2020届高考数学(文)二轮复习专题特训卷(9)解析几何

专题二函数函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．§2－1 函数【知识要点】要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记作f：A→B，其中x叫原象，y叫象．2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A．其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．【复习要求】1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．【例题分析】例1 设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______．【分析】由已知，在映射f作用下x的象为2x＋x．所以，2的象是22＋2＝6；设象20的原象为x，则x的象为20，即2x＋x＝20．由于x∈N，2x＋x随着x的增大而增大，又可以发现24＋4＝20，所以20的原象是4．例2 设函数则f(1)＝______；若f(0)＋f(a)＝－2，则a的所有可能值为______．【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则．所以f(1)＝3．又f(0)＝－1，所以f(a)＝－1，当a≤0时，由a－1＝－1得a＝0；当a＞0时，由－a2＋2a＋2＝－1，即a2－2a－3＝0得a＝3或a＝－1(舍)．综上，a＝0或a＝3．例3 下列四组函数中，表示同一函数的是( )(A) (B)(C) (D)【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数．(B)中两个函数的定义域相同，化简后为y＝｜x｜及y＝｜t｜，法则也相同，所以选(B)．【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同．一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致．(2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致．例4 求下列函数的定义域(1) (2)(3) (4)解：(1)由｜x－1｜－1≥0，得｜x－1｜≥1，所以x－1≥1或x－1≤－1，所以x≥2或x≤0．所以，所求函数的定义域为{x｜x≥2或x≤0}．(2)由x2＋2x－3＞0得，x＞1或x＜－3．所以，所求函数的定义域为{x｜x＞1或x＜－3}．(3)由得x＜3，且x≠0，x≠1，所以，所求函数的定义域为{x|x＜3，且x≠0，x≠1}(4)由所以－1≤x≤1，且x≠0．所以，所求函数定义域为{x｜－1≤x≤1，且x≠0}．例5 已知函数f(x)的定义域为(0，1)，求函数f(x＋1)及f(x2)的定义域．【分析】此题的题设条件中未给出函数f(x)的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情：①定义域是指x的取值范围；②受对应法则f制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的．那么由f(x)的定义域是(0，1)可知法则f制约的量的取值范围是(0，1)，而在函数f(x＋1)中，受f直接制约的是x＋1，而定义域是指x的范围，因此通过解不等式0＜x＋1＜1得－1＜x＜0，即f(x＋1)的定义域是(－1，0)．同理可得f(x2)的定义域为{x｜－1＜x＜1，且x≠0}．例6 如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出定义域．解：根据题意，AB＝2x．所以，根据问题的实际意义．AD＞0，x＞0．解所以，所求函数定义域为【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题．(1)给出函数解析式求定义域(如例4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围．正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的．中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：①分式中分母不为零；②偶次方根下被开方数非负；③零次幂的底数要求不为零；④对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；⑤y＝tan x，则，k∈Z．(2)不给出f(x)的解析式而求定义域(如例5)．其解决办法见例5的分析．(3)在实际问题中求函数的定义域(如例6)．在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制，还应考虑实际问题对自变量的限制．另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的．比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域．例7 (1)已知，求f(x)的解析式；(2)已知，求f(3)的值；(3)如果f(x)为二次函数，f(0)＝2，并且当x＝1时，f(x)取得最小值－1，求f(x)的解析式；(4)*已知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)＝2x的图象关于直线x＝1对称，求f(x)的解析式．【分析】(1)求函数f(x)的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决(1)这样的问题．方法一．通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则f是“原象对应于原象除以原象的平方减1”．所以，方法二．设，则．则，所以这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么．(2)用“凑型”的方法，(3)因为f(x)为二次函数，并且当x＝1时，f(x)取得最小值－1，所以，可设f(x)＝a(x－1)2－1，又f(0)＝2，所以a(0－1)2－1＝2，所以a＝3．f(x)＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2．(4)这个问题相当于已知f(x)的图象满足一定的条件，进而求函数f(x)的解析式．所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求f(x)的解析式．设f(x)的图象上任意一点坐标为P(x，y)，则P关于x＝1对称点的坐标为Q(2－x，y)，由已知，点Q在函数y＝g(x)的图象上，所以，点Q的坐标(2－x，y)满足y＝g(x)的解析式，即y＝g(2－x)＝22－x，所以，f(x)＝22－x．【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法．值得注意的是(4)中所用的解析法．在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法．同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系．例8 已知二次函数f(x)的对称轴为x＝1，且图象在y轴上的截距为－3，被x轴截得的线段长为4，求f(x)的解析式．解：解法一设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(x)的对称轴为x＝1，可得b＝－2a；由图象在y轴上的截距为－3，可得c＝－3；由图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程ax2＋bx＋c＝0的根．所以f(－1)＝0，即a－b＋c＝0，所以a＝1．f(x)＝x2－2x－3．解法二因为图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程f(x)＝0的根．所以，设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，又f(x)图象在y轴上的截距为－3，即函数图象过(0，－3)点．即－3a＝－3，a＝1．所以f(x)＝x2－2x－3．【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重．二次函数的解析式有三种形式：一般式y＝ax2＋bx＋c；顶点式y＝a(x－h)2＋k，其中(h，k)为顶点坐标；双根式y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2为函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根．例9 某地区上年度电价为0.8元／kW·h，年用电量为a kW·h．本年度计划将电价降到0.55元／kW·h至0.75元／kW·h之间，而用户期望电价为0.40元／kW·h．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.30元／kW·h．(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％?解：(1)依题意，当实际电价为x元／kW·h时，用电量将增加至故电力部门的收益为．(2)易知，上年度的收益为(0.8－0.3)a，依题意，且0.55≤x≤0.75，解得0.60≤x≤0.75．所以，当电价最低定为0.60元／kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％．练习2－1一、选择题1．已知函数的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N＝( )(A){x｜x＞1} (B){x｜x＜1} (C){x｜－1＜x＜1} (D)2．图中的图象所表示的函数的解析式为( )(A)(B)(C)(D)y＝1－｜x－1｜(0≤x≤2)3．已知f(x－1)＝x2＋2x，则( )(A) (B) (C) (D)4．已知若f(x)＝3，则x的值是( )(A)0 (B)0或 (C) (D)二、填空题5．给定映射f：(x，y)→(x＋2y，x－2y)，在映射f下(0，1)的象是______；(3，1)的原象是______．6．函数的定义域是______．7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x 1 2 3 x 1 2 3f(x) 1 3 1 g(x) 3 2 1则f[g(1)]的值为______；满足f[g(x)]＞g[f(x)]的x的值是______．8．已知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)＝2x的图象关于点(0，1)对称，则f(x)的解析式为______．三、解答题9．已知f(x)＝2x＋x－1，求g(－1)，g[f(1)]的值．10．在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A(0，9)，其轨迹方程为y＝ax2＋c(a＜0)，D＝(6，7)为x轴上的给定区间．为使物体落在区间D内，求a的取值范围．11．如图，直角边长为2cm的等腰Rt△ABC，以2cm／s的速度沿直线l向右运动，求该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(cm2)与时间t的函数关系(设0≤t≤3)，并求出y的最大值．§2－2 函数的性质【知识要点】函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等．本章着重研究后四个方面的性质．本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用．数形结合是本节常用的思想方法．1．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．由奇函数定义可知，对于奇函数y＝f(x)，点P(x，f(x))与点(－x，－f(x))都在其图象上．又点P与点关于原点对称，我们可以得到：奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形．2．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间MA．如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量x＝x2－x1＞0，则当y＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数；当y＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数．如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．3．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域中的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．4．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数a，使得当x取定义域中的每一个值时，f(a＋x)＝f(a－x)都成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．【复习要求】1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性．3．了解函数周期性的含义．4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题．【例题分析】例1 判断下列函数的奇偶性．(1) (2)(3)f(x)＝x3－3x； (4)(5)解：(1)解，得到函数的定义域为{x｜x＞1或x≤0}，定义域区间关于原点不对称，所以此函数为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为{x｜x≠0}，但是，由于f(1)＝2，f(－1)＝0，即f(1)≠f(－1)，且f(1)≠－f(－1)，所以此函数为非奇非偶函数．(3)函数的定义域为R，又f(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－f(x)，所以此函数为奇函数．(4)解，得－1＜x＜1，又所以此函数为奇函数．(5)函数的定义域为R，又，所以此函数为奇函数．【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论：①一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称；②f(x)是奇函数，并且f(x)在x＝0时有定义，则必有f(0)＝0；③既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为f(x)＝0．判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤：①判断函数的定义域是否关于原点对称；②考察f(－x)与f(x)的关系．由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类．例2 设函数f(x)在R上有定义，给出下列函数：①y＝－｜f(x)｜；②y＝xf(x2)；③y＝－f(－x)；④y＝f(x)－f(－x)．其中必为奇函数的有______．(填写所有正确答案的序号)【分析】①令F(x)＝－｜f(x)｜，则F(－x)＝－｜f(－x)｜，由于f(x)与f(－x)关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．②令F(x)＝xf(x2)，则F(－x)＝－xf[(－x)2]＝－xf(x2)＝－F(x)，所以F(x)为奇函数．③令F(x)＝－f(－x)，则F(－x)＝－f[－(－x)]＝－f(x)，由于f(x)与f(－x)关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．④令F(x)＝f(x)－f(－x)，则F(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，所以F(x)为奇函数．所以，②④为奇函数．例3 设函数f(x)在R上有定义，f(x)的值不恒为零，对于任意的x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则函数f(x)的奇偶性为______．解：令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0，再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，又f(x)的值不恒为零，故f(x)是奇函数而非偶函数．【评析】关于函数方程“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”的使用一般有以下两个思路：令x，y为某些特殊的值，如本题解法中，令x＝y＝0得到了f(0)＝0．当然，如果令x＝y＝1则可以得到f(2)＝2f(1)，等等．令x，y具有某种特殊的关系，如本题解法中，令y＝－x．得到f(2x)＝2f(x)，在某些情况下也可令y＝，y＝x，等等．总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理．在不是很熟悉的时候，要有试一试的勇气．例4 已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，求b的值，并比较f(－1)与f(4)的大小．解：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以x＝1为二次函数图象的对称轴，所以，b＝－2．根据对称性，f(－1)＝f(3)，又函数在[1，＋∞)上单调递增，所以f(3)＜f(4)，即f(－1)＜f(4)．例5已知f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，(1)求f(－1)的值；(2)当x＜0时，求f(x)的解析式．解：(1)因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－(12－2×1)＝1．(2)方法一：当x＜0时，－x＞0．所以，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x．方法二：设(x，y)是f(x)在x＜0时图象上一点，则(－x，－y)一定在f(x)在x＞0时的图象上．所以，－y＝(－x)2－2(－x)，所以y＝－x2－2x．例6 用函数单调性定义证明，函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间上为增函数．证明：设，且x1＜x2f(x2)－f(x1)＝(ax22＋bx2＋c)－(ax12＋bx1＋c)＝a(x22－x12)＋b(x2－x1)＝a(x2＋x1)(x2－x1)＋b(x2－x1)＝(x2－x1)[a(x1＋x2)＋b]因为x1＜x2，所以x2－x1＞0，又因为，所以，所以f(x2)－f(x1)＞0，函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间上为增函数．例7 已知函数f(x)是定义域为R的单调增函数．(1)比较f(a2＋2)与f(2a)的大小；(2)若f(a2)＞f(a＋6)，求实数a的取值范围．解：(1)因为a2＋2－2a＝(a－1)2＋1＞0，所以a2＋2＞2a，由已知，f(x)是单调增函数，所以f(a2＋2)＞f(2a)．(2)因为f(x)是单调增函数，且f(a2)＞f(a＋6)，所以a2＞a＋6，解得a＞3或a＜－2．【评析】回顾单调增函数的定义，在x1，x2为区间任意两个值的前提下，有三个重要的问题：x＝x2－x1的符号；y＝f(x2)－f(x1)的符号；函数y＝f(x)在区间上是增还是减．由定义可知：对于任取的x1，x2，若x2＞x1，且f(x2)＞f(x1)，则函数y＝f(x)在区间上是增函数；不仅如此，若x2＞x1，且函数y＝f(x)在区间上是增函数，则f(x2)＞f(x1)；若f(x2)＞f(x1)，且函数y＝f(x)在区间上是增函数，则x2＞x1；于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着天然的联系．请结合例5例6体会这一点．函数的单调性是极为重要的函数性质，其与其他问题的联系、自身的应用都很广泛，在复习中要予以充分注意．例8 设f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，且它在区间(－∞，0)上是减函数．(1)试比较f(－2)与－f(3)的大小；(2)若mn＜0，且m＋n＜0，求证：f(m)＋f(n)＞0．解：(1)因为f(x)是奇函数，所以－f(3)＝f(－3)，又f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，所以f(－3)＞f(－2)，即－f(3)＞f(－2)．(2)因为mn＜0，所以m，n异号，不妨设m＞0，n＜0，因为m＋n＜0，所以n＜－m，因为n，－m∈(－∞，0)，n＜－m，f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，所以f(n)＞f(－m)，因为f(x)是奇函数，所以f(－m)＝－f(m)，所以f(n)＞－f(m)，即f(m)＋f(n)＞0．例9函数f(x)是周期为2的周期函数，且f(x)＝x2，x∈[－1，1]．(1)求f(7.5)的值；(2)求f(x)在区间[2n－1，2n＋1]上的解析式．解：(1)因为函数f(x)是周期为2的周期函数，所以f(x＋2k)＝f(x)，k∈Z．所以f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)＝．(2)设x∈[2n－1，2n＋1]，则x－2n∈[－1，1]．所以f(x)＝f(x－2n)＝(x－2n)2，x∈[2n－1，2n＋1]．练习2－2一、选择题1．下列函数中，在(1，＋∞)上为增函数的是( )(A)y＝x2－4x (B)y＝｜x｜ (C) (D)y＝x2＋2x2．下列判断正确的是( )(A)定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，且f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数(B)定义在R上的函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)在R上不是减函数(C)定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，0]上是减函数，在区间(0，＋∞)上也是减函数，则f(x)在R上是减函数(D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数3．已知函数f(x)是R上的奇函数，并且是周期为3的周期函数，又知f(1)＝2．则f(2)＝( )(A)－2 (B)2 (C)1 (D)－14．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )(A)f(x)f(－x)是奇函数 (B)f(x)｜f(－x)｜是奇函数(C)f(x)－f(－x)是偶函数 (D)f(x)＋f(－x)是偶函数二、填空题5．若函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)是增函数，则m的取值范围是______；f(1)的取值范围是______．6．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝______．7．设函数为奇函数，则实数a＝______．8．已知函数f(x)＝x2－cos x，对于上的任意x1，x2，有如下条件：①x1＞x2；②③｜x1｜＞x2．其中能使f(x1)＞f(x2)恒成立的条件序号是______三、解答题9．已知函数f(x)是单调减函数．(1)若a＞0，比较与f(3)的大小；(2)若f(｜a－1｜)＞f(3)，求实数a的取值范围．10．已知函数(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)当a＝1时，证明函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．11．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足①f(2)＝1；②f(xy)＝f(x)＋f(y)，其中x，y 为任意正实数，③任意正实数x，y满足x≠y时，(x－y)[f(x)－f(y)]＞0恒成立．(1)求f(1)，f(4)的值；(2)试判断函数f(x)的单调性；(3)如果f(x)＋f(x－3)≤2，试求x的取值范围．§2－3 基本初等函数(Ⅰ)本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质．【知识要点】1．一次函数：y＝kx＋b(k≠0)(1)定义域为R，值域为R；(2)图象如图所示，为一条直线；(3)k＞0时，函数为增函数，k＜0时，函数为减函数；(4)当且仅当b＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数．(5)函数y＝kx＋b的零点为2．二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方，函数的解析式可以变形为(1)定义域为R：当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为；(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为，顶点坐标为．当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．(3)当a＞0时，是减区间，是增区间；当a＜0时，是增区间，是减区间．(4)当且仅当b＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．(5)当判别式＝b2－4ac＞0时，函数有两个变号零点；当判别式＝b2－4ac＝0时，函数有一个不变号零点；当判别式＝b2－4ac＜0时，函数没有零点．3．指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)(1)定义域为R；值域为(0，＋∞)．(2)a＞1时，指数函数为增函数；0＜a＜1时，指数函数为减函数；(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．4．对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)，对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数．(1)定义域为(0，＋∞)；值域为R．(2)a＞1时，对数函数为增函数；0＜a＜1时，对数函数为减函数；(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为1．5．幂函数y＝xα(α∈R)幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴．要注意：因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x∈(0，＋∞)时，xα＞0，所以所有的幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限都有图象．