函数单调性与最值

函数的单调性与最值【知识要点】 1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．（3）判断函数单调性的方法①根据定义；②根据图象；③利用已知函数的增减性；④利用导数；⑤复合函数单调性判定方法。

2．函数的最值求函数最值的方法：①若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法；②利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用单调性求最值； ③基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法。

【复习回顾】一次函数(0)y kx b k =+≠具有下列性质： (1)当0k >时，函数y 随x 的增大而增大 (2)当0k <时，函数y 随x 的增大而减小 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：(1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上，对称轴为直线x ＝－2ba；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而增大； (2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下，对称轴为直线x ＝－2ba；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而减小； 提出问题:①如图所示为一次函数y=x ，二次函数y=x 2和y=-x 2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?①这些函数走势是什么？在什么范围上升，在什么区间下降？②如何理解图象是上升的？如何用自变量的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？③定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数.简称为：步调一致增函数.几何意义：增函数的从左向右看,图象是的。

函数的最值与单调性函数的最值与单调性对于数学领域来说是非常重要和常见的概念。

在本文中，我将详细介绍函数的最值和单调性，并讨论它们在数学问题中的应用。

一、函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。

一个函数可能有多个最大值和最小值，也可能没有最大值或最小值。

在求解一个函数的最值时，我们可以通过以下步骤进行：1. 找到函数的定义域。

2. 求解函数的导数，并找到导数为零的点和导数不存在的点。

3. 将这些点代入函数中，得到对应的函数值。

4. 比较这些函数值，找到最大值和最小值。

举例来说，考虑函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1。

首先，我们需要找到函数的定义域。

由于这是一个二次函数，它的定义域是整个实数集。

然后，我们求解 f(x) 的导数 f'(x) = 4x - 3，并找到导数为零的点 x = 3/4。

将这个点代入原函数，得到 f(3/4) = 1/8。

由于这个函数是一个开口向上的抛物线，它的最小值就是 f(3/4) = 1/8。

因此，这个函数的最值是 f(3/4) = 1/8。

另外一个例子是函数 g(x) = sin(x)。

对于这个函数，它的定义域是整个实数集。

由于正弦函数的取值范围在 [-1, 1] 之间，所以 g(x) 的最大值是 1，最小值是 -1。

函数的最值在数学中经常用来确定问题的极限、最优解和最不利情况等。

二、函数的单调性函数的单调性是指函数的增减性质。

一个函数可以是递增的、递减的或是既递增又递减。

要判断一个函数的单调性，我们可以通过以下方法：1. 求解函数的导数。

2. 研究导数的符号。

如果导数在定义域内始终大于零，那么函数是递增的；如果导数在定义域内始终小于零，那么函数是递减的。

如果导数既大于零又小于零，那么函数既递增又递减。

比如考虑函数 h(x) = x^2 - 3x + 2。

我们求解 h(x) 的导数 h'(x) = 2x - 3。

通过分析导数的符号，我们可以发现当 x < 3/2 时，导数为负，说明函数 h(x) 在这个区间上是递减的；当 x > 3/2 时，导数为正，说明函数h(x) 在这个区间上是递增的。

函数的单调性与最值复习:按照列表、描点、连线等步骤画出函数2x y =的图像、图像在y 轴的右侧部分就是上升的,当在区间[0,+∞)上取值时,随着x 的增大,相应的y 值也随着增大,如果取21,x x ∈[0,+∞),得到11()y f x =,2()y f x =,那么当1x <2x 时,有1y <2y 、这时就说函数y =2()f x x =在[0,+ ∞)上就是增函数、图像在y 轴的左侧部分就是下降的,当x 在区间[0,+∞)上取值时,随着x 的增大,相应的y 值反而随着减小,如果取21,x x ∈[0,+∞),得到11()y f x =,2()y f x =,那么当1x <2x 时,有12y y <。

这时就说函数y =2()f x x =在[0,+ ∞)上就是减函数、1.函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上就是增函数或减函数,那么称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做f (x )的单调区间.注意:(1)函数的单调性也叫函数的增减性; (2)注意区间上所取两点x 1,x 2的任意性;(3)函数的单调性就是对某个区间而言的,它就是一个局部概念。

