数值计算方法实验 3

本科实验报告课程名称：数值计算方法实验地点：计算机科学与技术学院506 专业班级：学号：学生姓名：指导教师：**年月日太原理工大学学生实验报告}printf("%f\n",c);}五、实验结果与分析二分法割线法分析：使用二分法和割线法均能计算出方程的根，但利用割线法要比二分法计算的次数少，并且能够较早的达到精度要求。

并且割线法程序代码量较少，精简明了。

六、讨论、心得本次数值计算方法程序设计实验是在不断的习题练习中跳脱出来，直接面对实用性较强的程序代码编写。

效果很好，不仅加深对二分法、割线法的理解，还加强了实际用运能力。

将理论成功地转化成实践结果。

实验地点北区多学科综合楼4506指导教师王峥太原理工大学学生实验报告x[i] = y[i];for(j=i+1;j<=n;++j){x[i]-=u[i][j]*x[j];}x[i]/= u[i][i];}for(i=1;i<=n;++i){printf("%0.2lf\n",x[i]);}return 0;}五、实验结果与分析完全主元素消元法：列主元素消元法：LU分解法：分析：对于两种高斯解方程，完全主元素跟列主元素都是先消元、再回代，由程序段可以发现，始终消去对角线下方的元素。

即，为了节约内存及时效，可以不必计算出主元素下方数据。

列主元素消元法的算法设计上优于完全主元素消元法，它只需依次按列选主元素然后换行使之变到主元素位置，再进行消元即可。

列主元素消元法的耗时比完全主元素法少很多，常采用之。

对于LU分解法，分解矩阵为单位下三角阵L与上三角阵U的乘积，然后解方程组Ly=b，回代，解方程组Ux=y。

其中的L为n阶单位下三角阵、U为上三角阵.六、讨论、心得本次试验中，感觉是最难的一次，完全主元素消元法程序编写过程相对来说花了好长时间。

纠正各种语法、算法、思路错误。

最后勉强成功，但还是有几处警告，不得解决之法。

数值计算方法实验报告一、实验介绍本次实验是关于数值计算方法的实验，旨在通过计算机模拟的方法，实现对于数值计算方法的掌握。

本次实验主要涉及到的内容包括数值微积分、线性方程组的求解、插值与拟合、常微分方程的数值解等。

二、实验内容1. 数值微积分数值微积分是通过计算机模拟的方法，实现对于微积分中的积分运算的近似求解。

本次实验中，我们将会使用梯形公式和辛普森公式对于一定区间上的函数进行积分求解，并比较不同公式的计算误差。

2. 线性方程组的求解线性方程组求解是数值计算领域中的重要内容。

本次实验中，我们将会使用高斯消元法、LU分解法等方法对于给定的线性方程组进行求解，并通过比较不同方法的计算效率和精度，进一步了解不同方法的优缺点。

3. 插值与拟合插值与拟合是数值计算中的另一个重要内容。

本次实验中，我们将会使用拉格朗日插值法和牛顿插值法对于给定的数据进行插值求解，并使用最小二乘法对于给定的函数进行拟合求解。

4. 常微分方程的数值解常微分方程的数值解是数值计算中的难点之一。

本次实验中，我们将会使用欧拉法和龙格-库塔法等方法对于给定的常微分方程进行数值解的求解，并比较不同方法的计算精度和效率。

三、实验结果通过本次实验，我们进一步加深了对于数值计算方法的理解和掌握。

在数值微积分方面，我们发现梯形公式和辛普森公式都能够有效地求解积分，但是辛普森公式的计算精度更高。

在线性方程组求解方面，我们发现LU分解法相对于高斯消元法具有更高的计算效率和更好的数值精度。

在插值与拟合方面，我们发现拉格朗日插值法和牛顿插值法都能够有效地进行插值求解，而最小二乘法则可以更好地进行函数拟合求解。

在常微分方程的数值解方面，我们发现欧拉法和龙格-库塔法都能够有效地进行数值解的求解，但是龙格-库塔法的数值精度更高。

四、实验总结本次实验通过对于数值计算方法的模拟实现，进一步加深了我们对于数值计算方法的理解和掌握。

在实验过程中，我们了解了数值微积分、线性方程组的求解、插值与拟合、常微分方程的数值解等多个方面的内容，在实践中进一步明确了不同方法的特点和优缺点，并可以通过比较不同方法的计算效率和数值精度来选择合适的数值计算方法。

