2.3.3 直线与圆的位置关系 学案(含答案)

优翼教育教学资源直线和圆的位置关系学案1、引言在数学学习中，直线和圆是非常基础的几何图形，它们在空间中的位置关系更是数学中的重要内容之一。

而优翼教育教学资源中的直线和圆的位置关系学案，正是帮助学生深入理解这一概念的重要工具。

2、直线和圆的定义在学习直线和圆的位置关系之前，首先需要了解直线和圆各自的定义。

直线是由无数个点连在一起延伸而成的；而圆则是平面上到圆心距离等于半径的点的集合。

这两个基本的几何图形，构成了我们需要探讨的位置关系的基础。

3、直线和圆的相对位置在三维空间中，直线和圆可以有多种不同的相对位置关系：相离、相切、相交等。

在学案中，可以通过具体的实例和图形，来展示不同相对位置的具体概念和特点，引导学生进行思考和探讨。

4、直线和圆的位置关系除了在平面上的位置关系，直线和圆在空间中还有很多有趣的位置关系。

当一个直线与一个圆相交时，我们可以讨论它们的交点个数，从而引导学生进一步理解直线和圆的位置关系。

5、优翼教育教学资源的特点优翼教育教学资源以其简洁清晰的讲解和丰富多样的题目，帮助学生更好地理解直线和圆的位置关系。

学案中的示例和案例可以帮助学生将抽象的概念具体化，从而更容易理解和掌握。

6、个人观点和理解在学习直线和圆的位置关系时，我认为通过优翼教育教学资源的学案可以帮助学生更深入地理解这一概念。

学案中的案例和题目设计很有针对性，能够引导学生从不同角度思考和分析直线和圆在空间中的位置关系，从而提升他们的数学思维能力。

7、总结通过本文的介绍，我们了解了优翼教育教学资源中的直线和圆的位置关系学案的重要性和特点。

这些学案不仅可以帮助学生更好地理解直线和圆的位置关系，还可以培养学生的逻辑思维和数学分析能力。

希望学生在学习数学的过程中，能够充分利用这些优质的教学资源，提升自己的数学能力。

8、拓展应用除了在数学学习中，直线和圆的位置关系还有许多实际的拓展应用。

比如在工程建设中，需要考虑直线和圆的相对位置关系，以确保设计的准确性和稳定性；在地图制作中，直线和圆的位置关系也是非常重要的，可以帮助确定地图的比例尺和方向；在日常生活中，直线和圆的位置关系也会影响到我们的出行和交通规划。

