数学高中学业水平测试课件：专题十四第47讲椭圆

3．直线与椭圆的综合问题 【例 3】 已知椭圆：y92＋x2＝1，过点 P12，12的直 线与椭圆相交于 A，B 两点，且弦 AB 被点 P 平分，求直 线 AB 的方程．
解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵A，B
在椭圆y92＋x2＝1
y912＋x21＝1， 上，∴y922＋x22＝1，
整理得 P 点的轨迹方程为，x42＋y2＝1(y≠0)． (2)设点 N(2，m)(m≠0)，直线 AN 的方程为 y＝m4 (x ＋2)，
联立y＝m4 （x＋2），消去 y 得(4＋m2)x2＋4m2x＋ x2＋4y2＝4，
4m2－16＝0.
设 Q(x1，y1)，则 x1＋(－2)＝－ m24＋m42，所以 x1＝2＋－m24＋m42
＝1，为定值．
10．已知椭圆 E：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的短轴长为 2， 离心率为 36，直线 l 过点(－1，0)交椭圆 E 于 A，B 两点， O 为坐标原点．
(1)求椭圆 E 的标准方程； (2)求△OAB 面积的最大值．
解：(1)由题意得 b＝1，由ac＝ 36，
a＝ 3， 得
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
解析：由直线方程可得直线恒过定点(0，1)，当(0，
1)在椭圆内部时满足题意要求，所以当椭圆焦点在 y 轴时
m＞5，满足(0，1)在椭圆内部，当椭圆焦点在 x 轴时需满 足 1＜m＜5，所以 m 的取值范围为(1，5)∪(5，＋∞)．
答案：(1，5)∪(5，＋∞)
9．在平面直角坐标系中，已知定点 A(－2，0)、B(2， 0)，异于 A、B 两点的动点 P 满足 k1·k2＝－14，其中 k1、 k2 分别表示直线 AP、BP 的斜率．
－b≤x≤b －a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
性轴 质 焦距
A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0)
长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1B2 的长为 2b |F1F2|＝2c
离心率
剖析：中点弦问题通常用设而不求的方法，就是“点 差法”．
1．设 F1，F2 分别是椭圆2x52＋1y62 ＝1 的左、右焦点，
P 为该椭圆上一点，M 是 F1P 的中点，|OM|＝3，则 P 点
到此椭圆左焦点的距离为( )
A．4
B．3
C．2
D．5
解析：由题意知，在△PF1F2
1 中，|OM|＝2|PF2|＝3，
e＝ac∈(0，1)
a，b，c 的关系
a2＝b2＋c2
3.知识拓展 点 P(x0，y0)和椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的关系： (1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔xa202＋by202<1. (2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔xa202＋by202＝1. (3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔xa202＋by202>1.
S△OAB＝12×1×|y1－y2|＝
1 2
（y1＋y2）2－4y1y2＝
3m2＋6 （m2＋3）2，
设 m2 ＋ 3 ＝ t(t≥3) ， 则 S △ OAB ＝
－31t 2＋3t ＝ －31t －122＋34， 因为 t≥3，所以 0＜1t ≤13，
3t－3 t2 ＝
所以当1t ＝13，即 t＝3 时，△OAB 的面积取得最大值 36， 此时 m＝0.
|PF2|＝6，从而可知|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.
答案：A
2．已知 F1，F2 是椭圆 x2＋2y2＝6 的两个焦点，点 M
在此椭圆上且∠F1MF2＝60°，则△MF1F2 的面积等于
()
A. 2 B. 3 C．2 D. 5 解析：x2＋2y2＝6 即x62＋y32＝1，所以 a＝c＝ 6，c＝ 3， 设|MF1|＝t，则在△MF1F2 中，由余弦定理得，(2c)2＝(2a－ t)2＋t2－2t(2a－t)cos 60°，解得 t＝ 6± 2，S△MF1F2＝12 |MF1|·|MF2|sin 60°＝ 3，即∠MF1F2 的面积为 3. 答案：B
＝8m－2＋2m42，
从而 Q8m－2＋2m42，m42＋m 4.
4m 而 B(2，0)，所以 QB 直线斜率 kQB＝8m－m2＋22m＋42－4 2＝－n1，
因为直线 QB 与以 NB 为直径的圆的另一个交点为 M，所以 MN⊥QB.
