【人教A版】高中数学同步辅导与检测：选修1-1 第二章2.1-2.1.2第1课时椭圆的简单几何性质

模块综合评价(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“存在x 0∈R ，2x 0≤0”的否定是( ) A ．不存在x 0∈R ，2x 0>0 B ．存在x 0∈R ，2x 0≥0 C ．对任意的x ∈R ，2x ≤0 D ．对任意的x ∈R ，2x >0 解析：特称命题的否定是把存在量词改为全称量词，再把结论进行否定．答案：D2．“sin A ＝12” 是“A ＝30°”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为sin 30°＝12，所以“sin A ＝12”是“A ＝30°”的必要条件，又150°，390°等角的正弦值也是12，故“sin A ＝12”不是“A ＝30°”的充分条件．答案：B3．已知f (x )＝sin x ＋cos x ＋π2，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2等于( )A ．－1＋π2 B.π2＋1 C ．1 D ．－1解析：f ′(x )＝cos x －sin x ，所以 f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝cos π2－sin π2＝－1.答案：D4．关于命题p ：若a·b ＞0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：存在x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32.下列说法中正确的是( )A ．“p ∨q ”是真命题B ．“p ∧q ”是假命题C ．綈p 为假命题D ．綈q 为假命题解析：本题考查含有逻辑联结词的命题真假的判断．当a·b ＞0时，a 与b 的夹角为锐角或0°，所以 命题p 是假命题；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2＜32，所以 命题q 是假命题．答案：B5．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于( )A ．5B ．5或8C ．5或3D ．20解析：由焦距为2，得c ＝1，讨论焦点在x 轴上，还是在y 轴上．当4＞m 时，由1＝4－m ，得m ＝3；当4＜m 时，由1＝m －4，得m ＝5. 故m 的值为5或3. 答案：C6.已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )解析：由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右是先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．答案：B7．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1，0)，则f(x)的()A．极大值为427，极小值为0B．极大值为0，极小值为4 27C ．极小值为－427，极大值为0D ．极小值为0，极大值为－427解析：由题意可知⎩⎨⎧f ′（1）＝0，f （1）＝0，所以⎩⎨⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎨⎧p ＝2，q ＝－1，所以f (x )＝x 3－px 2－qx ＝x 3－2x 2＋x ，进而可求得f (1)＝0是极小值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427是极大值．答案：A8．已知椭圆E ：x 28＋y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P为椭圆上一点，若以(1，0)为圆心的圆C 与直线PF 1，PF 2均相切，则点P 的横坐标为( )A. 5 B ．2 C. 3D ．1解析：由已知得，PC 为∠F 1PF 2的平分线，因此|PF 1|∶|PF 2|＝|F 1C |∶|F 2C |＝3∶1，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝42，所以|PF 2|＝2，设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝2，与椭圆方程联立可解得x ＝2或x ＝6(舍去)，故点P 的横坐标2，选B.答案：B9．若直线y ＝2x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(5，＋∞)C ．(1，5]D ．[5，＋∞)解析：双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y ＝ba x .由条件知，应有b a ＞2，故e ＝ca＝a 2＋b 2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＞ 5. 答案：B10．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>(a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析：依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数，又a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，选C.答案：C11．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T 性质的是()A．y＝sin x B．y＝ln xC．y＝e x D．