第 28 课时随机事件与概率学案-湖南省临湘市第五中学2022年高二数学学考复习资料

随机事件的概率(四)●教学目标（一）教学知识点2.等可能性事件的概率的计算.（二）能力训练要求1.掌握求解等可能性事件的概率的基本方法.2.能正确地对一些较复杂的等可能性事件进行分析.（三）德育渗透目标1.提高学生分析问题的能力.2.培养学生的科学素质.●教学重点等可能性事件及其概率的分析和求解.●教学难点对事件的“等可能性”的准确理解.●教学方法指导法指导学生进一步熟练掌握等可能性事件的概率的基本方法.●教学过程通过前几节课的学习，我们初步掌握了求等可能性事件的概率的基本方法.今天，我们来共同探讨如何用这一基本方法正确地对一些较复杂的等可能性事件进行分析.1.请同学们来看这样一个问题.例１. 在100件产品中，有95件合格品，5件次品.从中任取2件，计算：（1）2件都是合格品的概率；（2）2件都是次品的概率；（3）1件是合格品，1件是次品的概率.分析：应将100件产品视为有编号的，则从中任取2件的结果数为从100个不同元素中任取2元素的组合数C 2100.且由于是任意抽取，这些结果出现的可能性都是相等的.解：从100件产品中任取2件可能出现的结果数，就是从100个元素中任取2个的组合数C 2100.由于是任意抽取，所以每种结果出现的可能性都相等.（1）由于在100件产品中有95件合格品，取到2件合格品的结果数，就是从95个元素中任取2个的组合数C 295，记“任取2件，都是合格品”为事件A 1，那么事件A 1的概率P （A 1）=990893C C 2100295=. ∴2件都是合格品的概率为990893. （2）由于在100件产品中有5件次品，取到2件次品的结果数，就是从5个元素中任取2个的组合数C 25.记“任取2件，都是次品”为事件A 2，那么事件A 2的概率4951C C )(2100252==A P . ∴2件都是次品的概率为4951. （3）记“任取2件，1件是合格品，1件是次品”为事件A 3，由于在C 2100种结果中，取到1件合格品，1件次品的结果有15195C C ⋅种，事件A 3的概率19819C C C )(2100151953=⋅=A P ∴1件是合格品，1件是次品的概率为19819. 评述：要学会正确处理、分析一些较复杂的等可能性事件.2. 再来分析这样一个问题.例2 .储蓄卡上的密码是一种四位数字，每位上的数字可在0到9这10个数字中选取.（1）使用储蓄卡时如果随意按下一个四位数字，正好对上这X 储蓄卡的密码的概率只有多少？（2）某人未记准储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这X 储蓄卡时如果前三位仍按本卡密码，而随意按下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？分析：密码是一种四位数字，且每位上的数字均有10种选法（数字可重复选取，且最高位上也可取0），由分步计数原理可知，这种共有104个.又由于是随意按下一个四位数字，所以每一种结果出现的可能性都是相等的.解：（1）由于储蓄卡的密码是一个四位数字，且每位上的数字有从0到9这10种取法，根据分步计数原理，这种共有104个.又由于是随意按下一个四位数字，按下其中哪一个的可能性都相等，可得正好按对这X 储蓄卡的密码的概率P 1=4101. （2）按四位数字的最后一位数字，有10种按法.由于最后一位数字是随意按下的，按下其中各个数字的可能性相等，可得按下的正好是密码的最后一位数字的概率P 2=101. 3. 现在，我们是否也可以回答本章“前言”里提出的第2个问题.可以，由于某选手抽签时可能出现8种等可能的结果，又由于避开第1小组和第8小组的结果有6种，因此避开这2个小组的概率是86，即43. 三. 课堂练习课本P 131.1.在第1，3，5，8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有1位乘客等候第1路或第3路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，求首先到站正好是这位乘客所要乘的汽车的概率.分析：到站的汽车有4种结果，则首先到站正好是这位乘客所要乘的汽车有2种结果. 解：记“首先到站的汽车正好是这位乘客所要乘的汽车”为事件A ，则事件A 的概率P (A )=2142=. 答：首先到站正好是这位乘客所要乘的汽车的概率为21. 评述：要注意判断事件的“等可能性”.A ，B ，C 三件事的费用各不相同.在一次游戏中，要求参加者写出做这件事所需费用的顺序（由多到少排列），如果某个参加者随意写出答案，他正好答对的概率是多少？分析：由题意可知，做这三件事所需费用的顺序的结果有A 33种，且由于某个参加者是随意写出答案，所以他写哪一种顺序的可能性都是相等的.解：记“某参加者随意写出答案，正好答对”为事件A ，则事件A 的概率P (A )=61A 133=.评述：要注意分析事件的“等可能性”，且能正确结合排列、组合知识，应用等可能性事件的概率公式，恰当分析、求解一些较复杂的等可能性事件的概率.四. 课时小结通过本节学习，要加深对等可能性事件的理解，进一步熟练掌握利用排列、组合知识求等可能性事件概率的基本方法.五. 课后作业（一）课本P132习题11.1 7、9（二）1.预习：课本P133~P136（1）何为互斥事件？（2）互斥事件与对立事件的关系？。

