2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第45课__直线与圆的位置关系

【高考一轮复习】五、平面解析几何——直线与圆一、考纲分析考纲（直线与部分）1.直线与方程（1）在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素；（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式；（3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；（4）掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系；（5）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离；2.圆与方程（1）掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程；（2）能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；（3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；（4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想；3.空间直角坐标系（1）了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置；（2）会推导空间两点间的距离公式。

分析：常以填空题、选择题、解答题的形式出现。

填空选择难度中等，解答题综合性较强，对计算能力要求较高，常与函数、方程、不等式、数列、三角函数、平面向量和圆锥曲线结合，难度中等，也不排除会出难题。

二、知识点汇总1.直线与方程1.1倾斜角与斜率倾斜角（α）：把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角。

（0°≤α<180°）斜率（k）：①已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，则直线PQ的斜率为：（x1≠x2）；②k=tanα。

k=y2−y1x2−x11.2直线方程1.5距离公式（1）中点坐标：点P1(x1，y1)，点P2(x2，y2)，则中点M（x1+x22，y1+y22）；（2）平面点与点：点P1(x1，y1)，点P2(x2，y2)，则|P1P2|=√（x1−x2）2+（y1−y2）2；（3）空间点与点：点P1(x1，y1，z1)，点P2(x2，y2，z2)，则|P1P2|=√（x1−x2）2+（y1−y2）2+（z1−z2）2（4）平面点与线：点P(x0，y0)，直线l：Ax+By+C=0 ，则d=00√A2+B2（4）平面线于线：直线l1：Ax+By+C1=0，直线l2：Ax+By+C2=0，则d=12√A2+B22.圆与方程2.1圆的方程三、例题讲解1.直线与圆的方程问题题型分析：直线倾斜角和斜率问题：分辨直线斜率k和倾斜角α（0≤α<π）之间的区别和联系：k=tanα。

一、考纲要求1．理解直线与圆的位置关系,会利用直线与圆的方程判断其位置关系,能够根据所给关系解决相关问题； 2 理解圆与圆的位置关系,能够根据两圆的方程判断它们的位置关系;3 会利用直线与圆的方程解决简单的综合问题,领悟用代数方法处理几何问题的本质， 二、知识梳理 回顾要求1． 阅读教材第112页~116页，理解直线和圆有哪些位置关系，用直线与圆的方程怎么判断直线和圆的关系？2． 理解圆心到直线的距离公式，能否用圆心到直线的距离判断直线和圆的关系？ 3． 当知道了圆心到直线的距离为d ，能否写出直线与圆相交形成的弦AB 的长度？ 4． 两圆的关系有哪些，怎么来判定他们的关系 5． 阅读教材113页的例2后思考，切线的长度怎么求 要点解析1、 直线与圆有相离、相切、相交三种关系，可以用直线和圆方程联立方程组，消去y ，后观察二次方程的∆即可，0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离。

2、 用点到直线距离公式可以写出圆心到直线的距离d ，比较d 与半径r 的关系。

r d >，直线和圆相离，r d <，直线与圆相交；r d =，直线与圆相切。

3、 把半径r 和d 以及弦长的一半放在一个直角三角形中，222d r AB -=。

4、 根据两圆圆心21O O 之间距离和两半径之间关系可以分成：外离、外切、相交、内切、内含五种情况。

5、 切线的长度由点到圆心距离PO ，半径r 构成的直角三角形中求得，以后再碰到切线的问题，转化为圆心的直线的距离PO 的问题。

三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4小题，在学习笔记栏写出基本方法，课前抽查部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误，点评时要简洁，要点击要害2、诊断练习点评题1.0y m -+=与圆22220x y x +--=相切,则实数m 等于 ．【分析与点评】方法一：直线与圆相切从形转：化到数，d r =方法二：直线和圆的方程联立方程组，消去y ，令0=∆【变式】0y m -+=与圆2220x y +-=相交,则实数m 范围 ．题2. 过原点且倾斜角为60的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为 ． 【分析与点评】重点巩固半径，圆心距，半径构成的特征三角形的关系【变式】过原点的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为1的有______条，弦长为4的有___________条.题3. 圆22:4210A x y x y ++++=与圆22:2610B x y x y +--+=的位置关系是_________ 【分析与点评】外切将圆A 的方程标准化可得()()22214x y +++=，可得()2,1,2A R --=，圆B 的方程标准化()()22139x y -+-=可得()1,3,3B r =，所以5AB ==，所以AB R r =+，所以圆,A B 外切。

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课时规范练45 点与直线、两条直线的位置关系基础巩固组1.(2018湖北稳派教育二联,3）若直线l1：x+ay+6=0与l2：（a-2）x+3y+2a=0平行,则l1与l2之间的距离为()A。

B.4C.D。

22.直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度,所得到的直线为（)A。

y=-x+B。

y=—x+1C.y=3x-3D.y=x+13.直线ax+4y—2=0与直线2x-5y+b=0垂直，垂足为（1,c),则a+b+c= (）A.-2 B。

-4C.—6D.—84.三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10，2x-y=10相交于一点，则a的值是() A。

