线段和差的最值问题解题策略

一次函数的应用—线段和差、存在性问题一、一次函数线段和差最值问题【知识点】1. 最短路径原理【原理1】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小。

连AB，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为AB．【原理2】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小．作 B 关于l 的对称点B＇连A B＇，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为A B＇．【原理3】作法作图原理在直线l 上求一点P，使作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB .PBPA－（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式；（2）求三角形周长最小值；（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。

3. 口诀：“和小异，差大同”（一）一次函数线段和最小值问题【例题讲解】★★☆例题1．在平面直角坐标系xOy中，y轴上有一点P，它到点(4,3)A，(3,1)B 的距离之和最小，则点P的坐标是()A．(0,0)B．4(0,)7C．5(0,)7D．4(0,)5的值最大 .【原理4】作法作图原理在直线l 上求一点P，使的值最大 .作B 关于l 的对称点B＇作直线A B＇，与l交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤A B＇ .PB PA－PB PA－PB PA－★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,3)B-，在x轴上存在点P到A，B两点的A，点(2,1)距离之和最小，则P点的坐标是．★★☆练习2．如图，直线34120+-=与x轴、y轴分别交于点B、A两点，以线段AB为边在第一象限x y内作正方形ABCD．若点P为x轴上的一个动点，求当PC PD+的长最小时点P的坐标．★★☆例题2．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，3∆的周长最小时，求点E OB=，D为边OB的中点，若E为x轴上的一个动点，当CDEOA=，4的坐标()A ．(3,0)-B ．(1,0)C ．(0,0)D ．(3,0)★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1,4)和(3,0)，点C 是y 轴上的一个动点，连接AC 、BC ，当ABC ∆的周长最小值时，ABC ∆的面积为 ．★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边 在第二象限内作正方形ABCD ．（1）求点A 、B 的坐标，并求边AB 的长；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）在x 轴上找一点M ，使MDB ∆的周长最小，请求出M 点的坐标，并直接写出MDB ∆的周长最小值．（二）一次函数线段差最大值问题【例题讲解】★★☆例题1．已知，如图点(1,1)A，(2,3)B-，点P为x轴上一点，当||PA PB-最大时，点P 的坐标为()A．1(,0)2B．5(,0)4C．1(,0)2-D．(1,0)★★☆练习1．平面直角坐标系中，已知(4,3)A、(2,1)B，x轴上有一点P，要使PA PB-最大，则P点坐标为★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(6,0)，点P在一次函数1322y x =+的图象上运动，则PB PA -的最大值为( )A ．2B ．233C ．4D ．143【题型知识点总结】一次函数最短路径问题注意事项：1. 根据“和小异，差大同”判断是否需要作对称；2. 作对称时注意要选取动点运动的直线为对称轴作某一定点的对称点。

初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧：mm A Bm B mA Bmnmnnmn（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：n点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m nmnmnmmm三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

求线段和（差）的最值问题【知识依据】：1．线段公理——两点之间，线段最短；2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三角形两边之和大于第三边；4．三角形两边之差小于第三边。

5、垂直线段最短 一、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：mm ABm ABm n mn（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.nm Annnm二、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m nm nm nmmmmm三、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左移动PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

（2）点A 、B 在直线m 同侧：四、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边) 1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：（2）点A 、B 在直线m 异侧：过B 作关于直线m 的对称点B ’,连接AB ’交点直线m 于P,此时PB=PB ’，PA-PB 最大值为AB ’Bmmmmm Q。

For personal use only in study and research; not for commercial use线段和（差）的最值问题此类问题特点：1.两个定点，一个定点；2. 线段和最小值，线段差最大值一、线段和最小值问题若在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）两侧/异侧型：定点A、B在直线m（动点P所在直线）两侧：直接连接A、B两点交直线m于一点P，该点P即为所求点。

（PA+PB=AB）（2）同侧型：定点A、B在动点P所在直线m同侧：（方法：一找二作三连）：一找：找定点A、B，动点P及动点所在的直线m；二作：任选一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其连线交动点所在直线于一点P，该点P即为所求。

