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辽宁省沈阳市二十一中高三数学复习教学案：直线、圆的位置关系

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辽宁省沈阳市第二十一中学高三数学(文)总复习课件 直线、圆的位置关系

辽宁省沈阳市第二十一中学高三数学(文)总复习课件 直线、圆的位置关系

与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( A．相离 C．相交但直线不过圆心
B．相切 D．相交且直线过圆心
[思路点拨] 判断直线与圆的位置关系可以使用代数与 几何相结合的方法，也可以使用纯代数的方法．
[解析]
1 解法一：圆心到直线的距离d＝ 2≤ 1＋k
1< 2 ，故直线与圆相交，由于直线斜率存在，此直线不垂 直于x轴，故直线不过圆心． 解法二：把直线方程代入圆的方程并整理，得(1＋k2)x2 ＋2kx－1＝0，Δ＝4k2＋4(1＋k2)＝8k2＋4>0，所以直线与圆 相交，由于直线斜率存在，此直线不垂直于x轴，故直线不 过圆心．
பைடு நூலகம்
A. 3或－ 3 C．－3 3或 3
解析：圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝3，圆心(1,0)到直 | 3 ＋m | 线的距离等于半径⇒ ＝ 3 ⇒| 3 ＋m|＝2 3 ⇒m＝ 3 3 ＋1 或m＝－3 3.
答案：C
2．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y ＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2 3时，a等于( A. 2 C. 2－1 B．2－ 2 D. 2＋1 )
的圆心，r为其半径)．
2．两圆的方程组成的方程组有一解或无解时．不能准 确地判定两圆的位置关系，当两圆方程组成的方程组有一 解时，两圆有外切和内切两种可能情况．当方程组无解 时，两圆有相离和内含两种可能情况.
热点题型一
直线与圆的位置关系
[例1]
(2012· 重庆)对任意的实数k，直线y＝kx＋1 )
答案：1
要点点拨
1．圆的切线问题 (1)过圆x2＋y2＝r2(r>0)上一点，点M(x0，y0)的切线方程 为x0x＋y0y＝r2； (2)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0，y0)引切线， 有两条，求方程的方法是待定系数法，切点为T的切线长公

[中学联盟]辽宁省沈阳市第二十一中学高三数学专题复习总结学案：专题四-解析几何.doc

[中学联盟]辽宁省沈阳市第二十一中学高三数学专题复习总结学案：专题四-解析几何.doc

高考命题趋势纵观每年高考全国卷和有关省市自主命题卷，关于解析几何的命题有如下几个显著特点： 1 •高考题型：解析几何的试题一般是选择题、填空题、解答题都会出现。

2•难易程度：考查解析几何的选择题、填空题为基础题或中档题，解答题一般会综合考查, 以中等偏难试题为主。

3•高考热点：解析几何的热点仍然是圆锥曲线的性质，直线和圆锥曲线的位置关系以及轨 迹问题，仍然以考査方程思想及用韦达定理处理弦长和弦中点为重点。

坐标法使平面向量 与平面解析几何自然地联系并有机结合起来。

相关交汇试题应运而生，涉及圆锥曲线参数 的取值范围问题也是命题亮点复习备考方略1. 加强直线和圆锥曲线的基础知识，初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能 和基本方法。

2. 由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题灵活多变，思维能力要求 较高，解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此有必要对直线与圆锥曲线 的重点内容、高考的热点问题作深入的研究。

3. 在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入，横向联系，进一步掌握解决直线与圆锥曲 线问题的思想和方法，提高我们分析问题和解决问题的能力。

【内容解读】点与直线的位置关系有：点在直线上、直线外两种位置关系，点在直线外时, 经常考查点到直线的距离问题；点与圆的位置关系有：点在圆外、圆上、圆外三种；直线 与圆的位置关系有：直线与圆相离、相切、相交三点，经常用圆心到直线之间的距离与圆 的半径比较来确定位置位置关系；圆与圆的位置关系有：两圆外离、外切、相交、内切、 内含五种，一般用两点之间的距离公式求两圆之间的距离，再与两圆的半径之和或差比较。