—2 B。

-1C.0D.15.已知平行四边形ABCD的一条对角线固定在A（3,-1），C（2，-3)两点,点D在直线3x-y+1=0上移动,则点B的轨迹方程为()A。

3x-y—20=0 B。

3x—y—10=0C.3x—y—9=0 D。

3x-y—12=06。

直线x—2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（）A。

x+2y—1=0 B。

2x+y-1=0C。

2x+y—3=0 D.x+2y-3=07.（2018山东栖霞期末,5)过点A(1，2)且与原点距离最大的直线方程是(）A.x+2y-5=0 B。

第4课时-直线与圆、圆与圆的位置关系【课标解读】【课程标准】1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.【核心素养】数学抽象、数学运算、逻辑推理.【命题说明】考向考法直线与圆、圆与圆的位置关系是高考的热点内容之一,其中直线与圆相切及直线与圆相交是重点考查的内容,多以选择题或填空题的形式出现.预测预计2025年高考直线与圆、圆的位置关系仍会出题,一般在选择题或填空题中出现.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r)位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ=0Δ>0几何观点d>r d=r d<r微点拨判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法.微思考当某直线所过定点A在圆上时,该直线与圆有何位置关系?提示:直线与圆相交或相切.2.圆与圆的位置关系设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=12(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=22(r2>0).位置关系方法公切线条数几何法:圆心距d与r1,r2的关系代数法:联立两圆方程组成方程组的解的情况外离d>r1+r2无解4外切d=r1+r2一组实数解3相交|r1-r2|<d<r1+r2两组不同的实数解2内切d=|r1-r2|(r1≠r2)一组实数解1内含0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)无解03.直线被圆截得的弦长(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2 2- 2.(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入,消去y,得关于x的一元二次方程,则|MN|=1+ 2·( + )2-4 .常用结论1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内切时,两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.3.两圆相交时公共弦的性质圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(12+ 12-4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(22+ 22-4F2>0)相交时:(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号12,3541.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交或相切.(√)提示:(1)直线与圆有一个公共点,则直线与圆相切,有两个公共点,则直线与圆相交,故(1)正确;(2)若两圆没有公共点,则两圆一定外离.(×)提示:(2)两圆没有公共点,则两圆外离或内含,故(2)错误;(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.(×)提示:(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;若两圆有且只有一个公共点,则两圆外切或内切,故(3)错误;(4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.(√)提示:(4)若两圆有公共点,则两圆外切或相交或内切,所以|r1-r2|≤d≤r1+r2,故(4)正确.2.(选择性必修第一册人AP96例5变条件)圆O1:x2+y2-4y+3=0和圆O2:x2+y2-16y=0的位置关系是()A.外离B.相交C.相切D.内含【解析】选D.O1:x2+(y-2)2=1,O2:x2+(y-8)2=64,所以O1(0,2),r1=1,O2(0,8),r2=8, 1 2=(0-0)2+(2-8)2=6,则 1 2=6<r2-r1=7,所以两圆内含.3.(选择性必修第一册人AP93练习T3变条件)直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于()A.62B.3C.23D.6【解析】选D.圆心(-2,2)到直线x-y+3=0的距离d=22,圆的半径r=2,解直角三角形得,半弦长为62,所以弦长等于6.4.(2022·天津高考)若直线x-y+m=0(m>0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m,则m=__________.【解析】因为圆心C(1,1)到直线x-y+m=0(m>0)的距离d又直线与圆相交所得的弦长为m,所以m=2 2- 2,所以m2=4(3- 22),解得m=2.答案:25.(忽视直线斜率不存在的情形致误)过点P(2,2)的圆C:x2+(y-1)2=2的切线方程为______________________.【解析】由圆C方程知:圆心C(0,1),半径r=2;当过P的直线斜率不存在,即直线方程为x=2时,直线与圆C相切;设过P点且斜率存在的圆C的切线方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0,则圆心C到直线的距离d=2,即k=-24,所以该切线方程为-24x-y+52=0,即x+22y-52=0;综上所述:所求切线方程为x=2或x+22y-52=0.答案:x=2或x+22y-52=0【核心考点·分类突破】考点一直线与圆的位置关系考情提示直线与圆相切求切线方程以及直线与圆相交求弦长是高考的重点,正确利用圆心到直线的距离与半径之间的关系是解决此类问题的关键.角度1直线与圆的位置关系的判断[例1](1)(一题多法)已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0和直线l:kx-y+3-4k=0的位置关系是()A.相交、相切或相离B.相交或相切C.相交D.相切【解析】选C.圆C:x2+y2-6x-8y+21=0,即(x-3)2+(y-4)2=22,圆心为C(3,4),半径为r=2.方法一直线l:kx-y+3-4k=0,即k(x-4)-y+3=0,所以直线l过定点B(4,3).(4-3)2+(3-4)2=2<4,所以点B(4,3)在圆C内,所以直线l与圆C相交.