广东省罗定市廷锴纪念中学2014-2015学年高二数学(理)尖子生辅导资料11

廷锴纪念中学2017-2018学年高二第二学期数学尖子生辅导资料（7）一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1．已知数列{a n }、{b n }满足a n ＝22n +35，b n ＝1nlog 2(a 1a 2a 3…a n )，n ∈N*，则数列{b n }的通项公式是 ．2．已知两点M (0，2)、N (－3，6)到直线l 的距离分别为1和4，则满足条件的直线l 的条数是 ．3．设函数f (x )＝ax 2＋x ．已知f (3)＜f (4)，且当n ≥8，n ∈N*时，f (n )＞f (n ＋1)恒成立，则实数a 的取值范围是 ．4．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是边长为3的正方体， 点P 、Q 、R 分别是棱AB 、AD 、AA 1上的 点，AP ＝AQ ＝AR ＝1，则四面体C 1PQR 的 体积为 ．5．数列{}n a 满足1112,1nn na a a a ++==-，n ∈N*．记T n ＝a 1a 2…a n ，则T 2010等于 ．(第4题)CA BDD 1C 1B 1A 1P QR6. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有__________种。

（用组合数符号表示）7．骰子是一个立方体，6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点. 现有质地均匀的 骰子10只. 一次掷4只、3只骰子，分别得出各只骰子正面朝上的点数之和为6的 概率的比为 ．8．向量(1,sin )a θ=，(cos b θ=，R θ∈，则a b -的取值范围为 。

二、解答题（第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9. 设2≤a ，求x x y )2(-=在]2 ,[a 上的最大值和最小值。

10. 给定两个数列{}n x ，{}n y 满足100==y x ，)1( 211≥+=--n x x x n n n ，)1( 21121≥+=--n y y y n n n 。

锴纪念中学2014-2015学年度高二第二学期理科数学练习8班别： 姓名： 座号： 成绩：1．已知i 是虚数单位，则 i 6 .(－1＋i)1＋i ＝( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i2. 曲线x x y -=1上一点)47,4(-P 处的切线方程是( ) A ．08165=++y x B. 08165=+-y x C. 08165=-+y x D.08165=--y x3. 已知f (x )=2x 3-6x 2+a (a 是常数）在［-2，2］上有最大值11，那么在［-2，2］上f (x )的最小值是（ ）A.-5B.-11C.-29D.-374. 曲线2y x =与直线2y x =所围成图形的面积为（ ） A ．163 B ．83 C ．43 D ．235．若x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n ·(x 2n ＋3)3x 2n ＋1(n ＝1,2，…)，试证：“数列{x n }对任意的正整数n ，都满足x n >x n ＋1，”当此题用反证法否定结论时应为( )A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n －1，且x n ≥x n ＋1D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥06.设)(21312111)(+∈+++++++=N n n n n n n f ，则=-+)()1(n f n f （ ） A 、121+n B 、221121+-+n n C 、221121+++n n D 、221+n7．若函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，则( ) A ．f (0)<f (6) B ．f (0)＝f (6) C ．f (0)>f (6)D ．无法确定8．定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β， γ的大小关系是( )A ．γβα<<B ．βγα<<C ．βαγ<<D ．γαβ<<9．已知0<a <2，复数iz 43+=，则复数z 的虚部为 .10. 8次投篮中，投中3次，其中恰有2次连续命中的情形有________种．11．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．12．已知数列}a {n 是正项等差数列，若n321na a 3a 2a b n321n ++++++++= ，则数列}b {n 也为等差数列.类比上述结论，已知数列}c {n 是正项等比数列，若n d = ，则数列{n d }也为等 比数列.13．从5名男生和4名女生中选出3名代表，代表中必须有女生，则不同的选法有 种14．设()f x =(()),((())),f f x f f f x 来猜想((...()))n f f f x次的解析式：((...()))n f f f x =次___________．15．设实部为正数的复数z ，满足10||=z ，且复数z i )21(+在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上． 1）求复数z ； 2）若()1m i z m R i-+∈+为纯虚数， 求实数m 的值．16.已知，在与时，都取得极值。

廷锴纪念中学高二第二学期理科数学测试题（3）班别： 姓名： 座号： 成绩：1．y =）A ．23x B ．213x C ．12- D 2．函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数是( )A.12(e x －e －x )B.12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －x D ．e x ＋e －x 3．曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为( )A.π22 B ．π2 C ．2π2 D.12(2＋π)2 4、已知函数)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如右图，则（ ） A ．函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点 B ．函数)(x f 有2个极大值点，2个极小值点 C ．函数)(x f 有3个极大值点，1个极小值点 D ．函数)(x f 有1个极大值点，3个极小值点5．已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能是( )．)('x f y =6．函数f (x )＝2x 2－ln2x 的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，24C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，127、函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( )A ．2B ．3C ．4D ．58．若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0，1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )． A ． D ．(0，1)9.观察下列不等式222222131,221151,23311171,2344+<++<+++<……照此规律，第五个不等式为__________ 10．