(4)若函数()f x 在其定义内的两个区间A 、B 上都就是单调增(减)函数,一般不能认简单地认为()f x 在区间A B 上就是增(减)函数、 例如1()f x x=在区间(,0)-∞上就是减函数,在区间(0,)+∞上也就是减函数,但不能说它在定义域(,0)(0,)-∞+∞上就是减函数、(3)用定义法判断函数的单调性:①定义域取值;任取x 1,x 2∈D,且x 1<x 2; ②作差;作差f (x 1)－f (x 2);③变形;通常就是因式分解与配方; ④定符号;即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负⑤下结论.指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性例1 证明函数xx f 1)(=在(0,+∞)上就是减函数、证明:设1x ,2x 就是(0,+∞)上的任意两个实数,且1x <2x ,则)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(0,+ ∞),得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于就是)(1x f －)(2x f >0,即)(1x f > )(2x f ∴xx f 1)(=在(0,+ ∞)上就是减函数、练习:讨论函数21)(x x f -=在[-1,0]的单调性、在[-1,0]上任取x 1,x 2且x 1<x 2则2111)(x x f -=,2221)(x x f -= 从而)(1x f -2221211)(x x x f ---== 2221222111)1()1(xx x x -+----=222112122221212211))((11xx x x x x xx x x -+--+=-+--∵21x x < ∴012>-x x 另外,恒有0112221>+++x x ∵-1≤x 1<x 2≤0 则 x 1+x 2<0 则)(1x f -0)(2<x f )(1x f <)(2x f ∴ 在[-1,0]上f (x )为增函数2、基本函数的单调性例:讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性、解:∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=,对称轴a x = ∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内就是增函数;若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)内就是减函数,在[a,2]内就是增函数 若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内就是减函数、3、判断函数的单调性的常见结论①设任意x 1,x 2∈[a ,b ],且x 1＜x 2,那么()()210f x f x ->⇔f (x )在[a ,b ]上就是增函数;()()210f x f x -<⇔f (x )在[a ,b ]上就是减函数.②设任意x 1,x 2∈[a ,b ],那么()()21210f x f x x x ->-⇔f (x )在[a ,b ]上就是增函数;()()21210f x f x x x -<-⇔f (x )在[a ,b ]上就是减函数.③ (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ,b ]上就是增函数;(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ,b ]上就是减函数.例:求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间、4、 关于分段函数的单调性(1)若函数()()[]()[],,,,g x x a b f x h x x c d ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩,()g x 在区间[],a b 上就是增函数, ()h x 在区间[],c d 上就是增函数,则()f x 在区间[][],,a b c d 上不一定就是增函数,若使得()f x 在区间[][],,a b c d 上一定就是增函数,需补充条件: ()()g b h c ≤(2)若函数()()[]()[],,,,g x x a b f x h x x c d ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩,()g x 在区间[],a b 上就是减函数, ()h x 在区间[],c d 上就是减函数,则()f x 在区间[][],,a b c d 上不一定就是减函数,若使得()f x 在区间[][],,a bc d 上一定就是减函数,需补充条件: ()()g b h c ≥例:已知函数()(0)(3)4(0)x a x f x a x a x ⎧<⎨-+≥⎩＝若对任意x 1,x 2,都有()()21210f x f x x x -<-成立,则实数a 的取值范围就是( )A.(0,14] B.(0,1) C.[14,1) D.(0,3)5.函数的最值例:f(x)＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为__________;f(x)max ＝________、6、利用函数的单调性求最值例题:已知函数f (x )对于任意x ,y ∈R ,总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y ),且当x ＞0时,f (x )＜0,f (1)＝－23、(1)求证:f (x )在R 上就是减函数; (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值与最小值.(1)证明:令0x y ==,则(0)0f =;再令y x =-,则应有()()f x f x -=-,从而在R 上任取12x x >,则121212()()()()()f x f x f x f x f x x -=+-=-、1212,0.x x x x >∴->又0x >时,()0f x <,从而12()0f x x -<,即12()()f x f x <,由定义可知函数()f x 在R 上的减函数、 (2)函数()f x 就是R 上的减函数,()f x ∴在区间[3,3]-上也就是减函数、从而可知在区间[3,3]-上,(3)f -最大,(3)f 最小、2(3)(2)(1)(1)(1)(1)3(1)3()2,3f f f f f f f =+=++==⨯-=-(3)(3) 2.f f ∴-=-=即()f x 在[3,3]-上的最大值为2,最小值为－2、练习:已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f (yx)＝f (x )－f (y )、,且当x ＞1时,f(x)＜0、 (1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性;(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2、(1)f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。