10.1随机事件与概率知伿概要1.随机试验随机事件可以在相同条件下重复进行;试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.2.样本点和样本空间通常情况下,我们用Ω表示样本空间,用ω表示样本点.3.事件的分类(1)随机事件:是样本空间Ω的子集,简称“事件”,只包含一个样本点的事件称为基本事件.(2)必然事件:Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件.(3)不可能事件:空集∅不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称∅为不可能事件.4.古典概型一般地,如果随机试验的样本空间的样本点个数是有限的(简称为有限性),而且可以认为每个样本点发生的可能性是相等的(简称为等可能性),则将这样的随机试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型(简称为古典概型).5.概率的性质性质1:对任意的事件A ,都有()0P A .性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即()()Ω1,0P P =∅=.性质3:如果事件A 与事件B 互斥,那么()()().P A B P A P B ⋃=+推广:如果事件123,,,,m A A A A L 两两互斥,那么事件12m A A A ⋃⋃⋃L 发生的概率等于这m 个事件分别发生的概率之和,即()()()()1212m m P A A A P A P A P A ⋃⋃⋃=+++L L .性质4:如果事件A和事件B互为对立事件,那么()()()()1,1P B P A P A P B =-=-.性质5:如果A B ⊆,那么()()P A P B .性质6:设,A B 是一个随机试验中的两个事件,我们有()()()()P A B P A P B P A B ⋃=+-⋂.高妙思想【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件:(1)中国运动员将在下届奥运会上获得首枚金牌;(2)三角形的两边之和大于第三边;(3)没有空气和水,人类可以生存下去;(4)下届奥运会上,我国运动员取得的金牌数排名第一;(5)无论科学技术多少发达,“永动机”都不会出现.解析由题意知,(1)(4)中事件可能发生,也可能不发生,所以是随机事件.(2)所有三角形的两边之和都大于第三边,所以是必然事件.(3)空气和水是人类生存的必要条件,没有空气和水,人类无法生存,所以是不可能事件.(5)由能量守恒定律可知,不需任何能量的“永动机”不会出现,所以是必然事件.点睛判断一个事件是哪类事件的方法:一看条件,因为三种事件都是相对于一定条件而言的;二看结果是否发生,一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.【例2】同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为x ,转盘乙得到的数为y ,结果为(),x y .（1）写出这个试验的样本空间;（2）求这个试验包含的样本点的总数;（3）用集合表示下列事件:①"5"M x y =+=;②“3N x =<,且1y >”;③T ="4xy =".解析(1)()()()()()()()()()()()()Ω{1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,1,3,2,3,3,3,4,=,()()()()4,1,4,2,4,3,4,4}.(2)样本点总数为16.(3)(1)“5x y +=”包含以下4个样本点:()()()()1,4,2,3,3,2,4,1.所以()()()(){}1,4,2,3,3,2,4,1M =.(2)“3x <,且1y >”包含以下6个样本点:()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,2,2,3,2,4.所以()()()(){1,2,1,3,1,4,2,2N =,()()2,3,2,4}.(3)“4xy =”包含以下3个样本点:()1,4,()()2,2,4,1.所以()()(){}1,4,2,2,4,1T =.点睛本题关键是不漏不重,用枚举的方法去计算要求的指定事件.【例3】在试验“连续抛郑一枚硬币3次,观察落地后正面、反面出现的情况”中,设事件A 表示随机事件“第一次出现正面”,事件B 表示随机事件“3次出现同一面”,事件C 表示随机事件“至少1次出现正面”.(1)试用样本点表示事件,A B A B ⋃⋂,,;A C A C ⋃⋂(2)试用样本点表示事件,A B B A ⋃⋂,,A C C A ⋃⋂(3)试判断事件A 与,B A 与,C B 与C 是否为互斥事件.解析用H 代表“出现正面”,用T 代表“出现反面”.Ω{HHH,HHT,HTT,HTH,THH =,THT,TTH,TTT},{},,,A HHH HHT HTT HTH =,{},B HHH TTT =，{,,,,C HHH HHT HTT HTH THH =,,}THT TTH .(1){,,A B HHH HHT HTT ⋃=,{},},HTH TTT A B HHH ⋂=,{,,,A C HHH HHT HTT HTH ⋃=,THH,THT,TTH },{},,,A C HHH HHT HTT HTH ⋂=.(2){A B ⋃=THH,THT,TTH,TTT,{}},A HHH B TTT ⋂=,{HH,HHT,HTT,HTH A C H ⋃=,},TTT A C ⋂=∅(3)因为{},A B HHH A C ⋂=≠∅⋂={HHH,HHT,HTT,HTH ≠∅,{}B C HHH ⋂=≠∅所以A 与B 不互斥,A 与C 不互斥,B 与C 不互斥.变式1:（多选)下列各组事件中是互斥事件的是（）A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于90分与平均分不高于90分C.播种100粒菜籽,发芽90粒与发芽80粒D.检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%解析对于A ,一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6不可能同时发生,故A 中两事件为互斥事件.对于B ,设事件1A 为平均分不低于90分,事件2A 为平均分不高于90分,则12A A ⋂为平均分等于90分,12,A A 可能同时发生,故它们不是互斥事件.对于C ，播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒不可能同时发生,故C 中两事件为互斥事件.对于D ,检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%不可能同时发生,故D 中两事件为互斥事件.故选ACD.变式2:抛掷一颗质地均匀的骰子,有如下随机事件:i C =“点数为i ”,其中1,2,3i =,14,5,6;D =“点数不大于22",D =“点数大于32",D ="点数大于4";E =“点数为奇数”,F =“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.(1)1C 与2C 互斥;(2)23,C C 为对立事件;(3)32C D ⊆;(4)32D D ⊆;(5)12ΩD D ⋃=,12;D D ⋂=∅(6)356;D C C =⋃(7)135;E C C C =⋃⋃;(8),E F 为对立事件;(9)23D D ⋃=()2233;10D D D D ⋂=.解析该试验的样本空间可表示为Ω={}1,2,3,4,5,6,由题意知{}{}12,1,2,{3i C i D D ===,{}{}{}34,5,6},5,6,1,3,5,2,4,6D E F ===.(1){}{}121,2C C ==,满足12C C ⋂=∅,所以1C 与2C 互斥,故正确.(2){}{}232,3C C ==,满足23C C ⋂=∅但不满足23ΩC C ⋃=,所以为互斥事件,但不是对立事件,故错误.根据对应的集合易得,(3)(4)(5)(9)(10)正确.(6){}565,6C C ⋃=,所以356D C C =⋃,故正确.(7){}1351,3,5C C C ⋃⋃=,故135E C C C =⋃⋃,正确.(8)因为,ΩE F E F ⋂=∅⋃=,所以E ,F 为对立事件,故正确.点睛互斥事件与对立事件的关系:两个事件A 与B 是互斥事件,包括如下三种情况:(1)若事件A 发生,则事件B 就不发生;(2)若事件B 发生,则事件A 就不发生;(3)事件,A B 都不发生.