高考数学难点突破_难点32__极限及其运算

高考数学技巧如何快速计算复杂的极限与连续性问题高考数学中，复杂的极限与连续性问题常常让学生感到头疼。

在解题过程中，掌握一些快速计算的技巧可以帮助学生更高效地解决这些难题。

本文将介绍几种常用的数学技巧，帮助学生在高考中迅速解答复杂的极限与连续性问题。

1. 利用极限的性质进行计算在计算复杂的极限问题时，可以利用极限的性质进行简化。

例如，对于形如lim(x→a) [f(x) + g(x)]的极限，可以将其分解为lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)，然后分别计算这两个极限。

同样地，对于形如lim(x→a) [f(x) - g(x)]、lim(x→a) [f(x) * g(x)]、lim(x→a) [f(x) / g(x)]等复杂的极限，也可以借助极限的性质进行简化计算。

2. 使用洛必达法则洛必达法则是解决复杂极限问题的重要工具之一。

当极限形式为0/0或∞/∞时，可以使用洛必达法则来快速计算。

具体操作是对极限中的分子和分母分别求导，然后重新计算得到一个新的极限，重复这个过程直到得到一个确定的值或无穷大。

需要注意的是，在使用洛必达法则时，必须保证导数存在。

3. 利用连续性的特性简化计算连续性是复杂极限问题的另一个关键点。

在计算极限时，可以利用函数的连续性来简化问题。

例如，对于形如lim(x→a) f(g(x))的极限，如果函数f在g(x)的极限点处连续，那么可以通过直接将g(x)的极限代入f(x)中进行计算。

类似地，如果在极限点a附近，函数f与g(x)等值（或等价），则可以用f(x)来代替g(x)，简化极限的计算步骤。

4. 利用数学公式和恒等式简化问题在解决复杂的极限问题时，可以运用数学公式和恒等式来简化计算过程。

例如，对于形如lim(x→∞) [f(x)]^n的极限，可以应用函数的幂函数极限公式lim(x→∞) x^n = ∞或lim(x→∞) a^n = a^n（其中a为常数），从而简化问题。

高二数学《极限的求解》知识点梳理2023极限是数学分析中非常重要的概念之一，它不仅在高等数学中有广泛的应用，而且在其他学科如物理、经济学等领域也都得到了广泛的运用。

而在高二数学学习中，对于极限的求解，我们需要系统地掌握各种方法和技巧。

下面将对高二数学《极限的求解》的知识点进行梳理，以帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。

一、极限的基本概念极限是指当自变量趋于某一特定值时，函数值的变化趋势。

数学上可以用极限符号来表示，即lim。

对于函数f(x)，x趋于a时的极限可以表示为lim(x→a) f(x) = L。

其中，a为趋近的特定值，L为极限值。

极限的计算需要根据不同的情况采用不同的方法，下面将介绍几种常用的计算方法。

二、极限的计算方法1. 无穷大与无穷小在极限的计算中，无穷大与无穷小是经常会遇到的概念。

当x趋于无穷大时，我们可以利用无穷大与无穷小的性质来计算极限。

例如，当x趋于无穷大时，如果f(x)是一个无穷大量，而g(x)是一个无穷小量，那么极限lim(x→∞) (f(x) ± g(x)) = ± ∞。

这个性质在实际计算中非常有用。

2. 有理函数的极限有理函数是指多项式相除得到的函数，例如f(x) = (ax^2 + bx +c)/(dx + e)。

在计算有理函数的极限时，可以采用分子分母同时除以最高次幂的方法，将有理函数化简为一种更容易计算的形式。

例如，对于函数f(x) = (x^2 + 2x + 1)/(x + 1)，可以将分子分母同时除以x，得到f(x) = (1 + 2/x + 1/x^2)/(1 + 1/x)。

当x趋于无穷大时，我们可以忽略掉分式中低次项的影响，从而计算极限。

3. 三角函数的极限三角函数在极限的计算中也经常会出现。

对于常见的正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)，当x趋于0时，可以利用它们的性质进行极限的计算。