2.3.3直线与圆的位置关系学习目标核心素养1．理解直线与圆的三种位置关系．(重点) 2．会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系．(重点)3．能解决直线与圆位置关系的综合问题．(难点)1．通过直线与圆的位置关系的学习，培养直观想象逻辑推理的数学核心素养．2．通过解决直线与圆位置关系的综合问题，培养数学运算的核心素养．早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程．你能想象到什么几何知识呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种特殊位置关系．你发现了吗？直线与圆的位置关系的判定(直线Ax＋By＋C＝0，AB≠0，圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r＞0)位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d＜r d＝r d＞r判定方法代数法：由⎩⎨⎧Ax＋By＋C＝0(x－a)2＋(y－b)2＝r2消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0图形1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( ) (2)若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切． ( )[答案] (1)√ (2)√2．(教材P 110练习A ①改编)直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．无法判断B [圆心(0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|32＋42＝1，又圆x 2＋y 2＝1的半径为1，∴d ＝r ，故直线与圆相切．]3．直线x ＋y ＝1与圆x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)没有公共点，则a 的取值范围是 ． 0＜a ＜2－1 [由题意得圆心(0，a )到直线x ＋y －1＝0的距离大于半径a ，即|a －1|2＞a ，解得－2－1＜a ＜2－1，又a ＞0，∴0＜a ＜2－1．]4．直线3x ＋y －23＝0，截圆x 2＋y 2＝4所得的弦长是 ． 2 [圆心到直线3x ＋y －23＝0的距离d ＝|－23|3＋1＝3．所以弦长l ＝2R 2－d 2＝24－3＝2．]直线与圆位置关系的判定【例1】 只有一个公共点？没有公共点？[思路探究] 可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可通过圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断．[解] 法一：由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝2 ①y ＝x ＋b ②得2x 2＋2bx ＋b 2－2＝0，③方程③的根的判别式Δ＝(2b )2－4×2(b 2－2)＝－4(b ＋2)(b －2)． (1)当－2＜b ＜2时，Δ＞0，直线与圆有两个公共点． (2)当b ＝2或b ＝－2时，Δ＝0，直线与圆只有一个公共点．(3)当b ＜－2或b ＞2时，Δ＜0方程组没有实数解，直线与圆没有公共点．法二：圆的半径r ＝2，圆心O (0,0)到直线y ＝x ＋b 的距离为d ＝|b |2． 当d ＜r ，即－2＜b ＜2时，圆与直线相交，有两个公共点．当d ＝r ，|b |＝2，即b ＝2或b ＝－2时，圆与直线相切，直线与圆只有一个公共点． 当d ＞r ，|b |＞2，即b ＜－2或b ＞2时，圆与直线相离，圆与直线无公共点．直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．[跟进训练]1．已知圆的方程x 2＋(y －1)2＝2，直线y ＝x －b ，当b 为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，无公共点？[解] 法一：由⎩⎨⎧y ＝x －b ，x 2＋(y －1)2＝2得2x 2－2(1＋b )x ＋b 2＋2b －1＝0，① 其判别式Δ＝4(1＋b )2－8(b 2＋2b －1)＝－4(b ＋3)(b －1)，当－3＜b ＜1时，Δ＞0，方程①有两个不等实根，直线与圆有两个公共点； 当b ＝－3或1时，Δ＝0，方程①有两个相等实根，直线与圆有一个公共点； 当b ＜－3或b ＞1时，Δ＜0，方程①无实数根，直线与圆无公共点． 法二：圆心(0,1)到直线y ＝x －b 距离d ＝|1＋b |2，圆半径r ＝2． 当d ＜r ，即－3＜b ＜1时，直线与圆相交，有两个公共点； 当d ＝r ，即b ＝－3或1时，直线与圆相切，有一个公共点； 当d ＞r ，即b ＜－3或b ＞1时，直线与圆相离，无公共点．直线与圆相切的有关问题【例2】 [思路探究] 利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而求出切线方程． [解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1， 所以点A 在圆外．(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4)．因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径，半径为1， 所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，即|k ＋4|＝k 2＋1，所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1，解得k ＝－158． 所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)， 即15x ＋8y －36＝0． (2)若直线斜率不存在，圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4． 综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4．过一点的圆的切线方程的求法(1)点在圆上时求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ，再由垂直关系得切线的斜率为－1k ，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x ＝x 0或y ＝y 0．(2)点在圆外时①几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程联立，消去y 后得到关于x 的一元二次方程，由Δ＝0求出k ，可得切线方程．提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．[跟进训练]2．过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，求该直线的方程． [解] 圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0化为标准式(x ＋2)2＋y 2＝1，圆心C (－2,0)，设过原点的直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径． 即|－2k |k 2＋1＝1，∴3k 2＝1， k 2＝13，解得k ＝±33． ∵切点在第三象限，∴k ＞0， ∴所求直线方程为y ＝33x ．直线截圆所得弦长问题[探究问题]1．已知直线l 与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？[提示] 将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2求弦长．2．若直线与圆相交、圆的半径为r 、圆心到直线的距离为d ，如何求弦长？[提示] 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l ＝2r 2－d 2．【例3】 直线l 经过点P (5,5)并且与圆C ：x 2＋y 2＝25相交截得的弦长为45，求l 的方程．[思路探究] 设出点斜式方程，利用交点坐标法或利用r 、弦心距及弦长的一半构成直角三角形可求．[解] 据题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －5＝k (x －5)，与圆C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，法一：联立方程组⎩⎨⎧y －5＝k (x －5)，x 2＋y 2＝25.消去y ，得(k 2＋1)x 2＋10k (1－k )x ＋25k (k －2)＝0． 由Δ＝[10k (1－k )]2－4(k 2＋1)·25k (k －2)>0， 解得k ＞0．又x 1＋x 2＝－10k (1－k )k 2＋1，x 1x 2＝25k (k －2)k 2＋1，由斜率公式，得y 1－y 2＝k (x 1－x 2)．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k 2(1－k )2(k 2＋1)2－4·25k (k －2)k 2＋1 ＝45．两边平方，整理得2k 2－5k ＋2＝0，解得k ＝12或k ＝2符合题意． 故直线l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0．法二：如图所示，|OH |是圆心到直线l 的距离，|OA |是圆的半径，|AH |是弦长|AB |的一半．在Rt △AHO 中，|OA |＝5， |AH |＝12|AB |＝12×45＝25， 则|OH |＝|OA |2－|AH |2＝5． ∴|5(1－k )|k 2＋1＝5， 解得k ＝12或k ＝2．∴直线l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0．(变条件)直线l 经过点P (2，－1)且被圆C ：x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长最短，求此时直线l 方程．[解] 圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝25，圆心C (3,1)．因为|CP |＝(3－2)2＋(1＋1)2＝5＜5，所以点P 在圆内．当CP ⊥l 时，弦长最短．又k CP ＝1＋13－2＝2．所以k l ＝－12，所以直线l 的方程为y ＋1＝－12(x －2)，即x ＋2y ＝0．直线与圆相交时弦长的两种求法(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，则|AB |＝2r 2－d 2．图1 图2(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在且不为0)．1．如何正确选择判断直线与圆的位置关系的方法(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；(2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法． 提醒：能用几何法，尽量不用代数法．(3)已知直线与圆相交求有关参数值时，根据弦心距、半弦长、半径的关系或者这三条线段形成的三角形的性质求解，而弦心距可利用点到直线的距离公式列式，进而求解即可．2．利用代数法判断直线与圆的位置关系时的注意点(1)代入消元过程中消x 还是消y 取决于直线方程的特点，尽量减少分类讨论，如若直线方程为x －ay ＋1＝0，则应将其化为x ＝ay －1，然后代入消x ．(2)利用判别式判断方程是否有根时，应注意二次项系数是否为零，若二次项系数为零，则判别式无意义．1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离 B [圆心到直线的距离d ＝112＋(－1)2＝22＜1． 又∵直线y ＝x ＋1不过圆心(0,0)．∴直线与圆相交但不过圆心．]2．设直线l 过点P (－2,0)，且与圆x 2＋y 2＝1相切，则l 的斜率是( ) A ．±1 B ．±12 C ．±33 D ．±3 C [设l ：y ＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＝0． 又l 与圆相切，∴|2k |1＋k2＝1．∴k ＝±33．] 3．直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为 ．4 [圆的标准方程(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心(1,2)到直线x ＋2y －5＋5＝0的距离d ＝|1＋2×2－5＋5|12＋22＝1，所以弦长为25－1＝4．]4．若直线x ＋y －m ＝0与圆x 2＋y 2＝2相离，则m 的取值范围是 ． m ＜－2或m ＞2 [因为直线x ＋y －m ＝0与圆x 2＋y 2＝2相离，所以|－m |12＋12＞2，解得m ＜－2或m ＞2．]5．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，求直线l 的方程．[解] 由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k ．设直线l 的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．又圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离 d ＝|2k －1－2|1＋k 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22．解得k ＝1或k ＝177．所以直线l 的方程为y ＋2＝x ＋1或y ＋2＝177(x ＋1)，即x －y －1＝0或17x －7y ＋3＝0．。