y＝x3解析：若y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2f(x2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于A：y′＝cos x，若有cos x1·cos x2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；对于B：y′＝1x，若有1x1·1x2＝－1，即x1x2＝－1，因为x>0，所以不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；对于C：y′＝e x，若有e x1·e x2＝－1，即e x1＋x2＝－1，显然不存在这样的x1，x2；对于D：y′＝3x2，若有3x21·3x22＝－1，即9x21x22＝－1，显然不存在这样的x1，x2.综上所述，选A.答案：A12．已知点O为坐标原点，点F是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点，点A，B分别为C的左、右顶点．点P为椭圆C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为()A.13B.12C.23D.34解析：如图所示，设OE 的中点为N ，在△AOE 中，因为MF ∥OE ， 所以|MF ||OE |＝|AF ||AO |＝a －ca.① 在△MFB 中，因为ON ∥MF ， 所以|ON ||MF |＝|BO ||BF |＝aa ＋c ＝12|OE ||MF |，所以2aa ＋c＝|OE ||MF |，即|MF ||OE |＝a ＋c2a .②由①②可得a －c a ＝a ＋c2a，解得a ＝3c ，从而得e ＝c a ＝13.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．綈A 是命题A 的否定，如果B 是綈A 的必要不充分条件，那么綈B 是A 的________条件．解析：B ⇐綈A 且綈AB .所以 ⎩⎨⎧綈B ⇒A ，A 綈B ，则綈B 是A 的充分不必要条件．答案：充分不必要14．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为双曲线E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则双曲线E 的离心率是________．解析：如图，由题意知|AB |＝2b 2a，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，所以2×2b 2a ＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，所以2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2， 整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． 答案：215．若函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1在区间(0，4)上是减函数，则k 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x .由题意知⎩⎨⎧k ≥0，f ′（4）≤0或⎩⎨⎧k ＜0，f ′（0）≤0，解得k ≤13.答案：k ≤1316．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A ，B 是C 上的两个点，线段AB 的中点为M (2，2)，则△ABF 的面积等于________．解析：根据图形综合分析(草图略)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 所在的直线方程为y ＝k (x －2)＋2，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －2）＋2得y 2－4y k ＋8k－8＝0， 所以 y 1＋y 2＝4k＝2×2.所以 k ＝1.所以 线段AB 所在的直线方程为y ＝x .所以 线段AB 的两端点坐标分别为(0，0)，(4，4)，不妨令A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，4)，则S △ABF ＝12|OF |·y B ＝2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0，命题q ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x 2<1.若p 是真命题，q 是假命题，求实数x 的取值范围．解：由p 是真命题，知lg(x 2－2x －2)≥0， 所以x 2－2x －2≥1⇔x 2－2x －3≥0， 解得x ≤－1或x ≥3. 由q 是假命题知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x 2≥1，故1－x 2≤－1或1－x2≥1，解得x ≥4或x ≤0.所以x 的取值范围是{x |x ≤－1或x ≥4}． 18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝e x －x －2. (1)求f (x )的单调区间；(2)当x ∈[－3，2]时，求函数的最值． 解：(1)f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )＝e x －1＞0，e x ＞1，x ＞0； 令f ′(x )＝e x －1＜0，e x ＜1，x ＜0.所以f (x )的单调增区间为(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)．(2)x＞0，f′(x)＞0，x＜0，f′(x)＜0，所以f(0)＝e0－0－2＝－1，为函数的极小值．