【命题规律】本节内容一般以选择题或填空题为主，难度不大，属容易题1. 若圆” + / —2①一 4g = 0的圆心到直线x-y-^-a = 0的距离为乎，则a 的值为（）2. 若直线y = x + b 与曲线y = 3-yj4x-x 2有公共点，则b 的取值范围是（）A.[l-2V2,l + 2>/2]B.[ 1-72,3]考点一：点、直线. 第一讲: 直线和圆的位置关系问题A. 一2或2B.号或書C. 2 或0D. 一2或0C.卜1,1 + 2血] DJ1-2V2 ,3]3.圆Ox: 和圆ft: A/-4.F =0的位置关系是( (A) 相离 (B)相交 (C)外切 考点二：直线、圆的方程问题【内容解读】直线方程的解析式有点斜式、斜截式、两点式、•截距式、一般式五种形式, 各有特点，根据具体问题，选择不同的解析式来方便求解。

高中数学直线与圆位置关系公开课优秀教案

高中数学直线与圆位置关系公开课优秀教案
高中数学公开课教案
内容
《直线与圆的位置关系（1）》公开课教案
时间
地点
授课者
教学目标
1、理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系
2、通过观察，得出“直线与圆的位置关系”与“圆心到直线的距离d与半径r的数量关系”的对应关系，从而实现位置关系与数量关系的相互转化
3、在观察与探究的过程中，进一步培养使用“分类”与“归纳”等思想方法的能力
分析：要判定直线AB与⊙C的位置关系，就要比较圆心C到直线AB的距离与⊙C的半径的大小。因此，要作出点C到直线AB的垂线段CD，由CD到⊙C半径之间的数量关系，便可以判定直线AB与⊙C的位置关系。
练习：已知⊙O的直径为10，如果直线与圆心的距离分别是4,5,8，那么直线与⊙O分别有几个公共点？为什么？
观察太阳落山的照片,在太阳落山的过程中,太阳与地平线(直线a)经历了哪些位置关系的变化?
小小应用：看图判断直线l与 ⊙O的位置关系（投影）
活动二探索圆心到直线的距离与半径之间的数量关系和直线与圆的位置关系之间的内在联系
（一）复习点和圆的位置关系：⑴点在圆内d<r
⑵点在圆上d=r
⑶点在圆外d>r
类比“点与圆的位置关系”可得结论：
教学重点
直线圆的位置关系
教学难点
直线与圆的位置关系的应用
教学过程
二次备课
情境创设
欣赏巴金先生的《海上日出》的视频散文短片，感受生活中反映直线与圆位置关系的现象。（多媒体视频展示）
多媒体视频展示为学生创设情境，激发兴趣
探索活动
活动一操作、思考
1、从《海上日出》的短片中将海平面看作是一条直线，太阳看作是一个圆，在太阳中升的过程中，直线与圆的位置有什么不同？

高中数学第十节讲解教案

高中数学第十节讲解教案

高中数学第十节讲解教案
主题：直线与圆的位置关系
一、教学目标：
1. 理解直线和圆的位置关系的基本概念。

2. 掌握直线与圆的位置关系的判定方法。

3. 能够应用直线与圆的位置关系解决相关问题。

二、教学重点：
1. 直线与圆的位置关系的基本概念。

2. 直线与圆的位置关系的判定方法。

三、教学难点：
1. 圆的切线与切点的概念。

2. 如何判断一条直线与圆的位置关系。

四、教学过程：
1. 复习：回顾上节课所学的直线和圆的相关知识。

2. 引入：通过一个实际问题引入直线与圆的位置关系的概念，激发学生的学习兴趣。

3. 学习：讲解直线与圆的位置关系的基本概念，并介绍判定直线与圆位置关系的方法。

4. 实践：让学生通过练习题巩固所学知识，提出问题并引导学生解决。

5. 总结：对本节课所学知识进行总结，强调重点和难点，帮助学生理清思路。

六、作业布置：
1. 完成课堂练习题。

2. 自主学习相关知识，做好预习。

七、教学反思：
通过本节课的教学，学生对直线与圆的位置关系有了更深入的理解，掌握了相关判定方法，并能够运用所学知识解决相关问题。

在教学过程中，要充分引导学生思考，灵活运用知识，培养学生的解决问题能力和创新意识。

高中数学必修2《直线、圆位置关系》教案

高中数学必修2《直线、圆位置关系》教案

高中数学必修2《直线、圆位置关系》教案High school mathematics compulsory 2 "the relationship betw een the position of straight line and circle" teaching plan高中数学必修2《直线、圆位置关系》教案前言：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。