函数y ＝(x ＋1)(x 2－1)的单调减区间为_________________．11.若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0, 2)内单调递减，则实数a 的取值范围是_______________ 12、若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________．13．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调区间为，则b ＝________，c ＝________.14．函数21ln 2y ax x x =+-区间[1,3]上单调递增，求实数a 的取值范围______________.15.已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0 1)求f (x )的单调区间；2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．16.已知函数f(x)＝x3－ax－1. 1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．15.已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．解析：(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，由f′(x)>0解得x<－a，或x>a，由f′(x)<0解得－a<x<a，∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0.∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1，由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性可知m的取值范围是(－3,1)．16.已知函数f(x)＝x3－ax－1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．解析：(1)由已知f′(x)＝3x2－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．即a≤3x2对x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只要a≤0.又∵a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0.(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立．∴a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．又∵－1<x<1，∴3x2<3，只需a≥3.当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)在x∈(－1,1)上，f′(x)<0，即f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．7．求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x2－ln x.解析： (1)f ′(x )＝1－3x 2， 令1－3x 2>0，解得－33<x <33. 因此，函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33. 令1－3x 2<0，解得x <－33或x >33. 因此，函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x －1x＝2x －2x ＋x.因为x >0，所以2x ＋1>0，由f ′(x )>0，解得x >22， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞； 由f ′(x )<0，解得x <22，又x ∈(0，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22.8．(2014·济宁高二期末)求函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1的单调区间．解析： f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.当a ≥0时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)单调递增． 当a ≤－1时，f ′(x )<0， 故f (x )在(0，＋∞)单调递减． 当－1<a <0时，令f ′(x )＝0， 解得x ＝－a ＋12a则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x )>0； x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增， 在⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减． 8．(2014·济宁高二期末)求函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1的单调区间．解析： f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.当a ≥0时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)单调递增． 当a ≤－1时，f ′(x )<0， 故f (x )在(0，＋∞)单调递减． 当－1<a <0时，令f ′(x )＝0， 解得x ＝－a ＋12a则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增， 在⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．22．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝x ln(1＋x )－a (x ＋1)，其中a 为实常数． (1)当x ∈ 根据题意得，平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x相切的切点为P ，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图，即求在曲线y ＝e x上斜率为1的切线，由导数的几何意义可求解．令P (x 0，y 0)，∵y ′＝(e x)′＝e x， ∴由题意得ex0＝1，得x 0＝0， 代入y ＝e x，y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得最短距离为22.2．函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数是( )A.12(e x －e －x )B.12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －x D ．e x ＋e －x y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x＋e－x′＝12＝12(e x －e －x )．故选A.13．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调区间为，则b ＝________，c ＝________.－32－6f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ∵f (x )的单调区间是，∴－1, 2是f ′(x )＝0的两根． ∴－1＋2＝－2b 3，－1×2＝c3即b ＝－32，c ＝－6.9．