《直线与圆的位置关系》教学设计一、教学内容解析《直线与圆的位置关系》是圆与方程这一章的重要内容，它是学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，以及在前面几节学习了直线与圆的方程的基础上，从代数角度，运用坐标法进一步研究直线与圆的位置关系，体会数形结合思想，初步形成代数法解决几何问题的能力，并逐渐内化为学生的习惯和基本素质，为以后学习直线与圆锥曲线的知识打下基础．本节课内容共一个课时．教学过程中，让学生利用已有的知识，自主探索用坐标法去研究直线与圆的位置关系的方法，体验有关的数学思想，培养学生“用数学”以及合作学习的意识．二、教学目标设置由于本节课在初中已有涉及，教师准备“学案”先让学生提前思考，归纳出直线与圆的三种位置关系以及代数与几何的两种判定方法．通过学生的观察、分析、概括，促使学生把解析几何中用方程研究曲线的思想与初中已掌握的圆的几何性质相结合，从而把传授知识和培养能力融为一体，完成本节课的教学目标．三、学生学情分析在经历直线、圆的方程学习后，学生已经具备了一定的用方程研究几何对象的能力，因此，我在教学中通过提供的丰富的数学学习环境，创设便于观察和思考的情境，给他们提供自主探究的空间，使学生经历完整的数学学习过程，引导学生在已有数学认知结构的基础上，通过积极主动的思维而将新知识内化到自己的认知结构中去．同时为他们施展创造才华搭建一个合理的平台，使他们感知学习数学的快乐．高中数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯．根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：知识与技能目标：（1）理解直线与圆三种位置关系．（2）掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解的个数判断直线与圆位置关系的方法．过程与方法目标：（1）通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习方式．（2）强化学生用坐标法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力．情感、态度与价值观目标：通过对本节课知识的探究活动，加深学生对坐标法解决几何问题的认识，从而领悟其中所蕴涵的数学思想，体验探索中成功的喜悦，激发学习热情，养成良好的学习习惯和品质，培养学生的创新意识和科学精神．四、教学策略分析本节课以问题为载体，学生活动为主线，让学生利用已有的知识，自主探究，培养学生主动学习的习惯．通过建立数学模型、数形结合，提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生的数学素质；通过对直线与圆的位置关系判断方法的探究，进一步提高学生的思维能力和归纳能力．在教学方法的选择上，采用教师组织引导，学生自主探究、动手实践、小组合作交流的学习方式，力求体现教师的设计者、组织者、引导者、合作者的作用，突出学生的主体地位．五、课前准备：直线与圆的位置关系学案（附后）例如图，已知直线直线与圆已知过点，求直线的方程．（课件）六、教学评价设计新课程强调学习过程的评价，因此，在对学生学习结果评价的同时，更应高度重视学生学习过程中的参与度、自信心、合作意识、独立思考的能力及学习的兴趣等．根据本节课的特点，我从以下几个方面进行教学评价：通过问题情境，激发学生的学习兴趣，使学生找到要学的与以学知识之间的联系；问题串的设置可让学生主动参与到学习中来；在判断方法的形成与应用的探究中，师生的相互沟通调动学生的积极性，培养团队精神；知识的生成和问题的解决，培养学生独立思考的能力，激发学生的创新思维；通过练习检测学生对知识的掌握情况；根据学生在课堂小结中的表现和课后作业情况，查缺补漏，以便调控教学．。

4.2.1 直线与圆的位置关系一、教学目标:1、知识与技能:（1）理解直线与圆的位置关系的种类；（2）会利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．2、过程与方法:通过学习直线与圆的位置关系，掌握解决问题的方法――几何法、代数法。

3、情感态度与价值观:让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．二、教学重、难点:重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．难点：用坐标法判断直线与圆的位置关系．三、教学方法与手段：1、教学方法：讲解法、讨论法、探究法、演示法2、教学手段：多媒体、几何画板四、教学过程：1、提出问题，情境导入教师利用多媒体展示如下问题：问题1：一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域，已知小岛中心位于轮船正西70km处，港口位于小岛中心正北40km处。

