六年级第三讲 分数数列求和及答案(学生版)

生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。

——马克思小学阶段的数论知识包括数的整除、奇偶性、质数合数、约数倍数、同余问题、完全平方数等，这些知识也是初中数论的重点，分班考试的命题则在于考查这些知识的基本性质及其应用。

1.两个整数相加时，和是一个两位数，且两个数字相同；相乘时，积是一个三位数，且三个数字相同。

请写出所有满足上述条件的两个整数。

2. 一个五位数是54的倍数，并且它的各位数字都不为0。

删去它的一位数字后所得的四位数仍是54的倍数.再删去该四位数的一位数字后所得的三位数还是54的倍数，再删去该三位数的一位数字后所得的两位数还是54的倍数，试求原五位数。

3.已知2006120062111222N =⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 个个，试将N 表示为4个大于1的自然数之积。

4.一队少年儿童不超过50人，围成一圈作游戏．每个儿童的左右相邻都恰是一个男孩子和一个女孩子。

问：这队少年儿童最多有多少人?为什么?真题模考第三讲数论生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。

——马克思5.将12345678910111213…依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，此数除以9的余数是几？6. 求同时满足下列三个条件的自然数a 、b ：①a b >；②169ab a b=+；③a b +是平方数。

7. 在11张卡片上各写有一个不超过5的数字，将这些卡片排成一行，得到一个11位数；再将它们按另一种顺序排成一行，又得到一个11位数.请证明这两个11位数的和的十进制表达式中至少有一位数字是偶数。

【例1】 已知p 、q 均为质数，且满足25359p p +=，则以3p +，1p q -+，24p q +-为边长的三角形是（ ）。

A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 等腰三角形考点拓展生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。

——马克思【例2】 π的前24位数值为3.14159265358979323846264 在这24个数字中，任意逐个抽取1个数字，并依次记作1a ，2a ，3a ，…24a ，则12342324()()()a a a a a a --- 为（ ）。