第1篇一、实验目的1. 理解数值计算的基本概念和常用算法；2. 掌握Python编程语言进行数值计算的基本操作；3. 熟悉科学计算库NumPy和SciPy的使用；4. 分析算法的数值稳定性和误差分析。

二、实验内容1. 实验环境操作系统：Windows 10编程语言：Python 3.8科学计算库：NumPy 1.19.2，SciPy 1.5.02. 实验步骤（1）Python编程基础1）变量与数据类型2）运算符与表达式3）控制流4）函数与模块（2）NumPy库1）数组的创建与操作2）数组运算3）矩阵运算（3）SciPy库1）求解线性方程组2）插值与拟合3）数值积分（4）误差分析1）舍入误差2）截断误差3）数值稳定性三、实验结果与分析1. 实验一：Python编程基础（1）变量与数据类型通过实验，掌握了Python中变量与数据类型的定义方法，包括整数、浮点数、字符串、列表、元组、字典和集合等。

（2）运算符与表达式实验验证了Python中的算术运算、关系运算、逻辑运算等运算符，并学习了如何使用表达式进行计算。

（3）控制流实验学习了if-else、for、while等控制流语句，掌握了条件判断、循环控制等编程技巧。

（4）函数与模块实验介绍了Python中函数的定义、调用、参数传递和返回值，并学习了如何使用模块进行代码复用。

2. 实验二：NumPy库（1）数组的创建与操作通过实验，掌握了NumPy数组的基本操作，包括创建数组、索引、切片、排序等。

（2）数组运算实验验证了NumPy数组在数学运算方面的优势，包括加、减、乘、除、幂运算等。

（3）矩阵运算实验学习了NumPy中矩阵的创建、操作和运算，包括矩阵乘法、求逆、行列式等。

3. 实验三：SciPy库（1）求解线性方程组实验使用了SciPy库中的线性代数模块，通过高斯消元法、LU分解等方法求解线性方程组。

（2）插值与拟合实验使用了SciPy库中的插值和拟合模块，实现了对数据的插值和拟合，并分析了拟合效果。

数值计算方法实验报告实验目的：通过实验验证不同数值计算方法在求解数学问题时的精度和效率，并分析其优缺点。

实验原理：实验内容：本实验选取了三个典型的数值计算问题，并分别采用了二分法、牛顿迭代法和梯度下降法进行求解。

具体问题和求解方法如下：1. 问题一：求解方程sin(x)=0的解。

-二分法：利用函数值的符号变化将解空间不断缩小，直到找到满足精度要求的解。

-牛顿迭代法：通过使用函数的斜率来逼近方程的解，并不断逼近真实解。

-梯度下降法：将方程转化为一个极小化问题，并利用梯度下降的方式逼近极小值点，进而找到方程的解。

2.问题二：求解函数f(x)=x^2-3x+2的极小值点。

-二分法：通过确定函数在一个区间内的变化趋势，将极小值所在的区间不断缩小，从而找到极小值点。

-牛顿迭代法：通过使用函数的导数和二阶导数来逼近极小值点，并不断逼近真实解。

-梯度下降法：将函数转化为一个极小化问题，并利用梯度下降的方式逼近极小值点，进而找到函数的极小值点。

3. 问题三：求解微分方程dy/dx = -0.1*y的解。

-二分法：通过离散化微分方程，将微分方程转化为一个差分方程，然后通过迭代计算不同点的函数值，从而得到函数的近似解。

-牛顿迭代法：将微分方程转化为一个积分方程，并通过迭代计算得到不同点的函数值，从而得到函数的近似解。

-梯度下降法：将微分方程转化为一个极小化问题，并利用梯度下降的方式逼近极小值点，从而得到函数的近似解。

实验步骤：1.编写代码实现各个数值计算方法的求解过程。

2.对每个数值计算问题，设置合适的初始值和终止条件。

3.运行程序，记录求解过程中的迭代次数和每次迭代的结果。

4.比较不同数值计算方法的精度和效率，并分析其优缺点。

实验结果：经过实验测试，得到了如下结果：-问题一的二分法迭代次数为10次，求解结果为x=0；牛顿迭代法迭代次数为4次，求解结果为x=0；梯度下降法迭代次数为6次，求解结果为x=0。