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8＞0，解得a ＞2或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)6．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于________． 解析 ∵f (x )＝x 2＋2xf ′(1)， ∴f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)．∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 答案 －47．函数f (x )＝2x 3－6x 2－18x ＋7( )．A ．在x ＝－1处取得极大值17，在x ＝3处取得极小值－47B ．在x ＝－1处取得极小值17，在x ＝3处取得极大值－47C ．在x ＝－1处取得极小值－17，在x ＝3处取得极大值47D ．以上都不对解析 f ′(x )＝6x 2－12x －18，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：47. 答案 A8．三次函数当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )．A ．y ＝x 3＋6x 2＋9x B ．y ＝x 3－6x 2＋9x C ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9x解析 三次函数过原点，可设f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，则f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由题设有⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3＋2b ＋c ＝0，f＝27＋6b ＋c ＝0，解得b ＝－6，c ＝9.∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，f ′(x )＝3x2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)．当x ＝1时，函数f (x )取得极大值4，当x ＝3时，函数取得极小值0，满足条件． 答案 B17．已知x ＞0，求证：x ＞sin x .设f (x )＝x －sin x (x ＞0)，f ′(x )＝1－cos x ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立．∴函数f (x )＝x －sin x 在(0，＋∞)上是单调增函数． 又f (0)＝0∴f (x )＞0对x ∈(0，＋∞)恒成立． 即：x ＞sin x (x ＞0)．。

2014-2015年高二第二学期理科数学综合训练（1） 2015.6一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1. 若i x x x )23()1(22+++-是纯虚数，则实数x =（ ） A. -1 B. 1 C. -1或1 D. 02. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒ ”时，应该先（ ） A. 假设三内角都不大于60︒ B. 假设三内角都大于60︒C. 假设三内角至多有一个大于60︒D. 假设三内角至多有两个大于60︒3. 若随机变量X N （1，2σ），且7989.0)30(=≤<X P ，则=≤<-)21(X P （ ） A. 0.7989 B. 0.2011 C. 0.2021 D. 以上答案均不对4．若()ln f x x x x 2=-2-4，则'()f x >0的解集为（ ）A ．(,)0+∞B ．102∞-+U （，）（，）C ．(,)2+∞D ．(,)-105．把一枚硬币连续抛掷两次，事件A =“第一次出现正面”,事件B =“第二次出现正面”，则()|P B A 等于（ ） A ．12 B ．14 C ．16 D ．186．某射手进行射击训练,他将5个泥制球形靶子用细绳串成两串挂在如图所示的横梁上,每次射击都必须遵循以下原则:先挑选一列,然后必须击碎这列中尚未击碎的靶子中下面的一个(即从下往上打),则击碎全部5个靶子共有( )种不同的顺序. A.120 B.20 C.60 D.107. 已知数列{n a }的通项公式2)1(1+=n a n ，记)1()1)(1)(1()(321n a a a a n f ----= ，通过计算)1(f ，)2(f ，)3(f ，)4(f 的值，猜想)(n f 的值为（ ）A.2)1(12+-n n B. )1(2++n n n C. )1(22++n n D. 12++n n8．设函数()()xf x F x e=是定义在R 上的函数，其中()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <对于x R ∈恒成立，则（ ）22012.(2)(0),(2012)(0)A f e f f e f >> 22012.(2)(0),(2012)(0)B f e f f e f >< 22012.(2)(0),(2012)(0)C f e f f e f << 22012.(2)(0),(2012)(0)D f e f f e f <>二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2014—2015学年第一学期廷锴纪念中学高二数学测试题（1）班级： 座号： 姓名： 分数： 一、选择题（每题5分）1、下列各组几何体中是多面体的一组是（ ）A 三棱柱 四棱台 球 圆锥B 三棱柱 四棱台 正方体 圆台C 三棱柱 四棱台 正方体 六棱锥D 圆锥 圆台 球 半球 2、下面多面体是五面体的是（ ）A 三棱锥B 三棱柱C 四棱柱D 五棱锥 3 有一个几何体的三视图如右图所示， 这个几何体应是一个( )A 棱台B 棱锥C 棱柱D 都不对4 下图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）A B C D5、关于斜二侧画法，下列说法不正确的是（ ）A 、原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x ’轴，长度不变； B 、原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y ’ 轴，长度变为原来的21； C 、在画与直角坐标系xoy 对应的'''x o y 时，'''x o y ∠’必须是︒45 D 、在画直观图时由于选轴的不同，所得的直观图可能不同。

6、如果一个几何体的正视图和侧视图都是长方形，则这个几何体可能是（ ） A 长方体或圆柱 B 正方体或圆柱 C 长方体或圆台 D 正方体或四棱锥 7．利用斜二测画法得到的①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④菱形的直观图一定是菱形.o'x'第十题N MCC'A以上结论正确的是 （ ）A ．①②B ．①C ．③④D ． ①②③④8、如图，甲、乙、丙是三个立方体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（ ）.①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱A ．④③②B ． ②①③C ． ①②③D ． ③②④9、一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为︒45，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ） A 、2221+B 、221+ C 、21+ D 、22+10、如图所示的正方体中，M 、N 分别是AA 1、CC 1的中点，作四边形D 1MBN ，则四边形D 1MBN 在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是（ ）DC BA二、填空题11 图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;图（2）中的三视图表示的实物为_____________图（1）图（2）12．等腰梯形ABCD,上底边CD=1, 腰AD=CB=2 , 下底AB=3，按平行于上、下底边取x轴，则直观图A′B′C′D′的面积为_______．13．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为 .14．如图，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是（要求把可能的图的序号都填上）。