根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．6．指数与对数(1)如果存在实数x，使得x n＝a (a∈R，n＞1，n∈N＋)，则x叫做a的n次方根．负数没有偶次方根．；(2)分数指数幂，；n，m∈N*，且为既约分数)．，且为既约分数)．(3)幂的运算性质a m a n＝a m＋n，(a m)n＝a mn，(ab)n＝a nb n，a0＝1(a≠0)．(4)一般地，对于指数式a b＝N，我们把“b叫做以a为底N的对数”记为log a N，即b＝log a N(a＞0，且a≠1)．(5)对数恒等式：＝N．(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)；底的对数是1，1的对数是0．(7)对数的运算法则及换底公式：；；.(其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0).【复习要求】1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y＝x，y＝x2，y＝x3，这五个具体的幂函数的图象与性质．2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题．【例题分析】例1化简下列各式：(1)； (2)；(3)； (4)log2[log3(log464)]；(5)．解：(1)(2)(3)(4)log2[log3(log464)]＝log2[log3(log443)]＝log2[log33]＝log21＝0．(5)【评析】指数、对数运算是两种重要的运算，在运算过程中公式、法则的准确、灵活使用是关键．例2已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试确定f(x)的解析式．解：解法一设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意解之得所以所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7．解法二f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，为f(2)＝－1，f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为，又f(x)的最大值为8，所以.因为(－1，－1)点在抛物线上，所以，解得a＝－4．所以所求二次函数为.例3 (1)如果二次函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋5在区间(2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是______．(2)二次函数y＝ax2－4x＋a－3的最大值恒为负，则a的取值范围是______．(3)函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意t∈R均有f(2＋t)＝f(2－t)，则f(1)，f(2)，f(4)的大小关系是_______．解：(1)由于此抛物线开口向上，且在(2，＋∞)上是增函数，画简图可知此抛物线对称轴或与直线x＝2重合，或位于直线x＝2的左侧，于是有，解之得.(2)分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数a＜0，且判别式＜0”，即，解得a∈(－∞，－1)．(3)因为对于任意t∈R均有f(2＋t)＝f(2－t)，所以抛物线对称轴为x＝2，又抛物线开口向上，做出函数图象简图可得f(2)＜f(1)＜f(4)．例4已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的范围．解：当m＝0时，f(x)＝－3x＋1，其图象与x轴的交点为，符合题意；当m＜0时，注意到f(0)＝1，又抛物线开口向下，所以抛物线与x轴的两个交点必在原点两侧．所以m＜0符合题意；当m＞0时，注意到f(0)＝1，又抛物线开口向上，所以抛物线与x轴的两个交点必在原点同侧(如果存在)，所以若满足题意，则解得0＜m≤1．综上，m∈(－∞，1]．【评析】在高中阶段，凡“二次”皆重点，二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次曲线都应着重去理解、掌握．例2、3、4 三个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用．这两种数学思想在函数问题的解决中被普遍使用．例5 (1)当a≠0时，函数y＝ax＋b与y＝b ax的图象只可能是( )(2)函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象分别是图中的①、②、③、④，则a，b，c，d的大小关系是______．【分析】(1)在选项(A)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，b＞1，所以b a＜b0＝1(根据以为底的指数函数的性质)，所以y＝b ax＝(b a)x应为减函数．在选项(B)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，b＞1，所以b a＞b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为增函数．在选项(C)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，0＜b＜1，所以b a＜b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为减函数．与图形提供的信息相符．在选项(D)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，0＜b＜1，所以b a＞b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为增函数．综上，选C．(2)如图，作直线y＝1与函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象依次交于A，B，C，D四点，则A，B，C，D四点的横坐标分别为a，b，c，d，显然，c＜d＜a＜b．【评析】在本题的解决过程中，对函数图象的深入分析起到了至关重要的作用．这里，对基本初等函数图象的熟悉是前提，对图象的形态的进一步研究与关注是解决深层问题要重点学习的，例4中“注意到f(0)＝1”，例5中“作直线y＝1”就是具体的表现，没有“熟悉”和“深入的研究”是不可能“注意到”的，也作不出“直线y＝1”．例6已知幂函数．(1)若f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(0，＋∞)上是减函数，求k的取值范围．解：(1)因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以，解得－1＜k＜3，因为k∈Z，所以k＝0，1，2，又因为f(x)为偶函数，所以k＝1，f(x)＝x2．(2)因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以，解得k＜－1，或k＞3(k∈Z)．例7比较下列各小题中各数的大小(1)；(2)lg2与lg(x2－x＋3)；(3)0.50.2与0.20.5；(4)；(5)；(6)a m＋a－m与a n＋a－n(a＞0，a≠1，m＞n＞0)【分析】(1)函数y＝log2x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以log20.6＜log21＝0，函数y＝log0.6x在区间(0，＋∞)上是减函数，所以所以.(2)由于，所以lg2＜lg(x2－x＋3)．(3)利用幂函数和指数函数单调性．0.50.2＞0.20.2＞0.20.5．(4)因为.根据不等式的性质有(5)因为比较与log32，只需比较与log32，因为y＝log3x是增函数，所以只需比较与2的大小，因为，所以，所以，综上，(6)，当a＞1时，因为m＞n＞0，a m＞a n，a m＋n＞1，所以a m＋a－m＞a n＋a－n；当0＜a＜1时，因为m＞n＞0，a m＜a n，a m＋n＜1，所以a m＋a－m＞a n＋a－n．综上，a m＋a－m＞a n＋a－n．例8已知a＞2，b＞2，比较a＋b，ab的大小．【分析】方法一(作商比较法)，又a＞2，b＞2，所以，所以，所以a＋b＜ab．方法二(作差比较法)，因为a＞2，b＞2，所以2－a＜0，2－b＜0，所以a＋b－ab＜0，即a＋b＜ab．方法三(构造函数)令y＝f(a)＝a＋b－ab＝(1－b)a＋b，将y看作是关于a的一次函数，因为1－b＜0，所以此函数为减函数，又a∈(2，＋∞)，y最大＜f(2)＝(1－b)×2＋b＝2－b＜0，所以a＋b－ab＜0，即a＋b＜ab．【评析】两个数比较大小的基本思路：如果直接比较，可以考虑用比较法(包括“作差比较法”与“作商比较法”，如例8的方法一与方法二)，或者利用函数的单调性来比较(如例7(1)(2)(3)，例8的方法三)．如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形，转化成对另两个数的比较，也可以考虑借助中间量来比较(如例7(4)(5)(6))．例9若log2(x－1)＜2，则x的取值范围是______．解：log2(x－1)＜2，即log2(x－1)＜log24，根据函数y＝log2x的单调性，可得x－1＜4，所以x＜5，结合x－1＞0，所以x的取值范围是1＜x＜5．例10 已知A，B为函数y＝log8x的图象上两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C，D两点．(1)如果A，B两点的连线经过原点O，请问C，D，O三点也共线么?证明你的结论．(2)当A，B，O三点共线并且BC与x轴平行时，求A点的坐标．略解：(1)设A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)，由于A，B，O在同一条直线上，所以又设C(x1，log2x1)，D(x2，log2x2)，于是有同样可得结合①式，有k OC＝k OD，即C，D，O三点共线．(2)当BC∥x轴时，即。

2020年高考文科数学二轮专题复习九：解析几何（附解析）从近五年的高考试题来看，该部分的试题是综合性的，题目中既有直线和圆的方程的问题，又有圆锥曲线与方程的问题．考查的重点：直线方程与两直线的位置关系；圆的方程；点、线、圆的位置关系；椭圆、双曲线、抛物线及其性质；直线与圆锥曲线的位置关系；曲线的方程；圆锥曲线的综合问题．1．直线方程与圆的方程 （1）直线方程的五种形式（①两条直线平行：对于两条不重合的直线1l ，2l ，若其斜率分别为1k ，2k ，则有1212//l l k k ⇔=； 当直线1l ，2l 不重合且斜率都不存在时，12//l l ． ②两条直线垂直：如果两条直线1l ，2l 的斜率存在，设为1k ，2k ，则有1212·1l l k k ⊥⇔=-； 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，12l l ⊥． （3）两条直线的交点的求法直线1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=， 则1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（4）三种距离公式①111(,)P x y ，222(,)P x y两点之间的距离：12||PP = ②点000(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离：d =．③平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间距离：d =．（5）圆的定义及方程点00()M x y ,与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： ①若00()M x y ,在圆外，则22200()()x a y b r -+->． ②若00()M x y ,在圆上，则22200()()x a y b r -+-=． ③若00()M x y ,在圆内，则22200()()x a y b r -+-<．2．直线、圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )0∆<0∆=0∆>（2设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R ，()r R r >，则3．圆锥曲线及其性质（1）椭圆的标准方程及几何性质,()0F c -0(),F c ()0,F c -()0,F c220+=<mx ny mn1()（4．圆锥曲线的综合问题（1）直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程0()F x y =,，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即联立0(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩，消去y ，得20ax bx c ++=．①当0a ≠时，设一元二次方程20ax bx c ++=的判别式为∆， 则0∆>⇔直线与圆锥曲线C 相交；0∆=⇔直线与圆锥曲线C 相切； 0∆<⇔直线与圆锥曲线C 相离．②当0a =，0b ≠时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． （2）圆锥曲线的弦长设斜率为(0)k k ≠的直线l 与圆锥曲线C 相交于M ，N 两点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则12|||MN x x =-=12|||MN y y =-=．1．（2019·全国Ⅰ卷）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为︒130，则C 的离心率为（ ）A ．︒40sin 2B ．︒40cos 2C ．︒50sin 1 D ．︒50cos 12．（2019·全国II 卷）若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ）A ．2B ．3C ．4D ．83．（2019·全国III 卷）已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||PO OF =，则△OPF 的面积为（ ）A ．32 B ．52 C ．72 D ．924．（2019·全国III 卷）设1F 、2F 为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△12MF F 为等腰三角形，则M 的坐标为________．5．（2019·全国Ⅰ卷）已知点,A B 关于坐标原点O 对称，4AB =，M e 过点,A B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M e 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值？并说明理由．经典常规题（45分钟）1．（2019·江西省上高县第二中学期末考试）若(2,3)A -，(3,2)B -，1(,)2C m 三点共线，则m 的值为（ ） A ．12 B ．12- C ．2- D ．2 2．（2019·内蒙古乌兰察布市集宁第一中学适应性考试）过抛物线24y x =的焦点F 作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的标准方程为（ ）A ．22(1)4x y ++=B ．22(1)4x y -+=C ．22(1)4x y ++=D ．22(1)4x y +-=3．（2019·宁夏银川一中调研考试）双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a = ． 4．（2019·广东省5月仿真冲刺模拟卷）斜率为(0)k k <的直线l 过点(0,1)F ，且与曲线21(0)4y x x =≥ 及直线1y =-分别交于,A B 两点，若||6||FB FA =，则k =_____．5．（2019·河南省八校高三1月尖子生联赛）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1(2,2)P，2P ，3(2,3)P -，4(2,3)P 四点中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）已知点(0,1)E ，问是否存在直线p 与椭圆C 交于M ，N 两点且||||ME NE =？若存在，求出直线p斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．高频易错题1．(2019·江西省新余市第一中学模拟考试)若113420x y --=，223420x y --=，则过11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的直线方程是（ ）A ．4320x y +-=B ．3420x y --=C ．4320x y ++=D ．3420x y -+=2．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校4月模拟）已知椭圆的长轴长是倍，则该椭圆的离心率是（ ）A ．31 B．3 C．3 D．33．（2019·山东省济南第一中学2月适应考试）已知△ABC 的顶点0()5,A -，()5,0B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．221(3)916x y x -=>D ．221(4)169x y x -=>4．（2019·广东省高三二月调研考试）以抛物线24y x =的焦点为圆心且过点(5,P -的圆的标准方程为____________．5．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校高考适应性考试）过抛物线2:4C y x =的焦点F的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，N 点在l 上，且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为_____精准预测题2020年高考文科数学二轮专题复习九：解析几何（解析）从近五年的高考试题来看，该部分的试题是综合性的，题目中既有直线和圆的方程的问题，又有圆锥曲线与方程的问题．考查的重点：直线方程与两直线的位置关系；圆的方程；点、线、圆的位置关系；椭圆、双曲线、抛物线及其性质；直线与圆锥曲线的位置关系；曲线的方程；圆锥曲线的综合问题．1．直线方程与圆的方程（1）直线方程的五种形式（①两条直线平行：对于两条不重合的直线1l ，2l ，若其斜率分别为1k ，2k ，则有1212//l l k k ⇔=； 当直线1l ，2l 不重合且斜率都不存在时，12//l l ． ②两条直线垂直：如果两条直线1l ，2l 的斜率存在，设为1k ，2k ，则有1212·1l l k k ⊥⇔=-； 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，12l l ⊥． （3）两条直线的交点的求法直线1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=， 则1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（4）三种距离公式①111(,)P x y ，222(,)P x y 两点之间的距离：12||PP = ②点000(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离：d =．③平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间距离：d =．（5）圆的定义及方程点00()M x y ,与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： ①若00()M x y ,在圆外，则22200()()x a y b r -+->． ②若00()M x y ,在圆上，则22200()()x a y b r -+-=． ③若00()M x y ,在圆内，则22200()()x a y b r -+-<．2．直线、圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )0∆<0∆=0∆>（2设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R ，()r R r >，则3．圆锥曲线及其性质（1）椭圆的标准方程及几何性质,()0F c -0(),F c ()0,F c -()0,F c22+=mx ny（4．圆锥曲线的综合问题（1）直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程0()F x y =,，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即联立0(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩，消去y ，得20ax bx c ++=．①当0a ≠时，设一元二次方程20ax bx c ++=的判别式为∆， 则0∆>⇔直线与圆锥曲线C 相交；0∆=⇔直线与圆锥曲线C 相切； 0∆<⇔直线与圆锥曲线C 相离．②当0a =，0b ≠时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． （2）圆锥曲线的弦长设斜率为(0)k k ≠的直线l 与圆锥曲线C 相交于M ，N 两点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则12|||MN x x =-=12|||MN y y =-=．1．（2019·全国Ⅰ卷）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为︒130，则C 的离心率为（ ）A ．︒40sin 2B ．︒40cos 2C ．︒50sin 1 D ．︒50cos 1【答案】D【解析】根据题意可知︒=-130tan a b ，所以︒︒=︒=50cos 50sin 50tan a b ， 离心率︒=︒=︒︒+︒=︒︒+=+=50cos 150cos 150cos 50sin 50cos 50cos 50sin 1122222222a b e ． 2．（2019·全国II 卷）若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ）A ．2B ．3C ．4D ．8 【答案】D【解析】抛物线)0(22>=p px y 的焦点是)0,2(p，椭圆1322=+p y p x 的焦点是)0,2(p ±，∴p p22=，∴8=p ．经典常规题3．（2019·全国III 卷）已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||PO OF =，则△OPF 的面积为（ ）A ．32 B ．52 C ．72 D ．92【答案】B【解析】依据题意222224,5,9a b c a b ===+=， 设F 为右焦点，(3,0)F ，设P 在第一象限，(,)P x y ，根据||||PO OF =，22229145x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，得到53y =，所以15||22OPF S OF y ∆=⋅⋅=．4．（2019·全国III 卷）设1F 、2F 为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△12MF F 为等腰三角形，则M 的坐标为________． 【答案】)15,3(【解析】由椭圆22:13620x y C +=可知，6=a ，4=c ，由M 为C 上一点且在第一象限，故等腰三角形12MF F 中，8211==F F MF ，4212=-=MF a MF ，415828sin 2221=-=∠M F F ，15sin 212=∠=M F F MF y M ， 代入22:13620x y C +=可得3=M x ，故M 的坐标为)15,3(．5．（2019·全国Ⅰ卷）已知点,A B 关于坐标原点O 对称，4AB =，M e 过点,A B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M e 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值？并说明理由．【答案】（1）2或6；（2）存在，(1,0)P ，详见解析．【解析】（1）∵M e 过点,A B ，∴圆心在AB 的中垂线上即直线y x =上， 设圆的方程为222()()x a y a r -+-=，又4AB =，根据222AO MO r +=，得2242a r +=，∵M e 与直线20x +=相切，∴2a r +=，联解方程得0a =，2r =或4a =，6r =． （2）设M 的坐标为(,)x y ，根据条件22222AO MO r x +==+，即22242x y x ++=+，化简得24y x =，即M 的轨迹是以(1,0)为焦点，以1x =-为准线的抛物线， 所以存在定点(1,0)P ，使(2)(1)1MA MP x x -=+-+=．1．（2019·江西省上高县第二中学期末考试）若(2,3)A -，(3,2)B -，1(,)2C m 三点共线，则m 的值为（ ） A ．12 B ．12- C ．2- D ．2 【答案】A【解析】2321132232AB BC m k k m --+=⇒=⇒=+-． 2．（2019·内蒙古乌兰察布市集宁第一中学适应性考试）过抛物线24y x =的焦点F 作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的标准方程为（ ）高频易错题（45分钟）A ．22(1)4x y ++=B ．22(1)4x y -+=C ．22(1)4x y ++=D ．22(1)4x y +-= 【答案】B【解析】由抛物线的性质知AB 为通径，焦点坐标为(1,0)，直径224R AB p ===，即2R =，所以圆的标准方程为22(1)4x y -+=．3．（2019·宁夏银川一中调研考试）双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a = ． 【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为3y x a=±，结合题意可得5a =． 4．（2019·广东省5月仿真冲刺模拟卷）斜率为(0)k k <的直线l 过点(0,1)F ，且与曲线21(0)4y x x =≥ 及直线1y =-分别交于,A B 两点，若||6||FB FA =，则k =_____．【答案】12-【解析】易知曲线21(0)4y x x =≥是抛物线2:4C x y =的右半部分，如图，其焦点为(0,1)F ，准线1y =-，过点A 作AH ⊥准线，垂足为H ，则||||AH AF =， 因为||6||FB FA =，所以||5||AB AH =，||tan||AHABHBH∠===，故直线l的斜率为．5．（2019·河南省八校高三1月尖子生联赛）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，1(2,2)P，2P，3(2,3)P-，4(2,3)P四点中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）已知点(0,1)E，问是否存在直线p与椭圆C交于M，N两点且||||ME NE=？