已知坐标平面内两点求它们连线的垂直平分线方程

解法探究２０２３年７月上半月㊀㊀㊀高中数学角平分线相关问题的解法探究◉南京市金陵中学河西分校㊀王金辉㊀㊀摘要:思维是数学素养的灵魂,方法是数学学习的法宝．在高三数学一轮复习中,不少学生在解决与角平分线有关的解三角形㊁平面向量和解析几何等问题时,感觉困难重重,本文中通过四种常用解法的讲解,梳理了与角平分线相关的几种题型,帮助学生建构思维系统,提升数学核心素养．关键词:高中数学;核心素养;角平分线㊀㊀角平分线作为刻画三角形的一个重要要素,在高中数学解三角形㊁平面向量㊁解析几何等问题中常有出现．本文中尝试用微专题的方式,从等面积法㊁向量的线性运算和数量积运算㊁角平分线的性质和几何对称性等方面展开思考,对学生解决相关问题有明显的指导作用．１利用等面积法求解角平分线长在解三角形中,经常遇到与角平分线长度相关的问题,等面积法是一种常用且简便的方法．例１㊀(２０２２南京师大附中模拟预测 １４)在әA B C 中,A C ＝２,A B ＝１,点D 为B C 边上的点,A D是øB A C 的角平分线,则A D 的取值范围㊀㊀㊀㊀．分析:本题涉及三角形的两边及夹角,求该角的角平分线长,可以考虑由三个三角形的面积建立等量关系,求出角平分线长度的表达式．解:设øB A D ＝øC A D ＝θ,则øB A C ＝２θ,且θɪ(０,π２)．由S әA B D ＋S әA C D ＝S әA B C ,得１２A B A D s i n θ＋１２A C A D s i n θ＝１２A B A C s i n ２θ．所以３A D s i n θ＝２s i n ２θ,即A D ＝４c o s θ３．故A D 的取值范围是(０,４３)．变式㊀在әA B C 中,A C ＝２,A B ＝１,点D 为B C 边上的点,A D 三等分øB A C ,D 靠近点B ,则A D 的取值范围是㊀㊀㊀㊀．分析:将例１的平分角改编为三等分角,依然涉及三角形的两边及夹角,考虑由三个三角形的面积建立等量关系,结合二倍角公式和三倍角公式的应用,求出三等分角的平分线长度的表达式．解:设øA B D ＝α,øA C D ＝２α,则øB A C ＝３α．由０＜３α＜π,得αɪ(０,π３)．由S әA B D ＋S әA C D ＝S әA B C ,得１２|A B | |A D | s i n α＋１２|A C | |A D | s i n ２α＝１２|A B | |A C | s i n ３α．解得|A D |＝２s i n ３αs i n α＋２s i n ２α＝２(４c o s ２α－１)１＋４c o s α．令t ＝１＋４c o s α,t ɪ(３,５),则|A D |＝１２(t －３t－２)．设f (t )＝１２(t －３t－２),则f (t )在(３,５)单调递增．又t ＝３时,f (３)＝１２(３－３３－２)＝０;t ＝５时,f (５)＝１２(５－３５－２)＝６５．所以A D 的取值范围为(０,６５)．点评:例１和变式均为等分角的等分线长度相关问题,通过等面积法寻找等量关系,再结合三角函数及解三角形等相关知识解决．当然,如果对两个分角任意赋值,不一定n 等分角,但等面积法依然适用,它是这一类问题的常用方法．２利用角平分线的对称性解题角的一边上任一点关于角平分线的对称点一定在角的另一条边上．利用这一对称性质可以巧妙解决解析几何中与角平分线相关的一类问题．例２㊀已知三角形的一个顶点A (４,－１),它的两条内角平分线所在的直线方程分别为l １:x －y －１＝０和l ２:x －１＝０,则B C 边所在直线的方程为㊀㊀㊀㊀．分析:利用三角形的顶点A 关于另外两个顶点的内角平分线的对称点均在B C 上,可求出B C 上两个点的坐标,进而求出直线B C 的方程．解:易知点A 不在l １和l ２上．因为l １,l ２为øB ,øC 的平分线,所以点A 关于l １,l ２的对称点均在BC ０７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年７月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀边所在的直线上．易求得点A 关于l １的对称点为A １(０,３),点A 关于l ２的对称点为A ２(－２,－１)．所以B C 边所在直线的方程为y －３－１－３＝x －０－２－０,即２x －y ＋３＝０．例３㊀(２０２２深圳高二期末 ７)已知F １,F ２分别为椭圆x ２４＋y ２３＝１的左㊁右焦点,P 为椭圆上除左右顶点外的任一点,P T 为әF １P F ２的外角平分线,F ２T ʅP T ,求点T 的轨迹方程．分析:利用三角形的顶点F ２关于外角平分线的对称点在F １P 的延长线上,结合椭圆的定义,可求出M F １为定长,进而得出中位线O T 为定长．图１解:如图１所示,延长F ２T 交F １P 的延长线于点M ．因为P T 为øF １P F ２的外角平分线,F ２T ʅP T ,所以由对称性可得P F ２＝P M ,T F ２＝T M ．由椭圆的定义,得M F １＝P F １＋P M ＝P F １＋P F ２＝４．又T 为F ２M 的中点,O 为F １F ２的中点,所以在әF １F ２M 中,O T ＝１２M F １＝２．故点T 的轨迹方程是x ２＋y ２＝４(y ʂ０)．点评:对称性是角平分线的重要几何性质,在解三角形和解析几何问题中,利用这个性质,结合圆锥曲线的相关定义,可以解决许多点㊁直线㊁圆和圆锥曲线的相关问题．３利用三角形内角平分线定理 解题三角形内角平分线定理:在әA B C 中,øA 的平分线交B C 于点D ,则有B D D C ＝A BA C ．(苏教版高中数学教材必修二第９３页例５．)例４㊀[山西吕梁２０２２届高三模拟(一)理 １０]已知抛物线C :x ２＝４y 的焦点为F ,C 的准线与对称轴交于点D ,过D 的直线l 与C 交于A ,B 两点,且A B ң＝mB D ң(m ＞０),若F B 为øD F A 的角平分线,则B F ＝(㊀㊀)．A．m ㊀㊀B ．２m m ＋１㊀㊀C ．２m ＋１m ㊀㊀D．m ＋１２m分析:利用 三角形内角平分线定理 ,结合抛物线的定义和相似三角形的相似比,可巧妙地将线段的比例关系梳理清楚,进而问题得到解决．解:抛物线C :x ２＝４y ,则F (０,１),D (０,－１),所以D F ＝２．过点A ,B 分别作准线的垂线,垂足分别为A １,B １,如图２,则B B １ʊA A １．因为F B 为øD FA图２的平分线,则有A BB D＝A F D F ,又AB ң＝m B D ң,所以A F D F ＝A BB D＝m ．于是A A １＝A F ＝m D F ＝２m ．又B B １A A １＝D B D A ＝１m ＋１,所以B F ＝B B １＝１m ＋１A A １＝２mm ＋１．故选:B ．点评: 三角形内角平分线定理 是解决定比分点相关问题的常用知识点,熟练使用这个定理,结合解析几何中圆锥曲线的定义㊁方程和几何性质,在解决有关解三角形㊁解析几何等问题时可提速增效．４利用平面向量解决角平分线相关问题平面向量作为数学解题的工具,在很多领域有广泛应用．其中,单位向量㊁向量的数量积不仅是高中数学向量教学的重点和难点,有时在解决三角形的角平分线相关问题时也有巧妙的应用．例５㊀(２０２２厦门一中高一阶段测试 １６)已知әA B C ,D 为线段A C 上一点,B D 是øA B C 的角平分线,I 为直线B D 上一点,满足A I ң＝λ(A C ңA Cң－A B ңA Bң)(λ＞０),C A ң＋C B ң＝６,C A ң－C B ң＝２,则B I ң B A ң＝㊀㊀㊀㊀．分析:两个单位向量的和向量与差向量分别对应以这两个向量所在线段为邻边的菱形的两条对角线,利用菱形对角线互相垂直且平分对角的特征,得到两条角平分线交点为三角形旁心的结论,再结合平面向量数量积的几何意义可破解该题．图３解:如图３所示,由A C ңA C ң,A B ңA Bң为AC ң,A B ң方向上的单位向量,易知A I 是øB A C 外角的角平分线,又B D 是øA B C 的角平分线,即I 为әA B C 的旁心．作I O ʅB A ,垂足为点O ,由C A ң＋C B ң＝６,C A ң－C B ң＝B A ң＝２,可得B O ң＝１２(A B ң＋A C ң＋B C ң)＝４．由数量积的几何意义,可得１７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年７月上半月㊀㊀㊀B I ң B A ң＝B A ң B O ң＝２ˑ４ˑc o s ０＝８．例６㊀(山东实验中学２０１９届高三二模理 ２０改编)设椭圆C :x２４＋y ２＝１的左㊁右焦点分别为F １,F ２,M 为椭圆C 上异于长轴端点的一点,øF １M F ２＝２θ,әMF １F ２的内心为I ,则M I ң M F １ң＋M I ң M F ２ң＝㊀㊀㊀㊀．分析:三角形的内心是其角平分线的交点,且过圆外一点作内切圆的两条切线,切线长相等;结合椭圆的定义,可得切线长|M A |,再利用平面向量数量积的几何意义,轻松破解．解:由题意,可得|M F １|＋|M F ２|＝４,|F １F ２|＝２３．图４设圆I 与M F １,M F ２分别切于点A ,B ,连接I A ,I B ,如图４．根据切线长定理,可得|F １F ２|＝|F １A |＋|F ２B |＝２３．又|M F １|＋|M F ２|＝４,所以|M A |＝|M B |＝４－２３２＝２－３．由平面向量数量积的几何意义,可得M I ң M F １ң＋M I ң M F ２ң＝M A ң M F １ң＋M B ң M F ２ң＝|M A | |M F １|＋|M B | |M F ２|＝４(２－３)．点评:结合菱形的对角线平分对角这一特点,可以将 三角形角平分线定理 和向量问题有机结合起来,考查学生综合应用知识的能力;利用三角形内角平分线定理和向量数量积的几何意义,结合解析几何中相关定义㊁几何性质,对学生的数学综合能力提出了更高的要求．合理构建知识结构,熟练使用常用规律和方法,是解决这类问题的良好途径．５综合应用例７㊀(湖南衡阳２０２２届高三下学期二模 １１)已知F １,F ２分别是双曲线C :x ２－y ２２＝１的左㊁右焦点,点P 为C 在第一象限上的点,点M 在F １P 的延长线上,点Q 的坐标为(３３,０),且P Q 为øF １P F ２的平分线,则下列正确的是(㊀㊀)．A．|P F １||P F ２|＝２B ．øF ２P M 的角平分线所在直线的倾斜角为１５０ʎC ．әF １PF ２的内心坐标为(１,２－１)D．P Q 与双曲线相切解:在双曲线C 中,a ＝１,b ＝２,则c ＝３．因为F １(－３,０),F ２(３,０),所以|Q F １|＝４３３,|Q F ２|＝２３３．于是|P F １||P F ２|＝|Q F １||Q F ２|＝２,故选项A 正确．由|P F １|＝２|P F ２|,|P F １|－|P F ２|＝２,{得|P F １|＝４,|P F ２|＝２．{设点P 的坐标为(x ０,y ０)(x ０＞０,y ０＞０),则由x ２０－y ２０２＝１,(x ０－３)２＋y ２０＝４,ìîíïïï解得x ０＝３,y ０＝２．{图５如图５,设øF ２P M 的角平分线交x 轴于点N ,则得到øQ P F ２＋øN P F ２＝１２(øF １P F ２＋øF ２P M )＝９０ʎ,所以P N ʅP Q ．由k P Q ＝３,可得k P N ＝－１k P Q ＝－３３．所以øF ２P M 的角平分线所在直线的倾斜角为１５０ʎ,故选项B 正确．设әF １P F ２的内切圆H 与三边分别切于点R ,S ,T ,如图５,由内切圆性质,得|P R |＝|P T |,|R F １|＝|F １S |,|F ２T |＝|F ２S |,则|P F １|－|P F ２|＝|S F １|－|S F ２|＝２a ．设H (x ０．y ０),则S (x ０,０),|S F １|－|S F ２|＝x ０－(－３)[]－(３－x ０)＝２x ０＝２a ．所以x ０＝a ＝１,即H (１,y ０),代入直线P Q 的方程y ＝３x －１中,得H (１,３－１),故选项C 错误．联立y ＝３x －１,x ２－１２y ２＝１,ìîíïïï得x ２－２３x ＋３＝０．由D ＝０可知,直线P Q 与双曲线相切,故选项D 正确．故选:A B D ．点评:该题综合应用 角平分线定理 ㊁内外角平分线互相垂直的性质研究了双曲线的焦点三角形内心的特点,验证了圆锥曲线的光学性质从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得,过双曲线上任意一点的切线,平分该点与两焦点连线的夹角．本题综合性较强,是圆锥曲线中融合角平分线问题的典型例子．在新高考背景下,新课程强调对学生核心素养的培养．在高三数学一轮复习中,通过穿插微专题的方式,针对三角形角平分线的相关问题,深入探讨相关题型,多视角㊁多策略地处理一类问题,可以调动学生学习的积极性,帮助学生发现一类问题的解决方向和策略,构建完整的知识系统,从而培养学生良好的思维品质,提高分析问题和解决问题的能力．Z２７Copyright ©博看网. 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广西壮族自治区贵港市桂平市2024届高三下学期第二次月考试题数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．23,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．231,3⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．)3,⎡+∞⎣ D ．(1,3⎤⎦2．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．3．已知椭圆22y a +22x b =1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A 5-1B 3-1C 31+D 51+ 4．已知实数,x y 满足线性约束条件1020x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1y x +的取值范围为（ ）A ．(-2,-1］B ．(-1,4］C ．[-2,4)D ．[0,4]5．ABC ∆中，25BC =D 为BC 的中点，4BAD π∠=，1AD =，则AC =（ ）A ．5B ．22C ．65D ．26．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元．7．已知定义在R 上函数()f x 的图象关于原点对称，且()()120f x f x ++-=，若()11f =，则()1(2)(3)(2020)f f f f ++++=（ ）A ．0B ．1C ．673D ．6748．已知集合A ＝{x ∈N |x 2＜8x }，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则()AB C ⋃＝（ ）A ．{2，3，4，5}B ．{2，3，4，5，6}C ．{1，2，3，4，5，6}D ．{1，3，4，5，6，7}9．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A ．B ．C ．D ．10．已知实数,x y 满足约束条件11220220x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥⎪⎪--≤⎩，则23x y -的最小值是A ．2-B ．72-C ．1D ．411．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．3412．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（ ） A ．2133a b + B ．1233a b +C ．3455a b + D ．4355a b + 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年江苏省连云港市灌南高级中学高二上学期期中模拟数学试题一、单选题1．若圆22240x y kx +--=关于直线2x -y +3=0对称，则k 等于（ ） A ．32B ．-32C ．3D ．-3【答案】B【分析】由题意可求得圆心坐标，圆关于直线对称，即直线过圆心，代入坐标，即可求解. 【详解】由题意知，圆22240x y kx +--=的圆心为(k ，0)， 圆关于直线2x -y +3=0对称，即直线2x -y +3=0过圆心(k ，0)， 所以2k +3=0，k =-32.答案：B【点睛】本题考查圆的对称性，考查分析理解，数形结合的能力，属基础题. 2．已知直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点，直线2l 的倾斜角为135，那么1l 与2l A ．垂直 B ．平行 C ．重合 D ．相交但不垂直【答案】A【解析】根据两点求出直线1l 的斜率，根据倾斜角求出直线2l 的斜率；可知斜率乘积为1-，从而得到垂直关系.【详解】直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点 ∴直线1l 的斜率：141138k +==-+ 直线2l 的倾斜角为135 ∴直线2l 的斜率：2tan1351k ==- 121k k ∴⋅=- 12l l ∴⊥本题正确选项：A【点睛】本题考查直线位置关系的判定，关键是利用两点连线斜率公式和倾斜角求出两条直线的斜率，根据斜率关系求得位置关系. 3．设1F 、2F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12||:||2:1PF PF =，则12F PF △的面积等于( )A ．4B ．6C ．D ．【答案】A【分析】根据椭圆方程，求出a 及椭圆的焦点坐标．由椭圆的定义结合12||:||2:1PF PF =，得1||PF ，2||PF ，结合勾股定理的逆定理得12F PF △是以P 为直角顶点的直角三角形，由此不难得到12F PF △的面积． 【详解】解：椭圆22194x y +=，3a ∴=，2b =，5c =，所以椭圆的焦点为()15,0F -，()25,0F ，12||||26PF PF a +==，且12||:||2:1PF PF =，1||4PF ∴=，2||2PF =可得2221212||||20||PF PF F F +==，因此12F PF △是以P 为直角顶点的直角三角形， 所以12F PF △的面积121|||42S PF PF =⋅=， 故选：A ．4．如图，已知1F 、2F 分别是椭圆22:142x y C +=的左、右焦点，点A 、B 在椭圆上，四边形12AF F B 是梯形，12//AF BF ，且122AF BF =，则12BF F △的面积为（ ）A 14B 14C 2D 2【答案】A【分析】设点B 关于原点的对称点为点E ，连接1EF 、2EF ，分析可知A 、1F 、E 三点共线，设点()11,A x y 、()22,E x y ，设直线AE 的方程为2x my =122y y =-，将直线AE 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出2m 的值，可得出22y 的值，再利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】设点B 关于原点的对称点为点E ，连接1EF 、2EF ，如下图所示：因为O 为12F F 、BE 的中点，则四边形12BF EF 为平行四边形，可得21//BF EF 且21BF EF =， 因为12//AF BF ，故A 、1F 、E 三点共线，设()11,A x y 、()22,E x y ， 易知点()12,0F -，()1112,AF x y =---，()1222,F E x y =+， 由题意可知，112AF F E =，可得122y y =-，若直线AE 与x 轴重合，设122AF a c =+=+，122EF =-，则112AF EF ≠，不合乎题意； 设直线AE 的方程为2x my =-，联立22224x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222220m y my +--=， 由韦达定理可得1222221m y y y m +=-=+，得22222my m =-+， 21222222y y y m =-=-+，则()2222228122m y m m ==++，可得227m =，故2217216y m ==+， 因此，122171422244BF F S c y =⨯⨯=⨯=△. 故选：A.5．设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为 A 5B 3C ．2D 2【答案】B【详解】分析：由双曲线性质得到2PF b =，PO a =然后在2Rt PO F 和在12Rt PF F △中利用余弦定理可得．详解：由题可知22,PF b OF c ==PO a ∴=在2Rt PO F 中，222cos P O PF b F OF c∠==在12PF F △中,22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==()2222246322b c abc a b cc+-∴=⇒=⋅ e 3∴=故选B.点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题． 6．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】A【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心(),C x y ，则()()22341x y -+-=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345+=，所以||514OC ≥-=， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号， 故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.7．已知在圆22:4240M x y x y +-+-=内，过点()0,0O 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D【分析】圆的最长弦是直径，过定点的最短弦是与过定点的最长弦垂直的，对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半. 【详解】圆22:4240M x y x y +-+-= 由题意可得()()22:219M x y -++= 最长弦为直径等于6，最短的弦由垂径定理可得4， 则四边形ABCD 的面积为164122⨯⨯=.故选：D.【点睛】本题考查过圆内定点求圆的弦长最值问题，考查求解运算能力，是基础题.8．过抛物线2:C y x =上定点(P 作圆()22:21M x y -+=的两条切线，分别交抛物线C 于另外两点A、B ，则直线AB 的方程为（ ） A ．10x -+= B ．10x ++= C ．20x -+= D ．20x ++=【答案】B【分析】设过点P 且与圆M 相切的直线的方程为()2y k x =-，根据该直线与圆M 相切求出k 的值，设点()211,A y y 、()222,B y y ，求出1y 、2y 的值，求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】圆M 的圆心为()2,0M ，半径为1，易知PM x ⊥轴，所以，直线PA 、PB 的斜率必然存在， 设过点P 且与圆M 相切的直线的方程为()2y k x =-，即20kxy k -=，1=，解得1k =±，设点()211,A y y 、()222,B y y ，不妨设直线PA 、PB的斜率分别为1、1-， 则11PAk ==，可得11y =同理1PB k ==-，可得21y =-直线AB的斜率为122212121AB y y k y y y y -===-+ 易知点A的坐标为(3-， 所以，直线AB的方程为(13y x -=-+，即10x ++=. 故选：B.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点()0,2关于直线=+1y x 的对称点为()1,1C ．过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-= 【答案】AB【分析】对选项A ，分别令=0x 和=0y ，求出直线与坐标轴交点，再结合面积公式判断即可；对选项B ，求出对称点坐标即可判断；对选项C 特殊情况不成立；对选项D ，缺少过原点的直线． 