1．函数单调性的定义增函数减函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数图象自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M 称为单调区间．3．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.结论M为最大值M为最小值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．(×)(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．(√)(3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) (4)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(5)所有的单调函数都有最值．( × )(6)对于函数y ＝f (x )，若f (1)<f (3)，则f (x )为增函数．( × )1．(2014·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1) 答案 A解析 A 项，函数y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；B 项，函数y ＝(x －1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C 项，函数y ＝2－x ＝(12)x 在R上为减函数，故错误；D 项，函数y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误． 2．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－6 D ．6 答案 C解析 由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2，＋∞)，令－a2＝3，∴a ＝－6.3．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增答案 B解析 由y ＝ax 在(0，＋∞)上是减函数，知a <0； 由y ＝－bx 在(0，＋∞)上是减函数，知b <0.∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴x ＝－b2a<0， 又∵y ＝ax 2＋bx 的开口向下，∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是减函数．故选B. 4．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________． 答案 2 25解析 可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.5．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________________________________________________________________． 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析 函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．题型一 确定函数的单调性(区间)命题点1 给出具体解析式的函数的单调性例1 (1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝(12)x D ．y ＝x ＋1x(2)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)(3)y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为________． 答案 (1)A (2)D (3)(－∞，－1]，[0,1] 解析 (1)y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)， ∴在区间(0，＋∞)上为增函数．(2)因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．(3)由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数. 命题点2 解析式含参函数的单调性例2 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增．综上，当a >0时，f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x )在(－1,1)上单调递增． 引申探究若本题中的函数变为f (x )＝axx 2－1 (a >0)，则f (x )在(－1,1)上的单调性如何？解 设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1 ＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1) ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. 又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数在(－1,1)上为减函数．思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．证明 方法一 任意取x 1>x 2>0，则 f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫a x 1－a x 2＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2.当a ≥x 1>x 2>0时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2<0，有f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上为减函数；当x 1>x 2≥a 时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2>0， 有f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在[a ，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．方法二 f ′(x )＝1－a x 2，令f ′(x )>0，则1－ax2>0，解得x >a 或x <－a (舍)．令f ′(x )<0，则1－ax 2<0，解得－a <x <a .∵x >0，∴0<x <a .故f (x )在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．题型二 函数的最值例3 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，a ∈(－∞，1]．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝72.(2)f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数． 最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3>0，即a >－3，所以－3<a ≤0. ②当0<a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为增函数， f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.所以a ＋3>0，a >－3，所以0<a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3,1]． 思维升华 求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．(2)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为[12，2]，则a ＝________. 答案 (1)2 (2)25解析 (1)当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.(2)由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2，即⎩⎨⎧1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25.题型三 函数单调性的应用 命题点1 比较大小 例4 已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0 D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 答案 B解析 ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0， 当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.命题点2 解不等式例5 已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1,0)∪(0,1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0.∴－1<x <0或0<x <1.命题点3 求参数范围例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－14 B ．a ≥－14C ．－14≤a <0D ．－14≤a ≤0(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．答案 (1)D (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综合上述得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2，∴a 的取值范围是[32，2)．思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(1)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( ) A ．(8，＋∞) B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)(2)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]答案 (1)B (2)D解析 (1)2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.(2)由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数，∴由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0，故0<a ≤1.1．确定抽象函数单调性解函数不等式典例 (12分)函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1. (1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.