若存在，求出直线p斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2211612x y+=；（2）存在，11(,)22-．【解析】（1）由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过34,P P两点，又由22224449a b a b+<+知C不经过点1P，所以点2P在C上．因此222221211649121abba b⎧=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎪⎩，所以C的方程为2211612x y+=．（2）假设存在满足条件的直线:p y kx m=+，设11(,)M x y，22(,)N x y．将直线:p y kx m=+与椭圆联立可得22222(34)8448011612y kx mk x kmx mx y=+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩．222222644(34)(448)01612k m k m k m∆=-+->⇒+>①，故122834kmx xk-+=+，212244834mx xk-=+，设MN 的中点为00(,)F x y ，故12024234x x km x k +-==+，002334my kx m k =+=+， 因为||||ME NE =，所以EF MN ⊥，所以1EF k k =-，所以22231341(43)434mk k m k km k -+⋅=-⇒=-+-+， 代入①得22242111612(43)1683022k k k k k +>+⇒+-<⇒-<<， 故存在直线p 使得||||ME NE =，且直线p 斜率的取值范围是11(,)22-．1．(2019·江西省新余市第一中学模拟考试)若113420x y --=，223420x y --=，则过11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的直线方程是（ ）A ．4320x y +-=B ．3420x y --=C ．4320x y ++=D ．3420x y -+= 【答案】B【解析】由题意得11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的坐标都满足方程3420x y --=， 所以过11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的直线方程是3420x y --=．2．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校4月模拟）已知椭圆的长轴长是倍，则该椭圆的离心率是（ ）A ．31 B．3 C．3 D．3精准预测题【答案】C【解析】由题可知a =，则3c e a ===． 3．（2019·山东省济南第一中学2月适应考试）已知△ABC 的顶点0()5,A -，()5,0B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．221(3)916x y x -=> D ．221(4)169x y x -=> 【答案】C【解析】如图，||||8AD AE ==，||||2BF BE ==，||||CD CF =，所以|||||82610|CA CB AB -=-=<=．根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，且0y ≠， 故轨迹方程为221(3)916x y x -=>． 4．（2019·广东省高三二月调研考试）以抛物线24y x =的焦点为圆心且过点(5,P -的圆的标准方程为____________．【答案】22(1)36x y -+=【解析】由题意知，P 在抛物线上，且F 的坐标为(1,0)，则||55162p PF =+=+=， 故所求的圆的标准方程为22(1)36x y -+=．5．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校高考适应性考试）过抛物线2:4C y x =的焦点F的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，N 点在l 上，且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为_____．【答案】【解析】设00(,)M x y ，∴2004y x =，∴0y =，∴0sin 60︒=，020043214x x x =++， ∴20031030x x -+=，解得0=3x 或013x =（舍去），∴4MF =， ∵MN MF =，60NMF ∠=︒，∴△MNF 为等边三角形，∴M 到NF直线的距离为42⨯=。

2020年高考文科数学二轮专题复习九：解析几何（附解析）从近五年的高考试题来看，该部分的试题是综合性的，题目中既有直线和圆的方程的问题，又有圆锥曲线与方程的问题．考查的重点：直线方程与两直线的位置关系；圆的方程；点、线、圆的位置关系；椭圆、双曲线、抛物线及其性质；直线与圆锥曲线的位置关系；曲线的方程；圆锥曲线的综合问题．1．直线方程与圆的方程 （1）直线方程的五种形式（2①两条直线平行：对于两条不重合的直线1l ，2l ，若其斜率分别为1k ，2k ，则有1212//l l k k ⇔=； 当直线1l ，2l 不重合且斜率都不存在时，12//l l ． ②两条直线垂直：如果两条直线1l ，2l 的斜率存在，设为1k ，2k ，则有1212·1l l k k ⊥⇔=-； 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，12l l ⊥． （3）两条直线的交点的求法直线1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=，则1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（4）三种距离公式①111(,)P x y ，222(,)P x y两点之间的距离：12||PP = ②点000(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离：d =．③平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间距离：d =．（5）圆的定义及方程（6点00()M x y ,与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： ①若00()M x y ,在圆外，则22200()()x a y b r -+->． ②若00()M x y ,在圆上，则22200()()x a y b r -+-=． ③若00()M x y ,在圆内，则22200()()x a y b r -+-<．2．直线、圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )0∆<0∆=0∆>（2设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R ，()r R r >，则3．圆锥曲线及其性质（1）椭圆的标准方程及几何性质0,F c-()F cF c()0,,,()()0F c-0（2（34．圆锥曲线的综合问题（1）直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程0()F x y =,，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程． 即联立0(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩，消去y ，得20ax bx c ++=．①当0a ≠时，设一元二次方程20ax bx c ++=的判别式为∆， 则0∆>⇔直线与圆锥曲线C 相交；0∆=⇔直线与圆锥曲线C 相切；0∆<⇔直线与圆锥曲线C 相离．②当0a =，0b ≠时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时， 若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． （2）圆锥曲线的弦长设斜率为(0)k k ≠的直线l 与圆锥曲线C 相交于M ，N 两点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则12|||MN x x =-=12|||MN y y =-=．1．（2019·全国Ⅰ卷）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为︒130，则C 的离心率 为（ ）A ．︒40sin 2B ．︒40cos 2C ．︒50sin 1 D ．︒50cos 12．（2019·全国II 卷）若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ）A ．2B ．3C ．4D ．83．（2019·全国III 卷）已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||PO OF =，则△OPF 的面积为（ ）A ．32 B ．52 C ．72 D ．924．（2019·全国III 卷）设1F 、2F 为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△12MF F 为等腰三角形，则M 的坐标为________．5．（2019·全国Ⅰ卷）已知点,A B 关于坐标原点O 对称，4AB =，M e 过点,A B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M e 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值？并说明理由．经典常规题（45分钟）1．（2019·江西省上高县第二中学期末考试）若(2,3)A -，(3,2)B -，1(,)2C m 三点共线，则m 的值为（ ） A ．12 B ．12- C ．2- D ．2 2．（2019·内蒙古乌兰察布市集宁第一中学适应性考试）过抛物线24y x =的焦点F 作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的标准方程为（ ） A ．22(1)4x y ++= B ．22(1)4x y -+= C ．22(1)4x y ++= D ．22(1)4x y +-=3．（2019·宁夏银川一中调研考试）双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a = ．4．（2019·广东省5月仿真冲刺模拟卷）斜率为(0)k k <的直线l 过点(0,1)F ，且与曲线21(0)4y x x =≥ 及直线1y =-分别交于,A B 两点，若||6||FB FA =，则k =_____．5．（2019·河南省八校高三1月尖子生联赛）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1(2,2)P，2P ，3(2,3)P -，4(2,3)P 四点中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）已知点(0,1)E ，问是否存在直线p 与椭圆C 交于M ，N 两点且||||ME NE =？若存在，求出直线p斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．高频易错题1．(2019·江西省新余市第一中学模拟考试)若113420x y --=，223420x y --=，则过11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的直线方程是（ ）A ．4320x y +-=B ．3420x y --=C ．4320x y ++=D ．3420x y -+=2．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校4则该椭圆的离心率是（ ）A ．31 B．3 C．33．（2019·山东省济南第一中学2月适应考试）已知△ABC 的顶点0()5,A -，()5,0B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．221(3)916x y x -=> D ．221(4)169x y x -=>4．（2019·广东省高三二月调研考试）以抛物线24y x =的焦点为圆心且过点(5,P -的圆的标准方程为____________．5．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校高考适应性考试）过抛物线2:4C y x =的焦点FC 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，N 点在l 上，且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为_____精准预测题2020年高考文科数学二轮专题复习九：解析几何（解析）从近五年的高考试题来看，该部分的试题是综合性的，题目中既有直线和圆的方程的问题，又有圆锥曲线与方程的问题．考查的重点：直线方程与两直线的位置关系；圆的方程；点、线、圆的位置关系；椭圆、双曲线、抛物线及其性质；直线与圆锥曲线的位置关系；曲线的方程；圆锥曲线的综合问题．1．直线方程与圆的方程 （1）直线方程的五种形式（2①两条直线平行：对于两条不重合的直线1l ，2l ，若其斜率分别为1k ，2k ，则有1212//l l k k ⇔=； 当直线1l ，2l 不重合且斜率都不存在时，12//l l ． ②两条直线垂直：如果两条直线1l ，2l 的斜率存在，设为1k ，2k ，则有1212·1l l k k ⊥⇔=-； 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，12l l ⊥． （3）两条直线的交点的求法直线1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=，则1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（4）三种距离公式①111(,)P x y ，222(,)P x y两点之间的距离：12||PP = ②点000(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离：d =．③平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间距离：d =．（5）圆的定义及方程（6点00()M x y ,与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： ①若00()M x y ,在圆外，则22200()()x a y b r -+->． ②若00()M x y ,在圆上，则22200()()x a y b r -+-=． ③若00()M x y ,在圆内，则22200()()x a y b r -+-<．2．直线、圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )0∆<0∆=0∆>（2设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R ，()r R r >，则3．圆锥曲线及其性质（1）椭圆的标准方程及几何性质0,F c-()F cF c()0,,,()()0F c-0（2（34．圆锥曲线的综合问题（1）直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程0()F x y =,，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程． 即联立0(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩，消去y ，得20ax bx c ++=．①当0a ≠时，设一元二次方程20ax bx c ++=的判别式为∆， 则0∆>⇔直线与圆锥曲线C 相交；0∆=⇔直线与圆锥曲线C 相切； 0∆<⇔直线与圆锥曲线C 相离．②当0a =，0b ≠时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时， 若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． （2）圆锥曲线的弦长设斜率为(0)k k ≠的直线l 与圆锥曲线C 相交于M ，N 两点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则12|||MN x x =-=12|||MN y y =-=．1．（2019·全国Ⅰ卷）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为︒130，则C 的离心率 为（ ）A ．︒40sin 2B ．︒40cos 2C ．︒50sin 1 D ．︒50cos 1【答案】D【解析】根据题意可知︒=-130tan a b ，所以︒︒=︒=50cos 50sin 50tan a b ， 离心率︒=︒=︒︒+︒=︒︒+=+=50cos 150cos 150cos 50sin 50cos 50cos 50sin 1122222222a b e ． 2．（2019·全国II 卷）若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ）A ．2B ．3C ．4D ．8 【答案】D【解析】抛物线)0(22>=p px y 的焦点是)0,2(p，椭圆1322=+p y p x 的焦点是)0,2(p ±， ∴p p22=，∴8=p ． 3．（2019·全国III 卷）已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||PO OF =，则△OPF 的面积为（ ）经典常规题A ．32 B ．52 C ．72 D ．92【答案】B【解析】依据题意222224,5,9a b c a b ===+=， 设F 为右焦点，(3,0)F ，设P 在第一象限，(,)P x y ，根据||||PO OF =，22229145x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，得到53y =，所以15||22OPF S OF y ∆=⋅⋅=．4．（2019·全国III 卷）设1F 、2F 为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△12MF F 为等腰三角形，则M 的坐标为________． 【答案】)15,3(【解析】由椭圆22:13620x y C +=可知，6=a ，4=c ，由M 为C 上一点且在第一象限，故等腰三角形12MF F 中，8211==F F MF ，4212=-=MF a MF ，415828sin 2221=-=∠M F F ，15sin 212=∠=M F F MF y M ， 代入22:13620x y C +=可得3=M x ，故M 的坐标为)15,3(．5．（2019·全国Ⅰ卷）已知点,A B 关于坐标原点O 对称，4AB =，M e 过点,A B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M e 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值？并说明理由． 【答案】（1）2或6；（2）存在，(1,0)P ，详见解析．【解析】（1）∵M e 过点,A B ，∴圆心在AB 的中垂线上即直线y x =上，设圆的方程为222()()x a y a r -+-=，又4AB =，根据222AO MO r +=，得2242a r +=，∵M e 与直线20x +=相切，∴2a r +=，联解方程得0a =，2r =或4a =，6r =． （2）设M 的坐标为(,)x y ，根据条件22222AO MO r x +==+，即22242x y x ++=+， 化简得24y x =，即M 的轨迹是以(1,0)为焦点，以1x =-为准线的抛物线， 所以存在定点(1,0)P ，使(2)(1)1MA MP x x -=+-+=．1．（2019·江西省上高县第二中学期末考试）若(2,3)A -，(3,2)B -，1(,)2C m 三点共线，则m 的值为（ ） A ．12 B ．12- C ．2- D ．2 【答案】A【解析】2321132232AB BC m k k m --+=⇒=⇒=+-． 2．（2019·内蒙古乌兰察布市集宁第一中学适应性考试）过抛物线24y x =的焦点F 作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的标准方程为（ ）A ．22(1)4x y ++=B ．22(1)4x y -+=C ．22(1)4x y ++=D ．22(1)4x y +-=【答案】B【解析】由抛物线的性质知AB 为通径，焦点坐标为(1,0)，直径224R AB p ===，即2R =，所以圆的标准方程为22(1)4x y -+=．高频易错题（45分钟）3．（2019·宁夏银川一中调研考试）双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a = ．【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为3y x a=±，结合题意可得5a =． 4．（2019·广东省5月仿真冲刺模拟卷）斜率为(0)k k <的直线l 过点(0,1)F ，且与曲线21(0)4y x x =≥ 及直线1y =-分别交于,A B 两点，若||6||FB FA =，则k =_____．【答案】12-【解析】易知曲线21(0)4y x x =≥是抛物线2:4C x y =的右半部分，如图，其焦点为(0,1)F ，准线1y =-，过点A 作AH ⊥准线，垂足为H ，则||||AH AF =， 因为||6||FB FA =，所以||5||AB AH =，||tan||12AH ABH BH ∠===，故直线l 的斜率为． 5．（2019·河南省八校高三1月尖子生联赛）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1(2,2)P ，2P ，3(2,3)P -，4(2,3)P 四点中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）已知点(0,1)E ，问是否存在直线p 与椭圆C 交于M ，N 两点且||||ME NE =？若存在，求出直线p斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2211612x y +=；（2）存在，11(,)22-．【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过34,P P 两点，又由22224449a b a b+<+知C 不经过点1P ，所以点2P 在C 上． 因此222221211649121a b b a b ⎧=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎪⎩，所以C 的方程为2211612x y +=． （2）假设存在满足条件的直线:p y kx m =+， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ．将直线:p y kx m =+与椭圆联立可得22222(34)8448011612y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩． 222222644(34)(448)01612k m k m k m ∆=-+->⇒+>①，故122834km x x k -+=+，212244834m x x k-=+， 设MN 的中点为00(,)F x y ，故12024234x x km x k +-==+，002334my kx m k=+=+， 因为||||ME NE =，所以EF MN ⊥，所以1EF k k =-，所以22231341(43)434mk k m k km k -+⋅=-⇒=-+-+，代入①得22242111612(43)1683022k k k k k +>+⇒+-<⇒-<<， 故存在直线p 使得||||ME NE =，且直线p 斜率的取值范围是11(,)22-．1．(2019·江西省新余市第一中学模拟考试)若113420x y --=，223420x y --=，则过11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的直线方程是（ ）A ．4320x y +-=B ．3420x y --=C ．4320x y ++=D ．3420x y -+= 【答案】B【解析】由题意得11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的坐标都满足方程3420x y --=， 所以过11(,)A x y ，22(,)B x y 两点的直线方程是3420x y --=．2．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校4则该椭圆的离心率是（ ）A ．31 B．3 C．3 D．3【答案】C【解析】由题可知a =，则3c e a ===． 3．（2019·山东省济南第一中学2月适应考试）已知△ABC 的顶点0()5,A -，()5,0B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．221(3)916x y x -=> D ．221(4)169x y x -=>【答案】C【解析】如图，||||8AD AE ==，||||2BF BE ==，||||CD CF =，精准预测题所以|||||82610|CA CB AB -=-=<=．根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，且0y ≠，故轨迹方程为221(3)916x y x -=>．4．（2019·广东省高三二月调研考试）以抛物线24y x =的焦点为圆心且过点(5,P -的圆的标准方程为____________． 【答案】22(1)36x y -+=【解析】由题意知，P 在抛物线上，且F 的坐标为(1,0)，则||55162pPF =+=+=， 故所求的圆的标准方程为22(1)36x y -+=．5．（2019·湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校高考适应性考试）过抛物线2:4C y x =的焦点F的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，N 点在l 上，且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为_____．【答案】【解析】设00(,)M x y ，∴204y x =，∴0y =0sin 60︒=，020043214x x x =++，∴20031030x x -+=，解得0=3x 或013x =（舍去），∴4MF =，∵MN MF =，60NMF ∠=︒，∴△MNF 为等边三角形，∴M 到NF直线的距离为42⨯=。