如果轮船沿直线返港，那么它是否会触礁危险？设计意图：让学生感受暗礁这个实际问题中所蕴含的直线与圆的位置关系，思考解决问题的方案。

通过实际问题引入，让学生体会生活中的数学，突出研究直线与圆的位置关系的重要意义。

师生活动：让学生进行讨论、交流，启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课．师：你怎么判断轮船会不会触礁？利用初中所学的平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下。

生：暗礁所在的圆与轮船航线所在直线是否相交。

师：（板书标题）这个问题，其实可以归结为直线与圆的位置关系。

2、回顾旧知、揭示课题——直线与圆的位置关系问题2：在初中，我们学习过直线与圆的位置关系，即直线与圆相交，有两个公共点，直线与圆相切，有一个公共点；直线与圆相离，没有公共点。

设计意图：从已有的知识经验出发，建立新旧知识之间的联系，构建学生学习的最近发展区，不断加深对问题的理解。

师生活动：引导学生回忆义务教育阶段判断直线与圆的位置关系的思想过程，可以展示下面的表格，使问题直观形象。

2.5.1 直线与圆的位置关系学案（含解析）第二章直线和圆的方程2.5.1 直线与圆的位置关系学案学习目标1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.3.逐步理解用代数方法处理几何问题的基本思想和方法.知识汇总1.直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点.2.在平面直角坐标系中，要判断直线与圆的位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系.若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.习题检测1.对任意的实数k，直线与圆的位置关系一定是( )A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心2.若直线l与圆相切于点，则直线l的方程为( )A. B.C. D.3.若直线与圆没有公共点，则实数m的取值范围是( )A. B.或C.或D.4.若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为( )A.0或4B.0或3C.或6D.或5.一束光线从点射出，经x轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A.或B.或C.或D.或6.（多选）已知圆，则( ).A.圆M可能过原点B.圆心M在直线上C.圆M与直线相切D.圆M被直线所戴得的弦长为7.过点且与圆相切的直线的方程为__________________.8.如图所示是一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱桥顶部离水面2m，水面宽12m，若水面下降1m，则水面的宽为_______________m.9.已知圆，直线.(1)求证：不论m取什么实数，直线l与圆恒有两个不同的交点；(2)若直线l被圆C截得的弦长最小，求此时l的方程.10.已知点，直线及圆.（1）求过点M的圆的切线方程；（2）若直线与圆相切，求a的值；（3）若直线与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值.答案以及解析1.答案：C解析：直线恒过定点，由定点在圆内，知直线与圆一定相交.又直线不过圆心，所以位置关系是相交但直线不过圆心，故选C.2.答案：D解析：由题意，得点P在圆上，且点P与圆心的连线的斜率是，则切线l的斜率是，则切线方程为，即为.故选D.3.答案：B解析：圆的圆心为，半径为2，由题意得，圆心到直线的距离，或.故选B.4.答案：A解析：由圆的方程，可知圆心坐标为，半径.又直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离.又，所以，解得或.故选A.5.答案：C解析：圆的方程可化为，易知关于x轴对称的点为，如图所示，易知反射光线所在直线的斜率存在，设为k，其方程为，即，依题意得，圆心到反射光线所在直线的距离，化简得，解得或.故选C.6.答案：ABD解析：圆，圆心为，半径为1，若圆M过原点，则，解得或，故A 正确；因为，所以圆心M在直线上，故B正确；圆心到直线的距离，故圆M与直线相离，故C错误；圆心到直线的距离，所以圆M被直线截得的弦长，故D正确.故选ABD.7.答案：或解析：易知点在圆外，当切线的斜率存在时，设国的切线方程为，由圆心到切线的距离等于半径，得，所以切线方程为.当切线的斜率不存在时，切线方程为.综上，所求直线的方程为或.8.答案：解析：如图，建立平面直角坐标系，设初始水面在AB处，则由已知得，设圆C的半径长为，则，故圆C 的方程为，将代入，得，所以圆C的方程为.① 当水面下降1m到时，设.将代入①式，得，所以水面下降1m后，水面宽为m.9.解析：(1)将直线l的方程改写成，因为，所以，解得，，可知直线l恒过定点，因为圆心，半径，易得，因此点A必在圆C内，故直线l与圆恒有两个不同的交点.(2)由图形位置关系可知，当弦长最小时，必有，因为，则，从而，得，故直线l的方程为.10.解析：（1）由题意得，圆心，半径.当直线的斜率不存在时，方程为.由圆心到直线的距离知，此时，直线与圆相切.当直线的斜率存在时，设方程为，即.由题意知圆心到直线的距离，解得，方程为.故过点M的圆的切线方程为或.（2）由题意得，圆心到直线的距离为，解得或.（3）圆心到直线的距离为，，解得.2。

