菱形性质+判定(公开课)(2课时合一)

证明： ∵四边形ABCD是
平行四边形
∴OA=OC 又∵ AC ⊥ BD; ∴BA=BC ∴ ABCD是菱形
如图， ABCD的两条对角线AC、BD 相交于点O，AB= 5 ，AC=8，DB=6 求证:四边形ABCD是菱形. 证明: （1）∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=4 (平行四边形的对角线互相平分) OB=OD=3 D ∵ AB=5 ∴ AB2 OA2 OB2 A C ∴ ∠AOB= 900 O ∴AC⊥BD B ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是菱形. (对角线互相垂直的平行 四边形是菱形).
解：∵四边形ABCD是菱形A ∴OA=OC，OB=OD AC⊥BD B ∴OB=3cm ∴BD=2OB=6cm AC=2OA=8cm O C
∵Rt△AOB中OB2+OA2=AB2 AB=5cm，AO=4cm
活动六：
畅所欲言
对自己说我有哪些收获？ 对同学有哪些温馨提示？
对老师说你还有哪些困惑？
四边形AEDF是菱形 理由：∵DE ∥AC DF∥AB ∴四边形AEDF是平行四边形 ∵ DE ∥AC B ∴∠2= ∠3 ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠1= ∠2 ∴AE=DE ∴ □ AEDF是菱形
E
3 12
F
D
C
已知如图，AD是的角平分线，DE∥AC，DF∥AB. 证明：四边形AEDF是菱形。 对于这道，小林是这样证明的。 证明：∵AD平分，∴∠1＝∠2, ∵DE∥AC，∴∠2＝∠3 ∵DF∥AB，∴∠1＝∠4 又有AD=AD,∴△AED≌△AFD. ∴AE＝AF,DE=DF. ∴四边形AEDF是菱形. 老师说小林的解题过程有错误，你能看出来吗？ ⑴请你帮小林指出他的错误是什么？（先在解 答过程中划出来，再说明他错误的原因） ⑵请你帮小林做出正确的解答。
探究二
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、 D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C， 连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜， 这是什么四边形？ 你根据什么方法能判定是菱形吗？
有四条边相等的四边形是菱形。 ∵在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA
B C A O D
∴四边形ABC边形叫菱形 2个公式
：S菱形=底×高 S菱形= 对角线乘积的一半
3个特性 ：特在“边、对角线、对称性”
教材：P102页第5题
P103页第11，12题
你敢挑战吗？ 回去想一想
如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于A、 D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a。 证明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正三角形。
一起放飞理想的翅膀 在知识的天空中自由翱翔
19.2特殊的平行四边形
19.2.2菱形
活动一：
平行四边形的对边平行； 边 平行四边形的对边相等；
对角线
平行四 边形的 性质：
平行四边形的对角线互相平分； 平行四边形的对角相等； 平行四边形的邻角互补；
角
矩形的四个角都是直角
矩形的性质
矩形的对角线相等
活动二：
全等三角形有： Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA △ABD≌△BCD △ABC≌△ACD Rt△DOA
菱形的四条边相等
菱形的两条对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一组 对角。
菱形是轴对称图形， 也是中心对称图形
求证:菱形的四条边相等 菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角。
活动五：
1.菱形的定义: 是菱形 2.菱形的性质:①菱形的四条边 ， ②菱形的对角线 ，并且每一条对角 线一组 对角. 3.下列说法不正确的有 (填番号) ①菱形的对边平行且相等.②菱形的对角线互相平分 ③菱形的对角线相等.④菱形的对角线互相垂直. ⑤菱形的一条对角线平分一组对角.⑥菱形的对角相 等. 4.菱形的面积公式:① ② . 5.菱形既是 图形，又是 图形.
归纳
菱形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.有四条边相等的四边形是菱形.
1.判断下列说法是否正确？为什么？ (1)对角线互相垂直的四边形是菱形； ╳ (2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形； √ (3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等 的四边形是菱形； (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一 组对角的四边形是菱形．
用一长一短两根细木条,在它们的中点处 固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周 围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这 个四边形什么时候变成菱形?