例如，lim(x→0) sin(x)/x = 1，lim(x→0) (1 - cos(x))/x^2 = 1/2。

高中数学极限问题解题思路与例题一、引言高中数学中，极限问题是一个重要的考点，也是学生们普遍感到困惑的一个难点。

正确理解和掌握极限问题的解题思路对于学习数学和应对考试都具有重要意义。

本文将从基本概念、解题思路和例题分析三个方面，详细介绍高中数学极限问题的解题方法。

二、基本概念1. 极限的定义极限是数学中一个重要的概念，用于描述函数在某一点附近的趋势。

对于函数f(x)，当自变量x无限接近某一点a时，如果函数值f(x)无限接近于一个常数L，那么我们就说函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。

2. 极限的性质极限具有一些重要的性质，如极限的唯一性、四则运算法则、复合函数的极限等。

掌握这些性质对于解题非常有帮助。

三、解题思路1. 分析题目在解决极限问题时，首先要仔细分析题目，明确题目中给出的条件和要求。

特别要注意是否存在不确定形式，如0/0、∞/∞等。

2. 利用基本极限高中数学中，有一些基本的极限公式是非常重要的，如lim(x→0)(sinx/x)=1、lim(x→∞)(1+x)^1/x=e等。

在解题时，可以利用这些基本极限公式来简化计算。

3. 利用极限的性质极限具有一些重要的性质，如极限的四则运算法则、复合函数的极限等。

在解题时，可以灵活运用这些性质来简化计算。

4. 利用夹逼定理夹逼定理是解决极限问题的常用方法之一。

当我们无法直接计算出极限时，可以通过找到两个函数，一个上界函数和一个下界函数，使得它们的极限都等于我们要求的极限，从而利用夹逼定理求出极限的值。

四、例题分析1. 例题一求极限lim(x→0)(x^2+sinx)/x。

解析：首先，我们可以利用基本极限lim(x→0)(sinx/x)=1，将题目转化为lim(x→0)(x+sinx)/x。

然后，利用极限的四则运算法则，将分子和分母分别求极限，得到lim(x→0)x/x+lim(x→0)sinx/x=1+0=1。

2. 例题二求极限lim(x→∞)(2x^2+x)/(3x^2-4x)。

如何轻松解决高考数学中的极限运算题高考数学中对于很多考生来说，最令人头疼的题目莫过于极限运算。

极限运算题通常考察的是学生的数学思维能力和逻辑推理能力，因此其难度相对较高。

但是，只要我们在平时的复习和做题中注意一些细节，便能够轻松解决高考数学中的极限运算题。

一、了解基本概念在解决极限运算题之前，我们需要先了解一些基本概念。

极限是函数的重要性质，通俗地说就是当自变量无限趋近某一个值时，函数值也无限趋近于某一个值。

一个函数的极限可以分为左极限和右极限，分别表示自变量趋近于某个值时从左侧和右侧趋近的情况。

使用极限运算时需要注意的是，不同类型的极限有不同的求解方法。

常见的极限类型包括常数极限、无穷大极限、零点极限、复合函数极限等等。

在日常学习中，我们应该通过练习题目加深自己对不同类型极限的了解，以便在实际考试中迅速找到合适的解法。

二、掌握运算方法在解决极限运算题时，我们需要掌握一些基本的运算方法。

首先，我们需要熟悉极限的四则运算法则。

在四则运算中，我们可以对极限中的分子、分母进行因式分解，消去公因式等方法，以便更好地求出极限。

其次，我们也需要注意在使用不同的运算法则时需要特别谨慎。

例如使用复合函数极限时，我们需要先确定函数的极限是否存在，并且需要注意嵌套的函数之间的关系。

此外，在使用极限换元法时也需要学会选择合适的变量代替原变量，避免造成混淆和错误。

三、注重思维方式无论是何种类型的极限运算题目，思维方式都是解决问题的关键。

在解决极限运算题时，我们需要动脑筋、善于发散思维，寻找不同的解法，以便更好地找到最简便的方法。

有的题目需要使用级数展开等复杂的方法，而有的则可以通过化简、整理等简单方法迅速得出答案。

同时，在进行思考时需要在纸上进行草稿，尤其是在处理一些复杂的式子时。

这样可以帮助我们更好地理清思路，避免遗漏细节以及混乱的算式步骤。

当我们对问题的思考清晰明了时，解决问题也就更加容易和轻松。

四、多做练习最后，要想真正掌握高考数学中的极限运算题目，我们需要大量的练习。

高中数学极限的计算与应用技巧解析在高中数学中，极限是一个重要的概念，它在数学的各个领域中都有广泛的应用。

掌握极限的计算与应用技巧对于高中学生来说至关重要。

本文将通过具体的题目举例，分析极限的计算方法和应用技巧，并给出一些解题的指导。

一、极限的计算方法1. 代入法：对于一些简单的极限计算，可以直接将变量代入函数中，求出函数在该点的取值。

例如，计算极限lim(x→2)(x^2+3x+2)时，我们可以将x代入函数f(x)=x^2+3x+2中，得到f(2)=2^2+3×2+2=12。

因此，lim(x→2)(x^2+3x+2)=12。

2. 分子分母除以最高次项：对于有理函数的极限计算，可以通过将分子分母同时除以最高次项的系数，简化计算过程。

例如，计算极限lim(x→1)((x^3-1)/(x-1))时，我们可以将分子分母同时除以(x-1)，得到lim(x→1)((x^3-1)/(x-1))=lim(x→1)((x-1)(x^2+x+1)/(x-1))=lim(x→1)(x^2+x+1)=3。