而两个事件,A B 是对立事件,仅有前两种情况,因此事件A 与B 是对立事件,则A B ⋃是必然事件,但若A 与B 是互斥事件,则A B ⋃不一定是必然事件,即事件A 的对立事件只有一个,而事件A 的互斥事件可以有多个.【例4】袋中有6个大小、质地完全相同的球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概率:(1)事件A :取出的两球都是白球;(2)事件B :取出的两球一个是白球,另一个是红球.解析设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个球中任取2个球的样本空间()()Ω{1,2,1,3,(1=,4),()()()()()1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,(2,()()()()()6),3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,(5,6)},共有15个样本点.(1)因为()()()()(){1,2,1,3,1,4,(2,3),2,4,3,4}A =,所以()6n A =,从而()()()62Ω155n A P A n ===.(2)因为()()(){1,5,1,6,2,5,(2B =,()()()()6),3,5,3,6,4,5,4,6},所以()8n B =,从而()()()8Ω15n B P B n ==.变式1:小李在做一份调查问卷,共有5道题,其中有两种题型,一种是选择题,共3道,另一种是填空题,共2道.(1)小李从中任选2道题解答,每一次选一题(不放回),求所选的题不是同一种题型的概率;(2)小李从中任选2道题解答,每一次选一题(有放回),求所选的题不是同一种题型的概率.解析将3道选择题依次编号为1,2,3;2道填空题依次编号为4,5.(1)从5道题中任选2道题解答,每一次选一题(不放回),则样本空间()1Ω{1,2=,()()1,3,1,4,()()()()()()()()()()()()()()()1,5,2,1,2,3,2,4,2,5,3,1,3,2,3,4,3,5,4,1,4,2,4,3,4,5,5,1,5,2,,()5,3,()5,4},共20个样本点,而且这些样本,点发生的可能性是相等的.设事件A 为“所选的题不是同一种题型”,则事件()()()()()()()()()()()(){1,4,1,5,2,4,2,5,3,4,3,5,4,1,4,2,4,3,5,1,5,2,5,3}A =,共12个样本点,所以()P A =120.620=(2)从5道题中任选2道题解答,每一次选一题(有放回),则样本空间()2Ω{1,1=,()()1,2,1,3,()()()()1,4,1,5,2,1,2,2,()()()()()()2,3,2,4,2,5,3,1,3,2,3,3,()()()()3,4,3,5,4,1,4,2,()()4,3,4,4,()()()()()()4,5,5,1,5,2,5,3,5,4,5,5},共25个样本点,而且这些样本点发生的可能性是相等的.设事件B 为“所选的题不是同一种题型”,由(1)知所选题不是同一种题型的样本点共12个,所以()120.4825P B ==.点睛古典概型的计算一般经历三个步骤:(1)算出样本空间所包含的样本点的总个数;n (2)求出事件A 所包含的样本点个数;(3)代入公式求出概率P .变式2:从含有2件正品12,a a 和1件次品b 的三件产品中,每次任取一件.(1)若每次取后不放回,连续取2次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率;(2)若每次取后放回,连续取2次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.解析(1)每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的样本点有6个,即()()()(121212,,,,,,a a a b a a a ,()()12),,,,b b a b a .其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.总的事件个数为6,而且可以认为这些样本点是等可能的.设事件A 为“取出的两件中恰有一件次品",所以()()()(){}1212,,,,,,,A a b a b b a b a =,所以()4n A =.从而()()()42Ω63n A P A n ===.(2)有放回地连续取出两件,其所有可能的结果为()()()()1112121,,,,,,,a a a a a b a a ,()()()()()22212,,,,,,,,,a a a b b a b a b b ,共9个样本点.由于每一件产品被取到的机会均等,故可以认为这些样本点的出现是等可能的.设事件B 为“恰有一件次品”,则()()()(){}1212,,,,,,,B a b a b b a b a =,所以()n B 4=,从而()()()4Ω9n B P B n ==.【例5】古代“五行”学说认为:“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木，木克土，土克水,水克火,火克金."从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率为（）A.310B.25C.12D.35解析试验的样本空间Ω{=金木,金水,金火,金土,木水,木火,木土,水火,水土,火土},共10个样本点,事件“抽取的两种物质不相克”包含5个样本点,故其概率为51102=.故选C.变式1:某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.3,0.1.计算这个运动员在一次射击中,（1）射中10环或9环的概率;（2）至少射中7环的概率;（3）射中环数小于8环的概率.解析设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为,,,,A B C D E ,则(1)()()()0.1P A B P A P B ⋃=+=+0.20.3=.所以射中10环或9环的概率为0.3.（2）因为射中7环以下的概率为0.1,所以由对立事件的概率公式得,至少射中7环的概率为10.10.9-=.(3)事件“射中环数小于8环”包含事件“射中7环"与事件“射中7环以下”两个事件,则P (射中环数小于8环)()()()0.30.10.4P D E P D P E =⋃=+=+=.变式2:在掷骰子的游戏中,向上的数字是5或6的概率是（）A.16B.13C.12D.1解析事件“向上的数字是5”与事件“向上的数字是6”为互斥事件,且二者发生的概率都是16,所以“向上的数字是5或6”的概率是111663+=.故选B.点睛回答含“至多”“至少”等词语的概率问题应注意以下几点:(1)互斥事件的概率加法公式()()()P A B P A P B ⋃=+;(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其反面,通过求其反面,然后转化为所求问题.【例6】联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条,分一等奖、二等奖、三等奖、谢谢光临四种.从中任取一张,不中奖的概率为12,中二等奖或三等奖的概率为512.(1)求任取一张,中一等奖的概率;(2)若中一等奖或二等奖的概率是14,求任取一张,中三等奖的概率.解析(1)设任取一张,抽得一等奖、二等奖、三等奖、谢谢光临的事件分别为,A B ,,C D ,它们是互斥事件.由题意得()()()()15,212P D P B C P B P C =+=+=.由对立事件的概率公式得()()()51111()112212P A P B C D P B C P D =-++=-+-=--=,所以任取一张,中一等奖的概率为112.(2)因为()14P A B +=,又()()()P A B P A P B +=+,所以()1114126P B =-=,又()()()512P B C P B P C +=+=,所以()14P C =,所以任取一张,中三等奖的概率为14.点睛求复杂互斥事件概率的两种方法:(1)将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和;(2)先求该事件的对立事件的概率,再由()1()A A P P =-求解.当题目涉及“至多”“至少”问题时，多考虑间接法.巩固提高强化训练一、单选题1.关于样本点、样本空间,下列说法错误的是（）A.样本点是构成样本空间的元素B.样本点是构成随机事件的元素C.随机事件是样本空间的子集D.