝0）＝1－C 02（1－p ）2＝59，解得p ＝13.又Y ～B （3，p ），∴P （Y ≥1）＝1－P （Y ＝0）＝1－C 03（1－p ）3＝1927. 答案 19277.（2018·台州调考）某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠.若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用X 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P （X ＝4）＝ . 解析 考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，即有P （X ＝k ）＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k，k ＝0，1，2，3，4，5. 故P （X ＝4）＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫134×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝10243. 答案 102438.（2018·温州月考）某小区物业加强对员工服务宗旨教育，服务意识和服务水平不断提高，某服务班组经常收到表扬电话和表扬信.设该班组一周内收到表扬电话和表扬信的次数用X 表示，据统计，随机变量X 的概率分布如下：（1）a 的值为 ；（2）假设某月第一周和第二周收到表扬电话和表扬信的次数互不影响，则该班组在这两周内共收到表扬电话和表扬信2次的概率为 . 解析 （1）由随机变量X 的概率分布列性质得： 0.1＋0.3＋2a ＋a ＝1， 解得a ＝0.2.（2）该班组在这两周内共收到表扬电话和表扬信2次的概率： P ＝0.1×0.4＋0.4×0.1＋0.3×0.3＝0.17. 答案 （1）0.2 （2）0.17 三、解答题9.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.（1）设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列（只列算式，不必计算结果）；（2）设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列（只列算式，不必计算结果）；（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.解 （1）将通过每个交通岗看作一次试验，遇到红灯的概率为13，且每次试验结果是相互独立的， 故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13.∴P （X ＝k ）＝C k 6⎝ ⎛⎭⎪⎫13k⎝ ⎛⎭⎪⎫236－k，k ＝0，1，2，3，4，5，6.∴X 的分布列为（2）由于Y 表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y 是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5，6.其中{Y ＝k }（k ＝0，1，2，3，4，5）表示前k 个路口没有遇上红灯，但在第k ＋1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算. P （Y ＝k ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k·13（k ＝0，1，2，3，4，5）.而{Y ＝6}表示一路没有遇上红灯， 故其概率为P （Y ＝6）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫236.因此Y 的分布列为： （3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为（X ≥1）＝{X ＝1或X ＝2或…或X ＝6}，所以其概率为P （X ≥1）＝∑k ＝16P （X ＝k ）＝1－P （X ＝0）＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫236＝665729. 10.挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5，0.6，0.75，能通过文考关的概率分别是0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响.（1）求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率； （2）设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X 的分布列.解 （1）设A ，B ，C 分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率P ＝P （AB －C －）＋P （A －BC －）＋P （A －B －C ）＝0.5×（1－0.6）×（1－0.75）＋（1－0.5）×0.6×（1－0.75）＋（1－0.5）×（1－0.6）×0.75＝0.275.（2）甲被录取的概率为P 甲＝0.5×0.6＝0.3，同理P 乙＝0.6×0.5＝0.3，P 丙＝0.75×0.4＝0.3.∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即X ～B （3，0.3），X 可能取值为0，1，2，3，其中P （X ＝k ）＝C k 3（0.3）k ·（1－0.3）3－k.故P （X ＝0）＝C 03×0.30×（1－0.3）3＝0.343， P （X ＝1）＝C 13×0.3×（1－0.3）2＝0.441， P （X ＝2）＝C 23×0.32×（1－0.3）＝0.189， P （X ＝3）＝C 33×0.33＝0.027，故X 的分布列为能力提升题组11.（2018·绍兴测试）排球比赛的规则是5局3胜制（无平局），甲在每局比赛获胜的概率都为23，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是（ ） A.49 B.827 C.1927 D.4081解析 乙队3∶0获胜的概率为13，乙队3∶1获胜的概率为23×13＝29，乙队3∶2获胜的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝427.∴最后乙队获胜的概率为P ＝13＋29＋427＝1927，故选C.答案 C12.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （1 000，502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为 Ｗ.解析 设元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P （A ）＝P （B ）＝P （C ）＝12，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为（AB ＋AB ＋AB ）C ，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率 P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝38.