【详解】A ．令=0x 得2y =-，令=0y 得=2x ，则直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积12222⨯⨯=，正确； B ．设(0,2)关于直线=+1y x 对称点坐标为(,)m n ，则2=1+2=+122n mn m -⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得=1=1m n ⎧⎨⎩，正确；C ．两点式使用的前提是1212,x x y y ≠≠，错误；D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线还有过原点的直线=y x ，错误． 故选：AB ．10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，成为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点Р满足12PA PB =，设点Р所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ）A ．C 的方程为()22416x y ++= B ．在C 上存在点D ，使得1AD =C ．在C 上存在点M ，使M 在直线20x y +-=上D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA += 【答案】AD【分析】通过设出点P 的坐标，利用12PA PB =，即可求出曲线C 的轨迹方程，然后假设曲线C 上一点坐标，根据BCD 三个选项逐一列出所满足条件，然后与C 的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案.【详解】设点(,)P x y ，由12PA PB =，12=，化简得2280x y x ++=，即22(4)16x y ++=，故A 选项正确；对于B 选项，设00(,)D x y ，由1AD =1=，又2200(4)16x y ++=，联立方程可知无解，故B 选项错误；对于C 选项，设00(,)M x y ，由M 在直线20x y +-=上得0020x y +-=，又2200(4)16x y ++=，联立方程可知无解，故C 选项错误；对于D 选项，设00(,)N x y ，由224NO NA +=，得22220000(2)4x y x y ++++=，又2200(4)16x y ++=，联立方程可知有解，故D 选项正确. 故选：AD .11．（多选题）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y 、()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则 （ ）A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC【分析】利用抛物线焦点弦长公式可判断AB 选项；利用抛物线的定义结合三点共线可判断C 选项；求出过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线的方程，可判断D 选项. 【详解】对于选项A ，因为2p =，所以122x x PQ ++=，则8PQ =，故A 正确； 对于选项B ，线段PQ 的中点为1212,22x x y y T ++⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线的准线l 的方程为=1x -，点T 到直线l 的距离为1212211222x x x x PQ ++++==， 所以，以PQ 为直径的圆与准线l 相切，B 对；对于选项C ，因为()1,0F ，所以12PM PP PM PF MF +=+≥=， 当且仅当点M 、P 、F 三点共线，且点P 为线段MF 与抛物线的交点时，等号成立，故C 正确；对于选项D ，显然直线0x =，1y =与抛物线只有一个公共点， 设过M 且斜率不为零的直线为()10y kx k =+≠，联立214y kx y x =+⎧⎨=⎩，可得()222410k x k x +-+=，令()222440k k ∆=--=，则1k =，所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D 错误. 故选：ABC.12．已知双曲线22:1916x y C -=，过其右焦点F 的直线l 与双曲线交于两点A 、B ，则（ ）A ．若A 、B 同在双曲线的右支，则l 的斜率大于43B ．若A 在双曲线的右支，则FA 最短长度为2C ．AB 的最短长度为323D ．满足11AB =的直线有4条【答案】BD【分析】设直线l 的方程为5x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与双曲线C 的方程联立，利用判别式、韦达定理、弦长公式可判断各选项的正误. 【详解】易知双曲线C 的右焦点为()5,0F ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线l 的方程为5x my =+， 当0m ≠时，直线l 的斜率为1k m=， 联立225169144x my x y =+⎧⎨-=⎩，消去x 并整理得()221691602560m y my -++=. 则()()222222169016042561699610m m m m ⎧-≠⎪⎨∆=-⨯-=+>⎪⎩，解得34m ≠. 对于A 选项，当0m =时，直线l x ⊥轴，则A 、B 两点都在双曲线的右支上，此时直线l 的斜率不存在，A 选项错误；对于B 选项，min 532F c a A =-=-=，B 选项正确； 对于C 选项，当直线l 与x 轴重合时，32263AB a ==<，C 选项错误； 对于D 选项，当直线l 与x 轴重合时，2611AB a ==≠； 当直线l 与x 轴不重合时，由韦达定理得122160169m y y m +=--，122256169y y m =-，由弦长公式可得()2122961169m AB y y m +=-=-()226161611169m m +==-，解得m =或m =故满足11AB =的直线有4条，D 选项正确. 故选：BD.【点睛】本题考查直线与双曲线的综合问题，考查了直线与双曲线的交点个数，弦长的计算，考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.三、填空题13．双曲线22221x y a b -=的其中一条渐近线方程为2y x =，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为_______【答案】2214y x -=【分析】由双曲线的渐近线方程可得2ba=，再由焦点到渐近线的距离为2可得2b =，即可得答案； 【详解】由题意得：2,12,b a ab ⎧=⎪⇒=⎨⎪=⎩， ∴双曲线的方程为2214y x -=，故答案为：2214y x -=.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程和焦点到渐近线的距离为b ，考查运算求解能力，属于基础题.14．一束光线从点()2,3A 射出，经y 轴反射后，与圆22:64120C x y x y +-++=相交，则反射光线所在直线的斜率k 的取值范围是_______________． 【答案】43,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】将圆写成标准式，求出圆心半径，求出()2,3A 关于y 轴的对称点A '，设出过A '的直线方程，结合圆心到直线距离公式即可求解.【详解】由22:64120C x y x y +-++=可得()()22321x y -++=，即圆心为()3,2-，半径为1，()2,3A 关于y 轴的对称点()2,3A '-，可设过()2,3A '-的直线方程为()23y k x =++， 即230kx y k -++=，由反射光线与圆相交可得d r <，1d ，化简得()()34430k k ++<，即43,34k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.故答案为：43,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭15．在椭圆22:153x y C +=中，以点(1,1)P -为中点的弦所在的直线方程______.【答案】3580x y --=【分析】先利用点差法求得直线的斜率k ，再利用点斜式即可求得所求直线方程.【详解】因为()2211153-+<，所以点(1,1)P -在椭圆22:153x y C +=内， 设以点(1,1)P -为中点的弦的两端的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则12122,2x x y y +=+=-，22112222153153x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得()()()()12221112053x x y x x y y y -+-+=+，则()()2222111135x y y x y x y x --=++-，设以点(1,1)P -为中点的弦所在直线斜率为k ，则()2211323525y k x x y ⨯==----=⨯， 所以所求直线方程为：()3115y x +=-，即3580x y --=. 故答案为：3580x y --=.四、双空题16．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作抛物线C 的切线1l ，2l ，设直线1l 与2l 交于点()00,P x y ，则0y =___________，PAB ∆面积的最小值为___________. 【答案】 1-; 4【分析】设211,4x A x ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，先根据导数几何意义求得两切线方程，然后联立两切线方程可求得交点坐标()2,1P k -.因为12PABS AB d =，所以将弦长AB 和点P 到直线AB 的距离d 带入即可求得面积的最小值.【详解】解：抛物线方程为24x y =， ∴抛物线的焦点()0,1F由题意，直线AB 的斜率存在，设:1AB l y kx =+，211,4x A x ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得2440x kx --=，124x x k ∴+=，12·4x x =-，由24x y =，得24x y =，求导得2x y '=， ∴()21111:42x x l y x x -=-，即21124x x y x =-① 同理2222:24x x l y x =-② ∴由①②得12022x x x k +==，2211112112001242244x x x x x x x x y x +=-=-==-.()212141AB x k=-===+点P到直线AB的距离2d===()()322221141214122PABS AB d k k k∴==++=+，易知20k=，即0k=时，()min4PABS=，故PAB面积的最小值为4.故答案为：1-；4.【点睛】思路点睛：设出A，B两点的坐标，由导数几何意义求出两切线方程，然后联立求解交点P 坐标；设出直线AB方程，并联立抛物线方程，由弦长公式可得AB，由点到直线距离公式可得点P 到直线AB的距离，从而求得12PABS AB d=，进而易得面积的最小值.五、解答题17．设椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>过点(0,4)M，离心率为35．（1）求椭圆C的方程；（2）过点(3,0)且斜率为45的直线l交椭圆C于A、B两点，求弦AB的中点坐标及AB．【答案】（1）2212516x y+=；（2）中点坐标为36,25⎛⎫-⎪⎝⎭，41||5AB=．【分析】（1）依题意求出b，再由离心率及222c a b=-，求出a，即可求出椭圆方程；（2）首先求出直线l的方程，设直线与C的交点为()11,A x y，()22,B x y，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可求出中点坐标，再利用弦长公式求出弦长；【详解】解：（1）将点(0,4)代入椭圆C的方程得2161b=，所以4b=．又由35cea==，222c a b=-得222925a ba-=，即2169125a-=，所以5a=．所以椭圆C的方程为2212516x y+=．（2）过点(3,0)且斜率为45的直线方程为4(3)5y x =-，设直线与C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程224(3)512516y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去y 得2380x x --=， 得123x x +=，128x x =-． 设线段AB 的中点坐标为()00,x y ， 则120322x x x +==， ()12012266255y y y x x +==+-=-， 即中点坐标为36,25⎛⎫- ⎪⎝⎭由弦长公式41||5AB ==18．已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=. (1)求直线AC 的垂直平分线方程； (2)求△ABC 的面积. 【答案】(1)2410x y --= (2)8【分析】(1)先求出AC 直线方程，再联立直线CM 与AC ，得到交点坐标(4,3)C ，最后求出AC 的 垂直平分线方程即可.(2)先求出AC (1,3)B --，再求△ABC 的AC ，最后由三角形面积公式求出面积即可.【详解】（1）BH 所在直线方程为250x y --=，∴12BH k =， 直线BH 垂直于AC ， 1BH AC k k ∴⋅=-，2AC k ∴=-，∴AC 所在直线方程为2110x y +-=， 联立直线CM 与AC 得25=02+11=0x y x y ---⎧⎨⎩，解得=4=3x y ⎧⎨⎩，∴直线CM 与AC 的交点坐标(4,3)C ， 顶点1(5)A ，， ∴A C 、的中点坐标为9(,2)2,直线AC 的垂直平分线的斜率与AC 边上的高BH 的斜率相等， ∴直线AC 的垂直平分线的斜率为12，∴直线AC 的垂直平分线方程为2410x y --=. （2）由（1）可知||AC 设点(,),B m n 则点51(,)22m n M ++， 点(,)B m n 在高线BH 上，M 在中线CM 上，25=0+5+12?5=022m n m n --∴--⎧⎪⎨⎪⎩， 解得=1=3m n --⎧⎨⎩，故点(1,3)B --，由题意知AC 边上的高为BH ，||BH ∴=∴△ABC的面积为11||||822ABCSAC BH =⋅==. 19．已知抛物线2:2(0)E y px p =>经过点(P ． (1)求抛物线E 的方程；(2)若直线:(0)l y kx m km =+<与抛物线E 相交于,A B 两点，且4OA OB ⋅=，证明：直线l 过定点． 【答案】(1)23y x =(2)证明见解析【分析】（1）将抛物线上的点代入方程即可求解；（2）设出直线方程与抛物线联立，然后根据向量数量积建立等式求解.【详解】（1）∵抛物线22(>0)y px p =过点P ，222p ∴=⨯．32p ∴=． ∴动点C 的轨迹E 的方程为23y x =． （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由23y kx m y x =+⎧⎨=⎩得222(23)0k x km x m +-+=， 12232km x x k -∴+=，2122m x x k=．4OA OB ⋅=，2221212121223(1)()4m kmx x y y k x x km x x m k +∴+=++++==．22340m km k ∴+-=，m k ∴=或4m k =-． 0km <，m k ∴=舍去．4m k ∴=-，满足1290km ∆=-+>．∴直线l 的方程为4(4)y kx k k x =-=-． ∴直线l 必经过定点(40)，． 20．双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，已知()()000,Q x y x a ≠±是双曲线E 上一点，,A B 分别是双曲线E 的左右顶点，直线QA ，QB 的斜率之积为1. (1)求双曲线的离心率；(2)若双曲线E 的焦距为l 过点(2,0)P 且与双曲线E 交于M 、N 两点，若3MP PN =，求直线l 的方程.【答案】(2)2)y x =-【分析】（1）先由点在双曲线上得到2202220y b x a a =-，再由QA ，QB 的斜率之积为1得到202201y x a =-，从而得到a b =，由此可求得双曲线的离心率；（2）先由条件求得双线曲方程，再联立直线l 与双曲线得到1212,x x x x +，又由3MP PN =得到()12232x x -=-，从而求得k 值，由此可得直线l 的方程.【详解】（1）因为()()000,Q x y x a ≠±是双曲线E 上一点，可得2200221x y a b-=，即为2202220y b x a a =-，由题意可得()(),0,,0A a B a -，2000220001QA QBy y y k k x a x a x a =⋅==+--， 可得a b =，即有c e a ===（2）由题意可得c =1a b ==，则双曲线的方程为221x y -=， 易知直线l 斜率存在，设直线l 的方程为()()2,0,1y k x k k =-≠≠±，联立直线l 与双曲线E 的方程，可得()222214140k x k x k -+--=，设()()1122,,,M x y N x y ，则212241x k x k +--=，2122141k x x k +=--，①又3MP PN =，可得()12232x x -=-，② 由①②可得222421k x k -=-， 212421k x k --=-，代入①可得2315k =，解得k = 则直线l的方程为)2y x =-.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:240C x y x y F ++-+=，且圆C被直线30x y -++=截得的弦长为2.（1）求圆C 的标准方程；（2）若圆C 的切线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，求切线l 的方程；（3）若圆22:()(1)2D x a y -+-=上存在点P ，由点P 向圆C 引一条切线，切点为M，且满足PM =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）22(1)(2)2x y ++-=；（2）26yx 或26y x 或30x y +-=或10x y ++=；（3）24a -≤≤【分析】（1）将圆方程整理为标准方程形式，可知5F <，得到圆心坐标和半径；由垂径定理可利用弦长构造出关于F 的方程，解方程求得F ，从而得到标准方程；（2）分为直线l 过原点和不过原点两种情况，分别假设直线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果；（3）设(),P x y ，根据222PM PO =且222PM PC r =-可整理出P 点轨迹方程为：()()22128x y -++=；根据P 在圆()()2212x a y -+-=上，则两圆有公共点，根据圆与圆位置关系的判定可构造不等式，解不等式求得结果.【详解】（1）圆C 方程可整理为：()()22125x y F ++-=- 5F ∴<∴圆C 的圆心坐标为()1,2C -，半径r =∴圆心C 到直线30x y -+=的距离：1d ==∴截得的弦长为：2==，解得：3F = ∴圆C 的标准方程为：()()22122x y ++-=（2）①若直线l 过原点，可假设直线l 方程为：y kx =，即0kx y直线l 与圆相切 ∴圆心到直线距离d r ===2k =∴切线l 方程为：(2y x =②若直线l 不过原点，可假设直线l 方程为：1x ya a+=，即0x y a +-=∴圆心到直线距离d r ==1a =-或3∴切线l 方程为10x y ++=或30x y +-=综上所述，切线l 方程为(2y x =或10x y ++=或30x y +-= （3）假设(),P x yPM =，即222PM PO =又直线PM 与圆C 相切，切点为M 2222222PM PC r PC PO ∴=-=-=即：()()()22222122x y x y +=++--，整理得：()()22128x y -++=P 又在圆()()2212x a y -+-=上 ∴两圆有公共点24a -≤≤即a 的取值范围为：[]2,4-【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的应用问题；关键是明确直线与圆的位置关系通过圆心到直线的距离与半径之间的大小关系来确定；圆与圆的位置关系通过圆心距与两圆半径之和、半径之差的关系来确定.22．已知双曲线2214y x -=的左、右顶点分别为A 、B ，曲线C 是以A 、B 为短轴的两端点且离心率P 在第一象限且在双曲线上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． (1)求曲线C 的方程；(2)设点P 、T 的横坐标分别为x 1，x 2，证明：x 1x 2＝1；(3)设△TAB 与△POB （其中O 为坐标原点）的面积分别为S 1与S 2，且10PA PB ⋅≤，求2212S S -的取值范围．【答案】(1)2214y x +=(2)证明见解析 (3)(0，1]【分析】（1）设椭圆的方程为222210y x a b a b+=，＞＞，依题意可得A （﹣1，0），B （1，0），推出b ＝1，a 2，即可得出答案． （2）设点P （x 1，y 1），T （x 2，y 2）（xi ＞0，yi ＞0，i ＝1，2），直线AP 的斜率为k （k ＞0），则直线AP 的方程为y ＝k (x +1)，联立椭圆的方程，解得x 2，同理可得21244k x k +=-，进而可得x 1⋅x 2＝1．（3）由（2）得1111(1,),(1,)PA x y PB x y =---=--，由10PA PB ⋅≤，得11x ≤＜S 1，S 2，结合基本不等式得S 12﹣S 22的取值范围．【详解】（1）设椭圆的方程为222210y x a b a b+=，＞＞，依题意可得A （﹣1，0），B （1，0），所以b ＝1，所以22222134c a e a a -===，即a 2＝4，所以椭圆方程为2214y x +=．（2）证明：设点P （x 1，y 1），T （x 2，y 2）（xi ＞0，yi ＞0，i ＝1，2），直线AP 的斜率为k （k ＞0）， 则直线AP 的方程为y ＝k (x +1)，联立方程组()22114y k x y x ⎧+⎪⎨+=⎪⎩＝，整理，得（4+k 2）x 2+2k 2x +k 2﹣4＝0，解得x ＝﹣1或2244k x k -=+，所以22244k x k -=+，同理联立直线AP 和双曲线可得，21244k x k +=-，所以x 1⋅x 2＝1．（3）由（2）1111(1,),(1,)PA x y PB x y =---=--， 因为10PA PB ⋅≤，所以()()21111110x x y ---+≤，即221111x y +≤，因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114411x x +-≤，即213x ≤，因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以11x ≤＜ 因为122211111222S AB y y S OB y y =⋅==⋅=，， 所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--． 由（2）知，x 1⋅x 2＝1，即211x x =， 设21t x =，则1＜t ≤3，则221245S S t t-=--．设f （t ）＝5﹣t 4t -=5﹣（t 4t+）≤5﹣4＝1， 当且仅当4t t=，即t ＝2时取等号， 结合对勾函数单调性知函数f （t ）在（1，2）上单调递增，在（2，3]上单调递减． 因为()()423531033f f =--==，，所以f (1)＜f (3)，所以2212S S 的取值范围为（0，1]．。