方法二圆心C(3,4)到直线l:kx-y+3-4k=0的距离为≤2<4,所以直线与圆相交.(2)(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是()A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切【解析】选ABD.圆心C(0,0)到直线l的距离d若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以dr,则直线l与圆C相切,故A正确;若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2<r2,所以dr,则直线l与圆C相离,故B正确;若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以dr,则直线l与圆C相交,故C错误;若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以dr,则直线l与圆C相切,故D正确.解题技法判断直线与圆的位置关系的一般方法(1)几何法:圆心到直线的距离与圆半径比较大小,特点是计算量较小;(2)代数法:将直线方程与圆方程联立方程组,通过解的情况判断,适合于判断直线与圆的位置关系.角度2弦长问题[例2](2024·昆明模拟)已知直线y=2x与圆(x-2)2+(y-2)2=1交于A,B两点,则 =()A.55B.255C.355D.455【解析】选B.因为圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=1,所以圆心坐标为(2,2),半径r=1,则圆心(2,2)到直线y=2x的距离d=255,所以弦长 =2 2- 2=2=255.解题技法直线和圆相交弦长的两种求法(1)代数法:将直线和圆的方程联立方程组,根据弦长公式求弦长.(2)几何法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l=2 2- 2.根据弦长求直线方程时要注意验证斜率不存在的情况.角度3切线问题[例3]已知点P(2+1,2-2),点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过点P的圆C的切线方程;【解析】由题意得圆心C(1,2),半径r=2.(1)因为(2+1-1)2+(2-2-2)2=4,所以点P在圆C上.又k PC-2-所以切线的斜率k=-1 =1.所以过点P的圆C的切线方程是y-(2-2)=x-(2+1),即x-y+1-22=0.(2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.【解析】(2)因为(3-1)2+(1-2)2=5>4,所以点M在圆C外部.当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0.又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,即此时满足题意,所以直线x=3是圆的切线.当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,则圆心C到切线的距离dr=2,解得k=34.所以切线方程为y-1=34(x-3),即3x-4y-5=0.综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0.因为|MC|=(3-1)2+(1-2)2=5,所以过点M的圆C的切线长为| |2- 2=5-4=1.解题技法1.过一点求圆的切线方程的两种求法(1)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k.注意斜率不存在的情况.(2)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k.注意斜率不存在的情况.特别地,当点在圆上时,可直接利用圆心与切点的连线的斜率及切线的性质求切线方程.2.过圆外一点P引圆的切线,求切线长时,常利用点P、圆心、切点构成的直角三角形求解.对点训练1.(2024·南京模拟)直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是()A.过圆心B.相切C.相离D.相交但不过圆心【解析】选D.由题意知,圆(x-1)2+(y+1)2=9的圆心为(1,-1),半径r=3,则圆心到直线3x+4y+12=0的距离d=115,因为0<d<r,所以直线与圆相交但不过圆心.2.过点(-33,0)且倾斜角为π3的直线l交圆x2+y2-6y=0于A,B两点,则弦AB的长为()A.42B.22C.210D.10【解析】选A.过点(-33,0)且倾斜角为π3的直线l的方程为y=3(x+33),即3x-y+1=0,又圆x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,所以圆心(0,3),半径r=3,则圆心(0,3)到直线l的距离d=|-3+1|2=1,所以直线被圆截得的弦AB=232-12=42.3.(2024·东城模拟)已知点M(1,3)在圆C:x2+y2=m上,过M作圆C的切线l,则l的倾斜角为()A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选D.由题意得m=1+3=4,当l的斜率不存在时,此时直线方程为x=1,与圆C:x2+y2=4相交,不符合题意;当l的斜率存在时,设切线l的方程为y-3=k(x-1),-3|解得k=-33,因为l的倾斜角为0°≤θ<180°,故l的倾斜角为150°.【加练备选】(2024·宜春模拟)已知圆C经过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2).(1)求圆C的方程;【解析】(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由圆C经过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2),得 =02+ + + =0 20+4 +2 + =0,解得 =-8 =6 =0,所以圆C的方程为x2+y2-8x+6y=0.(2)经过点M(1,-4)的直线l被圆C所截得的弦长为45,求直线l的方程.【解析】(2)由(1)知圆C:(x-4)2+(y+3)2=25,即圆心C(4,-3),半径为5,由直线l被圆C所截得的弦长为45,得圆心C到直线l的距离d=52-(25)2=5,而直线l经过点M(1,-4),显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y+4=k(x-1),即kx-y-4-k=0,于是d=5,得k=2或k=-12,所以直线l的方程为2x-y-6=0或x+2y+7=0.考点二圆与圆的位置关系[例4](1)已知圆E的圆心在y轴上,且与圆x2+y2-2x=0的公共弦所在直线的方程为x-3y=0,则圆E的方程为()A.x2+(y-3)2=2B.x2+(y+3)2=2C.x2+(y-3)2=3D.x2+(y+3)2=3【解析】选C.两圆圆心连线与公共弦垂直,不妨设所求圆心的坐标为(0,a),半径为r.又圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1,故 -1×解得a=3.故所求圆心为(0,3).点(1,0)到直线x-3y=0=12,所以x2+y2-2x=0截直线x-3y=0所得弦长为3,圆心(0,3)到直线x-3y=0的距离为32,所以圆截直线x-3y=0所得弦长为=3,解得r=3.故圆心坐标为(0,3),半径为3.得圆E的方程为x2+(y-3)2=3.(2)已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0.①判断两圆公切线的条数;【解析】①两圆的标准方程分别为C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10,则圆C1的圆心为(1,-5),半径r1=52;圆C2的圆心为(-1,-1),半径r2=10.又|C1C2|=25,r1+r2=52+10,r1-r2=52-10,所以r1-r2<|C1C2|<r1+r2,所以两圆相交,所以两圆有两条公切线.②求公共弦所在的直线方程以及公共弦的长度.【解析】②将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为x-2y+4=0.圆心C1到直线x-2y+4=0的距离d =35,设公共弦长为2l,由勾股定理得r2=d2+l2,得50=45+l2,解得l=5,所以公共弦长2l=25.一题多变[变式1]本例(2)中,若两圆相交于A,B两点,不求交点,则线段C1C2(C1,C2分别为两个圆的圆心)的垂直平分线所在的直线方程为______________.【解析】由圆C1的圆心坐标为(1,-5),圆C2的圆心坐标为(-1,-1),可知 1 2=-5-(-1)1-(-1)=-2,则k AB=12,C1C2的中点坐标为(0,-3),因此线段C1C2的垂直平分线所在的直线方程为y+3=12x,即x-2y-6=0.答案:x-2y-6=0[变式2]本例(2)中的两圆若相交于两点A,B,则经过两点A,B且圆心在直线x+y=0上的圆的方程为______________.【解析】设所求的圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1),整理可得(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2λ-2)x+(2λ+10)y-8λ-24=0,因此圆的圆心坐标为(1- 1+ ,- +51+ ),由于圆心在x+y=0上,则1- 1+ +(- +51+ )=0,解得λ=-2,因此所求的圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.答案:x2+y2+6x-6y+8=0解题技法圆与圆的位置关系问题的解题策略(1)判断两圆位置关系常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断.(2)两圆相交时,两圆的公共弦所在直线的方程,可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.(3)求两圆公共弦长,常选其中一圆,由弦心距d、半弦长 2、半径r构成直角三角形,利用勾股定理求解.考点三与圆有关的最值、范围问题[例5](2024·沈阳模拟)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:(1) 的取值范围;【解析】(1)由圆的一般方程可得:圆心为(2,0),半径r=3;因为02+02-4×0+1=1>0,所以原点在圆x2+y2-4x+1=0的外部,设 =k,则kx-y=0(x≠0)与圆x2+y2-4x+1=0有公共点,所以圆心(2,0)到kx-y=0(x≠0)的距离d≤3,解得-3≤k≤3,即 的取值范围为-3,3.(2)y-x的取值范围;【解析】(2)设y-x=m,则直线x-y+m=0与圆x2+y2-4x+1=0有公共点,所以圆心(2,0)到x-y+m=0的距离d ≤3,解得-6-2≤m≤6-2,即y-x的取值范围为-6-2,6-2.(3)x2+y2的取值范围.【解析】(3)由(1)知:原点在圆x2+y2-4x+1=0的外部,则可设x2+y2=r2(r>0),则圆x2+y2=r2(r>0)与圆x2+y2-4x+1=0有公共点,因为两圆圆心距d=(0-2)2+(0-0)2=2,所以r-3≤2≤r+3,解得2-3≤r≤2+3,所以7-43≤r2≤7+43,即x2+y2的取值范围为7-43,7+43.解题技法关于圆上点(x,y)有关代数式的最值问题的解法代数式特征求解方法u=y-b x-a转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值t=ax+by转化为动直线的截距的最值(x-a)2+(y-b)2转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离平方的最值对点训练(多选题)(2024·盐城模拟)已知实数x,y满足曲线C的方程x2+y2-2x-2=0,则下列选项正确的是()A.x2+y2的最大值是3+1B. +1 +1的最大值是2+6C.|x-y+3|的最小值是22-3D.过点(0,2)作曲线C的切线,则切线方程为x-2y+2=0【解析】选BD.由圆C:x2+y2-2x-2=0可化为(x-1)2+y2=3,可得圆心(1,0),半径r=3,对于A,由x2+y2表示圆C上的点到定点(0,0)的距离的平方,所以它的最大值为[(1-0)2+02+3]2=4+23,所以A错误;对于B, +1 +1表示圆上的点与点(-1,-1)的斜率,设 +1 +1=k,即y+1=k(x+1),由圆心(1,0)到直线y+1=k(x+1)的距离d≤3,解得2-6≤k≤2+6,所以 +1 +1的最大值为2+6,所以B正确;对于C,由 - +3表示圆上任意一点到直线x-y+3=0的距离的2倍,圆心到直线的距离d =22,所以其最小值为2(22-3)=4-6,所以C错误;对于D,因为点(0,2)满足圆C的方程,即点(0,2)在圆C上,则该点与圆心连线的斜率为k1=-2,根据圆的性质,可得过点(0,2)作圆C的切线的斜率为k=-1 1=22,所以切线方程为y-2=22(x-0),即x-2y+2=0,所以D正确.【加练备选】已知点P(x,y)在圆:x2+(y-1)2=1上运动.试求:(1)(x+3)2+y2的最值;【解析】(1)设圆x2+(y-1)2=1的圆心为A(0,1),半径r=1,点P(x,y)在圆上,所以(x+3)2+y2表示P(x,y)到定点E(-3,0)的距离的平方,因为|AE|=(3)2+12=2,所以|AE|-r≤|PE|≤|AE|+r,即1≤|PE|≤3,所以1≤(x+3)2+y2≤9,即(x+3)2+y2的最大值为9,最小值为1;(2) -1 -2的最值.【解析】(2)点P(x,y)在圆上,则 -1 -2表示圆上的点P与点B(2,1)连线的斜率,根据题意画出图形,当P与C(或D)重合时,直线BC(BD)与圆A相切,设直线BC的解析式为y-1=k(x-2),即kx-y-2k+1=0,所以圆心(0,1)到直线BC的距离d=r,解得k=±33,所以-33≤ -1 -2≤33,所以 -1 -2的最大值为33,最小值为-33.。