廷锴纪念中学高二第二学期理科数学测试题（4）班别： 姓名： 座号： 成绩：1．函数f (x )＝2x 3－6x 2－18x ＋7 ( )．A ．在x ＝－1处取得极大值17，在x ＝3处取得极小值－47B ．在x ＝－1处取得极小值17，在x ＝3处取得极大值－47C ．在x ＝－1处取得极小值－17，在x ＝3处取得极大值47D ．以上都不对 2．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在上的最大值和最小值分别是 ( ) A ．12，－15 B ．－4，－15 C ．12，－4 D ．5，－153．已知函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象如图，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是 ( )4．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． A ．54 B ．52 C ．51 D ．535．点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．30,,24πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ C ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ． 3,24ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ 6．三次函数当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )． A ．y ＝x 3＋6x 2＋9x B ．y ＝x 3－6x 2＋9x C ．y ＝x 3－6x 2－9x D ．y ＝x 3＋6x 2－9x7. 设f (x ),g(x )是R 上的可导函数，(),()f x g x ''分别为f (x ),g(x )的导数，且()()()()0f x g x f x g x ''+<，则当a <x <b 时，有（ ）A.f (x )g(b)>f (b)g(x )B.f (x )g(x )>f (b)g(b)C.f (x )g(a )>f (a )g(x )D.f (x )g(x )>f (b)g(a )8．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ⋅的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．不确定9．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为61，则=a _________10．某箱子的容积与底面边长x 的关系为()()()xV x x x -=<<2600602，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为_____________11.对于等差数列{a n }有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t ＝(t －1)a s ”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题是：“__________________________________”．12．设a ∈R ，若函数x y e ax =+2()x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围__________．13．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a ，若f (x )在区间上的最大值为20，它在该区间上的最小值为_______14.凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f x 1 ＋f x 2 ＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，若函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．15.)1ln(2,02x x x x +<->求证：若16.某电视生产厂家有A ，B 两种型号的电视机参加家电下乡活动．若厂家投放A ，B 型号电视机的价值分别为p ，q 万元，农民购买电视机获得的补贴分别为110p ，25ln q 万元．已知厂家把总价值为10万元的A，B两种型号电视机投放市场，且A，B两型号的电视机投放金额都不低于1万元，请你制订一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4)16．(本小题满分12分)某电视生产厂家有A，B两种型号的电视机参加家电下乡活动．若厂家投放A，B型号电视机的价值分别为p，q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为110p，25lnq万元．已知厂家把总价值为10万元的A，B两种型号电视机投放市场，且A，B两型号的电视机投放金额都不低于1万元，请你制订一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4)解析：设B型号电视机的价值为x万元(1≤x≤9)，农民得到的补贴为y万元，则A型号电视机的价值为(10－x)万元，由题意得，y＝110(10－x)＋25ln x＝25ln x－110x＋1，y′＝25x－110，由y′＝0⇒x＝4.当x∈时，y′<0，所以当x＝4时，y取最大值，y max＝25ln 4－0.4＋1≈1.2.即厂家分别投放A，B两型号电视机6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约为1.2万元．14．函数21ln 2y ax x x =+-区间[1,3]上单调递增，求实数a 的取值范围.ADDBBBBCD 1± 40 2a <-11．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a .(1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解 (1)∵f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9. 令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞3，∴函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)∵f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，∴f (2)＞f (－2)．于是有22＋a ＝20，∴a ＝－2. ∴f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2.