2022高三统考数学文北师大版一轮：第五章第四节 数列求和

第四节 数列求和[考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．(对应学生用书第74页)[基础知识填充]1．公式法 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ；(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.2．分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)裂项时常用的三种变形：①1n (n ＋k )＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ； ②14n 2－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1； ③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解．5．倒序相加法如果一个数列{a n}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．6．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．例如，S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果数列{a n}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和S n＝a1－a n＋11－q.()(2)当n≥2时，1n2－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n－1－1n＋1.()(3)求S n＝a＋2a2＋3a3＋…＋na n之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．()(4)如果数列{a n}是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列，那么S km＝mS k.()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．(教材改编)数列{a n}的前n项和为S n，若a n＝1n(n＋1)，则S5等于()A．1B．5 6C．16D．130B[∵a n＝1n(n＋1)＝1n－1n＋1，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.]3．(2018·开封模拟)已知等比数列{a n}中，a2·a8＝4a5，等差数列{b n}中，b4＋b6＝a5，则数列{b n}的前9项和S9等于() 【导学号：00090174】A ．9B ．18C ．36D ．72B [∵a 2·a 8＝4a 5，即a 25＝4a 5，∴a 5＝4，∴a 5＝b 4＋b 6＝2b 5＝4，∴b 5＝2， ∴S 9＝9b 5＝18，故选B ．]4．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝__________. 2n ＋1－2＋n 2 [S n ＝2(1－2n)1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.]5．3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n ＋2)·2－n ＝__________. 4－n ＋42n [设S ＝3×12＋4×122＋5×123＋…＋(n ＋2)×12n ， 则12S ＝3×122＋4×123＋5×124＋…＋(n ＋2)×12n ＋1.两式相减得12S ＝3×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －n ＋22n ＋1.∴S ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－n ＋22n＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－n ＋22n ＝4－n ＋42n.](对应学生用书第74页)(2016·n n b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．[解] (1)设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q ＝1，b 4＝b 3q ＝27，所以b n ＝3n －1(n ＝1,2,3，…)．2分设等差数列{a n }的公差为D ． 因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27， 所以1＋13d ＝27，即d ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…).5分(2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1. 因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1.7分从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1 ＝n (1＋2n －1)2＋1－3n 1－3＝n 2＋3n －12.12分[规律方法] 分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎨⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论．[变式训练1] (2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．[解] (1)由题意得⎩⎨⎧ a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎨⎧a 1＝1，a 2＝3.2分又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *. 5分(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，则b 1＝2，b 2＝1. 当n ≥3时，由于3n －1>n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3. 8分 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3，当n ≥3时，T n ＝3＋9(1－3n －2)1－3－(n ＋7)(n －2)2＝3n －n 2－5n ＋112，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3n －n 2－5n ＋112， n ≥2，n ∈N *. 12分(2018·n n n n n 项的和，对任意正整数n ，a n ＝2(n ＋1)，3A n －B n ＝4n . (1)求数列{b n }的通项公式； (2)记c n ＝2A n ＋B n，求{c n }的前n 项和S n . [解] (1)由于a n ＝2(n ＋1)，∴{a n }为等差数列，且a 1＝4. 2分∴A n ＝n (a 1＋a n )2＝n (4＋2n ＋2)2＝n 2＋3n ，∴B n ＝3A n －4n ＝3(n 2＋3n )－4n ＝3n 2＋5n ， 当n ＝1时，b 1＝B 1＝8，当n ≥2时，b n ＝B n －B n －1＝3n 2＋5n －[3(n －1)2＋5(n －1)]＝6n ＋2.由于b 1＝8适合上式，∴b n ＝6n ＋2.5分(2)由(1)知c n ＝2A n ＋B n ＝24n 2＋8n＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，7分∴S n ＝14⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14－16＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.12分[规律方法] 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵捎，要注意消去了哪些项，保留了哪些项，从而达到求和的目的．2．消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．[变式训练2] (2017·全国卷Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1的前n 项和. 【导学号：00090175】[解] (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时， a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)， 2分两式相减得(2n －1)a n ＝2， 所以a n ＝22n －1(n ≥2).4分又由题设可得a 1＝2，满足上式， 所以{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.6分(2)记⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n .由(1)知a n 2n ＋1＝2(2n ＋1)(2n －1)＝12n －1－12n ＋1，9分 则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 12分(2016·n n {b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n ，求数列{c n }的前n 项和T n .