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第一讲 相似三角形的性质与判定一、知识要点1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形。
对应边的比叫做相似比。
三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。
2．相似三角形的判定：①平行法②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS ”)③两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS ”)④两角对应相等(AA)直角三角形中斜边、直角边对应比相等（类似于直角三角形全等判定“HL ”）。
相似三角形的基本图形：判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。
3．相似三角形的性质：①对应角相等②对应边的比相等③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相似比④对应的面积之比等于相似比的平方。
4．相似三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。
二、考点精讲考点一：平行线分线段成比例例1、（2014广东肇庆）如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝（ ）A ． 7B ． 7.5C ． 8D ． 8.52.下列各组线段中，能成比例的是 （ ）A 、 1㎝，3㎝，4㎝，6㎝B 、 30㎝，12㎝，0.8㎝，0.2㎝C 、 0.1㎝，0.2㎝，0.3㎝，0.4㎝D 、 12㎝，16㎝，45㎝，60㎝3. 如果线段2=a ，且a 、b 的比例中项为10，那么线段b ＝ 。
4、若x ：y ＝3，则x ：(x+y)＝_______5. 在长度为１的线段上找到两个黄金分割点Ｐ、Ｑ.则ＰＱ＝（ ）A .215-B .53- C.25- D .253-6. 已知0432≠==cb a ,则cb a +的值为( )A.54B.45C.2D.21 考点二：相似三角形的判定例2、（2013湖北荆州）如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交于E ，∠CPD ＝∠A ＝∠B ，BC 交PD 于F ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 例3.如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8,沿直线MN 对折，使A 、C 重合，直线MN 交AC 于O.（1）求证：△COM∽△CBA； （2）求线段OM 的长度.练习：1．下列各组三角形一定相似的是（ ）A ．两个直角三角形B ．两个钝角三角形C ．两个等腰三角形D ．两个等边三角形 2．如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对3、如图，P 是Rt ΔABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 做直线截 ΔABC ，使截得的三角形与ΔABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）第2题4．如图，∠ADC =∠ACB 5．如图，AD ∥EF ∥BC 考点三：相似三角形的性质例4、（2013山东烟台）如图，△ABC 中，点D 在线段BC 上， 且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AB 2=BC ·BD B ．AB 2=AC ·BD C ．AB ·AD =BD ·BC D ．AB ·AD =AD ·CD例5、（2014浙江嘉兴）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ）AD E（A ）32（B ）33（C ）34（D ）36例6（2012•重庆）已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，则ABC 与△DEF 的面积之比为 ．练习：1．（2014青海西宁，10，3分）如图6，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADB +∠EDC =120°，BD =3，CE =2，则△ABC 的边长为（）A ．9B ．12C ．16D ．18Q PECDBA2．（2013四川雅安，9,3分）如图，D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点，则下列说法中不正确的为（ ）A ．△ADE ∽△ABCB ．AFC ABF S S △△= C ．ABC ADE S S △△41=D ．DF=EF 3．（2013辽宁丹东，16，3分）已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，那么:DPQ ABC S S ∆∆=______________．三、反馈练习反馈题1：如图，梯形ABCD 中，AB∥CD，E 为DC 中点，直线BE 交AC 于F ，交AD 的延长线于G ；请说明：EF·BG=BF·EG反馈题2，如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在AB 上，过点B 作⊙O 的切线交AC 的延长线于点D 。
四 直角三角形的射影定理庖丁巧解牛知识·巧学一、射影所谓射影，就是正投影.其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。
一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这条直线上的正投影.如图1—4—2，AB 在AC 上的射影是线段AC ；BC 在AC 上的射影是点C ；AC 、BC 在AB 上的射影分别是AD 、BD ，这样，Rt △ABC 中的六条线段就都有了名称,它们分别是:两条直角边(AC 、BC)，斜边（AB ），斜边上的高（CD)，两条直角边在斜边上的射影(AD 、BD)。