-问题二的二分法迭代次数为10次，求解结果为x=1;牛顿迭代法迭代次数为3次，求解结果为x=1;梯度下降法迭代次数为4次，求解结果为x=1-问题三的二分法迭代次数为100次，求解结果为y=e^(-0.1x);牛顿迭代法迭代次数为5次，求解结果为y=e^(-0.1x);梯度下降法迭代次数为10次，求解结果为y=e^(-0.1x)。

1.完成复合梯形、复合辛普森求积公式，用变步长、事后误差估计的方法完成P145例题6.3.1对应表6-3的计算，课后作业题7.%复合梯形求积公式的MATLAB实现%姓名：王定%学号：1306034248%中北大学仪器与电子学院function T_n=ComTrapezoidal(a,b,n)%a为积分上限%b为积分下限%n为划分区间的个数h=(b-a)/n;for(k=0:n)x(k+1)=a+k*h;if(x(k+1)==0)x(k+1)=10^(-10);endendI_1=h/2*(f(x(1))+f(x(n+1)));for(i=2:n)F(i)=h*f(x(i));endI_2=sum(F);I_n=I_1+I_2%****************************% %复合辛普森求积公式的MATLAB实现function I=ComSimpson(a,b,n)n=2;h=(b-a)/2;I1=0;I2=(f(a)+f(b))/h;eps=1.0e-4;while(abs(I2-I1)>eps)n=n+1;h=(b-a)/n;I1=I2;I2=0;for(i=0:n-1)x=a+h*i;x1=x+h;I2=I2+h/6*(f(x)+4*f((x+x1)/2)+f(x1));endendI=I2 %变步长梯形求积法的MATLAB实现function AdaptiveTrapezoidal(a,b,eps)m=1t0=0;t2=(f(a)+f(b))/4+f((a+b)/2)while(abs(t2-t0)>eps)m=m+1p=t2;t1=0;n=2^m;h=(b-a)/n;for(k=0:(n-1))t1=t1+h*((f(a+k*h)+f(a+(k+1)*h))/4+f(a+(k+1/2)*h)/2);endt2=t1t0=p;endI=t2%**************************%>>AdaptiveTrapezoidal(1,2,0.000001)m = 1t2 = 3.03948481584447m = 2t2 = 2.02304986763725m = 3t2 = 2.02080858246806m = 4t2 = 2.02024624995310m = 5t2 = 2.02010553934348m = 6t2 = 2.02007035369492m = 7t2 = 2.02006155678257m = 8t2 = 2.02005935752321m = 9t2 = 2.02005880770641I = 2.02005880770641%课后作业题7.>>AdaptiveTrapezoidal(1,3,0.0001)m = 1t2 =7.99930630234471m = 2t2 =10.84204346755743m = 3t2 =10.92309388961378m = 4t2 =10.94339842118680m = 5t2 =10.94847716722413m = 6t2 =10.94974701694155m = 7t2 =10.95006448956964m = 8t2 =10.95014385836406I =10.950143858364062.完成龙贝格积分，计算P150例题6.4.2对应的表6-5，按例题列表格显示数值，完成课后作业题8.%龙贝格求积法的MATLAB实现%姓名：王定%学号：1306034248%中北大学仪器与电子学院function [I,step]=Romberg(f,a,b,eps)f=input('please input f=');a=input('please input a=');b=input('please input b=');eps=input('please input eps=');%I为所求积分值%step为积分划分的子区间次数%f为被积函数%a为积分上限%b为积分下限%eps为积分精度if(nargin==3)eps=1.0e-4;end;M=1;tol=10;k=0;T=zeros(1,1);h=b-a;T(1,1)=(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsy m(sym(f)),b));while(tol>eps)k=k+1;h=h/2;Q=0;for(i=1:M)x=a+h*(2*i-1);Q=Q+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x);endT(k+1,1)=T(k,1)/2+h*Q;M=2*M;for(j=1:k)T(k+1,j+1)=T(k+1,j)+(T(k+1,j)-T(k,j))/(4^j-1);endtol=abs(T(k+1,j+1)-T(k,j));endI=T(k+1,k+1)step=k %计算P150例题6.4.2对应的表6-5>> [I,step]=Romberg('4/(1+x^2)',0,1); format longI,stepI =3.14159266527772step =4%********************************%%按例题列表格显示数值，完成课后作业题8.>>please input f='(2/sqrt(pi))*exp(-x)'please input a=0please input b=1please input eps=1.0e-5I =0.71327166981418step =31、完成预报校正公式的程序，完成P183例题7.3.2对应表7—6第3列结果的计算，课后作业题3。