解析几何求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线〔如圆、椭圆、双曲线、抛物线〕的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标〔x ，y 〕表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f 〔t 〕， y ＝g 〔t 〕，进而通过消参化为轨迹的普通方程F 〔x ，y 〕＝0。

4. 代入法〔相关点法〕：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，〔该点坐标满足某已知曲线方程〕，则可以设出P 〔x ，y 〕，用〔x ，y 〕表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点〔含参数〕的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程〔假设能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程〕，该法经常与参数法并用。

一：用定义法求轨迹方程例1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为〔-4，0〕，〔4，0〕，C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。

例2： 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，假设b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。

双曲线双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。

双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。

双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。

一、双曲线的定义 ①双曲线的第一定义一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F 1和F 2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线。

取过两个定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。

设M(x ，y)为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a 。

将这个方程移项，两边平方得：两边再平方，整理得：()()22222222a c a y a x a c -=--由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设222b a c =- (b ＞0)，代入上式得：双曲线的标准方程：12222=-by a x两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。

两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。

坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。

实轴长、虚轴长、焦距间的关系：222b a c +=，②双曲线的第二定义与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：12222=-by a x ，我们将222b a c +=代入，可得：()ac ca x c x y =±±+22 所以有：双曲线的第二定义可描述为：平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0)的距离与到定直线l (ca x 2±=)的距离之比为常数()0ce c a a=>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。

高一数学平面直角坐标系中的基本公式及直线方程人教实验B 版【本讲教育信息】一、教学内容：平面直角坐标系中的基本公式及直线方程二、学习目标1、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、两点式和一般式，确定一条直线需要两个独立的已知量，并能根据条件熟练地求出直线方程或用待定系数法求出直线方程中的未知量。

2、在运用直线的斜率解题时，注意不要遗漏斜率不存在的情形。

三、知识要点1、在数轴上，设点A 的坐标为1x ，点B 的坐标为2x ，则AB=2x －1x 。

2、数轴上两点A ，B 的距离为d （A ，B ）=AB =12x x -3、计算A ),(11y x ，B ),(22y x 两点之间的距离公式 d （A ，B ）=AB =212212)()(y y x x -+-4、已知A ),(11y x ，B ),(22y x 。

则线段中点的坐标为221x x x +=，221y y y += 5、倾斜角：在平面直角坐标系中，把x 轴绕直线L 与x 轴的交点按逆时针方向旋转到和直线L 重合时所转的最小正角。

当直线L 和x 轴平行或重合时，我们规定直线L 的倾斜角为0°。

故倾斜角的X 围是[0，π)。

6、斜率：不是90°的倾斜角的正切值叫做直线的斜率，即k=tan α。

7、过两点P （x 1，y 1），P （x 2，y 2），（x 1≠x 2）的直线的斜率公式——k=tan α=1212x x y y --注意：除了一般式以外，每一种方程的形式都有其局限性。

【典型例题】例1、求满足下列条件的直线l 的方程：在y 轴上的截距为3-，且它与两坐标轴围成的三角形面积为6。

解：设直线l 的方程为13x y a +=-， 由题意得6|3||a |21=-⋅⋅，4a ∴=±。

当4a =时，直线l 的方程为143x y +=- 即34120x y --=。

专题08 直线和圆的方程（解答题）1．直角坐标系xOy 中，点A 坐标为()2,0-，点B 坐标为()4,3，点C 坐标为()1,3-，且()AM t AB t R =∈．（1）若CM AB ⊥，求t 的值；（2）当01t ≤≤时，求直线CM 的斜率k 的取值范围．2．已知ABC 的顶点()5,1A ，边AB 上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，边AC 上的高BH 所在直线方程为250x y --=，（1）求顶点C 的坐标；（2）求ABC 的面积．3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为3，宽为2，边,AB AD 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上，已知折痕所在直线的斜率为12-．（1）求折痕所在的直线方程；（2）若点P 为BC 的中点，求PEF 的面积．4．已知圆C 过点(4,2)A ，()1,3B ，它与x 轴的交点为()1,0x ，()2,0x ，与y 轴的交点为()10y ,，()20,y ，且12126x x y y +++=．（1）求圆C 的标准方程；（2）若(3,9)A --，直线:20l x y ++=，从点A 发出的一条光线经直线l 反射后与圆C 有交点，求反射光线所在的直线的斜率的取值范围．5．已知圆O 圆心为坐标原点，半径为43，直线l ：)4y x =+交x 轴负半轴于A 点，交y 轴正半轴于B 点（1）求BAO ∠（2）设圆O 与x 轴的两交点是1F ，2F ，若从1F 发出的光线经l 上的点M 反射后过点2F ，求光线从1F 射出经反射到2F 经过的路程；（3）点P 是x 轴负半轴上一点，从点P 发出的光线经l 反射后与圆O 相切．若光线从射出经反射到相切经过的路程最短，求点P 的坐标.6．一条光线从点()6,4P 射出，与x 轴相交于点()2,0Q ，经x 轴反射后与y 轴交于点H ． （1）求反射光线QH 所在直线的方程；（2）求P 点关于直线QH 的对称点P'的坐标．7．已知直线l ：()120kx y k k R -++=∈．（1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（3）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB ∆的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．8．已知直线1:3470l x y +-=与2:3480l x y ++=．（1）若()11,A x y 、()22,B x y 两点分别在直线1l 、2l 上运动，求AB 的中点D 到原点的最短距离；（2）若()2,3M ，直线l 过点M ，且被直线1l 、2l 截得的线段长为l 的方程． 9．已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=．（1）若直线l 过点(2,3)A 且被圆C 截得的弦长为l 的方程；（2）若直线l 过点(1,0)B 与圆C 相交于P ，Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值，并求此时直线l 的方程．10．（1）已知直线l 过点()3,4P -，若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l 的一般式方程；（2）已知直线l 过点()3,2P 且与x 轴，y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，求ABO 面积最小值及这时直线l 的一般式方程；（3）已知直线l 经过点()2,2P -，且与第一象限的平分线(0)y x x =≥，y 轴（原点除外）分别交于A ，B 两点，直线l ，射线(0)y x x =≥，y 轴围成的三角形OAB 的面积为12，则符合要求的直线共有几条，请说明理由．11．设集合L ={|l 直线l 与直线3y x =相交，且以交点的横坐标为斜率}．（1）是否存在直线0l 使0l L ∈，且0l 过点()1,5，若存在，请写出0l 的方程；若不存在，请说明理由；（3）设(0,)a ∈+∞，点()3,P a -与集合L 中的直线的距离最小值为()f a ，求()f a 的解析式．12．已知直线:20l x y --=和点(1,1),(1,1)A B -，（1）直线l 上是否存在点C ，使得ABC 为直角三角形，若存在，请求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由；（2）在直线l 上找一点P ，使得APB ∠最大，求出P 点的坐标．13．已知过点(,)P m n 的直线l 与直线:240l x y '++=垂直．（1） 若12m =，且点P 在函数11y x=-的图象上，求直线l 的一般式方程；14．已知直线1:21l y x =-，2:1l y x =-+的交点为P ，求（1）过点P 且与直线32y x =-+平行的直线l 的方程；（2）以点P 为圆心，且与直线3410x y ++=相交所得弦长为125的圆的方程． 15．（1）一条直线经过()2,3A -，并且它的斜率是直线y x =斜率的2倍，求这条直线方程； （2）求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程.16．求圆心在直线30x y -=上，与x 轴相切，被直线0x y -=截得的弦长的圆的方程.17．（1）求圆221:10C x y +=的切线方程，使得它经过点(2M （2）圆()()222:122C x y ++-=的切线在x y 、轴上截距相等，求切线方程 18．已知圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 交于两点()04A -，，()02B -， （1）求圆C 的标准方程（2）求圆C 上的点到直线210x y --=距离的最大值和最小值19．求圆221:10100C x y x y +--=与圆2226240C x y x y +-+-=：的公共弦长．20．已知圆22:414450C x y x y +--+=．（1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；（2）若直线7:2l y x =与圆C 相交于A B 、两点，求AB 的长； 21．已知圆1C 与y 轴相切于点()03，，圆心在经过点()2,1与点()2,3--的直线l 上 （1）求圆1C 的方程；（2）若圆1C 与圆2C ：226350x y x y +--+=相交于M 、N 两点，求两圆的公共弦MN的长．22．已知圆1C 过点1)-，且圆心在直线1y =，圆222:420C x y x y +-+=．（1）求圆1C 的标准方程；（2）求圆1C 与圆2C 的公共弦长；23．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点1,0,()(,2)1A B -．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点(0,2)P 的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，且||MN =l 的方程． 24．已知点(2,)P a （0a >）在圆C ：22(1)2x y -+=上．（1）求P 点的坐标；（2）求过P 点的圆C 的切线方程．25．已知直线1l ，2l 的方程分别为20x y -=，230x y -+=，且1l ，2l 的交点为P ． （1）求P 点坐标；（2）若直线l 过点P ，且与x ，y 轴正半轴围成的三角形面积为92，求直线l 的方程． 26．圆C 经过点()2,1A -，和直线1x y +=相切，且圆心在直线2y x =-上．（1）求圆C 的方程；（2）圆内有一点52,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求以该点为中点的弦所在的直线的方程． 27．ABC 中，(0,1)A ，AB 边上的高线方程为240x y +-=，AC 边上的中线方程为230x y +-=，求,,AB BC AC 边所在的直线方程.28．根据下列条件求直线方程：（1）已知直线过点(2,2)P -且与两坐标轴所围成的三角形的面积为1；（2）已知直线过两直线3210x y -+=和340x y ++=的交点，且垂直于直线340x y ++=．29．已知直线1:0l x y -=，2:230l x y +-=，3:240l ax y -+=．（1）若点P 在1l 上，且到直线2l 的距离为，求点P 的坐标；（2）若2l //3l ，求2l 与3l 的距离．30．如图，在ABC 中，(5,2)A -，(7,4)B ，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．（1）求点C 的坐标；（2）求ABC 的面积．31．已知点(5,1)A 关于x 轴的对称点为B ，关于原点的对称点为C ．（1）求ABC 中过AB ，BC 边上中点的直线方程；（2）求AC 边上高线所在的直线方程．32．已知直线1:10l ax y a +++=与22(:1)30l x a y +-+=．（1）当0a =时，求直线1l 与2l 的交点坐标；（2）若12l l ，求a 的值．33．已知直线l 的方程为210x y -+=．（1）求过点()3,2A ，且与直线l 垂直的直线1l 方程；（2）求过l 与1l 的交点B ，且倾斜角是直线l 的一半的直线2l 的方程．34．已知点(1,2),(1,4),(5,2)A B C -，求ABC ∆的边AB 上的中线所在的直线方程．35．已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5)A -，(2,1)B --，(4,3)C ．（1）求AB 边上的高线所在的直线方程；（2）求ABC ∆的面积．36．已知直线()():20l m n x m n y m n ++++-=及点()4,5P（1）证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标（2）当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程37．如图所示，在平行四边形OABC 中，点(1,3),(3,0)C A ．（1）求直线AB 的方程；（2）过点C 作CD AB ⊥于点D ，求直线CD 的方程．38．求适合下列条件的直线方程：（1）已知()2,3A -，()3,2B -，求线段AB 的垂直平分线的方程；（2）求经过点()2,3A -并且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程．39．已知ABC ∆的顶点()3,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为210x y --=，B ∠的角平分线BN 所在直线方程为20x y -=．（1）求顶点B 的坐标；（2）求直线BC 的方程．40．已知点(3,2)A ，直线l ：210x y ++=．（1）求直线l 关于点A 对称的直线方程；（2）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的重心坐标． 41．已知两个定点()0,4A ，()0,1B ，动点P 满足2PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4y kx =-．（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；42．已知圆C 经过点()31A ，和点()20B -，，且圆心C 在直线24y x =-上． （1）求圆C 的方程；（2）过点()14D -，的直线l 被圆C 截得的弦长为6，求直线l 的方程． 43．已知圆C ： ()2215x y +-=，直线:10.l mx y m -+-=（1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；（2）设直线l 与圆C 交于,A B 两点，若AB l 的方程．44．某高速公路隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成（如图所示）．已知隧道总宽度AD 为，行车道总宽度BC 为，侧墙面高EA ，FD 为2m ，弧顶高MN 为5m ．（1）建立适当的直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程．（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m ．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．45．已知圆1C 过点)，()1,1-，且圆心在直线1y =上，圆222:420C x y x y +-+=． （1）求圆1C 的标准方程；（2）求圆1C 与圆2C 的公共弦长；（3）求过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程．46．已知直线240x y +-=与圆224:20(0)C x y mx y m m+--=>相交于点M N 、，且||||OM ON =（O 为坐标原点）．（1）求圆C 的标准方程；（2）若(0,2)A ，点P Q 、分别是直线20x y ++=和圆C 上的动点，求||||PA PQ +的最小值及求得最小值时的点P 的坐标．47．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的方程为2230x y x y +-+=，点()1,1P 是圆C 上一点．（1）若M ，N 为圆C 上两点，若四边形MONP 的对角线MN 的方程为20x y m ++=，求四边形MONP 面积的最大值；（2）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B 两点，若直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且120k k +=，试判断直线AB 的斜率是否为定值，并说明理由．48．已知坐标平面上两个定点()0,4A ，()0,0O ，动点(),M x y 满足：3MA OM =． （1）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为C ，过点1,12N ⎛⎫-⎪⎝⎭的直线l 被C所截得的线段的长为直线l 的方程．49．如图，圆22():21M x y -+=，点(1,)P t -为直线:1l x =-上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为,A B ．（1）若1t =，求两条切线所在的直线方程；（2）求直线AB 的方程，并写出直线AB 所经过的定点的坐标；（3）若两条切线,PA PB 与y 轴分别交于S T 、两点，求ST 的最小值．50．已知动圆过定点(0,2)A ，且在x 轴上截得的弦长为4．（1）求动圆圆心M 的轨迹方程C ；（2）设不与x 轴垂直的直线l 与轨迹C 交手不同两点()11,P x y ，()22,Q x y ．若12112+=x x ，求证：直线l 过定点．51．如图，已知圆22:(4)4M x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 是直线l 上一动点，过点P 作圆的切线PA ､PB ，切点为A ､B ．（1）当P 的横坐标为165时，求APB ∠的大小； （2）求证：经过A ､P ､M 三点的圆N 必过定点，并求出所有定点的坐标．52．圆C ：22(3)1x y +-=，点(,0)P t 为x 轴上一动点，过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ．（1）若1t =，求切线和直线MN 的方程；（2）若两条切线PM ，PN 与直线1y =分别交于A ，B 两点，求ABC 面积的最小值．53．已知两个定点A （0，4），B （0，1），动点P 满足|P A |＝2|PB |，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：y ＝kx ﹣4．（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；（3）若k ＝1，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由．54．已知ABC 的顶点()45A AB -，，边上的中线CM 所在直线方程为450x y AC --=，边上的高BH 所在直线方程为410x y --=，求：（1）顶点C 的坐标；（2）直线BC 的方程．55．已知三角形的三个顶点()2,0A -，()4,4B -，()0,2C ．（1）求线段BC 的垂直平分线所在直线方程；（2）求过AB 边上的高所在的直线方程；56．已知直线l 过点P (2，3)且与定直线l 0：y =2x 在第一象限内交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，记AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，点B (a ，0)．（1）求实数a 的取值范围；（2）求当S 取得最小值时，直线l 的方程．57．在平面直角坐标系xOy 中，已知点,,P B C 坐标分别为0,12,(),(),0(0,2)，E 为线段BC 上一点，直线EP 与x 轴负半轴交于点A ，直线BP 与AC 交于点D ．（1）当E 点坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭时，求直线OD 的方程； （2）求BOE △与ABE △面积之和S 的最小值．58．已知()()221340m x m y m -++++=.（1）m 为何值时，点Q (3，4)到直线距离最大，最大值为多少；（2）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于AB 两点，求三角形AOB 面积的最小值及此时直线的方程．59．已知ABC 的三边所在直线的方程分别是43100AB l x y -+=：，2BC l y =：，345CA l x y -=：．（1）求与AB 边平行的中位线方程；（2）求AB 边上的高所在直线的方程．60．已知ABC 的三个顶点为()4,0A ，()0,2B ，()2,6C ．（1）求AC 边上的高BD 所在直线的方程；（2）求ABC 的外接圆的方程．61．已知直线l 经过点()2,3P -．（1）若原点到直线l 的距离为2，求直线l 的方程；（2）若直线l 被两条相交直线220x y --=和30x y ++=所截得的线段恰被点P 平分，求直线l 的方程．62．直线l 1过点A (0，1)， l 2过点B (5，0)， l 1∥l 2且l 1与l 2的距离为5，求直线l 1与l 2的一般式方程．63．已知ABC ∆的三个顶点(4,6)A -，(4,0)B -，(1,4)C -，求：（1）AC 边上的高BD 所在直线的方程；（2）BC 的垂直平分线EF 所在直线的方程；（3）AB 边的中线的方程．64．已知圆C ：()()221+11x y --= （1）求过点A ()24，且与圆C 相切的直线方程．（2）若(),P x y 为圆C 上的任意一点，求()()2223x y +++的取值范围． 65．已知ABC 中，顶点()4,5A ，点B 在直线:220l x y -+=上，点C 在x 轴上，求ABC 周长的最小值．66．已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -．（1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标． 67．已知圆22:(4)1M x y +-=，直线:20l x y -=，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ．（1）若60APB ∠=，求P 点坐标；（2）若点P 的坐标为(1,2)，过P 作直线与圆M 交于C 、D 两点，当CD =线CD 的方程；（3）求证：经过A 、P 、M 三点的圆与圆M 的公共弦必过定点，并求出定点的坐标． 68．已知直线l 经过点(6,4)P ，斜率为k（1）若l 的纵截距是横截距的两倍，求直线l 的方程；（2）若1k =-，一条光线从点(6,0)M 出发，遇到直线l 反射，反射光线遇到y 轴再次反射回点M ，求光线所经过的路程．69．已知圆22:1O x y +=，圆()()221:231O x y -+-=过1O 作圆O 的切线，切点为T （T 在第二象限）．（1）求1OO T ∠的正弦值；（2）已知点(),P a b ，过P 点分别作两圆切线，若切线长相等，求,a b 关系；70．圆C ：22(3)1x y +-=，点(,0)P t 为x 轴上一动点，过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ．（1）若1t =，求切线方程；（2）若两条切线PM ，PN 与直线1y =分别交于A ，B 两点，求ABC 面积的最小值．71．已知圆C 轨迹方程为()22225x y -+=（1）设点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点M 作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若8AB =，求直线l 的方程；（2）设P 是直线60x y ++=上的点，过P 点作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ．求证：经过A ，P ，C 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．。