专题九：解析几何解析几何（1）直线及其方程1、若方程2223()1()40m m x m m y m +---+=+表示一直线，则实数m 满足( ) A ．0m ≠ B ．32m ≠- C ．1m ≠ D ．1m ≠且32m ≠-且0m ≠ 2、过点()1,2,P -倾斜角为135的直线方程为( )A. 10x y --=B. 10x y -+=C. 10x y +-=D. 10x y ++=3、已知过点A 的直线l 倾斜角为3π,则直线l 的方程为( )50y +-=10y --=390y +-=330y -+=4、若()()2244310m x m m y -+-++=表示直线,则( )A. 2m ≠±且1,3m m ≠≠B. 2m ≠±C. 1m ≠且3m ≠D. m R ∈5、过点11(,)x y 和22(,)x y 的直线的方程是( )A. 112121y y x x y y x x --=--B. ()()()()2112110y y x x x x y y -----=C. 122112y y x x y y x x --=--D. ()()()()2112110x x x x y y y y -----=6、已知直线l 过点()1,2-且与直线2310x y -+=垂直,则l 的方程是( )A. 3210x y +-=B. 3270x y ++=C. 2350x y -+=D. 2380x y -+=7、已知112223,234x y x y --=则过点. ()()1122,,,A x y B x y 的直线l 的方程是()A. 234x y -=B. 230x y -=C. 324x y -=D. 320x y -=8、经过点()1,1M 且在两轴上截距相等的直线是( )A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1?x =或 1?y =D. 2x y +=或0x y -=9、经过点()1,1-,斜率是直线y x 22=-的斜率的2倍的直线的方程是( )A. 1x =-B. 1?y =C. )y 1x 1-=+D. )y 1x 1-=+10、经过点()1,4P 的直线l 在两坐标轴上的截距都是正值,且截距之和最小,则直线l 的方程为( )A. 260x y +-=B. 260x y +-=C. 270x y -+=D. 270x y --=11、已知直线l 过点()3,?4-,不经过原点,且在两坐标轴上的截距相等,则l 直线的方程是__________.12、已知直线l 的斜率是16,且和两坐标轴围成的三角形的面积为3,则l 的方程是__________.13、经过点()0,2,且与直线35y x =--平行的直线l 的方程为__________.14、过点()2,3P ,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是__________15、已知点()1,1?A -,()2,2?B -,若直线l :0x my m ++=与线段AB 相交(含端点),则实数m 的取值范围是__________.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：2答案及解析：答案：C解析：3答案及解析：答案：B解析：先求出直线的斜率,再根据点斜式即求出直线方程.4答案及解析：答案：D解析：∵24m -与243m m -+不可能同时为零,∴无论 m 为何实数时, ()()2244310m x m m y -+-++=.5答案及解析：答案：B 解析：由题意得112121x x y y x x y y --=--, 即()()()()1212110x x y y x x y y -----=,A 中分母为0时无意义.故选B.6答案及解析：答案：A解析：由题意可得l 的斜率为3-2, ∴l 的方程为()3212y x -=-+,即3210x y +-=, 故选A.7答案及解析：答案：A 解析：∵11(,)x y 满足方程11234x y -=,则11(,)x y 在直线234x y -=上同理22(,)x y 也在直线234x y -=上，由两点确定一条直线，得过点1122(,),(,)A x y B x y 的直线l 的方程是234x y -=,故选A8答案及解析：答案：D解析：9答案及解析：答案：C,∴所求方程为)y 1x 1-=+.10答案及解析：答案：B解析：直线过()1,4P ,代入后舍去A 、D,又在两坐标轴上的截距均为正值，则舍去C.11答案及解析：答案：10x y +-=或70x y -+=解析：由题意,设直线l 方程为y x b =±+.把点的坐标()3,?4-代入,得直线l 方程为70x y -+=或10x y +-=.12答案及解析： 答案：1y x 16=+或1y x 16=- 解析：设直线l 的方程为16y x b =+, 令0?x =,得y b =,令0y =,得x 6b =-. 由1|||6|32S b b =⋅-=,得21b =, ∴1b =±.故直线l 的方程为1y x 16=+或1y x 16=-.13答案及解析：答案：32y x =-+解析：由35y x =--得已知直线的斜率3k =-,由两直线平行知直线l 的斜率3l k =-,∴所求直线方程为23y x -=-,即32y x =-+.14答案及解析：答案：320x y -=或10x y -+=解析：15答案及解析：答案：[)1,2,2⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦解析： 直线l :0x my m ++=恒过定点()0,1M -,而()11201AM k --==---,()121022BM k ---==-,要使直线l :0x my m ++=与线段AB 相交,观察图象,当0m =时, l 与直线AB 相交;当0m ≠时,显然有12k ≥-或2k ≤-,而1k m =-,得2m ≥或102m <≤或0m <,综上可知2m ≥或12m ≤.解析几何（2）点与直线、直线与直线的位置关系1、点(1,2)P -到直线86150x y -+=的距离为（ ）A ．2B ．12C ．1D ．722、若动点,?A B 分别在直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=上移动,则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A.B.C.D. 3、点()1,1-到直线10x y -+=的距离是( ) A. 12 B. 324、已知直线330x y +-=与直线610x my ++=平行,则它们之间的距离为()A. 4B. 13C. 26D. 205、若,P Q 分别为直线34120x y +-=与6850x y ++=上任意一点，则PQ 的最小值为( ) A.95 B.185 C.2910 D.2956、若两条平行线1:10l x y -+=,与()2:300l x ay c c +-=>,则3a c -等于( )A. 2-B. 6-C. 2D. 07、已知直线1:10l x y ++=,2:10l x y +-=,则12,l l 之间的距离为( )A. 18、两平行直线51230x y ++=与102430x y ++=间的距离是( ) A.126B. 113C. 326D. 213 9、已知直线的距离是3230x y +-=与610x my ++=互相平行 , 则它们之间的距离是( )A.4D.26 10、若直线330x y +-=与直线610x my ++=平行,则它们之间的距离为( )A. 511、若直线()120a x y ++=与直线1x ay -=互相垂直,则实数a 的值等于( )A.-1B.0C.1D.212、已知三条直线1:41l x y +=,2:0l x y -=,3:23l x my -=,若1l 关于2l 的对称直线与3l 垂直,则实数 m 的值是( )A. 8-B. 12-C. 12D. 8?13、经过点()1,2P 且与直线3490x y ++=垂直的直线方程是__________14、经过点(2,3)-且与直线250x y +-=垂直的直线方程为__________15、过点()2,1且与直线340x y ++=垂直的直线方程为__________16、已知点()()2,3,4,9,A B -则线段AB 的垂直平分线方程为________.17、过点()1,2A 且与原点距离最大的直线方程是__________.答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：2答案及解析：答案：A解析：依题意知AB 的中点M 的集合为与直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=的距离都相等的直线,记为l ,则点M 到原点的距离的最小值为原点到直线l 的距离.设直线l 的方程为0x y m ++=,=解得6m =-,所以:60l x y +-=.根据点到直线的距离公式,得AB 的中点M 到原点的距离的最小值为=3答案及解析：答案：C解析：2d ===.4答案及解析：答案：D解析：两直线平行,可得2m =,直线330x y +-=变形为6260x y +-=,所以两直线间的距离d ==.5答案及解析：答案：C解析：因为3412685-=≠，所以两直线平行， 由题意可知PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离，2910=， 所以PQ 的最小值为2910.6答案及解析：答案：A解析：由直线1:10l x y -+=与()2:300l x ay c c +-=>平行,得3a =-,所以两平行线间=解得3c =或9c =- (舍去),则32a c -=-.故选A.7答案及解析：答案：C解析：由平行直线间的距离公式,8答案及解析：答案：C解析：9答案及解析：答案：D解析：∵3230x y +-=和610x my ++=互相平行，∴3:26:m =，∴4m =.直线3230x y +-=可化为6460x y +-=，由两条平行直线间的距离公式可得d ===.10答案及解析：答案：D解析：11答案及解析：答案：C解析：由直线方程: ()120,1a x y x ay ++=-=,当0a =时,分别化为: 20,1x y x +==,此时两条直线不垂直,舍去;当 1a =-时,分别化为: 0,1y x y =+=,不符合题意,舍去;当0,1a ≠-时,分别化为: 111,2a y x y x a a +=-=-, 由于两条直线垂直,所以1112a a+-⨯=-,解得 1a =. 综上可得: 1a =.12答案及解析：答案：C解析：13答案及解析：答案：-+=4x 3y 20解析：14答案及解析：答案：280x y -+=解析：15答案及解析：答案：350x y --=解析：与340x y ++=垂直的直线可设为30x y m -+=,代入()2,1得5m =-,所以直线方程为350x y --=.16答案及解析：答案：70x y -+=解析：由中点坐标公式得线段AB 的中点坐标是()1,6,- 又93142AB k -==---,∴所求直线方程为61,y x -=+即70x y -+=17答案及解析：答案：250x y +-=解析：【分析】数形结合得到所求直线与OA 垂直,再用点斜式方程求解.【解答】解:根据题意得,当与直线OA 垂直时距离最大,因直线OA 的斜率为2,所以所求直线斜率为12-, 所以由点斜式方程得: ()1212y x -=--,化简得: 250x y +-=, 故答案为: 250x y +-=.【点评】本题考察直线方程的求解,要数形结合先判断什么时候距离最大才能求直线方程,属基础题.【考点】直线的一般式方程.【专题】数形结合.解析几何（3）圆的方程1、若方程220x y x y m -++=+表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A ．12m < B ．2m < C ．12m ≤ D ．2m ≤2、以(1,2)-为半径的圆的方程为（ ）A ．22240x y x y +-+=B ．22240x y x y +++=C ．22240x y x y ++-=D ．22240x y x y +--= 3、圆心在(-1,0),半径为5的圆的方程为( )A. 22(1)5x y ++=B. 22(1)25x y ++=C. 22(1)x y ++=22(1)25x y -+=4、方程22230x y mx y ++-+=表示圆，则m 的范围是( )A ．(,(2,)-∞+∞B ．(,(22,)-∞-+∞)C ．(,(3,)-∞+∞D ．(,(23,)-∞-+∞5、以()2,3C -为圆心,且过点()5,1B -的圆的方程为( )A. ()()222325x y -++=B. ()()222365x y ++-=C. ()()222353x y ++-=D. ()()222313x y -++=6、若圆 C 的半径为1,其圆心与点()1,0关于直线 y x =对称,则圆 C 的标准方程为( )A. 22(1)1x y -+=B. 22(1)1y x ++=C. 22(1)1y x -+=D. 22(1)1x y ++=7、已知圆2222240x y k x y k ++++=关于y x =对称，则k 的值为( )A. 1-B. 1C. 1±D. 0 8、已知圆2222240x y k x y k ++++=关于y x =对称，则k 的值为( )A. 1-B. 1C. 1±D. 09、以()()2,1,1,5A B -为半径两端点的圆的方程是( )A. ()()222125x y ++-=B. ()()221525x y -+-=C. ()()222125x y ++-=或()()221525x y -+-=D. ()()22215x y ++-=或()()22155x y -+-=10、以点(3,-1)为圆心，并且与直线340x y ＋＝相切的圆的方程是( )A ．22()(31)1x y -++=B ．22()(31)1x y -=+-C ．22()(31)1x y +-+=D ．22()(31)1x y +++=11、已知圆C 经过(5,1)A ，(1,3)B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为____________________. 12、已知圆C 经过点(1,3),(4,2)A B ，与直线2100x y +-=相切，则圆C 的标准方程为__________．13、与圆22240x y x y +-+=关于直线:0l x y +=对称的圆的方程是 .14、若圆 C 的半径为1,点 C 与点()2,0关于点()1,0对称,则圆 C 的标准方程为___________.15、圆心为()2,3-,一条直径的两个端点分别落在 x 轴和y 轴上的圆的方程是__________.16、若圆 C 与圆()()22:211M x y ++-=关于原点对称,则圆 C 的标准方程是__________.17、若圆的方程为22220x y kx y k ++++=,则当圆的面积最大时,圆心坐标为__________.18、 圆心是()1,0-且过原点的圆的方程是__________答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：2211()40m -+->，12m ∴<.2答案及解析：答案：C解析：由圆心坐标为(1,2)-，半径r =则圆的标准方程为：22(1)(2)5x y ++-=，化为一般方程为：22240x y x y ++-=．故选：C ．3答案及解析：答案：A解析：4答案及解析：答案：B解析：5答案及解析：答案：D解析：根据两点间的距离公式求出圆的半径,结合圆的标准方程的定义进行求解即可.6答案及解析：解析：7答案及解析：答案：A解析：化圆2222240x y k x y k ++++=为2224()(+1)41x k y k k ++=-+．则圆心坐标为2(,1)k --，∵圆2222240x y k x y k ++++=关于y x =对称，21k ∴-=-，得1k =±．当1k =时，4410k k -+<，不合题意，1k ∴=-．故选：A ．化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，代入y x =求得k ，验证4410k k -+>得答案． 本题考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．8答案及解析：答案：A解析：化圆2222240x y k x y k ++++=为2224()(1)41x k y k k +++=-+．则圆心坐标为2(,1)k --，∵圆2222240x y k x y k ++++=关于y x =对称，21k ∴-=-，得1k =±．当1k =时，4410k k -+<，不合题意，1k ∴=-．故选：A ．化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，代入y x =求得k ，验证4410k k -+>得答案． 本题考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．9答案及解析：答案：C解析：根据条件知,圆心为()2,1A -或()1,5,B 半径为两点AB 间的距离,根据两点间距离公式得到5AB =.根据圆心和半径依次判断选项得到方程为()()22:2125x y ++-=或()()221525.x y -+-=故答案为:C.10答案及解析：答案：A解析：11答案及解析：答案：22(2)10x y -+=解析：12答案及解析：答案：22(2)(1)5x y -+-=解析：由题意，设圆C 的方程为222()()x a y b r -+-=，因为点(4,2)B 在直线2100x y +-=上，所以点(4,2)B 是圆与直线2100x y +-=的切点， 连接圆心C 和切点的直线和与切线2100x y +-=垂直， 则12BCk =，则BC 的方程为12(4)2y x -=-，整理得20x y -=， 由线段AB 的垂直平分线的方程为350x y --=，联立方程组35020x y x y --=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，即圆心坐标为(2,1)C ,又由r BC ==,所以圆的方程为22(2)(1)5x y -+-=.13答案及解析：答案：22420x y x y +-+=解析：设00(,)P x y 是所求圆上任意一点,它关于直线0x y +=的对称点为00(,)y x --在22240x y x y +-+=上,故有()()()()220000240y x y x -+---+-=, 即220000420x y x y +-+=, 所以所求圆的方程为22420x y x y +-+=.14答案及解析：答案：221x y +=解析：15答案及解析：答案：()()222313x y -++=解析：由题意,知直径的两端点分别为()()4,0,0,6-,故半径r ==故圆的方程为()()222313x y -++=.16答案及解析：答案：()()22211x y -++=解析：圆()()22211x y ++-=的圆心为()2,1M -, 半径1r =,则点M 关于原点的对称点为()2,1C -,圆 C 的半径也为1,则圆 C 的标准方程是()()22211x y -++=.17答案及解析： 答案：()0,1-解析：∵r ∴当0?k =时, r 最大,此时圆的面积最大,圆的方程可化为2220x y y ++=, 即()2211x y ++=.18答案及解析： 答案：()2211x y ++= 解析：解析几何（4）直线与圆、圆与圆的位置关系1、已知直线:l y m =+与圆22:(3)6C x y +-=相交于,A B 两点,若120ACB ∠=︒,则实数m 的值为( )A.3或3B.3+或3-C.9或3-D.8或2-2、若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=相切，则a 等于（ ）A ．1或-3B ．-1或-3C ．1或3D ．-1或33、若直线340x y b +-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则b 的值是（ ） A ．-2或12B ．2或-12C ．2或12D ．-2或-124、圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A.43-B.34- D.2 5、已知直线:10(R)l x ay a +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则 AB =( )A.2B. C.6D.6、已知过点(2,2)P 的直线与圆()2215x y -+=相切,且与直线10ax y -+=垂直,则a = ( ) A. 12-B. 1C. 2D.127、若圆22)()1(R,R)x a y b a b -+-=∈∈(关于直线1y x =+对称的圆的方程是()()22131x y -+-=,则a b +等于( )A. 4B. 2C. 6D. 88、已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4,则实数a 的值为( )A.-2B.-4C.-6D.-8 9、若直线1x ya b+=与圆221x y +=有公共点,则( ) A. 221a b +≤ B. 221a b +≥C.22111a b +≤ D. 22111a b+≥10、若直线1x y a b+=与圆221x y +=有公共点,则( )A. 221a b +≤B. 221a b +≥C.22111a b +≤ D. 22111a b+≥11、已知圆()()22:1225C x y -+-=,直线()()():211740R l m x m y m m +++--=∈,则直线l 被圆 C 所截得的弦的长度最小值为__________12、曲线223440x xy y x y ---+-=与x 轴的交点坐标是________.13、在平面直角坐标系xOy 中,直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 .14、垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是__________ 15、直线330x y -+=与圆()()221310x y -+-=的位置关系是__________16、已知,M N 是圆22:20A x y x +-=与圆222:y 40B x x y ++-=的公共点,则△BMN 的面积为__________.17、若圆221x y +=与圆22680x y x y m +---=相切，则m 的值为____________. 18、若圆22:20A x x y -+= 与圆 22:40C x y y +-=相交于,B D 两点,则四边形ABCD 的面积是______________.19、定义在封闭的平面区域D 内任意两点的距离的最大值称为平面区域D 的“直径”．已知锐角三角形的三个顶点A B C ，，， 在半径为1的圆上，且π3BAC ∠=，分别以ABC △各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和ABC △构成平面区域D ，则平面区域D 的“直径”的最大值是________．答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：由题意，得圆心(0,3)到直线l 32m d -==3m = A.2答案及解析： 答案：A 解析：3答案及解析： 答案：C解析：∵圆的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=，∴圆心坐标为(1,1)，半径为1，∵直线340x y b +-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，∴圆心(1,1)到直线340x y b +-=的距离等于圆的半径，715b-==，解得：2b =或12b =．故选C ．4答案及解析： 答案：A 解析：5答案及解析： 答案：C解析：圆 C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=,圆心为(2,1)C ,半径为2r =,因此2110a +⨯-=, 1a =-,即(4,1)A --,6AB ===.选C.6答案及解析： 答案：C解析：分析知直线l 的斜率存在且不为0. 由于直线l 与直线10ax y -+=垂直,且过点()2,2,P 所以直线l 的方程为12(2)y x a-=--,因为直线l 与圆22(1)5x y -+=相切,1|2|+=解得2?a=,故选C.7答案及解析：答案：A解析：两圆关于直线对称,则圆心也关于直线对称,即点(),?a b与点()1,3关于直线1y x=+对称,据此可得: 2a b==,则4a b+=.故选:A.8答案及解析：答案：B解析：由22220x y x y a++-+=,得()()22112x y a++-=-,所以圆心坐标为()1,1-,半径r圆心到直线20x y++==由2222a+=-,解得4a=-.故选B.9答案及解析：答案：D解析：圆的圆心()0,0到直线0bx ay ab+-=的距离小于或等于圆的半径1,1≤,即22221a ba b+≥,则22111a b+≥.10答案及解析：解析：11答案及解析：答案：解析：12答案及解析： 答案 ()()4,0,1,0-解析 当0y =时,得2340x x --=,解得14x =或21x =-.所以交点坐标为()4,0和()1,0-13答案及解析：解析：圆()()22214x y -++=的圆心为()2,1C -,半径为2r =点 C 到直线230x y +-=的距离d ==,所以弦长为5l ===.14答案及解析：答案：0x y +-= 解析：15答案及解析： 答案：17-16答案及解析： 答案：32解析：由题意,可知圆B 的圆心方程为()1,2-,由2222y 20y 240x x x x y ⎧+-=⎪⎨++-=⎪⎩,得直线MN 的方程为0x y -=,所以()1,2B -到直线MN=, 所以线段MN 的长度为=所以△BMN 的面积为1322=.17答案及解析：答案：4y x =-（或40x y +=） 解析：18答案及解析： 答案：2解析：圆22:20A x x y -+=可化为22(1)1x y -+=,圆心(1,0)A ,圆22:40C x y y +-=可化为22(2)4x y+-=,圆心(0,2)C ,所以||AC =.解方程组22222040x x y x y y ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩,得00x y =⎧⎨=⎩,或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,不妨令84(0,0),(,)55B D .解方程组22222040x x y x y y ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩,得00x y =⎧⎨=⎩,或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,不妨设令84(0,0),(,)55B D，所以||BD =又AC BD ⊥,所以四边形ABCD的面积为11||||222AC BD ⋅==.19答案及解析：答案：2解析：解析几何（5）椭圆1、椭圆221169x y +=的焦距为 ( )A ．10B ．5CD ． 2、已知椭圆的一个焦点为()0,1F ，离心率12e =，则该椭圆的标准方程为( ) A ．22134x y += B ．22143x y += C ．2212x y += D ．2212y x += 3、若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )A.221916x y += B.2212516x y += C.2212516x y +=或2211625x y += D.以上都不对 4、已知ABC △的顶点,B C 在椭圆2213x y +=上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则ABC △的周长是( )A.B.6C.D.125、经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为3,直线l 经过椭圆的上顶点A 和顶点B ,并且和圆223613x y +=相切，则椭圆C 的方程为( ) A.2211810x y += B. 22195x y += C. 221188x y += D. 22194x y += 6、椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A.3B.11C. 7、以112422=-y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）A.1121622=+y x B. 1161222=+y x C. 141622=+y x D.116422=+y x 8、已知椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的右焦点为()3,0F ,过点F 的直线交E 于,A B 两点.