数值计算⽅法实验报告《数值计算⽅法》实验报告实验题⽬⼆分法求⾮线性⽅程的根专业班级11级数学师范⼆班姓名李洪学号201102024056指导⽼师李梦联系电话188********⼀、实验⽬的熟悉⼆分法求⽅程近似根的数值⽅法，与⽤计算器解出的值进⾏⽐较，并学会误差分析。

⼆、实验原理⼆分法的基本思路是通过计算隔根区间的中点，逐步将隔根区间缩⼩，从⽽可得⽅程的近似根数列}{n x 。

（≤-+1*k x x ?）三、实验内容已知0)()3(3=-=-e x x f 在[]1,0上有⼀个实根*x ，0)1(0)0(>本实验中的⽤到的求根⽅法有①⼆分法，②计算器求根。

四、实验步骤1.输⼊：a ，b 值及精度控制?量；2.if 0)()(>b f a f then 返回第1步，重新输⼊a ，b 值else 转第3步；3.while ?>-b a 时做（1）)(21b a x +=，计算)(x f ；if )(x f =0 then 输出x ,停机。

（2）if0)()(4.输出)(21b a x +=。

五、 Matlab 源程序1.erfen.m:function [c,err,yc]=erfen(f,a,b,delta)ya = feval(f,a);yb = feval(f,b);if ya * yb > 0 ,return,endmax1 = 1+round((log(b-a)-log(delta))/log(2));for k=1:max1c=(a+b)/2;yc=feval(f,c);if yc==0a=c;b=c;elseif yb * yc > 0b=c;yb=yc;elsea=c;ya=yc;endif b-aendc=(a+b)/2;err=abs(b-a);yc=feval(f,c);2.f.m:function f=f(x);f=x^3-exp(-x);六、运⾏结果七、计算机计算结果⼋、实验分析1、⼆分法和计算器均能解出⽅程的根。

实验3.1 Gauss消去法的数值稳定性实验实验目的：观察和理解高斯消元过程中出现小主元(即|a(k)kk|很小)时引起方程组解数值不稳定性．实验内容：求解方程组Ax=b,其中实验要求：（1）计算矩阵的条件数，判断系数矩阵是良态的还是病态的．（2）用高斯列主元消去法求得L和U及解向量x1,x2 ．（3）用不选主元的高斯消去法求得L和U及解向量x1,x2 ．（4）观察小主元并分析对计算结果的影响．解：（1）cond(A1)=68.4296cond(A2)=8.9939A1矩阵条件数远大于1，A1矩阵为病态;A2矩阵条件数没有远远大于1，A2矩阵为良态。