两点垂直平分线方程引言在平面几何中，我们经常需要求解两点之间的垂直平分线方程。

垂直平分线是指将两点之间的线段垂直地平分为两段相等的线段的直线。

本文将详细讨论如何求解两点垂直平分线方程，并给出具体的步骤和示例。

什么是垂直平分线垂直平分线是指将两点之间的线段垂直地平分为两段相等的线段的直线。

在二维平面上，垂直平分线是一条通过两点中点并与连接两点的线段垂直的直线。

具体而言，垂直平分线满足以下两个条件： - 通过两点的中点； - 垂直于连接两点的线段。

求解垂直平分线方程的步骤要求解两点之间的垂直平分线方程，我们可以按照以下步骤进行：步骤1：确定两点的坐标首先，我们需要确定两点的坐标。

假设两点分别为P(x1, y1)和Q(x2, y2)。

步骤2：求解两点的中点坐标通过计算两点的坐标平均值，我们可以得到两点的中点坐标。

中点的横坐标为(x1 + x2) / 2，纵坐标为(y1 + y2) / 2。

步骤3：计算连接两点的线段的斜率利用两点的坐标，我们可以计算连接两点的线段的斜率。

斜率的计算公式为：斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)步骤4：计算垂直平分线的斜率由于垂直平分线与连接两点的线段垂直，所以垂直平分线的斜率是连接两点的线段斜率的相反数的倒数。

计算垂直平分线的斜率公式为：垂直平分线的斜率 = -1 / 斜率步骤5：求解垂直平分线的方程已知垂直平分线过两点的中点，且垂直平分线的斜率已知，我们可以使用点斜式方程求解垂直平分线的方程。

点斜式方程的一般形式为：y - y1 = m(x - x1)其中，m为垂直平分线的斜率，(x1, y1)为垂直平分线过的点。

示例假设我们需要求解连接点P(2, 4)和点Q(6, 8)的垂直平分线方程。

步骤1：确定两点的坐标点P的坐标为(2, 4)，点Q的坐标为(6, 8)。

步骤2：求解两点的中点坐标两点的中点坐标为((2 + 6) / 2, (4 + 8) / 2) = (4, 6)。

专题:解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展【问题提出】1.无论k 取任何实数，直线(1 +4k)x-(2 -3k)y+(2 -14k) =0必经过一个定点，则这个定点的坐标为2.已知直线丨：2ax +by-a +b =0 ；圆C : x 2 + y 2 - 2x-1 = 0 ,则直线I 与圆C 的位置关系为=1(a >■ b A 0)，点A,F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是圆PA 若 ——为常数，则椭圆的离心率为PF过点(1, 0).若对任意的实数 m ,定直线 l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线 I 的方程为.2x + y — 2= 0【探究拓展】2探究1：已知F 1、F 2分别为椭圆 G ：詁+詁=1(a Ab 》。

)的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 2：x 2=4y 的5焦点，点M是C 1与C 2在第二象限的交点，且阿七.(1) 求椭圆C 1的方程.(2)已知点P(1,3)和圆O ：X 2 +y 2 =b 2,过点P 的动直线I 与圆0相交于不同的两点 A,B ,在线段AB 上取一 点Q ,满足：AP = -A P B ,瓷=Z QB ,( A H 0且A H ±1).求证：点Q 总在某定直线上.4.平面直角坐标系 xOy 中,已知圆C ： x 2+ y 2— (6 — 2m)x — 4my + 5m 2— 6m = 0,直线 I 经 2 2x y3.已知椭圆C : —2 + —2a b2 2 2 O : x + y =b 上的动点,1 4变式1 :在平面直角坐标系 xOy 中，已知定点A( — 4,0)、B(4,0),动点P 与A 、B 两点连线的斜率之积为①求O M 的方程;直线AF i , AF 2分别交椭圆于点 (1 )求证直线BO 平分线段AC ;(2) 设点P (m , n ) ( m , n 为常数)在直线BO 上且在椭圆外，过P 的动直线(1)求点 p 的轨迹方程;(2)设点 P 的轨迹与y 轴负半轴交于点 C.半径为r 的圆M 的圆心M 在线段 AC 的垂直平分线上，且在 y轴右侧，圆 M 被y 轴截得的弦长为a②当r 变化时，是否存在定直线 I 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线I 的方程；如果不存在，说明理由.2 2X y 变式2 :已知椭圆E : —2 + a b= 1(a Ab >0)的离心率为 弓3 ,它的上顶点为A ,左、右焦点分别为F 1,F 2 ,MP N ,在线段MN 上取点Q ,满足—PN=器，试证明点Q 恒在一定直线上.B ,C .I 与椭圆交于两个不同点 M ,P探究2:平面直角坐标系xoy 中，圆G：(x + 3)2+(y -1)2=4和圆C2：(X-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线I过点A(4,0)，且被圆C I截得的弦长为2J3，求直线I的方程;(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线|1和|2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线|1被圆C1截得的弦长与直线12被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.-- ----------- ►A H变式1：在直角坐标系xOy中，点M到点F i(-J3,0)，F2(J3,O)的距离之和为4，点M的轨迹是C，与x轴的负半轴交于点A，轨迹C上有不同的两点P和Q，且AP-AQ-O(1)求轨迹C的方程;(2)直线PQ是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点？若不过定点，请说明理由.变式2:已知圆C:x2+y2=9，点A(—5,0)，直线l :x-2y = 0.(1)求与圆C相切，且与直线I垂直的直线方程;PB (2)在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B (不同于点A),满足：对于圆C上任一点P ,都有——PA 为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标.变式3 :在平面直角坐标系xOy中，已知直线1: 2岳—y+ 3+ 8返=0和圆C1: x2+ y2+ 8x + F= 0.若直线I被圆C i截得的弦长为2j3 .设圆C i和x轴相交于A, B两点，点P为圆C i上不同于A, B的任意一点，直线FA, PB交y轴于M, N两点.当点P变化时，以MN为直径的圆C?是否经过圆C1内一定点?请证明你的结论;变式4:如图，椭圆的中心为原点 O ,离心率e =¥，—条准线的方程为x = 2{2.(1)求该椭圆的标准方程; (2)设动点P 满足：O P = OM + 2ON ，其中M , N 是椭圆上的点，直线 0M 与ON 的斜率之积为一2,问: 是否存在两个定点 F i , F 2，使得|PFJ +|PF 2I 为定值？若存在，求出 F i , F 2的坐标；若不存在，说明理由.5:已知左焦点为F(— 1 , 0)的椭圆过点E(1 , 亜).过点P(1 , 1)分别作斜率为k i , k 2的椭圆的动弦 3 CD ，设M , N 分别为线段AB , CD 的中点. 求椭圆的标准方程； 若P 为线段AB 的中点，求k i ；若k i + k 2=1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.变式 AB ,2 2 X y探究 3 :已知椭圆p +笃=1（a；＞bA0）的左顶点为a b+ y2+ J3x -3y -6 = 0过A, F2两点求椭圆标准的方程; A，左、右焦点分别为F1,F2，且圆X2(2) 设直线PF2的倾斜角为a,直线PF1的倾斜角为3,当a,3- a= I n时证明：点P在一定圆上;3变式设椭圆的上顶点为Q,在满足条件（2）的情形下证明: PQ = PF i + PF2 .1:在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（X—1）2+ y2= 4, P为圆C上一点•若存在一个定圆过P作圆M的两条切线PA, PB,切点分别为A, B，当P在圆C上运动时，使得/ APB恒为60。