+ 9 + 99 + 999 ) ⨯ (1- ) ⨯L ⨯ (1- ) ；（4） + + L + + + + L + + L + + ⎪ +⎝ 2 3 ⎝ 99 100 ⎭ 100100 ⎭ ⎝ 3 4 100 ⎭ + + L + ⎪ + + + L + ⎪ + L + + ⎪+ ．⎝ 2 3 ⎝ 19 20 ⎭ 2020 ⎭ ⎝ 3 4 20 ⎭ 1 ⎫ ⎛ 2 2 2 ⎫ 1 ⎫ ⎛ 2 2 2 ⎫第三讲 分数计算综合提高本讲知识点汇总：一、 分数计算技巧1. 凑整2. 分组3. 提取公因数4. 约分（整体约分）二、 分数与循环小数互化1. 分数化循环小数2. 循环小数化分数三、 比较与估算四、 分数裂项五、 分数数列、数表例1． （1） 3 3 3 3 + 1 ；44 4 4（2） 1 ⨯ 2 ⨯ 3 ⨯ L ⨯ 99 ； 2 3 4 100（3） (1- 1221 1 32 992⎛ 1 1 ⎛ 98 98 ⎫ 99 ⎪ ⎪「分析」大家还记得凑整、分组、约分等巧算方法吗？⎛ 1 1 ⎛18 18 ⎫ 19 练习 1、．例2．（1） 191919++⎪÷；（4）⎛⎪⨯++⎪-+++⎪⨯+⎪．2010201120122013练习2、（1） 202020++20002000⎪÷⨯2020例3．算式1+++++++++结果的小数点后第2013练习3、算式：1+1例4．（1）1++++L+（2）1++++L+⎝98989898098098009800⎭98（2）1665+666⨯1664；1665⨯666+9992011+2012+20132012+2013+20142013+2014+20152014+2015+2016 -+-（3）；1111-+-2010201120122013515973⎫⎛597315⎫⎛51597315⎫⎛5973⎫++⎝153795⎭⎝379551⎭⎝15379551⎭⎝3795⎭「分析」约分和换元法．⎝13131313013013001300⎭201313；（2）1⨯3⨯5+2⨯4⨯6+3⨯6⨯9+4⨯8⨯12．2⨯6⨯10+4⨯8⨯12+6⨯12⨯18+8⨯16⨯24111111111 234567891011位数字是多少，循环节是多少？「分析」题目中有限小数是不影响小数点后2013位的，计算时可以不考虑．11111111++++++++的计算结果，小数点后第23456789102012位是数字多少？11112⨯33⨯44⨯55⨯62012⨯2013；11111⨯33⨯55⨯77⨯913⨯15；（3） - + - + - + - + ；（4） - + - + - ． + + + + L + （2） + + + + L + ．已知 2*3= ，那么：+， a 它， ； ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， ， ；3 5 7 9 11 13 15 17 192 6 12 20 30 42 56 72 904 812 16 20 24 28 32+ -3 15 35 63 99 143 195 255「分析」分数裂项的两种基本方向：“裂和”或“裂差”．1 1 1 1 1练习 4、（1）2 ⨯ 4 4 ⨯ 6 6 ⨯ 8 8 ⨯10 16 ⨯181 5 11 19 209 239+ 2 6 12 20 210 240；例5． 已知“*”表示一种运算符号， 的含义是： * b = 141 1ab (a + 1)(b + A)（1）A 等于多少？（2）计算 (1* 2 ) + (3 * 4 ) + (5 * 6 ) + L + (99 *100 ) ．「分析」这是一道定义新运算的题目，首先要弄清楚题目定义的新运算计算方法，然后按这个方法计算即可．例6． 观察下面的数表：1 1 ；2 1 1 23 2 11 2 34 3 2 11 2 3 45 4 3 2 11 2 3 4 5… … … … … … … …．根据前五行数所表达的规律，1991这个数位于由上而下的第几行；1949在这一行中，它位于由左向右的第几个？「分析」这是一道数表题目，注意每行分数个数的变化，以及分子、分母数值上的变化．1.计算： ++L+⎪+++L+⎪+ ++L+⎪+L+ +⎪+1⎫⎛222⎫⎛333⎫2.算式++++结果的小数点后第666位、2013位数字分别是多少？3.计算：1++L+．4.计算：1++++L+．作业⎛11⎛88⎫9⎝2310⎭⎝3410⎭⎝4510⎭⎝910⎭10．11 3617+18+1111+9101112 111⨯33⨯535⨯3711111⨯2⨯32⨯3⨯43⨯4⨯54⨯5⨯611⨯12⨯135.将真分数按照图中数表方式排列开，那么位于不超过100行，100列的所有真分数之和是多少？12233445132435461425364715263748LLLLM M M M O解答：（1） 原式 = ⎪ ⨯ = 3 ⨯ ⨯ = 3 ； (1664 + 1)⨯ 666 + 999 1664 ⨯ 666 + 1665 = 1 ；3 + ⎪ - 3 + ⎪ + 3 + ⎪ - 3 + ⎪ 2010 ⎭ ⎝ 2011 ⎭ ⎝ 2012 ⎭ ⎝ 2013 ⎭ （ 3 ） 原式= ⎝ = 2010 2011 2012 2013 =6 ；； Y = +， Y ⨯ X + ⎪ - Y + ⎪ ⨯ X = (Y - X )⨯= 1 ．+ + = 0.142857& + 0.111111&+ 0.090909& = 0.344877& ，所以第 2013 位数字是 4，注意到1 1 1 1 - + - + L + - = - = ； （2） 1 + + L + = 1 - + - + L + - ⎪⨯ = ；（4） 原式 == 1 + 2-⎪ - 2++ 3 ⎪ + - 3 + 4 ⎪+- L + -9 + 10 ⎪ +1 + 3 1 ⎫3 +⎛51 51+ 7 ⎛ 1 + 19 ⎫ 9 + 11⎛ 111 + 13 13 + 15 15 + 17 16 ⎝ ⎭ ⎭第三讲 分数计算综合提高例7． 答案：1111、 1 、 50 、2475．10099解答：（1）凑整；（2）约分；（3）平方差公式后约分；（4）找规律计算，括号展开后分别计算同分母分数，会发现等差数列．例8． 答案：3；1；6；1．