本教案根据数学课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。

便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。

一、教学目标设计：（一）方法与过程1.探索直线和圆的位置关系及圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系,体验数学活动充满着探索性和挑战性。

2.经过自主探索和合作交流、敢于发表自己的观点，能从交流中获益。

3.会运用本节知识解决有关问题，提高观察、探究、归纳、概括的能力。

（二）知识与技能理解直线和圆的三种位置关系，掌握直线和圆的位置关系的性质和判定方法。

（三）情感态度与价值观通过观察、类比，体会事物间相互联系和运动变化的辨证统一思想;培养实事求是的科学态度和协同合作研究问题的精神。

二、教学准备：1.教师准备：在校园网的Web教室里为学生搭建教学平台。

利用《几何画板》制作探索直线和圆位置关系的几何课件;为学生提供多媒体资源库及测试题库;开放专题学习网站，延伸学生的课后挑战。

2.学生准备：复习点和圆的位置关系，预习本课知识。

三、自主学习设计：学习是获取知识的过程，建构主义认为：知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定情境即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得。

人教版高中必修24.2直线、圆的位置关系教学设计

人教版高中必修24.2直线、圆的位置关系教学设计

人教版高中必修24.2直线、圆的位置关系教学设计1. 教学目标本节课程主要围绕直线与圆的位置关系展开，通过本节课的学习，旨在使学生掌握以下几个方面的知识与技能：•了解直线与圆的基本概念，能够应用相应的术语描述并解决问题。

•能够理解直线与圆的位置关系，学会根据位置关系讨论问题。

•熟悉正切、切线、切点等相关概念，能够应用这些概念解决实际问题。

•学会灵活运用代数方法解决直线与圆的问题。

2. 教学重难点2.1 教学重点•直线与圆的位置关系的讨论。

•正切线、切线以及切点的概念正确理解及运用。

2.2 教学难点•能够灵活运用代数方法解决直线与圆的问题。

3. 教学内容及方法3.1 教学内容本节课程主要包括以下几个方面的内容：1.直线与圆的基本概念及位置关系2.切线、正切线、切点的概念及性质3.代数方法解决直线与圆的问题3.2 教学方法为了达到良好的教学效果，本节课程将采取以下几种教学方法：1.前置问题启发学生思考：在教学的初期，我们会通过提出问题的方式引导学生思考直线与圆的位置关系，从而让学生对该概念有一个基本了解。

2.知识点的讲授：讲解本节课程所涉及到的主要知识点及其相关性质，配以图例进行深入浅出的讲解，深入骨髓的讲解可以让学生更好的理解知识点。

3.实例演示并讲解：我们将选取一些典型例题进行演示和讲解，引导学生掌握解决问题的方法和技巧，并加以思考。

4.学生自主学习：通过一些小组探讨、课堂练习、课外作业等形式让学生自主探究知识点，营造良好氛围，相互促进，让学生真正掌握所学知识点。

4. 教学评价4.1 教学考核本节课程将采用以下几种形式进行考核：1.课堂练习：让学生针对本节课程涉及到的知识点进行练习，旨在加强巩固知识点，提升学生的解题能力。