2020级高二数学（Ⅰ）寒假拓展性课程（一）一、知识与方法梳理 1、双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M ||| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0. (1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在． 2、双曲线的标准方程和几何性质p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离O (0,0)4、与焦点弦有关的常用结论设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切．(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． 5、与抛物线有关的经典结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)1|F A |＋1|FB |＝2p； (4)以弦AB 为直径的圆与准线相切； (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．二、例题解析例1．已知椭圆C 与双曲线2212y x -=有公共焦点，且右顶点为()2,0N ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于不同的A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），若以AB 为直径的圆经过点N ．求证：直线过定点，并求出定点． 【答案】（1）2214x y +=；（2）证明过程见解析，定点为6(,0)5.【分析】（1）根据双曲线的焦点和椭圆的右顶点的定义进行求解即可；（2）根据圆直径的性质，结合一元二次方程根与系数的关系、平面向量数量积的性质和坐标表示公式进行求解即可. （1）双曲线2212y x -=，3,0)，椭圆的右顶点为()2,0N ， 设椭圆的标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，所以2222,431a c b a c ===-=-=，因此椭圆的标准方程为：2214x y +=；（2）直线l 方程与椭圆方程联立， 得222221(14)84404x y k x kmx m y kx m ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩，设1122(,),(,)A x y B x y ， 于是有：22222(8)4(14)(44)041km k m m k ∆=-+->⇒<+，2121222844,1414km m x x x x k k-+=-=++， 因为以AB 为直径的圆经过点N ，所以()()()()1122121202,2,0220NA NB NA NB x y x y x x y y ⊥⇒⋅=⇒--=⇒--+=， 即12121242()()()0x x x x kx m kx m -+++++=，化简得：221212(1)(2)()40k x x km x x m ++-+++=，而2121222844,1414km m x x x x k k-+=-=++， 所以有：22222448(1)(2)401414m kmk km m k k-+⋅--⋅++=++，化简得： 226516120(56)(2)05m km k m k m k m k ++=⇒++=⇒=-或 2m k =-，显然满足2241m k <+，当2m k =-时，2(2)y kx m y kx k y k x =+⇒=-⇒=-，此时直线l 过椭圆的右顶点不符合题意；当65m k =-时，66()55y kx m y kx k y k x =+⇒=-⇒=-，此时直线l 恒过点6(,0)5，综上所述：直线过定点，定点为6(,0)5.【点睛】关键点睛：利用圆直径的性质，结合平面向量垂直的坐标运算公式是解题的关键.例2．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点0(,4)M x 在C 上，且52p MF =．（1）求点M 的坐标及C 的方程；（2）设动直线l 与C 相交于,A B 两点，且直线MA 与MB 的斜率互为倒数，试问直线l 是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．（1）M 的坐标为()4,4，C 的方程为24y x =；（2）直线l 过定点()0,4-. 【分析】(1)利用抛物线定义求出0x ，进而求出p 值即可得解.(2)设出直线l 的方程x my n =+，再联立直线l 与抛物线C 的方程，借助韦达定理探求出m 与n 的关系即可作答. （1）抛物线2:2C y px =的准线：2px =-，于是得0522p p MF x =+=，解得02x p =，而点M 在C 上，即2164p =，解得2p =±，又0p >，则2p =，所以M 的坐标为()4,4，C 的方程为24y x =. （2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为x my n =+， 由24x my n y x=+⎧⎨=⎩消去x 并整理得：2440y my n --=，则()2160m n ∆=+>，124y y m +=，124y y n =-， 因此，121222121212444444144444444MA MB y y y y k k y y x x y y ----⋅=⋅=⋅=⋅=--++--， 化简得()121240y y y y ++=，即4n m =，代入l 方程得4x my m =+，即()40x m y -+=，则直线l 过定点()0,4-， 所以直线l 过定点()0,4-. 【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线相交，直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题. 三、巩固练习 (一)、选择题：1．已知圆C ：()2228x y ++=，O 为坐标原点，点A （2，0），点B 是圆C 上一动点，若线段AB 的中垂线与直线BC 相交于点D ，在点D 的轨迹上任取一点S ，过点S 作直线y =x 的垂线，垂足为N ，则△SON 的面积为（ ）A ．12 BCD【答案】A 【分析】首先根据双曲线的定义可得点D 的轨迹方程为x 2-y 2=2，然后设S （p ，q ），可得N 的坐标为,22p q p q ++⎛⎫⎪⎝⎭，然后可得|||,||ON p q SN +SNO S . 【详解】点A 在圆C外，此时有||||||||DA DC CB r CA -===， 点D 的轨迹是以C ，A 为焦点的双曲线，点D 的轨迹方程为x 2-y 2=2，设S （p ，q ），则p 2-q 2=2，直线SN 的方程为()y q x p -=--，它与直线y =x 的交点N 的坐标为,22p q p q ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以||||,||ON p q SN =+=2211||||242SNO p q S ON SN -=⨯⋅==，故选：A2．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 的直线l 与双曲线C 的左支相交于A ，B 两点．若线段1AF 的垂直平分线经过2F ，且1132BF AF =，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC ．43D ．75【答案】D设122F F c =，线段1AF 中点为H ，根据题意可得212AF F F =，2F H AB ⊥，分别求出22,,,AF AH BF BH ，再根据2F H 为两个直角三角形的公共边，构造齐次式，从而可得出答案.【详解】解：设122F F c =，因为线段1AF 的垂直平分线经过2F ，所以2122AF F F c ==，则由双曲线的定义知122AF c a =-， 因为1132BF AF =，所以()11332AF B c a F ==-，所以2123BF a BF c a =+=-， 设线段1AF 中点为H ，则2F H AB ⊥，AH c a =-，()4BH c a =-， 则222222AF AH BF BH -=-，即()()()22224316c c a c a c a --=---， 整理得2251270c ac a -+=，等式两边同除以2a 得251270e e -+=，解得75e =或1e =（舍去）. 故选：D ．3．矿山爆破时，在爆破点处炸开的矿石的运动轨迹可看作是不同的抛物线，根据地质、炸药等因素可以算出这些抛物线的范围，这个范围的边界可以看作一条抛物线，叫“安全抛物线”，如图所示．已知某次矿山爆破时的安全抛物线()2:240E x py p =-+>的焦点为3(0,)2F -，则这次爆破时，矿石落点的最远处到点F 的距离为（ ）A ．32B ．2 C．D ．52【答案】D 【分析】根据给定条件求出抛物线E 的顶点，结合抛物线的性质求出p 值即可计算作答. 【详解】依题意，抛物线E 的顶点坐标为2(0,)p，则抛物线的顶点到焦点F 的距离为2322p p =+，p >0，解得4p =，于是得抛物线E 的方程为284x y =-+，由0y =得，2x =±，即抛物线E 与x 轴的交点坐标为()2,0M ±，因此，5||2MF =， 所以矿石落点的最远处到点F 的距离为52.故选：D 4．如图，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 与C 相交于A ，B 两点，l 与y 轴相交于E 点．已知||7,||3AF BF ==，记AEF 的面积为1,S BEF 的面积为2S ，则（ ）A ．122S S =B ．1223S S =C ．123S S =D ．1234S S = 【答案】C 【分析】分别过点A ，B 作y 轴的垂线，垂足为11,A B ，利用三角形相似结合抛物线的定义求解. 【详解】解：抛物线C 的准线方程为1x =-，分别过点A ，B 作y 轴的垂线，垂足为11,A B ，则11211||||||171231||||131||2AE h AA S AE AF S BE BB BF BE h ⋅--======--⋅， 所以123S S =. 故选：C ．5．已知F 是抛物线C ：22y px =()0p >的焦点，直线l 与抛物线C 相交于P ，Q 两点，满足23PFQ π∠=，记线段PQ 的中点A 到抛物线C 的准线的距离为d ，则dPQ的最大值为（ ） A ．3 BCD ．13【答案】C 【分析】设||,||PF m QF n ==，过点P ，Q 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为','P Q ，进而得|'|'22PP QQ m nd ++==，再结合余弦定理得222||PQ m n mn =++，进而根据基本不等式求解得22111||34(1)4d PQ ≤=⨯-. 【详解】解：设||,||PF m QF n ==，过点P ，Q 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为','P Q ， 则','PP m QQ n ==，因为点A 为线段PQ 的中点，所以根据梯形中位线定理得点A 到抛物线C 的准线的距离为|'|'22PP QQ m nd ++==， 因为23PFQ π∠=， 所以在PFQ △中，由余弦定理得222222||2cos3PQ m n mn m n mn π=+-=++， 所以22222222()()1||4()4()41()d m n m n PQ m n mn mn m n mn m n ++===++⎡⎤⎡⎤+-⎣⎦-⎢⎥+⎣⎦，又因为2()4m n mn +≥，所以21()4mn m n ≤+，当且仅当m n =时等号成立， 所以22111||34(1)4d PQ ≤=⨯-，故d PQ ≤所以d PQ故选：C 【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设||,||PF m QF n ==，进而结合抛物线的定于与余弦定理得2m nd +=， 222||PQ m n mn =++，再求最值.6．抛物线1C ：()220x py p =>与双曲线2C ：223x y λ-=有一个公共焦点F ，过2C上一点()4P 向1C 作两条切线，切点分别为A 、B ，则AF BF ⋅=（ ） A ．49 B ．68 C ．32 D ．52 【答案】A 【分析】将P 坐标代入双曲线方程求得双曲线的方程，进一步求得抛物线的方程中的参数p ,利用导数几何意义求得两切线的方程，利用韦达定理求得两根之和，两根之积，利用抛物线的定义，将A ,B 到焦点的距离转化为到准线的距离，表示为A ,B 的纵坐标的关系式，求得|AF ||BF |关于A ,B 纵坐标的表达式. 【详解】由P 在双曲线上，将P点坐标代入双曲线的方程，(22343λ=-⨯=-，∴双曲线的方程为2213x y -=，双曲线的焦点在y 轴上，221,3,a b ==∴2224c a b =+=,∴2c =,双曲线的焦点坐标为()0,2,抛物线22x py =的焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭,∵抛物线与双曲线的焦点重合，∴22p=，∴抛物线的准线为2y =-，4p =，抛物线的方程为28x y =,即218y x =,14y x '=,设()()1122,,,A x y B x y ,切线PA ,PB 的斜率分别为1211,44x x ,切线方程分别为()()11122211,,44y y x x x y y x x x -=--=-将P 的坐标及21118y x =,22218y x =代入，并整理得211320x -+=,222320x -+=, 可得12,x x为方程2320x -+=的两个实数根，由韦达定理得121232,x x x x =+=()()()()222221212121211112222488644AF BF y y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=()()(222212121211112432232449644644x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++-+=⨯+-⨯+=⎢⎥⎣⎦⎣⎦,故选:A . 【点睛】本题考查双曲线与抛物线的方程和性质，考查利用导数研究切线问题，关键是设而不求思想和韦达定理的灵活运用.7．设12,F F 是双曲线224x y -=的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，过1F 作12F PF ∠平分线的垂线，垂足为M ，则点M到直线0x y +-的距离的最大值是（ ）. A ．4 B ．5 C ．6 D ．3 【答案】A 【分析】根据双曲线的对称性，不妨设点P 在双曲线的右支上，延长1F M 交2PF 于N ，进而得到1||||PF PN =，结合双曲线的定义可知24NF =，设()00,M x y ，根据题意得到点N 的坐标，于是得到点M 的轨迹方程，最后求得答案. 【详解】双曲线的方程为：22144x y -=，可得28c c =⇒=()()12,F F -，设()00,M x y ，不妨设点P 在双曲线的右支上，延长1F M 交2PF 于N，则()002N x y +.由题意，1||||PF PN =，由双曲线的定义：12||||24PF PF a -==，则24NF =，于是，220044x y =⇒+=，即点M 在以原点为圆心，2为半径的圆上，而圆心（0,0）到直线0x y +-2=，该直线与圆相切，则点M 到该直线的距离的最大值为：2+2=4. 故选：A.8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，过1F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一渐近线交于点B ，若113F B AF =，则C 的离心率为（） ABC D ．2【答案】B 【分析】根据题意设出直线AB 的方程，然后分别联立直线方程求解出,A B 坐标，根据向量共线对应的纵坐标关系求解出,a c 的关系，则离心率可求. 【详解】不妨设过1F 的直线AB 与b y x a =-垂直，所以():aAB y x c b=+，因为()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以2a x c ab yc ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2,a ab A c c⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以22222a c xb a abc y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，所以22222,a c abc B b a b a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 又因为113F B AF =，所以3B A y y =-，所以223abc abbc=-⋅，所以()2223a b c -=，所以2232a c =，所以e =故选：B. 【点睛】方法点睛：求解双曲线离心率的值或范围的常用方法：（1）根据双曲线的方程直接求解出,a c 的值，从而求解出离心率；（2）构造关于,a c 的齐次方程，求解出ca的值，从而离心率可知；（3）根据离心率的定义以及双曲线的定义求解离心率；（4）利用双曲线及图形的几何性质构建关于e 的不等式，从而e 的范围可求.9．（多选题）已知双曲线C 的方程为221,,916x y A B -=两点分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 上任意一点（与,A B 两点不重合），记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，则（ ） A ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为4B ．若双曲线C 的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度(0)m m >，则离心率变大 C ．12k k ⋅为定值D ．存在实数t 使得直线53y x t =+与双曲线左，右两支各有一个交点【答案】AC 【分析】A 选项，求出渐近线方程，利用点到直线距离公式求出焦点到渐近线距离；B 选项，把实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度(0)m m >后的离心率和变化前的离心率均求出来，用作差法进行比较即可；C 选项，求出1k ，2k 相乘是否是定值；D 选项，把直线斜率与渐近线斜率相比，数形结合得到结果. 【详解】对于A ，因为双曲线C 的一个焦点()5,0F ，渐近线方程化为430x y ±=，∴焦点F 到渐近线的距离为4d ==，故A 正确；对于B ，双曲线C 的离心率53e =，若C 的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度(0)m m >，则离心率5e 3c m ma m m ++'==++，又()()()()3553552e e 0333333m m m m m m m +-++-'-=-==<+++，所以e e '<，即离心率变小，故B 错误； 对于选项C ，()()()3,0,3,0,,A B P x y - 12,33y y k k x x ==+-，2122339y y y k k x x x ∴⋅=⋅=+--，又点P 在双曲线上， 221916x y ∴-=， ()22216916199x x y -⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，()2212216916999x y k k x -∴⋅=⋅=-（定值），故C 正确； 对于D ，双曲线C 的渐近线方程为43y x =±，5433>.根据双曲线图象可知直线53y x t =+若与双曲线C 有两个交点，这两个交点必在双曲线的同一支上，故D 错误； 故选：AC10．（多选题）已知P 为抛物线C ：()220y px p =>上的动点，()4,4Q -在抛物线C 上，过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，()3,2M -，()1,1N -，则（ ） A ．PM PF +的最小值为4B ．若线段AB 的中点为M ，则NAB △C ．若NA NB ⊥，则直线l 的斜率为2D ．过点()1,2E 作两条直线与抛物线C 分别交于点G ，H ，且满足EF 平分GEH ∠，则直线GH 的斜率为定值 【答案】ACD 【分析】先求出抛物线的方程24y x =，利用抛物线的定义转化即可求出最小值可判断A ；由直线与抛物线相交的弦长公式及点到直线的距离公式即可判断B ；设直线l ：1x my =+，与抛物线的方程联立，结合韦达定理及0NA NB ⋅=即可判断C ；将已知转化为0EG EH k k +=结合两点连线的斜率公式即可得判断D. 【详解】由()4,4Q -在抛物线C 上，得2p =，抛物线C 的方程为24y x =，()1,0F ． 对于A ，过点P 作抛物线的准线1x =-的垂线PD ，垂足为D ， 由抛物线的定义知PM PF PM PD DM +=+≥，即M ，P ，D 三点共线时，PM PF +取得最小值，为314+=，故A 正确． 对于B ，因为()3,2M -为AB 的中点，所以6A B x x +=，28A B AB x x =++=， 求得直线l 的方程为1y x =-+，则点N 到直线l的距离d ==则12NAB S AB d =⋅=△B 错误； 对于C ，易知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1x my =+，代入24y x =，得2440y my --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，124y y =-，()()11111,12,1NA x y my y =+-=+-，同理可得()222,1NB my y =+-，所以()()()()12122211NA NB my my y y ⋅=+++--()()()212121215m y y m y y =++-++()()()222414215441210m m m m m m =-++-+=-+=-=，解得12m =，所以直线l 的斜率为12m=，故C 正确．对于D ，易知点()1,2E 在抛物线上且EF x ⊥轴．设233,4y G y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4y H y ⎛⎫⎪⎝⎭．易知直线EG ，EH 的斜率存在，323324214EG y k y y -==+-，同理442EH k y =+． 因为EF 平分GEH ∠，EF x ⊥轴，所以0EG EH k k +=，即3444022y y +=++， 直线34220y y +++=，所以344y y +=-，直线GH 的斜率342234344144y y k y y y y -===-+-为定值，故D 正确． 故选：ACD(二) 、填空题11．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，若B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．【答案】4【分析】根据抛物线的定义知|PB |＋|PF |可转化为P 到准线的距离与|PB |的和，结合图象即可求解.【详解】过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，如图，则|P 1Q |＝|P 1F |．则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4.故答案为：412．已知抛物线：()220y px p => ，焦点为F ，若A B 、在抛物线上且在第一象限，2,4,AF BF ==3AB =，求直线AB 的斜率为________．【分析】设AB 的斜率为k ，根据抛物线的定义以及弦长公式建立方程即可求解.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y 则由于AB 的斜率存在，设AB 的斜率为k ．,A B ，都在x 轴上方，由题意知0k >， 由抛物线定义12,22pp AF x BF x =+=+ 则112222242p x x x p x ⎧+=⎪⎪⇒-=⎨⎪+=⎪⎩，由弦长公式12A B x =-所以12332AB x k -=⇒13．双曲线()22:10,0C mx ny m n -=>>的虚轴长为1，两条渐近线方程为y =，双曲线C 上有两个点D 、E ，直线OD 和OE 的斜率之积为1，则2211OE OD+=_________. 【答案】8【分析】根据已知条件求得双曲线C 的方程为221241x y -=，设直线OD 的方程为y kx =，其中k ≠且k ≠0k ≠，将直线OD 的方程与双曲线C 的方程联立，求得2OD ，进一步可得出2OE ，由此可求得结果.【详解】由题意可知，双曲线C 的焦点在x 轴上，且21b =，则1b =， 该双曲线的渐近线方程为b y x a =±=，则a ==， 所以，双曲线C的方程为22111124x y -=，即221241x y -=. 设直线OD 的方程为y kx =，其中k ≠k ≠0k ≠， 联立221241y kx x y =⎧⎨-=⎩，可得221124D x k =-， 所以，()2222211124D k OD k x k +=+=-，则22222111412412k k OE k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--， 因此，222221112412481k k k OE OD -+-+==+. 故答案为：8.14．已知双曲线E ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过原点的直线与E 的左、右两支分别交于B ，A 两点，直线2AF 交双曲线E 于另一点C （A ，C 在2F 的两侧）.若222F C AF =，且260BF C ∠=，则双曲线E 的渐近线方程为______. 【答案】y = 【分析】连接1AF ，1BF ，1CF ，由双曲线的对称性得四边形12AF BF 是平行四边形，令12AF F B m ==，2AF n =，则22CF n =，结合双曲线的定义可得122CF a n =+，在1F AC △中，由余弦定理可得,m n 的关系，得到,m n 与a 的关系，进而在12F AF 中利用余弦定理可得,a c 的关系，进而求解. 【详解】 连接1AF ，1BF ，1CF ，如图所示：由双曲线的对称性得四边形12AF BF 是平行四边形，所以21AF F B =，令12AF F B m ==，2AF n =，22CF n =，由双曲线的定义，得12122CF CF AF AF a -=-=，所以122CF a n =+，在1F AC △中，由260BF C ∠=及余弦定理得： ()2221923222n m n n m a -⨯⨯=++， 代入2a m n =-化简可得85m n =，又2a m n =-得103n a =，163m a =. 在12F AF 中，2222cos604m n m n c +-⋅⋅=， 即2219649a c =，可得73c a =， ∴73c a =，b =， 所以E的渐近线方程为y =.故答案为：y = 【点睛】本题考查双曲线的几何性质和渐近线，涉及余弦定理的运用，双曲线的定义的运用，关键是利用双曲线的对称性，定义，和余弦定理得到,a c 的关系.属中档题.(三)、解答题15．设双曲线22221x y a b-=，其虚轴长为（1）求双曲线C 的方程；（2）过点()3,1P 的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点A 、B ，在线段AB 上取点M 使得AM AP MB PB =，证明：点M 落在某一定直线上．【答案】（1）22212y x -= （2）证明见解析【分析】（1）依题意可得2b，c a =222+c a b ，即可求出22,a b ，即可得解；（2）设点M ，A ，B 的坐标分别为(),x y ，()11,x y ，()22,x y ，且123x x <<，依题意可得112233x x x x x x--=---，设直线l 的方程为()13y k x -=-，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，代入整理即可得解；（1） 解：设双曲线22221x y a b-=，其虚轴长为∴2b =，c e a=∵222c a b =+， ∴22b =，212a =，∴双曲线C 的方程为22212y x -=． （2）解：设点M ，A ，B 的坐标分别为(),x y ，()11,x y ，()22,x y ，且123x x <<， ∵AM AP MB PB=，∴112233x x x x x x --=---， 即()()121212632x x x x x x x -+=+-⎡⎤⎣⎦，①设直线l 的方程为()13y k x -=-，②将②代入22212y x -=中整理，得()()22224629630k x k k x k k -+--+-=， ∴2122264k k x x k -+=-，21229634k k x x k -+-=-，代入①， 整理可得，得()1233x k x -=-，联立②消k 得，1220x y --=∴点M 落在某一定直线1220x y --=上．16．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线2x y =有一个公共焦点且经过点P ⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程及其离心率；（2）直线:l y kx t =+与椭圆C 相交于M ，N 两点，O 为原点，是否存在点R 满足1OR =，0OR MR NR ++=，若存在，求出t 的取值范围，若不存在，请说明理由【答案】（1）22:14x C y +=，e =（2）存在，t <或t >. 【分析】（1）由题意，椭圆的c =P ⎛ ⎝⎭，联立即得解2a =，1b =，再由c e a =即可得离心率； （2）由题意，R 为OMN 的重心，将直线与椭圆联立，借助韦达定理可得 ()()2282,341341tk t R k k ⎛⎫ ⎪- ⎪++⎝⎭，且R 在圆221x y +=上，代入可得 ()()2222914344141t k k =⋅-++，由0∆>可得，2241t k <+，代入可得2528k >，结合k 的范围可得解. 【详解】（1）由题意，抛物线的标准方程为2y =-，∴抛物线焦点坐标为(即在椭圆中c =223a b -=，将点P ⎛ ⎝⎭代入曲线C 的方程， 得221314a b+= 由0a b >>得24a =，2a ∴=，1b =，则椭圆C 的方程为22:1x C y += 则椭圆的离心率c e a ==（2）存在符合要求的点R .直线:l y kx t =+与椭圆C 相交于M ，N 两点，联立方程2214x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222418440k x tkx t +++-= 设M ，N 两点坐标为()11,M x y ，()22,N x y ，则122841tk x x k +=-+，122241t y y k +=+ ()()()222222641614116410k t t k k t ∆=--+=+->，得2241t k <+∵点R 满足0OR MR NR ++=且||1OR =，OMN ∴的重心R 在圆221x y +=上,33O M N O M N R R x x x y y y x y ++++== ()()2282,341341tk t R k k ⎛⎫ ⎪∴- ⎪++⎝⎭， ()()22222226441941941t k t k k ∴+=++，即()22224194161k t k +=⋅+， 2241t k <+， ()()2222941414161k k k +∴<++，即()()229414161k k +<+，2528k ∴>，212417k +> ()()()()()22222222224199191434161444413414141k t k k k k k +∴=⋅=⋅=⋅++--+++， 令2170,4112s k ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， 则221340,16s s ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，2116,3421s s ⎛⎫∴∈+∞ ⎪-+⎝⎭ 则229112,4347t s s ⎛⎫=⋅∈+∞ ⎪-+⎝⎭，t ∴<t >。