⎛ 19 ⨯10101 190 ⨯1001 1900 ⨯10001 ⎫ 98 + +⎝ 98 ⨯10101 980 ⨯1001 9800 ⨯10001 ⎭ 1919 98 98 19（2） 1665 + 666 ⨯1664 1665 ⨯ 666 + 999 1665 + 666 ⨯1664 1665 + 666 ⨯1664 = =⎛ 1 + 2 + 3 ⎫ ⎛ 1 + 2 + 3 ⎫ ⎛ 1 + 2 + 3 ⎫ ⎛ 1 + 2 + 3 ⎫ 6 6 6 6 - + -1 1 1 1 1 1 1 1- + - - + - 2010 2011 2012 2013 2010 2011 2012 2013（4）设： X =例9． 答案：4；448773．解答： 首先，不考虑：1 1 1 1 1 1 1、 、 、 、 、 + 这五个分数，剩下的分数转化为循环小数：2 4 5 8 103 6& & & &7 9 11 8小数点后第 3 位，所以循环节是 877344．例10． 答案： 2011 ； 7 ； 1 1 ； 16 ．4026 15 10 17会影响到解答：（1） 原式 = 1 1 1 1 1 1 1 1 20112 3 3 4 2012 2013 2 2013 40261 1 ⎛ 1 1 11 1 ⎫ 1 7 1⨯ 3 3 ⨯ 5 13 ⨯15 ⎝ 3 3 5 13 15 ⎭2 15（3） 原式 =1 +2 2 +3 3 +4 4 +5 5 +6 6 +7 7 +8 8 +9 9 + 10- + - + - + - + ； 1⨯ 2 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 4 ⨯ 5 5 ⨯ 6 6 ⨯ 7 7 ⨯ 8 8 ⨯ 9 9 ⨯10- = ． 1⨯ 3 ⎭3 ⨯⎝5 5 ⨯ 7 ⎝ 7 ⨯ 9 ⎭ 9 ⨯11⎝ 11⨯13 13 ⨯15 15 ⨯17 17 1 1 = 1 + = 110 10例11． 答案：1； 100 ．101解答：（1） a * b = 1 ； 2 * 3 = + = ；A =1；+ + L + + =，所以第 1949 列，3939 行得到的是 ． ； ．简答：（1） 原式= + ⎪⨯ ⨯= ，……， = ， 简答： 小数点后第 2012 位只与 、 、 、 有关，而 + = ， + =0.253968& ，2012 ÷ 6 余 2，所以， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 练习 4、答案： 9 ； ．简答：（1） 原式 = - + - + L + - ⎪⨯ = ； （2） 原式= 1 - ⎪ + 1 - ⎪ + L + 1 - ⎪ =15 - 1 - ⎪ =14 ．1 ⎫1 1 1 1+ ab (a + 1)(b + A) 2 ⨯ 3 (2 + 1)(3 + A) 4（2） (1 * 2) + (3 * 4) + L + (99 *100 )= 1 1 1 1 100 1⨯ 2 2 ⨯ 3 99 ⨯100 100 ⨯101 101．例12． 答案：3939；1949．解答：观察图表可发现第一列分数的分母都是 1，第 2 列分数的分母都是 2，第 3 列分数的分母都是 3，第 4 列分数的分母都是 4，……，第 1949 列分数的分母都是 1949，且第 1949 列、第 1949 行的分数是 1 19911949 1949练习：练习 1、答案：95．简答：分母是 2、3、4、……，的分数之和依次是 0.5、1、1.5、……，这样一个的等差数列，所以，和是(0.5 + 9.5)⨯192= 95 ．练习 2、答案： 24000 12197 8⎛ 20 20 20 ⎫ 20 20 24000 + = ⎝ 13 13 13 ⎭ 13 13 2197；（2）1⨯ 3 ⨯ 5 1 4 ⨯ 8 ⨯12 1 2 ⨯ 6 ⨯10 8 8 ⨯16 ⨯ 24 81⨯ 3 ⨯ 5 + 2 ⨯ 4 ⨯ 6 + 3 ⨯ 6 ⨯ 9 + 4 ⨯ 8 ⨯12 1 =2 ⨯ 6 ⨯10 + 4 ⨯ 8 ⨯12 + 6 ⨯12 ⨯ 18 + 8 ⨯16 ⨯ 248练习 3、答案：5．& 3 6 7 9 3 6 2 7 92012 位是 5．1040 21⎛ 1 1 1 1 1 1 ⎫ 1 2 ⎝ 2 4 4 616 18 ⎭ 2 9⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛ ⎛ 1 ⎫ 1 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 6 ⎭ ⎝ 240 ⎭ ⎝ 15 ⎭ 15+ + L + ⎪+ + + L + ⎪+ + + L + ⎪ + L + + ⎪+= + + ⎪+ + + ⎪ + L + + + L + ⎪= + ⨯ + ⨯ + L + ⨯= + + + L + 1 ⎫ ⎛ 2 2 2 ⎫ ⎛ 3 3 3 ⎫ 10 ⎭ ⎝ 3 4 10 ⎭ ⎝ 4 5 10 ⎭ + + L + = ⨯ 1 - + - + L + - ⎪= ⨯ 1 - ⎪ + + + + L += ⨯ ( - + - + L + - )作业6. 答案：22.5．简答：⎛ 1 1 ⎛ 8 8 ⎫ 9⎝ 2 3 ⎝ 9 10 ⎭ 101 ⎛ 12 ⎫ ⎛ 1 23 ⎫ ⎛ 1 2 9 ⎫ 2 ⎝ 3 3 ⎭ ⎝4 4 4 ⎭ ⎝ 10 10 10 ⎭ 1 1 2 ⨯ 3 1 3 ⨯ 4 1 9 ⨯102 3 2 4 2 10 2 1 2 3 9 2 2 2 2 1 9 ⨯10 = ⨯ 2 2 = 45 27. 答案：第 666 位、2013 位数字分别是 0、8．简答：同例 3 的算法．8. 答案： 18 ．简答：371 1 11⨯ 3 3 ⨯ 5 35 ⨯ 371 ⎛ 1 1 1 1 1 ⎫2 ⎝3 3 5 35 37 ⎭1 ⎛1 ⎫2 ⎝ 37 ⎭．= 18 379. 答案： 77 312．简答：1 1 1 1 11⨯ 2 ⨯ 3 2 ⨯ 3 ⨯ 4 3 ⨯ 4 ⨯ 5 4 ⨯ 5 ⨯ 6 11⨯12 ⨯13 1 1 1 1 1 1 1 2 1⨯ 2 2 ⨯ 3 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 11⨯12 12 ⨯131 1 1 = ⨯ ( - )2 2 12 ⨯13．=77 31210. 答案：394272．简答：．按从右上到左下斜线计算，发现分母是 2、3、4、5、6……的分数之和依次是0.5、1、1.5、2、……，接下来按等差数列即可得出 394272．。