[解] (1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式． 所以a n ＝6n ＋5.2分设数列{b n }的公差为D ．由⎩⎨⎧ a 1＝b 1＋b 2a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎨⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 解得⎩⎨⎧b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.5分(2)由(1)知c n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n ＝3(n ＋1)·2n ＋1. 7分又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，9分两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2] ＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4(1－2n )1－2－(n ＋1)×2n ＋2 ＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.12分[规律方法] 1.如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，若{b n }的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论． 2．在书写“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，即公比q 的同次幂项相减，转化为等比数列求和．[变式训练3] (2017·天津高考)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *)．[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12.而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0，解得q ＝－3或q ＝2. 又因为q >0，所以q ＝2. 所以b n ＝2n .3分由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.①. 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.②， 联立①②，解得a 1＝1，d ＝3， 由此可得a n ＝3n －2.6分所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n . (2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n .由a 2n ＝6n －2， 得T n ＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n －2)×2n ，2T n＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1. 8分上述两式相减，得－T n＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n－2)×2n＋1＝12×(1－2n)1－2－4－(6n－2)×2n＋1＝－(3n－4)2n＋2－16，10分所以T n＝(3n－4)2n＋2＋16.所以，数列{a2n b n}的前n项和为(3n－4)2n＋2＋16. 12分。

第四节 数列求和命题分析预测学科核心素养本节是高考的热点，其中等差、等比数列的通项与求和、数列与不等式的综合、以数学文化为背景的数列题是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现．本节通过数列求和以及数列的综合应用提升考生的数学运算和逻辑推理核心素养．授课提示：对应学生用书第112页 知识点 数列前n 项和的求法 1．公式法（1）等差数列的前n 项和公式 S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ．（2）等比数列的前n 项和公式 ①当q ＝1时，S n ＝na 1；②当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q Ｗ．2．分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解． 3．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 4．倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． 5．错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． 6．并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝（－1）n f （n ）类型，可采用两项合并求解． •温馨提醒• 二级结论1．常见的裂项公式 （1）1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1．（2）1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1．（3）1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ．2．常见数列的求和公式 （1）12＋22＋32＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6（2）13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）22必明易错1．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n ，a n ＋1的式子应进行合并．2．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．1．在数列{a n }中，a n ＝1n （n ＋1），若{a n }的前n 项和为2 0192 020，则项数n 为（ ）A ．2 016B ．2 017C ．2 018D ．2 019解析：a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝2 0192 020，所以n ＝2 019． 答案：D2．已知数列：112，214，318，…，⎝⎛⎭⎫n ＋12n ，…，则其前n 项和关于n 的表达式为________． 解析：设所求的数列前n 项和为S n ，则S n ＝（1＋2＋3＋…＋n ）＋12＋14＋…＋12n ＝n （n ＋1）2＋1－12n ．答案：n （n ＋1）2＋1－12n3．已知数列{a n }的前n 项和为S n 且a n ＝n ·2n ，则S n ＝________． 解析：S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① 所以2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，②①－②得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2×（1－2n ）1－2－n ×2n ＋1，所以S n ＝（n －1）2n＋1＋2．答案：（n －1）2n ＋1＋24．（易错题）求1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1（x ≠0且x ≠1）的和． 解析：设S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1，① 则xS n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，② ①－②得：（1－x ）S n ＝1＋x ＋x 2＋…＋xn －1－nx n＝1－x n 1－x －nx n，所以S n ＝1－x n （1－x ）2－nx n 1－x．授课提示：对应学生用书第113页题型一 分组转化法求和[例] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为（1，2）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n ＝a 2n ＋2a n －1，求数列{b n }的前n 项和T n ． [解析] （1）设等差数列{a n }的公差为d ，因为关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为（1，2）， 所以S 2a 1＝1＋2＝3，得a 1＝d ，又易知2a 1＝2，所以a 1＝1，d ＝1．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ． （2）由（1）可得，a 2n ＝2n ，2a n ＝2n ． 因为b n ＝a 2n ＋2a n －1， 所以b n ＝2n －1＋2n ，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝（1＋3＋5＋…＋2n －1）＋（2＋22＋23＋…＋2n ） ＝n （1＋2n －1）2＋2（1－2n ）1－2＝n 2＋2n ＋1－2．