3. 利用基本极限：在计算一些特殊函数的极限时，可以利用基本极限来简化计算过程。

例如，计算极限lim(x→0)(sinx/x)时，我们可以利用基本极限lim(x→0)(sinx/x)=1。

4. 利用夹逼定理：夹逼定理是极限的重要性质之一，它可以用来证明一些复杂函数的极限。

当一个函数夹在两个趋于同一极限的函数之间时，它的极限也会趋于相同的值。

例如，计算极限lim(x→0)(xsi n(1/x))时，我们可以利用夹逼定理将函数夹在两个函数x和-x之间，得到-|x|≤xsin(1/x)≤|x|。

由于lim(x→0)(-|x|)=0和lim(x→0)(|x|)=0，根据夹逼定理，我们可以得到lim(x→0)(xsin(1/x))=0。

二、极限的应用技巧1. 极限与函数的连续性：极限与函数的连续性有着密切的关系。

如果一个函数在某一点的极限存在且与该点的函数值相等，那么该函数在该点是连续的。

高中数学难点32 极限及其运算极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具.旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一.本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题.●难点磁场(★★★★)求1122lim +-∞→++n n n n n aa . ●案例探究［例1］已知lim ∞→x (12+-x x －ax －b )=0,确定a 与b 的值.命题意图：在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依.因而本题重点考查考生的这种能力.也就是本知识的系统掌握能力.属★★★★★级题目.知识依托：解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法.错解分析：本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错. 技巧与方法：有理化处理.解：bax x x b ax x x b ax x x x x +++-+-+-=--+-∞→∞→1)()1(lim)1(lim 2222bax x x b x ab x a x +++--++--=∞→1)1()21()1(lim2222要使上式极限存在，则1－a 2=0, 当1－a 2=0时，1)21(1)21(1111)21(lim 1)1()21(lim 22222=++-++-=+++--++-=+++--+--=∞→∞→a ab a ab a x b x xx b ab b ax x x b x ab x x 由已知得上式 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-01)21(012aab a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==211b a［例2］设数列a 1,a 2,…,a n ,…的前n 项的和S n 和a n 的关系是S n =1－ba n －nb )1(1+,其中b 是与n 无关的常数，且b ≠－1.(1)求a n 和a n －1的关系式；(2)写出用n 和b 表示a n 的表达式；(3)当0＜b ＜1时，求极限lim ∞→n S n .命题意图：历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前n 项和S n 等有紧密的联系.有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前n 项和S n 再求极限，本题考查学生的综合能力.属★★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系.错解分析：本题难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及n =1与n =2时的式子不统一性.技巧与方法：抓住第一步的递推关系式，去寻找规律.解：(1)a n =S n －S n －1=－b (a n －a n －1)－1)1(1)1(1-+++n n b b =－b (a n －a n－1)+nb b)1(+ (n ≥2) 解得a n =11)1(1+-+++n n b ba b b (n ≥2) 代入上式得把由此猜想21113211132321213212221221111)1()1()1(,)1()1()1(])1(1[)1()1()1()1(1])1(1[1)1(,111)2(b ba b b b b b a b b a b bb b a b b b b b b b a b b b b b bb a b b b b b a b b b b a b ba b ba S a n n n n n n n n n n n n n n n +=+++++++=+++++=+++++++=++++=++++++=∴+=∴+--==+--+-+--+-+-),1()11(1)()1(11)1(1)1)(1(1)1(11)3()1(2)1()1)(1()1(111111112≠+---+-=+-+--⋅-=+--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+--=++++=++++++++b b b b b b b b b b b b b b ba S b n b b b b b b b b b a n n nn n n n n n n n n n n n.1lim ,0)11(lim ,0lim ,10=∴=+=<<∞→∞→∞→n n nn n n S bb b 时●锦囊妙计1.学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限.学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限. 2.运算法则中各个极限都应存在.都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个.在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限.3.注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如：)1|(|0lim ,0)1(lim<==-∞→∞→a a nn n nn⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><==++++++--∞→时当不存在时当时当l k l k l k b a b x b x b a x a x a l l k k k n ,,0,lim 01110110 ●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)a n 是(1+x )n 展开式中含x 2的项的系数，则)111(lim 21nn a a a +++∞→ 等于( ) A.2 B.0 C.1D.－12.(★★★★)若三数a ,1,c 成等差数列且a 2,1,c 2又成等比数列，则nn ca c a )(lim 22++∞→的值是( )A.0B.1C.0或1D.不存在 二、填空题3.(★★★★) )(lim x x x x n -+++∞→ =_________.4.(★★★★)若)12(lim 2nb n n a n --+∞→=1,则ab 的值是_________.三、解答题5.