猜想：
对角线互相垂直的 平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在 求证：
ABCD 中，AC ⊥ BD
ABCD 是菱形 B
A O C D
A
菱形ABCD中
AB=CD=AD=BC 相等的线段：
5 6
1 2
7 8
D
O
3
4
OA=OC
OB=OD
B
C
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA 相等的角： ∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4
∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形有：△ABC △ DBC △ACD △ABD 直角三角形有：Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD
4.对角线互相垂直且平分的四边形是（C ） A.矩形 B.一般的平行四边形 C.菱形 D.以上都不对 5.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（C） A.AC⊥BD,AC与BD互相平分 B.AB=BC=CD=DA C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
D
O
A B C
（1）菱形具有平行四边形的一切性质； （2）菱形的四条边都相等； （3）菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角；
活动四：做一做
1、菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别 是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。 D 分析： S 菱形ABCD 4SAOB
1 A 4 OA OB 2
╳
╳
2.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O， （1）若AB=AD，则□ABCD是 菱 形；
（2）若AC=BD，则□ABCD是 矩 （3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形； 矩 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 菱 形。
D C
O
A B
3.下列命题中正确的是（C）
A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
6.已知菱形的周长是12cm，那么它的 3cm 边长是______.
7.如下图：菱形 ABCD中∠BAD＝60度， 0 60 则∠ABD＝_______. D 8、菱形的两条对角线长 O 分别为6cm和8cm，则菱形 A 的边长是（ C ）
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm B
C
9.菱形ABCD中,O是两条对角线的交 点，已知AB＝5cm,AO=4cm，求两对 D 角线AC、BD的长。
已知:如图四边形ABCD是菱形 D 求证: (1)AB=BC=CD=DA O (2)AC⊥BD A C AC平分∠DAB和∠DCB BD平分∠ADC和∠ABC B 证明(1)∵四边形ABCD是菱形 ∴DA=DC(菱形的定义) ∴DB⊥AC， ∵DA=BC,AB=DC DB平分∠ADC（三线合一） ∴AB=BC=DC=DA 同理： DB平分∠ABC； (2)在△DAC中,又∵AO=CO AC平分∠DAB和∠DCB
在平行四边形中，如果内角大小保持不 变仅改变边的长度，能否得到一个特殊 的平行四边形？
平行四边形
邻边相等
菱形
有一组邻边相等的平行四边形
有一组 邻边相等 的平行四边形叫做菱形
A D C
∵四边形ABCD 是平行四边形 AB=BC ∴四边形ABCD 是菱形
B
感受生活
你能举出生活中你看到的菱形吗？
菱形就在我们身边
2.如图，矩形ABCD的对角线相交于点 O，DE∥AC,CE ∥BD. 求证：四边形OCED是菱形
A
O B C D E
3.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN 交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN 于点E，连接AE、CD. 求证：四边形ADCE是菱形 A
M
D
O
E
N
B
C
如图，Rt△ABC中，∠ACB=900， ∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D， 交AB于E，又点F在DE的延长线上，且 AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。
感受生活
三菱汽车标志欣赏
活动三：折一折 剪一剪
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准 确地剪出一个菱形的纸片？
他是这样做的：将一张长方形的纸 对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下， 打开即可.你知道其中的道理吗？
画出菱形的两条折痕, 并通过折叠手中的图 形回答以下问题：
１、菱形是轴对称图形吗？
2、菱形有几条对称轴？ 3、对称轴之间有什么关系？ 4、你能看出图中哪些线段和角相等？
O C
1 1 1 4 AC BD B 2 2 2 1 你有什么发现？ S菱形ABCD AC BD 2
24
D O
E B
S菱形ABCD AB DE
C
A
S菱形ABCD
1 AC BD 2
1 AB DE AC BD 2
2、如图，菱形花坛ABCD的周长为80m， ∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了 两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛 的面积（分别精确到0.01m和0.1m2 ）