2019-2020学年高考数学一轮复习 直线与圆教学案依据直线与圆的方程，能求出它们的交点坐标，能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系，掌握圆心距和半径之间的大小关系判定圆与圆的位置关系 三、教学重点难点重点：直线与圆相离，相交，相切时，圆心到直线的距离和半径之间的大小关系，圆与圆的半径与圆心距确定的圆与圆的位置关系难点：利用直线与圆，圆和圆的方程研究圆有关的问题，提高思维能力 四、知识导学1`．设点P 到圆心的距离为d ，圆的半径为r ，点P 在圆外 ⇔ ； 点P 在圆上 ⇔ ； 点P 在圆内 ⇔2．直线l ：Ax+By+C=0,圆C ：(x －a)2+(y-b)2=r 2，圆心C(a,b)到直线l 的距离为d ，则l 与C 相离 ⇔ ；l 与C 相切 ⇔ ；l 与C 相交 ⇔3．直线l ：Ax+By+C=0,圆C ：(x －a)2+(y-b)2=r 2（或x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.）先将方程联立方程组消元，得到一个一元二次方程，令其判别式为⊿;则有⊿<0 ⇔ ；⊿＝0 ⇔ ；⊿>0 ⇔4．以圆x 2+y 2= r 2上的点P （x 0，y 0）为切点的圆的切线方程是 5 .一般地，设圆C 1 和C 2 的方程分别为()()222111 ,x x y y r -+-=()()222222 ,x x y y r -+-= 圆心分别为C 1（x 1,y 1）,C 2(x 2,y 2),半径分别为r 1,r 2, 两圆的圆心距为d ； 那么，当 时，两圆外离；当 时，两圆外切；当 时，两圆相交；当 时，两圆内切； 当 时，两圆内含。