第2节：分数裂项与数列求和如果一个分数可以写成b a a b +⨯或者b aa b-⨯会的形式， 我们就可以把这个分数拆成两个单位分数的和或者差。

这个拆分的过程叫做“裂和”或“裂差”。

裂和：11b a a b a b +=+⨯ ；裂差：11b a a b a b-=-⨯。

利用裂项， 将算式中的 分数做适当的拆分， 使其中一部分可以相互抵消， 可以达到简化计算的效果但裂项并非万能， 只有具备一定特点的算式才能裂项． 因此， 大家在学习裂项时， 必须注意以下几点：（1）要弄清具有何种特征的算式可以裂项；（2）要根据题目的具体情况， 灵活选用合适的裂项方法，切忌生搬硬套； （3）裂项相消之后究竞哪些项消去了， 哪些项留下来了， 必须一清二楚． 只有把握住这三点， 才能准确地把握这一技巧． 希望大家在下面的学习中细心体会．【例1】111111111612203042567290110++++++++【例2】57911131561220304256-+-+-模块一：分数裂项求和【例3】11113296192320+++【例4】11111232343458910++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1.111112233499100+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯2.111111111612203042567290110++++++++3.179111315131220304256-+-+-4.11111 26122030 ++++5.11111 315356399 ++++6.11113296192320+++一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差。

（1）求和公式：（首项＋末项）×项数÷2（2）项数公式：（末项—首项）÷公差＋1（3）第n项公式：首项＋（1n-）×公差．在涉及等差数列的整数数列计算中，我们常用到“ 分组配对” 的方法．事实上，“分组配对“ 不仅在等差数列中用得到，在很多与数列计算相关的问题中也能够发挥作用。