（PA+PB=PA’+PB=A’B）二、线段差最大值问题若在一条直线m上，求一点P，使得最大（1）同侧型：定点A、B在直线m（动点P所在直线）两侧：直接连接A、B两点交直线m于一点P，该点P即为所求点。

()（2）两侧/异侧型：定点A、B在直线m（动点P所在直线）两侧：任选一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其连线交动点所在直线m于一点P，该点P即为所求点。

()线段和最小值练习题1．如图1，在锐角三角形ABC中，AB=,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为?????????????．2. 如图2所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为?????????.3.如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．图1 图2 图3 图44. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为????????????．5. 如图5，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．6.已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB +PE的最小值是7. 如图6，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为?????????? ?．8.如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ 周长的最小值为????????????????????cm．（结果不取近似值）图5 图6 图79. 如图8，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．10. 如图9，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______.如图8 如图9解答题1.如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点B，C 的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．?2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；?3. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.4. 如图，已知直线y＝x＋1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标．5.抛物线的解析式为，交x轴与A与B,交y轴于C。

中考数学压轴题解题策略几何图形中线段和差最值问题的解题策略两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，P A 与PB 的差的最大值就是AB ，此时点P 在AB 的延长线上，即P ′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题．图1 图2 图31.如图，在锐角ABC △中，45AB BAC =∠=°，BAC ∠的平分线交BC 于点D M N ，、分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是___________ ．2．如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM +PN 的最小值是_____________．3、如图，已知正方形ABCD 的边长为8，F 是DA 上一点，且FA=2，点P 是BD 上一动点，则 AP+PF 的最小值为 .4、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则其最小值为A B CD N M （第1题第2题图 D A B C P M N5.如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，求PK＋QK的最小值．6.如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，求PE＋PF的最小值．7.如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=3，M是AD边的中点，N 是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C 长度的最小值是．8.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF 沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的小值是（）A．B．6 C．D．49.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C. 则A′C长度的最小值是 .10.如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画圆，E是⊙A上一动点，P 是BC上的一动点，则PE+PD的最小值是．11.如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为____12.如图，已知A (0, 2)、B (6, 4)、E (a , 0)、F (a ＋1, 0)，求a 为何值时，四边形ABEF 周长最小？请说明理由．13. 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1．点A 、C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 也随之在y 轴上运动．在整个运动过程中，求点B 到原点的最大距离.14. 如图，已知A (－2,0)、B (4, 0)、(D -．设F 为线段BD 上一点（不含端点），连结AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止．当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？15.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．点E 是BC 边上的点，连结AE ，过点E 作AE 的垂线交AB 边于点F ，求AF 的最小值．16.如图，抛物线21442y x x =-+与y 轴交于点A ，B 是OA 的中点．一个动点G 从点B 出发，先经过x 轴上的点M ，再经过抛物线对称轴上的点N ，然后返回到点A ．如果动点G 走过的路程最短，请找出点M 、N 的位置，并求最短路程．17.如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =6，BC =8，O 为AC 的中点，过O 作OE⊥OF ，OE ，OF 分别交射线AB ，BC 于E ，F ，连接EF ，则EF 长度的最小值为_______．18.如图，在Rt AOB ∆中，OA OB ==,⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切线长PQ 的最小值为 ．O B F E A19、在三角形ABC中，AB=AC=2,∠ABC=30°，点M,N分别在边AB,AC上，将三角形AMN沿MN 翻折，点A落到点A’处，则线段BA’长度的最小值是ANMA'B C20.如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是．。

初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：m m mmABmn m nnmn（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：nnm Bnn2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：mnmmmmm过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

（2）点A 、B 在直线m 同侧： 练习题1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为 ．2、 如图1，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ． 3、如图，在锐角三角形ABC 中 ，AB=52，∠BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是多少mABB'EQ PmABQPQ4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.5、如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB 上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.v1.0 可编辑可修改二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。

初中数学线段和差最值问题（史上最全版）⼀、知识依据1．线段公理：两点之间，线段最短；2．对称的性质：①关于⼀条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三⾓形的三边关系：①三⾓形两边之和⼤于第三边；②三⾓形两边之差⼩于第三边。