所以f(－3)＝e－3＋3－2＝e－3＋1，f(2)＝e2－2－2＝e2－4.比较可知，当x∈[－3，2]时，f(x)最大值为e2－4，最小值为－1.19．(本小题满分12分)河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽为4米，高2米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？解：建立平面直角坐标系，设拱桥型抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．将B(4，－5)代入得p ＝1.6.所以x2＝－3.2 y船两侧与抛物线接触时不能通过．则A(2，y A)，由22＝－3.2y A，得y A ＝－1.25.因为船露出水面的部分高0.75米， 所以h ＝|y A |＋0.75＝2(米)，即当水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行． 20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，在x ＝1，x ＝－1处有极值且f (1)＝－1，求a 、b 、c 的值及函数f (x )的极值．解：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，因为在x ＝1，x ＝－1处有极值且f (1)＝－1， 所以 ⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝0，f ′（－1）＝0，f （1）＝－1，所以 a ＝12，b ＝0，c ＝－32，所以 f ′(x )＝32x 2－32.令f ′(x )＝0，得x ＝±1.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表： ↗↘↗所以 y 极大值＝f (－1)＝1，y 极小值＝f (1)＝－1.21．(本小题满分12分)已知椭圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两个焦点为(－1，0)、(1，0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．(1)解：由题意，c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b2＋94b 2＝1，解得b 2＝3，b 2＝ －34(舍去)，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明：设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1.得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )．因为点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，所以x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k2，y E ＝kx E ＋32－k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代替k ，可得x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k 2，y F ＝－kx F ＋32＋k ，所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y Ex F －x E ＝－k （x E ＋x F ）＋2k x F －x E＝12， 即直线EF 的斜率为定值，其值为12.22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 4＋ax 3＋2x 2＋b (x ∈R)，其中a ，b ∈R.(1)当a ＝－103时，讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围； (3)若对于任意的a ∈[－2，2]，不等式f (x )≤1在[－1，0]上恒成立，求b 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝4x 3＋3ax 2＋4x ＝x (4x 2＋3ax ＋4)．当a ＝－103时，f ′(x )＝x (4x 2－10x ＋4)＝2x (2x －1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝12，x 3＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： ↘↗↘↗所以f (x )在⎝⎭⎪0，12和(2，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)和⎝⎭⎪12，2上是减函数．(2)f ′(x )＝x (4x 2＋3ax ＋4)，显然x ＝0不是方程4x 2＋3ax ＋4＝0的根．由于f (x )仅在x ＝0处有极值，则方程4x 2＋3ax ＋4＝0有两个相等的实根或无实根，Δ＝9a 2－64≤0，解此不等式，得－83≤a ≤83.这时，f (0)＝b 是唯一极值．因此满足条件的a 的取值范围是.(3)由(2)知，当a ∈[－2，2]时，4x 2＋3ax ＋4＞0恒成立． 所以 当x ＜0时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(－∞，0]上是减函数．因此函数f (x )在[－1，0]上的最大值是f (－1)．又因为对任意的a ∈[－2，2]，不等式f (x )≤1在[－1，0]上恒成立，所以 f (－1)≤1，即3－a ＋b ≤1.于是b ≤a －2在a ∈[－2，2]上恒成立．所以 b ≤－2－2， 即b ≤－4.因此满足条件的b 的取值范围是(－∞，－4]．。

