坐标平面上的直线复习

平面直角坐标系中的直线与方程在平面直角坐标系中，直线是一种基本的图形，其方程描述了直线的位置和特征。

本文将讨论直线在坐标系中的表达方式以及与之相关的方程。

1. 直线的一般方程形式一条直线可以由其上任意两点的坐标表示。

设直线上两点的坐标分别为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，则直线的一般方程形式为：(y - y₁) / (y₂ - y₁) = (x - x₁) / (x₂ - x₁)该方程用于表示直线上所有点的坐标关系，其中任意一点(x, y)满足该方程的条件。

2. 直线的斜截式方程直线的斜截式方程是一种常见的表示形式，其中直线的斜率和截距被用来描述直线的特征。

斜截式方程的形式为：y = mx + b其中m表示直线的斜率，b表示直线与y轴的截距。

根据直线的斜率和截距的不同取值，我们可以判断直线的倾斜方向和与坐标轴的交点情况。

3. 直线的点斜式方程直线的点斜式方程是另一种常见的表示形式，其利用直线上一点的坐标和直线的斜率来确定直线的方程。

点斜式方程的形式为：y - y₁ = m(x - x₁)其中(x₁, y₁)为直线上已知的一点，m为直线的斜率。

通过点斜式方程，我们可以直接得到直线的方程，并且了解直线的斜率和通过已知点的情况。

4. 直线的截距式方程直线的截距式方程也是一种常见的表示形式，其利用直线与x轴和y轴的截距来确定直线的方程。

截距式方程的形式为：x / a + y / b = 1其中a和b分别表示直线与x轴和y轴的截距。

通过截距式方程，我们可以了解直线与坐标轴的交点情况，并判断直线的方向和斜率。

总结：通过上述介绍，我们可以了解到直线在平面直角坐标系中的方程形式。

根据直线的特征和已知条件，我们可以选择适合的方程形式来表示直线，并准确描述直线的特征和位置。

在利用直线的方程求解问题时，我们可以根据问题给出的条件和需要求解的未知量，选择合适的方程形式进行计算和推导。

同时，我们也需要注意直线方程的约束条件，例如斜率为零的情况表示直线平行于坐标轴等。

平⾯直⾓坐标系复习题⼀、知识点概述1.特殊位置的点的特征（1）各象限的点的横纵坐标的符号（2）坐标轴上的点（3）⾓平分线上的点2.具有特殊位置的点的坐标特征（1）关于x轴、y轴、坐标原点对称的两点（2）与x轴或y轴平⾏的直线上的点3.距离（1）点A（x,y）到两坐标轴的距离（2）同⼀坐标轴上两点间的距离4.求点的坐标5．点平移的坐标变化规律⼆、例题与练习1.线段CD是由线段AB平移得到的,点A（–1，4）的对应点为C（4，7），则点B（-4，–1）的对应点D的坐标为（）A．（2，9） B．（5，3） C．（1，2） D．（– 9，– 4）2.⼀个长⽅形在平⾯直⾓坐标系中三个顶点的坐标为（–1,–1）、（–1，2）、（3,–1），则第四个顶点的坐标为（）A．（2，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（2，3）3.若点M在第⼀、三象限的⾓平分线上，且点M到x轴的距离为2，则点M的坐标是（） A．（2，2） B．（-2，-2） C．（2，2）或（-2，-2） D．（2，-2）或（-2，2）4.过点A（-2，5）作x轴的垂线L，则直线L上的点的坐标特点是_________．5.已知点P(0,a)在y轴的负半轴上,则点Q(-2a-1,-a+1)在第象限.6.已知点M(2m+1,3m-5)到x轴的距离是它到y轴距离的2倍,则m=7.如果点M（3a-9,1-a）是第三象限的整数点，则M的坐标为；8.点A（-1，2）与B（3，5）的距离是；9．对任意实数x，点2(2)P x x x-，⼀定不在．．（）A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限10.点),4(yP在第⼀象限内, 且OP与x轴正半轴的夹⾓为60, 则OP等于( )(A)334(B) 34(C) 8 (D) 211. 