4.垂直线段最短。

⼆、从“将军饮马”说起话说在古罗马时代，在亚历⼭⼤城有⼀位精通数学和物理的学者，名叫海伦。

⼀天，⼀位罗马将军专程去拜访他，向他请教⼀个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧B地开会，应该怎样⾛才能使路程最近？从此，这个被称为“将军饮马”的问题⼴泛流传。

这个问题的解决并不难，据说海伦略作思考就解决了它。

为了解决“将军饮马”问题，我们先看下⾯的问题。

（⼀）点A、B在直线m的异侧，在直线m上，求⼀点P，使PA+PB最⼩由两点之间线段最短知，由A到B⾛直线距离最短，所以连接AB与直线m交于点P，此时PA+PB最⼩。

我们选取除P之外的任意⼀点P’，由三⾓形的三边关系可以证明。

综上，我们可知点A、B在直线m异侧时，连接AB与直线m交于点P，即为所求。

搞清楚上⾯这个问题后，我们再来研究“将军饮马”问题就简单了。

（⼆）点A、B在直线m的同侧，在直线m上，求⼀点P，使PA+PB最⼩作图步骤：①作点A关于直线m的对称点A,②连接BA,，与直线L相交于点P③此时PA+PB最⼩。

看到这个问题后，我们会怎么思考呢？结合上⾯的问题及解答思路，我们会想到将直线m同侧的两个点转化到直线m异侧，那么问题就迎刃⽽解了。

所以，我们作A关于直线m的对称点A’（做B的对称点也⼀样），则将同侧的两点A、B转化到了异侧两点A’、B。

此时，连接A’B与直线m交于点P，即为所求。

综上，我们可知“将军饮马”问题转化为对称点，则问题就轻松解决了。

三、“将军饮马”的拓展延伸总结“将军饮马”问题，我们发现是两个顶点及定直线上的⼀个动点问题，那么接下来我们将刚才的问题进⾏升级。

线段和差最值问题解题技巧
1. 嘿，你知道吗？平移线段有时就像变魔术一样神奇！比如在这个问题里，把这两条线段平移到一起，你看，是不是一下子就找到答案啦！
2. 哇塞，利用对称性质来解决线段和差最值问题，那可真是绝了呀！就像给问题找到了一把万能钥匙。

比如这个图形，通过对称，一下子就柳暗花明了呢！
3. 哎呀呀，有时候转换思维超重要的啦！别死磕一种方法呀，就像走不通的路咱就换一条呗。

像这个例子，转换一下思考角度，答案不就出来啦！
4. 嘿，当遇到难题不要慌，想想三角形三边关系呀！这就好比给你指了一条明路。

比如看到这样的条件，马上想起三边关系，难题迎刃而解咯！
5. 哇哦，构造辅助线简直就是秘密武器呀！就如同给问题搭了一座桥。

像这个情况，构造出合适的辅助线，一下子就突破难关啦！
6. 哈哈，把复杂问题简单化，不就轻松多了吗？就像把一大团乱麻理清楚。

看这个例子，简单化之后，答案显而易见呀！
7. 哟呵，关注特殊点和特殊位置呀，这可是关键呢！如同发现了宝藏的线索。

像这个情况，抓住特殊点，难题瞬间攻克啦！
8. 嘿呀，寻找等量关系也很重要呀，就像在迷宫里找到了正确的路线。

看看这个例子，一旦找到等量关系，答案就水到渠成啦！
9. 最后我想说，掌握了这些解题技巧，遇到线段和差最值问题根本不用怕呀！它们就是我们的得力助手，能让我们在数学的海洋里畅游无阻呀！。