图1—4-2二、直角三角形的射影定理由于角之间的关系,图1-4-2中三个直角三角形具有相似关系，于是Rt △ABC 的六条线段之间存在着比例关系.△ACD ∽△CBD ，有BD CD CD AD =，转化为等积式，即CD 2=AD·BD ； △ACD ∽△ABC,有ACAD AB AC =，转化为等积式,即AC 2=AB·AD; △BCD ∽△BAC ，有BCBD BA BC =，转化为等积式，即BC 2=BA·BD. 用语言来表述，就是在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.联想发散这一结论常作为工具用于证明和求值.如图1—4-3，在Rt△ABC中,∠C＝90°,CD是AB上的高.已知AD＝4，BD＝9，就可以求CD、AC。
由射影定理，得CD2=AD·BD=4×9＝36.因为边长为正值，所以CD＝6，AC2=AD·AB=4×(4＋9）＝52。
所以AC＝132。
我们还可以求出BC、AB,以及△ABC的面积等。
问题·探究问题1 在直角三角形中，我们已经学过三边之间的一个重要关系式，如图1—4-3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么AC2＋BC2=AB2，这一结论被称作勾股定理，同样是在直角三角形中，勾股定理和射影定理有什么联系？如何说明这种联系？图1—4—3思路:将射影定理产生的式子AC2=AB·AD和BC2=BA·BD左右两边分别相加。
《相似三角形》知识结构详解相似三角形是中学数学中的重要内容之一，它是几何学中的基本概念之一。
了解相似三角形的知识结构，对于理解几何学的其他内容，以及解决相关的几何问题具有重要的意义。
一、相似三角形的定义与判定相似三角形指的是具有相同形状但大小不同的三角形。
具体来说，当两个三角形的对应角度相等，而对应边的长度之比也相等时，这两个三角形就是相似三角形。
相似三角形的判定方法主要有三种：1. AA准则：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形是相似的。
2. AAA准则：如果两个三角形的三个角分别相等，则这两个三角形是相似的。
3. SSS准则：如果两个三角形的三个边的对应边长比相等，则这两个三角形是相似的。
二、相似三角形的性质1. 边长比的性质：在两个相似三角形中，对应边的长度之比是相等的。
2. 高度与边长的关系：在两个相似三角形中，对应高度与对应边的长度之比也是相等的。
3. 面积比的性质：在两个相似三角形中，对应边长的平方之比等于对应面积的比值。
三、相似三角形的应用相似三角形在几何学的许多问题中都有重要应用，常见的应用有以下几个方面：1. 求解边长和比例：已知两个相似三角形的一些边长和比例，可以通过相似三角形的性质推导出未知边的长度，从而解决实际问题。
2. 求解高度与面积：已知两个相似三角形的高度和面积之比，可以通过相似三角形的性质计算出未知高度和面积的值。
3. 解决几何问题：在解决与三角形相关的几何问题时，通过相似三角形的知识可以简化问题的分析和计算过程，提高解题效率。
4. 测量与工程应用：相似三角形的概念在测量和工程应用中经常被使用，例如通过测量相似三角形的边长比例可以计算出远处物体的高度。
综上所述，相似三角形是几何学中的重要概念之一，它的定义、判定方法、性质以及应用都需要我们掌握和理解。
通过深入研究相似三角形的知识结构，我们能够更好地理解几何学中的其他内容，并能够应用相似三角形的性质解决实际问题。
三 相似三角形的判定及性质庖丁巧解牛知识·巧学一、平行线分线段成比例定理1。
定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.2.用符号语言表示:如图1-2-1所示，a ∥b ∥c ，则EF DE BC AB =.图1—2-13。
定理的证明：若BCAB 是有理数，则将AB 、BC 分成相等的线段,把问题转化为平行线等分线段,达到证明的目的，再推广到整个实数范围，其完整的推广过程等学到高等数学时才会实现。
4。
定理的条件:与平行线等分线段定理相同，它需要a 、b 、c 互相平行,构成一组平行线，m 与n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a 、b 、c 相交，即被平行线a 、b 、c 所截.平行线的条数还可以更多。
知识拓展对于3条平行线截两条直线的图形,要注意以下变化（如图121）：如果已知是a ∥b ∥c ，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比例，如FDFE CA CB DF DE AC AB ==,等. 记忆要诀 对于平行线分线段成比例定理，可以归纳为右左右左全上全上下上下上===1，，等,便于记忆.二、平行线分线段成比例定理的推论1。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。
2。
符号语言表示:如图1-2-2所示,a ∥b ∥c,则BC DE AC AE AB AD ==(1) （2）图1—2—23.推论的证明：直接利用平行线分线段成比例定理，应当注意的是一定要将线段对应好.误区警示实际应用时,通常图形中不会出现三条平行线，此时要注意正确识别图形,如图123.图1-2-3问题·探究问题1 平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何区别与联系？怎样正确使用平行线分线段成比例定理？思路:从两个定理的条件和结论两方面进行对比，可以找到它们的共同点和区别点.探究：我们学习的平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等（如图1—2-4，若l 1∥l 2∥l 3，AB ＝BC ，则DE=EF)。
可编辑修改精选全文完整版相似三角形知识点整理重点、难点分析：1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。
☆内容提要☆ 一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）：涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