若AB 的中点坐标为()1,1-,则E 的方程为( )A.1364522=+y x B.1273622=+y x C.1182722=+y x D.191822=+y x9、方程22113x y a a +=-+表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数a 的取值范围是( ) A. (3,1)-- B. ()3,2-- C. ()1,+∞ D. ()3,1-10、已知点P 在以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,离心率为12的椭圆上,过点P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点1F ,与椭圆的另一交点为A .若△2PF A 的面积为212(F 为椭圆的另一焦点),则椭圆的方程为( )A.2211612x y += B.2211216x y += C. 22143x y +=或22134x y += D.2211612x y +=或2211216x y += 11、直线220x y +-=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________. 12、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为1,,2A B 分别为椭圆C 的左，右顶点，F 为椭圆C 的右焦点，过F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,P Q ，当直线l 垂直于x 轴时，四边形APBQ 的面积为6，则椭圆C 的方程为__________．13、若椭圆22131x y k k+=-+的焦点在x 轴上,则实数k 的取值范围是 .14、已知P 是椭圆22148x y +=上一动点,O 为坐标原点,则线段OP 中点 Q 的轨迹方程为__________.15、若方程22113x y m m+=--表示椭圆,则 m 的取值范围是__________. 16、如图,点()0,1P -是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的一个顶点,1C 的长轴是圆222:4C x y +=的直径12:l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于,A B 两点,2l 交椭圆1C 于另一点D1.求椭圆1C 的方程2.求ABD △面积取最大值时直线1l 的方程17、已知直线:1l x my =+过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 抛物线2x =的焦点为椭圆C 上顶点,且l 交椭圆C 于,A B 两点,点,,A F B 在直线:4g x =上的射影依次为,,D K E 1.求椭圆C 的方程;2.若直线l 交y 轴于点M ,且12,MA AF MB BF λλ==,当m 变化时,证明:12λλ+为定值;3.当m 变化时,直线AE 与BD 是否相交于定点?若是,请求出定点的坐标,并给予证明;否则,说明理由.18、已知椭圆的两焦点为()11,0F -、()21,0F ,P 为椭圆上一点,且12122F F PF PF =+.1.求此椭圆的方程;2.若点P 在第二象限, 21120F F P ∠=︒,求12PF F △的面积.19、已知椭圆C :22221(0,0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点M 为短轴的上端点,120MF MF ⋅=,过2F 垂直于x 轴的直线交椭圆C 于,A B 两点,且AB =1.求椭圆C 的方程 2.设经过点()2,1-且不经过M 的直线l 与C 相较于,G H 两点,若12,k k 分别为直线,MH MG 的斜率,求12k k +的值.答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：因为根据题意椭圆的方程221169x y +=,那么可知,4,3a b ==,那么可知2221697c a b =-=-=,,可知焦距为故选D.2答案及解析： 答案：A解析：由题意得,椭圆的焦点在y 轴上,标准方程为22221(0)y x a b a b +=>>,且11,2c c e a ===, 2222,3a b a c ∴==-= ,即椭圆的标准方程为22143y x +=.3答案及解析： 答案：C 解析：4答案及解析： 答案：C解析：由椭圆的定义知椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ,可得ABC △的周长为4a =故选C.5答案及解析： 答案：D解析：由已知可得222259a b e a -==,所以2294a b =,即32a b =.因为椭圆C 的上顶点(0,)A b ,右顶点(,0)B a ,所以直线l 的方程为1x ya b+=,即2330x y b +-=.因为直线l 与圆223613x y +=相切,所以圆心(即原点)到直线l 的距离等于圆的半径,即=解得2b =,所以3a =,所以椭圆C 的方程为22194x y +=.故选D.6答案及解析： 答案：D 解析：7答案及解析： 答案：A 解析：8答案及解析： 答案：D 解析：9答案及解析： 答案：B 解析：10答案及解析： 答案：D 解析：由题意结合椭圆的通径公式有22122122PF A b S c a∆=⨯⨯= ①, 由离心率的定义可知12c e a == ②, 由椭圆中的几何关系可知222a b c =+③,联立①②③可得4{2a b c ===分类讨论椭圆的焦点位于 x 轴和y 轴两种情况,可得椭圆的方程为2211612x y +=或2211216x y +=.故选D.11答案及解析：答案：5解析：12答案及解析：答案：22143x y += 解析：根据题意得到当直线和x 轴垂直时四边形可分割成两个三角形，底边为2a ,高为半通径长2b a此时四边形的面积为：22122632b a b a⨯⨯=⇒= 再由离心率为12，得到222221,44()42ca c ab a a ===-⇒= 此时方程为：22143x y +=.13答案及解析： 答案：()1,1- 解析：14答案及解析：答案：2212y x += 解析：15答案及解析： 答案：()()1,22,3⋃ 解析：16答案及解析： 答案：1.由题意得12b a =⎧⎨=⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=.2.设112200(,),(,),(,)A x y B x y D x y ．由题意知直线1l 的斜率存在，不妨设其为k ，则直线1l 的方程为1y kx =-.又圆2224:C x y +=，故点O 到直线1l 的距离d =，所以AB ==又21l l ⊥，故直线2l 的方程为0x ky k ++=.由22044x ky k x y ++=⎧⎨+=⎩消去y ， 整理得220(4)8k x kx ++=，故0284k x k =-+，所以24PD k =+.设ABD △的面积为S ，则2124S AB PD k =⋅=+，所以321313S=≤=，当且仅当k=时取等号．所以所求直线1l的方程为12y x=±-.解析：17答案及解析：答案：1.∵:1l x my=+过椭圆C的右焦点F,∴右焦点()1,0F,1c=即21c=,又∵2x=的焦点(为椭圆C的上顶点,∴b=即22223,4b a b c==+=,∴椭圆C的方程22143x y+=.2.由题意知0m≠,由22134120x myx y=++-=⎧⎨⎩得()2234690m y my++-=,设()()1122,,,A x yB x y,则12122269,3434my y y ym m+=-=-++,∵121,,0,MA AF MB BF Mmλλ⎛⎫==-⎪⎝⎭,∴()()111112222211,1,,,1,x y x y x y x ym mλλ⎛⎫⎛⎫+=--+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴1212111,1my myλλ=--=--∴212122126348223493y y m mmy y m mλλ⎛⎫++⎛⎫+=--=---⋅-=-⎪⎪+⎝⎭⎝⎭,综上所述,当m变化时,12λλ+的值为定值83-.3.当0m=时,直线l x⊥轴,则ABED为矩形,易知AE 与BD 是相交于点,02N⎪⎝⎭, 猜想AE 与BD 相交于点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭, 证明如下:∵11112533,,,,222AN x y my y NE y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ∵()()121121222333369022223434m my y y y y my y m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-=---=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ∴//AN NE ,即,,A N E 三点共线,同理可得,,B N D 三点共线,则猜想成立, 即当 m 变化时, AE 与BD 相交于定点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭. 解析：18答案及解析：答案：1.依题意得122F F =, 又12122F F PF PF =+, ∴1242PF PF a +==, ∴2a =,1c =,23b =,∴所求椭圆的方程为22143x y +=. 2.设P 点坐标为(),x y , ∵21120F F P ∠=︒,∴1PF 所在直线的方程为()1tan120y x =+⋅︒,即)1y x =+,解方程组)221143y x x y =++=⎧⎪⎨⎪⎩并注意到0x <,0y >可得,5x y ⎪-=⎨=⎪⎪⎪⎩∴121212PF F S F F ==△ 解析：19答案及解析： 答案：1.由120MF MF ⋅=,得b c =,因为过2F 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于,?A B两点且AB =所以22b a =,由2{2b c b a==得222{1a b == 故椭圆 C 的方程为2212x y +=. 2.由椭圆 C 的方程2212x y +=与点()2,1-知设直线l 的方程为()12y k x +=-,即21y kx k =--将21y kx k =--代入2212x y +=得()()22212421880k x k k x k k +-+++= 由题设可知()1620kk ∆=-+>,设()()1122,,H ,G x y x y则()212122242188,1212k k k kx x x x k k ++=+=++ 1211121212112222y y kx k kx k k k x x x x -=----+=+=+ ()()()2224212212222118812k k k k k k k k k k +-⨯+=-=-+=-++ 所以121k k +=-.解析：解析几何（6）双曲线1、已知双曲线221259x y -=上有一点P 到左焦点的距离为12，则点P 到右焦点的距离为（ ） A ．2 B ．22 C ．7或17 D ．2或222、已知双曲线C 的离心率为2，焦点为12,,F F 点A 在C 上．若122F A F A =，则21cos AF F ∠=( )A.14B.13C.4D.33、已知双曲线2213y x -=的左顶点为1A ,右焦点为2F ,P 为双曲线右支上一点,则12PA PF ⋅的最小值为( )A. 2-B. 8116- C. 1D. 04、已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )B.C.3D.55、双曲线224160x y -+=上一点P 到它的一个焦点的距离等于1,则点P 到另一个焦点的距离等于( )A. 3?B. 5C. 7?D. 96、如果双曲线221412x y -=上一点P 到它的右焦点的距离是8?,那么点P 到它的左焦点的距离是( )A.4B.12C.6D.4或127、已知左、右焦点分别为12,F F 的双曲线2216436x y -=上一点P ,满足117PF =,则2PF = ( )A.1或33B.1C.33D.1或118、双曲线221259x y -=的两个焦点分别是12,F F ,双曲线上一点P 到焦点1F 的距离是12,则点P 到焦点2F 的距离是( )A.17B.7C.2或22D.7或179、过双曲线22115y x +=的右支上一点P 分别向圆()221:44C x y ++=和圆()222:41C x y -+=作切线,切点分别为,M N , 则22PM PN -的最小值为( )A.10B.13C.16D.1910、已知双曲线E 的中心为原点, ()3,0F 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A ,B 两点, 且AB 的中点为() 12,15N --,则E 的方程为( ) A. 22136x y -= B. 22145x y -= C. 22163x y -= D. 22154x y -=11、下列四个命题：①当a 为任意实数时，直线(1)210a x y a --++=恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =； ②已知双曲线的右焦点为(5,0)，一条渐近线方程为20x y -=，则双曲线的标准方程是221520x y -=； ③抛物线2(0)y ax a =≠的准线方程为14y a=-； ④已知双曲线2214x y m+=，其离心率(1,2)e ∈，则m 的取值范围是(12,0)-. 其中正确命题的序号是_________.12、已知双曲线2216:120x y C -=的左、右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线上,若19PF =,则2PF =__________13、双曲线221259x y -=上一点P 到一个焦点的距离为12,则点P 到另一个焦点的距离是__________.14、F 是双曲线221169x y -=的左焦点, A 是双曲线上一点, P 是线段AF 的中点, O 为坐标原点,若6,OP =则AF =__________15、已知双曲线221x y -=,点1F ,2F 为其两个焦点,点P 为双曲线上一点.若12PF PF ⊥,则12PF PF +的值为 .16、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2,,过右焦点2F 的直线l 交双曲线于,A B 两点, 1F 为左焦点1.求双曲线的方程;2.若1F AB △的面积等于,求直线l 的方程17、双曲线的方程是2214x y -=.(1)直线l 的倾斜角为4πl 的方程； (2)过点()3,1P 作直线l '，使其被双曲线截得的弦恰被P 点平分，求直线l '的方程．18、已知双曲线的中心在原点,焦点12,F F 在坐标轴上,,且过点(4,P .1.求双曲线的方程;2.若点()3,M m 在双曲线上,求证120MF MF ⋅=;3.若2的条件,求12F MF ∆的面积.19、已知双曲线()222210x y b a a b-=>>, O 为坐标原点,离心率2e =,点M 在双曲线上1.求双曲线的方程2.若直线l 与双曲线交于,?P Q 两点,且0OP OQ ⋅=.求22OP OQ +的最小值答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：2答案及解析：解析：由题意得121222F A F A a F A F A ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得22F A a =,14F A a =,又由已知可得2c a =,所以2c a =,即124F F a =,222222212121212416161cos 22244F A F F F Aa a a AF F F A F F a a +-+-∴∠===⋅⋅⨯⨯,故选A.3答案及解析：答案：A 解析：由已知,得()11,0A -,()22,0F .设()(),1P x y x ≥,则()()121,2,PA PF x y x y ⋅=---⋅--245x x =--,则()f x 在1x ≥时,函数()f x 取最小值,即12PA PF ⋅取最小值,最小值为2-.4答案及解析：答案：A解析：∵抛物线212y x =的焦点为()3,0F ,∴3c =,又2a =,∴b =∴双曲线的渐近线为2y x =±, ∴F到渐近线的距离d ==故选A.5答案及解析：答案：D6答案及解析：答案：D解析：7答案及解析：答案：C解析：8答案及解析：答案：C解析：9答案及解析：答案：B解析：由题意可知,()()22221241PM PN PC PC -=--- ()()2212121233PC PC PC PC PC PC =--=-⋅+- ()1212232313PC PC C C =+-≥-=,故选B 。

《解析几何》一、单选题1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为（ ）A ．72B ．3C ．52D ．23．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ）A ．2B ．3C ．6D ．94．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=5．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 6．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．327．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线8．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)9．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1 D ．y =12x +1210．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．811．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））双曲线C :22221(0,0)x y a b a b -=>>的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（ ） A ．2sin40° B ．2cos40° C ．1sin50︒D ．1cos50︒12．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=13．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．814．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ）A BC ．2D 15．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知F 是双曲线22:145x y C 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（ ）A ．32B ．52C ．72D ．9216．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）A ．4B ．2C ．D ．17．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．12C D 18．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．819．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=（ ）A ．32B ．3C ．D ．420．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> ）A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．2y x =±21．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．12-B ．2C ．12D 122．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．23B ．12C ．13D ．1423．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ）A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣24．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为（ ）A B ．2C D ．25．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ）A BC ．2D26．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则APF 的面积为（ ）A ．13 B ．1 2C ．2 3D ．3 227．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是（ ）A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞28．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．1029．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)30．（2017年全国普通高等学校招生统一考试）过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ）AB ．C ．D ．31．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2BC D 32．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A B ．3C ．3D ．1333．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学新课标Ⅱ卷））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=34．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）A ．(–1,3)B ．(–C ．(0,3)D ．)35．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=|DE |=C 的焦点到准线的距离为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．236．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．237．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A ．43-B ．34-C D ．238．（（2016新课标全国Ⅱ理科）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）A B ．32C D ．239．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．3440．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =（ ）A ．3B ．6C ．9D ．1241．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（ ）A ．(B ．()66- C ．(,33-D ．(33- 42．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A B ．2C D43．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，则（ ）A ．2B ．C ．D ．144．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知抛物线C ：的焦点为F,A(x 0,y 0)是C 上一点，05||4AF x =，则x 0=（ ） A ．1B ．2C ．4D ．845．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，P 是上一点，Q 是直线PF 与C 得一个交点，若4FP FQ =，则|QF|=（ ）A ．B ．C ．D ．46．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ，B 两点，则AB =（ ）A B ．6 C ．12 D ．47．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎣D ．22⎡-⎢⎣⎦48．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷））设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A B C ．6332D ．9449．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．50．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知椭圆22x a ＋22y b＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 （ ）A ．245x ＋236y ＝1B ．236x ＋227y ＝1C ．227x ＋227x ＝1D ．218y ＋218x ＝151．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．45二、填空题52．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.53．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线为y ，则C 的离心率为_________．54．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________． 55．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.56．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）已知点()11M ，-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．57．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________．58．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =____________．