2.作业布置：布置一定量的课外作业，让学生在课后巩固所学，同时也可以增强学生的动手实践能力。

3.考试评估：安排一次考试，全面考核学生对于本节课程所学知识的掌握与应用能力。

4.2 教学改进教学改进需要我们针对本次教学收集学生的反馈意见，并结合教学实际不断完善。

辽宁省沈阳市第二十一中学高三数学总复习课件 两条直线的位置关系、点到直线的距离

第八页，编辑于星期日：二十点 五十五分。
(2)点到直线的距离 点 P(x1，y1)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝ |Ax1＋By1＋C|
A2＋B2 . (3)两条平行线间的距离 两条平行线 Ax＋By＋C1＝0 与 Ax＋By＋C2＝0 间的距离
|C1－C2| d＝ A2＋B2 .
第九页，编辑于星期日：二十点 五十五分。
第四十五页，编辑于星期日：二十点 五十五分。
[规律总结] 1.在对称问题中，点关于直线对称是最基 本也是最重要的对称，处理此类问题要抓住两点：(1)已知 点与对称点的连线与对称轴垂直；(2)已知点与对称点的中 点在对称轴上．另外要注意直线关于直线的对称问题可转 化为点关于直线对称来处理．
第四十六页，编辑于星期日：二十点 五十五分。
第四十一页，编辑于星期日：二十点 五十五分。
[解] (1)设A′(x，y)，再由已知得 yx＋ ＋21×23＝－1， 2×x－2 1－3×y－2 2＋1＝0，
解得xy＝ ＝－14331，33，
∴A′(－3133，143)．
第四十二页，编辑于星期日：二十点 五十五分。
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)， 则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上． 设对称点为M′(a，b)，则 2×a＋2 2－3×b＋2 0＋1＝0， ba－ －02×23＝－1， 解得M′(163，3103)．
[规律总结] (1)注意讨论斜率不存在的情况． (2)数形结合是解决解析几何问题特别要注意的一种思 想方法．
第三十七页，编辑于星期日：二十点 五十五分。
变式训练2 已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1,3)到直 线l的距离为 2，求直线l的方程．
第三十八页，编辑于星期日：二十点 五十五分。

高考数学复习知识点讲解教案第50讲 直线与圆、圆与圆的位置关系


2
2和圆：
+
2

− 2 = 0满足对直
线上任意一点，在圆上存在点，使得 ⋅ = 0，则实数的取值范围是
(
B
)
A.{| ≥ 3}
B.{| − 3 ≤ ≤ 3}
C.{| ≥ 2 3}
D.{| − 2 3 ≤ ≤ 2 3}
[解析] 根据题意可知，圆的标准方程为 − 1
含圆2 的方程，所以注意检验圆2 的方程是否满足题意，以防丢解.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
2
是圆
1.［教材改编］ 已知点 3, 6
+ 2 − 3 3 = 0
线方程是______________________.
[解析] ∵ 点
2
即
=
2
9.圆
2
2
+
2
2

=
2
上的一点，则过点的圆的切
2
+ −
2
=
2
上一点
0 − − + 0 − ( − ) =
2
2
.特别地，过圆
0 , 0 的圆的切线方程为0 + 0 =
2
0 , 0 的圆的切线方程为
+
2

=
2
上一点
2
.
2
（2）经过圆 + + + + = 0外一点 0 , 0 向圆作切线，经过两个切
2

+
∴ 圆心 0,0 到直线的距离 =
对于C，∵ 点在圆外，∴
2

+
∴ 圆心 0,0 到直线的距离 =

高中数学直线与圆教案

高中数学直线与圆教案
教学目标：
1. 理解直线与圆的性质及相关定理
2. 掌握直线与圆的交点求解方法
3. 能够应用所学知识解决相关问题
教学重点：
1. 直线与圆的公共部分
2. 直线与圆的交点求解
教学难点：
1. 利用直线与圆的性质解决较复杂问题
2. 应用所学知识综合思考
教学准备：
1. 教材：高中数学教材
2. 教具：黑板、粉笔、几何工具
教学步骤：
一、导入（5分钟）
引入直线与圆的概念，让学生了解它们之间的关系，并激发学生学习兴趣。

二、讲解直线与圆的性质（15分钟）
1. 直线与圆的位置关系
2. 直线与圆的交点情况
3. 直线与圆相交时的性质
三、示范求解例题（15分钟）
通过实际例题，演示如何求解直线和圆的交点，让学生掌握方法和技巧。