第二套：二、有关知识点： 1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三反比性质：cda b = 更比性质：dbc a a c bd ==或 合比性质：ddc b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d c b a （比例基本定理） ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 相似基本定理 推论(骨干定理)平行线分线段成比例定理(基本定理)应用于△中 相似三角形定理1定理2 定理3 Rt △ 推论推论的逆定理推论角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SAS SSS AAS（ASA）HL相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
第三节相似三角形的判定及性质本讲小结1．平行线等分线段定理(1)定理的内容：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条与这组平行线相交的直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰．(2)中位线定理．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．两定理即为推论1、推论2的逆定理．2．平行线分线段成比例定理(1)定理的内容：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边的直线(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．推论2：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所得的三角形三边与原三角形的三边对应成比例．推论1的逆定理：如果一条直线截三角形两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．(2)三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．3．相似三角形的判定(1)相似三角形的有关概念．对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．对应边的比例称为相似比或相似系数．(2)预备定理．定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．利用本定理可以证明相似三角形的判定定理．(3)相似三角形判定定理．判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，即：两角对应相等，两个三角形相似．判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．即：两对应边成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，即：三边对应成比例，两三角形相似．(4)直角三角形相似的判定定理．定理1：如果两个直角三角形有一个锐角相等，那么它们相似．定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么它们相似．4．相似三角形的性质性质定理1：相似三角形对应角相等，对应边成比例．性质定理2：相似三角形对应边上的高、中线、对应角平分线和它们的周长的比都等于相似比．性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方．性质定理4：相似三角形外接圆或内切圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆或内切圆的面积比等于相似比的平方．5．直角三角形的射影定理(1)射影的概念．从一点向一条直线作垂线，垂足称为这点在这条直线上的正射影，简称射影．一般地，一个点集(如线段或其他几何图形)中所有的点在某条直线上的射影集合，称为这个点集在这条直线上的射影．如一条线段在一条直线上的射影就是线段的两个端点在这条直线上的射影间的线段．(2)锐角三角函数定义．sin α＝α的对边斜边， cos α＝α的邻边斜边，tan α＝α的对边α的邻边. (3)直角三角形射影定理和逆定理．直角三角形射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项．两条直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项．逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．(4)任意三角形射影定理：平面三角中，设一个三角形的三边分别为a 、b 、c ，它们所对的三内角分别为A 、B 、C ，则有：a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝a cos B ＋b cos A .6．相似三角形的判定定理的选择(1)已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2.(2)已知有两边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3.(3)判定直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如不能，再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定．7．相似三角形性质的作用(1)可用来证明线段成比例、角相等．(2)可间接证明线段相等．(3)为计算线段长度及角的大小创造条件．(4)可计算周长、特征线段的长等．。