59．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））（2017新课标全国III 文科）双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a =______________．60．（2016年全国普通高等学校招生统一考试））设直线2y x a =+与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若AB =C 的面积为________61．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））已知直线l ：60x -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D两点.则CD =_________.62．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国3卷））已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若||AB =，则||CD =__________．63．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．64．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为___________. 65．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷带解析））设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.三、解答题66．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.67．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．68．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |. （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程. 69．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．70．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径．（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由． 71．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．72．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF 为等边三角形，求C 的离心率；（2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.73．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）） 已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG 是直角三角形； （ii ）求PQG 面积的最大值.74．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知曲线C ：y =22x ，D为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.75．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．76．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.77．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．78．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．79．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．80．（2017年全国卷文数高考试题）设A ，B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．81．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1P 4（1有三点在椭圆C 上.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.82．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .83．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.84．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.85．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .（Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.86．（2016新课标全国卷Ⅰ）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.87．（2016新课标全国卷）已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN 的面积（Ⅱ） 当2AM AN =2k <<.88．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．（Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.89．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ； （Ⅱ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.90．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.91．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））在直角坐标系xoy中，曲线C ：y=24x 与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 92．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点在C 上 （1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.93．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．94．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点. (1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积95．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.96．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ．（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求,a b ．97．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））(本小题满分12分)已知圆()22:11M x y ++=，圆()22:19N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB ．98．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2=1，圆N ：(x －1)2＋y 2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C（1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.99．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））设抛物线C ：22x py =（p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ,D 两点.(Ⅰ)若090BFD ∠=,ABD ∆的面积为p 的值及圆F 的方程；(Ⅱ)若A ，B ，F 三点在同一条直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值.100．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为,l AC ，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F交l 于,B D 两点；（1）若90,BFD ABD ∠=︒△的面积为；求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.。

专题12 解析几何（2）解析几何大题：10年10考，每年1题．命题的特点：2011-2015年和2019年的载体都是圆，利用圆作为载体，更利于考查数形结合，圆承担的使命就是“形”，尽量不要对圆像椭圆一样运算，2016-2018年的载体连续3年都是抛物线，2010年的载体是椭圆．1．（2019年）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．2．（2018年）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM＝∠ABN．3．（2017年）设A，B为曲线C：y＝24x上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．4．（2016年）在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（1）求OH ON；（2）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．5．（2015年）已知过点A （0，1）且斜率为k 的直线l 与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于点M 、N 两点．（1）求k 的取值范围； （2）若OM ⋅ON u u u u r u u u r ＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |．6．（2014年）已知点P （2，2），圆C ：x 2+y 2﹣8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；（2）当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．7．（2013年）已知圆M ：（x +1）2+y 2＝1，圆N ：（x ﹣1）2+y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |．8．（2012年）设抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ∈C ，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．（1）若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．9．（2011年）在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+a＝0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．10．（2010年）设F1，F2分别是椭圆E：x2+22yb＝1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求|AB|；（2）若直线l的斜率为1，求b的值．专题12 解析几何（2）详细解析解析几何大题：10年10考，每年1题．命题的特点：2011-2015年和2019年的载体都是圆，利用圆作为载体，更利于考查数形结合，圆承担的使命就是“形”，尽量不要对圆像椭圆一样运算，2016-2018年的载体连续3年都是抛物线，2010年的载体是椭圆．1．（2019年）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．【解析】（1）∵⊙M过点A，B且A在直线x+y＝0上，∴点M在线段AB的中垂线x﹣y＝0上，设⊙M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝R2（R＞0），则圆心M（a，a）到直线x+y＝0的距离d，又|AB|＝4，∴在Rt△OMB中，d2+（12|AB|）2＝R2，即224R+=①又∵⊙M与x＝﹣2相切，∴|a+2|＝R②由①②解得R2a=⎧⎨=⎩或4R6a=⎧⎨=⎩，∴⊙M的半径为2或6；（2）∵线段AB为⊙M的一条弦O是弦AB的中点，∴圆心M在线段AB的中垂线上，设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2，∵⊙M与直线x+2＝0相切，∴|MA|＝|x+2|，∴|x+2|2＝|OM|2+|OA|2＝x2+y2+4，∴y2＝4x，∴M的轨迹是以F（1，0）为焦点x＝﹣1为准线的抛物线，∴|MA|﹣|MP|＝|x+2|﹣|MP|＝|x+1|﹣|MP|+1＝|MF|﹣|MP|+1，∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（1，0），∴存在定点P（1，0）使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值．2．（2018年）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM＝∠ABN．【解析】（1）当l与x轴垂直时，x＝2，代入抛物线解得y＝±2，∴M（2，2）或M（2，﹣2），直线BM的方程：y＝12x+1，或：y＝﹣12x﹣1．（2）证明：设直线l的方程为l：x＝ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线l与抛物线方程得222y xx ty⎧=⎨=+⎩，消x得y2﹣2ty﹣4＝0，即y1+y2＝2t，y1y2＝﹣4，则有k BN+k BM＝112y x++222yx+＝()()()222112121222222y yy y y yx x⎛⎫⨯+⨯++⎪⎝⎭++＝()()()1212122222y yy yx x⎛⎫++⎪⎝⎭++＝0，∴直线BN与BM的倾斜角互补，∴∠ABM＝∠ABN．3．（2017年）设A，B为曲线C：y＝24x上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．【解析】（1）设A（x1，214x），B（x2，224x）为曲线C：y＝24x上两点，则直线AB的斜率为k＝22121244x xx x--＝14（x1+x2）＝14×4＝1；（2）设直线AB的方程为y＝x+t，代入曲线C：y＝24x，可得x2﹣4x﹣4t＝0，即有x1+x2＝4，x1x2＝﹣4t，再由y＝24x的导数为y′＝12x，设M（m，24m），可得M处切线的斜率为12m，由C在M处的切线与直线AB平行，可得12m＝1，解得m＝2，即M（2，1），由AM⊥BM可得，k AM•k BM＝﹣1，即为221212114422x xx x--⋅--＝﹣1，化为x1x2+2（x1+x2）+20＝0，即为﹣4t+8+20＝0，解得t ＝7．则直线AB 的方程为y ＝x +7．4．（2016年）在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t （t ≠0）交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（1）求OHON ；（2）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．【解析】（1）将直线l 与抛物线方程联立，解得P （22t p，t ）， ∵M 关于点P 的对称点为N ， ∴2x x N M +＝22t p ，2y y N M +＝t ， ∴N （2t p，t ）， ∴ON 的方程为y ＝p tx ， 与抛物线方程联立，解得H （22t p，2t ） ∴OHON ＝y y HN ＝2；（2）由（1）知k MH ＝2p t， ∴直线MH 的方程为y ＝2p t x +t ，与抛物线方程联立，消去x 可得y 2﹣4ty +4t 2＝0， ∴△＝16t 2﹣4×4t 2＝0，∴直线MH 与C 除点H 外没有其它公共点．5．（2015年）已知过点A （0，1）且斜率为k 的直线l 与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于点M 、N 两点．（1）求k 的取值范围； （2）若OM ⋅ON u u u u r u u u r ＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |．【解析】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，设过点A （0，1）的直线方程为y ＝kx +1，即kx ﹣y +1＝0．由已知可得圆C 的圆心C 的坐标（2，3），半径R ＝1．1，kA （0，1）的直线与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1相交于M ，N 两点． （2）设M （x 1，y 1）；N （x 2，y 2），由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y ＝kx +1，代入圆C 的方程（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1， 可得 （1+k 2）x 2﹣4（k +1）x +7＝0， ∴x 1+x 2＝()2411k k ++，x 1•x 2＝271k +， ∴y 1•y 2＝（kx 1+1）（kx 2+1）＝k 2x 1x 2+k （x 1+x 2）+1＝271k +•k 2+k •()2411k k +++1＝2212411k k k +++， 由OM ⋅ON u u u u r u u u r ＝x 1•x 2+y 1•y 2＝2212481k k k+++＝12，解得 k ＝1， 故直线l 的方程为 y ＝x +1，即 x ﹣y +1＝0．圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径．所以|MN |＝2．6．（2014年）已知点P （2，2），圆C ：x 2+y 2﹣8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；（2）当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．【解析】（1）由圆C ：x 2+y 2﹣8y ＝0，得x 2+（y ﹣4）2＝16，∴圆C 的圆心坐标为（0，4），半径为4． 设M （x ，y ），则()C ,4x y M =-u u u u r ，()2,2x y MP =--u u u r ．由题意可得：C 0M ⋅MP =u u u u r u u u r ．即x （2﹣x ）+（y ﹣4）（2﹣y ）＝0．整理得：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝2．∴M 的轨迹方程是（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝2．（2）由（1）知M 的轨迹是以点N （1，3由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM ．∵k ON ＝3，∴直线l 的斜率为﹣13． ∴直线PM 的方程为()1223y x -=--，即x +3y ﹣8＝0． 则O 到直线l= 又N 到l5= ∴|PM |＝5=．∴1162555S ∆POM =⨯=． 7．（2013年）已知圆M ：（x +1）2+y 2＝1，圆N ：（x ﹣1）2+y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |．【解析】（1）由圆M ：（x +1）2+y 2＝1，可知圆心M （﹣1，0）；圆N ：（x ﹣1）2+y 2＝9，圆心N （1，0），半径3．设动圆的半径为R ，∵动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，∴|PM |+|PN |＝R +1+（3﹣R ）＝4，而|NM |＝2，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2﹣c 2＝3． ∴曲线C 的方程为22143x y +=（x ≠﹣2）．（2）设曲线C 上任意一点P （x ，y ），由于|PM |﹣|PN |＝2R ﹣2≤3﹣1＝2，所以R ≤2，当且仅当⊙P 的圆心为（2，0），R ＝2时，其半径最大，其方程为（x ﹣2）2+y 2＝4．①l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝②若l 的倾斜角不为90°，由于⊙M 的半径1≠R ，可知l 与x 轴不平行，设l 与x 轴的交点为Q ，则1Q R Q r P =M ，可得Q （﹣4，0），所以可设l ：y ＝k （x +4）， 由l 于M1=，解得4k =±．当4k =时，联立224143y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得到7x 2+8x ﹣8＝0． ∴1287x x +=-，1287x x =-． ∴|AB |21x -187=，由于对称性可知：当k =|AB |＝187． 综上可知：|AB |＝187． 8．（2012年）设抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ∈C ，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．（1）若∠BFD ＝90°，△ABD的面积为，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．【解析】（1）由对称性知：△BFD 是等腰直角△，斜边|BD |＝2p点A 到准线l的距离F F d =A =B =，∵△ABD 的面积S △ABD＝∴11D 222d p ⨯B ⨯=⨯= 解得p ＝2，所以F 坐标为（0，1）， ∴圆F 的方程为x 2+（y ﹣1）2＝8．（2）由题设200,2x x p ⎛⎫A ⎪⎝⎭（00x >），则F 0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵A ，B ，F 三点在同一直线m 上，又AB 为圆F 的直径，故A ，B 关于点F 对称．由点A ，B 关于点F 对称得：200,2x x p p ⎛⎫B -- ⎪⎝⎭2022x p p p ⇒-=-2203x p ⇒=，得：3,2p ⎫A ⎪⎭，直线m：32p p p y x -=+02x ⇒+=， 22x py =22x y p ⇒=3x y p '⇒==x ⇒=⇒切点,36p ⎛⎫P ⎪ ⎪⎝⎭， 直线n：6p y x -=⎝⎭06x p ⇒-=， 坐标原点到m ，n3=． 9．（2011年）在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2﹣6x +1与坐标轴的交点都在圆C 上．（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线x ﹣y +a ＝0交与A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．【解析】（1）法一：曲线y ＝x 2﹣6x +1与y 轴的交点为（0，1），与x 轴的交点为（，0），（3﹣，0）．可知圆心在直线x ＝3上，故可设该圆的圆心C 为（3，t ），则有32+（t ﹣1）2＝（）2+t 2，解得t ＝1，故圆C3=，所以圆C 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝9． 法二：圆x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0， x ＝0，y ＝1有1+E +F ＝0，y ＝0，x 2 ﹣6x +1＝0与x 2+Dx +F ＝0是同一方程，故有D ＝﹣6，F ＝1，E ＝﹣2，即圆方程为x 2+y 2﹣6x ﹣2y +1＝0．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），其坐标满足方程组()()220319x y a x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消去y ，得到方程2x 2+（2a ﹣8）x +a 2﹣2a +1＝0，由已知可得判别式△＝56﹣16a ﹣4a 2＞0． 在此条件下利用根与系数的关系得到x 1+x 2＝4﹣a ，x 1x 2＝2212a a -+①， 由于OA ⊥OB 可得x 1x 2+y 1y 2＝0，又y 1＝x 1+a ，y 2＝x 2+a ，所以可得2x 1x 2+a （x 1+x 2）+a 2＝0② 由①②可得a ＝﹣1，满足△＝56﹣16a ﹣4a 2＞0．故a ＝﹣1． 10．（2010年）设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2+22y b ＝1（0＜b ＜1）的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．（1）求|AB |；（2）若直线l 的斜率为1，求b 的值．【解析】（1）由椭圆定义知|AF 2|+|AB |+|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|+|BF 2|，得43AB =． （2）l 的方程式为y ＝x +c，其中c =设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则A ，B 两点坐标满足方程组2221y x c y x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得（1+b 2）x 2+2cx +1﹣2b 2＝0． 则12221c x x b-+=+，2122121b x x b -=+． 因为直线AB 的斜率为1，所以21x AB =-，即2143x =-． 则()()()()()2242121222222414128849111b b b x x x x b b b --=+-=-=+++．解得2b =．。