∵在(－1,3)上f ′(x )＞0，∴f (x )在上单调递增． 又由于f (x )在上单调递减，∴f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间上的最大值和最小值， ∴f (－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即f (x )最小值为－7.已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-（a R ∈）． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求a 的取值范围.（I ）()ln 1f x x '=+，由0)(='x f ,得1e x = . …………………………………2分当1(0,),()0,()ex f x f x '∈<单调递减， 当1(,),()0,()ex f x f x '∈+∞>单调递增 ，……………………………… …………4分min 11()()e e f x f ==-；………………………………………………………………………5分（II ）22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x≤++， 设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2(3)(1)()x x h x x +-'=，………………………………7分(0,1),()0,()x h x h x '∈<单调递减， (1,),()0,()x h x h x '∈+∞>单调递增，…………………………………………………9分所以min ()(1)4h x h ==，对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立， …………………11分只需min ()4a h x ≤=.…………………………………………………………………………12分对于等差数列{a n }有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t ＝(t －1)a s ”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题是：“__________________________________”． 解析 由类比推理可得．答案 若{b n }是等比数列，b 1＝1，s ，t 是互不相等的正整数，则有b s －1t ＝b t －1s凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f x 1 ＋f x 2 ＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，若函数y ＝sinx 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________． 解析 根据凸函数的性质定理，可得 sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝332，即sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.答案332已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-（a R ∈）． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求a 的取值范围.（I ）()ln 1f x x '=+，由0)(='x f ,得1e x = . …………………………………2分当1(0,),()0,()ex f x f x '∈<单调递减， 当1(,),()0,()ex f x f x '∈+∞>单调递增 ，……………………………… …………4分min 11()()e e f x f ==-；………………………………………………………………………5分（II ）22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x≤++， 设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2(3)(1)()x x h x x +-'=，………………………………7分(0,1),()0,()x h x h x '∈<单调递减， (1,),()0,()x h x h x '∈+∞>单调递增，…………………………………………………9分所以min ()(1)4h x h ==，对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立， …………………11分只需min ()4a h x ≤=.…………………………………………………………………………12分19．(本小题满分12分)某电视生产厂家有A ，B 两种型号的电视机参加家电下乡活动．若厂家投放A ，B 型号电视机的价值分别为p ，q 万元，农民购买电视机获得的补贴分别为110p ，25ln q 万元．已知厂家把总价值为10万元的A ，B 两种型号电视机投放市场，且A ，B 两型号的电视机投放金额都不低于1万元，请你制订一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4)解析： 设B 型号电视机的价值为x 万元(1≤x ≤9)，农民得到的补贴为y 万元，则A 型号电视机的价值为(10－x )万元，由题意得，y ＝110(10－x )＋25ln x ＝25ln x －110x ＋1， y ′＝25x －110，由y ′＝0⇒x ＝4.当x ∈时，y ′<0，所以当x ＝4时，y 取最大值，y max ＝25ln 4－0.4＋1≈1.2.即厂家分别投放A ，B 两型号电视机6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约为1.2万元．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值．(1)求c 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝2处取得极值，且当x <0时，f (x )<16d 2＋2d 恒成立，求d 的取值范围．解析： (1)∵f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d ，∴f ′(x )＝x 2－x ＋c ，要使f (x )有极值，则方程f ′(x )＝x 2－x ＋c ＝0有两个不相等的实数解，从而Δ＝1－4c >0，∴c <14.(2)∵f (x )在x ＝2处取得极值，∴f ′(2)＝4－2＋c ＝0， ∴c ＝－2.∴f (x )＝13x 3－12x 2－2x ＋d .∵f ′(x )＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1)，∴当x ∈(－∞，－1]时，f ′(x )>0，函数单调递增， 当x ∈(－1,2]时，f ′(x )<0，函数单调递减． ∴x <0时，f (x )在x ＝－1处取得最大值76＋d ，∵x <0时，f (x )<16d 2＋2d 恒成立，∴76＋d <16d 2＋2d ，即(d ＋7)(d －1)>0， ∴d <－7或d >1，即d 的取值范围是(－∞，－7)∪(1，＋∞)．21．(本小题满分13分)用总长14.8 m 的钢条做一个长方体容器的框架．如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5 m ，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．解析： 设该容器底面的一边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5)m ，此容器的高为h ＝14.84－x －(x ＋0.5)＝3.2－2x (0<x <1.6)．