五、课前自学1.若点P(m,5)与圆x 2+y 2=24的位置关系是在 外2.若直线mx-y+2=0与圆x 2+y 2=1相切，则实数m 的值是3.以（-2，0）为圆心，并与圆x 2+y 2=1相切的圆的方程是4.已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为_______ ___5.若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是6.已知直线:40l x y -+=,圆()()22:112C x y -+-=，则C 上各点到l 的距离的最小值为_________7.直线l 与直线l 1：x+2y-3=0垂直，且被圆x 2+y 2=25所截的弦长为45，则直线l 的方程为 ____8.已知直线x y a +=与圆224x y +=交于A 与B 两点，且OA OB OA OB +=-，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为____________9.过坐标原点O 向圆22:8120C x y x +-+=引两条切线1l 和2l ，那么与圆C 及直线1l 、2l 都相切的半径最小的圆的标准方程是________________________六、合作、探究、展示例1. 若圆0)5(42222=-++-+m y mx y x 与0)3(22222=-+-++m my x y x ，当m 为何值时：(1)两圆外离； (2)两圆外切； (3)两圆相交； (4)两圆内切； (5)两圆内含例2．已知点A （-1，1）和圆C ：x 2＋y 2-10x-14y ＋70＝0，一束光从点A 出发，经过x 轴反射后与圆C 相切，求（1）光线从A 到切点的路程； （2）入射光线和反射光线所在直线的斜率.例3. 已知圆C ：22(1)5x y +-=，直线L ：10mx y m -+-=。

