(完整版)三年级奥数等差数列求和习题及答案

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计算(三)等差数列求和

知识精讲

一、定义:一个数列的前n 项的和为这个数列的和。

二、表达方式:常用n S 来表示 。

三:求和公式:和=(首项+末项)⨯项数2÷,1()2n n s a a n =+⨯÷。

对于这个公式的得到可以从两个方面入手:

(思路1)1239899100++++++L

11002993985051=++++++++L 1444444442444444443

共50个101

()()()() 101505050=⨯= (思路2)这道题目,还可以这样理解:

2349899100

1009998973212101101101101101101101

+++++++=+++++++=+++++++L L L 和=1+和倍和

即,和 (1001)100 2 10150 5050=+⨯÷=⨯=。

四、中项定理:对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均

数,也等于首项与末项和的一半;或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数。

譬如:① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=L (),

题中的等差数列有9项,中间一项即第5项的值是20,而和恰等于209⨯; ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=L (),

题中的等差数列有33项,中间一项即第17项的值是33,而和恰等于3333⨯。

例题精讲:

例1:求和:

(1)1+2+3+4+5+6 = (2)1+4+7+11+13=

(3)1+4+7+11+13+ (85)

分析:弄清楚一个数列的首项,末项和公差,从而先根据项数公式求项数,再根据求和公式求和。

例如(3)式项数=(85-1)÷3+1=29

和=(1+85)×29÷2=1247

答案:(1)21 (2)36 (3)1247

例2:求下列各等差数列的和。

(1)1+2+3+4+…+199

(2)2+4+6+…+78

(3)3+7+11+15+…+207

分析:弄清楚一个数列的首项,末项和公差,从而先根据项数公式求项数,再根据求和公式求和。

例如(1)式=(1+199)×199÷2=19900

答案:(1)19900 (2)1160 (3)5355

例3:一个等差数列2,4,6,8,10,12,14,这个数列的和是多少?

分析:根据中项定理,这个数列一共有7项,各项的和等于中间项乘以项数,

即为:8756

⨯=

答案:56

例4:求1+5+9+13+17……+401该数列的和是多少。

分析:这个数列的首项是1,末项是401,项数是(401-1)÷4+1=101,所以根据求和公式,可有:

和=(1+401)×101÷2=20301

答案:20301

例5:有一串自然数2、5、8、11、……,问这一串自然数中前61个数的和是多少?

分析:即求首项是2,公差是3,项数是61的等差数列的和,

根据末项公式:末项=2+(61-1)×3=182

根据求和公式:和=(2+182)×61÷2=5612

答案:5612

例6:把自然数依次排成“三角形阵”,如图。第一排1个数;第二排3个数;第三排5个数;…

求:

(1)第十二排第一个数是几?最后一个数是几?

(2)207排在第几排第几个数?

(3)第13排各数的和是多少?

分析:整体看就是自然数列,每排的个数的规律是1,3,5,7...即为奇数数列若排数为n (n≥2de 自然数),则这排之前的数共有(n-1)(n-1)个。

(1)第十二排共有23个数。前面共有(1+21)×11÷2=121个数,

所以第十二排的第一个数为122,最后一个数为122+(23-1)×1=144 (2)前十四排共有196个数,前十五排共有225个数,所以207在第十五排,第十五排的第一个数是197,所以207是第(207-197=10)个数

(3)前十二排共有144个数,所以第十三排的第一个数是145,而第十三排共有25个数,所以最后一个数是145+(25-1)×1=169,所以和=(145+169)×25÷2=3925 答案:(1)122;144 (2)第十五排第10个数(3)3925

例7:15个连续奇数的和是1995,其中最大的奇数是多少?

分析:由中项定理,中间的数即第8个数为:199515133

÷=,

所以这个数列最大的奇数即第15个数是:1332158147

()。

+⨯-=

答案:147。

例8:把210拆成7个自然数的和,使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都是5,那么,第1个数与第6个数分别是多少?

分析:由题可知:由210拆成的7个数必构成等差数列,则中间一个数为210÷7=30,所以,

这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45。

即第1个数是15,第6个数是40。

答案:第1个数:15;第6个数:40。

例9:已知等差数列15,19,23,……443,求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少?

分析:公差=19-15=4

项数=(443-15)÷4+1=108

倒数第二项=443-4=439

奇数项组成的数列为:15,23,31……439,公差为8,和为(15+439)×54÷2=12258 偶数项组成的数列为:19,27,35……443,公差为8,和为(19+443)×54÷2=12474 差为12474-12258=216

答案:216

例10:在1~100这一百个自然数中,所有能被9整除的数的和是多少?

分析:每9个连续数中必有一个数是9的倍数,在1~100中,我们很容易知道能被9整除的最小的数是991=⨯,最大的数是99911=⨯,这些数构成公差为9的等差数列,这个数列一共有:111111-+=项,所以,所求数的和是:9182799999112594++++=+⨯÷=L (). 也可以从找规律角度分析.

答案:594

例11:一串数按下面的规律排列:1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6……问:从左面

第一个数起,前105个数的和是多少?

分析:这些数字直接看没有什么规律,但是如果3个一组,会发现这样一个数列:

6,9,12,15......

即求首项是6,公差是3,项数是105÷3=35的和

末项=6+3×(35-1)=108

和=(6+108)×35÷2=1995

答案:1995

例12:在下面12个方框中各填入一个数,使这12个数从左到右构成等差数列,其中10、16已经填好,这12个数的和为 。

 ‍‍‍ ‍ ‍‍‍ ‍ ‍‍‍ ‍ ‍‍‍ ‍ ‍‍‍ ‍ 16 ‍‍‍ ‍ ‍‍‍ ‍ 10 ‍‍‍ ‍ ‍‍‍ ‍ ‍‍‍ ‍

分析:由题意知:这个数列是一个等差数列,又由题目给出的两个数10和16知:公差为2,那么第一个方格填26,最后一个方格是4,由等差数列求和公式知和为:(426)122180+⨯÷=。

答案:180。

本讲小结:1. 一个数列的前n 项的和为这个数列的和,我们称为 。

2. 求和公式:和=(首项+末项)⨯项数2÷,1()2n n s a a n =+⨯÷。

3.对于任意一个奇数项的等差数列,各项和等于中间项乘以项数。

练习:

1. 求和:(1)1+3+5+7+9= (2)1+2+3+4+ (21)

(3)1+3+5+7+9+ (39)