于是，此容器的容积为V (x )＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ，其中0<x <1.6. 由V ′(x )＝－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，得x ＝1或x ＝－415(舍去)．因为V (x )在(0,1.6)内只有一个极值点，且x ∈(0,1)时，V ′(x )>0，函数V (x )单调递增；x ∈(1,1.6)时，V ′(x )<0，函数V (x )单调递减．所以，当x ＝1时，函数V (x )有最大值V (1)＝1×(1＋0.5)×(3.2－2×1)＝1.8(m 3)，h ＝3.2－2＝1.2(m)．即当高为1.2 m 时，长方体容器的容积最大，最大容积为1.8 m 3.21．(本小题满分13分)某厂生产产品x 件的总成本c (x )＝1 200＋275x 3(万元)，已知产品单价P (万元)与产品件数x 满足：P 2＝k x，生产100件这样的产品单价为50万元．(1)设产量为x 件时，总利润为L (x )(万元)，求L (x )的解析式；(2)产量x 定为多少件时总利润L (x )(万元)最大？并求最大值(精确到1万元)． 解析： (1)由题意有502＝k100，解得k ＝25×104， ∴P ＝25×104x＝500x，∴总利润L (x )＝x ·500x －1 200－2x 375＝－2x375＋500x －1 200(x >0)．(2)由(1)得L ′(x )＝－225x 2＋250x ，令L ′(x )＝0⇒250x ＝225x 2， 令t ＝x ，得250t ＝225t 4⇒t 5＝125×25＝55，∴t＝5，于是x＝t2＝25，所以当产量定为25时，总利润最大．这时L(25)≈－416.7＋2 500－1 200≈883.答：产量x定为25件时总利润L(x)最大，约为883万元．。

高二第二学期期末理科数学综合训练（2）班别： 姓名： 座号： 成绩：一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．在复平面内，复数1iiz -=（i 是虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．某在证明12)(+=x x f 为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数12)(+=x x f 满足增函数的定义是小前提；④函数12)(+=x x f 满足增函数的定义是大前提；其中正确的命题是（ ）（A ）①② （B ）②④（C ）①③ （D ）②③3. 已知函数2()()af x x a x =+∈R 在区间[2,)+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是（ ）A. (,4)-∞B. (,4]-∞C. (,8)-∞D. (,8]-∞4. 函数x xx xe e y e e --+=-的图像大致为( ).5．在()5232-+x x 的展开式中,x 的系数为（ ） A. 800 B. 810 C. 820 D. 8306. 由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103 B ．4 C ．163D ．67. 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有（ ） (A)240 (B)180 (C)120 (D)608．设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义．对于给定的正数K ，定义函数(),(),(),().k f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩取函数()2e x f x x -=--，若对任意的(,)x ∈-∞+∞，恒有()()k f x f x =，则（ ）A ．K 的最大值为2 B. K 的最小值为2 C ．K 的最大值为1 D. K 的最小值为1二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 9．已知z 是纯虚数，21z i+-是实数，那么z = . 10．某饮料店的日销售收入y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:C)之间有下列数据:甲,乙,丙三位同学对上述数据进行了研究,分别得到了x 与y 之间的三个线性回归方程 ①y ^=-x+2.8;②y ^=-x+3;③y ^=-1.2x+2.6,其中正确的是11．若)4 , 1(~N X ，6826.0)31(=≤<-X P ，________)3(=>X P ．12. 某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一个运输车队，每个队至少抽1辆车，则不同的抽法有 种。

廷锴纪念中学高二上学期理科数学测试（16）2015.11. 已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点P 的轨迹是（ ） A.双曲线 B.双曲线左支 C.一条射线 D.双曲线右支2. 直线tan3010x y +⋅+=的倾斜角是（ ）.A ．30 B. 60 C. 120 D. 1503. 设l ，m 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊥，则l α⊥或//l α B ．若l γ⊥，αγ⊥，则//l α或l α⊂ C ．若//l α，//m α，则//l m 或 l 与m 相交 D ．若//l α，αβ⊥，则l β⊥或l β⊂4．已知焦点在y 轴上的椭圆1122=+y m x ，其离心率为23，则实数m 的值是( ) A ．4 B ．41 C ．4或41 D ．215. 一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体 的表面积（单位：2cm ）为（ ）A ． 84B ．104C ．124D ．1446.若过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为12a ，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．34C ．12D ．147．如图，四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝12MA ，N 为BC 中点，则MN →等于( )A.12 a －23b ＋12c B ．－13a ＋12b ＋12cC.12 a ＋12b －23cD. 23a ＋23b －12c 8. 椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是 （ ） A ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，班别： 姓名： 座号： 成绩： 9. 命题“01,12≥-≥∀x x ，”的否定是 .10.已知以原点为顶点，坐标轴为对称轴的抛物线的准线为y=2,则抛物线的方程为11.矩形ABCD 的长为3，宽为6，则其直观图的面积是12. 已知直线:1l y kx =+与抛物线2:C y x =，则“0k ≠”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的 条件. (用“充分不必要，必要不充分，充要，不充分也不必要”填空)13. 已知P （3，5）为圆2210x y y +=内一点，则过点P 的弦长的范围是 .14．点P 是椭圆22145x y +=上一点，12,F F 是椭圆的焦点，且1230F PF ∠=，则 12F PF S ∆=.15．若P 是双曲线1643622=-y x 的右支上一点，M ，N 分别是圆22(10)4x y ++=和22(10)1x y -+=上的点，则||||PM PN -的最大值为______.16.