学案48 直线、圆的位置关系导学目标： 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．自主梳理1．直线与圆的位置关系位置关系有三种：________、________、________.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：①代数法：利用判别式Δ，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x 或y 整理成一元二次方程后，计算判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧ >0⇔ ，＝0⇔ ，<0⇔ .②几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d <r ⇔________，d ＝r ⇔________，d >r ⇔________.2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．3．圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系可分为五种：________、________、________、________、________. 判断圆与圆的位置关系常用方法：设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径为r 1、r 2 (r 1≠r 2)，则O 1O 2>r 1＋r 2；O 1O 2＝r 1＋r 2；|r 1－r 2|<O 1O 2<r 1＋r 2；O 1O 2＝|r 1－r 2；0≤|O 1O 2|<|r 1－r 2． 自我检测1．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若MN ≥23，则k 的取值范围是________．2．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为______________．3．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有________条．4．过点(0,1)的直线与x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为________．5．若P (2，－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是______________.探究点一 直线与圆的位置关系例1 已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；变式迁移1 从圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1外一点P (2,3)向该圆引切线，求切线的方程及过两切点的直线方程．探究点二 圆的弦长、中点弦问题例2 已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程；变式迁移2 已知圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0和直线kx －y －4k ＋3＝0.(1)证明：不论k 取何值，直线和圆总有两个不同交点；(2)求当k 取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长．探究点三 圆与圆的位置关系例3 )已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.求：(1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切？(3)m 取何值时两圆相交1．求切线方程时，若知道切点，可直接利用公式；若过圆外一点求切线，一般运用圆心到直线的距离等于半径来求，但注意有两条．2．解决与弦长有关的问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式．这就是通常所说的“几何法”和“代数法”．3．判断两圆的位置关系，从圆心距和两圆半径的关系入手．1．直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是________．2．直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m ＝______________.3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为________．4．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离为1，则半径r 的取值范围是______________．5．已知点A 是圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋4y －5＝0上任意一点，A 点关于直线x ＋2y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________.6．已知圆O 的半径为1，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么P A →·PB →的最小值为____________．。

直线与圆的位置关系学习目标：1、理解直线与圆的位置关系，明确直线与圆的三种位置关系的判定方法，培养学生数形结合的数学思想。

2、会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系及会利用直线与圆的位置关系解决相关的问题，让学生通过观察图形，明确数与形的统一性和联系性。

重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法。

难点：用坐标法判断直线与圆的位置关系。

一、自主学习1、初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？2、在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？完成表格。

直线与圆的位置关系公共点个数 圆心到直线的距离d 与半径r 的关系 图形3、如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？ 【精典范例】例1：判断直线360x y +-=和圆22240x y y +--=的位置关系．如果相交，求它们公共点坐标。

变式、1.当m 为何值时，直线L ：mx －y+2=0与圆x 2+y 2－4x －2y+1=0相交，相切，相离？2.．若直线y=kx+2与曲线21x y =-有两个不同的交点，求实数k 的取值范围。

例2：求直线3230x y -+=被圆224x y +=截得的弦长．例3：已知过点(3,3)M --的直线被圆224210x y y ++-=所截得的弦长为45，求该直线的方程。

例4：自点(1,4)A -作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ,求切线l 的方程以及该切线长．自点(1,4)A 作圆22(2)(3)2x y -+-=的切线l ,求切线l 的方程．例5、自点A （-3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆C ：224470x y x y +--+=相切，求光线l 所在直线方程。

追踪训练一1、过圆522=+y x 上一点()21，-M 的切线方程是 2、斜率为2且与圆04222=--+y y x 相切的直线方程是 3、过点()53，P 向圆522=+y x 作切线，切线长为 4、与直线3y x =+垂直，且与圆228x y +=相切的直线方程是5、已知实数x 、y 满足方程01422=+-+x y x .求（1）x y的最大值和最小值；（2）y-x 的最小值；（3）22y x +的最大值和最小值.【选修延伸】一、圆、切线、截距例4: 已知圆22(2)(3)1x y -+-=，求该圆与x 轴和y 轴的截距相等的切线l 的方程.例5：若直线y x b =+与24x y =-恰有一个公共点，求实数b 的取值范围.追踪训练二1．已知圆222x y +=，求该圆与x 轴和y 轴的截距的绝对值相等的切线l 的方程．2．若直线y x b =+与24y x =-有两个不同的交点，求实数b 的取值范围．作业一、 选择题1、直线x ＋y=m 与圆x 2＋y 2=m(m>0)相切,则m=( )A 、21 B 、22 C 、2 D 、2 2、圆心为(1,－2)，半径为25的圆在x 轴上截得的弦长为( )A 、8B 、6C 、26D 、343、直线x ＋y －1=0被圆x 2＋y 2－2x －2y －6=0所截得的线段的中点坐标是( )A 、 ( 21,21)B 、 (0,0)C 、 (43,41)D 、 (41,43) 4、y=x 的图形和圆x 2＋y 2=4所围成的较小面积是( )A 、4π B 、 C 、23π D 、43π 5、曲线x 2＋y 2＋22x －22y=0关于( )A 、直线x=2轴对称B 、直线y=－x 轴对称C 、点(－2, 2)中心对称D 、点(－2,0)中心对称6、在圆x 2＋y 2=4上与直线4x ＋3y －12=0距离最短的点的坐标是( )A. (56,58) B 、 (58,56) C 、 (-58,56) D 、 (-56,-58) 7、过点P(2,3)做圆C ：(x －1) 2＋ (y －1) 2=0的切线,设T 为切点,则切线长PT =( )A 、5B 、5C 、1D 、2二、填空题8、圆心在直线y=x 上且与x 轴相切与点(1,0)的圆的方程是________________.9、设直线AB 与圆x 2＋y 2－4x －5=0的相交弦的中点是P(3,1),则直线AB 的方程是___________.10、圆心在x 轴上,且过点A(3,5)和B(-3,7)的圆方程为11、在满足(x-3)2+(y-3)2=6的所有实数对(x,y)中,xy 的最大值是 三、解答题12、 求过点A(3,4)与圆C:(x-2)2+(y-1)2=1相切的直线方程13、一束光线通过点M(25,18)射入,被x 轴反射到圆C:x 2+(y-7)2=25，求通过圆心的反射直线所在的直线方程答案：一、选择题1、D ；2、A ；3、A ；4、B ；5、B ；6、B ；7、D二、填空题8、.1)1()1(22=-+-y x9、x+y-4=010、(x+2)2+y 2=111、223+三、解答题12、解:设所求方程为y-4=k(x-3)即kx-y+4-3k=0 由213412k kk --+-=1得 k=34 所以切线方程为4x-3y=0当过A(3,4)向圆可作两条切线,另一条为x=3所求切线方程为4x-3y=0或x=313、解: (x-1)2+(y+2)2=4表示以(1,-2)为圆心,半径等于2的圆,由S=2x+y 得y=-2x+S当直线和圆相切时,S 取得最大值和最小值 由21221222=+--⨯S,得52±=S,52max =∴S ,52m in -=S14、解:M(25,18)关于x 轴的对称点为)18,25(-'M ,依题意得,反射线所在的直线过点(25,-18),则2502518718--=++x y 即 ,所求方程为x+y-7=015、解:由⎩⎨⎧=++=m y x kx y 221消去y 得 (1+k 2)x 2+2kx+1-m=004442≥-+=∆∴m mk恒成立解得m112+k 112+k 1≤。