小学阶段的数论知识包括数的整除、奇偶性、质数合数、约数倍数、同余问题、完全平方数等，这些知识也是初中数论的重点，分班考试的命题则在于考查这些知识的基本性质及其应用。

1.两个整数相加时，和是一个两位数，且两个数字相同；相乘时，积是一个三位数，且三个数字相同。

请写出所有满足上述条件的两个整数。

2. 一个五位数是54的倍数，并且它的各位数字都不为0。

删去它的一位数字后所得的四位数仍是54的倍数.再删去该四位数的一位数字后所得的三位数还是54的倍数，再删去该三位数的一位数字后所得的两位数还是54的倍数，试求原五位数。

3.已知2006120062111222N =⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个，试将N 表示为4个大于1的自然数之积。

4.一队少年儿童不超过50人，围成一圈作游戏．每个儿童的左右相邻都恰是一个男孩子和一个女孩子。

问：这队少年儿童最多有多少人?为什么?5. 将12345678910111213…依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，此数除以9的余数是几？第三讲数论6. 求同时满足下列三个条件的自然数a 、b ：①a b >；②169ab a b=+；③a b +是平方数。

7. 在11张卡片上各写有一个不超过5的数字，将这些卡片排成一行，得到一个11位数；再将它们按另一种顺序排成一行，又得到一个11位数.请证明这两个11位数的和的十进制表达式中至少有一位数字是偶数。

【例1】 已知p 、q 均为质数，且满足25359p p +=，则以3p +，1p q -+，24p q +-为边长的三角形是（ ）。

A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 等腰三角形【例2】 π的前24位数值为 3.14159265358979323846264在这24个数字中，任意逐个抽取1个数字，并依次记作1a ，2a ，3a ，…24a ，则12342324()()()a a a a a a ---为（ ）。