思维点拨 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f (x 2)－f (x 1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f ”运用单调性“去掉”是本题的切入点．要构造出f (M )<f (N )的形式． 规范解答(1)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， ∵当x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1.[2分] f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，[4分] ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0⇒f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在R 上为增函数．[6分](2)解 ∵m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1， ∴f (1＋1)＝f (1)＋f (1)－1⇒f (2)＝2f (1)－1，[8分] f (3)＝4⇒f (2＋1)＝4⇒f (2)＋f (1)－1＝4⇒3f (1)－2＝4， ∴f (1)＝2，∴f (a 2＋a －5)<2＝f (1)，[10分] ∵f (x )在R 上为增函数，∴a 2＋a －5<1⇒－3<a <2，即a ∈(－3,2)．[12分]解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f (x )在给定区间上的单调性； 第二步：(转化)将函数不等式转化为f (M )<f (N )的形式；第三步：(去f )运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组； 第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．温馨提醒 本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x >0时，f (x )>1，构造不出f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1的形式，便找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f (M )<f (N )的形式．解决此类问题的易错点：忽视了M 、N 的取值范围，即忽视了f (x )所在的单调区间的约束．[方法与技巧]1．利用定义证明或判断函数单调性的步骤 (1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断．2．确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性．3．求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法． [失误与防范]1．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．2．函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)一、选择题1．下列四个函数中，在区间(0,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝log 2xB ．y ＝x 13C ．y ＝－⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝1x 答案 D解析 y ＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数；y ＝x 13在(0，＋∞)上是增函数；y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上是减函数，y ＝－⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上是增函数；y ＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，故y ＝1x 在(0,1)上是减函数．故选D. 2．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1]B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞) 答案 C解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1.3．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．b <a <c C ．b <c <a D ．a <b <c 答案 B解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (3)，即b <a <c .4．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在 [3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．1 答案 B解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1， ∴f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2.5．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0，34) B ．(0，34]C ．[0，34)D ．[0，34]答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数， 当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－4(a －3)4a ≥3，得0<a ≤34，综上a 的取值范围是0≤a ≤34.二、填空题6．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调增区间为________． 答案 [3，＋∞)解析 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0， 解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．又因为y ＝t 在[0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的增区间为[3，＋∞)．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案 (1,2]解析 由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又a x －a 是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2. 8．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案 3解析 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.三、解答题9．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明 任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2 ＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述，a 的取值范围是(0,1]．10．设函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x ，y ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )；②当x >1时，f (x )<0；③f (3)＝－1.(1)求f (1)，f (19)的值； (2)如果不等式f (x )＋f (2－x )<2成立，求x 的取值范围．解 (1)令x ＝y ＝1易得f (1)＝0.而f (9)＝f (3)＋f (3)＝－1－1＝－2，且f (9)＋f ⎝⎛⎭⎫19＝f (1)＝0，故f ⎝⎛⎭⎫19＝2. (2)设0<x 1<x 2，则x 2x 1>1，f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1<0， 由f (xy )＝f (x )＋f (y )得f (x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 1·x 2x 1＝f (x 1)＋f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1<f (x 1)， 所以f (x )是减函数．由条件①及(1)的结果得：f [x (2－x )]<f ⎝⎛⎭⎫19，其中0<x <2，由函数f (x )在R 上单调递减，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x (2－x )>19，0<x <2，由此解得x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1－223，1＋223. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞) 答案 A解析 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2. 结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．12．定义新运算：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a <b 时，ab ＝b 2，则函数f (x )＝(1x )x －(2x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12答案 C解析 由已知，得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.13．(2015·山东)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．答案 2解析 由题意，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋(2y )2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy＝2，当且仅当x ＝2y 时取等号． 14．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0， 当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)，当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}， 当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x2>0恒成立， 所以g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． 所以a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数， 所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a >2.。