如图，在平⾯直⾓坐标系中，直线l是第⼀、三象限的⾓平分线实验与探究：(1)由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A'的坐标为（2，0），请在图中分别标明B(5,3)、C(-2,5) 关于直线l的对称点B'、C'的位置，并写出他们的坐标:B'、C'；归纳与发现：(2)结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平⾯内任⼀点P(a,b)关于第⼀、三象限的⾓平分线l的对称点P'的坐标为（不必证明）；13．如图为风筝的图案．（1）若原点⽤字母O 表⽰，写出图中点A ，B ，C 的坐标．（2）试求（1）中风筝所覆盖的平⾯的⾯积．14．ABC ?中，点A 的坐标为（0，1），点C 的坐标为（4，3），如果要使ABD ?与ABC ? 全等，那么点D 的坐标是 .15. 三⾓形ABO 是以OB 为底的等腰三⾓形，点O与坐标原点的距离为3，点A 与x 轴的距离为2，写出A,B 的坐标(第22题图）x三、课后作业⼀. 选择题1. 下列各点中，在第⼆象限的点是（）A. （2，3）B. （2，-3）C. （-2，-3）D. （-2，3）2. 将点A（-4，2）向上平移3个单位长度得到的点B的坐标是（）A. （-1，2）B. （-1，5）C. （-4，-1）D. （-4，5）3. 如果点M（a-1，a+1）在x轴上，则a的值为（）A. a=1B. a=-1C. a>0D. a的值不能确定4. 点P的横坐标是-3，且到x轴的距离为5，则P点的坐标是（）A. （5，-3）或（-5，-3）B. （-3，5）或（-3，-5）C. （-3，5）D. （-3，-5）5. 若点P（a，b）在第四象限，则点M（b-a，a-b）在（）A. 第⼀象限B. 第⼆象限C. 第三象限6. 已知正⽅形ABCD的三个顶点坐标为A（2，1），B（5，1），D(2，4)，现将该正⽅形向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到正⽅形A'B'C'D'，则C’点的坐标为（）A. （5，4）B. （5，1）C. （1，1）D. （-1，-1）7. 点M（a，a-1）不可能在（）A. 第⼀象限B. 第⼆象限C. 第三象限D. 第四象限8. 到x轴的距离等于2的点组成的图形是（）A. 过点（0，2）且与x轴平⾏的直线B. 过点（2，0）且与y轴平⾏的直线C. 过点（0，-2且与x轴平⾏的直线D. 分别过（0，2）和（0，-2）且与x轴平⾏的两条直线⼆. 填空题9. 直线a平⾏于x轴，且过点（-2，3）和（5，y），则y=10. 若点M（a-2，2a+3）是x轴上的点，则a的值是11. 已知点P的坐标（2-a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是12. 已知点Q（-8，6），它到x轴的距离是，它到y轴的距离是13. 若P（x，y）是第四象限内的点，且2,3==，则点P的坐标是x y14.在平⾯直⾓坐标系中，点A的坐标为(11)，，点B的坐标为(111)，，点C到直线A B的距离为4，且A B C△是直⾓三⾓形，则满⾜条件的点C有个．15. 如图，在平⾯直⾓坐标系中，有若⼲个整数点，其顺序按图中“→”⽅向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探究可得，第100个点的坐标为．x16. 在平⾯直⾓坐标系内，已知点（1-2a ，a -2）在第三象限的⾓平分线上，求a 的值及点的坐标？17．如图，在平⾯直⾓坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD ．(1)求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的⾯积A B D C S 四边形(2)在y 轴上是否存在⼀点P ，连接PA ，PB ，使PAB S ?＝A B D C S 四边形若存在这样⼀点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由．(3)点P 是线段BD 上的⼀个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B ，D 重合）给出下列结论：①D C P B O PC P O∠+∠∠的值不变，②D C P C P OB O P∠+∠∠的值不变，其中有且只有⼀个是正确的，请你找出这个结论并求其值．。