第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.2 演绎推理课时跟踪检测一、选择题1．下列表述正确的是()①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤答案：D2．用演绎推理证明函数y＝x3是增函数时的小前提是()A．增函数的定义B．函数y＝x3满足增函数的定义C．若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)D．若x1＞x2，则f(x1)＞f(x2)解析：在“三段论”中，根据其特征，大前提是增函数的定义，小前提是函数y＝x3满足增函数的定义，结论是y＝x3是增函数，故选B.答案：B3．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a＜b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B，∴a＜b，画线部分是演绎推理的() A．大前提B．小前提C．结论D．三段论解析：证明中省略了大前提，大前提应为“在同一个三角形中，大角对大边”，因此画线部分应为小前提．答案：B4．对a，b∈(0，＋∞)，a＋b≥2ab，大前提x＋1x≥2x·1x，小前提所以x＋1x≥2.结论以上推理过程中的错误为()A．大前提B．小前提C．结论D．无错误解析：在小前提中，缺少条件x∈(0，＋∞)，因此小前提不正确．答案：B5．(2019·武城期中)演绎推理“因为f′(x0)＝0时，x0是f(x)的极值点，而对于函数f(x)＝x3，f′(0)＝0，所以0是函数f(x)＝x3的极值点．”所得结论错误的原因是()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．全不正确答案：A6．(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线解析：取DC的中点O，连接EO，ON，不妨设AB ＝1，∴ED ＝DC ＝CE ＝1，∴EO ＝32，ON ＝12，∵平面ECD ⊥平面ABCD ，EO ⊂平面ECD ，∴EO ⊥底面ABCD ，又∵ON ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥ON ，∴EN ＝EO 2＋ON 2＝1，连接MC ，∵平面ECD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ECD ，∴BC ⊥CM ，∴BM ＝BC 2＋CM 2＝1＋34＝72，∴EN ≠BM .连接BE ，∵在△DBE 中，M 、N 分别为DE 、BD 的中点，BM 与EN 都在平面DBE 中，∴BM ，EN 是相交直线，故选B.答案：B二、填空题7．由“(a 2＋1)x >3，得x >3a 2＋1”的推理过程中，其大前提是__________________________________________．答案：不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不改变8．设f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，其中a ，b ，c 是互不相等的常数，则a f ′(a )＋b f ′(b )＋c f ′(c )＝________. 解析：∵f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )．∴f ′(x )＝(x －b )(x －c )＋(x －a )(x －c )＋(x －a )(x －b )．∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )，f ′(b )＝(b －a )(b －c )，f ′(c )＝(c －a )(c －b )．∴a f ′(a )＋b f ′(b )＋c f ′(c ) ＝a (a －b )(a －c )＋b (b －a )(b －c )＋c (c －a )(c －b ) ＝a (b －c )＋b (c －a )＋c (a －b )(a －b )(a －c )(b －c )＝0. 答案：09．关于函数f (x )＝ln x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当x ＞0时，f (x )为增函数；③f (x )的最小值为ln 2；④当－1＜x ＜0或x ＞1时，f (x )为增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中正确结论的序号是________．解析：易知f (－x )＝f (x )，又定义域关于原点对称，∴f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，故①正确；当x ＞0时，f (x )＝ln x 2＋1x＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x .∵y ＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故②不正确；而当x ＝1时，f (x )有最小值ln 2，故③正确；由偶函数的对称性知，④正确，⑤不正确．答案：①③④三、解答题10．下列推理是否正确，错误的请指出其错误之处．(1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°；(2)已知 2和 3是无理数，试证： 2＋ 3也是无理数．证明：依题设， 2和 3是无理数，而无理数与无理数的和是无理数，故 2＋ 3也是无理数．解：(1)错误．犯了偷换论题的错误．在证明过程中，把论题的四边形改为了矩形．(2)错误．结论虽然正确，但是证明是错误的．这里使用的论据(即大前提)“无理数与无理数的和是无理数”是假命题．例如 3和－ 3都是无理数，但3＋(－3)＝0,0是有理数．11．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ＝1,2,3，…)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .证明：(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ＝1,2,3，…)，∴(n ＋2)S n ＝na n ＋1＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n (n ＝1,2,3，…)． 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项是1，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，S n ＋1n ＋1＝2·S n n ＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4a n (n ≥2)． 又∵a 2＝3S 1＝3，∴S 2＝a 1＋a 2＝4＝4a 1.故对任意的n ∈N ＋，有S n ＋1＝4a n .12．设f (x )对x ＞0有意义，f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )，且f (x )＞f (y )成立的充要条件是x ＞y ＞0.(1)求f (1)与f (4)的值；(2)当f (x )＋f (x －3)≤2时，求x 的取值范围．解：(1)∵f (2)＝1，且对于x ＞0，y ＞0，有f (xy )＝f (x )＋f (y )，∴令x ＝1，y ＝2，得f (2)＝f (1)＋f (2)，∴f (1)＝0； 令x ＝y ＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)＝2f (2)＝2.(2)由f (xy )＝f (x )＋f (y )，得f (x )＋f (x －3)＝f (x 2－3x )． 又f (4)＝2，由f (x )＋f (x －3)≤2，得f (x 2－3x )≤f (4)． 由f (x )＞f (y )成立的充要条件是x ＞y ＞0，得⎩⎨⎧ x 2－3x ≤4，x ＞0，x －3＞0.解得3＜x ≤4.13．(2019·太原五中检测)已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )＝() A ．b B ．－bC.1b D ．－1b解析：若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )， f (x )＝lg 1－x1＋x 的定义域为(－1,1)．f (－x )＝lg 1＋x1－x ＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )＝－b ，故选B.答案：B由Ruize收集整理。