第三讲 分数计算综合提高本讲知识点汇总：一、 分数计算技巧1. 凑整2. 分组3. 提取公因数4. 约分（整体约分） 二、 分数与循环小数互化1. 分数化循环小数2. 循环小数化分数 三、 比较与估算 四、 分数裂项 五、 分数数列、数表例1． （1）333399999914444++++； （2）12399234100⨯⨯⨯⨯L ；（3）222111(1)(1)(1)2399-⨯-⨯⨯-L ； （4）111222989899231003410099100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L ． 「分析」大家还记得凑整、分组、约分等巧算方法吗？练习1、．11122218181923203420192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L例2． （1）19191919019019001900199898989809809800980098⎛⎫++÷⎪⎝⎭；（2）166********1665666999+⨯⨯+；（3）201120122013201220132014201320142015201420152016201020112012201311112010201120122013++++++++-+--+-；（4）515973597315515973155973153795379551153795513795⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 「分析」约分和换元法．练习2、（1）； （2）．例3． 算式1111111111234567891011+++++++++结果的小数点后第2013位数字是多少，循环节是多少？「分析」题目中有限小数是不影响小数点后2013位的，计算时可以不考虑．练习3、算式：的计算结果，小数点后第2012位是数字多少？例4． （1）111112334455620122013+++++⨯⨯⨯⨯⨯L ； （2）11111133557791315+++++⨯⨯⨯⨯⨯L ； 11111111112345678910+++++++++ 1352463694812261048126121881624⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2020202002002000200013202013131313013013001300201313⎛⎫++÷⨯⎪⎝⎭（3）357911131517192612203042567290-+-+-+-+；（4）48121620242832315356399143195255-+-+-+-．「分析」分数裂项的两种基本方向：“裂和”或“裂差”．练习4、（1）； （2）．例5． 已知“*”表示一种运算符号，它的含义是：11(1)()a b ab a b A *=+++，已知2*3=14，那么： （1）A 等于多少？（2）计算()()()()12345699100*+*+*++*L ．「分析」这是一道定义新运算的题目，首先要弄清楚题目定义的新运算计算方法，然后按这个方法计算即可．例6． 观察下面的数表：11； 21，12； 31，22，13； 41，32，23，14；51，42，33，24，15； … … … … … … … …． 根据前五行数所表达的规律，19911949这个数位于由上而下的第几行；151119209239261220210240++++++L 111112446688101618+++++⨯⨯⨯⨯⨯L在这一行中，它位于由左向右的第几个？「分析」这是一道数表题目，注意每行分数个数的变化，以及分子、分母数值上的变化．作业1. 计算：．2. 算式结果的小数点后第666位、2013位数字分别是多少？3. 计算：．4. 计算：．5. 将真分数按照图中数表方式排列开，那么位于不超过100行，100列的所有真分数之和是多少？11112345222235643333567444445678L LL LM M M M O11111123234345456111213+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 11113353537+++⨯⨯⨯L 1111111136789101112+++++++ 11122233388923103410451091010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L第三讲 分数计算综合提高例7． 答案：1111、1100、5099、2475． 解答：（1）凑整；（2）约分；（3）平方差公式后约分；（4）找规律计算，括号展开后分别计算同分母分数，会发现等差数列．例8． 答案：3；1；6；1．解答：（1）191010119010011900100019819983398101019801001980010001199819⨯⨯⨯⎛⎫=++⨯=⨯⨯= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭原式； （2）()166566616641665666166416656661664116656669991664166699916646661665+⨯+⨯+⨯===⨯++⨯+⨯+；（3）12312312312333332010201120122013=11112010201120122013++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+-原式66662010201120122013==611112010201120122013-+--+-；（4）设：59733795X =+；515973153795Y =++，()1515151515151Y X Y X Y X ⎛⎫⎛⎫⨯+-+⨯=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．例9． 答案：4；448773．解答：首先，不考虑：12、14、15、18、110、这五个分数，剩下的分数转化为循环小数：1110.1428570.1111110.0909090.3448777911++=++=&&&&&&&&，所以第2013位数字是4，注意到18会影响到小数点后第3位，所以循环节是877344．例10． 答案：20114026；715；1110；1617． 解答：（1）111111112011=233420122013220134026=-+-++-=-L 原式； （2）11111111171133513153351315215⎛⎫+++=-+-++-⨯= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭L L ； （3）12233445566778899101223344556677889910111111112233491011111010+++++++++=-+-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+=L 原式； （4）1335577991111131315151716=1335577991111131315151717++++++++=-+-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯原式． 例11． 答案：1；100101． 1136+解答：（1）11(1)()a b ab a b A *=+++；1112323(21)(3)4A *=+=⨯++；A =1； （2）()()()1111100123499100=122399100100101101*+*++*++++=⨯⨯⨯⨯L L ．例12． 答案：3939；1949．解答：观察图表可发现第一列分数的分母都是1，第2列分数的分母都是2，第3列分数的分母都是3，第4列分数的分母都是4，……，第1949列分数的分母都是1949，且第1949列、第1949行的分数是11949，所以第1949列，3939行得到的是19911949． 练习：练习1、答案：95．简答：分母是2、3、4、……，的分数之和依次是0.5、1、1.5、……，这样一个的等差数列，所以，和是()0.59.519952+⨯=．练习2、答案：240002197；18． 简答：（1）202020202024000=13131313132197⎛⎫++⨯⨯= ⎪⎝⎭原式；（2）135126108⨯⨯=⨯⨯，……，48121816248⨯⨯=⨯⨯， 135246369481212610481261218816248⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯练习3、答案：5．简答： 小数点后第2012位只与11113679、、、有关，而111=362+，11=0.25396879&&+，20126÷余2，所以，2012位是5． 练习4、答案：940；1021． 简答：（1）11111112=2446161829⎛⎫=-+-++-⨯ ⎪⎝⎭L 原式；（2）11111=111=151=14262401515⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 原式．作业6. 答案：22.5．简答：11122233388923103410451091010112123129233444101010112313419102324210212392222191022452⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯⨯⨯=+⨯+⨯++⨯=++++⨯=⨯=L L L L L L L L7. 答案：第666位、2013位数字分别是0、8．简答：同例3的算法． 8. 答案：1837．简答：111133535371111111233535371112371837+++⨯⨯⨯⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=L L ．9. 答案：77312．简答：： 111111232343454561112131111111()21223233411121213111()22121377312+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯-⨯=L L ．10. 答案：394272．简答：．按从右上到左下斜线计算，发现分母是2、3、4、5、6……的分数之和依次是0.5、1、1.5、2、……，接下来按等差数列即可得出394272．。