随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多2.《易经》是中国文化的精髓,下图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兄八卦)，每一卦由三根线组成(一表示一根阳线,一口表示一根阴线).从八卦中任取一卦,这一卦的三根线中恰有3根阳线的概率为（）A.18B.14C.38D.123.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件:事件A :恰有1件次品;事件B :至少有2件次品;事件C :至少有1件次品；事件D :至多有1件次品.并给出以下结论:(1)A B C ⋃=;(2)B D ⋃是必然事件;(3);A B C ⋂=（4）.A D C ⋂=其中正确结论的序号是（）A.(1)(2)B.(3)(4)C.(1)(3)D.(2)(3)4.从装有3个红球和3个白球的口袋里任取3个球,那么互斥而不对立的两个事件是（）A.至少2个白球,都是红球B.至少1个白球,至少1个红球C.至少2个白球,至多1个白球D.恰好1个白球,恰好2个红球5.将一枚质地均匀的骰子向上抛郑1次.设事件A 表示向上的一面出现奇数点,事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4,则（）A.A 与B 是互斥而非对立事件B.A 与B 是对立事件C.B 与C 是互斥而非对立事件D.B 与C 是对立事件6.生物实验室有5只兔子,只有其中3只测量过某项指标,若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为（）A.23B.35C.25D.157.如果事件,A B 互斥,记,A B 分别为事件,A B 的对立事件,那么（）A.A B ⋃是必然事件B.A B U 是必然事件C.A 与B 一定互斥D.A 与B 一定不互斥8.某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球(小球除编号外完全相同),甲先从袋中摸出一个球,记下编号后放回,乙再从袋中摸出一个球,记下编号,则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（）A.56B.16C.15D.3536二、多选题9.射击训练中,某运动员最近几次的环数情况如下表：射击次数射中7环或8环的次数射中9环或10环的次数1005518记该运动员在一次射击训练中,射中7环或8环为事件A ,射中9环或10环为事件B ,低于7环为事件C .用频率估计概率的方法,得到的下述结论正确的是（）A.()0.55P A = B.()0.18P B = C.()0.27P C = D.()0.55P B C +=10.某人有6把钥匙,其中n 把能打开门.如果随机地取一把钥匙试着开门,把不能开门的钥匙扔掉,设第二次才能打开门的概率为p ,则下列结论正确的是（）A.当1n =时,16p =B.当2n =时,13p =C.当3n =时,310p = D.当4n =时,45p =11.下列命题不正确的是（）A.事件A 发生的概率()P A 等于事件A 发生的频率()n f A .B.一个质地均匀的骰子郑一次得到3点的概率是16,说明这个骨子掷6次一定会出现一次3点.C.郑两枚质地均匀的硬币,事件A 为“一枚正面朝上,一枚反面朝上",事件B 为“两枚都是正面朝上”,则()()2P A P B =.D.对于两个事件,A B ,若()()()P A B P A P B ⋃=+,则事件A 与事件B 互斥.三、填空题12.抛掷一枚质地均匀的骰子,落地后记事件A 为“奇数点向上”,事件B 为“偶数点向上”,事件C 为“向上的点数是2的倍数”,事件D 为“2点或4点向上”.则下列每对事件互斥但不对立的是.(填序号)(1)A 与B ;(2)B 与C ;(3)C 与D ;(4)A 与D .13.对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹.设{A =两次都击中飞机},{B =两次都没击中飞机},{C =恰有一枚炮弹击中飞机},{D =至少有一枚炮弹击中飞机},其中互为互斥事件的是,互为对立事件的是14.甲、乙两人做掷骰子游戏,两人郑同一枚骰子各一次,则至少出现一个5点或6点的概率是;如果谁郑的点数大谁就取胜,则甲取胜的概率为15.若随机事件,A B 互斥,,A B 发生的概率均不等于0,且分别为()2P A a =-,()34P B a =-,则实数a 的取值范围为四、解答题16.一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2)、2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件1R 为“第一次摸到红球”,事件2R 为“第二次摸到红球”,事件R 为“两次都摸到红球”,事件G 为“两次都摸到绿球”,事件M 为“两次摸到的球颜色相同”,事件N 为“两次摸到的球颜色不同”.(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；(2)事件R 与1,R R 与,G M 与N 之间各有什么关系?(3)事件R 与事件G 的并事件与事件M 有什么关系?事件1R 与事件2R 的交事件与事件R 有什么关系?17.判断下列给出的每对事件,是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从110~各10张)中,任取一张.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.18.为了解一种植物果实的情况,随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位:克),按照[)[)27.5,32.5,32.5,37.5,[37.5，[)[]42.5),42.5,47.5,47.5,52.5分为5组,其频率分布直方图如图所示.(1)求图中a 的值;(2)估计这种植物果实重量的平均数x 和方差2s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);（3）已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实.若所取样本容量n =40,从该样本分布在[)27.5,32.5和[47.5,52.5]的果实中,随机抽取2个,求抽到的都是优质果实的概率.19.受疫情的影响,某市一个小区505人参加某次核酸检测,根据年龄段采用分层抽样的方法从中随机抽取101人,记录其核酸检测结果(阴性或阳性).现将核酸检测呈阴性的人员,按年龄段分为5组:(]0,20,(](](](]20,40,40,60,60,80,80,100,得到如图所示频率分布直方图,其中年龄在(]20,40的有20人.(1)估计此次核酸检测呈阴性人员的年龄的中位数;(2)用样本估计该小区此次核酸检测呈阳性的人数;(3)若此次核酸检测呈阳性的人中,男女比例为3:2,从中任选2人,求至少选到一名男性的概率.20.海关同时对从,,A B C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口的此种商品的数量(单位:件)如下表所示,工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区A B C数量/件50150100(1)求这6件样品中分别来自,,A B C 三个地区的商品数量;(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.21.沿某条公路行驶,从甲地到乙地一共200公里,遇到的红灯个数的概率如下表:红灯个数0123456个及以上概率0.020.1a0.350.20.10.03(1)求表中字母a的值;(2)求至少遇到4个红灯的概率;(3)求至多遇到5个红灯的概率.22.下面的三个游戏都是在袋子中装球,然后从袋子中不放回地取球,分别计算三个游戏中甲获胜的概率.你认为哪个游戏是公平的?项目游戏1游戏2游戏3袋中球的数量和颜色1个红球和1个白球21个红球和21个白球31个红球和1个白球取球规则取1个球依次取出2个球依次取出2个球获胜规则取到红球甲胜两个球同色甲胜两个球同色甲胜取到白球乙胜两个球补同色乙胜两个球补同色乙胜名校有约1.(多选题)4支足球队进行单循环比赛(任两支球队恰进行一场比赛),任两支球队之间胜率都是12.单循环比赛结束,以获胜的场次数作为该队的成绩,成绩按从大到小排名次顺序,成绩相同则名次相同.下列结论正确的是A.恰有四支球队并列第一名为不可能事件B.有可能出现恰有三支球队并列第一名C.恰有两支球队并列第一名的概率为14D.只有一支球队名列第一名的概率为12。