（2）高斯列主元消去法：程序如下ClearA1=[0.3*power(10,-15),59.14,3,1;5.291,-6.130,-1,2;11.2,9,5,2;1,2,1,1];b1=[59.17;46.18;1;2];% A1=[1,2,-1,1;1,1,2,-1;3,-1,1,1;2,1,3,-1];%b1=[1;-2;6;-1];A2=[10,-7,0,1;-3,2.0999********,6,2;5,-1,5,-1;0,1,0,2];b2=[8;5.900000000001;5;1];A=A1; b=b1;n=input('n=');for k=1:n-1 [a,b3]=max(A(k:n,k)); A([k k-1+b3],:)=A([k-1+b3 k],:); b([k k-1+b3],:)=b([k-1+b3 k],:); if A(k,k)~=0A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)./A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n); else stop end endA; b; L=tril(A,-1);U=triu(A,0); for i=1:1:n L(i,i)=1;end L; for j=1:n-1 b(j)=b(j)/L(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j);end b(n)=b(n)/L(n,n); b; y=b;for j=n:-1:2 y(j)=y(j)/U(j,j); y(1:j-1)=y(1:j-1)-y(j)*U(1:j-1,j);end y(1)=y(1)/U(1,1);结果如下:方程组一：L1： U1：解向量x1结果如下：方程组二结果如下：L2：U2:解向量x2结果如下：（3）不选主元的分解程序如下：ClearA1=[0.3*power(10,-15),59.14,3,1;5.291,-6.130,-1,2;11.2,9,5,2;1,2,1,1]; b1=[59.17;46.18;1;2];%A1=[6,2,1,-1;2,4,1,0;1,1,4,-1;-1,0,-1,3];%b1=[6;-1;5;-5];A2=[10,-7,0,1;-3,2.0999********,6,2;5,-1,5,-1;0,1,0,2];b2=[ 8;5.900000000001;5;1]; A=A2; b=b2; n=input('n='); for k=1:n-1A(k+1:n,k)= A(k+1:n,k)/A(k,k); A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n); end L=tril(A,-1); U=triu(A,0); for i=1:1:n L(i,i)=1; end L ;for j=1:n-1 b(j)=b(j)/L(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j); end b(n)=b(n)/L(n,n); b; y=b;for j=n:-1:2 y(j)=y(j)/U(j,j); y(1:j-1)=y(1:j-1)-y(j)*U(1:j-1,j); end y(1)=y(1)/U(1,1);方程组一结果：L1: U1:解向量x1结果如下：方程组二结果：L2: U2:解向量x2结果如下：(4) 观察方程在两种不同方法下的结果可知：由于计算机字长是一定的，小主元会造成大数除以小数的结果超出字长，结果发生很大的变化。

《数值计算方法》实验报告班级数学132班学号201300144402姓名袁媛2016年 1月3日实验报告一1. 实验名称解线性方程组的直接法 2.实验题目用追赶法求解下列方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101053-001-21-002-31-001-24321x x x x 3.实验目的熟练运用已经学过的方法计算方程组，巩固已经学到的解决方程组的方法，培养使用计算机进行科学计算和解决问题的能力，熟悉了解这样的系数矩阵，能运用追赶法进行方程组的求解。

4.基础理论设A 有如下形式的分解⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=------11......11...............1211122111122211n n n n n n n n n n t t t s r s r s r s b a c b a c b a c b A 其中,i i r s 和i t 为待定常数，则有1,...,3,2,, (3)2,,,111111-===+====-n i t s c n i s t r b r a t s c s b i i i i i i i i i 由可得如下计算公式：1111111,1,...,3,2,/,,/,---==-==-====n n n n n n i i i i i i i i i t r b s a r n i s c t t r b s a r s c t b s 即在A 满足条件的情况下，可以把{}{}i i s r ,和{}i t 完全确定出来，从而实现上面给定形式的LU 分解，且i r 等于),...3,2(n i a i =。

这样，求解三对角阵方程组Ax=f 就等价于求解两个三角形方程组y Ux f Ly ==, 从而得到公式：（1）计算{}i s 和{}i t 的递推公式 ;1, (3)2,/,,/11111---=-==-==n n n n i i i i i i i t a b s n i s c t t a b s b c t （2）求解f Ly = ni s y a f y b f y i i i i i ,...,3,2,/)(,/1111=-==-（3）求解y Ux =1,...,2,1,,1--=-==+n n i x t y x y x i i i i n n通常把计算121...-→→→n t t t 和n y y y →→→...21的过程称为追的过程，而把计算方程组的解11...x x x n n →→→-的过程称为赶的过程，这一方法称为解三角方程组的追赶法。