(★★★★★)在数列{a n }中，已知a 1=53,a 2=10031,且数列{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列，数列{lg(a n +1－21a n }是公差为－1的等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),求lim ∞→n S n .6.(★★★★)设f (x )是x 的三次多项式，已知a x x f a x x f a n a n 4)(lim2)(lim42-=-→→=1,试求ax x f n 3)(lim -∞→的值.(a 为非零常数).7.(★★★★)已知数列{a n },{b n }都是由正数组成的等比数列，公式分别为p 、q ,其中p ＞q ,且p ≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和，求1lim-∞→n nn S S 的值.8.(★★★★★)已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，d ≠0且a 1=0,b n =2n a (n ∈N *),S n 是{b n }的前n 项和，T n =nnb S (n ∈N *). (1)求{T n }的通项公式； (2)当d ＞0时，求lim ∞→n T n .参考答案难点磁场⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅=-+-=⋅-=++-=-++-=++-==⋅⋅=++==++=++<<-=++=++-<>-+--+-+-+---∞→+-∞→∞→+-∞→-∞→+-∞→)(232232222)(612322222)2(22)2(22,2;21623lim 22lim ,2;41)2(221)2(lim 22lim ,22;1)2()2(11lim 22lim ,22:11111111111211111111为偶数为奇数时当时当时当时或当解n n a a a a a a a a a a a a aa aa a a a a a n n n n n nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n nn 歼灭难点训练 一、1.解析：)111(21,2)1(C 2nn a n n a n n n --=∴-==， 2)11(2lim )111(lim 21=-=+++∴∞→∞→na a a n n n答案：A 2.解析：⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧==+6222 ,12222222c a c a c a c a c a c a 或得 答案：C二、3.解析：xx x x x x x x x x x x x x +++-++=-+++∞→+∞→lim)(lim.21111111lim23=++++=+∞→x xx x 答案：21 4.解析：原式=112)2(lim12)12(lim22222222222=+-+-+-=+-+--+∞→∞→nbn n a a n a n b a nbn n a b n n n a n n⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-422120222b a b b a∴a ·b =82 答案：82三、5.解：(1)由{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列，且a 1=53,a 2=10031,∴a n +1－101a n =(a 2－101a 1)(21)n -1=(10031－53×101)(21)n -1=1121)21(41+-=n n ,∴a n +1=101a n +121+n ①又由数列{lg(a n +1－21a n )}是公差为－1的等差数列，且首项lg(a 2－21a 1)=lg(10031－21×53)=－2,∴其通项lg(a n +1－21a n )=－2+(n －1)(－1)=－(n +1),∴a n +1－21a n =10－(n +1),即a n +1=21a n +10－(n +1)②①②联立解得a n =25［(21)n +1－(101)n +1］(2)S n =])101()21([2511111∑∑∑==++=-=n k n k k k nk k a911]1011)61(211)21([25lim 22=---=∴∞→n n S6.解：由于ax x f a x 2)(lim2-→=1，可知，f (2a )=0 ①同理f (4a )=0 ② 由①②可知f (x )必含有(x －2a )与(x －4a )的因式，由于f (x )是x 的三次多项式，故可设f (x )=A (x －2a )(x －4a )(x －C ),这里A 、C 均为待定的常数，,1))(4(lim 2))(4)(2(lim ,12)(lim 222=--=----=-→→→C x a x A ax C x a x a x A a x x f a x a x a x 即由 1)2)(42(=--C a a a A 得,即4a 2A －2aCA =－1③ 同理，由于ax x f a x 4)(lim4-→=1,得A (4a －2a )(4a －C )=1,即8a 2A －2aCA =1④由③④得C =3a ,A =221a ,因而f (x )= 221a(x －2a )(x －4a )(x －3a ),21)(21)4)(2(21lim 3)(lim 2233-=-⋅⋅=--=-∴→→a a a a x a x a a x x f a x a x 1111111111111111111)1()1()1()1()1()1()1()1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(:.7----------+------+-=--+----+--=∴--+--=n n nn n n n n n nn n n q p b p q a p b q a q p b p q a p b q a qq b p p a q q b p p a S S q q b p p a S 解由数列{a n }、{b n }都是由正数组成的等比数列，知p ＞0,q ＞0.1)1(00)1(01))(1(1)1()1()1())(1()1()1()1(lim )1()1()1()1()1()1()1()1(lim lim 111111111111111111111111p pq a q a p p q p b p q a pp b q a p q p b q a p p b q a p q p b p q a p b q a p q p b p q a p b q a S S p n n nnn nn n nnn n n n n =------=-----+------+-=-----+------+-=>--∞→--∞→-∞→时当当p ＜1时,q ＜1, 0lim lim lim lim 11====-∞→∞→-∞→∞→n n n n n n n n q q p p1lim1=∴-∞→n nn S S8.解：(1)a n =(n －1)d ,b n =2n a =2(n－1)dS n =b 1+b 2+b 3+…+b n =20+2d +22d +…+2(n－1)d由d ≠0,2d≠1,∴S n =dnd 21)2(1-- ∴T n =ndd n nd d n d nd n n b S 2221221)2(1)1()1(--=--=--(2)当d ＞0时，2d ＞1122121101211)2(1lim )2()2()2(1lim 2221lim lim 1)1(-=--=--=--=--=∴∞→-∞→-∞→∞→dd d d nd n nd n d nd n ndd n nd n n n T。