思维特训(九) 抛物线背景下线段和(差)的最值问题类型一二次函数中的“饮马问题”基本原理：两点之间，线段最短．解题思路：利用抛物线自身的轴对称性找到抛物线上某点关于对称轴的对称点，实现化“折”为“直”，再结合函数的相关知识解决．1．如图9－1，抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式；(2)设P 是直线l 上的一个动点，当PA＋PC 最小时，求点P 的坐标．图9－12．如图9－2，抛物线y＝ax2＋bx＋3 经过A(1，0)，B(4，0)两点．(1)求抛物线的解析式．(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由．图9－23．如图9－3，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l 与x 轴交于点H.(1)求该抛物线的解析式；(2)PQ 是该抛物线对称轴l 上的动线段，且PQ＝1，求PC＋QB 的最小值．图9－3类型二二次函数中线段差的最大值问题基本原理：三角形任何两边之差小于第三边．解题思路：先根据原理确定线段差的最值问题时的图形，再根据已知条件进行求解．4．如图9－4，抛物线y＝x2＋bx＋c 过点A(3，0)，B(1，0)，交y 轴于点C，P 是该抛物线上一动点，点P 从点C 沿抛物线向点A 运动(点P 不与点A，C 重合)，过点P 作PD∥y 轴交直线AC 于点D.(1)求抛物线的解析式．(2)当D 在线段AC 上运动时，求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA－MC|的值最大？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图9－45．2016·眉ft已知：如图9－5，在平面直角坐标系xOy 中，A，B，C 分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4，(1)求经过A，B，C 三点的抛物线的解析式．(2)在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点P，使得以点A，B，C，P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若M 为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出当|PM－AM|取最大值时点M 的坐标，并直接写出|PM－AM|的最大值．图9－56．已知：如图9－6，在平面直角坐标系xOy 中，直线y 3＋6 与x 轴、y 轴的交点＝－4x分别为A，B，将∠OBA 对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点C.(1)直接写出点C 的坐标，并求经过A，B，C 三点的抛物线的解析式．(2)若(1)中抛物线的顶点为D，在直线BC 上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．(3)若把(1)中的抛物线向左平移3.5 个单位长度，则图象与x 轴交于G，N(点G 在点N 的左侧)两点，交y 轴于点E，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q 到E，N 两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图9－63 典题讲评与答案详析 1．解：(1)∵抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 经过 C (0，3)，∴c ＝3.∵抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋3 经过 A (－1，0)，B (3，0)，⎧0＝a －b ＋3， ∴⎨ ⎧a ＝－1， 解得⎨⎩0＝9a ＋3b ＋3， ⎩b ＝2，∴抛物线的解析式为 y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)∵y＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴对称轴为直线 x ＝1.