高二数学复习考点知识与题型专题讲解2.5.2 圆与圆的位置关系【考点梳理】考点一：两圆的位置关系及其判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆连心线的长为d ，则两圆的位置关系如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d 与r 1，r 2的关系 d >r 1＋r 2 d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|< d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0(D 21＋E 21－4F 1>0)，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0(D 22＋E 22－4F 2>0)，联立方程得⎩⎨⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个2个1个0个【题型归纳】题型一：判断圆与圆的位置关系1．（2022·全国·高二课时练习）已知圆221:210()C x y x my m +-++=∈R 的面积被直线210x y ++=平分，圆222:(2)(3)25C x y ++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切2．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆221:()()4C x a y b -+-=（a ，b 为常数）与222:20C x y x +-=．若圆心1C 与圆心2C 关于直线0x y -=对称，则圆1C 与2C 的位置关系是（ ）A ．内含B ．相交C ．内切D ．相离3．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期末）圆222830x y x y +++-=与圆()()22225x y -+-=的位置关系为（）A ．外切B ．内切C ．相交D ．相离题型二：求圆的交点坐标4．（2021·全国·高二课时练习）圆心在直线x ﹣y ﹣4＝0上，且经过两圆x 2+y 2﹣4x ﹣3＝0，x 2+y 2﹣4y ﹣3＝0的交点的圆的方程为（ ） A ．x 2+y 2﹣6x +2y ﹣3＝0B ．x 2+y 2+6x +2y ﹣3＝0C ．x 2+y 2﹣6x ﹣2y ﹣3＝0D ．x 2+y 2+6x ﹣2y ﹣3＝05．（2021·江苏·高二专题练习）若圆C 的圆心在直线40x y --=上，且经过两圆22460x y x +--=和22460x y y +--=的交点，则圆C 的圆心到直线3450x y ++=的距离为（ ） A ．0B ．85C ．2D ．1856．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习（文））设点(1,0)A ，(4,0)B ，动点P 满足2||||PA PB =，设点P 的轨迹为1C ，圆2C ：22((3)4x y +-=，1C 与2C 交于点,M N ，Q 为直线2OC 上一点（O 为坐标原点），则MN MQ ⋅=（ ）A ．4B ．C ．2D题型三：圆与圆的位置关系求参数范围7．（2022·全国·高二课时练习）已知圆()()()22:140C x y m m ++-=>和两点()2,0A -，()10B ,，若圆C 上存在点P ，使得2PA PB =，则m 的取值范围是（ ）A ．[8，64]B ．[9，64]C ．[8，49]D ．[9，49]8．（2022·全国·高二课时练习）若圆()()2221:10C x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线y ＝x 的对称点Q 在圆()()222:211C x y -+-=上，则r 的取值范围是（ ）A ．1⎤⎦B ．C ．⎡⎣D ．(]0,19．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆1O ：2216x y +=和圆2O ：22268240x y mx my m +--+=有且仅有4条公切线，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．()1,1-C ．()(),23,-∞-⋃+∞D ．()2,3- 题型四：圆与圆的位置求圆的方程10．（2022·全国·高二单元测试）若圆22210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点(,)C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是（）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．24480y x y +-+=D ．2210y x y ---=11．（2022·全国·高二课时练习）已知圆221:64120C x y x y +-++=与圆222:1420C x y x y a +--+=，若圆1C 与圆2C 有且仅有一个公共点，则实数a 等于A ．14B ．34C ．14或45D ．34或1412．（2019·安徽马鞍山·高二期中）已知半径为1的动圆与圆C ：()()225316x y +++=相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）A ．()()225325x y +++=B ．()()225325x y -+-=或()()22539x y -+-= C ．()()22539x y -+-=D ．()()225325x y +++=或()()22539x y +++=题型五：圆的公共弦长问题（参数、弦长问题）13．（2022·全国·高二专题练习）已知圆221:420C x y x y +-+=与圆222:240C x y y +--=相交于A ､B 两点，则圆()()22:331C x y ++-=上的动点P 到直线AB 距离的最大值为（ ）A1B ．1C ．12+D 1 14．（2022·四川资阳·高二期末（理））已知圆221:20C x y x ++=，圆222:60C x y y +-=相交于P ，Q 两点，其中1C ，2C 分别为圆1C 和圆2C 的圆心.则四边形12PC QC 的面积为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．15．（2021·广东·人大附中深圳学校高二期中）若圆221:4C x y +=与圆()222:2600C x y ay a ++-=>的公共弦长为=a （ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5题型六：圆的共切线问题16．（2022·全国·高二专题练习）已知圆()()22:211M x y -+-=，圆()()22:211N x y +++=，则下列不是M ，N 两圆公切线的直线方程为（ ） A ．0y =B ．430x y -=C ．20x y -=D ．20x y +17．（2022·江苏·高二课时练习）若直线l 与圆()221:11C x y ++=，圆()222:14C x y -+=都相切，切点分别为A 、B ，则AB =（ ）A ．1B．18．（2022·江苏·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：222660x y x y ++-+=与圆2C ：224240x y x y +-++=，则两圆的公切线的条数是（ ） A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条题型七：圆与圆位置关系的综合类问题19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习（理））已知圆C ：22240x y x y m +--+=．(1)若圆C 与圆D ：22(2)(2)1x y +++=有三条外公切线，求m 的值；(2)若圆C 与直线20x y +-=交于两点M ，N ，且OM ON ⊥（O 为坐标原点），求m 的值．20．（2022·全国·高二单元测试）已知圆1C ：²²4230x y x y +---=，圆2:?²20C x y x m +-+=，其中51m -<<.（1）若1m =-，判断圆1C 与2C 的位置关系，并求两圆公切线方程（2）设圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线为l ，且圆2C 的圆心到直线l 的距离为2，求直线l 的方程以及公共弦长21．（2021·江苏·高二专题练习）已知圆221:(1)1C x y -+=与圆222:80C x y x m +-+=．（1）若圆1C 与圆2C 恰有3条公切线，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，若直线0x n +=被圆2C 所截得的弦长为2，求实数n 的值．【双基达标】一、单选题22．（2021·黑龙江·勃利县高级中学高二期中）两圆224210x y x y +-++=与224410x y x y ++--=的公切线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条23．（2019·江西省大余县新城中学高二阶段练习）圆221:430C x y x +-+=与圆222:(1)(4)C x y a ++-=恰有三条公切线，则实数a 的值是（ ）A ．4B ．6C ．16D ．3624．（2022·全国·高二课时练习）圆1O 的方程为()()22231x y ++-=，圆2O 的圆心为()21,7O ．(1)若圆2O 与圆1O 外切，求圆2O 的方程；(2)若圆2O 与圆1O 交于A 、B 两点，且AB =2O 的方程．25．（2022·全国·）已知圆1C 与y 轴相切于点(03)，，圆心在经过点(21)，与点(23)--，的直线l 上． (1)求圆1C 的方程；(2)若圆1C 与圆222:6350C x y x y +--+=相交于M ，N 两点，求两圆的公共弦长．【高分突破】一：单选题26．（2021·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习）以下四个命表述正确的是（ ）个①若点()1,2A ，圆的一般方程为222410x y x y ++-+=，则点A 在圆外 ②圆C ：2228130+--+=x y x y 的圆心到直线4330x y -+=的距离为2 ③圆1C ：2220x y x ++=与圆2C ：224840x y x y +--+=恰有三条公切线④两圆22440x y x y ++-=与222120x y x ++-=的公共弦所在的线方程为：260x y ++= A ．1B ．2C ．3D ．427．（2021·江苏·高二专题练习）已知圆()221:24C x a y ++=与圆()22:1C x y b +-=有且仅有1条公切线，则2211a b +的最小值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．928．（2017·江西南昌·高二阶段练习（文））与圆222212:26260,:4240C x y x y C x y x y ++--=+-++=都相切的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条29．（2022·全国·高二课时练习）已知Rt PAB 的直角顶点P 在圆(()22:11C x y +-=上，若点(),0A t -，()(),00B t t >，则t 的取值范围为（ ） A ．(]0,2B ．[]1,2C ．[]2,3D ．[]1,330．（2022·全国·高二）已知半径为1的动圆与圆()()225716x y -++=相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A ．()()225725x y -++=B ．()()225717x y -+-=或()()225715x y -++=C ．()()22579x y -+-=D ．()()225725x y -++=或()()22579x y -++=二、多选题31．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）已知圆()()221:1311C x y -+-=与圆2222:2230C x y x my m ++-+-=，则下列说法正确的是（ ）A ．若圆2C 与x 轴相切，则2m =B ．若3m =-，则圆C 1与圆C 2相离C ．若圆C 1与圆C 2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为()246220x m y m +-++=D ．直线210kx y k --+=与圆C 1始终有两个交点32．（2022·全国·高二专题练习）圆221:20+-=Q x y x 和圆222:240++-=Q x y x y 的交点为A ，B ，则（ ）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦AB 的长为2D ．P 为圆1Q 上一动点，则P 到直线AB 1+ 33．（2022·江苏·高二单元测试）设有一组圆()()()22:4R k C x k y k k -+-=∈，下列命题正确的是（ ）A ．不论k 如何变化，圆心k C 始终在一条直线上B ．存在圆kC 经过点（3，0） C ．存在定直线始终与圆k C 相切D ．若圆k C 上总存在两点到原点的距离为1，则k ⎛∈⋃ ⎝⎭⎝⎭34．（2022·重庆市实验中学高二期末）已知直线l ：10kx y k --+=与圆C ：()()222216x y -++=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法正确的是（ ）A ．AB 的最小值为．若圆C 关于直线l 对称，则3k =C ．若2ACB CAB ∠=∠，则1k =或17k =-D ．若A ，B ，C ，O 四点共圆，则13k =-35．（2022·江苏南通·高二期末）已知圆1O ：225x y +=和圆2O ：22(4)13x y -+=相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，则（ ） A ．||4AB =B ．过2O 作圆1O 的切线，切线长为C ．过点A 且与圆2O 相切的直线方程为3210x y -+=D ．圆1O 的弦AC 交圆2O 于点D ，D 为AC 的中点，则AC 的斜率为7236．（2022·广东·高二阶段练习）已知点(),P x y 是圆()22:14C x y -+=上的任意一点，直线()):1130l m x y m ++-=，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 与圆C 的位置关系只有相交和相切两种 B ．圆C 的圆心到直线l C ．点P 到直线43160++=x y 距离的最小值为2D ．点P 可能在圆221x y +=上37．（2022·河北石家庄·高二期末）设m R ∈，直线310mx y m --+=与直线310x my m +--=相交于点(,)P x y ，线段AB 是圆22:(2)(1)9C x y +++=的一条动弦，Q 为弦AB 的中点，||AB = ）A ．点P 在定圆22(2)(2)8x y -+-=上B ．点P 在圆C 外C ．线段PQ 长的最大值为6D ．PA PB ⋅的最小值为15-38．（2022·浙江省杭州学军中学高二期中）过点(A 作圆221:4C x y +=的切线l ，P是圆222:40C x y x +-=上的动点，则下列说法中正确的是（ ）A ．切线l 40y -+=B ．圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线方程为1x = C ．点P 到直线l 的距离的最小值为1D ．点O 为坐标原点，则AO OP ⋅的最大值为4 三、填空题39．（2022·江苏·徐州华顿学校高二阶段练习）设两圆22110C x y +-=：与圆222240C x y x y +-+=：的公共弦所在的直线方程为_______40．（2022·全国·高二课时练习）已知两圆O ：224x y +=，C ：22224510x ax y ay a -+-+-=，当两圆相交时，实数a 的取值范围是______.41．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆221:(1)(2)4C x y -+-=和圆222:(2)(1)2C x y -+-=交于,A B 两点，直线l 与直线AB 平行，且与圆2C 相切，与圆1C 交于点,M N ，则MN =__________．42．（2022·全国·高二课时练习）已知圆1C 的标准方程是()()224425x y -+-=，圆222:430C x y x my +-++=关于直线10x +=对称，则圆1C 与圆2C 的位置关系为______．43．（2022·北京房山·高二期末）心脏线，也称心形线，是一个圆上的固定一点在该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名.心脏线的平面直角坐标方程可以表示为22x y ay ++=0a >，则关于这条曲线的下列说法： ①曲线关于x 轴对称；②当1a =时，曲线上有4个整点（横纵坐标均为整数的点）； ③a 越大，曲线围成的封闭图形的面积越大； ④与圆()222x a y a ++=始终有两个交点. 其中，所有正确结论的序号是___________.四、解答题44．（2022·全国·高二单元测试）已知圆()222:0O x y r r +=>，直线:40l kx y k --=，当k =l 与圆O 恰好相切． (1)求圆O 的方程；(2)若直线l 上存在距离为2的两点M ，N ，在圆O 上存在一点P ，使得0PM PN ⋅=，求实数k 的取值范围．45．（2022·江苏·高二阶段练习）已知圆22:(1)4C x y -+=. (1)若直线l 经过点(1,3)A -，且与圆C 相切，求直线l 的方程；(2)若圆2221:2280C x y mx y m +--+-=与圆C 相切，求实数m 的值.46．（2022·上海市行知中学高二期中）已知圆()()22:10C x y a a ++=>，定点()(),0,0,A m B n ，其中,m n 为正实数，(1)当9a =时，若对于圆C 上任意一点P 均有PA PO λ=成立（O 为坐标原点），求实数,m λ的值；(2)当2,4m n ==时，对于线段AB 上的任意一点P ，若在圆C 上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求实数a 的取值范围47．（2022·江苏·高二课时练习）若圆221:C x y m +=与圆222:68160C x y x y +--+=相外切．(1)求m 的值；(2)若圆1C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，P 为第三象限内一点且在圆1C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．48．（2022·江苏·高二单元测试）已知圆()22:24M x y -+=，点()()1,R P t t -∈.(1)若1t =，半径为1的圆N 过点P ，且与圆M 相外切，求圆N 的方程；(2)若过点P 的两条直线被圆M 截得的弦长均为且与y 轴分别交于点S 、T ，34ST =，求t .49．（2022·广东揭阳·高二期末）过点()3,1P 作圆()22:11C x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ；(1)求直线AB 的方程；(2)若M 为圆上的一点，求MAB △面积的最大值．【答案详解】1．B【分析】由圆1C 的面积被直线210x y ++=平分，可得圆心在直线上，求出m ，进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆1C 与圆2C 的位置关系．【详解】因为圆1C 的面积被直线210x y ++=平分，所以圆1C 的圆心1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线210x y ++=上，所以12102m ⎛⎫+⨯-+= ⎪⎝⎭，解得2m =，所以圆1C 的圆心为(1,1)-，半径为1．因为圆2C 的圆心为(2,3)-，半径为5，所以125C C ==， 故125151C C -<<+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是相交． 故选：B ． 2．B【分析】由对称求出,a b ，再由圆心距与半径关系得圆与圆的位置关系．【详解】222:(1)1C x y -+=，2(1,0)C ，半径为1r =，2(1,0)C 关于直线0x y -=的对称点为(0,1)，即(,)1C 01，所以0,1a b ==，圆1C 半径为2R =，12C C =13R r R r -=<<=+，所以两圆相交． 故选：B ． 3．A【分析】根据两圆半径和、差、圆心距之间的大小关系进行判断即可. 【详解】由22222830(1)(4)20x y x y x y +++-=⇒+++=，该圆的圆心为(1,4)--，半径为圆()()22225x y -+-=的圆心为(2,2)= 所以两圆的半径和等于两圆的圆心距，因此两圆相外切， 故选：A 4．A【分析】求出两个圆的交点，再求出中垂线方程，然后求出圆心坐标，求出半径，即可得到圆的方程．【详解】由2222430,430x y x x y y +--=+--=解得两圆交点为M ⎝⎭与N ⎝⎭因为1MN k =，所以线段MN 的垂直平分线斜率21k =-；MN 中点P 坐标为（1，1） 所以垂直平分线为y ＝﹣x +2 由240y x x y =-+⎧⎨--=⎩解得x ＝3，y ＝﹣1，所以圆心O 点坐标为（3，﹣1）所以r 所以所求圆的方程为（x ﹣3）2+（y +1）2＝13即：x 2+y 2﹣6x +2y ﹣3＝0 故选：A 5．C【解析】求出过AB 两点的垂直平分线方程，再联立直线40x y --=，求得圆心，结合点到直线距离公式即可求解【详解】设两圆交点为,A B ，联立2222460460x y x x y y ⎧+--=⎨+--=⎩得1111x y =-⎧⎨=-⎩或2233x y =⎧⎨=⎩，1AB k =，则AB 中点为()1,1，过AB 两点的垂直平分线方程为()112y x x =--+=-+， 联立240y x x y =-+⎧⎨--=⎩得31x y =⎧⎨=-⎩，故圆心为()3,1-，由点到直线距离公式得334525d ⨯-+==故选：C【点睛】本题考查线段垂直平分线方程的求解，点到直线距离公式的应用，属于中档题 6．C【分析】由题意先求动点P 的轨迹1C 的方程,联立1C 和2C 求出M,N 的坐标,如图由平面几何知识和向量数量积的运算规则可求得MN MQ ⋅.【详解】设点P(,x y ),由()()A 1,0,B 4,0,2PA PB =可得()()2222214x y x y -+-+化简得动点P 的轨迹1C 的方程为:224x y +=,联立(()22224334x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩解得:()()M 3,1,N 0,2-,如图所示,有平面几何知识可得:()1cos 2MQ QMN MN ∠=,向量数量积的运算规则可得:()1cos 2MN MQ MN MQ QMN MN MN ⋅=⋅∠=⋅()(()22211021222MN ⎡⎤==+-=⎢⎥⎣⎦. 故选:C.【点睛】本题考查了由已知条件求动点轨迹的问题,考查了求两圆交点坐标的运算,借助于平面几何知识求向量的数量积的问题,考查了综合运算能力,属于中档题. 7．D【分析】设P 的坐标为(),x y ，由2PA PB =可得P 的轨迹为()2224x y -+=，又因为点P在圆C 上，所以两圆有公共点，从而求解即可.【详解】解：设P 的坐标为(),x y ，因为2PA PB =，()2,0A -，()10B ,，=()2224x y -+=，又因为点P 在圆()()()22:140C x y m m ++-=>上， 所以圆()2224x y -+=与圆C 有公共点，22≤且0m >， 解得949m ≤≤， 故选：D ． 8．A【分析】利用对称圆，把问题转化为两圆的位置关系问题进行处理.【详解】根据题意，圆1C 的圆心坐标为（0，1），半径为r ，其关于直线y ＝x 的对称圆3C 的方程为()2221x y r -+=，根据题意，圆3C 与圆2C 有交点，既可以是外切，也可以是相交，也可以是内切．又圆()()222:211C x y -+-=，所以圆3C 与圆2C 的圆心距为23||C C =以只需11r r -+，解得1r ⎤∈⎦．故B ，C ，D 错误.故选：A. 9．A【分析】根据题意圆1O 、2O 相离，则1212O O r r >+，分别求圆心和半径代入计算． 【详解】圆1O ：2216x y +=的圆心()10,0O ，半径14r =，圆2O ：22268240x y mx my m +--+=的圆心()23,4O m m ，半径1r m =根据题意可得，圆1O 、2O 相离，则1212O O r r >+，即54m m >+ ∴,11,m故选：A ． 10．C【分析】由圆与圆的对称性可得a ，再利用几何关系，求点P 的轨迹方程.【详解】由圆22210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线1y x =-上，可得2a =，即点C 的坐标为(2,2)-，所以圆P 的圆心的轨迹方程为222(2)(2)x y x ++-=，整理得24480y x y +-+=. 故选：C. 11．D【分析】先将两个圆的方程化为圆的标准方程，写出两个圆的圆心坐标和半径，然后计算两个圆的圆心之间的距离，圆心距等于两个圆的半径差的绝对值、和，得到关于a 的方程，即可解得a 的值.【详解】设圆1C ､圆2C 的半径分别为1r ､2r .圆1C 的方程可化为22(3)(2)1x y -++=，圆2C 的方程可化为22(7)(1)50x y a -+-=-. 由两圆相切得，1212C C r r =+或1212C C r r =-，∵125C C =，∴215r +=或22154r r -=⇒=或26=r 或24r =-(舍去). 因此，5016a -= 解得a =34 或5036a -= 解得14a = 故选:D.【点睛】本题考查了利用两个圆相切求解参数值的问题，属于中档题目，解题时需要准确将圆的一般方程化为圆的标准方程，利用圆心距与半径的关系建立关于参数的方程. 12．D【分析】根据动圆与圆C 相内切、相外切分类讨论进行求解即可.【详解】设动圆圆心为O ，圆C ：()()225316x y +++=的圆心坐标为：(5,3)C --，半径为4.动圆与圆C 相内切时，413OC =-=，所以动圆圆心的轨迹方程()()22539x y +++=； 动圆与圆C 相外切时，415OC =+=，所以动圆圆心的轨迹方程()()225325x y +++=. 故选：D【点睛】本题考查了圆与圆的相切关系，考查了圆的定义，考查了圆的标准方程，属于基础题. 13．A【分析】判断圆1C 与2C 的位置并求出直线AB 方程，再求圆心C 到直线AB 距离即可计算作答.【详解】圆221:(2)(1)5C x y -++=的圆心1(2,1)C -，半径1r =222:(1)5C x y +-=的圆心2(0,1)C ，半径2r =，12||C C =121212||||||r r C C r r -<<+，即圆1C 与2C 相交，直线AB 方程为：10x y --=，圆()()22:331C x y ++-=的圆心(3,3)C -，半径1r =，点C 到直线AB 距离的距离2d ==，所以圆C 上的动点P 到直线AB 1. 故选：A 14．A【分析】求得12,C C PQ ，由此求得四边形12PC QC 的面积. 【详解】圆1C 的圆心为()1,0-，半径11r =； 圆2C 的圆心为()0,3，所以12C C =由2220x y x ++=、2260x y y +-=两式相减并化简得30x y +=， 即直线PQ 的方程为30x y +=，()1,0-到直线PQ，所以PQ ==，所以四边形12PC QC 的面积为1211322C C PQ ⨯⨯==. 故选：A15．A【分析】先求得公共弦所在直线方程，代入224x y +=，运算即得解【详解】由题意，圆221:4C x y +=的圆心11(0,0),2C r =；圆()222222:2600()6C x y ay a x y a a ++-=>⇔++=+，圆心22(0,),C a r -设圆心距为12C C d ，故12C C d a =由于两圆相交，故122112C C r r d r r -<<+2a <，解得12a >两圆方程作差得公共弦所在直线方程为1y a =，代入224x y +=，解得x == 解得1a =（负根舍去），满足12a > 故选：A 16．D【分析】计算两圆的圆心和半径，可得两圆相离，有四条公切线，两圆心坐标关于原点O 对称，则有两条切线过原点O ，另两条切线与直线MN 平行且相距为1，数形结合可计算四条切线方程，结合选项，即得解【详解】由题意，圆()()22:211M x y -+-=的圆心坐标为()2,1M ，半径为11r =圆()()22:211N x y +++=的圆心坐标为()2,1N --，半径为21r =如图所示，两圆相离，有四条公切线.两圆心坐标关于原点O 对称，则有两条切线过原点O ， 设切线:l y kx =22111k k -=+，解得0k =或43k =， 另两条切线与直线MN 平行且相距为1，又由1:2MN l y x =，设切线1:2l y x b =+1114b=+，解得5b = 结合选项，可得D 不正确. 故选：D 17．C【分析】设直线l 交x 轴于点M ，推导出1C 为2MC 的中点，A 为BM 的中点，利用勾股定理可求得AB .【详解】如下图所示，设直线l 交x 轴于点M ，由于直线l 与圆()221:11C x y ++=，圆()222:14C x y -+=都相切，切点分别为A 、B ， 则1AC l ⊥，2BC l ⊥，12//AC BC ∴，2122BC AC ==，1C ∴为2MC 的中点，A ∴为BM 的中点，1122MC C C ∴==，由勾股定理可得22113AB MA MC AC ==-故选：C.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于推导出A 为M B 的中点，并利用勾股定理进行计算，此外，在直线与圆相切的问题时，要注意利用圆心与切点的连线与切线垂直这一几何性质. 18．A【分析】根据给定条件，求出两圆圆心距，再判断两圆位置关系即可作答. 【详解】圆1C ：22(1)(3)4x y ++-=的圆心1(1,3)C -，半径12r =， 圆2C ：22(2)(1)1x y -++=的圆心2(2,1)C -，半径21r =，2212||(12)[3(1)]5C C =--+--，显然1212||C C r r >+，即圆1C 与圆2C 外离，所以两圆的公切线的条数是4. 故选：A19．(1)11m =- (2)2m =【分析】（1）两圆有三条公切线，说明两圆外切，根据两圆外切可以求出参数的值 （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，则OM ON ⊥等价于12120x x y y +=，直线与圆联立方程，根据韦达定理，得到关于m 的等式，即可求解m 的值 (1)由2222240(1)(2)5x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-，知圆C 的圆心(1,2)C由圆D ：22(2)(2)1x y +++=，有圆心()2,2D --，半径为1，依题意有圆C 与圆D 相外切，故||1511CD m ==⇒=-； (2)设()11,M x y ，()22,N x y ，有112x y =-，222x y =-， 由OM ON ⊥，有()()121212120220x x y y y y y y +=⇒--+=， 整理得12122y y y y +=+………①由2222402602x y x y m y y m x y⎧+--+=⇒-+=⎨=-⎩，3680m ∆=->得：92m <，易知1y ，2y 是方程的根，故有123y y +=，122m y y =代入①，得3222mm =+⇒=，满足要求，故2m =20．（1）两圆内切，10x y ++=；（2）直线l 的方程为0x y +=【分析】（1）由1m =-，分别得到圆1C 和圆2C 的圆心，半径，然后利用圆圆的位置关系判断，再由两圆方程相减得到公切线；（2）先得到两圆公共弦所在直线l 的方程，再利用弦长公式求解. 【详解】（1）当1m =-时，圆1C 的圆心()12,1C ，半径1r =圆2C 的圆心()21,0C ，半径2r圆心距1212C C r r ==-，所以两圆内切； 因为两圆内切，所以公切线只有一条，两圆的公切线方程可由两圆方程相减得到：10x y ++=； （2）两圆公共弦所在直线l 的方程为：2230x y m +++=，圆2C 的圆心()21,0C 到直线l 2=， 于是52m +=，3m =-或7(-舍)， 所以直线l 的方程为0x y +=；因为圆2C 半径22r =，弦心距d ==21．（1）12m =；（2）1n =-或7n =-．【分析】（1）由公切线条数知两圆外切，从而可得m 值；（2）求出圆2C 圆心坐标和半径，求得圆心到直线的距离，用勾股定理求得圆心到直线的距离从而得参数值．【详解】解：（1）圆221:(1)1C x y -+=，圆心1(1,0)C ，半径11r =；圆222:(4)16C x y m -+=-，圆心2(4,0)C ，半径2r因为圆1C 与圆2C 有3条公切线，所以圆1C 与圆2C 相外切，所以1212C C r r =+，即31=12m =．（2）由（1）可知，圆222:(4)4C x y -+=，圆心2(4,0)C ，半径22r =．因为直线0x n +=与圆2C 相交，弦长是2，所以圆心2C 到直线0x n ++=的距离d ===，解得1n =-或7n =-． 【点睛】结论点睛：本题实质考查圆与圆的位置关系，圆与圆的位置关系与公切线条数： 两圆圆心距离为d ，半径分别为,r R ，则相离d R r ⇔>+，公切线有4条；外切d R r ⇔=+，公切线有3条；相交R r d R r ⇔-<<+，公切线有2条；内切d R r ⇔=-，公切线有1条；内含d R r ⇔<-，无公切线． 22．C【详解】由题意，得两圆的标准方程分别为22(2)(1)4x y -++=和22(2)(2)9x y ++-=，则两圆的圆心距523d =+，即两圆外切，所以两圆有3条公切线；故选C ．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系和两圆公切线的判定；在处理两圆的公切线条数时，要把问题转化为两圆位置关系的判定：当两圆相离时，两圆有四条公切线；当两圆外切时，两圆有三条公切线；当两圆相交时，两圆有两条公切线；当两圆内切时，两圆有一条公切线；当两圆内含时，两圆没有公切线. 23．C【分析】两圆外切时，有三条公切线．【详解】圆1C 标准方程为22(2)1x y -+=， ∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，116a =． 故选C ．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系．两圆的公切线条数：两圆外离时，有4条公切线，两圆外切时，有3条公切线，两圆相交时，有2条公切线，两圆内切时，有1条公切线，两圆内含时，无无公切线． 24．(1)()()221716x y -+-=(2)()()221725x y -+-=或()()221727x y -+-=．【分析】（1）根据圆与圆的位置关系，求出圆2O 的半径即可写出圆2O 的方程； （2）由两圆的圆心距确定圆心到公共弦的的距离公式，从而求出圆2O 的半径即可求解. （1）圆1O 的方程为()()22231x y ++-=， 则圆心坐标为()2,3-，半径为1． 圆2O 的圆心()21,7O ，5=． 由圆2O 与圆1O 外切， 则所求圆2O 的半径为4，所以圆2O 的方程()()221716x y -+-=． （2）圆2O 与圆1O 交于A 、B 两点，且AB =所以圆1O 到AB 110=.5=，当圆2O 到AB 的距离为14951010-=时，2O 5=， 所以圆2O 的方程为()()221725x y -+-=．当圆2O 到AB 的距离为15151010+=时，圆2O = 所以圆2O 的方程为()()221727x y -+-=．综上所述，圆2O 的方程为()()221725x y -+-=或()()221727x y -+-=． 25．(1)()()224316x y -+-=(2)【分析】(1)利用两点求出直线方程l ，利用圆心在l 上又在3y =求出圆心坐标，进而求出圆的半径求出圆1C 的方程；(2)利用两圆的方程相减得到公共弦所在直线方程，求出圆心1C 到公共弦的距离，利用勾股定理求出两圆的公共弦长． （1）经过点(21)，与点(23)--，的直线l 的方程为123122y x --=----，即1y x =-， 因为圆1C 与y 轴相切于点(03)，，所以圆心在直线3y =上，联立31y y x =⎧⎨=-⎩解得43x y =⎧⎨=⎩可得圆心坐标为(43)，， 又因为圆1C 与y 轴相切于点(03)，，故圆1C 的半径为4， 故圆1C 的方程为()()224316x y -+-=． （2）圆1C 的方程为()()224316x y -+-=，即228690x y x y +--+=，圆222:6350C x y x y +--+=，两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为2340x y +-=，圆1C 的圆心(43)，到直线2340x y +-=的距离d ==所以两圆的公共弦长为= 26．A【分析】①将点()1,2A 代入圆可判断；②将圆化为标准方程，得出圆心，利用点到直线距离公式可得；③求出两圆圆心和半径，判断位置关系可得；④两圆方程相减即可求出. 【详解】①点()1,2A 代入圆可得2212214210++⨯-⨯+=，所以点A 在圆上，故①错误； ②由2228130+--+=x y x y 可得()()22144x y -+-=，则圆心为()1,4，由点到直线的距离公式可得圆心到线4330x y -+=1=，故②错误；③圆1C 化为()2211x y ++=，圆心为()11,0C -，半径11r =，圆2C 化为()()222416x y -+-=，圆心为()22,4C ，半径24r =，则圆心距12125C C r r ==+，故两圆外切，公切线有3条，故③正确；④两圆方程相减可得260x y -+=，故公共弦所在方程为260x y -+=，故④错误，综上，正确的有1个. 故选：A. 27．D【解析】由题意可知，圆2C 内切于圆1C ，由题意可得出2241a b +=，然后将代数式2211a b +与224a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b +的最小值. 【详解】圆()221:24C x a y ++=的圆心为()12,0C a -，半径为12r =，圆()22:1C x y b +-=的圆心为()20,C b ，半径为21r =，由于两圆有且仅有1条公切线，则圆2C 内切于圆1C ，所以12121C C r r =-=，可得2241a b +=，()2222222222111144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=∴++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当222b a =时，等号成立， 因此，2211a b +的最小值为9. 故选：D.【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆1C 与圆2C 的半径长分别为1r 和2r . （1）若1212C C r r <-，则圆1C 与圆2C 内含； （2）若1212C C r r =-，则圆1C 与圆2C 内切； （3）若121212r r C C r r -<<+，则圆1C 与圆2C 相交； （4）若1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切； （5）若1212C C r r >+，则圆1C 与圆2C 外离.【分析】根据两圆的位置关系判断.【详解】解：圆1C 的标准方程：22(1)(3)36x y ++-=，圆心()11,3C -，半径16r =， 圆2C 的标准方程：22(2)(1)1x y -++=，圆心()22,1C -，21r =，因为圆心距12125C C r r ===-，所以两圆内切，所以与两圆都相切的直线有1条. 故选：A 29．D【分析】求出P 的轨迹方程，结合点P 为两圆交点且2CM，列出不等式，求出t 的取值范围.【详解】由题意得P 在以AB 为直径的圆222:M x y t +=上（去掉A ，B 两点）．又因为点P 在圆(()22:11C x y +-=上，所以圆C 与圆M 有交点，因为2CM ，所以121t t -≤≤+，所以13t ≤≤．故选：D ． 30．D【分析】设动圆圆心为(),x y ，两半径相加，内切两半径相减，即可求解【详解】设动圆圆心为(),x y 41=+，∴()()225725x y -++=；41=-，∴()()22579x y -++=．31．BD【分析】对A ，圆心到x 轴的距离等于半径判断即可；对B ，根据圆心间的距离与半径之和的关系判断即可；对C ，根据两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程求解即可；对D ，根据直线210kx y k --+=过定点()2,1以及()2,1在圆C 1内判断即可.【详解】因为221:(1)(3)11C x y -+-=，222:(1)()4C x y m ++-=，对A ，故若圆2C 与x 轴相切，则有||2m =，故A 错误；对B ，当3m =-时，1262C C =>>B 正确； 对C ，由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程24(62)20x m y m +-+-=，故C 错误；对D ，直线210kx y k --+=过定点()2,1，而22(21)(13)511-+-=<，故点()2,1在圆221:(1)(3)11C x y -+-=内部，所以直线210kx y k --+=与圆1C 始终有两个交点，故D 正确.故选：BD 32．ABD【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A 的正误，求出圆1Q 的圆心坐标后求出垂直平分线的方程后可判断B 的正误，利用垂径定理计算弦长后可判断C 的正误，求出1Q 到直线的距离后可求动点到直线距离的最大值，从而可判断D 的正误.【详解】对于A ，因为圆221:20+-=Q x y x ，222:240++-=Q x y x y ，两式作差可得公共弦AB 所在直线的方程为440x y -=，即0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20+-=Q x y x 的圆心为（1，0），1AB k =，则线段AB 中垂线的斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为()011y x -=-⨯-，整理可得10x y +-=，故B 正确；对于C ，圆心()11,0Q 到0x y -=的距离为2d ==又圆1Q 的半径1r =，所以AB =C 不正确；对于D ，P 为圆1Q 上一动点，圆心()11,0Q 到0x y -=的距离为d =又圆1Q 的半径1r =，所以P 到直线AB 1，故D 正确.故选：ABD. 33．ACD【分析】对于A ，考查圆心k C 的横纵坐标关系即可判断；对于B ，把3x =，0y =代入圆k C 方程，由关于k 的方程根的情况作出判断；对于C ，判断圆心k C 到直线0x y -±=距离与半径的关系即可； 对于D ，圆k C 与以原点为圆心的单位圆相交即可判断作答．【详解】解：根据题意，圆22:()()4(R)k C x k y k k -+-=∈，其圆心为(,)k k ，半径为2， 依次分析选项：对于A ，圆心为(,)k k ，其圆心在直线y x =上，A 正确； 对于B ，圆22:()()4k C x k y k -+-=，将(3,0)代入圆的方程可得22(3)(0)4k k -+-=， 化简得22650k k -+=，364040∆=-=-<，方程无解， 所以不存在圆k C 经过点()3,0，B 错误；对于C ，存在直线y x =±，即0x y -+=或0x y --=，圆心(,)k k 到直线0x y -+=或0x y --=的距离2d =， 这两条直线始终与圆k C 相切，C 正确，对于D ，若圆k C 上总存在两点到原点的距离为1， 问题转化为圆221x y +=与圆k C 有两个交点，，则有1|3k <<，解可得：k <k <，D 正确．故选：ACD ． 34．ACD【分析】判断出直线l 过定点()1,1D ，结合勾股定理、圆的对称性、点到直线的距离公式、四点共圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】直线():11l y k x =-+过点()1,1D ，圆()()22:2216C x y -++=，即224480x y x y +-+-=①， 圆心为()2,2C -，半径为4r =，由于()()22121216-++<，所以D 在圆C 内.CD =所以min AB =AB CD ⊥，所以A 选项正确.若圆C 关于直线l 对称，则直线l 过,C D 两点，斜率为21321--=--，所以B 选项错误. 设22ACB CAB θ∠=∠=，则π2π,4θθθθ++==，此时三角形ABC 是等腰直角三角形，C 到直线AB 的距离为42==解得1k =或17k =-，所以C 选项正确.对于D 选项，若,,,A B C O 四点共圆，设此圆为圆E ，圆E 的圆心为(),E a b ，,O C 的中点为()1,1-，1OC k =-，所以OC 的垂直平分线为:11,2l y x y x +=-=-，则2b a =-②， 圆E 的方程为()()2222x a y b a b -+-=+， 整理得22220x y ax by +--=③， 直线AB 是圆C 和圆E 的交线，由①-③并整理得()():422480AB a x b y --++=，将()1,1D 代入上式得()()422480a b --++=，40a b +-=④， 由②④解得3,1a b ==， 所以直线AB 即直线l 的斜率为42212463a b --==-+，D 选项正确. 故选：ACD【点睛】求解直线和圆位置关系有关题目，首先要注意的是圆和直线的位置，是相交、相切还是相离.可通过点到直线的距离来判断，也可以通过直线所过定点来进行判断. 35．ACD【分析】根据给定条件，求出点A ，B 的坐标，再结合圆的性质逐项分析、计算判断作答.【详解】依题意，由22225(4)13x y x y ⎧+=⎨-+=⎩解得12x y =⎧⎨=±⎩，则(1,2),(1,2)A B -，圆1O 的圆心1(0,0)O ，半径1r =2O 的圆心2(4,0)O ，半径2r||4AB =，A 正确；。