所以 MN 方程为 y－m＝m(x－2)，即 y＝m(x－1)， 过定点 C(1，0)
②利用椭圆的几何性质的技巧． 求解与椭圆的几何性质有关的问题时，要结合图形进 行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量 时，要理清它们之间的内在联系．
(2)求椭圆的离心率问题的一般思路． 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一 个关于 a，b，c 的等式或不等式，利用 a2＝b2＋c2 消去 b， 即可求得离心率或离心率的范围．
答案：C
2．椭圆的几何性质 【例 2】 已知两定点 A(－1，0)和 B(1，0)，动点 P(x，y)在直线 l∶y＝x＋2 上移动，椭圆 C 以 A，B 为焦 点且经过点 P，则椭圆 C 的离心率的最大值为________． 解析：∵点 A(－1，0)关于直线 l：y＝x＋2 的对称点
为 A′(－2，1)，连接 A′B 交直线 l 于点 P，
a2＝1＋c2， c＝ 2，
所以椭圆 E 的标准方程为x32＋y2＝ 1.
(2)依题意可设直线 l 的方程为 x＝my－1，
由x32＋y2＝1 ，得(m2＋3)y2－2my－2＝0， x＝my－1
Δ＝4m2＋8(m2＋3)＞0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
y1＋y2＝m22＋m 3， y1y2＝－m22＋3，
(1)若 a>c，则集合 P 表示点的轨迹为椭圆； (2)若 a＝c，则集合 P 表示点的轨迹为线段； (3)若 a<c，则集合 P 为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
xa22＋by22＝1 (a>b>0)
ay22＋xb22＝ 1(a>b>0)
图形
－a≤x≤a 性质 范围 －b≤y≤b
法一：即 C，M，N 三点共线，又 CB 是以 NB 为直 径的圆的切线，由切割线定理可知，|CM|·|CN|＝|CB|2 ＝1，为定值．
法二：直线 QB：y＝－m1 (x－2)，直线 CN：y＝m(x
－1)，
联
立
得
，
xM
＝
m2＋2 m2＋1
，
|CM|
·
|CN|
＝· 1＋k2CN|xN－xC|＝ 1＋m2mm22＋ ＋21－1· 1＋m2|2－1|＝(1＋m2)·m21＋1
7．已知点 A，D 分别是椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0) 的左顶点和上顶点，椭圆的左右焦点分别是 F1 和 F2，点 P 是线段 AD 上的动点，如果P→F1⊥P→F2的最大值是 2，最 小值是解－析23：，当那P么在，A椭点圆时的P→CF1的·标P→F准2最方大程，是此__时__P_→F__1·_．P→F2 ＝a2－c2＝b2＝2，设直线 AD 与圆交于 M，N 两点，P 在 MN 中点时P→F1·P→F2最小，设中点为 C.所以 OC⊥AB， AB 直线为 bx－ay＝－ab，所以 OC 直线为 y＝－abx，
专题 十四 圆锥曲线与方程
第 47 讲 椭圆
1．椭圆的概念
平面内到两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数(大于 |F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点 F1，F2 叫作椭 圆的焦点，两焦点 F1，F2 的距离叫作椭圆的焦距．
集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a>0，c>0，且 a，c 为常数：
(1)求动点 P 的轨迹 E 的方程； (2)若 N 是直线 x＝2 上异于点 B 的任意一点，直线 AN 与(1)中轨迹 E 交于点 Q，设直线 QB 与以 NB 为直径 的圆的一个交点为 M(异于点 B)，点 C(1，0)，求证： |CM|·|CN|为定值．
解：(1)设 P(x，y)，由 k1k2＝－14得x＋y 2·x－y 2＝－14， 其中 x＝±2，
联立方程得 C－a2a＋b2b2，a2a＋2bb2，所以P→F1·P→F2最小 值为aa2＋2b2b2－c2＝－23，所以 a2＝4，c2＝2，椭圆的 C 的标 准方程x42＋y22＝1.
答案：x42＋y22＝1
8．已知直线 y＝kx＋1(k∈R)与椭圆x52＋my2＝1 恒有两 个公共点，则 m 的取值范围为________．
两式相减得y12－9 y22＋x21－x22＝0，
（y1－y2）（y1＋y2）
即
9
＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，
又弦 AB 被点 P12，12平分，∴x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，
y1－y2
y1－y2
将其代入上式得 9 ＋x1－x2＝0，即x1－x2＝－9，
即直线 AB 的斜率为－9， ∴直线 AB 的方程为 y－12＝－9x－12， 即 9x＋y－5＝0.
A．m＞3 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆 B．m＝3 时，曲线 C 是圆 C．m＜1 时，曲线 C 是双曲线 D．m＞1 时，曲线 C 是椭圆
解析：A．m＞3 时，m－1＞2，所以曲线 C 表示焦 点在 y 轴上的椭圆，正确；B.m＝3 时，曲线 C 为x22＋y22＝ 1 即 x2＋y2＝2，因此曲线 C 表示圆，正确；C.m＜1 时， m－1＜0，所以曲线 C 是双曲线，正确；D.m＞1 时，曲 线 C 是椭圆，错误，因为当 m＝3 时，曲线 C 是圆．