第三章直线与圆、圆与圆的位置关系章节概述：直线与圆、圆与圆的位置关系，是初中几何类题型中较难的部分，许多同学在学习这部分内容时，较容易忽略最基本的定义、性质，拿到题目仍感无从下手。

本节课，老师将带领同学们一起系统地全面地梳理直线与圆、圆与圆的位置关系的内容，使同学们能够清晰地理解知识要点、掌握解题思路与步骤，全面突破直线与圆、圆与圆的位置关系！§3.1 直线与圆的位置关系教学目标：1.理解相交、相切、相离的概念并掌握判断方法2.掌握切线的判定、性质与定理3.理解并掌握弦切角、切割线定理与割线定理例1：已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．相交、相切、相离都有可能解析：判断直线和圆的位置关系，必须明确圆心到直线的距离．直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．特别注意：这里的5不一定是圆心到直线的距离．解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于5．此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交、相切、相离都有可能．故选D．例2：△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．给出下列三个结论：①以点C为圆心，2.3 cm 长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2.4 cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，2.5 cm长为半径的圆与AB相交；则上述结论中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个解析：此题是判断直线和圆的位置关系，需要求得直角三角形斜边上的高．先过C作CD⊥AB 于D，根据勾股定理得AB=5，再根据直角三角形的面积公式，求得CD=2.4．①，即d＞r，直线和圆相离，正确；②，即d=r，直线和圆相切，正确；③，d＜r，直线和圆相交，正确．共有3个正确解：①，d＞r，直线和圆相离，正确；②，d=r，直线和圆相切，正确；③，d＜r，直线和圆相交，正确．故选D．即时练习：1、已知在直角坐标系中，以点A （0，3）为圆心，以3为半径作⊙A ，则直线y =kx +2（k ≠0）与⊙A 的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．与K 值有关2、请用尺规作图：过圆上一点作已知圆的切线3、已知：直线y =kx （k ≠0）经过点（3，4）．（1）k =（2）将该直线向上平移m （m ＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O 相离（点O 为坐标原点），则m 的取值范围为例3：如图，以△ABC 的直角边AB 为直径的半圆O 与斜边AC 交于点D ，E 是BC 边的中点．若AD 、AB 的长是方程x 2-6x +8=0的两个根，则图中阴影部分的面积为解析：本题主要考查了扇形的面积计算，一元二次方程的求解，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据方程的解判断出△AOD 是等边三角形是解题的关键．先利用因式分解法解方程求出AD 、AB 的长，然后连接OD 、BD 、OE ，并判定△AOD 是等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角可得BD ⊥AC ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE BC DE ==21，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上可得OE 垂直平分BD ，然后根据勾股定理求出BD 的长，再根据相似三角形对应边成比例列式求出BC 的长，从而得到BE 的长度，最后根据阴影部分的面积等于四边形OBED 的面积减去扇形BOD 的面积，列式进行计算即可求解．解：x 2-6x +8=0，（x -2）（x -4）=0，解得x 1=2，x 2=4，∴AD =2，AB =4，∵AB 是直径，∴AO =BO =21AB =2，连接OD ，则AO =OD =AD =2， ∴△AOD 是等边三角形，连接BD ，则BD ⊥AC ，∵E 是BC 边的中点，∴DE =BE =21BC ，连接OE ，则OE 是线段BD 的垂直平分线， 在Rt △AOD 中，3222=+=AD AB BD ，∵∠A =∠A ，∠ADB =∠ABC =90°，∴△ABC ∽△ADB ，∴AD AB BD BC =，即2432=BC ， 解得:34=BC ，BE =21BC =32，∴S 四边形OBED =2S △OBE =2×21×2×32=34，又∠BOD =180°-∠AOD =180°-60°=120°，∴S 扇形BOD =ππ343602120020=•• ∴S 阴影部分的面积=S 四边形OBED -S 扇形BOD =π3434-故答案为：π3434- 例4：如图，正方形ABCD 的边长为2，⊙O 的直径为AD ，将正方形沿EC 折叠，点B 落在圆上的F 点，则BE 的长为解析：本题考查的是切线的判定与性质，根据三角形全等判定CF 是圆的切线，然后由翻折变换，得到对应的角与对应的边分别相等，利用切线的性质结合直角三角形，运用勾股定理求出线段的长．解：如图：连接OF ，OC ．在△OCF 和△OCD 中，∵OF =OD ，OC =OC ，CF =CD ，∴△OCF ≌△OCD ，∴∠OFC =∠ODC =90°，∴CF 是⊙O 的切线．∵∠CFE =∠B =90°，∴E ，F ，O 三点共线．