10、坐标平面上的直线一般地，若y=kx +b(k ，b 是常数，k≠0)，则y 叫做x 的一次函数(1inear function)，它的图象是一条直线，函数解析y=kx+b 中的系数符号，决定图象的大致位置及单调性(y 随x 的变化情况)．如图所示：一次函数、二元一次方程、直线有着深刻的联系，任意一个一次函数y=kx+b 都可看作是关于x ，y 的一个二元一次方程kx-y+b=0；任意一个关于x ，y 的二元一次方程ax+b+c=0可化为形如)0(=/--=b bc x b a y 的函数形式．坐标平面上的直线可以表示一次函数与二元一次方程，而使用方程和函数的思想可以研究直线位置关系，求坐标平面上的直线的交点坐标可转化为解由函数解析式联立的方程组．【例l 】(1)一次函数y=kx+3的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k 的值为 ． (2005年黑龙江省中考题) (2)在直角坐标系中，有四个点A(一8，3)，B(一4，5)，C(0，n)，D(m ，0)，当四边形ABCD 的周长最短时，则nm的值为 (湖北省竞赛题) 思路点拨对于(1)，把直线与坐标轴交点坐标用k 的代数式表示，用勾股定理建立h 的方程；对于(2)，AB 的长度不变，只需使其余的三条线段的和最短，设法将折线拉直，不妨考虑运用对称的知识与方法．【例2】设直线2)1(=++y n nx (n 为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为S n (n=1，2，…2000)，则S 1+S 2+… S 2000的值为( )．20022001.20012000.0201999.1.D C B A θ (河北省竞赛题)思路点拨求出直线与x 轴、y 轴的交点坐标，从一般形式入手，把Sn 用含n 的代数式表示．【例3】 甲、乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲同学和乙同学沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶的过程中，各自行进的路程随时间变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题：(1)分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程S(千米)与时间t(时)的函数解析式(不要求写出自变量t 的取值范围)；(2)当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A 处，求A 点距山顶的距离；(3)在(2)的条件下，设乙同学从A 处继续登山，甲同学到达山顶后休息l 小时，沿原路下山，在点B 处与乙相遇，此时点B 与山顶距离为l ．5千米，相遇后甲、乙各自按原来的路线下山和上山，求乙到达山顶时，甲离山脚的距离是多少千米? (2005年哈尔滨市中考题)思路点拨 对于(3)，解题的关键是从图象获取信息，确定直线BD 的解析式．【例4】如图，在平面直角坐标系中，CA ⊥x 轴于点A(1，O)，DB⊥x 轴于点B(3，0)，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点F 、E ，且解析式为y=kx+3，S 四边形ABD C =4．(1)求直线CD 的解析式；(2)试探索在x 轴正半轴上存在几个点P ，使△EPF 为等腰三角形，并求出这些点的坐标．(2005年包头市中考题)思路点拨:对于(1)，利用面积关系建立k 的方程；对于(2)，由于等腰三角形底未确定、应根据P 点的位置分情况讨论．【例5】如图，直线133+-=x y 与x 轴、Y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=900，如果在第二象限内有一点),21,(a P 且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，求a 的值． (天津市竞赛题)思路点拨．利用ABC ABP S S ∆∆=c ，建立含a 的方程，解题的突破口是把ABP S ∆表示成有边落在坐标轴上的三角形面积的和差．1．直线y=mx+n 如图所示，化简=--2||m n m (2005年山西省中考题) 2．如图，直线834+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 上的一点，若将△ABM 沿AM 折叠，点B 恰好落在X 轴上的点B 处，则直线AM 的解析式为 ． (2005年重庆市中考题)3．点A 为直线y=一2x+2上的一点，点A 到两坐标轴的距离相等，则点A 的坐标为 ．(2004年无锡市中考题) 4．已知abc≠0，并且,P bac a c b c b a =+=+=+则直线y=px+p 一定通过 象限． (2004年镇江市中考题)5．如图，是在同一坐标系内作出的一次函数y 1，y 2的图象L 1，L 2，设Y 1=k 1x+b 1，Y 2=K 2X+b 2，则方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222111b x k y b x k y 的解是( )．⎩⎨⎧=-=22.y x A ⎩⎨⎧=-=32.y x B ⎩⎨⎧=-=33.y x C ⎩⎨⎧=-=43.y x D6．如图，Rt△ABC 中，∠C=900，AC=4，BC=8，P 是AB 上一动点，直线PQ⊥ AC 予点Q ，设AQ=x ，则图中阴影部分的面积y 与X 之问函数关系的图象是( ) ( 2005年河南省中考题)7．从2，3，4，5这四个数中，任取两个数P 和q(p≠q)，构成函数Y 1=px 一2和Y 2=X 十q ，使两个函数图象的交点在直线X=2的左侧，则这样的有序数组(p ，q)共有( )．(2005年嘉兴市中考题) A ．12组 B ．6组 C ．5组 D ．3组8．甲、乙两同学从A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B 地，他们离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间 的函数关系的图象如图所示．根据图中提供的信息，有下列 说法： (1)他们都行驶了l8千米；(2)甲在途中停留了0．5小时； (3)乙比甲晚出发0．5小时； ． (4)相遇后，甲的速度小于乙的速度； (5)甲、乙两人同时到达目的地．其中符合图象描述的说法有( )．A．2个 B．3个， C．4个 D．5个(2005年陕西省中考题)9．如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程 y随时间x 变化的图象(全程)．根据图象回答下列问题：(1)求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇；(2)求这次比赛全程是多少千米；(3)求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇．(2004年黑龙江省中考题)10．春、秋季节，由于冷空气的入侵，地面气温急剧下降到00C以下的天气现象称为“霜冻”．由霜冻导致植物生长受到影响或破坏的现象称为霜冻灾害．某种植物在气温是0。