三相似三角形判定及性质1 相似三角形判定预习导航课程目标学习脉络1．能学会三角形相似定义，相似三角形判定定理及性质定理，并会判定直角三角形相似．2．会证明三角形相似，并能解决有关问题.1．相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边比值叫做相似比(或相似系数)．(2)记法：两个三角形相似，用符号“∽〞表示，例如△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.归纳总结(1)三角形相似与三角形全等不同，全等三角形一定相似，但相似三角形不一定全等．(2)三角形相似定义中“对应边成比例〞是三组对应边分别成比例．3相似三角形对应顶点字母必须写在相应位置上，这一点与全等三角形是一致；例如△ABC和△DEF相似，假设点A与点E对应，点B与点F对应，点C与点D对应，那么记为△ABC∽△EFD.2．相似三角形判定定理内容简述作用预备定理平行于三角形一边直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成三角形与原三角形相似判定两个三角形相似判定定理1对于任意两个三角形，如果一个三角形两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似两角对应相等，两个三角形相似判定定理2对于任意两个三角形，如果一个三角形两边两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相判定两个三角形(1)平行线型：(2)相交线型：(3)旋转型：3．直角三角形相似判定定理(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；(2)如果两个直角三角形两条直角边对应成比例，那么它们相似．(3)如果一个直角三角形斜边和一条直角边与另一个三角形斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．思考判定两个三角形相似方法有哪些？提示：(1)定义法，即对应边成比例，对应角相等两个三角形是相似三角形．(2)平行法，即平行于三角形一边直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成三角形与原三角形相似．(3)判定定理：①判定定理1：两角对应相等，两三角形相似；②判定定理2：两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似；③判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似；④直角三角形相似判定定理．。
三 相似三角形的判定及性质庖丁巧解牛知识·巧学一、三角形相似的预备定理在初中，我们已经学过相似三角形的知识，其定义是如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么称这两个三角形相似.对于三角形相似，其中对应边的比值叫做相似比(或相似系数).利用上一节所学的平行线分线段成比例定理，可得预备定理:平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形和原三角形相似.其原理如下:如图1-3-2，△ABC 中，DE∥BC，则由平行线分线段成比例定理，有BCDEAC AE AB AD ==，而由DE∥BC，易得∠D=∠B,∠E=∠C，又∠A 是公共角，所以△ABC 与△ADE 具备相似的条件，即△ABC 中，若DE∥BC，则△ABC∽△ADE.图1-3-2二、相似三角形的判定方法 判定两个三角形相似的方法有:(1)定义法，即对应边成比例，对应角相等的三角形是相似三角形.当然有了判定定理后，就不用定义判定了，这是因为定义中的条件太多，实际上并不需要.(2)平行法，即平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.这就是预备定理.最常用的是判定定理，即①判定定理1:两角对应相等，两三角形相似；②判定定理2:两边对应成比例、夹角相等,两三角形相似；③判定定理3:三边对应成比例,两三角形相似.方法点拨 在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似.因为它的条件最容易寻求，实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角.在连续两次证明相似时，在第二次使用判定定理2的情况较多.辨析比较 对于直角三角形相似的判定，除以上方法外，还有其他特殊的方法: (1)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似；(2)如果一个直角三角形的一条直角边和斜边与另外一个直角三角形的直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似. 在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用. 三、相似三角形的性质如果两个三角形相似，那么它们的形状相同，只在大小上有所区别，这两个三角形的对应元素之间有很重要的关系，分别是:(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；(3)相似三角形的周长比等于相似比；(4)相似三角形的面积比等于相似比的平方；(5)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方.利用这些关系，可以进行各种各样的求值和证明.问题·探究问题在初中，我们已经学过全等三角形，两个全等三角形的大小、形状是完全一样的，相似三角形是形状相同但大小不一样的三角形，显然，当两个相似三角形的相似比为1的时候，相似三角形就成了全等三角形，那么，这两者之间有哪些联系和差别呢？思路:鉴于相似三角形和全等三角形的类似点，在学习相似三角形的性质时，可以类比全等三角形的性质来研究.们研究相似三角形的性质的时候，切记从相似比入手即可，涉及到线段的比均等于相似比，只有面积的比是相似比的平方.典题·热题例1如图1-3-3，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则下列结论正确的是（）图1-3-3A.△AED∽△ACBB.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACED.△AEC∽△DAC思路分析：本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，用排除法结合条件易选出正确选项.答案：C深化升华判定三角形相似，首先考虑两角对应相等，特别是当图形中只有角的关系时，常常通过角的转换实现角的相等关系，还应该多注意公共角这一隐含条件的使用.