分组转化法求和的常见类型[对点训练]（2021·某某质检）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n ＝2a n ＋a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解析：（1）∵{a n }为等差数列，∴⎩⎨⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，S 7＝7a 1＋7×62d ＝63，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2，∴a n＝2n ＋1．（2）∵b n ＝2a n ＋a n ＝22n ＋1＋（2n ＋1）＝2×4n ＋（2n ＋1）， ∴T n ＝2×（4＋42＋…＋4n ）＋（3＋5＋…＋2n ＋1） ＝2×4（1－4n ）1－4＋n （3＋2n ＋1）2＝83（4n －1）＋n 2＋2n ． 题型二 裂项相消法求和[例] 数列{a n }满足a 1＝1，a 2n ＋2＝a n ＋1（n ∈N ＋）． （1）求证：数列{a 2n }是等差数列，并求出{a n }的通项公式； （2）若b n ＝2a n ＋a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解析] （1）证明：由a 2n ＋2＝a n ＋1得a 2n ＋1－a 2n ＝2，且a 21＝1，所以数列{a 2n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a 2n ＝1＋（n －1）×2＝2n －1， 又由已知易得a n ＞0， 所以a n ＝2n －1（n ∈N ＋）．（2）b n ＝2a n ＋a n ＋1＝22n －1＋2n ＋1＝2n ＋1－2n －1，故数列{b n }的前n 项和T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝（3－1）＋（5－3）＋…＋（2n ＋1－2n －1）＝2n ＋1－1．裂项相消法求和的实质和解题关键裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．[对点训练]设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝44－a n（n ∈N ＋）． （1）求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列；（2）设b n ＝a 2na 2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n ．解析：（1）证明：因为a n ＋1＝44－a n ，所以1a n ＋1－2－1a n －2＝144－a n －2－1a n －2＝4－a n2a n －4－1a n －2＝2－a n2a n －4＝－12，为常数．因为a 1＝1，所以1a 1－2＝－1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －2是以－1为首项，－12为公差的等差数列．（2）由（1）知1a n －2＝－1＋（n －1）⎝⎛⎭⎫－12＝－n ＋12， 所以a n ＝2－2n ＋1＝2nn ＋1， 所以b n ＝a 2n a 2n －1＝4n2n ＋12（2n －1）2n＝4n 2（2n －1）（2n ＋1）＝1＋1（2n －1）（2n ＋1）＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n ＋n 2n ＋1，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n ＋n2n ＋1．题型三 错位相减法求和[例]（2020·高考全国卷Ⅰ）设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项． （1）求{a n }的公比；（2）若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和．[解析] （1）设{a n }的公比为q ，由题设得2a 1＝a 2＋a 3， 即2a 1＝a 1q ＋a 1q 2．所以q 2＋q －2＝0，解得q ＝1（舍去）或q ＝－2． 故{a n }的公比为－2．（2）记S n 为{na n }的前n 项和．由（1）及题设可得a n ＝（－2）n －1，所以S n ＝1＋2×（－2）＋…＋n ×（－2）n －1，－2S n ＝－2＋2×（－2）2＋…＋（n －1）×（－2）n －1＋n ×（－2）n ． 所以3S n ＝1＋（－2）＋（－2）2＋…＋（－2）n －1－n ×（－2）n＝1－（－2）n 3－n ×（－2）n ．所以S n ＝19－（3n ＋1）（－2）n9．运用错位相减法求和的关键：一是判断模型，即判断数列{a n }，{b n }一个为等差数列，一个为等比数列；二是错位相减；三是注意符号，相减时要注意最后一项的符号．[对点训练]（2020·高考全国卷Ⅲ）设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n ． （1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．解析：（1）a 2＝5，a 3＝7．猜想a n ＝2n ＋1．证明：由已知可得a n ＋1－（2n ＋3）＝3[a n －（2n ＋1）]， a n －（2n ＋1）＝3[a n －1－（2n －1）]， …，a 2－5＝3（a 1－3）．因为a 1＝3，所以a n ＝2n ＋1． （2）由（1）得2n a n ＝（2n ＋1）2n ，所以S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋（2n ＋1）×2n ．① 从而2S n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋（2n ＋1）×2n ＋1．② ①－②得－S n ＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －（2n ＋1）×2n ＋1，所以S n ＝（2n －1）2n ＋1＋2．数列求和中的核心素养数学运算——数列求和的创新交汇应用[例] （2020·新高考全国卷Ⅰ）已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8．（1）求{a n }的通项公式；（2）记b m 为{a n }在区间（0，m ]（m ∈N *）中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100． 解析：（1）设{a n }的公比为q ． 由题设得a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8． 解得q ＝12（舍去），q ＝2．由题设得a 1＝2．所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ．（2）由题设及（1）知b 1＝0，且当2n ≤m ＜2n ＋1时，b m ＝n ．所以S 100＝b 1＋（b 2＋b 3）＋（b 4＋b 5＋b 6＋b 7）＋…＋（b 32＋b 33＋…＋b 63）＋（b 64＋b 65＋…＋b 100）＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×（100－63）＝480．1．本题利用基本元的思想，将已知条件转化为a 1，q 的形式，求解出a 1，q ，由此求得数列{a n }的通项公式．2．通过分析数列{b m }的规律，由此求得数列{b m }的前100项和S 100．[题组突破]1．（2021·某某摸底）定义n∑n i ＝1u i为n 个正数u 1，u 2，u 3，…，u n 的“快乐数”．若已知正项数列{a n }的前n 项的“快乐数”为13n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫36（a n ＋2）（a n ＋1＋2）的前2 019项和为（ ）A ．2 0182 019B ．2 0192 020C ．2 0192 018D ．2 0191 010解析：设数列{a n }的前n 项和为S n ，则根据题意n S n ＝13n ＋1，S n ＝3n 2＋n ，所以a n ＝S n －S n －1＝6n －2（n ≥2），当n ＝1时也适合，所以a n ＝6n －2，所以36（a n ＋2）（a n ＋1＋2）＝366n （6n ＋6）＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫36（a n ＋2）（a n ＋1＋2）的前2 019项和为1－12＋12－13＋…＋12 019－12 020＝1－12 020＝2 0192 020． 答案：B2．（2021·某某期末测试）我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n．①第二步：将数列①的各项乘以n ，得到一个新数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n－1a n ＝（ ）A ．n 2B ．（n －1）2C ．n （n －1）D ．n （n ＋1）解析：∵a k ＝n k ，∴当k ≥2时，a k －1a k ＝n 2（k －1）k＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ．∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n＝n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝n 2⎝⎛⎭⎫1－1n ＝n （n －1）． 答案：C。