第二节 两直线的位置关系一、基础知识1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在， 设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．三种距离公式 (1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点到直线的距离公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0 间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.二、常用结论(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直或平行的直线方程可设为： ①垂直：Bx －Ay ＋m ＝0；②平行：Ax ＋By ＋n ＝0. (2)与对称问题相关的四个结论：①点(x ，y )关于点(a ，b )的对称点为(2a －x,2b －y )．②点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x,2b －y )． ③点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )． ④点(x ，y )关于直线x ＋y ＝k 的对称点为(k －y ，k －x )，关于直线x －y ＝k 的对称点为(k ＋y ，x －k )．考点一 两条直线的位置关系[典例] 已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[解题技法]1．．由一般式确定两直线位置关系的方法[题组训练]1．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t,1)，则n的值为() A．7B．9C．11 D．－7解析：选A由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，m＝10.直线4x＋10y－6＝0过点(t,1)，所以4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1,1)又在直线5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.2．(2019·保定五校联考)直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件，故选C.考点二距离问题[典例](1)过点P(2,1)且与原点O距离最远的直线方程为()A．2x＋y－5＝0B．2x－y－3＝0C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＝0(2)若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是5，则m ＋n＝()A ．0B ．1C ．－2D ．－1[解析] (1)过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线为过点P (2,1)且与OP 垂直的直线，因为直线OP 的斜率为1－02－0＝12，所以所求直线的斜率为－2，故所求直线方程为2x ＋y －5＝0.(2)因为l 1，l 2平行，所以1×n ＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m ，解得n ＝－4，m ≠－3，所以直线l 2：x －2y －3＝0.又l 1，l 2之间的距离是 5，所以|m ＋3|1＋4＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝－2，故选C.[答案] (1)A (2)C[解题技法]1．点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． 2．两平行线间的距离的求法(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式． [题组训练]1．已知点P (2，m )到直线2x －y ＋3＝0的距离不小于25，则实数m 的取值范围是________________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为|2×2－m ＋3|22＋12≥25，即|m －7|≥10，解得m ≥17或m ≤－3，所以实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[17，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[17，＋∞)2．如果直线l 1：ax ＋(1－b )y ＋5＝0和直线l 2：(1＋a )x －y －b ＝0都平行于直线l 3：x －2y ＋3＝0，则l 1，l 2之间的距离为________．解析：因为l 1∥l 3，所以－2a －(1－b )＝0，同理－2(1＋a )＋1＝0，解得a ＝－12，b ＝0，因此l 1：x －2y －10＝0，l 2：x －2y ＝0，d ＝|－10－0|12＋－22＝2 5.答案：25考点三 对称问题[典例] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)． (1)求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． [解] (1)设A ′(x ，y )，再由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′方程为9x －46y ＋102＝0.[变透练清] 1.变结论在本例条件下，则直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程为________________．解析：法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点， 如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上． 易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)， 由两点式可得 l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二：设P (x ，y )为l ′上任意一点， 则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为 P ′(－2－x ，－4－y )，∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0. 答案：2x －3y －9＝02．(2019·合肥四校联考)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.答案：6x －y －6＝0[解题技法]1．中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点对称若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1进而求解．(2)直线关于点对称①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程； ③轨迹法，设对称直线上任一点M (x ，y )，其关于已知点的对称点在已知直线上． 2．轴对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ×x 1＋x 22＋B ×y 1＋y22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．(2)直线关于直线的对称一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[课时跟踪检测]1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选C 因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率k ＝－2.所以所求直线的方程为y －0＝－2(x －1)， 即2x ＋y －2＝0.2．已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0和l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( ) A ．2或12B.13或－1 C.13D ．－1解析：选B 因为直线l 1⊥l 2，所以2a (a ＋1)＋(a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝13或－1.3．若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2) 解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋－12＝2，化简得|4x －6|＝2，即4x －6＝±2，解得x ＝1或x ＝2，故P (1，2)或(2，－1)．4．(2018·揭阳一模)若直线l 1：x －3y ＋2＝0与直线l 2：mx －y ＋b ＝0关于x 轴对称，则m ＋b ＝( )A.13 B ．－1 C ．－13D ．1解析：选B 直线l 1：x －3y ＋2＝0关于x 轴对称的直线为x ＋3y ＋2＝0.由题意知m ≠0. 因为mx －y ＋b ＝0，即x －y m ＋bm＝0，且直线l 1与l 2关于x 轴对称，所以有⎩⎨⎧－1m＝3，bm ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝－13，b ＝－23，则m ＋b ＝－13＋⎝⎛⎭⎫－23＝－1. 5．点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是( )A ．－32B.54 C ．－65D.56解析：选D 由题意，知⎩⎨⎧3－11＋2·k ＝－1，2＝k ·⎝⎛⎭⎫－12＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－32，b ＝54.∴直线方程为y ＝－32x ＋54，它在x 轴上的截距为－54×⎝⎛⎭⎫－23＝56.故选D. 6．(2019·成都五校联考)已知A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2x ＋y －7＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0解析：选B 由|P A |＝|PB |得点P 一定在线段AB 的垂直平分线上，根据直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，可得A (－1,0)，将x ＝2代入直线x －y ＋1＝0，得y ＝3，所以P (2，3)，所以B (5,0)，所以直线PB 的方程是x ＋y －5＝0，选B.7．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．22C ．3 3D ．42解析：选A 依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2. 8．已知点A (1,3)，B (5，－2)，在x 轴上有一点P ，若|AP |－|BP |最大，则P 点坐标为( )A ．(3.4,0)B ．(13,0)C ．(5,0)D ．(－13,0)解析：选B 作出A 点关于x 轴的对称点A ′(1，－3)，则A ′B 所在直线方程为x －4y －13＝0.令y ＝0得x ＝13，所以点P 的坐标为(13,0)．9．经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0得x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．因为l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－43，所以直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.答案：4x ＋3y －6＝010．已知点P 1(2,3)，P 2(－4,5)和A (－1,2)，则过点A 且与点P 1，P 2距离相等的直线方程为________．解析：当直线与点P 1，P 2的连线所在的直线平行时，由直线P 1P 2的斜率k ＝3－52＋4＝－13，得所求直线的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线过线段P 1P 2的中点时，因为线段P 1P 2的中点坐标为(－1,4)，所以直线方程为x ＝－1.综上所述，所求直线方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－111．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________．解析：由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝012．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________．解析：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝013．已知△ABC 的三个顶点是A (1,1)，B (－1,3)，C (3,4)． (1)求BC 边的高所在直线l 1的方程；(2)若直线l 2过C 点，且A ，B 到直线l 2的距离相等，求直线l 2的方程．解：(1)因为k BC ＝4－33＋1＝14，又直线l 1与BC 垂直，所以直线l 1的斜率k ＝－1k BC ＝－4，所以直线l 1的方程是y ＝－4(x －1)＋1，即4x ＋y －5＝0.(2)因为直线l 2过C 点且A ，B 到直线l 2的距离相等， 所以直线l 2与AB 平行或过AB 的中点M ， 因为k AB ＝3－1－1－1＝－1，所以直线l 2的方程是y ＝－(x －3)＋4，即x ＋y －7＝0. 因为AB 的中点M 的坐标为(0,2)， 所以k CM ＝4－23－0＝23，所以直线l 2的方程是y ＝23(x －3)＋4，即2x －3y ＋6＝0. 综上，直线l 2的方程是x ＋y －7＝0或2x －3y ＋6＝0.。