函数的单调性与最值点的求解函数的单调性与最值点一直是数学中重要的概念和求解方法之一。

函数的单调性描述了函数在定义域内是否呈现递增或递减的趋势，而最值点则指函数在某一范围内取得最大或最小值的点。

本文将介绍函数单调性的概念、判断方法和最值点的求解方法。

一、函数的单调性函数的单调性指的是函数在其定义域内是否具有递增或递减的趋势。

具体来说，对于函数f(x)，我们可以通过以下方法判断其单调性：1. 导数法：求函数的导数，通过导数的正负来判断函数的单调性。

若导数大于0，则函数递增；若导数小于0，则函数递减。

2. 函数值法：选取函数定义域内的不同取值，计算函数的函数值，通过函数值的大小关系判断函数的单调性。

若函数值递增，则函数递增；若函数值递减，则函数递减。

二、最值点的求解最值点是函数在某一范围内取得最大或最小值的点，通常用于解决优化问题。

以下是求解最值点的常用方法：1. 导数法：求函数的导数，通过导数为0的点来判断极值点。

具体步骤是求解导数为0的方程，找到对应的自变量值，再带入函数中求解函数值。

2. 边界法：对于定义在闭区间上的函数，极值点可能出现在区间的端点上。

因此，需要先计算函数在区间的端点处的函数值，与其他极值点进行比较，找到最值点。

综上所述，通过判断函数的单调性和求解最值点，我们可以更好地了解函数的特性，解决实际问题。

在实际应用中，我们可以结合具体的问题和函数形式选择合适的方法进行分析和求解。

对于更复杂的函数，可能需要借助数值计算或者计算机软件进行求解。

在这些情况下，我们可以使用数值方法，例如二分法、牛顿法等，来近似求解函数的单调性和最值点。

总之，函数的单调性和最值点是数学中重要的概念和求解方法，对于解决实际问题起到关键作用。

通过判断函数的单调性，我们可以了解函数的趋势；通过求解最值点，我们可以找到函数在某一范围内取得最大或最小值的点。

这些方法可以在各个领域的问题中得到应用，并为问题的建模和分析提供支持。

1、函数单调性定义：设函数()x f 在区间I 上有定义，如果对于这个区间上任意两个点和 ，当21x x <时，恒有()()21x f x f <，则称函数()x f 在区间I 上单调递增；如果对于这个区间上任意两个点和 ，当21x x <时，恒有()()21x f x f >，则称函数()x f 在区间I 上单调递减；单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数.2、最值：对于任意的I x ∈,都有()M x f ≤或者()N x f ≥,这个N M 和便是函数()x f 在区间I 上的最大值和最小值.☆平时在做题的过程中，求函数单调区间的时候，各位同学一定要注意区间不要轻易“并”起来，例如对勾函数，如果将它的单调递减区间写成⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ba b ，，00 就是错误的，而应该写成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0，a b 和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b ，0或者写⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0，a b ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b ，0都是可以的. 一、函数单调性的判别方法1. 定义法：取值，作差，变形，定号，下结论.2. 图像法：如果函数图形能够画出，直接从图像上得到函数的单调性；3. 复合法：复合函数的单调性：“同增异减”；4. 导数法：设函数()x f 在定义域内可导，则：(1) 单调递增，()x f 单调递增()0≥'⇒x f ； (2) 单调递减，()x f 单调递增()0≤'⇒x f ；5. 多个函数在公共定义域上单调性运算规律如下：增函数+增函数=增函数；增函数-减函数=增函数；增函数⨯增函数=增函数（都大于0）；减函数+减函数=减函数；减函数-增函数=减函数；=增函数1减函数，=减函数1增函数.2x 1x 1x 2x ()()x f x f ⇒>'0()()x f x f ⇒<'0恒正或恒负二、分段函数的单调性☆分段函数单调递增（递减）意味着每个分段的区间上函数单调递增（递减）并且在分段点处函数值的大小关系也满足递增（递减）. 三、单调性的等价定义对于定义在D 上的函数()x f ，设1x ，D x ∈2，21x x <，则有： （1）()()()x f x x x f x f ⇔>--02121是D 上的单调递增函数； （2）()()[]()()x f x x x f x f ⇔>-⋅-02121是D 上的单调递增函数； （3）()()()x f x x x f x f ⇔<--02121是D 上的单调递减函数； （4）()()[]()()x f x x x f x f ⇔<-⋅-02121是D 上的单调递减函数.例题1：（2017北京）已知函数()xxx f ⎪⎭⎫⎝⎛-=313，则()x f （ ）A.是偶函数，且在R 上是增函数；B.是奇函数，且在R 上是增函数；C.是偶函数，且在R 上是减函数；D.是奇函数，且在R 上是减函数；例题2：下列函数中，在区间()∞+，0上为增函数的是 （ ） A.1+=x y B.()21-=x y C.x y -=2 D.()15.0log +=x y 例题3：判断函数12++=x x y 在()+∞-,1上的单调性.例题4：判断函数()12-=x axx f （其中0>a ）在()1,1-上的单调性.例题5：若实数a 满足21--->y y a ()R y ∈恒成立，则函数()()65log 2+-=x x x f a 的单调递减区间为（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,25 B. ()+∞,3 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-25, D.()2,∞-例题6：函数12+-=x xy ，(]1,+∈m m x 的最小值为0，则m 的取值范围是 （ ） A.()2,1 B.()2,1- C.[)2,1 D.[)2,1-例题7：已知函数，若()()⎩⎨⎧-=x a xa x f log 12 在()∞+，0上单调递减，则a 的取值范围为（ ）.A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛31,0 C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,31 D.⎪⎭⎫⎝⎛1,211≥x 1<x例题8：设()()⎩⎨⎧+-=a x a a x f x 43 对任意的21x x ≠，都有()()02121<--x x x f x f 成立，则a 的取值范围是（ ）.A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0B.()1,0C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,41 D.()3,0例题9：函数()⎪⎩⎪⎨⎧+-=x aax x x f log 3822，在R 上单调，则a 的取值范围是（ ）.B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡8521，D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡185，四、函数单调性的应用(1) 已知()x f 是单调函数，若()()21x f x f =，则21x x =.(2) ()x f 是单调递增函数（递减函数），若()()()212121x x x x x f x f ><⇒<.(3) 若函数()x f 的图像关于直线a x =对称，则其对称轴两侧单调性相反；如果函数()x f 的图像关于()0,a 对称，则其对称点两侧单调性相同.0<x 0≥x 1≤x 1>x。