【人教A版】高中数学同步辅导与检测：选修1（1第一章1.2充分条件）-第一章常见逻辑术语1.2充分必要条件A级基础巩固1，选择题1。

”α = π 16 “是()a .充分和不必要条件b .必要和不充分条件c .充分和必要条件d .充分和不必要条件分析:从cos 2α = 12，α = kπ π 6 (k ∈z)可以得到，所以选择a .答案:a2。

(天津卷2016)集x>0。

Y∈R，则“x>y”是“x>|y|”(a .充分和必要条件b .充分和不必要条件c .必要和不充分条件d .既不充分也不必要条件分析:当x = 1时，y =-2，x>y，但x > | y |不成立；如果x>|y|，因为|y|≥y，所以x>y。

所以x > y是x>|y|的一个必要且不充分的条件。

答案是:c3.x2 B- 2c-2≤x≤2d . 1 分析:x2 答案:c4。

(2016山东卷)已知直线a和b分别位于两个不同的平面α和β。

那么“直线a和直线b的交点”就是“平面α和平面β的交点”的()a。

充分和不必要条件b .必要和不充分条件c .充分和必要条件d。

既不充分也不必要的条件分析:a？α，b？β，如果A和B相交，A和B有公共点，所以α和β有公共点，α和β相交可以得到。

相反，如果α和β相交，那么a，B的位置关系可以是平行的，相交的或非平面的。

因此，“直线A与直线B相交”是“平面α与平面β相交”的一个充分和不必要的条件。

因此，选择A答案:A5。

函数F (x) = X2+MX+1的像关于直线x = 1对称的充要条件是()a . m = 2 c . m =-1b . m =-2d . m = 1分析:当m =-2，f (x) = x2-2x+1时，其像关于直线X = 1对称，反之亦然。

所以函数f (x) = x2+Mx+1关于直线x = 1对称的充要条件是m =-2. 答案:b2，填入问题6。

姓名，年级：时间：选修1－1 第二章测试卷（时间：90分钟满分：150分)一、选择题（共12小题，满分60分,每小题5分）1．椭圆x225＋错误!＝1的焦点坐标为（）A．(5，0）,（－5,0） B．(0，5)，（0，－5）C．（0，12)，（0,－12） D．(12，0）,（－12,0）解析:c2＝169－25＝144，c＝12,故选C.答案：C2．已知椭圆过点P错误!和点Q错误!,则此椭圆的标准方程是( )A．x2＋错误!＝1B。

错误!＋y2＝1或x2＋错误!＝1C。

错误!＋y2＝1D．以上都不对解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m〉0，n>0,m≠n)，则错误!∴错误!∴椭圆的方程为x2＋错误!＝1。

答案：A3．［2019·浙江卷]渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是（)A.错误! B．1C.错误! D．2解析：因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以a＝b,则c＝错误!＝错误!a，所以双曲线的离心率e＝错误!＝错误!.故选C。

答案:C4．已知椭圆错误!＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且错误!·错误!＝0，则点M到x轴的距离为（）A.错误! B。

错误!C。

错误! D。

错误!解析:设M(x 0，y0），由F1(－错误!，0)，F2（错误!,0）得错误!＝（－错误!－x0,－y0）,MF2，→＝(错误!－x0，－y0)，由错误!·错误!＝0得x错误!＋y错误!＝3，又错误!＋y错误!＝1，解得y0＝±错误!。

即点M到x轴的距离为错误!,故选C.答案：C5．若直线y＝x＋2与椭圆错误!＋错误!＝1有两个公共点，则m的取值范围是（)A．(－∞，0)∪（1，＋∞) B．（1,3）∪(3，＋∞)C．（－∞,－3）∪（－3,0） D．（1,3)解析:由错误!消去y，整理得(3＋m）x2＋4mx＋m＝0.若直线与椭圆有两个公共点,则错误!解得｛m≠－3，m<0或m>1.由错误!＋错误!＝1表示椭圆，知m〉0且m≠3.综上可知，m〉1且m≠3,故选B。

圆锥曲线与方程2. 12. 1. 1椭圆及其标准方程1.平面内与两个定点"，心的距离之和等于常数(大于巧耳)的点的轨迹叫做___________ ，这两个定点叫做_______ ，两点间的距离叫做_________ ・2.椭圆的标准方程(请同学们自己填写表中空白的内容)1.椭圆椭圆的焦点椭圆的焦距2.务+$= 1 (°>/?>0) 士 + 話=1 (a>Z?>0)1.正确理解椭圆的定义只有当1"]1 + 1“21 = 2心尸占21时，点P的轨迹才是椭圆；(±c,0) (0，土c) a^—b2当1"]1 + 1“21 = 20 = 1尸尸21时，点P的轨迹是线段F1F2；当IP" I + \PF^ = 2此尸占21时，点P的轨迹不存在.2.正确理解椭圆的两种标准形式(1)要熟记a, b, c三个量的关系椭圆方程中，d表示椭圆上的点M到两焦点间距离和的一半，正数°, b, c 恰构成一个直角三角形的三条边，。