数学公式数学公式，是表征自然界不同事物之数量之间的或等或不等的联系，它确切的反映了事物内部和外部的关系，是我们从一种事物到达另一种事物的依据，使我们更好的理解事物的本质和内涵。

如一些基本公式抛物线：y = ax *+ bx + c就是y等于ax 的平方加上bx再加上ca > 0时开口向上a < 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a（x+h）* + k就是y等于a乘以（x+h）的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3)面积=(pi)(r^2)周长=2(pi)r圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0（一）椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

（二）椭圆面积计算公式椭圆面积公式：S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T 推导演变而来。

常数为体，公式为用。

椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高三角函数：两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cotacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式：sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式：sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式：sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8 )九倍角公式：sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tan A^6+9*tanA^8)十倍角公式：sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4) )cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^ 4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)²万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBcotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/61^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^21*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有两个不相等的个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根公式分类公式表达式圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h图形周长面积体积公式长方形的周长=（长+宽）³2正方形的周长=边长³4长方形的面积=长³宽正方形的面积=边长³边长三角形的面积已知三角形底a，高h，则S＝ah/2已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S＝√[p(p - a)(p - b)(p - c)] （海伦公式）（p=(a+b+c)/2）和：（a+b+c)*(a+b-c)*1/4已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝absinC/2设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/2设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r则三角形面积=abc/4r已知三角形三边a、b、c,则S＝√{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求积”南宋秦九韶）| a b 1 |S△=1/2 * | c d 1 || e f 1 |【| a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC | e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！】秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.平行四边形的面积=底³高梯形的面积=（上底+下底）³高÷2直径=半径³2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率³直径=圆周率³半径³2圆的面积=圆周率³半径³半径长方体的表面积=（长³宽+长³高＋宽³高）³2长方体的体积=长³宽³高正方体的表面积=棱长³棱长³6正方体的体积=棱长³棱长³棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长³高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积³高圆锥的体积=底面积³高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积³高平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4aS＝a2长方形a和b－边长C＝2(a+b)S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2?sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）³180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（a³b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半l=（a+b）÷2 s=l ³h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（asa）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（sss）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题三（含答案)已知30AOB ∠=，点P 在AOB ∠的内部，点C 和点P 关于OA 对称,点P 关于OB 的对称点是D ，连接CD 交OA 于M ，交OB 于N ，15CD =（1）补全图，并且保留作图痕迹.（2）写出COD ∠= °. PMN ∆的周长为 .【答案】（1）见详解；（2）60，15.【解析】【分析】（1）依据过直线外一点作直线的垂线的作图方法作出过点P 的OA 的垂线，再由P 与点C 到OA 的距离相等即可确定C 点位置，同理可确定点D 位置，连接CD 即可；（2）由对称的定义可知AO 垂直平分CP ，BO 垂直平分DP ，由角平分线的性质可得,COM MOP DON NOP ∠=∠∠=∠，结合30AOB ∠=可得的度数，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得,MC MP ND NP ==，结合15CD =，易得PMN ∆的周长.【详解】解：（1）如图即为所求（2）连接OC 、OD 、OP 、MP 、NP ，由对称的定义可知AO 垂直平分CP ，BO 垂直平分DP ，易得OM 平分COP ∠，ON 平分DOP ∠ ，,COM MOP DON NOP ∴∠=∠∠=∠30COM DON MOP NOP AOB ︒∴∠+∠=∠+∠=∠=303060COD COM DON MOP NOP ︒︒︒∴∠=∠+∠=∠+∠=+=点M 在AO 上，点N 在BO 上,MC MP ND NP ∴==15PMN C MP NP MN MC ND MN CD ∆∴=++=++==所以60COD ︒∠=， PMN ∆的周长为15.【点睛】本题考查了垂线的画法，线段垂直平分线的性质，熟练掌握过直线外一点作已知直线的垂线是解题的关键.32．如图，△ABC 中，△ABC 的周长为38cm ，∠BAC=140°，AB+AC=22cm，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB、AC分别交于点D、G.(1)求∠EAF的度数.(2)求△AEF的周长．【答案】（1）100°；（2）16cm．【解析】【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得出EA＝EB，FA＝FC，所以∠EBA＝∠EAB，∠FAC＝∠FCA，设∠EBA＝∠EAB＝α，∠FAC＝∠FCA＝β，由三角形内角和定理得出α＋β的度数，进而可得出结论；（2）根据△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝BE＋EF＋FC＝BC即可得出结论．【详解】（1）∵DE、FG分别垂直平分AB、AC，∴EA＝EB，FA＝FC，∴∠EBA＝∠EAB，∠FAC＝∠FCA．设∠EBA＝∠EAB＝α，∠FAC＝∠FCA＝β∵∠BAC＝140°，∴α＋β＝40°，∴∠BAE＋∠FAC＝40°，∴∠EAF＝140°−40°＝100°；（2）△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝BE＋EF＋FC＝BC＝38−22＝16cm．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．33．如图，△ABC.（1）尺规作图：过点C作AB的垂线交AB于点O.不写作法，保留作图痕迹；（2）分别以直线AB，OC为x轴，y轴建立平面直角坐标系，使点B，C 均在正半轴上.若AB=7.5，OC=4.5，∠A=45°，写出点B关于y轴的对称点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，求△ACD的面积..【答案】（1）见解析；（2）D(-3,0)；（3）278【解析】【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）先根据题意建立平面直角坐标系，得出A，B，C的坐标，从而可写出点B关于y轴的对称点D的坐标；（3）根据三角形面积计算公式可得出△ACD的面积.【详解】（1）如图所示，（2）建立平面直角坐标系，如图所示，∵∠AOC=90°,∠A=45°，原式∴∠ACO=45°=∴AO=CO，∵OC=4.5，∴AO=4.5，∵AB=7.5，∴OB=AB-AO=7.5-4.5=3，∴B（3，0），∵点B与点D关于y轴对称，∴D(-3,0)；（3）连接CD，如图所示，∵AO=4.5，DO=3，∴AD=32, ∴13927==2228ACD S ⨯⨯△. 【点睛】本题考查了作图-基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．34．尺规作图：如图ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，在AC 上求作一点P ，使CDP CBD S S ∆∆=（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见详解【解析】【分析】要使CDP CBD S S ∆∆=，需要根据同底等高的三角形面积相等来作图即可．【详解】方法一：如图1①在AD 上截取DE DB =②作DEP BDC ∠=∠，EP 交AC 于P ，则点P 为所求图1方法二：如图2①在AD上截取DE DB②过E作AD垂线交AC于P，则点P为所求图2【点睛】本题考查的是尺规作图，作一条线段等于已知线段，作角等于已知角或过一点作已知直线的垂线．35．请用三角尺、圆规或直尺等工具，在图中按下列要求画图。

初中数学如何计算多边形的垂直平分线长度
计算多边形的垂直平分线长度涉及不同类型的多边形，例如三角形、正多边形和不规则多边形等。

下面是计算不同类型多边形垂直平分线长度的一些常见方法：
1. 三角形：
-对于三角形，垂直平分线是从一个顶点到对边上的垂直线段。

可以使用三角形的高度公式来计算垂直平分线的长度。

根据三角形的高度公式，三角形的面积等于底边长度乘以高度再除以2。

因此，可以通过已知的三角形面积和底边长度来计算垂直平分线的长度。

2. 正多边形：
-对于正多边形，垂直平分线是从多边形的中心点到一条边上的垂直线段。

可以使用正多边形的性质来计算垂直平分线长度。

根据正多边形的性质，垂直平分线的长度等于多边形的内接圆半径。

3. 不规则多边形：
-对于不规则多边形，可以通过将其分成多个三角形来计算垂直平分线长度。

将多边形的中心点与各个顶点连接，再将多边形分成多个三角形。

然后，可以使用三角形的高度公式来计算每个三角形的垂直平分线长度，并取平均值得到多边形的垂直平分线长度。

在计算多边形的垂直平分线长度之前，需要确保已知足够的信息，例如三角形的底边长度和面积、正多边形的内接圆半径等。

根据提供的具体情况，选择适当的计算方法，并确保使用正确的公式和数学原理进行计算。