函数的单调性与最值一、知识梳理1．增函数、减函数一般地.设函数f (x )的定义域为I .区间D ⊆I .如果对于任意x 1.x 2∈D .且x 1<x 2.则 有：(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数.则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性.区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3．函数的最值 前提设函数y ＝f (x )的定义域为I .如果存在实数M 满足条件 ①对于任意x ∈I .都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I .使得f (x 0)＝M①对于任意x ∈I .都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I .使得f (x 0)＝M结论 M 为最大值 M 为最小值注意：1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间 只能用区间表示.不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写.不能用并集 符号“∪”联结.也不能用“或”联结．2．两函数f (x ).g (x )在x ∈(a .b )上都是增(减)函数.则f (x )＋g (x )也为增(减)函数.但f (x )·g (x ).()1f x 等的单调性与其正负有关.切不可盲目类比． [试一试]1．下列函数中.在区间(0.＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2.＋∞).所以在(0.＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1.单调增区间为[1,4].f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8.答案：[1,4] 8二、方法归纳1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减.即内外函数的单调性相同时.为增函数.不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的.或者f (x )的图像易作出.可由图像的直观性 判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性.再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像.再观察其最高点、最低点.求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数.再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形.使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不 等式求出最值．(5)导数法：先求导.然后求出在给定区间上的极值.最后结合端点值.求出最值． 提醒：在求函数的值域或最值时.应先确定函数的定义域． [练一练]1．下列函数中.既是偶函数又在区间(0.＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |答案：C 2．函数f (x )＝1x 2＋1在区间[2,3]上的最大值是________.最小值是________． 答案：15 110三、考点精练考点一 求函数的单调区间1、函数()()5log 21f x x =+的单调增区间是________． 解析：要使()5log 21y x =+有意义.则210x +>.即12x >-.而5log y u =为()0,+∞ 上的增函数.当12x >-时.u ＝2x ＋1也为R 上的增函数.故原函数的单调增区间是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 答案：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________． 解析：y ＝x －|1－x |＝1,121,1x x x ≥⎧⎨-<⎩作出该函数的图像如图所示．由图像可知.该函数的单调增区间是(－∞.1]． 答案：(－∞.1]3．设函数y ＝f (x )在(),-∞+∞内有定义．对于给定的正数k .定义函数()()()(),,k f x f x k f x k f x k⎧≤⎪=⎨>⎪⎩取函数()2xf x -=.当k ＝12时.函数()k f x 的单调递增区间为( )A ．(－∞.0)B ．(0.＋∞)C ．(－∞.－1)D ．(1.＋∞)解析：选C 由f (x )>12.得－1<x <1.由f (x )≤12.得x ≤－1或x ≥1.所以()122,11,1122,1x x x f x x x -⎧≥⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤-⎩.故()12f x 的单调递增区间为(－∞.－1)．[解题通法]求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即： (1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．考点二 函数单调性的判断[典例] 试讨论函数()()0kf x x k x=+>的单调性． [解] 法一：由解析式可知.函数的定义域是()(),00,-∞⋃+∞．在(0.＋∞)内任取1x .2x .令12x x <.那么()()()()122121212121211211x x k k k f x f x x x x x k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为120x x <<.所以210x x ->.120x x >. 故当()12,,x x k ∈+∞时.()()12f x f x <.即函数在(),k +∞上单调递增．当()12,0,x x k ∈时.()()12f x f x >.即函数在()0,k 上单调递减． 考虑到函数()()0kf x x k x=+>是奇函数.在关于原点对称的区间上具有相同的单调 性.故在(),k -∞-单调递增.在(),0k -上单调递减． 综上.函数f (x )在(),k -∞-和(),k +∞上单调递增.在(),0k -和()0,k 上单调递减． [解题通法]1．利用定义判断或证明函数的单调性时.作差后要注意差式的分解变形彻底． 2．利用导数法证明函数的单调性时.求导运算及导函数符号判断要准确． [针对训练]判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1.＋∞)上的单调性．解：任取x 1.x 2∈(1.＋∞).且x 1<x 2.则()()()()()12121212122221111x x x x g x g x x x x x ----=-=----. 由于1<x 1<x 2.所以x 1－x 2<0.(x 1－1)(x 2－1)>0. 因此g (x 1)－g (x 2)<0.即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1.＋∞)上是增函数． 考点三 函数单调性的应用 角度一 求函数的值域或最值1．已知函数f (x )对于任意x .y ∈R .总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y ).且当x >0时.f (x )<0.f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 解：(1)证明：∵函数f (x )对于任意x .y ∈R .总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y ).∴令x ＝y ＝0.得f (0)＝0. 再令y ＝－x .得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2.则x 1－x 2>0.f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵当x >0时.f (x )<0.而x 1－x 2>0.∴f (x 1－x 2)<0.即f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数.∴f (x )在[－3,3]上也是减函数. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2.f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2.最小值为－2. 角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小 2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x.若x 1∈(1,2).x 2∈(2.＋∞).则( ) A ．f (x 1)<0.f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0.f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0.f (x 2)<0D ．f (x 1)>0.f (x 2)>0解析：选 B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1.＋∞)上为增函数.且f (2)＝0.∴当x 1∈(1,2)时.f (x 1)<f (2)＝0.当x 2∈(2.＋∞) 时.f (x 2)>f (2)＝0.即f (x 1)<0.f (x 2)>0. 角度三 解函数不等式3．已知函数()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：选B 作出函数f (x )的图像.如图所示.则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a2－4)>f (3a ).可得a 2－4<3a .整理得a 2－3a －4<0.