第44课 直线与圆的位置关系(1)1. 理解直线与圆的位置关系，会利用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系，能够根据所给关系解决相关问题.2. 熟练掌握圆的几何性质的运用，通过数形结合解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等问题，体会用代数法处理几何问题的思想.1. 阅读：必修2第112～114页.2. 解悟：①了解直线和圆有哪些位置关系；用直线与圆的方程怎么判断直线和圆的关系？试用数学语言进行表述；②已知圆心到直线的距离为d ，试写出直线与圆相交形成的弦AB 的长度；③求切线方程及切线长度的注意点和具体方法是什么？3. 践习：在教材空白处完成必修2第115页练习第1、5、6题.基础诊断1. 已知直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m 解析：将圆化为标准方程(x －1)2＋y 2＝3，所以圆心(1，0)，半径r ＝ 3.因为直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，所以圆心到直线3x －y ＋m ＝0的距离等于半径，即|3＋m|3＋1＝3，解得m ＝3或－3 3. 2. 若过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为 2x －y ＝0 Ｗ.解析：由题意知直线的斜率存在，设直线方程为y ＝kx.圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y －2)2＝1，圆心为(1，2)，半径r ＝1.又因为直线与圆相交所得的弦长为2，为直径，所以直线y ＝kx 过圆心，所以k ＝2，直线方程为2x －y ＝0.3. 已知直线3x －4y ＋a ＝0与圆x 2－4x ＋y 2－2y ＋1＝0有公共点，则实数a 的取值范围是 [－12，8] .解析：将圆化为标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆心(2，1)，半径为 2.因为直线与圆有公共点，设圆心到直线的距离为d ，所以d ≤r ，即|6－4＋a|33＋42≤2，解得－12≤a ≤8.4. 若圆(x －2a)2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫－65，0 . 解析：原问题可转化为圆(x －2a)2＋(y －a －3)2＝4和圆x 2＋y 2＝1相交，可得两圆圆心之间的距离d ＝（2a －0）2＋（a ＋3－0）2＝5a 2＋6a ＋9，所以2－1<5a 2＋6a ＋9<2＋1，解得－65<a<0.范例导航考向❶ 直线与圆的位置关系问题例1 分别求当正数a 取何值时，直线x ＋y －2a ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2ax ＋2y ＋a 2－a ＋1＝0：(1) 相切；(2) 相离；(3) 相交.解析：将圆方程x 2＋y 2－2ax ＋2y ＋a 2－a ＋1＝0化为标准方程，得(x －a)2＋(y ＋1)2＝a ，圆心坐标为(a ，－1)，圆心到已知直线的距离为d ＝|a －1－2a ＋1|2＝a2，半径为r ＝ a.(1) 当d ＝r ，a2＝a ，即a ＝2时，直线与圆相切. (2) 当d>r ，a2>a ，即a>2时，直线与圆相离. (3) 当d<r ，a2<a ，即0<a<2时，直线与圆相交.已知圆C ：x 2＋y 2＝8，定点P(4，0)，直线l 过点P 且倾斜角为α.(1) 若直线l 与圆C 相切，则α的取值范围是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4，3π4 ；(2) 若直线l 与圆C 相交，则α的取值范围是 ⎣⎡⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎭⎫3π4，π ； (3) 若直线l 与圆C 相离，则α的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫π4，3π4 .解析：因为直线l 过点P(4，0)，设直线l ：y ＝k(x －4)，即kx －y －4k ＝0，则圆心到直线l 的距离为d ＝|4k|k 2＋1.(1) 若直线l 与圆C 相切，则d ＝|4k|k 2＋1＝22，解得k ＝1或k ＝－1，所以倾斜角为π4或3π4. (2) 若直线l 与圆C 相交，则d ＝|4k|k 2＋1<22，解得－1<k<1，所以倾斜角范围为⎣⎡⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎭⎫3π4，π.(3) 当直线的斜率不存在时，直线的倾斜角为π2，此时直线l 与圆C 相离；当直线的斜率存在时，则d ＝|4k|k 2＋1>22，解得k>1或k<－1，所以倾斜角为⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，3π4，综上，倾斜角的取值范围为⎝⎛⎫π4，3π4.考向❷ 直线与圆的交点及弦长问题例2 已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12.(1) 证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； (2) 求直线l 被圆C 截得的最短弦长. 解析：方法一：(1) 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，（x －1）2＋（y ＋1）2＝12， ①消去y 并整理，得(k 2＋1)x 2－(2－4k)x －7＝0. ② 因为Δ＝(2－4k)2＋4(k 2＋1)·7>0恒成立，所以方程②总有两个不相等的实数根， 即方程组①有两组解，即直线与圆总有两个交点， 所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点.(2) 由(1)知，直线与圆总有两个不同的交点，设为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由②式知x 1＋x 2＝2－4k k 2＋1，x 1x 2＝－7k 2＋1，所以直线l 被圆C 截得的弦长 AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k k 2＋12－4·⎝⎛⎭⎫－7k 2＋1 ＝28－4k ＋11k 2k 2＋1＝211－4k ＋3k 2＋1.令t ＝4k ＋3k 2＋1，则tk 2－4k －3＋t ＝0，当t ＝0时，k ＝－34，此时AB ＝211；当t ≠0时，因为k ∈R ，所以Δ＝16＋4t (3－t )≥0，解得－1≤t ≤4(t ≠0)， 故t 的最大值为4，此时AB 取得最小值27.综上，直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.方法二：(1) 圆心C (1，－1)到已知直线l 的距离为d ＝|k ＋2|1＋k 2，圆C 的半径r ＝23，r 2－d 2＝12－k 2＋4k ＋41＋k 2＝11k 2－4k ＋81＋k 2.令t ＝11k 2－4k ＋8＝11⎝⎛⎭⎫k －2112＋8411≥8411>0， 从而r 2－d 2>0，即d <r ，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点.(2) 由平面几何知识，得直线l 被圆C 截得的弦长：AB ＝2r 2－d 2＝211k 2－4k ＋81＋k 2，下同方法一.方法三：(1) 已知圆的圆心C (1，－1)，半径r ＝23， 直线l ：y ＝kx ＋1经过定点P (0，1)，因为PC ＝12＋22＝5<23＝r ，所以点P (0，1)在圆的内部， 所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点.(2) 由平面几何知识，得过圆内定点P (0，1)的弦，只有和PC 垂直时最短， 所以P (0，1)为弦AB 的中点，由勾股定理，得AB ＝212－5＝27， 故直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.在平面直角坐标系xOy 中，已知过点M (1，1)的直线l 与圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，且与直线ax ＋y －1＝0垂直，则实数a ＝ 12Ｗ.解析：因为点M 在圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5上，圆心C (－1，2)，所以直线l 与直线MC垂直，所以直线MC 平行于直线ax ＋y －1＝0，所以－a ＝1－21－（－1）＝－12，即a ＝12.考向❸ 直线与圆相切问题例3 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点.(1) 若AM ⊥l ，过点A 作圆M 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求∠PAQ 的大小； (2) 若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，求点A 横坐标的取值范围. 解析：(1) 圆M 的圆心M(1，1)，半径r ＝2，直线l 的斜率为－1，而AM ⊥l ， 所以k AM ＝1，所以直线AM 的方程为y ＝x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，即A(3，3). 如图，连结MP ，因为∠PAM ＝12∠PAQ ，sin ∠PAM ＝PM AM ＝2（3－1）2＋（3－1）2＝22，所以∠PAM ＝45°，所以∠PAQ ＝90°.(2) 过A(a ，b)作AD ，AE ，分别与圆M 相切于D ，E 两点. 因为∠DAE ≥∠BAC ，所以要使圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，只要作∠DAE ≥60°. 因为AM 平分∠DAE ，所以只要30°≤∠DAM<90°，即12≤sin ∠DAM<1，即2（a －1）2＋（b －1）2≥12，且2（a －1）2＋（b －1）2<1.又a ＋b －6＝0，解得1≤a ≤5， 即点A 横坐标的取值范围是[1，5].已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值.解析：将圆C 的方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以C(1，1)，半径r ＝1.因为四边形PACB 面积S ＝2×12×PA ×AC ＝PA ＝PC 2－1，所以当PC 取最小值时，四边形PACB 的面积S 取最小值.因为P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，所以PC 最小即为圆心到直线的距离，即PC min ＝|3＋4＋8|32＋42＝155＝3，所以四边形PACB 面积最小值为S ＝2 2.自测反馈1. 已知过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2＝3截得的弦长为22，则直线l 的方程为 x ＝－1或3x －4y －5＝0 .解析：由题意得圆心到所求直线的距离为1，当直线斜率不存在时，直线为x ＝－1，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线为y ＋2＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，所以|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34，所以直线l 的方程为3x －4y －5＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－1或3x －4y －5＝0.2. 在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别是AC ，BD ，则四边形ABCD .解析：将圆的方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心为(1，3)，半径为10.因为点E 在圆内，所以过点E 最长的弦为直径AC ，最短的弦为过点E 且与直径AC 垂直的弦，则AC ＝210，BD ＝210－[（1－0）2＋（3－1）2]＝25，所以四边形ABCD 的面积为12AC·BD ＝10 2. 3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是 (－13，13) .解析：由题意知圆x 2＋y 2＝4的圆心为(0，0)，半径为2.因为圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，所以圆心到直线的距离小于1，即|c|122＋52<1，所以－13<c<13.4. 从圆x 2－2x ＋y 2－2y ＋1＝0外一点P(3，2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为 35.解析：将圆的方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心坐标(1，1)，半径为1.由题意知过点P(3，2)的两条切线斜率存在，设切线方程为y －2＝k(x －3)，即kx －y －3k＋2＝0，所以圆心到切线的距离等于半径，即|－2k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝43.设两直线的夹角为α，所以tan α＝43，所以cos α＝11＋tan 2α＝35，即两条切线夹角的余弦值为35.1. 直线与圆有相离、相切、相交三种关系，可以用直线和圆的方程联立方程组，消去y后观察二次方程的Δ即可，若Δ>0，则直线与圆相交；若Δ＝0，则直线与圆相切；若Δ<0，则直线与圆相离.2. 用点到直线的距离公式可以写出圆心到直线的距离d ，比较d 与半径r 的关系：若d>r ，则直线和圆相离；若d<r ，则直线与圆相交；若d ＝r ，则直线与圆相切.3. 弦长与切线长问题往往转化为弦心距、点到切线的距离与半径，利用直角三角形处理.4. 你还有哪些体悟，写下来：。