第三节 函数的极限一、知识归纳 1、知识精讲：1）当x →∞时函数f(x)的极限:当自变量x 取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于正无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =+∞→)(lim ,(或x →+∞时,f(x)→a)当自变量x 取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于负无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =-∞→)(lim ,(或x →-∞时,f(x)→a)注：自变量x →+∞和x →-∞都是单方向的，而x →∞是双向的，故有以下等价命题=+∞→)(lim x f x a x f x =-∞→)(lim ⇔a x f x =∞→)(lim2）当x →x 0时函数f(x)的极限:当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x ≠x 0）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于x 0时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x x =→)(lim 0,(或x →x 0时,f(x)→a)注：a x f x x =→)(lim 0与函数f （x ）在点x 0处是否有定义及是否等于f （x 0）都无关。

3）函数f(x)的左、右极限:如果当x 从点x=x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a 。

就说a 是函数f(x)的左极限，记作a x f x x =-→)(lim 0。

如果当x 从点x=x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a 。

就说a 是函数f(x)的右极限，记作a x f x x =+→)(lim 0。

注：=-→)(lim 0x f x x a x f x x =+→)(lim 0⇔a x f x x =→)(lim 0。

并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工具。

注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限≠-→)(lim 0x f x x )(lim 0x f xx +→； ②0x x→时，()±∞→x f ，③0x x →时，()→x f 的值不唯一。