即(a ＋1)(a －4)<0.解得－1<a <4.所以不等式的解集为(－1,4)．角度四 求参数的取值范围或值4．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠.都有()()12120f x f x x x -<-成立.则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞.2)B.13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞.2]D.13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：选B 函数f (x )是R 上的减函数.于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-⨯≤- ⎪⎪⎝⎭⎩.由此解得a ≤138. 即实数a 的取值范围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. [解题通法]1．含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式.然后根据函数的单调性去掉“f ”.转化为具体的不等式(组).此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时.若自变量的值不在同一个单调区间内.要利用其函数性质.转化到同一个单调区间上进行比较.对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．巩固练习一、选择题1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1.＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A 解析：f (x )对称轴x ＝a .当a ≤1时f (x )在[1.＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为f (x )在[1.＋∞)上递增的充分不必要条件．2．已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩.若f (2－a 2)>f (a ).则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞.－1)∪(2.＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞.－2)∪(1.＋∞)答案：C 解析：由题知f (x )在R 上是增函数.由题得2－a 2>a .解得－2<a <1. 3．用min{a .b .c }表示a .b .c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x.x ＋2,10－x }(x ≥0).则f (x )的最大值为 ( ) A ．4B ．5C ．6D ．7答案：C解析：由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x.y 2＝x ＋2.y 3＝10－x 中的较小者.作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图象的最高点．4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数.则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]答案：D 解析:f (x )在[a .＋∞)上是减函数.对于g (x ).只有当a >0时.它有两个减区 间为(－∞.－1)和(－1.＋∞).故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可.则a的取值范围是0<a ≤1.5．已知定义在R 上的增函数f (x ).满足f (－x )＋f (x )＝0.x 1.x 2.x 3∈R .且x 1＋x 2>0.x 2＋x 3>0.x 3＋x 1>0.则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能答案：A 解析：∵f (－x )＋f (x )＝0.∴f (－x )＝－f (x )． 又∵x 1＋x 2>0.x 2＋x 3>0.x 3＋x 1>0.∴x 1>－x 2.x 2>－x 3.x 3>－x 1.又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2).f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3).f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1). ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)．∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.] 二、填空题6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．设f (x )是增函数.则下列结论一定正确的是________(填序号)． ①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f x是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数．答案：[0.32]解析：()()()()3030x x x y x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩画图象如图所示：可知递增区间为[0.32]．8．设0<x <1.则函数y ＝1x ＋11－x 的最小值是________．答案：4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x 1－x .当0<x <1时.x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14.∴y ≥4. 三、解答题9．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0.＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1.＋∞)上恒成立.求实数a 的取值范围． (1)证明：当x ∈(0.＋∞)时.f (x )＝a －1x.设0<x 1<x 2.则x 1x 2>0.x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2).即f (x )在(0.＋∞)上是增函数． (2)解：由题意a －1x<2x 在(1.＋∞)上恒成立.设h (x )＝2x ＋1x.则a <h (x )在(1.＋∞)上恒成立．∵h ′(x )＝2－1x 2.x ∈(1.＋∞).∴2－1x2>0.∴h (x )在(1.＋∞)上单调递增．故a ≤h (1).即a ≤3. ∴a 的取值范围为(－∞.3]．10．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a .若x ∈[－2,2]时.f (x )≥0恒成立.求a 的取值范围． 解：设f (x )的最小值为g (a ).则只需g (a )≥0. 由题意知.f (x )的对称轴为－a2.(1)当－a 2<－2.即a >4时.g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0.得a ≤73.又a >4.故此时的a 不存在．(2)当－a 2∈[－2,2].即－4≤a ≤4时.g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2. 又－4≤a ≤4.故－4≤a ≤2.(3)当－a2>2.即a <－4时.g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7. 又a <－4.故－7≤a <－4.综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数.且f (1)＝1.若a .b ∈[－1,1].a ＋b ≠0时. 有()()0f a f b a b+>+成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性.并证明它； (2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立.求实数m 的取值范围． 解：(1)任取x 1.x 2∈[－1,1].且x 1<x 2. 则－x 2∈[－1,1].∵f (x )为奇函数. ∴()()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=-+-由已知得()()()12120f x f x x x +->+-.x 1－x 2<0.∴f (x 1)－f (x 2)<0.即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增.∴112111121111xxxx⎧+<⎪-⎪⎪-≤+≤⎨⎪⎪-≤<⎪-⎩∴－32≤x<－1.(3)∵f(1)＝1.f(x)在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上.f(x)≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1.即m2－2am≥0.对a∈[－1,1]成立．下面来求m的取值范围．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0.则g(a)＝0≥0.自然对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0.则g(a)为a的一次函数.若g(a)≥0.对a∈[－1,1]恒成立.必须g(－1)≥0. 且g(1)≥0.∴m≤－2.或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或|m|≥2.。