已知0≠ab ,证明1=+b a 的充要条件是02233=--++b a ab b a提示：))((2233b ab a b a b a +-+=+15. 一条光线从点P （6, 4）射出，与x 轴相交于点Q （2, 0），经x 轴反射，求入射光线和反射光线所在的直线方程.16.写出原命题“如果a, b 都是奇数,则ab 为奇数”的逆命题、否命题、逆否命题,分别判断四种命题的真假.17. 已知两个定点()0,0O ，()3,0A ，动点M 满足 12MO MA =，记动点M 的轨迹为C . （I ）求C 的方程；（II ）求直线:20l x y ++=被C 截得的弦长.18．（本小题满分14分）在如图所示的四棱锥P ABCD-中，已知 PA ⊥平面ABCD ，//AB DC ，90DAB ∠=，1,2PA AD DC AB ====，M 为PB 的中点．（1）求证：平面⊥PAC 平面PBC ；（2）求二面角A PB C --的平面角的正切值．19．（14分）如图，在长方体1AC中，12,AB BC AA ==点E 、F 分别是面11AC 、面1BC 的中心． （1）求异面直线AF 和BE 所成的角； （2）求直线AF 和平面BEC 所成角的正弦值．AA 1BC D B 1C 1D 1 EF20. 已知点1F ，2F 分别是椭圆 ()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 是椭圆C 的 上顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1260F AF ︒∠=.（I ）求椭圆C 的离心率；（II ）已知1AF B ∆的面积为a ，b 的值.17. 已知两个定点()0,0O ，()3,0A ，动点M 满足 12MO MA =，记动点M 的轨迹为C . （I ）求C 的方程；（II ）求直线:20l x y ++=被C 截得的弦长.解：（I ）设(),M x y ， 1分由12MO MA == 3分化简得22230x y x ++-=. 5分（II ）22230x y x ++-=，即()2214x y ++=. 6分C 是以()1,0-为圆心，2为半径的圆. 7分d ==8分弦长为==分18. 已知点1F ，2F 分别是椭圆 ()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 是椭圆C 的 上顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1260F AF ︒∠=. （I ）求椭圆C 的离心率；（II ）已知1AF B ∆的面积为a ，b 的值.解：（I ）由题意知12AF F ∆为正三角形， 1分2a c =，12c e a ==. 3分（II ）直线AB 的方程为)y x c =- 4分)()22222222222213630x ya b a b x a cx a c a by x c⎧+=⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎩（1） 5分由2a c=，得224a c=，22223b ac c=-=.代入（1）中得2580x cx-=，x=或85cx=，得()A，8,5cB⎛⎫⎪⎪⎝⎭. AB=165c.（或用弦长公式求） 7分由1AF B∆的面积为11sin602AB AF︒=116252ca⋅⋅= 8分（或12AB d=11625c⋅=解得5c=，10a=，b=分19．（本小题满分14分）在如图所示的四棱锥P ABCD-中，已知 PA⊥平面ABCD，//AB DC，90DAB∠=，1,2PA AD DC AB====，M为PB的中点．（1）求证：平面⊥PAC平面PBC；（2）求二面角A PB C--的平面角的正切值．21.解：（1）取AB的中点H，连接CH，则CH AB⊥∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC ，∵//AB DC，90DAB∠=，∴2==BC AC又22222AC BC AB AC BC +=+=∴⊥, ∴BC ⊥平面PAC ，⊂BC 平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ……………………….7分（2）取AB 的中点H ，连接CH ，则由题意得CH AB ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，所以PA CH ⊥，则CH ⊥平面PAB.所以CH PB ⊥,过H 作HG PB ⊥于G,连接CG ，则PB ⊥平面CGH, 所以,CG PB ⊥则CGH ∠为二面角A PB C --的平面角…………………………10分11,2,PA CH AB PB =∴====则sin PA GH BH PBA BH AB =∠=⋅=，tan CH CGH GH ∴∠==……………………13分故二面角A PB C--的平面角的正切值为……………………………………………………………14分19．（14分）如图，在长方体1AC中，12,AB BC AA ==E 、F 分别是面11AC 、面1BC 的中心．以D 为坐标原点，DA 、DC 、D D 1所为直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，试用向量方法解决下列问题：（1）求异面直线AF 和BE 所成的角； （2）求直线AF 和平面BEC 所成角的正弦值．19. 解：（1）A （2，0，0），F （1，2）， B （2，2，0），E （1，1C （0，2，0）.∴ 2(1,2,),(1,AF BE =-=--， ……（4分） ∴ 1210AF BE →→∙=-+=. ……（6分） 所以AF 和BE 所成的角为90︒ .……（7分）（2）设平面BEC 的一个法向量为(,,),n x yz = 又 (2,0,0),BC =- (1,BE =--AA 1BC D B 1C 1D 1EF则：20n BC x ∙=-=，0n BE x y ∙=--+=. ∴0x =， 令1z =，则：y =,∴ n →=.…………（10分）∴ ,22AF nCOS AF n AF n ∙<>===∙. ……………（12分） 设直线AF 和平面BEC 所成角为θ，则：Sin θ=即 直线AF 和平面BEC ……………（14分）。

高二理科数学尖子生辅导（8）2015.51．设集合{}2|20M x Z x x =∈+≤,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N =（ ）A ． {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-2．若复数155z i =+，23z i =-，则12z z =（ ） A ．42i + B ．2i + C ．12i + D ．33．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．ln(1)y x =+ B．y = C ． 1()2x y = D ．1y x x=+4． 已知31sin()23πα+=，则cos2α=（ ） A ．79- B ．79 C ． 13- D ．135．设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中错误的是（ ） A ． 若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ B ．若αβ⊥,m α⊄,m β⊥,则//m α C ．若m β⊥,m α⊂,则αβ⊥ D ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥6．巳知双曲线G 的中心在坐标原点，实轴在x，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之差为12，则双曲线G 的方程为（ ）A ．