六年级奥数随堂检测第三讲：巧算分数的和出卷人：邓虹总分100分姓名：得分：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积)正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．课本温故：一、填空.1.在一个比例中,若两个外项互为倒数,则两个内项的积是( ).2.如果3a=b,那么b:a=( ):( ).(a,b均不为0)3.在30的因数中选择4个奇数组成一个比例,可以是( ).4.分子一定,分母和分数值成( )比例关系;分母一定,分子和分数值成( )比例关系。

5.如果a÷b=4×2.5,那么a和b成( )比例关系。

6.根据1×8=2×4这个等式可以写出( )个比例式.7.数值比例尺1:4000000表示图上距离是实际距离的( ),也表示实际距离是图上距离的( )倍,把它改写成线段比例尺是( ).8.一个长方形的长是3cm,宽是2cm,把它按照3:1的比放大后,所得图形的周长是( ),面积是( ).二、判断。

1.把图形放大或缩小后得到的图形与原图形相比,大小不同,但形状相同( )2.底面积一定,圆柱的体积和高成反比例关系。

( )3.出勤率一定,出勤的人数与应出勤的人数成正比例关系。

( )4.比例是方程。

( )5.同一地点、同一时间(中午12时除外),竹竿的高度和它的影长成正比例关系。

( ) 三、解比例31:x=25% ：45四、解决问题1、在一幅比例尺是1：2000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是20厘米。

如果在另一幅地图上，甲、乙两地的距离是10厘米，另一幅地图的比例尺是多少？2、一辆汽车行驶225千米节约汽油15升，照这样计算，行驶720千米，节约汽油多少升？（用比例解）3、一个修路队，原来计划每天修400米，15天可以完成任务．结果12天完成任务，实际每天修多少米？（用比例解）知识点拨= -奥数知新：思维一阶：思维发散：+ + + … +思维二阶：思维发散：+ + + + + +知识点拨第三讲：巧算分数的和答案（一）课本温故：1.12. 6 1 （答案不唯一）3.1:3=5:15（答案不唯一）4.反正5.正6. 87.8.30cm 54cm2 二、✔✘✔✘✔三、1、1:400000（图：实际距离） 2、48 3、500奥数知新：1. 2 .2012 3. 4.。

六年级奥数讲义：分数裂项巧求和教学目标：理解和掌握分数裂项巧求和的解题思路和方法，正确解答较复杂的相关的求和问题。

教学重点：熟练掌握常用的分数裂项求和的方法。

教学难点：能够根据具体条件选用合适的方法解答相关问题。

【专题解析】细心观察、善于总结的同学，在学习中可能发现了这样一个有趣的现象：如果分数的分子是自然数1，分母是相邻两个自然数的乘积，那么这个分数可以写成两个分数差的形式。

写成的两个分数的分子是自然数1，分母分别是相邻的两个自然数。

（这种方法称为“裂项法” ） 如：211⨯＝11—21；321⨯＝21—31；431⨯＝31—41；541⨯＝41—51；…… 我们可以利用分数的这一性质，使看似复杂的题目简单化。

【精讲精练】例1．计算：211⨯+321⨯+431⨯+…+49481⨯+50491⨯ 分析与解：这道题如果按照常规方法先通分再求和，计算起来很繁杂，甚至难以做到。

但是如果巧妙地对算式变形，就可以使繁杂的计算简便。

211⨯+321⨯+431⨯+…+49481⨯+50491⨯ ＝（11—21）+（21—31）+（31—41）+…+（481—491）+（491—501） ＝11—21+21—31+31—41+…+481—491+491—501 （去掉括号） ＝11—501 （中间的数都是相同的分数一减一加的形式，结果为0） ＝5049 【举一反三训练1】计算：（1）211⨯+321⨯+431⨯+…+19181⨯+20191⨯（2）14×5 +15×6 +16×7 +…+ 139×40（3）11×2 +12×3 +13×4 +…+ 199×100例2．计算： 61+121+201+…+24501 分析与解：上面这道题中的每个分数的分子都是1，但分母并不是两个相邻自然数的乘积，该怎么办呢？仔细观察这些分数的分母就会发现：6＝2×3 , 12＝3×4 , 20＝4×5 ，…，2450＝49×50。