函数的单调性与最值问题函数在数学中是一个非常重要的概念，它被广泛应用于各个领域中。

其中特别重要的是函数的单调性和最值问题。

这两个概念对于分析函数的性质和解决实际问题都有着重要的意义。

一、单调性单调性是指函数在某一区间上的增减性质。

具体来说，如果函数在一个区间上逐渐减少或逐渐增加，那么我们就说这个函数在这个区间上是单调的。

对于单调递增的函数，其随着自变量的增加，函数值也随着增加；对于单调递减的函数，其随着自变量的增加，函数值则随之减少。

而如果函数在某一区间内保持不变，则称该函数在该区间上是常数函数，因为函数的值一直不变。

为了更好地理解单调性的概念，我们可以举一个例子：假设一个人每天都要跑步，他的时间和距离之间的关系可以表示为一个函数。

如果他跑步的速度一直不变，则这个函数就是单调的。

在实际应用中，单调性常常被用来研究函数的特性及其变化趋势。

例如，在某些优化问题中，我们需要找到某一函数的最大值或最小值，而单调性正是解决这类问题的重要工具。

二、最值问题最值问题是指在某一函数区间内，求函数在该区间上的最大值或最小值。

这类问题是数学中的一个重要问题，也是各种应用问题的基础。

在解决最值问题时，我们需要找到所有可能的解。

这些解通常是函数在区间端点或者函数趋近于无穷时的解。

然后，我们需要对这些解进行比较，得出最值。

对于一些比较简单的函数，比如二次函数、三次函数等，我们可以直接对函数求导来求最值点。

而对于复杂的函数，我们可以利用单调性来简化求解过程。

例如，如果一个函数在某一区间上单调递增，则该函数的最大值一定在该区间的右端点处取到；同样地，如果该函数在某一区间上单调递减，则该函数的最大值一定在该区间的左端点处取到。

在实际应用中，最值问题的解法非常灵活，根据问题的不同，我们可以采用各种方法来解决这一问题。

三、归纳思考单调性和最值问题虽然看似是两个互不关联的问题，但它们实际上存在着密切的联系。

可以说，单调性是解决最值问题的基础，而最值问题又可以用来检验函数的单调性。

函数单调性与最值一、知识要点1．函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：①如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是．②如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是．(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ，区间D叫做y＝f(x)的．2．函数的最值(1)最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值．自查自纠：1．(1)①任意两个增函数②任意两个减函数(2)单调性单调区间2．(1)①f(x)≤M②f(x0)＝M (2)①f(x)≥N②f(x0)＝N二、题型训练题组一1．定义在R 上的偶函数在[)0+∞，上是减函数则 ( ) ． A ． B ． C ． D ．2．如果偶函数)(x f 在上]3,7[--是增函数且最小值是2，那么)(x f 在]7,3[上是（ ） A ．减函数且最小值是2 B ．减函数且最大值是2 C ．增函数且最小值是2 D ．增函数且最大值是2．3．已知)(x f 是偶函数，它在[)+∞,0上是减函数，若)1()(lg f x f >，则x 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛1,101 B ．()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛,1101,0 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛10,101 D ．()()+∞⋃,101,0 4．函数的图像关于直线对称，且在单调递减，(0)0f =，则的解集为（ ）A ．(1,)+∞B ．C ．D ．5．设奇函数()f x 在 （0，＋∞）上是增函数，且(1)0f =，则不等式[()()]0x f x f x --<的解集为（ ） A ．{|10x x -<<或}1x > B ．{|1x x <-或}01x << C ．{|1x x <-或}1x > D ．{|10x x -<<或}01x <<6．已知偶函数f （x ）在区间（0，＋∞）单调增加，则满足f （x －1）<f ⎪⎭⎫⎝⎛31的x 取值范围是（ ）A ．B ．C ．24(,)33D ．7．已知定义在R 上的偶函数，在时，，若，则a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若函数)(x f 为奇函数，且在),0(+∞上是增函数，又0)2(=f ，则0)()(<--xx f x f 的解集为（ ）A ．)2,0()0,2(⋃-B ．)2,0()2,(⋃--∞C ．),2()2,(+∞⋃--∞D ．),2()0,2(+∞⋃-9．若函数)x (f y =是定义在R 上的增函数，且满足1)b a (f )b (f )a (f ,0)1(f -+=+=，那么=)2(f ，关()f x (3)(2)(1)f f f <-<(1)(2)(3)f f f <-<(2)(1)(3)f f f -<<(3)(1)(2)f f f <<-()y f x =1x =[)1,+∞(1)0f x +>(1,1)-(,1)-∞-(,1)(1,)-∞-⋃+∞11(,)33-11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦24,33⎢⎥⎢⎥⎣⎦()f x 0x >()ln xf x e x =+()()1f a f a <-(),1-∞1(,)2-∞1(,1)2()1,+∞于x 的不等式0)x 1(f )1x (f 2>-+-的解集是。