四、学生练习（20分钟）
布置练习题，让学生独立思考并解答，引导他们灵活运用所学知识。

五、总结归纳（5分钟）
总结本节课的重点内容，强化学生对直线与圆的理解和掌握。

教学延伸：
1. 探究直线与圆的其他性质和定理
2. 进一步应用所学知识解决实际问题
教学反思：
本节课主要围绕直线与圆的性质展开，通过讲解、示范和练习让学生逐步理解和掌握相关
知识。

在教学过程中，要尽可能提供多样化的例题，引导学生灵活运用所学知识解决问题。

同时，要注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，让他们在实践中不断提高。

辽宁省沈阳市二十一中高三数学《图象问题》总复习教案

图象问题总结高三数学总复习教案根据给出的特定条件确定函数图象或给定函数图象确定函数解析式的问题是一种好题型，它既能考查对函数性质运用的掌握情况，又可以考查综合分析能力，在近年高考题中已成为必考之题型。

正确地解决此类问题，不但要熟练掌握函数各方面的性质，而且需要把握一定的方法与技巧。

一般而言，可以归结为以下几种方法来解决。

1、利用函数的性质判断函数的各种性质如：定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，对称性等，总能在图象中得到直观的体现，因而在确定函数的图象时可针对函数的某一性质进行比较，从而确定正确的结果。

例1：函数y＝log4(1-2x+x2)的图象是( )解:根据函数的单调区间及对应的单调性可知，函数在(-∞, 1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，故选(D)。

例2：已知函数y＝f(x)的图象如图2(甲)所示，y＝g(x)的图象如图2(乙)所示，则函数y=f (x)·g(x)的图象可能是图3中的 ( )解:首先从f(x)，g(x)都是偶函数，可知y＝f(x)·g(x)也是偶函数，故先排除(A)，(D)，另从两个函数图象对比可以看出，在区间(-1，0)(0，1)上，f(x)＞0，g(x)＜0，则f(x)·g(x)＜0，故排除(B)而选(C)。

2、利用函数图象的变换判断结合函数表达式之间的联系，通过正确的变换得到结果。

了解各种常见的变换方法是运用于解题的前提条件。

例3：已知图4(1)中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图4(2)中的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是( )(A)y＝f(|x|) (B)y=|f(x)| (C)y＝f(-|x|) (D)y＝-f(|x|)分析：两图比较，(2)中左边部分相对于(1)不变。

而右边部分是由左侧图象沿y轴翻折所得，则当x＜0时，y＝f(x)；当x＞0时，y＝f(-x)，所以满足条件的应为(C)。

例4：设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y=f(x-1)与函数y=f(1-x)的图象关于( )。