是斜边，所以d>4 a>c,且0=夕+。

2,其中c是焦距的一半，叫做半焦距.(2)通过标准方程可以判断焦点的位置，其方法是：看兀2,护的分母大小, 哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上.3.用待定系数法求椭圆标准方程的步骤(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在兀轴上还是在y轴上，还是坐标上都有可能.(2)设方程①依据上述判断设方程为②在不能确定焦点位置的情况下也刊2设"诡+ ◎ 2 = 1创 > 芈料> 0且加咖. 与+与=1 或牛+与=1・③找关系：根据已知条件，建立关牛°,伏c或打，勺的芳程组「④解方程组，代入所设方程即为所求.2 2知椭圆方程为 丄#］人虽伞别为它的左、右焦且与X 轴成G 角(0<C^7T )?则的周长是A. 10B. 12C. 16 D ・与么角有关解析「・・C 、D 为椭圆上的点，根据椭圆的定义:ICFJ + \CF 2\ = 2a = 8 z \DF }\ + \DF 2\ = 2a = S ,:.、F£D 的周长为ICF]I + ICF 2I + IDF,I + \DF 2\ = 4a =16. 答案：C点，CD 黑X 的弦, ()n 变式迁移1.设F],佗是椭圆 的周长为（）A. 16 B ・ 18 解析：d 二5 , b = 3 , c = 4 ,易知△PFf?的周长为2a + 2c = 18. 答案：B 2 2 詰厝邑]P 为椭圆上一点，则PF X F 2 C ・20 D ・不确定写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (l)u=4, c=3,焦点在y轴上;(2)a + b = 8, c=4；(3)已知椭圆经过点(2,—迈)和点(一1,分析：求椭圆的标准方程时,要先判断焦点位置，确定出适合题意的椭圆标准方程的形式，最后由条件确定d z b即可；如果不能确定焦点所在轴,那么就要分焦点在X轴和在y轴讨论,或者可设椭圆方程为皿2十呼二1 (m > 0 z /? > 0 z m^n).解析：(1)由焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为: / x2京+护=1 (a>b>0)，则/=16, b2=a2~c22 2 丁丄*T6+7-Ld+/?=8 (2)因为v ci2—b2= 16卫>0，b>07,椭圆的标准方程为: b=32所以椭圆的标准方程为：吉2 21或去+令=1.（3）法一：当焦点在兀轴上时,可设椭圆1(a>b>0),的标准方程为:将点（2, —血）和点（-1,2丿代入, 可得:椭圆的标准方程为:当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为: 将点（2,—迈）和点（一1, 代入，可得:综上所述,(«2<Z?2,舍去)•椭圆的标准方程为:=1(a>Z?>0),法二：设椭圆的方程为： 2 2 | [ mx -\~ny^= l(m>0, n>0, M4m+2n=l12 2 所以椭圆的标准方程为：令+±T ・ 点评：对比两种方法，我们发现如果不知道焦点在那条轴上的情况 下/可将椭圆的方程设为fnx 2 + ny 2 = 1 （m>0 ,n>0 ,且加力7）,更简单,快 速・n 变式迁移将点（2,—返）和点代入，可得:7加+尹=12. (1)若椭圆长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是(2, 0),求椭圆的标准方程.(2)求经过点(2 , —3)且与椭圆9界+4护=36有共同焦点的椭圆。