∵EF =EB ，∴在△AEO 中，AO =1，AE =2-BE ，EO =1+BE ，∴()()22211BE BE -+=+，解得： 32=BE ；故答案是：32． 例5：在正方形ABCD 中，E 为AD 中点，AF 丄BE 交BE 于G ，交CD 于F ，连CG 延长交AD 于H ．下列结论：①CB CG =；②41=BC HE ；③31=GF EG ；④以AB 为直径的圆与CH 相切于点G ，其中正确的是解析：本题综合考查了切线的性质与判定、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点．解答③选项时，也可以利用相似三角形的判定与性质．解：连接OG 、OC ．∵AF 丄BE ，∴∠ABE =∠DAF ；在Rt △ABE 和Rt △DAF 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∠=∠090ADF BAE DA AB DAF ABE ，∴Rt △ABE ≌Rt △DAF （ASA ），∴AE =DF （全等三角形的对应边相等）；又∵E 为AD 中点，∴F 为DC 的中点；∵O 为AB 的中点，∴OC ∥AF ，∴OC ⊥BE ，∴∠BOC =∠GOC ；在△BOC 和△GOC 中，∵()⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=公共边CO OC GOC BOC OG OB ，∴△BOC ≌△GOC ，∴∠OBC =∠OGC =90°，即OG ⊥CH ，∴以AB 为直径的圆与CH 相切于点G ；故④正确；∵以AB 为直径的圆与CH 相切于点G ，AB ⊥BC ，∴CG =CB ；故①正确；∵AD ∥BC ，∴CGHG BG EG BC HE ==；∵CG =CB ，∴HG =HE ；又∵E 为AD 中点， ∴AH =HE =HG ，即点H 为AE 的中点，∴4141==AD AD BC HE ；故②正确； ∵点F 是CD 的中点，∴AD DF 21=；∴AD AF 25=（勾股定理）； ∵21tan ===∠AD DF AG EG DAF ，∴AG =2EG ，∴AD EG AE 215== ∴AD EG 105=∴AD AG 55= ∴AD AG AG AF FG 1053==-=∴31=GF EG ；故③正确； 综上所述，正确的说法有：①②③④．故答案是：①②③④．即时练习：1、如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA =∠CBD ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC =6，tan ∠CDA =32，求BE 的长． 2、已知：Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，CD 为AB 边上的中线，AC =6cm ，BC =8cm ；点O 是线段CD 边上的动点（不与点C 、D 重合）；以点O 为圆心、OC 为半径的⊙O 交AC 于点E ，EF ⊥AB 于F ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线．（如图1）（2）请分析⊙O 与直线AB 可能出现的不同位置关系，分别指出线段EF 的取值范围．3、三等分角仪--把材料制成如图所示的阴影部分的形状，使AB 与半圆的半径CB 、CD 相等，PB 垂直于AD ．这便做成了“三等分角仪”．如果要把∠MPN 三等分时，可将三等分角仪放在∠MPN 上，适当调整它的位置，使PB 通过角的顶点P ，使A 点落在角的PM 边上，使角的另一边与半圆相切于E 点，最后通过B 、C 两点分别作两条射线PB 、PC ，则∠MPB =∠BPC =∠CPN ．请用推理的方法加以证明．4、（2012•扬州）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且OA =2，OC =1，矩形对角线AC 、OB 相交于E ，过点E 的直线与边OA 、BC 分别相交于点G 、H ．（1）①直接写出点E 的坐标：②求证：AG =CH ．（2）如图2，以O 为圆心，OC 为半径的圆弧交OA 与D ，若直线GH 与弧CD 所在的圆相切于矩形内一点F ，求直线GH 的函数关系式．（3）在（2）的结论下，梯形ABHG 的内部有一点P ，当⊙P 与HG 、GA 、AB 都相切时，求⊙P 的半径．例6：已知：如图，在⊙O 中，AB 是直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BCD =130°，过D 点的切线PD 与直线AB 交于点P ，则∠ADP 的度数为解析：考查圆与切线的位置关系及其切线角之间的关系．解：连接BD ，则∠ADB =90°，又∠BCD =130°，故∠DAB =50°，所以∠DBA =40°；又因为PD 为切线，故∠PDA =∠ABD =40°，即∠PDA =40°．例7：如图，四边形ABED 内接于⊙O ，E 是AD 延长线上的一点，若∠AOC =122°，则∠B = 度，∠EDC = 度．解析：本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质．解：由圆周角定理得，∠B =21∠AOC =61°，∵四边形ADCB 内接于⊙O ，∴∠EDC =∠B =61°． 即时练习：1、如图，P A 、PB 切⊙O 于点A 、B ，AC 是⊙O 的直径，且∠BAC =35°，则∠P = 度．2、如图，P A 切⊙O 于A 点，C 是弧AB 上任意一点，∠P AB =58°，则∠C 的度数是 度 例8：如图，P A 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，C 为弧AB 上任意一点，过点C 作⊙O 切线交P A 于点D ，交PB 于点E ，若P A =6，则△PDE 的周长为 ．解析：本题考查了切线长定理的应用能力．