解析几何（6）抛物线1、已知抛物线2:2C y x =，过原点作两条互相垂直的直线分别交C 于,A B 两点（,A B 均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点F 到直线AB 距离的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．32D ．4 2、抛物线2?y x =上一点到直线240x y --=的距离最短的点的坐标是()A.()2,4B. 11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()1,13、已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-,抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( ) A.3716 B. 3 C.115D. 24、设抛物线24y x =上一点P 到此抛物线准线的距离为1d ,到直线:34120l x y ++=的距离为2d ,则12d d +的最小值为( ) A. 3?B.165 C. 185D. 45、抛物线2y x =-上的一点到直线4380x y +-=的距离的最小值是( )A.75B.85C.43D.3?6、直线l 与抛物线2:2C y x =交于,A B 两点, O 为坐标原点,若直线,OA OB 的斜率12k k ，满足1223k k =,则直线l 过定点( ) A.(-3,0) B.(0,-3) C.(3,0) D.(0,3)7、已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过点 F 作斜率为1的直线l 交抛物线 C 于,?P Q 两点,则11PF QF+ 的值为( ) A.12 B. 78C. 1D. 28、直线l 与抛物线22016y x =交于,A B 两点, O 为坐标原点,若2015OA OB ⋅=-u u u r u u u r,则直线l 可能过定点( )A.(504,0)B.(1008,0)C.(2015,0)D.(2016,0)9、直线l 与抛物线2:2C y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，若直线,OA OB 的斜率12,k k 满足1223k k =，则直线l 过定点（ ） A. (3,0)B. (0,3)C. (3,0)-D.(0,3)-10、过抛物线2(0)y mx m =>焦点的直线l 与抛物线交于,A B 两点,以AB 为直径的圆的方程为22(4)(2)25x y -+-=,则m =( ) A.2B.4C.2或4D.1011、抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=o．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为（ ）AB ．1 D 12、抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,F A 是C 上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且三角形OAF 的面积为1（O 为坐标原点），则P 的值为（ ） A.1B.2C.3D.413、已知抛物线2:C y x =，过C 的焦点的直线与C 交于A ，B 两点。

2020版新高考数学二轮复习小题专题：解析几何一、选择题1．(2019·福建省质量检查)已知双曲线C 的中心在坐标原点，一个焦点(5，0)到渐近线的距离等于2，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±23xC ．y ＝±32xD ．y ＝±2x2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 29＋y 25＝1 3．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝04．(2019·石家庄市模拟(一))已知圆C 截两坐标轴所得的弦长相等，且圆C 过点(－1，0)和(2，3)，则圆C 的半径为( )A ．8B ．2 2C ．5D. 55．(2019·重庆市七校联合考试)两圆x 2＋y 2＋4x －4y ＝0和x 2＋y 2＋2x －8＝0相交于两点M ，N ，则线段MN 的长为( )A.355B ．4 C.655D.12556．直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－12xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x7．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29＋y 28＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，则EF 1→·EF 2→的最大值、最小值分别为( )A ．9，7B ．8，7C ．9，8D ．17，88．已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.2239．(2019·唐山市摸底考试)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若AF 1⊥AF 2，S △F 1AF 2＝2，则椭圆C 的方程为( )A.x 26＋y 22＝1 B.x 28＋y 24＝1 C.x 28＋y 22＝1 D.x 220＋y 216＝1 10.如图，抛物线E ：x 2＝4y 与M ：x 2＋(y －1)2＝16交于A ，B 两点，点P 为劣弧AB ︵上不同于A ，B 的一个动点，平行于y 轴的直线PN 交抛物线E 于点N ，则△PMN 的周长的取值范围是( )A ．(6，12)B ．(8，10)C ．(6，10)D ．(8，12)11．(多选)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x －2y ＝0，则双曲线C 的方程可能为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝112．(多选)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：y 2－x 2＝1的上、下焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，则( )A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±xB ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1C ．点P 的横坐标为±1D ．△PF 1F 2的面积为 213．(多选)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直于l 且交l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，MN 与x 轴相交于点R ，若∠NRF ＝60°，则( )A ．∠FQP ＝60°B ．|QM |＝1C ．|FP |＝4D ．|FR |＝4二、填空题14．已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p ＞0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，|AB |＝855，则抛物线C 2的方程为____________． 15．(2019·江西七校第一次联考)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________．16．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)，圆O ：x 2＋y 2＝a 2＋4，椭圆C的左、右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于M ，N 两点，若|PF 1|·|PF 2|＝6，则|PM |·|PN |的值为________．17．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．答案及解析1．解析：选D.设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由题意，得c ＝ 5.双曲线C的渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，所以5b b 2＋a 2＝2，又c 2＝a 2＋b 2＝5，所以b ＝2，所以a ＝c 2－b 2＝1，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，故选D.2．解析：选D.由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12，所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝23，所以c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1，故选D.3．解析：选B.因为过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，所以点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，因为圆心与切点连线的斜率k ＝1－03－1＝12，所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0.故选B.4．解析：选D.通解： 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，因为圆C 经过点(－1，0)和(2，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋1）2＋b 2＝r2（a －2）2＋（b －3）2＝r 2，所以a ＋b －2＝0 ①，又圆C 截两坐标轴所得的弦长相等，所以|a |＝|b | ②，由①②得a ＝b ＝1，所以圆C 的半径为5，故选D.优解： 因为圆C 经过点M (－1，0)和N (2，3)，所以圆心C 在线段MN 的垂直平分线y ＝－x ＋2上，又圆C 截两坐标轴所得的弦长相等，所以圆心C 到两坐标的距离相等，所以圆心C 在直线y ＝±x 上，因为直线y ＝－x 和直线y ＝－x ＋2平行，所以圆心C 为直线y ＝x 和直线y ＝－x ＋2的交点(1，1)，所以圆C 的半径为5，故选D.5．解析：选D.两圆方程相减，得直线MN 的方程为x －2y ＋4＝0，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的标准形式为(x ＋1)2＋y 2＝9，所以圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的圆心为(－1，0)．半径为3，圆心(－1，0)到直线MN 的距离d ＝35，所以线段MN 的长为232－⎝⎛⎭⎫352＝1255.故选D.6．解析：选B.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，所以－x 1＋x 22＝2，所以x 1＋x 2＝－4，所以p ＝4，所以所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B.7．解析：选B.由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，设E (x ，y )(－3≤x ≤3)，则EF 1→＝(－1－x ，－y )，EF 2→＝(1－x ，－y )，所以EF 1→·EF 2→＝x 2－1＋y 2＝x 2－1＋8－89x 2＝x 29＋7，所以当x ＝0时，EF 1→·EF 2→有最小值7，当x ＝±3时，EF 1→·EF 2→有最大值8，故选B.8．解析：选D.设抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ，易知l ：x ＝－2，直线y ＝k (x ＋2)恒过定点P (－2，0)，如图，过A ，B 分别作AM ⊥l 于点M ，BN ⊥l 于点N ，由|F A |＝2|FB |，知|AM |＝2|BN |，所以点B 为线段AP 的中点，连接OB ，则|OB |＝12|AF |，所以|OB |＝|BF |，所以点B 的横坐标为1，因为k ＞0，所以点B 的坐标为(1，22)，所以k ＝22－01－（－2）＝223.故选D.9．解析：选A.因为点A 在椭圆上，所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，对其平方，得|AF 1|2＋|AF 2|2＋2|AF 1||AF 2|＝4a 2，又AF 1⊥AF 2，所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝4c 2，则2|AF 1||AF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，即|AF 1|·|AF 2|＝2b 2，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1||AF 2|＝b 2＝2.又△AF 1F 2是直角三角形，∠F 1AF 2＝90°，且O 为F 1F 2的中点，所以|OA |＝12|F 1F 2|＝c ，由已知不妨设A 点在第一象限，则∠AOF 2＝30°，所以A (32c ，12c )，则S △AF 1F 2＝12|F 1F 2|·12c ＝12c 2＝2，c 2＝4，故a 2＝b 2＋c 2＝6，所以椭圆方程为x 26＋y 22＝1，故选A.10．解析：选B.由题意可得，抛物线E 的焦点为(0，1)，圆M 的圆心为(0，1)，半径为4，所以圆心M (0，1)为抛物线的焦点，故|NM |等于点N 到准线y ＝－1的距离，又PN ∥y 轴，故|PN |＋|NM |等于点P 到准线y ＝－1的距离，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y x 2＋（y －1）2＝16，得y ＝3，又点P 为劣弧AB ︵上不同于A ，B 的一个动点，所以点P 到准线y ＝－1的距离的取值范围是(4，6)，又|PM |＝4，所以△PMN 的周长的取值范围是(8，10)，选B.11．解析：选AD.在椭圆x 29＋y 24＝1中，c ＝9－4＝ 5.因为双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x －2y ＝0，所以可设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为x 24λ－y 2λ＝1.当λ＞0时，c ＝λ＋4λ＝5，解得λ＝1，所以双曲线C 的方程为x 24－y2＝1；当λ＜0时，c ＝－λ－4λ＝5，解得λ＝－1，所以双曲线C 的方程为y 2－x 24＝1.综上，双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1，故选AD.12．解析：选ACD.等轴双曲线C ：y 2－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，故A 正确．由双曲线的方程可知|F 1F 2|＝22，所以以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2，故B 错误．点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝2上，不妨设点P (x 0，y 0)在直线y ＝x 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝2，y 0＝x 0，解得|x 0|＝1，则点P 的横坐标为±1，故C 正确．由上述分析可得△PF 1F 2的面积为12×22×1＝2，故D 正确．故选ACD.13.解析：选AC.如图，连接FQ ，FM ，因为M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，所以MN ∥FQ .又PQ ∥x 轴，∠NRF ＝60°，所以∠FQP ＝60°.由抛物线定义知，|PQ |＝|PF |，所以△FQP 为等边三角形，则FM ⊥PQ ，|QM |＝2，等边三角形FQP 的边长为4，|FP |＝|PQ |＝4，|FN |＝12|PF |＝2，则△FRN 为等边三角形，所以|FR |＝2.故选AC.14．解析：由题意，知圆C 1与抛物线C 2的一个交点为原点，不妨记为B ，设A (m ，n )．因为|AB |＝855，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝855，m 2＋（n －2）2＝4，解得⎩⎨⎧m ＝85，n ＝165，即A ⎝⎛⎭⎫85，165.将点A 的坐标代入抛物线方程得⎝⎛⎭⎫1652＝2p ×85，所以p ＝165，所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x . 答案：y 2＝325x15．解析：化双曲线的方程为x 22－y 22＝1，则a ＝b ＝2，c ＝2，因为|PF 1|＝2|PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，解得|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，根据余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝（22）2＋（42）2－162×22×42＝34.答案：3416．解析：由已知|PM |·|PN |＝(R －|OP |)(R ＋|OP |)＝R 2－|OP |2＝a 2＋4－|OP |2，|OP |2＝|OP →|2＝14(PF 1→＋PF 2→)2＝14(|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2|PF 1→||PF 2→|cos ∠F 1PF 2)＝12(|PF 1→|2＋|PF 2→|2)－14(|PF 1→|2＋|PF 2→|2－2|PF 1→||PF 2→|cos ∠F 1PF 2)＝12[(2a )2－2|PF 1||PF 2|]－14×(2c )2＝a 2－2，所以|PM |·|PN |＝(a 2＋4)－(a 2－2)＝6.答案：617．解析：如图，六边形ABF 1CDF 2为正六边形，直线OA ，OB 是双曲线的渐近线，则△AOF 2是正三角形．所以直线OA 的倾斜角为π3，所以其斜率k ＝|n ||m |＝3，所以双曲线N 的离心率e 1＝1＋n 2m2＝1＋3＝2.连接F 1A .因为正六边形的边长为c ，所以|F 1A |＝3c .由椭圆定义得|F 1A |＋|F 2A |＝2a ，即c ＋3c ＝2a ，所以椭圆M 的离心率e 2＝c a ＝21＋3＝3－1.答案：3－1 2。

2020届高考数学压轴必刷题专题09平面解析几何(文理合卷)1．【2019年全国新课标2理科11】设F为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：如图，由题意，把x代入x2+y2＝a2，得PQ，再由|PQ|＝|OF|，得，即2a2＝c2，∴，解得e．故选：A．2．【2018年新课标1理科11】已知双曲线C：y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（）A．B．3 C．2D．4【解答】解：双曲线C：y2＝1的渐近线方程为：y，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F （2，0）的直线为：y，则：解得M（，），解得：N（），则|MN|3．故选：B．3．【2018年新课标2理科12】已知F1，F2是椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y（x+a），由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，则P（2c，c），代入直线AP：c（2c+a），整理得：a＝4c，∴题意的离心率e．故选：D．4．【2018年新课标3理科11】设F1，F2是双曲线C：1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1||OP|，则C的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：双曲线C：1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y x，∴点F2到渐近线的距离d b，即|PF2|＝b，∴|OP|a，cos∠PF2O，∵|PF1||OP|，∴|PF1|a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O，∴6a2＝b2+4c2﹣2×b×2c4c2﹣3b2＝4c2﹣3（c2﹣a2），即3a2＝c2，即a＝c，∴e，故选：C．5．【2018年天津理科07】已知双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2＝6，则双曲线的方程为（）A． 1 B． 1C． 1 D． 1【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y，即bx﹣ay＝0，F（c，0），AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，F是AB的中点，EF3，EF b，所以b＝3，双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，可得：，解得a．则双曲线的方程为：1．故选：C．6．【2017年新课标1理科10】已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y＝x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4＝0，∴y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，∴|DE|•|y1﹣y2|8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|＝16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为θ，根据焦点弦长公式可得|AB||DE|∴|AB|+|DE|，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ＝45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．7．【2017年新课标3理科10】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，∴原点到直线的距离a，化为：a2＝3b2．∴椭圆C的离心率e．故选：A．8．【2017年上海16】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1和C2：x21．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值．记Ω＝{（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且w}，则Ω中元素个数为（）A．2个B．4个C．8个D．无穷个【解答】解：椭圆C1：1和C2：x21．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α，β＜2π，则6cosαcosβ+6sinαsinβ＝6cos（α﹣β），当α﹣β＝2kπ，k∈Z时，w取得最大值6，则Ω＝{（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且w}中的元素有无穷多对．另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2＝36，9u2+v2＝9，由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）＝324≥（3mu+3nv）2，当且仅当mv＝9nu，取得最大值6，显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．故选：D．9．【2016年新课标2理科11】已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1，则E的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点，则丨MF1丨，丨MF2丨，∴sin∠MF2F1，∴，可得：2b4＝a2c2，即b2＝ac，又c2＝a2+b2，可得e2﹣e0，e＞1，解得e．故选：A．10．【2016年浙江理科07】已知椭圆与双曲线C2：y2＝1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1【解答】解：由题意可得m2﹣1＝n2+1，即m2＝n2+2，又m＞1，n＞0，则m＞n，由e12•e22••＝11，则e1•e2＞1．故选：A．11．【2016年新课标3理科11】已知O为坐标原点，F是椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y＝k（x+a），令x＝﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x＝0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH＝k BM，即为，化简可得，即为a＝3c，可得e．另解：由△AMF∽△AEO，可得，由△BOH∽△BFM，可得，即有即a＝3c，可得e．故选：A．12．【2015年新课标2理科11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设M在双曲线1的左支上，且MA＝AB＝2a，∠MAB＝120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，1，可得a＝b，c a，即有e．故选：D．13．【2015年浙江理科05】如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x＝﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于D，交y轴于M，由抛物线的定义知BF＝BD，AF＝AE，则|BM|＝|BD|﹣1＝|BF|﹣1，|AN|＝|AE|﹣1＝|AF|﹣1，则，故选：A．14．【2014年新课标1理科10】已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF 与C的一个交点，若4，则|QF|＝（）A．B．3 C．D．2【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|＝d，∵4，∴|PQ|＝3d，∴不妨设直线PF的斜率为2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y＝﹣2（x﹣2），与y2＝8x联立可得x＝1，∴|QF|＝d＝1+2＝3，故选：B．15．【2014年新课标2理科10】设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由y2＝2px，得2p＝3，p，则F（，0）．∴过A，B的直线方程为y（x），即x y．联立，得4y2﹣12y﹣9＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝3，y1y2．∴S△OAB＝S△OAF+S△OFB|y1﹣y2|．故选：D．16．