4.1随机事件与可能性〔-〕知识与技能：通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件，不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断。

过程与方法：历经实验操作、观察、思考和总结，归纳出三种事件的各自的本质属性，并抽象成数学概念。

情感态度和价值观：体验从事物的表象到本质的探究过程，感受到数学的科学性及生活中丰富的数学现象。

重点：随机事件的特点难点：对生活中的随机事件作出准确判断教学程序设计一、创设情境，引入课题1．问题情境以下问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？(1)太阳从西边下山；(2)某人的体温是100℃；(3)水往低处流；(4)种瓜收豆；(5)三个人性别各不相同；(6)一元二次方程x2+2x+3=0无实数解。

2．引发思考我们把上面的事件〔1〕、〔3〕、〔6〕称为必然事件，把事件〔2〕、〔4〕、〔5〕称为不可能事件，那么请问：什么是必然事件？什么又是不可能事件呢？它们的特点各是什么？板书：在一定条件下，必然发生的事件称为必然事件；一定不发生的事件称为不可能事件。

必然事件与不可能事件统称为确定性事件。

二、引导两个活动，自主探索新知活动1：5名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。

签筒中有5根形状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5。

小军首先抽签，他在看不到的纸签上的数字的情况从签筒中随机〔任意〕地取一根纸签。

请考虑以下问题：〔1〕抽到的序号是0，可能吗？这是什么事件？〔2〕抽到的序号小于6，可能吗？这是什么事件？〔3〕抽到的序号是1，可能吗？这是什么事件？〔4〕你能列举与事件〔3〕相似的事件吗？根据学生答复的具体情况，教师适当地加点拔和引导。

活动2：小伟掷一个质地均匀的正方形骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6的点数。

请考虑以下问题，掷一次骰子，观察骰子向上的一面：〔1〕出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？〔2〕出现的点数大于0，可能吗？这是什么事件？〔3〕出现的点数是4，可能吗？这是什么事件？〔4〕你能列举与事件〔3〕相似的事件吗？提出问题，探索概念〔1〕上述两个活动中的两个事件〔3〕与必然事件和不可能事件的区别在哪里？〔2〕怎样的事件称为随机事件呢？板书：在根本条件相同的情况下，可能出现不同的结果，究竟出现哪一种结果，随机遇而定，带有偶然性，这类现象称为随机现象。

随机事件的概率教材分析：对学生来说在初中阶段学习了概率初步，对频率与概率的关系有一定的认识，但他们不知道如何利用频率去估计概率，也不知道随机事件发生的随机性和规律性是辩证统一的；现实生活中存在大量不确定事件，概率正是研究不确定事件的一门学科。

概率是新课程高考新增的内容，由于概率问题与人们实际生活有着密切关系，所以概率也是高考的热点。

一教学目标1、知识与技能目标：⑴了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；⑵了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；2、过程与方法目标：⑴通过动手试验，体会随机事件发生的随机性和规律性；⑵在试验、探究和讨论过程中理解概率与频率的区别和联系，学会利用频率估计概率的思想方法．．3、情感态度与价值观目标：通过学生动手实践，培养学生的试验、观察、归纳和总结的技能，培育学生团结协作探究、合作交流表达的团队意识。

二教学重点理解概率的定义三教学难点利用频率估计概率，体会随机事件发生的随机性和规律性四教法学法在教法上，采用“动手启发式〞教学模式，分层次教学，借助多媒体辅助教学。

在学法上，先学后教，以学生动手为中心，以探究、试验为主线，采用“小组合作探究式学习法〞进行学习。

五教学过程1.创设情境、引出课题故事：北宋仁宗年间，西南蛮夷侬智高起兵作乱，大将狄青奉命征讨．出征之前，他召集将士说：“此次作战，前途未卜，只有老天知道结果．我这里有100枚铜钱，现在抛到地上，如果全部正面朝上，那么说明天助我军，此战必胜．〞言罢，便将铜钱抛出，100枚铜钱居然全部正面朝上！将士闻讯，欢声雷动、士气大振！宋军也势如破竹，最终全胜而归．设计意图：以故事形式开篇“狄青将军讨伐侬智高〞的传说：抛到地上的100枚铜钱全部正面朝上这一故事，激发学生的学习兴趣，引导学生以饱满的精神参与课堂。

2.新课讲授⑴必然事件：在条件S下一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件。

⑵不可能事件：在条件S下一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件。

随机事件的概率(二)●教学目标（一）教学知识点1.基本事件的概念.2.等可能事件的概念.（二）能力训练要求1.了解基本事件，等可能事件的概念.2.理解等可能事件的概率的定义，能运用此定义计算等可能性事件的概率.（三）德育渗透目标1.培养学生的辩证唯物主义观点；2.增强学生的科学意识；3.提高学生分析问题的能力.●教学重点1.等可能性事件的概率的意义；A 的概率公式的简单应用.●教学难点试验中出现的结果个数n 必须是有限的，每个结果出现的可能性必须是相等的.●教学方法引导法引导学生理解等可能性事件以及等可能性事件的概率可通过分析其可能出现的结果来计算.●教学过程(1)通过我们上节课的学习，我们已经了解到从事件的发生与否的角度可将事件分为几类?(必然事件，不可能事件，随机事件).(2)我们还知道，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率nm 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数我们把它称为概率且记为P (A ),P(A)的求值X 围是什么?必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，随机事件的概率0≤P (A )≤1，且随机事件的概率，一般可以通过大量重复试验求得其近似值.(3)对于随机事件，我们是否只能通过大量重复试验才能求其概率呢？(1)下面，请同学们再来进一步思考抛掷硬币试验.从大量重复试验的结果，我们可知每抛一次硬币出现“正面向上”或“反面向上”的概率是相等的，且均等于21.即每抛掷一次硬币出现“正面向上”或“反面向上”的可能性是相等的. 而抛掷一枚均匀的硬币，可能出现的结果也只有“正面向上”“反面向上”两种.由于硬币是均匀的，可以认为出现这2种结果的可能性是相等的，即可以认为出现“正面向上”的概率是21，出现“反面向上”的概率也是21.这与大量重复试验的结果是一致的. (2)又如，抛掷一个骰子，它落地时向上的数可能是……(可能是情形1，2，3，4，5，6之一.)即可能出现的结果有6种，且每种结果出现的机会……(均等的（因为骰子是均匀的）).即6种结果出现的可能性是相等的.也就是说，出现每一种结果的概率都是61，这种分析也与大量重复试验的结果是一致的.看来，对于某些随机事件，也可以不通过重复试验，而只通过对一次试验中可能出现的结果的分析来计算其概率.(3)那么，对于哪些随机事件，我们可以通过分析其结果而求其概率呢？（让学生讨论）首先对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；另外，所有不同的试验结果，它们出现的可能性是相等的.(老师归纳)那么，具有这样特点的事件，咱们称其为等可能性事件.则等可能性事件的概率则可以通过分析其结果而求之.若某一等可能性随机事件的结果有n 种，那么每一种结果出现的概率均为n1. A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个，即此试验由n 个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是n 1. 三 例题讲解例1抛掷一个骰子，它落地时向上的数是3的倍数的概率是多少？［分析］由于骰子落地时向上数可能有1，2，3，4，5，6六种情形，其中向上的数为3，6，这2种情形之一出现时，“向上的数是3的倍数”，这一事件（记作事件A ）发生，因此事件A 的发生包含的结果有2个.解：记事件A 为“向上的数是3的倍数”.则事件A 包含两个基本事件，即“向上的数是3”和“向上的数为6”. 且由题意得每一基本事件的概率均为61. 因此，事件A 的概率为：P (A )=3162=. 评述：如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )=n m . 也可理解为：在一次试验中，等可能出现的n 个结果组成一个集合I ，这n 个结果就是集合I 的n 个元素，各基本事件均对应于集合I 的含有1个元素的子集，包含m 个结果的事件A 对应于I 的含有m 个元素的子集A .因此从集合的角度看，事件A 的概率是子集A 的元素个数（记作card(A )）与集合I 的元素个数（记作card （I ））的比值，即：P (A )=.)(card )(card nm I A = 如，上述骰子落地时向上的数是3的倍数，这一事件A 的概率P (A )=.3162)(card )(card ==I A 四 课堂练习:请同学们打开课本P 131练习1.1.先后抛掷2枚均匀的硬币.（1）一共可能出现多少种不同的结果？（2）出现“1枚正面，1枚反面”的结果有多少种？（3）出现“1枚正面，1枚反面”的概率是多少？（4）有人说，“一共可能出现‘2枚正面’‘2枚反面’‘一枚正面，1枚反面’这3种结果，因此出现‘1枚正面，1枚反面’的概率是31.”这种说法对不对？ 分析：由于是先后抛掷2枚均匀的硬币，所以在考查试验结果时，要分第一枚与第二枚不同的结果，然后再加以组合.解：（1）由题意可知，可能出现的结果有：“第1枚正面，第2枚正面”；“第1枚正面，第2枚反面”；“第1枚反面，第2枚正面”；“第1枚反面，第2枚正面”.即：一共可能出现“2枚正面”“2枚反面”“第1枚正面，第2枚反面”“第1枚反面，第2枚正面”四种不同的结果.（2）由（1）得出现“1枚正面，1枚反面”的结果有“第1枚正面，第2枚反面”与“第1枚反面，第2枚反面”2种.（3）由于此试验一共可能出现4种结果.而且每种结果出现的可能性是相等的，而出现“1枚正面，1枚反面”包含两种结果，所以其发生的概率为42，即21. （4）这种说法不对，这是因为“1枚正面，1枚反面”这一事件由2个试验结果组成，这一事件发生的概率是21而不是31. 评述：要仔细分析试验的条件以及结果的出现类型.通过本节学习，要学会分析一些等可能性随机试验的结果，并会用所学知识求一些事件发生的概率.（一）课本P 132习题11—1 1.（3）、（4）、2、3（二）1.预习：课本P 128~P 130（1）怎样分析一些随机事件？（2）怎样利用排列、组合的基本公式计算等可能性事件的概率？。