∵A ，B 是抛物线与 x 轴的交点，∴点 A ，B 关于直线 l 对称，∴PA ＋PC 最小时，点 P 就是直线 BC 与直线 l 的交点(如图)．∵B (3，0)，C (0，3)，∴直线 BC 的解析式为 y ＝－x ＋3.∵点 P 在直线 l 上，∴点 P 可设为(1，m )．将(1，m )代入 y ＝－x ＋3，可得 m ＝2，∴P (1，2)．2．解：(1)由已知，得⎧a ＋b ＋3＝0， ⎧a ＝4， ⎨ 解得⎨ 15 ⎩16a ＋4b ＋3＝0， ⎩b ＝－ 4 . ∴抛物线的解析式为 y 3 2 15＋3.＝4x － 4 x(2)∵A ，B 关于对称轴对称，如图，连接 BC ，∴BC 与对称轴的交点即为所求的点 P ，此时 PA ＋PC ＝BC ，∴四边形 PAOC 的周长的最小值为 OC ＋OA ＋BC .∵A (1，0)，B (4，0)，C (0，3)， ∴OA ＝1，OC ＝3，BC ＝ OB 2＋OC 2＝5，∴OC ＋OA ＋BC ＝3＋1＋5＝9，∴在抛物线的对称轴上存在点 P ，使得四边形 PAOC 的周长最小，四边形 PAOC 周长的最小值为 9.3． 解：(1)∵抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 经过 C (0，3)，∴c ＝3.∵抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋3 经过 A (－3，0)，B (1，0)，⎧0＝a ＋b ＋3， ∴⎨ ⎧a ＝－1， ∴⎨⎩0＝9a －3b ＋3， ⎩b ＝－2，∴抛物线的解析式为 y ＝－x 2－2x ＋3.(2)过点 C 作直线 l 的对称点 E ，过点 E 作 EG ⊥AB 于点 G ，过点 Q 作 QF ∥PE ，交 EG 于点 F ，连接 FB ，如图，则有 PC ＝PE ，EF ∥PQ .∵EF ∥PQ ，QF ∥PE ，∴四边形 EFQP 是平行四边形，∴EF ＝PQ ＝1，PE ＝FQ ，∴PC ＝FQ ，∴PC ＋QB ＝FQ ＋QB ，根据两点之间线段最短可得 FQ ＋QB (即 PC ＋QB )的最小值为 FB .∵抛物线 y ＝－x 2－2x ＋3 的对称轴为直线 x ＝－1，C (0，3)，∴点 E 的坐标为(－2，3)， ∴点 F 的坐标为(－2，2)．在 Rt △FGB 中，FG ＝2，GB ＝1－(－2)＝3，根据勾股定理可得 FB ＝ FG 2＋GB 2＝ 13.∴PC ＋QB 的最小值为 13.4．解：(1)∵抛物线 y ＝x 2＋bx ＋c 过点 A (3，0)， B (1，0)， ⎧9＋3b ＋c ＝0， ⎧b ＝－4， ∴⎨ ⎩1＋b ＋c ＝0， 解得⎨ ⎩c ＝3， ∴抛物线的解析式为 y ＝x 2－4x ＋3. (2)令 x ＝0，则 y ＝3，∴点 C (0，3)， 则直线 AC 的解析式为 y ＝－x ＋3. 设点 P (x ，x 2－4x ＋3)．∵PD ∥y 轴， ∴D (x ，－x ＋3)， ∴PD ＝(－x ＋3)－(x 2－4x ＋3)＝－x 2＋3x ＝－(x 3 2 9 ．∵a ＝－1＜0，∴当 x 3 －2) ＋4(0<x <3) PD 的长度有最大值9＝2时，线段 4.(3)∵抛物线的对称轴垂直平分 AB ，∴MA ＝MB .由三角形的三边关系，可知|MB －MC |＜BC ，∴当 M ，B ，C 三点共线时，|MB －MC |的值最大，为 BC 的长度． 设直线 BC 的解析式为 y ＝kx ＋m (k ≠0)，⎧k ＋m ＝0， ⎧k ＝－3， 则⎨ ⎩m ＝3， 解得⎨⎩m ＝3，∴直线 BC 的解析式为 y ＝－3x ＋3.∵抛物线 y ＝x 2－4x ＋3 的对称轴为直线 x ＝2，∴当 x ＝2 时，y ＝－3×2＋3＝－3，∴M (2，－3)，即抛物线的对称轴上存在点 M (2，－3)，使|MA －MC |的值最大．5．解：(1)设抛物线的解析式为 y ＝ax 2＋bx ＋c .3 ⎧ ＝－4， ， ⎨ 由题意易知 A (1，0)，B (0，3)，C (－4，0)，⎧a ＋b ＋c ＝0， ∴⎨c ＝3， ⎩16a －4b ＋c ＝0，⎧a 3 解得⎨b9 ⎩＝－4， c ＝3， ∴经过 A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为 y ＝－3 2 9 ＋3.(2)存在．∵OB ＝3，OC ＝4，OA ＝1，∴BC ＝AC ＝5，AB ＝ 10. 