高中数学极限解题技巧在高中数学中，极限是一个重要的概念，也是解题过程中常见的题型之一。

掌握好极限解题技巧，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。

本文将介绍一些常见的高中数学极限解题技巧，并通过具体的例题进行说明，帮助读者更好地理解和掌握。

一、极限的定义和性质在解题过程中，首先需要了解极限的定义和性质。

极限的定义是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于某个确定值。

而极限的性质包括四则运算、复合函数、极限与连续性等。

掌握好这些基本概念和性质，是解决极限题的基础。

例题1：求函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在x = 2处的极限。

解析：根据极限的定义，我们需要计算当x趋于2时，函数f(x)的取值趋于多少。

将x = 2代入函数f(x)中，得到f(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3。

因此，函数f(x)在x = 2处的极限为3。

二、极限的基本运算法则在解决极限题时，经常会遇到需要进行四则运算的情况。

掌握好极限的基本运算法则，可以简化计算过程，提高解题效率。

例题2：求极限lim(x→0) [(1 + x)^3 - 1] / x。

解析：根据极限的基本运算法则，我们可以先对分子进行展开，然后进行化简。

展开后的式子为[(1 + 3x + 3x^2 + x^3) - 1] / x，化简后得到(3x + 3x^2 + x^3) / x。

再根据极限的性质，我们可以将分子和分母都除以x，得到3 + 3x + x^2。

最后，将x趋于0，得到极限lim(x→0) (3 + 3x + x^2) = 3。

三、极限的夹逼准则极限的夹逼准则是解决一类特殊极限问题的重要方法。

当我们无法直接计算极限时，可以通过夹逼准则将其转化为已知的极限问题，从而求解。

例题3：求极限lim(x→∞) (x - √x) / (x + √x)。

解析：根据极限的夹逼准则，我们可以将(x - √x) / (x + √x)进行变形，得到[(x - √x) / (x + √x)] * [(x - √x) / (x - √x)] = (x^2 - 2x√x + x) / (x^2 - (√x)^2) = (x^2 - 2x√x + x) / (x^2 - x)。