2022高二数学随机事件的概率关键知识点总结高二数学随机事件的概率知识点总结一、事件1.在条件SS的必然事件.2.在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件.3.在条件SS的随机事件.二、概率和频率1.用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据.2.在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A 出现的次数nAnA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.3.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)P(A)，P(A).三、事件的关系与运算四、概率的几个基本性质1.概率的取值范围：2.必然事件的概率P(E)=3.不可能事件的概率P(F)=4.概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B).5.对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件.P(AB)=1，P(A)=1-P(B).高二数学《导数》知识点总结导数：导数的意义-导数公式-导数应用(极值最值问题、曲线切线问题)1、导数的定义：在点处的导数记作.导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①k=f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0,f(x0))切线斜率。

V=s/(t)表示即时速度。

a=v/(t)表示加速度。

常见函数的导数公式:①;②;③;⑤;⑥;⑦;⑧。

4.导数的四则运算法则：5.导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。

(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。

随机事件的概率(三)●教学目标（一）教学知识点1.等可能性事件概率的定义；2.计算等可能性事件概率的基本公式.（二）能力训练要求1.理解等可能性事件概率的定义.2.能够运用排列组合的基本公式计算等可能性事件的概率.（三）德育渗透目标1.提高学生分析问题的能力.2.增强学生的应用意识.3.提高学生的数学素质.●教学重点等可能性事件的概率的定义和计算.●教学难点排列和组合的知识的正确应用.●教学方法讲练相结合结合一些具体事件进行分析，从而使学生会判断一些事件是否为等可能性事件，初步掌握通过分析等可能性事件的结果，结合一些排列和组合的知识，以达到求一些事件发生的概率.●教学过程上节课，我们共同探讨了等可能性事件及其概率的基本思路.若某一事件的结果是有限个，且每种结果在相同的条件下出现的可能性是相等的，则称其为等可能性事件.且若其结果有n 种，则每种结果出现的概率为n1. 若某一事件包含的结果有m 种，则此事件发生的概率为n m .那么，这些事件的结果数和其发生的概率是否可通过计算求得呢？若能，可用什么知识求得呢？下面，我们一起来看两例.(1) :例1.一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同的3个黑球，从中摸出2个球.（1）共有多少种不同的结果？（2）摸出2个黑球有多少种不同的结果？ （3）摸出2个黑球的概率是多少？分析：由题意可知袋中装有4个不同的球，从中任取2球的结果数即为从4个不同的元素中任取2元素的组合数；摸出2个黑球的结果数即为从3个不同的元素中任取2元素的组合数，且每种结果出现的可能性是相等的，即为等可能性事件.解：（1）从装有4个球的口袋内摸出2个球，共有：C 24=6种不同的结果，即由所有结果组成的集合I 含有6个元素.∴共有6种不同的结果.（2）从3个黑球中摸出2个球，共有C 23=3种不同的结果，这些结果组成I 的一个含有3个元素的子集A ，如图：∴从口袋内摸出2个黑球有3种不同的结果.（3）由于口袋内4个球的大小相等，从中摸出2个球的6种结果是等可能的，又在这6种结果中，摸出2个黑球的结果有3种，因此从中摸出2个黑球的概率P (A )=2163 . ∴从口袋内摸出2个黑球的概率是21. 评述：仔细分析事件，灵活应用排列和组合知识解决问题.(2) :例2将骰子先后抛掷2次，计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？（3）向上的数之和是5的概率是多少？（让学生讨论）讨论1：将骰子抛掷1次，它落地时向上的数有1，2，3，4，5，6这6种结果，且每种结果出现的可能性是相等的.讨论2：每次试验需分两步完成，且每步均会出现以上6种结果，每一次试验的结果为以上6种结果的任意组合，且每一组结果出现的可能性是相等的.讨论3：向上的数和为5的结果，即出现1和4，2和3的组合的结果.解：（1）将骰子抛掷1次，它落地时向上数有1，2，3，4，5，6这6种结果，根据分步计数原理，先后将这种玩具抛掷2次，一共有6×6=36种不同的结果.（2）在上面所有结果中，向上的数之和为5的结果有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）4种，其中括弧内的前、后2个数分别为第1、2次抛掷后向上的数.∴在2次抛掷中，向上的数之和为5的结果有4种.以上结果可表示为：（其中不在线段上的各数为相应的2次抛掷后向上的数之和.）（3）由于骰子是均匀的，将它抛掷2次的所有36种结果是等可能出现的.其中向上的数之和是5的结果（记为事件A ）有4种，因此，所求的概率P (A )=91364 . ∴抛掷骰子2次，向上的数之和为5的概率是91. 评述：注意分析事件的结果是否为有限的，且出现的可能性是否相等，即判断事件是否为等可能性事件，还要注意灵活应用排列和组合以及两原理的应用.变式:请同学们进一步思考：在这个问题中，出现向上的数之和为5的倍数的概率是多少？（引导学生分析，师生互动）首先，我们分析：出现向上的数之和为5的倍数，即和为5或10.其中和为5的结果有4种.和为10的结果有（4，6），（6，4），（5，5）3种.总之，出现向上的数之和为5的倍数的结果有7种.因此，在这个问题中，出现向上的数之和为5的倍数的概率是367. 三 .课堂练习（学生练习，老师讲评）131练习2随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人值班1天.（1）这3人的值班顺序共有多少种不同的排列方法？（2）其中甲在乙之前的排法有多少种？（3）甲排在乙之前的概率是多少？分析：据题意可知，3人在3天节日中值班顺序数即为3个不同元素在3个不同位置上的排列数；其中甲在乙之前意味着甲、乙相邻且甲在乙之前，或甲、乙不相邻而甲在乙之前的排法.解：（1）随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人值1天，则这3人的值班顺序共有A 33=6种不同的排列方法，即组成的集合I 有6个元素.∴这3人的值班顺序共有6种不同的排列方法.（2）甲在乙之前的排法有：甲乙丙，甲丙乙，丙甲乙3中不同的结果，这些结果组成I 的一个含有3个元素的子集A . 如图所示：（3）由于是随意安排，即每人在每天值班的可能性是相等的，所以6种不同的值班顺序也是等可能的.又在这6种结果中，甲在乙之前的结果有3种，因此甲排在乙之前的概率为P (A )=2163 . ∴甲排在乙之前的概率为21.评述：利用排列和组合知识分析基本事件结果数.2. 课本P 131练习3在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm,从中任取一根，取到长度超过30 mm 的纤维的概率是多少？30 mm ，则抽到长度超过30 mm 的结果数为12.解：从40根纤维中任取1根，共有C 140=40种不同的结果，且每种结果是等可能的.由于其中12根长度超过30 mm,则抽到长度超过30 mm 的纤维，共有C 112=12种不同的结果.∴取到长度超过30 mm 的纤维的概率为1034012 .通过本节学习，要初步掌握用排列和组合的知识分析并计算随机事件的总结果数及某事件包含的结果数，并利用等可能性事件的概率公式求其概率.（一）课本P 132习题11。