六年级数学分数裂项求和考试要求（1）通过利用通项归纳法简化计算；（2）能运用变换方法计算复杂裂项型运算。

知识结构一、复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。

其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。

整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。

所有积之和，裂项来求作。

后延减前伸，差数除以N。

N 取什么值，两数相乘积。

公差要乘以，因个加上一。

需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。

对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。

此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。

二、“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯（2）2222a b a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

重难点（1）通过利用通项归纳法简化计算；（2）能运用变换方法计算复杂裂项型运算。

例题精讲【例 1】计算：22222222 12232004200520052006 12232004200520052006 ++++ ++++⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】（法1）：可先来分析一下它的通项情况，2222(1)(1)1(1)(1)(1)1n n n n n n n a n n n n n n n n++++==+=+⨯+⨯+⨯++原式=213243542005200420062005()()()()()()122334452004200520052006++++++++++++ 2005200522006=⨯+200540102006= （法2）：22222(1)2211122(1)(1)n n n n n a n n n n n n n n ++++===+=+⨯+++⨯+【答案】200540102006。

六年级数学分数裂项求和考试要求（1）通过利用通项归纳法简化计算；（2）能运用变换方法计算复杂裂项型运算。

知识结构一、复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。

其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。

整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。

所有积之和，裂项来求作。

后延减前伸，差数除以N。

N 取什么值，两数相乘积。

公差要乘以，因个加上一。

需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。

对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。

此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。

二、“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯（2）2222a b a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

重难点（1）通过利用通项归纳法简化计算；（2）能运用变换方法计算复杂裂项型运算。

例题精讲【例 1】计算：22222222 12232004200520052006 12232004200520052006 ++++ ++++⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】（法1）：可先来分析一下它的通项情况，2222(1)(1)1(1)(1)(1)1n n n n n n n a n n n n n n n n++++==+=+⨯+⨯+⨯++原式=213243542005200420062005()()()()()()122334452004200520052006++++++++++++ 2005200522006=⨯+200540102006= （法2）：22222(1)2211122(1)(1)n n n n n a n n n n n n n n ++++===+=+⨯+++⨯+【答案】200540102006。

速算与巧算及分数裂项求和一、知识梳理速算与巧算指根据运算律、去括号法则、分数与除法关系等知识使运算简便，便于口算。

分数裂项是计算特殊形式分数加减运算的一种特殊方法。

分数裂项的实质是将一个分数裂项，分成几个分数的和与差的形式。

例 3121232361-=⨯-= 41314343127+=⨯+= 二、方法归纳整数运算中的定律和性质，在分数运算中同样适用。

乘法分配律是最常见的一种运算定律。

另外，分数的运算技巧和方法主要有凑整法、裂项法、代数法等。

运算定律和性质1．加法运算定律：a ＋b ＝b ＋a (a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)2．乘法运算规律：a ×b ＝b ×a (a ×b)×c ＝a ×(b ×c) a ×(b ＋c) ＝a ×b ＋a ×c3．带符号搬家1）在加减混合运算中，交换任意两个数的位置，结果不变，但要注意符号要跟着数一起走。

a －b ＋c ＝a ＋c －b a ＋b －c ＝a －c ＋b2）在乘除混合运算中，交换任意两个数的位置，结果不变，但要注意符号要跟着数一起走。

a ÷b ÷c ＝a ÷c ÷b a ÷b ×c ＝a ×c ÷b4．添括号、去括号添加括号原则： a ＋b ＋c ＝a ＋(b ＋c) a ×b ×c ＝ a ×(b ×c)a ＋b －c ＝a ＋(b －c) a ×b ÷c ＝ a ×(b ÷c)a －b －c ＝a －(b ＋c) a ÷b ÷c ＝ a ÷(b ×c)a －b ＋c ＝a －(b －c) a ÷b ×c ＝ a ÷(b ÷c)5.分数裂项的方法：将一串分数中的每一个分数适当地裂项，出现一对一对可以抵消的数，从而简化计算。