七夕，古今诗人惯咏星月与悲情。

吾生虽晚，世态炎凉却已看透矣。

情也成空，且作“挥手袖底风”罢。

是夜，窗外风雨如晦，吾独坐陋室，听一曲《尘缘》，合成诗韵一首，觉放诸古今，亦独有风韵也。

乃书于纸上。

毕而卧。

凄然入梦。

乙酉年七月初七。

-----啸之记。

难点32 极限及其运算极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具.旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一.本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题.●难点磁场(★★★★)求1122lim +-∞→++n n n n n aa . ●案例探究［例1］已知lim ∞→x (12+-x x －ax －b )=0,确定a 与b 的值.命题意图：在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依.因而本题重点考查考生的这种能力.也就是本知识的系统掌握能力.属★★★★★级题目.知识依托：解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法.错解分析：本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错. 技巧与方法：有理化处理.解：bax x x b ax x x b ax x x x x +++-+-+-=--+-∞→∞→1)()1(lim)1(lim 2222bax x x b x ab x a x +++--++--=∞→1)1()21()1(lim2222要使上式极限存在，则1－a 2=0, 当1－a 2=0时，1)21(1)21(1111)21(lim 1)1()21(lim 22222=++-++-=+++--++-=+++--+--=∞→∞→a ab a ab a x b x xx b ab b ax x x b x ab x x 由已知得上式 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-01)21(012aab a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==211b a［例2］设数列a 1,a 2,…,a n ,…的前n 项的和S n 和a n 的关系是S n =1－ba n －nb )1(1+,其中b 是与n 无关的常数，且b ≠－1.(1)求a n 和a n －1的关系式；(2)写出用n 和b 表示a n 的表达式； (3)当0＜b ＜1时，求极限lim ∞→n S n .命题意图：历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前n 项和S n 等有紧密的联系.有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前n 项和S n 再求极限，本题考查学生的综合能力.属★★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系.错解分析：本题难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及n =1与n =2时的式子不统一性.技巧与方法：抓住第一步的递推关系式，去寻找规律.解：(1)a n =S n －S n －1=－b (a n －a n －1)－1)1(1)1(1-+++n n b b =－b (a n －a n －1)+nb b)1(+ (n ≥2) 解得a n =11)1(1+-+++n n b ba b b (n ≥2) 代入上式得把由此猜想21113211132321213212221221111)1()1()1(,)1()1()1(])1(1[)1()1()1()1(1])1(1[1)1(,111)2(b ba b b b b b a b b a b bb b a b b b b b b b a b b b b b bb a b b b b b a b b b b a b ba b ba S a n n n n n n n n n n n n n n n +=+++++++=+++++=+++++++=++++=++++++=∴+=∴+--==+--+-+--+-+-),1()11(1)()1(11)1(1)1)(1(1)1(11)3()1(2)1()1)(1()1(111111112≠+---+-=+-+--⋅-=+--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+--=++++=++++++++b b b b b b b b b b b b b b ba S b n b b b b b b b b b a n n nn n n n n n n n n n n n.1lim ,0)11(lim ,0lim ,10=∴=+=<<∞→∞→∞→n n nn n n S bb b 时●锦囊妙计1.学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限.学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限. 2.运算法则中各个极限都应存在.都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个.在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限.3.注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如：)1|(|0lim ,0)1(lim<==-∞→∞→a a nn n nn ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><==++++++--∞→时当不存在时当时当l k l k l k b a b x b x b a x a x a l l k k k n ,,0,lim 01110110 ●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)a n 是(1+x )n 展开式中含x 2的项的系数，则)111(lim 21nn a a a +++∞→ 等于( ) A.2 B.0 C.1D.－12.(★★★★)若三数a ,1,c 成等差数列且a 2,1,c 2又成等比数列，则nn ca c a )(lim 22++∞→的值是( )A.0B.1C.0或1D.不存在 二、填空题3.(★★★★) )(lim x x x x n -+++∞→ =_________.4.(★★★★)若)12(lim 2nb n n a n --+∞→=1,则ab 的值是_________.三、解答题5.(★★★★★)在数列{a n }中，已知a 1=53,a 2=10031,且数列{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列，数列{lg(a n +1－21a n }是公差为－1的等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),求lim ∞→n S n .6.(★★★★)设f (x )是x 的三次多项式，已知a x x f a x x f a n a n 4)(lim2)(lim42-=-→→=1,试求ax x f n 3)(lim -∞→的值.(a 为非零常数).7.(★★★★)已知数列{a n },{b n }都是由正数组成的等比数列，公式分别为p 、q ,其中p ＞q ,且p ≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和，求1lim-∞→n nn S S 的值.8.(★★★★★)已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，d ≠0且a 1=0,b n =2n a (n ∈N *),S n 是{b n }的前n 项和，T n =nnb S (n ∈N *). (1)求{T n }的通项公式； (2)当d ＞0时，求lim ∞→n T n .参考答案难点磁场⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅=-+-=⋅-=++-=-++-=++-==⋅⋅=++==++=++<<-=++=++-<>-+--+-+-+---∞→+-∞→∞→+-∞→-∞→+-∞→)(232232222)(612322222)2(22)2(22,2;21623lim 22lim ,2;41)2(221)2(lim 22lim ,22;1)2()2(11lim 22lim ,22:11111111111211111111为偶数为奇数时当时当时当时或当解n n a a a a a a a a a a a a aa aa a a a a a n n n n n nn n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n nn 歼灭难点训练 一、1.解析：)111(21,2)1(C 2nn a n n a n n n --=∴-==， 2)11(2lim )111(lim 21=-=+++∴∞→∞→na a a n n n答案：A 2.解析：⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧==+6222 ,12222222c a c a c a c a c a c a 或得 答案：C二、3.解析：xx x x x x x x x x x x x x +++-++=-+++∞→+∞→lim)(lim.21111111lim23=++++=+∞→x xx x 答案：21 4.解析：原式=112)2(lim12)12(lim22222222222=+-+-+-=+-+--+∞→∞→nbn n a a n a n b a nbn n a b n n n a n n⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-422120222b a b b a∴a ·b =82答案：82三、5.解：(1)由{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列，且a 1=53,a 2=10031,∴a n +1－101a n =(a 2－101a 1)(21)n -1=(10031－53×101)(21)n -1=1121)21(41+-=n n ,∴a n +1=101a n +121+n ①又由数列{lg(a n +1－21a n )}是公差为－1的等差数列，且首项lg(a 2－21a 1)=lg(10031－21×53)=－2,∴其通项lg(a n +1－21a n )=－2+(n －1)(－1)=－(n +1),∴a n +1－21a n =10－(n +1),即a n +1=21a n +10－(n +1)②①②联立解得a n =25［(21)n +1－(101)n +1］(2)S n =])101()21([2511111∑∑∑==++=-=n k n k k k nk k a911]1011)61(211)21([25lim 22=---=∴∞→n n S6.解：由于ax x f a x 2)(lim2-→=1，可知，f (2a )=0 ①同理f (4a )=0 ② 由①②可知f (x )必含有(x －2a )与(x －4a )的因式，由于f (x )是x 的三次多项式，故可设f (x )=A (x －2a )(x －4a )(x －C ),这里A 、C 均为待定的常数，,1))(4(lim 2))(4)(2(lim ,12)(lim 222=--=----=-→→→C x a x A ax C x a x a x A a x x f a x a x a x 即由 1)2)(42(=--C a a a A 得,即4a 2A －2aCA =－1③ 同理，由于ax x f a x 4)(lim4-→=1,得A (4a －2a )(4a －C )=1,即8a 2A －2aCA =1④由③④得C =3a ,A =221a ,因而f (x )= 221a(x －2a )(x －4a )(x －3a ),21)(21)4)(2(21lim 3)(lim 2233-=-⋅⋅=--=-∴→→a a aa x a x a a x x f a x a x1111111111111111111)1()1()1()1()1()1()1()1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(:.7----------+------+-=--+----+--=∴--+--=n n nn n n n n n nn n n q p b p q a p b q a q p b p q a p b q a qq b p p a q q b p p a S S q q b p p a S 解由数列{a n }、{b n }都是由正数组成的等比数列，知p ＞0,q ＞0.01)1(00)1(01))(1(1)1()1()1())(1()1()1()1(lim )1()1()1()1()1()1()1()1(lim lim 111111111111111111111111p pq a q a p p q p b p q a p p b q a p q p b q a p p b q a p q p b p q a p b q a p q p b p q a p b q a S S p n n nnn nn n nnn n n n n =------=-----+------+-=-----+------+-=>--∞→--∞→-∞→时当当p ＜1时,q ＜1, 0lim lim lim lim 11====-∞→∞→-∞→∞→n n n n n n n n q q p p1lim1=∴-∞→n nn S S8.解：(1)a n =(n －1)d ,b n =2n a =2(n－1)dS n =b 1+b 2+b 3+…+b n =20+2d +22d +…+2(n－1)d由d ≠0,2d≠1,∴S n =dnd 21)2(1--∴T n =ndd n nd d n d nd n n b S 2221221)2(1)1()1(--=--=-- (2)当d ＞0时，2d ＞1122121101211)2(1lim )2()2()2(1lim 2221lim lim 1)1(-=--=--=--=--=∴∞→-∞→-∞→∞→dd dd nd n nd n d nd n nd d n nd n n n T。