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§9.4 直线、圆的位置关系1.若直线ax +by =1与圆x 2+y 2=1相交，则P （a ，b ）与圆的位置关系为 . 答案 在圆外2.若直线4x -3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax +4y +a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是 . 答案 -6＜a ＜43.两圆x 2+y 2-6x +16y -48=0与x 2+y 2+4x -8y -44=0的公切线条数为 . 答案 24.若直线y =k (x -2)+4与曲线y =1+24x -有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 答案 ⎥⎦⎤⎝⎛43,1255.(2008·重庆理，15)直线l 与圆x 2+y 2+2x -4y +a =0 (a ＜3)相交于两点A ,B ,弦AB 的中点为(0,1),则直线l 的方程为 . 答案 x -y +1=0例1 已知圆x 2+y 2-6mx -2（m -1）y +10m 2-2m -24=0（m ∈R ）. （1）求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上； （2）与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；（3）求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. （1）证明 配方得：（x -3m ）2+［y -(m -1)］2=25，设圆心为（x ，y ），则⎩⎨⎧-==13m y m x ，消去m 得l ：x -3y -3=0，则圆心恒在直线l ：x -3y -3=0上. （2）解 设与l 平行的直线是l 1：x -3y +b =0， 则圆心到直线l 1的距离为d =10)1(33bm m +--=103b +.∵圆的半径为r =5，∴当d ＜r ，即-510-3＜b ＜510-3时，直线与圆相交； 当d =r ,即b =±510-3时，直线与圆相切；当d ＞r ，即b ＜-510-3或b ＞510-3时，直线与圆相离.基础（3）证明 对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1：x -3y +b =0，由于圆心到直线l 1的距离d =103b +，弦长=222d r -且r 和d 均为常量.∴任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.例2 从点A （-3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x -4y +7=0相切，求光线l 所在直线的方程.解 方法一 如图所示，设l 与x 轴交于点B （b ,0)，则k AB =33+-b ,根据光的反射定律，反射光线的斜率k 反=33+b . ∴反射光线所在直线的方程为 y =33+b (x -b ), 即3x -(b +3)y -3b =0.∵已知圆x 2+y 2-4x -4y +7=0的圆心为C （2,2）， 半径为1, ∴2)3(932)3(6++-⨯+-b bb =1,解得b 1=-43,b 2=1. ∴k AB =-34或k AB =-43. ∴l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.方法二 已知圆C ：x 2+y 2-4x -4y +7=0关于x 轴对称的圆为C 1：(x -2)2+(y +2)2=1，其圆心C 1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切. 设l 的方程为y -3=k (x +3),则22155kk ++=1,即12k 2+25k +12=0. ∴k 1=-34，k 2=-43. 则l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.方法三 设入射光线方程为y -3=k (x +3),反射光线所在的直线方程为y =-kx +b ,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=--1122332k b k k bk k ,消去b 得11552=++kk . 即12k 2+25k +12=0,∴k 1=-34,k 2=-43. 则l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.例3 已知圆C 1：x 2+y 2-2mx +4y +m 2-5=0,圆C 2：x 2+y 2+2x -2my +m 2-3=0,m 为何值时，（1）圆C 1与圆C 2相外切；（2）圆C 1与圆C 2内含？解 对于圆C 1与圆C 2的方程，经配方后 C 1:(x -m )2+(y +2)2=9;C 2:(x +1)2+(y -m )2=4.（1）如果C 1与C 2外切，则有22)2()1(+++m m =3+2. (m +1)2+(m +2)2=25.m 2+3m -10=0,解得m =-5或m =2.（2）如果C 1与C 2内含，则有22)2()1(+++m m ＜3-2. (m +1)2+(m +2)2＜1,m 2+3m +2＜0, 得-2＜m ＜-1,∴当m =-5或m =2时，圆C 1与圆C 2外切； 当-2＜m ＜-1时，圆C 1与圆C 2内含.例4 （14分）已知点P （0，5）及圆C ：x 2+y 2+4x -12y +24=0. （1）若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； （2）求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程.解 （1）方法一 如图所示，AB =43，D 是AB 的中点，CD ⊥AB ，AD =23，圆x 2+y 2+4x -12y +24=0可化为（x +2）2+（y -6）2=16， 圆心C （-2，6），半径r =4，故AC =4， 在Rt △ACD 中，可得CD =2.2分设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y -5=kx ,即kx -y +5=0.