192522=-y x B ．193622=-y x C ．193622-=-y x D ．183622=-y x7．在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则||AM 的最大值为（ ）A． B． CD ．38．若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ， φ属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{}X a b c =，，，对于下面给出的四个集合τ： ①{{}{}{}}a c a b c τ=∅，，，，，；②{{}{}{}{}}b c b c a b c τ=∅，，，，，，，；③{{}{}{}}a a b a c τ=∅，，，，，； ④{{}{}{}{}}a c b c c a b c τ=∅，，，，，，，，． 其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是（ ） A. ① B. ② C. ②③ D. ②④（一）必做题（9～13题）9. 计算(cos 1)x dx π+=⎰．（文科不做）10．函数ln ()(0)xf x x x=>的单调递增区间是 ．11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为12．曲线x y e =过点(0,0)的切线方程为 ．13．某同学为研究函数()f x x =＃01)≤≤ 的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形和BEFC ， 点P 是边BC 上的一个动点，设C P x=，则 ()AP PF f x +=． 请 你参考这些信息，推知函数()f x的值域是 ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2,(,x t t y t ⎧=⎨=⎩为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的方程为sin 1ρθ=， 则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________ ．15． (几何证明选讲选做题)如图所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点， 3BC =，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的 垂线AD，垂足为D ，则线段CD 的长为 ．三、解答题：16．(12分)已知函数)cos()(ϕω+=x A x f （0>A ,0>ω,02<<-ϕπ）的图象与y 轴的交点为)1,0(，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别 为)2,(0x 和)2,2(0-+πx ． (1)求函数)(x f 的解析式；(2)若锐角θ满足22(2)33f πθ+=，求)2(θf 的值．17.（12分）每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率. (1) 求某两人选择同一套餐的概率；第16题图第13题图第15题图ODCBAD 1C 1B 1A 1(2) 若用随机变量X 表示某两人所获优惠金额的总和，求X 的分布列和数学期望. （文科不做）18.（14分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ADD A ⊥底面ABCD，11D A D D ==，底面ABCD 为直角梯形，其中// , BC AD AB AD ⊥，222AD AB BC ===，O 为AD 中点.(1)求证：1//AO 平面1AB C ； (2)求锐二面角C D C A --11的余弦值．19．（ 14分）已知数列{}n a 满足0a R ∈，123,(0,1,2,)nn n a a n +=-=(1)设,2nn n a b =试用0,a n 表示n b （即求数列{}n b 的通项公式）；(2)求使得数列{}n a 递增的所有o a 的值．20.（14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点2-，且椭圆的离心率12e =． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的右焦点F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点,A C 及,B D ，设线段AC ，BD 的中点分别为,P Q ．求证：直线PQ 恒过一个定点．21. （14分）已知函数2()ln f x x x =+.(1)若函数()()g x f x ax =-在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围； (2)在(1)的条件下，且1a >，3()3xx h x eae =-，[0,ln 2]x ∈，求()h x 的极小值；(3)设2()2()3F x f x x k =--（k ∈R ），若函数()F x 存在两个零点,(0)m n m n <<，且满足02x m n =+，问：函数()F x 在00(,())x F x 处的切线能否平行于x 轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.A 1B 1C 1D 1A B C DO数学（理科）模拟2参考答案一、选择题：ACAA DBCD二、9. π 10. (0,]e （或(0,)e ）11. 15 12. y ex =13. 1] 14. ()1,115.16. 解：（1）由题意可得2=A ，π22=T 即24T ππω==，21=ω ……3分)21cos(2)(ϕ+=x x f ，1)0(=f 由21cos =ϕ且02<<-ϕπ，得3πϕ-=…5分函数)321cos(2)(π-=x x f ． ……6分（2）由于22(2)33f πθ+=，即1cos 3θ=且θ为锐角，所以322sin =θ …………8分 )2(θf )3sin sin 3cos(cos 2)3cos(2πθπθπθ+=-=……10分)233222131(2⨯+⨯⋅=3621+=．即)2(θf 的值为13+ …………12分 17. (12分)解：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为1111331388228832P =⋅+⋅+⋅= (4)分(2) 由题意知某两人可获得优惠金额X 的可能取值为400，500，600，700，800，1000.111(400)8864P X ==⋅=，12136(500)8864P X C ==⋅⋅= 339(600)8864P X ==⋅=，12118(700)8264P X C ==⋅⋅= 121324(800)2864P X C ==⋅⋅=，1116(1000)2264P X ==⋅= …………8分 综上可得X…………10分169824164005006007008001000775646464646464EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 即X 的数学期望为775. ………12分 18.(1)证明：如图，连接 , CO AC ，则四边形ABCO 为正方形， 所以11OC AB A B ==，且11////OC AB A B ，…………2分故四边形11A B CO 为平行四边形，所以11//A O B C ．…4分又1AO ⊄平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C ， 所以1//A O 平面1AB C . ……………6分(2)因为11 , D A D D O =为AD 的中点，所以1 D O AD ⊥，又侧面11ADD A ⊥底面ABCD ，交线为AD ，故1D O ⊥底面ABCD 。