高考数学大一轮复习 9.4直线、圆的位置关系学案理苏教版1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系、2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题、3、在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想、自主梳理1、直线与圆的位置关系位置关系有三种：________、________、________、判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：①代数法：利用判别式Δ，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式Δ＝b2－4ac②几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔________，d＝r⇔________，d>r⇔________、2、圆的切线方程若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为______________________、注：点P必须在圆x2＋y2＝r2上、经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上点P(x0，y0)的切线方程为________________________、3、计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算、(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式AB＝|xA－xB|＝、说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法、4、圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系可分为五种：________、________、________、________、________、判断圆与圆的位置关系常用方法：(几何法)设两圆圆心分别为O1、O2，半径为r1、r2 (r1≠r2)，则O1O2>r1＋r2________；O1O2＝r1＋r2________；|r1－r2|<O1O2<r1＋r2________；O1O2＝|r1－r2|________；0≤|O1O2|<|r1－r2|________、(2)已知两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则与两圆共交点的圆系方程为_________________________________________________________ ___，其中λ为λ≠－1的任意常数，因此圆系不包括第二个圆、当λ＝－1时，为两圆公共弦所在的直线，方程为(D1－D2)x ＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0、自我检测1、(xx江西)直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若MN≥2，则k的取值范围是________、2、圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为______________、3、圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有________条、4、过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则AB的最小值为________、5、若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是______________、探究点一直线与圆的位置关系例1 已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0、(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM＝PO，求使得PM取得最小值时点P的坐标、变式迁移1 从圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2,3)向该圆引切线，求切线的方程及过两切点的直线方程、探究点二圆的弦长、中点弦问题例2 已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0、(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程、变式迁移2 已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线kx－y－4k＋3＝0、(1)证明：不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点；(2)求当k取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长、探究点三圆与圆的位置关系例3 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时，(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含、变式迁移3 已知⊙A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，⊙B：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0、当a，b变化时，若⊙B始终平分⊙A的周长，求：(1)⊙B的圆心B的轨迹方程；(2)⊙B的半径最小时圆的方程、探究点四综合应用例4 已知圆C：x2＋y2－2x＋4y －4＝0、问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y＝kx－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由、变式迁移4 已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y －3)2＝1相交于M、N两点、(1)求实数k的取值范围；(2)若O为坐标原点，且＝12，求k的值、1、求切线方程时，若知道切点，可直接利用公式；若过圆外一点求切线，一般运用圆心到直线的距离等于半径来求，但注意有两条、2、解决与弦长有关的问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式、这就是通常所说的“几何法”和“代数法”、3、判断两圆的位置关系，从圆心距和两圆半径的关系入手、(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1、直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是________、2、直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m＝______________、3、过原点且倾斜角为60的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________、4、若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值范围是______________、5、若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________、6、已知点A是圆C：x2＋y2＋ax＋4y－5＝0上任意一点，A点关于直线x＋2y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a＝________、7、设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝4交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，则圆C2的半径的最大值是________、8、(xx全国Ⅰ改编)已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为____________、二、解答题(共42分)9、(14分)圆x2＋y2＝8内一点P(－1,2)，过点P的直线l 的倾斜角为α，直线l交圆于A、B两点、(1)当α＝时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程、10、(14分)自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程、11、(14分)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x －12y＋m＝0、求：(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长、学案48 直线、圆的位置关系答案自主梳理1、相切相交相离①相交相切相离②相交相切相离2、x0x＋y0y＝r2 (x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r24、(1)外离外切相交内切内含外离外切相交内切内含(2)(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0自我检测1、2、x－y＋2＝03、24、25、x－y－3＝0课堂活动区例1 解题导引(1)过点P作圆的切线有三种类型：当P在圆外时，有2条切线；当P在圆上时，有1条切线；当P在圆内时，不存在、(2)利用待定系数法设圆的切线方程时，一定要注意直线方程的存在性，有时要进行恰当分类、(3)切线长的求法：过圆C外一点P作圆C的切线，切点为M，半径为R，则PM＝、解(1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2、①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由＝，解得k＝2，得y＝(2)x、②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由＝，得|a－1|＝2，即a＝－1，或a＝3、∴直线方程为x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0、综上，圆的切线方程为y＝(2＋)x，或y＝(2－)x，或x＋y＋1＝0，或x＋y －3＝0、(2)由PO＝PM，得x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，整理得2x1－4y1＋3＝0、即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上、当PM取最小值时，即OP取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x＋y＝0、解方程组得点P的坐标为、变式迁移1 解设圆切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，∴1＝，∴k＝，另一条斜率不存在，方程为x＝2、∴切线方程为x＝2和3x－4y＋6＝0、圆心C为(1,1)，∴kPC＝＝2，∴过两切点的直线斜率为－，又x＝2与圆交于(2,1)，∴过切点的直线为x＋2y－4＝0、例2 解题导引(1)有关圆的弦长的求法：已知直线的斜率为k，直线与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点C到l的距离为d，圆的半径为r、方法一代数法：弦长AB＝|x2－x1|＝；方法二几何法：弦长AB＝2、(2)有关弦的中点问题：圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用这条性质可确定某些等量关系、解(1)如图所示，AB ＝4，取AB的中点D，连结CD，则CD⊥AB，连结AC、BC，则AD＝2，AC＝4，在Rt△ACD中，可得CD＝2、当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0、由点C到直线AB的距离公式，得＝2，解得k＝、当k＝时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0、又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0、∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0、(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD，即＝0，(x＋2，y－6)(x，y－5)＝0，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0、变式迁移2 (1)证明由kx－y－4k＋3＝0，得(x－4)k－y＋3＝0、∴直线kx－y－4k＋3＝0过定点P(4,3)、由x2＋y2－6x－8y＋21＝0，即(x－3)2＋(y－4)2＝4，又(4－3)2＋(3－4)2＝2<4、∴直线和圆总有两个不同的交点、(2)解kPC＝＝－1、可以证明与PC垂直的直线被圆所截得的弦AB最短，因此过P点斜率为1的直线即为所求，其方程为y－3＝x－4，即x－y －1＝0、PC＝＝，∴AB＝2＝2、例3 解题导引圆和圆的位置关系，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，有时得不到确切的结论，通常还是从圆心距d与两圆半径和、差的关系入手、解对于圆C1与圆C2的方程，经配方后C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4、(1)如果C1与C2外切，则有＝3＋2、(m＋1)2＋(m＋2)2＝25、m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2、(2)如果C1与C2内含，则有<3－2、(m＋1)2＋(m＋2)2<1，m2＋3m＋2<0，得－2<m<－1，∴当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切；当－2<m<－1时，圆C1与圆C2内含、变式迁移3 解(1)两圆方程相减得公共弦方程2(a＋1)x＋2(b＋1)y－a2－1＝0、①依题意，公共弦应为⊙A的直径，将(－1，－1)代入①得a2＋2a＋2b＋5＝0、②设圆B的圆心为(x，y)，∵，∴其轨迹方程为x2＋2x＋2y＋5＝0、(2)⊙B方程可化为(x－a)2＋(y－b)2＝1＋b2、由②得b＝－[(a＋1)2＋4]≤－2，∴b2≥4，b2＋1≥5、当a＝－1，b＝－2时，⊙B半径最小，∴⊙B方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝5、例4 解题导引这是一道探索存在性问题，应先假设存在圆上两点关于直线对称，由垂径定理可知圆心应在直线上，以AB为直径的圆经过原点O，应联想直径所对的圆周角为直角利用斜率或向量来解决、因此能否将问题合理地转换是解题的关键、解圆C的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C(1，－2)、假设在圆C上存在两点A、B，则圆心C(1，－2)在直线y＝kx－1上，即k＝－1、于是可知，kAB＝1、设lAB：y＝x＋b，代入圆C的方程，整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0，b2＋6b－9<0，解得－3－3<b<－3＋3、设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－b－1，x1x2＝b2＋2b－2、由O A⊥OB，知x1x2＋y1y2＝0，也就是x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化简得b2＋3b－4＝0，解得b＝－4或b＝1，均满足Δ>0、即直线AB的方程为x－y－4＝0，或x－y＋1＝0、变式迁移4 解(1)∵直线l过点A(0,1)且斜率为k，∴直线l的方程为y＝kx＋1、将其代入圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0、①由题意：Δ＝[－4(1＋k)]2－4(1＋k2)7>0，得<k<、(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由①得，∴＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8＝12⇒k＝1(经检验符合题意)，∴k＝1、课后练习区1、相交2、－3或3、2解析如图所示，x2＋y2－4y＝0⇔x2＋(y－2)2＝4，∴A(0,2)，OA＝2，A到直线l：y＝x的距离是AN＝1，∴ON＝，∴弦长OJ＝2、4、(4,6)5、16、－107、1解析圆C1的圆心C1(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离为＝1，圆C1的半径为2，弧上的点到直线3x＋4y－5＝0距离最大为2－1＝1，因此圆C2的半径最大为1、8、－3＋2解析设∠APB＝2θ，则∠APO＝∠BPO＝θ，＝()2cos2θ＝cos2θ＝(1－2sin2θ)＝＋2sin2θ－3≥2－3，当且仅当＝2sin2θ，即sin2θ＝时取等号、9、解(1)当α＝时，kAB＝－1，直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0、(3分)故圆心(0,0)到AB的距离d＝＝，从而弦长AB＝2 ＝、(7分)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4、由两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即－2(x1－x2)＋4(y1－y2)＝0，∴kAB＝＝、(12分)∴直线l 的方程为y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0、(14分)10、解已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴对称的圆为C1：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切、(4分)设l的方程为y－3＝k(x＋3)，则＝1，(10分)即12k2＋25k＋12＝0、∴k1＝－，k2＝－、则l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0、(14分)11、解两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x －5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和、(1)当两圆外切时，＝＋、解得m＝25＋10、(4分)(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离，故只有－＝5、解得m＝25－10、(8分)(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0、(12分)由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2 ＝2、(14分)第 1 页共 1 页。