由点C 到直线AB 的距离公式：22)1(562-++--k k =2，得k =43. 此时直线l 的方程为3x -4y +20=0.4分又直线l 的斜率不存在时，此时方程为x =0.6分则y 2-12y +24=0,∴y 1=6+23,y 2=6-23, ∴y 2-y 1=43,故x =0满足题意.∴所求直线的方程为3x -4y +20=0或x =0.8分方法二 设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为 y -5=kx ,即y =kx +5,联立直线与圆的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-+++=024124522y x y x kx y , 消去y 得（1+k 2）x 2+(4-2k )x -11=0 ①2分设方程①的两根为x 1,x 2,由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+221221111142k x x k k x x②4分由弦长公式得21k +|x 1-x 2| =]4))[(1(212212x x x x k -++=43, 将②式代入，解得k =43， 此时直线的方程为3x -4y +20=0.6分又k 不存在时也满足题意，此时直线方程为x =0. ∴所求直线的方程为x =0或3x -4y +20=0.8分（2）设过P 点的圆C 的弦的中点为D （x ,y ）, 则CD ⊥PD ，即CD ·PD =0，10分（x +2,y -6）·(x ,y -5)=0,化简得所求轨迹方程为 x 2+y 2+2x -11y +30=0.14分1.m 为何值时，直线2x -y +m =0与圆x 2+y 2=5. （1）无公共点； （2）截得的弦长为2； （3）交点处两条半径互相垂直.解 （1）由已知，圆心为O （0，0），半径r =5, 圆心到直线2x -y +m =0的距离 d =22)1(2-+m =5m ，∵直线与圆无公共点，∴d ＞r ,即5m ＞5,∴m ＞5或m ＜-5.故当m ＞5或m ＜-5时，直线与圆无公共点. （2）如图所示，由平面几何垂径定理知 r 2-d 2=12，即5-52m=1.得m =±25,∴当m =±25时，直线被圆截得的弦长为2. （3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直， ∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形， ∴d =22r ，即225=m ·5, 解得m =±225. 故当m =±225时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直. 2.从圆C ：x 2+y 2-4x -6y +12=0外一点P （a ，b ）向圆引切线PT ，T 为切点，且|PT |=|PO | （O 为原点）.求|PT |的最小值及此时P 的坐标.解 已知圆C 的方程为(x -2)2+(y -3)2=1. ∴圆心C 的坐标为（2，3），半径r =1. 如图所示，连结PC ，CT .由平面几何知， |PT |2=|PC |2-|CT |2=（a -2）2+（b -3）2-1.由已知，|PT |=|PO |，∴|PT |2=|PO |2， 即（a -2）2+（b -3）2-1=a 2+b 2. 化简得2a +3b -6=0. 得|PT |2=a 2+b 2=91（13a 2-24a +36）. 当a =1312时， |PT |min =3136131224)1312(132+⨯-⨯=13136.|PT |的最小值为13136，此时点P 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛1318,1312. 3.求过点P （4，-1）且与圆C ：x 2+y 2+2x -6y +5=0切于点M （1，2）的圆的方程. 解 方法一 设所求圆的圆心为A （m ,n )，半径为r , 则A ,M ,C 三点共线，且有|MA |=|AP |=r ，因为圆C ：x 2+y 2+2x -6y +5=0的圆心为C （-1，3）， 则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+-+-=--r n m n m m n 2222)1()4()2()1(113212, 解得m =3,n =1,r =5,所以所求圆的方程为(x -3)2+(y -1)2=5.方法二 因为圆C ：x 2+y 2+2x -6y +5=0过点M （1，2）的切线方程为2x-y =0, 所以设所求圆A 的方程为 x 2+y 2+2x -6y +5+λ(2x -y )=0,因为点P （4，-1）在圆上，所以代入圆A 的方程，解得λ=-4,所以所求圆的方程为x 2+y 2-6x -2y +5=0.4.圆x 2+y 2=8内一点P （-1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点. （1）当α=43π时,求AB 的长； （2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程. 解 （1）当α=43π时，k AB =-1， 直线AB 的方程为y -2=-（x +1），即x +y -1=0. 故圆心（0，0）到AB 的距离d =2100-+=22， 从而弦长|AB |=2218-=30. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=-2，y 1+y 2=4.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,8,822222121y x y x两式相减得（x 1+x 2）（x 1-x 2）+（y 1+y 2）（y 1-y 2）=0， 即-2（x 1-x 2）+4（y 1-y 2）=0， ∴k AB =212121=--x x y y .