2．1.2椭圆的简单几何性质(二)[教材研读]预习课本P41例6，思考以下问题1．点与椭圆的位置关系如何判断？2．直线与椭圆的位置关系如何判断？[要点梳理]1．点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b2<1；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b2>1.2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消去y 得到一个关于x 的一元二次方程．3.弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，曲线方程f (x ，y )＝0，直线与曲线的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y 1－1k y 22＋(y 1－y 2)2＝1＋1k 2(y 1－y 2)2＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与曲线方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程求得．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是m >1.( )2．椭圆2x 2＋3y 2＝m (m >0)的离心率为33.( )3．点A (2,2)在椭圆x 2＋4y 2＝36的内部．( ) [答案] 1.× 2.√ 3.√题型一 直线与椭圆的位置关系思考1：如何判断直线与椭圆的位置关系？ 提示：联立直线与椭圆方程，求解的个数． 思考2：如何求椭圆上的点到直线的最小距离？提示：把点到直线的距离转化为过该点的直线与已知直线的两平行直线间的距离．在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．[思路导引] 找点较难，所以找与直线l 平行且与椭圆相切的直线．[解] 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为 y ＝32x ＋m ， 代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4， 故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4， 显然y ＝32x －4距l 最近， d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313， 切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．[跟踪训练]已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．[解] 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0，Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0， 解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线方程为x －y ＋3＝0， 最小距离为d ＝|4－3|2＝22.由{ x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－83，y ＝13，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，13.题型二 直线与椭圆的相交弦问题思考1：直线与椭圆的中点弦问题如何解决？ 提示：注意韦达定理的应用．思考2：如何求直线被圆锥曲线截得的弦长？提示：会应用弦长公式．已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点．(1)求直线l 的方程．(2)求直线l 被椭圆截得的弦长．[思路导引] 待定系数法，联立方程组，再由韦达定理求参数k ，然后由弦长公式求弦长．[解] (1)由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)， 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0. 所以x 1＋x 2＝8k (4k －2)4k 2＋1＝8.所以k ＝－12.满足Δ>0.所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)， 即x ＋2y －8＝0.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －8＝0x 2＋4y 2＝36∴x 2－8x ＋14＝0，则x 1＋x 2＝8，x 1·x 2＝14，代入弦长公式 |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决．涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．[跟踪训练]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E 的方程为__________________．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程，有x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝12，∵线段AB 的中点坐标为(1，－1)，∴b 2a 2＝12，∵右焦点为F (3,0)，c ＝3，∴a 2＝18，b 2＝9，∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.[答案] x 218＋y 29＝1题型三 椭圆中的最值(范围)问题已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．[思路导引] 联立方程组，由解的个数确定m 的取值范围，再由韦达定理得弦长关于m 的函数．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0， 解得－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2.∴当m ＝0时，|AB |最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y ＝x .解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．[跟踪训练]如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.(1)若点P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的标准方程； (2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围． [解] ∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°， 即△BAP 是等腰直角三角形，|AB →|＝2|AP →|. ∵AB →·AP →＝9，∴|AB →||AP →|cos45°＝2|AP →|2cos45°＝9，∴|AP →|＝3. (1)∵P (0,1)，∴|OP →|＝1，|OA →|＝2， 即b ＝2，且B (3,1)．∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2＝12， ∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)，∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得：9a 2＋t 2(3－t )2＝1，解得a 2＝3(3－t )23－2t. ∵a 2>b 2>0，∴3(3－t )23－2t>(3－t )2>0. ∴33－2t >1，即33－2t －1＝2t 3－2t>0， ∴所求t 的取值范围是0<t <32.课堂归纳小结解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解.1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定[解析] ∵直线y －1＝k (x －1)，即直线恒过(1,1)点，又∵19＋14<1，∴点(1,1)在椭圆内，所以选B.[答案] B2．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n 的值是( ) A.22 B.233 C.922 D.2327[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x 消去y 得，(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2n m ＋n，∴x 0＝n m ＋n ，代入y ＝1－x 得y 0＝m m ＋n .由题意y 0x 0＝22，∴m n ＝22，选A.[答案] A3．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个[解析] ∵直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<4，又∵m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－5m 236<1，∴点P 在椭圆内．故直线与椭圆有2个交点．[答案] A4．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 [解析] ∵MF 1→⊥MF 2→，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴c <b ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，即2c 2<a 2，∴c 2a 2<12，即c a <22.又e >0，∴0<e <22.[答案] C 5．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．[解] ∵a 2＝4，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝3， ∴右焦点F (3，0)，∴直线l 的方程y ＝x － 3.由⎩⎨⎧ y ＝x －3，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理，得5x 2－83x ＋8＝0. 设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85， ∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8352－4×85＝85， 即弦AB 的长为85.。