4．1随机事件与可能性1．理解必然事件，不可能事件和随机事件的概念，并会识别；(重点)2．理解随机事件发生的可能性是有大小的．一、情境导入在一些成语中也蕴含着事件类型，例如瓮中捉鳖、拔苗助长、守株待兔、水中捞月所描述的事件分别属于什么类型事件呢？二、合作探究探究点一：必然事件、不可能事件、随机事件【类型一】必然事件以下事件是必然事件的是()A．如果|a|＝|b|，那么a＝bB．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧C．圆的半径为3，圆外一点到圆心的距离是5，过这点引圆的切线，那么切线长为4D．三角形的内角和是360°解析：由于互为相反数的两个数绝对值也相等，因此绝对值相等的两个数可能不相等，A选项错误；平分的弦假设是直径，那么两条直径互相平分，很明显，它们不一定互相垂直，B选项错误；直接利用勾股定理计算可得，C选项正确；三角形内角和等于180°，D选项错误．应选C.变式训练：见?学练优?本课时练习“课堂达标训练〞第1题【类型二】不可能事件以下事件中不可能发生的是()A．翻开电视机，中央一台正在播放新闻B．我们班的同学将来会有人中选为劳动模范C．在空气中，光的传播速度比声音的传播速度快D．太阳从西边升起解析：“太阳从西边升起〞这个事件一定不会发生，所以它是一个不可能事件．应选D.变式训练：见?学练优?本课时练习“课堂达标训练〞第4题【类型三】随机事件以下事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是100℃；③掷一次骰子，向上一面的数字是2；④度量四边形的内角和，结果是360°.其中是随机事件的是________(填序号)．解析：书的页码可能是奇数，也有可能是偶数，所以事件①是随机事件；100℃的气温人不能生存，所以不可能测得这样的气温，所以事件②是不可能事件，属于确定事件；骰子六个面的数字分别是1、2、3、4、5、6，因此事件③是随机事件；四边形内角和总是360°，所以事件④是必然事件，属于确定事件．故答案是①③.方法总结：一定发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件．变式训练：见?学练优?本课时练习“课堂达标训练〞第3题探究点二：随机事件发生的可能性【类型一】可能性大小的意义的理解气象台预报“本市明天降雨可能性是80%〞．对此信息，以下说法正确的选项是()A．本市明天将有80%的地区降雨B．本市明天将有80%的时间降雨C．本市明天肯定下雨D．本市明天降水的可能性比拟大解析：一个事件的发生的可能性的范围在0～1，80%应该是比拟大，所以“本市明天降雨可能性是80%〞是指“本市明天降雨的可能性比拟大〞．应选D.方法总结：某事发生的可能性大小是指其发生的概率大小．变式训练：见?学练优?本课时练习“课堂达标训练〞第6题【类型二】利用面积关系判断可能性大小在如以下图(A，B，C三个区域)的图形中随机撒一把豆子，豆子落在________区域的可能性最大(填A或B或C)．解析：先分别算出A，B，C三局部的面积，面积最大的就是豆子落入可能性最大的．S C＝π×22＝4π，S B＝π(42－22)＝12π，S A＝π(62－42)＝20π.由此可见，A的面积最大，那么豆子落入可能性最大．故填A.变式训练：见?学练优?本课时练习“课后稳固提升〞第7题三、板书设计本节课由生活中常见的例子，引出必然事件、不可能事件、随机事件的概念，让学生了解到随机事件发生的可能性有大小，培养学生动脑的习惯，体验生活与新知识的紧密联系，提高学习兴趣.4．5一次函数的应用第1课时利用一次函数解决实际问题1．根据问题条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，开展学生的应用能力；(重点)3．建立一次函数模型解决实际问题．(难点)一、情境导入联通公司话费收费有A套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B套餐(月租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A套餐每月话费为y1(元)，B套餐每月话费为y2(元)，月通话时间为x分钟．(1)分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式；(2)月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？(3)什么情况下A套餐更省钱？二、合作探究探究点：一次函数与实际问题【类型一】利用图象(表)解决实际问题我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费：月用水10t 以内(包括10t)的用户，每吨收水费a 元；月用水超过10t 的用户，10t 水仍按每吨a 元收费，超过10t 的局部，按每吨b 元(b >a )收费．设某户居民月用水x t ，应收水费y 元，y 与x 之间的函数关系如以下图．(1)求a 的值，并求出该户居民上月用水8t 应收的水费； (2)求b 的值，并写出当x >10时，y 与x 之间的函数表达式；(3)上月居民甲比居民乙多用4t 水，两家共收水费46元，他们上月分别用水多少吨？解析：(1)用水量不超过10t 时，设其函数表达式为y ＝ax ，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得a 的值；再将x ＝8代入即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b 的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10t 多还是比10t 少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量．解：(1)当0≤x ≤10时，图象过原点，所以设y ＝ax .把(10，15)代入，解得ayx (0≤x ≤10)．当x ＝8时，y ×8＝12，即该户居民的水费为12元；(2)当x >10时，设y ＝bx ＋m (b ≠0)．把(10，15)和(20，35)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10b ＋m ＝15，20b ＋m ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，m ＝－5，即超过10t 的局部按每吨2元收费，此时函数表达式为y ＝2x －5(x >10)； (3)因为10×1.5＋10×1.5＋4×2＝38<46，所以居民乙用水比10t 多．设居民乙上月用水x t ，那么居民甲上月用水(x ＋4)t.y 甲＝2(x ＋4)－5，y 乙＝2x ，得[2(x ＋4)－5]＋(2x －5)＝46，解得x t ，居民乙用水12t.方法总结：此题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论．广安某水果店方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：(1)假设该水果店预计进货款为1000元，那么这两种水果各购进多少千克？(2)假设该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？解析：(1)根据方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果x 千克，那么购进乙种水果(140－x )千克，根据题意可得5x ＋9(140－x )＝1000，解得x ＝65，∴140－x ＝75(千克)．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W ，由题意可得W ＝3x ＋4(140－x )＝－x ＋560，故W 随x 的增大而减小，那么x 越小，W越大．∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－x≤3x，解得x≥35，∴当x＝35时，W最大＝－35＋560＝525(元)，故140－35＝105(千克)．答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．如图①，底面积为30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体〞，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm3/s)为多少？(2)假设“几何体〞的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体〞上方圆柱的高和底面积．解析：(1)根据图象，分三个局部：注满“几何体〞下方圆柱需18s；注满“几何体〞上方圆柱需24－18＝6(s)；注满“几何体〞上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)，再设匀速注水的水流速度为x cm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm，根据圆柱的体积公式得a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体〞上方圆柱的高为5cm，设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可．解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体〞的高度为11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体〞到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为x cm3/s，那么18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；(2)由图②知“几何体〞下方圆柱的高为a cm，那么a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体〞上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体〞上方圆柱的底面积为24cm2.方法总结：此题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．【类型二】建立一次函数模型解决实际问题某商场欲购进A、B两种品牌的饮料共500箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元．(1)求y关于x的函数表达式；(2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．(注：利润＝售价－本钱)解析：由表格中的信息可得到A、B两种品牌每箱的利润，再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润．解：(1)由题意，知B种饮料有(500－x)箱，那么y＝(63－55)x＋(40－35)(500－x)＝3xy ＝3x＋2500(0≤x≤500)；(2)由题意，得55x ＋35(500－x )≤x ≤125.∴当x ＝125时，y 最大值＝3×125＋2500＝2875.∴该商场购进A 、B 两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元．方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题．解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系．【类型三】 两个一次函数图象在同一坐标系内的问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行〞活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y (km)与自行车队离开甲地时间x (h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答以下各题：(1)自行车队行驶的速度是________km/h ； (2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？ 解析：(1)由速度＝路程÷时间就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发a 小时两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B 的坐标和C 的坐标，由自行车的速度就可以D 的坐标，由待定系数法就可以求出BC ，ED 的解析式就可以求出结论．解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度是72÷3＝24km/h.(2)由题意得，邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a 小时两车相遇，由题意得24(a ＋1)＝60a ，解得a ＝23.答：邮政车出发23小时与自行车队首次相遇；(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时间为135÷60＝94(h)，∴邮政车从丙地出发的时间为94＋2＋1＝214(h)，∴B (214，135)，C ，0)．自行车队到达丙地的时间为：135÷24＋0.5＝458＋0.5＝498(h)，∴D (498，135)．设BC 的解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135＝214k 1＋b 1，0k 1＋b 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－60，b 1＝450，∴y 1＝－60x ＋450，设ED 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧72k 2＋b 2，135＝498k 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝24，b 2＝－12，∴y 2＝24xy 1＝y 2时，－60x ＋450＝24x －12，解得x ＝5.5.y 1＝－60×5.5＋450＝120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.方法总结：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程的综合运用，解答时求出函数的解析式是关键．三、板书设计一次函数与实际问题1．建立一次函数模型解实际问题2．利用图象(表)解决实际问题对于分段函数的实际应用问题中，学生往往无视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练,力争逐步提高.。