如图，当 BP 綊 AC 时，四边形 ACBP 为菱形，∴BP ＝AC ＝5，且点 P 到 x 轴的距离等于 OB ，∴点 P 的坐标为(5，3)．4x －4x当点 P 在第二、三象限时，以点 A ，B ，C ，P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不 是菱形，∴当点 P 的坐标为(5，3)时，以点 A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为菱形．(3)设直线 PA 的解析式为 y ＝kx ＋m (k ≠0)．∵点 A (1，0)，P (5，3)在直线 PA 上，⎧k ＝ ， ⎧5k ＋m ＝3，4 ∴⎨ ⎩k ＋m ＝0， 解得⎨ ⎩m ＝－3 4 ∴直线 PA 的解析式为 y 3 3＝4x －4.当点 M 与点 P ，A 不在同一直线上时，根据三角形的三边关系，知|PM －AM |<PA ， 当点 M 与点 P ，A 在同一直线上时，|PM －AM |＝PA ，∴当点 M 与点 P ，A 在同一直线上时，|PM －AM |的值最大，即 M 为直线 PA 与抛物线的交点． 3 3 y ＝ x － ， 解方程组 4 4 3 9 ⎩y ＝－4x 2－4x ＋3， ⎧x 1＝1，⎧⎪x 2＝－5， 得⎨ ⎨ 9 ⎩y 1＝0，⎪⎩y 2＝－2， ∴点 M 的坐标为(1，0)或(－59 时，|PM －AM |的值最大．此时|PM －AM |的最大值 为 5.6．解：(1)如图①，连接 CH .，－2)由轴对称的性质，得 CH ⊥AB ，BH ＝BO ，CH ＝CO ，∴在 Rt △CHA 中，由勾股定理，得4 AC 2＝CH 2＋AH 2. ∵直线 y 3 ＋6 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A ，B ， ＝－4x ∴当 x ＝0 时，y ＝6，当 y ＝0 时，x ＝8， ∴B (0，6)，A (8，0)， ∴BO ＝6，OA ＝8， 在 Rt △AOB 中，由勾股定理，得 AB ＝10. 设 C (p ，0)，则 OC ＝p ， ∴CH ＝p ，AH ＝4，AC ＝8－p ， ∴(8－p )2＝p 2＋42，解得 p ＝3，∴C (3，0)． 设抛物线的解析式为 y ＝ax 2＋bx ＋c . ⎧a 1 ⎧6＝c ， ＝4， 由题意，得⎨64a ＋8b ＋c ＝0，解得⎨b 11 ⎩0＝9a ＋3b ＋c ， ＝－ ， ⎩c ＝6， ∴抛物线的解析式为 y 1 2 11x ＋6. ＝4x － 41 2 11 1⎛x 11⎫ (2)不存在．理由：如图②，设抛物线对称轴交 x 轴于点 F .∵y ＝4x － 4 x ＋6＝4⎝ － 2 ⎭ 2 25 －16， ∴ 11 25 25 D ( 2 ，－16)，∴DF ＝16. 设直线 BC 的解析式为 y ＝kx ＋b ′，则有 ⎧6＝b ′， ⎨ ⎧k ＝－2， 解得⎨ ⎩0＝3k ＋b ′， ⎩b ′＝6， ∴直线 BC 的解析式为 y ＝－2x ＋6. 设存在点 P 使四边形 ODAP 是平行四边形，P (m ，n )． 过点 P 作 PM ⊥OA 于点 M ， 则∠PMO ＝∠AFD ＝90°，PO ＝DA ，PO ∥DA ， ∴∠POM ＝∠DAF ，∴△OPM ≌△ADF ， ∴PM ＝DF ＝n 25 25 2m ＋6， ＝16，∴16＝－ ∴m 71 ＝32， 但 OM ＝AF ＝8 11 5 71 － 2 ＝2≠32， ∴点 P 不在直线 BC 上，即直线 BC 上不存在满足条件的点 P . (3)由题意得，平移后的抛物线的解析式为 y 1 －2)225 为直线 x ＝2.＝4(x －16，∴平移后抛物线的对称轴1 9∴⎨9当x＝0 时，y＝－16；当y＝0 时，01(x－2)225＝41 9解得x1＝－，x2＝.－16，2 2∵点G 在点N 的左侧，∴G(19 9－2，0)，E(0，－16)，N(2，0)．如图③，连接EG，直线EG 交直线x＝2 于点Q，则此时点Q 到E，N的距离之差最大．设直线EG 的解析式为y＝k0x＋b0，则⎧0＝－2k0＋b0，⎧k0＝－8，⎨9 解得⎨9⎩b0＝－16，⎩b0＝－16，∴直线EG 的解析式为y＝－9 9⎧y 9 9 8x－16，⎧x＝2，⎪＝－8x－16，⎪解得⎨ 45⎪⎩x＝2，∴Q(2 45 ．⎪⎩y＝－16，，－16)。