高三数学的极限及运算 人教版选修2【本讲教育信息】一. 教学内容：高三数学选修（II ） 数列的极限及运算目标：理解数列极限的描述性定义，掌握数列极限的四则运算法则。

重点：会判断无穷数列的极限，会进行简单运算。

难点：利用简单数列的极限求较为复杂数列的极限。

知识点：1. 数列极限的定义（描述性）；2. 四则运算法则。

1. 对无穷数列{a n }，当项数n 无限增大时，数列的项a n 无限趋近于某个常数a ，则称数列{a n }有极限，常数a 叫{a n }的极限，记为lim n n a a →∞=2.lim lim 若，，则n n n n a a b b →∞→∞==lim()lim()lim()n n n n n n n n na b a b a b ab a b ab b →∞→∞→∞±=±==≠，，0注：（1）以上法则只适用于有限个数列的运算；（2）基本数列的极限： lim lim lim (||)n n n n n c c a a →∞→∞→∞===<1001；；例1. 下列数列中，存在极限的数列是（）{}a a n nA aB a nC a nD a q q n n n nn n n .().().c o s.(||)=+-=+-==>1121141π解：直接由定义判断选BA 、C 是周期数列；D. a n 无限增大（n →∞）例2. 已知，，，则当时，的极限为（）a nn n nn n a n n =+≤>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪→∞11001100{}A. 0B. 1C. 0或1D. 不存在解：选A例3. 考察下列数列{a n }的极限： （）（）1122331a n na n n n n n=+=++解：（）111122 a n n n nn =+=+ 且limlimlim lim n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞===1011102∴=→∞lim n n a 0（）22331233231 a n n n =+=+<()()|| ∴=+=→∞→∞→∞lim lim()lim n n n n n a 2333例4. 求下列数列的极限（）1512522lim n n n n →∞--+（）21434214444lim()n n n n n →∞+++++-+解：（）原式1512155222=--+=→∞limn n n n （）2141212411414244a n n n n n n n n =++-⋅=+=+−→−−→∞()∴=→∞lim n n a 1注：不能直接按和的运算法则求解。