解：根据切线长定理得：CD =AD ，CE =BE ，P A =PB ，则△PDE 的周长=2P A =6×2=12．例9：如图等腰梯形ABCD 是⊙O 的外切四边形，O 是圆心，腰长4cm ，则∠BOC = 度，梯形中位线长 cm ．解析：本题考查了切线长定理、等腰梯形的性质和梯形的中位线定理，是基础知识要熟练掌握．即时练习：1、如图，AB 为半⊙O 的直径，C 为半圆弧的三等分点，过B ，C 两点的半⊙O 的切线交于点P ，若AB 的长是2a ，则P A 的长是2、（2012•岳阳）如图，AB 为半圆O 的直径，AD 、BC 分别切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，AD 与CD 相交于D ，BC 与CD 相交于C ，连接OD 、OC ，对于下列结论：①OD 2=DE •CD ；②AD +BC =CD ；③OD =OC ；④S 梯形ABCD =21CD •OA ；⑤∠DOC =90°，其中正确的是（ ） A 、①②⑤ B 、②③④ C 、③④⑤ D 、①④⑤例10：已知如图，P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，过P ，O 两点作⊙O 的割线交⊙O 于A 、B 两点，且PC =4cm ，P A =3cm ，则⊙O 的半径R = cm 解析：此题主要运用了切割线定理的有关知识来解决问题．解：∵PC 是切线，∴PC 2=P A •PB ；又∵PC =4，P A =3，∴16=3（3+AB ），∴AB =37，∴半径R =67． 即时练习：1、如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3，4，以AC 为直径作圆与斜边AB 交于点D ，则AD =2、已知：如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC =2PB ，求PB PA = ． A 组1、如图，时钟的钟面上标有1，2，3，…，12共12个数，一条直线把钟面分成了两部分．请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等，则其中的两个部分所包含的几个数分别是 和 ．2、如图，PA 为O 的切线，A 为切点，4=PA 半径3=OB 则APO ∠cos ＝ ．3、如图，AB 是O 的直径，AD 是O 的切线，点C 在O 上，3,2,//==OD AB OD BC ，则BC 的长为 .4、如图，P 是O 外一点，PB PA ,分别和O 切于C B A ，、是AB 上任意一点，过C 作O 的切线分别交PB PA 、于E D 、，若PDE ∆的周长为12，则PA 长为多少？５、如图，若正111C B A ∆内接于正ABC ∆的内切圆，则111C B A ∆与ABC ∆的面积之比． ６．如图，已知点E 是矩形ABCD 的边AB 上一点，15,3:5:==EC EA BE ，把BEC ∆沿折痕EC 向上翻折，若点B 恰好在AD 上，设这个点为F ．（1）求BC AB ,的长度各是多少？（2）若O 内切于以C B E F ,,,为顶点的四边形，求O 的面积．B 组７．如图，在矩形ABCD 中，AB =2,CD =4，圆D 的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O 重合，绕着O 点转动三角板，使它的一条直角边与圆D 切于点H ，此时两直角边与AD 交于F E ,两点，则EFO ∠tan 的值为．8、已知AB 是O 的直径，PB 切O 于点B ，APB ∠的平分线分别交AB BC ,于点E D ,，交O 于点PA F ,交O 于点︒=∠60,A C ，线段BD AE ,的长是一元二次方程0322=+-kx x （k 为常数）的两个根．（1）求证：AE PB BD PA ⋅=⋅；（2）求证：O 的直径为k ；（3）求FPA ∠tan ．9、如图，从O 外一点A 作O 的切线AC AB ,，切点分别为C B ,，且O 直径6=BD ，连接AO CD ,．（1）求证：AO CD //；（2）设y AO x CD ==,，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）若11=+CD AO ，求AB 的长．10、（1）已知，如图①，在平行四边形ABCD 中，F E ,是对角线BD 上的两点，且DE BF =．求证：CF AE =；（2）已知，如图②，AB 是O 的直径，CA 与O 相切于点A ．连接CO 交O 于点D ，CO 的延长线交O 于点E ．连接︒=∠30,,ABD BD BE ，求EBO ∠和C ∠的度数． §3.2 内切圆教学目标：1. 掌握内切圆的定义与作图2. 掌握内切圆的性质例1：如图，直线a 、b 、c 表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站．要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 处．解析：此题考查了角平分线与内心的关系解：∵△ABC 内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC 内角平分线的交点满足条件；如图：点P 是△ABC 两条外角平分线的交点，过点P 作PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，PF ⊥AC ，∴PE =PF ，PF =PD ，∴PE =PF =PD ，∴点P 到△ABC 的三边的距离相等，∴△ABC 两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点有4个，∴可供选择的地址有4个．故填4．例2：如图，△ABC 中，∠C =90°，AB =c ，BC =a ，AC =b ，I 是内心，圆I 与AB 、BC 、AC 分别相切于D 、E 、F 点。