【2014年上海理科17】已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y＝kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y＝kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y＝kx+1的斜率存在，∴k，即a1≠a2，并且b1＝ka1+1，b2＝ka2+1，∴a2b1﹣a1b2＝ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1＝a2﹣a1，①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x＝b2﹣b1，即（a1﹣a2）x＝b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：B．17．【2013年浙江理科09】如图F1、F2是椭圆C1：y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第A．B．C．D．【解答】解：设|AF1|＝x，|AF2|＝y，∵点A为椭圆C1：y2＝1上的点，∴2a＝4，b＝1，c；∴|AF1|+|AF2|＝2a＝4，即x+y＝4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴，即x2+y2＝（2c）212，②由①②得：，解得x＝2，y＝2，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m＝|AF2|﹣|AF1|＝y﹣x＝2，2n＝2c＝2，∴双曲线C2的离心率e．故选：D．18．【2012年浙江理科08】如图，F1，F2分别是双曲线C：（a，b＞0）的在左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：线段PQ的垂直平分线MN，|OB|＝b，|OF1|＝c．∴k PQ，k MN．直线PQ为：y（x+c），两条渐近线为：y x．由，得Q（）；由得P．∴直线MN为，令y＝0得：x M．又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝x M，∴3a2＝2c2解之得：，即e．故选：B．19．【2012年天津理科08】设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1，1] B．（﹣∞，1]∪[1，+∞）C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，得到圆心坐标为（1，1），半径r＝1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d1，整理得：m+n+1＝mn，设m+n＝x，则有x+1，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4＝0的解为：x1＝2+2，x2＝2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选：D．20．【2010年新课标1理科12】已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k＝k PN＝1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2＝﹣24，y1+y2＝﹣30得，从而k 1即4b2＝5a2，又a2+b2＝9，解得a2＝4，b2＝5，故选：B．21．【2010年浙江理科08】设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0 C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0【解答】解：依题意|PF2|＝|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|＝24b根据双曲定义可知4b﹣2c＝2a，整理得c＝2b﹣a，代入c2＝a2+b2整理得3b2﹣4ab＝0，求得∴双曲线渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0故选：C．22．【2019年新课标1理科16】已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，•0，则C的离心率为．【解答】解：如图，∵，且•0，∴OA⊥F1B，则F1B：y，联立，解得B（，），则，，∴4c2，整理得：b2＝3a2，∴c2﹣a2＝3a2，即4a2＝c2，∴，e．故答案为：2．23．【2019年浙江15】已知椭圆1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是．【解答】解：椭圆1的a＝3，b，c＝2，e，设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆，连接AO，可得|PF'|＝2|AO|＝4，设P的坐标为（m，n），可得3m＝4，可得m，n，由F（﹣2，0），可得直线PF的斜率为．故答案为：．24．【2018年新课标3理科16】已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝．【解答】解：∵抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），∴过A，B两点的直线方程为y＝k（x﹣1），联立可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2，x1x2＝1，∴y1+y2＝k（x1+x2﹣2），y1y2＝k2（x1﹣1）（x2﹣1）＝k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]＝﹣4，∵M（﹣1，1），∴（x1+1，y1﹣1），（x2+1，y2﹣1），∵∠AMB＝90°，∴•0∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（y2﹣1）＝0，整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2＝0，∴1+242＝0，即k2﹣4k+4＝0，∴k＝2．故答案为：225．【2018年浙江17】已知点P（0，1），椭圆y2＝m（m＞1）上两点A，B满足2，则当m＝时，点B横坐标的绝对值最大．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由P（0，1），2，可得﹣x1＝2x2，1﹣y1＝2（y2﹣1），即有x1＝﹣2x2，y1+2y2＝3，又x12+4y12＝4m，即为x22+y12＝m，①x22+4y22＝4m，②①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）＝﹣3m，可得y1﹣2y2＝﹣m，解得y1，y2，则m＝x22+（）2，即有x22＝m﹣（）2，即有m＝5时，x22有最大值4，即点B横坐标的绝对值最大．故答案为：5．26．【2018年上海12】已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12＝1，x22+y22＝1，x1x2+y1y2，则的最大值为．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1，y1），（x2，y2），由x12+y12＝1，x22+y22＝1，x1x2+y1y2，可得A，B两点在圆x2+y2＝1上，且•1×1×cos∠AOB，即有∠AOB＝60°，即三角形OAB为等边三角形，AB＝1，的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1＝0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y＝1平行，可设AB：x+y+t＝0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d，可得21，解得t，即有两平行线的距离为，即的最大值为，故答案为：．27．【2018年北京理科14】已知椭圆M：1（a＞b＞0），双曲线N：1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．【解答】解：椭圆M：1（a＞b＞0），双曲线N：1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：，可得，可得e4﹣8e2+4＝0，e∈（0，1），解得e．同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，可得：，即，可得双曲线的离心率为e2．故答案为：；2．28．【2017年江苏13】在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2＝50上．若20，则点P的横坐标的取值范围是．【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02＝50，（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）＝（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）＝12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x﹣y+5＝0以及直线上方的区域，联立，解可得x0＝﹣5或x0＝1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．29．【2017年新课标2理科16】已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|＝．【解答】解：抛物线C：y2＝8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，|FN|＝2|FM|＝26．故答案为：6．30．【2017年北京理科14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1，2，3．（1）记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是．（2）记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是．【解答】解：（1）若Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，Q1＝A1的纵坐标+B1的纵坐标；Q2＝A2的纵坐标+B2的纵坐标，Q3＝A3的纵坐标+B3的纵坐标，由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1，（2）若p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i为A i B i中点与原点连线的斜率，故p1，p2，p3中最大的是p2故答案为：Q1，p231．【2016年江苏10】如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1（a＞b＞0）的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是．【解答】解法一：设右焦点F（c，0），将y代入椭圆方程可得x＝±a±a，可得B（a，），C（a，），由∠BFC＝90°，可得k BF•k CF＝﹣1，即有•1，化简为b2＝3a2﹣4c2，由b2＝a2﹣c2，即有3c2＝2a2，由e，可得e2，可得e，解法二：设右焦点F（c，0），将y代入椭圆方程可得x＝±a±a，可得B（a，），C（a，），（a﹣c，），（a﹣c，），•0，则c2a2十b2＝0，因为b2＝a2﹣c2，代入得3c2＝2a2，由e，可得e2，可得e．解法可得FH＝HC a，在直角三角形OHF中，OF2+OH2＝FH2，即有c2a2十b2＝0，因为b2＝a2﹣c2，代入得3c2＝2a2，由e，可得e2，可得e．故答案为：．32．【2016年新课标3理科16】已知直线l：mx+y+3m0与圆x2+y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝．【解答】解：由题意，|AB|＝2，∴圆心到直线的距离d＝3，∴3，∴m∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|4．故答案为：4．33．【2015年江苏12】在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，因为点P到直线x﹣y+1＝0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1＝0与直线x﹣y＝0的距离，即．故答案为：．34．【2014年新课标2理科16】设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN＝45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN＝1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．35．【2014年浙江理科16】设直线x﹣3y+m＝0（m≠0）与双曲线1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|P A|＝|PB|，则该双曲线的离心率是．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y＝±x，则与直线x﹣3y+m＝0联立，可得A（，），B（，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|P A|＝|PB|，∴3，∴a＝2b，∴b，∴e．故答案为：．36．【2014年上海理科14】已知曲线C：x，直线l：x＝6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得，则m的取值范围为．【解答】解：曲线C：x，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且x P∈[﹣2，0]，对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x＝6，∴m∈[2，3]．故答案为：[2，3]．37．【2013年江苏12】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2，则椭圆C的离心率为．【解答】解：如图，准线l：x，d2，由面积法得：d1，若d2，则，整理得a2﹣ab0，两边同除以a2，得（）0，解得．∴e．故答案为：．38．【2013年浙江理科15】设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于．【解答】解：由题意设直线l的方程为my＝x+1，联立得到y2﹣4my+4＝0，△＝16m2﹣16＝16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．∴y1+y2＝4m，∴2m，∴x0＝my0﹣1＝2m2﹣1．∴Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2＝4x得焦点F（1，0）．∵|QF|＝2，∴，化为m2＝1，解得m＝±1，不满足△＞0．故满足条件的直线l不存在．故答案为不存在．39．【2012年江苏12】在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，整理得：（x﹣4）2+y2＝1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2＝4与直线y＝kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y＝kx﹣2的距离为d，则d2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k．∴k的最大值是．故答案为：．40．【2012年浙江理科16】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y＝x2+a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a ＝．【解答】解：圆x2+（y+4）2＝2的圆心为（0，﹣4），半径为，圆心到直线y＝x的距离为2，∴曲线C2：x2+（y+4）2＝2到直线l：y＝x的距离为2．则曲线C1：y＝x2+a到直线l：y＝x的距离等于，令y′＝2x＝1解得x，故切点为（，a），切线方程为y﹣（a）＝x即x﹣y a＝0，由题意可知x﹣y a＝0与直线y＝x的距离为，即解得a或．当a时直线y＝x与曲线C1：y＝x2+a相交，故不符合题意，舍去．故答案为：．41．【2011年浙江理科17】设F1，F2分别为椭圆y2＝1的焦点，点A，B在椭圆上，若5；则点A的坐标是．【解答】解：方法1：直线F1A的反向延长线与椭圆交于点B'又∵由椭圆的对称性，得设A（x1，y1），B'（x2，y2）由于椭圆的a，b＝1，c∴e，F1（，0）．∵|F1A||x1|，|F1B'||x2|，从而有：|x1|＝5|x2|，由于x1，x2，∴x1＞0，x2＞0，即55．①又∵三点A，F1，B′共线，∴（，y1﹣0）＝5（x2，0﹣y2）∴．②由①+②得：x1＝0．代入椭圆的方程得：y1＝±1，∴点A的坐标为（0，1）或（0，﹣1）方法2：因为F1，F2分别为椭圆的焦点，则，设A，B的坐标分别为A（x A，y A），B（x B，y B），若；则，所以，因为A，B在椭圆上，所以，代入解得或，故A（0，±1）．方法k＝tanθ，由，即可得到A（0，±1）．故答案为：（0，±1）．42．【2011年北京理科14】曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2．其中，所有正确结论的序号是．【解答】解：对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得：⇔[（x+1）2+y2]•[（x﹣1）2+y2]＝a4（1）将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；对于②，把方程中的x被﹣x代换，y被﹣y代换，方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确；对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F1PF2的面积a2sin∠F1PF2，a2，所以③正确．故答案为：②③．43．【2010年上海理科13】如图所示，直线x＝2与双曲线Γ：1的渐近线交于E1，E2两点，记，，任取双曲线上的点P，若（a，b∈R），则a、b满足的一个等式是．【解答】解：依题意可知：E1（2，1），E2（2，﹣1）∴（2a+2b，a﹣b），∵点P在双曲线上∴（a﹣b）2＝1，化简得4ab＝1故答案为4ab＝144．【2010年北京理科14】如图放置的边长为1的正方形P ABC沿x轴滚动．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则f（x）的最小正周期为；y＝f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为．【解答】解：从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4．下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：故其与x轴所围成的图形面积为．故答案为：4，π+11．【2019年新课标2文科12】设F为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：如图，由题意，把x代入x2+y2＝a2，得PQ，再由|PQ|＝|OF|，得，即2a2＝c2，∴，解得e．故选：A．2．【2019年新课标1文科12】已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．y2＝1 B． 1C． 1 D． 1【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|，∴|AF2|＝a，|BF1|a，在Rt△AF2O中，cos∠AF2O，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得0，解得a2＝3，∴a．b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．所以椭圆C的方程为：1．故选：B．3．【2018年新课标2文科11】已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（）A．1B．2C．D． 1【解答】解：F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，可得椭圆的焦点坐标F2（c，0），所以P（c，c）．可得：，可得，可得e4﹣8e2+4＝0，e∈（0，1），解得e．故选：D．4．【2018年天津文科07】已知双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2＝6，则双曲线的方程为（）A． 1 B． 1C． 1 D． 1【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y，即bx﹣ay＝0，F（c，0），AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，F是AB的中点，EF3，EF b，所以b＝3，双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，可得：，解得a．则双曲线的方程为：1．故选：A．5．【2017年新课标2文科12】过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2C．2D．3【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），且斜率为的直线：y（x﹣1），过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l可知：，解得M（3，2）．可得N（﹣1，2），NF的方程为：y（x﹣1），即，则M到直线NF的距离为：2．故选：C．6．【2017年新课标1文科12】设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．（0，]∪[4，+∞）【解答】解：假设椭圆的焦点在x轴上，则0＜m＜3时，设椭圆的方程为：（a＞b＞0），设A（﹣a，0），B（a，0），M（x，y），y＞0，则a2﹣x2，∠MAB＝α，∠MBA＝β，∠AMB＝γ，tanα，tanβ，则tanγ＝tan[π﹣（α+β）]＝﹣tan（α+β），∴tanγ，当y最大时，即y＝b时，∠AMB取最大值，∴M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO tan60°，解得：0＜m≤1；当椭圆的焦点在y轴上时，m＞3，当M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO tan60°，解得：m≥9，∴m的取值范围是（0，1]∪[9，+∞）故选A．故选：A．7．【2017年新课标3文科11】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，∴原点到直线的距离a，化为：a2＝3b2．∴椭圆C的离心率e．故选：A．8．【2016年新课标3文科12】已知O为坐标原点，F是椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y＝k（x+a），令x＝﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x＝0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH＝k BM，即为，化简可得，即为a＝3c，可得e．另解：由△AMF∽△AEO，可得，由△BOH∽△BFM，可得，即有即a＝3c，可得e．故选：A．9．【2014年新课标2文科12】设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[，] C．[，] D．[，]【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN＝45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN＝1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN＝1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．10．【2014年北京文科07】已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB＝90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO AB＝m，故有m≤6，11．【2014年天津文科06】已知双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y＝2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A． 1 B． 1C． 1 D． 1【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y＝0，可得x＝﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c＝5，∵双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y＝2x+10，∴2，∵c2＝a2+b2，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的方程为1．故选：A．12．【2011年新课标1文科09】已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．48【解答】解：设抛物线的解析式为y2＝2px（p＞0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，∴|AB|＝2p＝12∴p＝6又∵点P在准线上∴DP＝（||）＝p＝6∴S△ABP（DP•AB）6×12＝36故选：C．13．【2011年北京文科08】已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2＝0点C到直线AB的距离为：d，有三角形ABC的面积为2可得：|a+a2﹣2|＝2得：a2+a＝0或a2+a﹣4＝0，显然方程共有四个根，可知函数y＝x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故选：A．14．【2015年新课标1文科16】已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为．【解答】解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长＝|AF|+|AP|+|PF|＝|AF|+|AP|+|PF′|+2≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），直线AF′的方程为与x21联立可得y2+6y﹣96＝0，∴P的纵坐标为2，∴△APF周长最小时，该三角形的面积为12．故答案为：12．。