答案 3813.口袋中装有2个白球和n （n ≥2，n ∈N *）个红球，每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖.（1）用含n 的代数式表示1次摸球中奖的概率； （2）若n ＝3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；（3）记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f （p ），当f （p ）取得最大值时，求n 的值.解 （1）设“1次摸球中奖”为事件A ，则P （A ）＝C 22＋C 2nC 2n ＋2＝n 2－n ＋2n 2＋3n ＋2.（2）由（1）得若n ＝3，则1次摸球中奖的概率为p ＝25， ∴3次摸球中，恰有1次中奖的概率为P 3（1）＝C 13p（1－p ）2＝3×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝54125.（3）设“1次摸球中奖”的概率为p ，则3次摸球中，恰有1次中奖的概率为：f （p ）＝C 13p （1－p ）2＝3p 3－6p 2＋3p （0<p <1），∵f ′（p ）＝9p 2－12p ＋3＝3（p －1）（3p －1）， ∴f （p ）在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上是减函数，∴当p ＝13时，f （p ）取得最大值.∴p ＝n 2－n ＋2n 2＋3n ＋2＝13，解得n ＝2或n ＝1（舍），∴当f （p ）取得最大值时，n 的值为2.故n ＝2时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大.14.（2016·山东卷节选）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星对”得3分；如果只有一人猜对，则“星对”得1分；如果两人都没猜对，则“星对”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求： （1）“星队”至少猜对3个成语的概率； （2）“星队”两轮得分之和X 的分布列.解 （1）记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”， 记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”， 记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”.由题意，E ＝ABCD ＋A －BCD ＋AB －CD ＋ABC －D ＋ABCD －.由事件的独立性与互斥性，得P （E ）＝P （ABCD ）＋P （A －BCD ）＋P （AB －CD ）＋P （ABC －D ）＋P （ABCD －）＝P （A ）P （B ）P （C ）P （D ）＋P （A －）P （B ）P （C ）P （D ）＋P （A ）P （B －）P （C ）P （D ）＋P （A ）P （B ）P （C －）P （D ）＋P （A ）P （B ）P （C ）P （D －）＝34×23×34×23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫14×23×34×23＋34×13×34×23＝23.所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.（2）由题意，随机变量X 可能的取值为0，1，2，3，4，6. 由事件的独立性与互斥性，得 P （X ＝0）＝14×13×14×13＝1144，P （X ＝1）＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572，P （X ＝2）＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P （X ＝3）＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P （X ＝4）＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512，P （X ＝6）＝34×23×34×23＝36144＝14. 可得随机变量X 的分布列为。

高考数学学问点之二项分布高考数学学问点之二项分布二项分布是概率分布的一种，与独立重复试验亲密相关，下面给大家介绍高考数学学问点之二项分布，抓紧来看看吧!高考数学学问点之二项分布二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事务A 发生的次数，设每次试验中事务A发生的概率为p，则，k=0，1，2，…n，此时称随机变量X听从二项分布，记作X~B(n，p)，并记。

独立重复试验：(1)独立重复试验的意义：做n次试验，假如它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验.(2)一般地，在n次独立重复试验中，设事务A发生的次数为X，在每件试验中事务A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中,高考数学，事务A恰好发生k次的概率为此时称随机变量X听从二项分布，记作并称p为胜利概率.(3)独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依靠于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的.(4)独立重复试验概率公式的特点：是n次独立重复试验中某事务A恰好发生k次的概率.其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事务A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事务A恰好发生的次数，须要弄清公式中n，p，k的.意义，才能正确运用公式.二项分布的推断与应用：(1)二项分布，实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述，推断二项分布，关键是看某一事务是否是进行n次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，假如不满意这两个条件，随机变量就不听从二项分布.(2)当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果时，我们可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.求独立重复试验的概率：(1)在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即2，…，n)是第i次试验的结果.(2)独立重复试验是相互独立事务的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简洁，要弄清n，p，k的意义。