第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.2 反证法A级基础巩固一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③解析：由反证法的定义知，可把①②③作为条件使用，而④原命题的结论是不可以作为条件使用的．答案：C2．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根．”答案：A3．用反证法证明命题“若直线AB 、CD 是异面直线，则直线AC 、BD 也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A 、B 、C 、D 四点共面，所以AB 、CD 共面，这与AB 、CD 是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC 、BD 也是异面直线；③假设直线AC 、BD 是共面直线．则正确的序号顺序为( )A ．①②③B ．③①②C ．①③②D ．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案：B4．否定结论“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，正确的反设为( )A ．a ，b ，c 都是奇数B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a ，b ，c 中奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数．除去结论即为反设，应选D.答案：D5．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于( )A ．0 B.13C.12 D ．1解析：假设a ，b ，c 都小于13，则a ＋b ＋c <1，与a ＋b ＋c ＝1矛盾，选项B 正确．答案：B二、填空题6．已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a ，求证：b 与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交， ∴应假设b 与c 平行或相交．答案：b 与c 平行或相交7．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：由假设p 为奇数可知(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为偶数．答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)8．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数，且a >b )，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an >bn ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立，所以不存在n 使a n ＝b n .答案：0三、解答题9．设x ，y 都是正数，且x ＋y >2，试用反证法证明：1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．证明：假设1＋x y <2和1＋y x <2都不成立，即1＋x y ≥2，1＋y x≥2. 又因为x ，y 都是正数，所以1＋x ≥2y ，1＋y ≥2x .两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，则x ＋y ≤2，这与题设x ＋y >2矛盾，所以假设不成立．故1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立． 10．已知三个正数a ，b ，c ，若a 2，b 2，c 2成公比不为1的等比数列，求证：a ，b ，c 不成等差数列．证明：假设a ，b ，c 成等差数列，则有2b ＝a ＋c ，即4b 2＝a 2＋c 2＋2ac ，又a 2，b 2，c 2成公比不为1的等比数列，且a ，b ，c 为正数， 所以b 4＝a 2c 2且a ，b ，c 互不相等，即b 2＝ac ，因此4ac ＝a 2＋c 2＋2ac ，所以(a －c )2＝0，从而a ＝c ＝b ，这与a ，b ，c 互不相等矛盾．故a ，b ，c 不成等差数列．B 级 能力提升1．设a ，b ，c 大于0，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( ) A ．都大于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于2解析：假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a都小于2 则a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a<2 ∴a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a<6，① 又a ，b ，c 大于0所以a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，c ＋1c≥2. ∴a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a≥6.② 故①与②式矛盾，假设不成立所以a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a至少有一个不小于2. 答案：D2．对于定义在实数集R 上的函数f (x )，如果存在实数x 0，使f (x 0)＝x 0，那么x 0叫作函数f (x )的一个好点．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在好点，那么a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C ．(－1，1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：假设函数f (x )存在好点，则x 2＋2ax ＋1＝x 有实数解，即x 2＋(2a －1)x ＋1＝0有实数解．所以Δ＝(2a －1)2－4≥0，解得a ≤－12或a ≥32. 所以f (x )不存在好点时，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 答案：A3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，c >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0且0<x <c 时，恒有f (x )>0.(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a与c 的大小． (1)证明：因为f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点，所以f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2.因为f (c )＝0，所以x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a， 所以x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ， 所以1a是f (x )＝0的一个根． (2)解：假设1a<c ， 又1a>0，且0<x <c 时，f (x )>0， 所以知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0，这与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾， 因此1a≥c ， 又因为1a≠c ，1所以a>c.。