∴直线l 的方程为y -2=21（x +1），即x -2y +5=0.一、填空题1.（2008·辽宁理）若圆x 2+y 2=1与直线y =kx +2没有公共点，则k 的取值范围为 . 答案 (-3,3)2.（2008·重庆理，3）圆O 1：x 2+y 2-2x =0和圆O 2：x 2+y 2-4y =0的位置关系是 . 答案 相交3.已知圆C ：（x -a ）2+(y -2)2=4 (a ＞0)及直线l :x -y +3=0,当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，则a 4.（2008·全国Ⅰ文）若直线1=+b y a x 与圆x 2+y 2=1有公共点，则2211ba +与1的大小关系是 . 答案2211b a +≥15.能够使得圆x 2+y 2-2x +4y +1=0上恰有两个点到直线2x +y +c =0距离等于1的c 的取值范围为 .答案 （-35，-5）∪（5，35）6.（2008·湖北理）过点A （11，2）作圆x 2+y 2+2x -4y -164=0的弦，其中弦长为整数的共有 条. 答案 327.设直线ax -y +3=0与圆（x -1）2+(y -2)2=4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a = . 答案 08.（2008·湖南文，14）将圆x 2+y 2=1沿x 轴正向平移1个单位后得到圆C ，则圆C 的方程是 ；若过点（3，0）的直线l 和圆C 相切，则直线l 的斜率是 . 答案 （x -1）2+y 2=1 33或-33二、解答题9.已知圆C ：x 2+y 2+2x -4y +3=0.若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程. 解 ∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等， ∴切线的斜率是±1，或切线过原点.当切线不过原点时，设切线方程为y =-x +b 或y =x +c ,分别代入圆C 的方程得2x 2-2（b -3）x +（b 2-4b +3）=0. 或2x 2+2(c -1)x +(c 2-4c +3)=0,由于相切，则方程有等根，∴Δ1=0， 即［2(b -3)］2-4×2×（b 2-4b +3)=-b 2+2b +3=0, ∴b =3或-1,Δ2=0,即［2(c -1)］2-4×2×(c 2-4c +3)=-c 2+6c -5=0.∴c =5或1,当切线过原点时，设切线为y =kx ,即kx -y =0. 由212kk +--=2，得k =2±6,∴y =(2±6)x .故所求切线方程为：x +y -3=0，x +y +1=0，x -y +5=0，x -y +1=0,y =(2±6)x . 10.已知曲线C ：x 2+y 2-4ax +2ay -20+20a =0. （1）证明：不论a 取何实数，曲线C 必过定点；（2）当a ≠2时，证明曲线C 是一个圆，且圆心在一条直线上； （3）若曲线C 与x 轴相切，求a 的值. （1）证明 曲线C 的方程可变形为 (x 2+y 2-20)+(-4x +2y +20)a =0，由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+0202402022y x y x ,解得⎩⎨⎧-==24y x ，点（4，-2）满足C 的方程，故曲线C 过定点（4，-2）（2）证明 原方程配方得(x -2a )2+(y +a )2=5(a -2)2,∵a ≠2时，5(a -2)2＞0, ∴C 的方程表示圆心是（2a ,-a ),半径是5|a -2|的圆.设圆心坐标为（x ,y ），则有⎩⎨⎧-==a y ax 2,消去a 得y =-21x ,故圆心必在直线y =-21x 上.（3）解 由题意得5|a -2|=|a |,解得a =255±. 11.已知圆C ：x 2+y 2-2x +4y -4=0,问是否存在斜率是1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解 假设存在直线l 满足题设条件，设l 的方程为y =x +m ,圆C 化为（x -1）2+(y +2)2=9,圆心C （1，-2），则AB 中点N 是两直线x -y +m =0与y +2=-(x -1)的交点即N ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-21,21m m ,以AB 为直径的圆经过原点，∴|AN |=|ON |，又CN ⊥AB ，|CN |=221m++，∴|AN |=2)3(92m +-.又|ON |=22)21()21(-++-m m ， 由|AN |=|ON |，解得m =-4或m =1. ∴存在直线l ，其方程为y =x -4或y =x +1.12.设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x -6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足OP ·OQ =0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.解 （1）曲线方程为（x +1）2+(y -3)2=9表示圆心为（-1，3），半径为3的圆.∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称， ∴圆心（-1，3）在直线上，代入得m =-1. （2）∵直线PQ 与直线y =x +4垂直，∴设P （x 1，y 1）、Q (x 2，y 2)，PQ 方程为y =-x +b . 将直线y =-x +b 代入圆的方程， 得2x 2+2(4-b )x +b 2-6b +1=0. Δ=4(4-b )2-4×2×(b 2-6b +1)＞0, 得2-32＜b ＜2+32. 由根与系数的关系得 x 1+x 2=-(4-b ),x 1·x 2=2162+-b b . y 1·y 2=b 2-b (x 1+x 2)+x 1·x 2=2162+-b b +4b .∵OP ·OQ =0，∴x 1x 2+y 1y 2=0，即b 2-6b +1+4b =0, 解得b =1∈(2-32,2+32), ∴所求的直线方程为y =-x +1.。