例2如图1-3-4所示，已知D是△ABC中AB边上的一点，DE∥BC且交AC于E，EF∥AB且交BC于F，且S△ADE=1，S△EFC=4，则四边形BFED的面积等于（）图1-3-4A.2B.4C.5D.9思路分析：由题易得△ADE∽△EFC，S△ADE∶S△EFC=1∶4，∴AE∶EC＝1∶2，AE∶AC＝1∶3.∴S△ADE∶S△ABC=1∶9.∴S BFED=5.答案：C例3如图1-3-5，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AD 2=DC·AC.图1-3-5思路分析：有一个角是36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线， ∴∠CBD=36°，则可推出△ABC∽△BCD，进而由相似三角形的对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明：∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=72°. 又∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°.∴AD=BD=BC，且△ABC∽△BCD.∴BC∶AB=CD∶BC.∴BC 2=AB·CD.∴AD 2=AC·CD.深化升华 (1)有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边.(2)要说明线段的乘积式ab=cd 或平方式a 2=bc ，一般都是先证明比例式b dc a =或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式.例4如图1-3-6，已知在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD=AC ，DE⊥BC，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F.图1-3-6(1)求证:△ABC∽△FCD；(2)若S △FCD =5，BC ＝10，求DE 的长.思路分析：第(1)问,∵AD=AC，∴∠ACB=∠CDF.又D 是BC 中点，ED⊥BC， ∴∠B=∠ECD.∴△ABC∽△FCD.第(2)问利用相似三角形的性质，作AM⊥BC 于M ，易知S △ABC =4S △FCD . ∴S △ABC =20，AM=4.又∵AM∥ED，∴BMBDAM ED =，再根据等腰三角形的性质及中点，可以求出DE.也可运用△ABC∽△FCD，由相似比为2，证出F 是AD 的中点，通过“两三角形等底等高，则面积相等”，求出S △ABC =20.(1)证明：∵DE⊥BC，D 是BC 中点，∴EB=EC.∴∠B=∠1. 又∵AD=AC，∴∠2=∠ACB.∴△ABC∽△FCD. (2)解法一：过点A 作AM⊥BC，垂足为点M. ∵△ABC∽△FCD，BC=2CD ，∴)(CDBC S S FCD ABC =∆∆ 2=4. 又∵S △FCD =5，∴S △ABC =20.∵S △ABC =21BC·AM，BC=10，∴20=21×10×AM.∴AM=4. 又∵DE∥AM，∴BMBDAM ED =. ∵DM=21DC=25，BM=BD ＋DM ，BD=21BC=5，∴25554+=DE ∴DE=38. 解法二：作FH⊥BC，垂足为点H.图1-3-7∵S △FCD =21DC·FH，又∵S △FCD =5，DC=21BC=5， ∴5=21×5×FH.∴FH=2. 过点A 作AM⊥BC，垂足为点M ，∵△ABC∽△FCD，∴BC DC AM FH ==21.∴AM=4. 又∵FH∥AM，∴AM FH DM DH ==42=21. ∴点H 是DM 的中点.又∵FH∥DE，∴DCHCDE FH =. ∵HC=HM＋MC=415，∴54152=DE .∴DE=38.例5如图1-3-8，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m ，已知小明的身高是1.6 m ，他的影长是2 m.图1-3-8(1)图中△ABC 与△ADE 是否相似?为什么? (2)求古塔的高度.思路分析：由题意,知△ABC 与△ADE 相似，这是因为两个三角形均为直角三角形，并且这两个三角形有一个公共角，由判定定理可得相似，利用对应边成比例，可以获得塔高.解：(1)△ABC∽△ADE.理由如下：∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB＝∠AED＝90°. ∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE. (2)由(1)得△ABC∽△ADE,∴DEBCAE AC =. ∵AC＝2 m ，AE ＝2＋18＝20(m)，BC ＝1.6 m. ∴DE6.1202=.∴DE=16. 答:古塔的高度为16 m.例6一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图1-3-9(1)、(2)所示.那么哪位同学的加工方法符合要求？说说你的理由(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留).(1) (2)图1-3-9思路分析：两个图形中均有相似三角形，图(1)中CB CD AB DE =，即225.1xx -=，可得正方形的边长，图(2)中可运用相似比等于对应高的比列出等式，进而求出正方形的边长.解：由AB=1.5米，S △ABC =1.5平方米，得BC=2米.如图1-3-9(1)，若设甲加工的桌面边长为x 米，由DE∥AB，推出Rt△CDE∽Rt△CBA，可求出x=76米. 如图1-3-9(2)，过点B 作Rt△ABC 斜边上的高BH ，交DE 于P ，交AC 于H. 由AB=1.5米，BC=2米，S △ABC =1.5平方米，得AC=2.5米，BH=1.2米. 设乙加工的桌面边长为y 米， ∵DE∥AC，∴Rt△BDE∽Rt△BAC. ∴AC DE BH BP =,即5.22.12.1y y =-.解之，得y=3730353076>=,即x>y,x 2>y 2, ∴甲同学的加工方法符合要求.深化升华 在三角形中有平行于一边的直线时，通常考虑三角形相似，利用比值获得线段的长或三角形的面积.。