4.1 随机事件与可能性〔第二课时〕知识技能：通过“摸球〞这样一个有趣的试验，形成对随机事件发生的可能性大小作定性分析的能力，了解影响随机事件发生的可能性大小的因素。

过程和方法：历经“猜想—动手操作—收集数据—数据处理—验证结果〞，及时发现问题，解决问题，总结出随机事件发生的可能性大小的特点以及影响随机事件发生的可能性大小的客观条件。

教学重点：对随机事件发生的可能性大小的定性分析教学难点：理解大量重复试验的必要性。

一、创设情境，引入课题1、掷一枚均匀硬币，当硬币落地后，是“正面朝上〞的可能性大，还是“反面朝上〞的可能性大？2、摸球试验：袋中装有4个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球。

3、提出问题：我们把“摸到白球〞记为事件A，把“摸到黑球〞记为事件B，提问：〔1〕事件A和事件B是随机事件吗？〔2〕哪个事件发生的可能性大？二、分组试验、收集数据，验证结果1、把学生分成2人一组，其中一人把球搅均匀，另一人摸球并把结果记录在表1中。

事件A发生的次数事件B发生的次数结果〔指哪个事件发生的次数多〕10次摸球20次摸球【设计意图：设计“10次摸球〞和“20次摸球〞，意在引起结果的变化。

】2、小组汇报试验结果，教师统计结果填于表2。

得到结果1的组数得到结果2的组数10次摸球20次摸球注：结果1指事件A发生的次数多，结果2指事件B发生的次数多。

3、提出问题〔1〕“10次摸球〞的试验中，事件A发生的可能性大的有几组？“20次摸球〞的试验中呢？〔2〕你认为哪种试验更能获得较正确结论呢？〔3〕为了能够更大可能地获得正确结论，我们应该怎样做？4、进行大量重复试验，验证猜想的正确性。

教师请同学们进行400次重复的“摸球〞试验，教师提问：如果把刚刚各小组的20次“摸球〞合并在一起是否等同于400次“摸球〞？这样做会不会影响试验的正确性？待学生答复后，教师把结果统计在表中。