2020年中考复习专题：线段和差最值问题课件(共18张PPT)

∴抛物线的表达式为y＝－1x2＋5x－2 ，
∵抛物线y＝－1x2＋5x－22可化为2 y＝－1(x2－5x)－2＝－1(x－5)2＋9
22 ∴顶点D的坐标为( 5，9
28
2 )，对称轴l为直线x＝
5
2
；
2 28
(2)设点G是y轴上一点，是否存在点G，使得GD＋GB的值最小，若存在，求出 点G的坐标；若不存在，请说明理由； 温馨提示：要使GD＋GB的值最小，一般是通过轴对称作出 对称点来解决．
解：存在．如解图②，要使GD＋GB的值最小，取点B关于y 轴的对称点B′，点B′的坐标为(－1，0)． 连接B′D，直线B′D与y轴的交点G即为所求的点，
解：如解图①，由点E在x轴上，可设点E的坐标为(e，0)，连接CE，
则AE＝AO－OE＝4－e，
在Rt△COE中，根据勾股定理得
CE2＝OC2＋OE2＝4＋e2，
存在．要使△BCF的周长最小，即BC＋BF＋CF最小，如解 图③所示，连接BC. 在Rt△OBC中，OB＝1，OC＝2，由勾股定理得BC＝ 12＋22 ＝ 5 ，为定值， ∴当BF＋CF最小时，△BCF的周长最小，
∵点B与点A关于直线l对称，
∴AF＝BF，
则BF＋CF＝AF＋CF，
∴直线AC与对称轴l的交点即为所求的点F，连接BF，
在△BFE和△EGB″中，
∠BFE＝∠EGB″＝90° ∠FBE＝∠GEB″
∴△BFE≌△EGB″，
BE＝EB″
∴EG＝BF＝ 3 ，B″G＝EF＝ 6 ，
∴B″(
8＋3，5－(6＋6) 55 55
5 )，即B″(
11，－12 55
)，
设直线B′B″的表达式为y＝k′x＋b′，
将 B′(－1，0)、B″ (11，－12) 代入得 0＝－k′＋b′，
E，
∵ y＝－1x2＋5x－2＝－1(x－1)(x－4)
22
2
∴B(1，0)，
∴B′(－1，0)， ∵直线AC的表达式为y＝ 1 x－2，
2 ∴设直线BB″的表达式为y＝－2x＋k，
将B(1，0)代入得k＝2，
∴直线BB″的表达式为y＝－2x＋2，
联立 y＝ 1x－2 2
y＝－2x＋2
解得
x＝
8 5
y＝－6
5
∴E( 8 ，－6 )， 如图，5过点E5作EF⊥x轴于点F，过点E作EG∥x轴，过点B″作B″G⊥EG，则
F( 8，0)，
5 ∴BF＝
8－1＝3
，EF＝
6
，
55
5
∵点B与点B″关于直线AC对称，
∴BE＝EB″，
∵EG∥x轴，
∴∠FBE＝∠GEB″，
∵EF⊥x轴，B″G⊥EG，
∴∠BFE＝∠EGB″＝90°，
∵CE＝AE，
∴CE2＝AE2，
∴4＋e2＝(4－e)2，
解得e＝ 3 ，
2 ∴点E的坐标为(
3
，0)；
2
(3)在直线l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小，若存在，求出点F的坐 标及△BCF周长的最小值；若不存在，请说明理由；
【温馨提示】要使△BCF周长最小，BC长为定值，即要使 CF＋BF的值最小．
②同侧差最小值问题
如图，两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最小 方法：当PA＝PB时，|PA－PB|＝0.根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离 相等，连接AB，作线段AB的垂直平分线与直线l的交点即为点P
③同侧差最大值问题
如图，两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大 方法：根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|＜AB，则|PA－PB|的 最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P
55 k′＝－3，
－12＝11k′＋b′， 55
解得
4
b′
＝－3， 4
∴令直x＝线0，B′B得″y的＝表－达3式，为y＝－34x－34 ∴S(0，－3 )， 4
4
y＝1x－2， 联立 2
y＝－3x－3， 44
x＝1，
解得
y＝－3， 2
∴K(1，－3)，）2＋（0－（－12））2
2 (1)求抛物线的表达式、顶点D的坐标及对称轴l；
(1)解：对于直线y＝ 1 x－2， 2
令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝－2， ∴点A(4，0)，点C(0，－2)，
将A，B，C三点的坐标代入抛物线解析式，
16a＋4b＋c＝0
得 a＋b＋c＝0
c＝－2
解得
a＝ －1 b＝ 5 2
2 c＝－2
2．线段数量关系问题：根据前面所得的线段长的关系式，结合题干列出满足线 段数量关系的方程，解方程求解即可(注意排除不符合题意的数值)．
3．线段最值问题：求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题， 首先联想到“对称性质”，最常见的有以下模型： (1)定直线与两定点 ①同侧和最小值问题
如图，两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小 方法：将两定点同侧转化为异侧问题．作点B关于直线l的对称点B′，连接A B′， 与直线l的交点即为点P；也可作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′
人教版九年级数学
中考复习专题
线段和差最值问题
考点梳理
1．确定线段长关系式(根据已知线段关系求点坐标)：先在图中找出对应线段，弄 清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含 一个未知数；继而表示出线段的长度(如果该线段与坐标轴平行的话，则利用横纵 坐标相加减确定；如果与坐标轴不平行的话，先转化为在有边与坐标轴平行的三 角形中，再利用勾股定理、锐角三角函数或相似确定)．
将x＝ 5 代入直线y＝ 1 x－2，得y＝ 1 × 5－2＝－ 3，
2 ∴点F的坐标为(
5
2 ，－
3
)，
22
4
2
4
在Rt△AOC中，由AO＝4，OC＝2，根据勾股定理得AC＝
∴△BCF周长的最小值为BC＋AC＝3 5；
42＋22＝2 5，
(4)点S为y轴上任意一点，K为直线AC上一点，连接BS，BK，是否存在点S，K 使得△BSK的周长最小，若存在，求出S，K的坐标，并求出△BSK周长的最小 值；若不存在，请说明理由；
④异侧差最大值问题
如图，两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大 方法：将异侧点转化为同侧，同③即可解决．作点B关于直线l的对称点B′， 连接AB′并延长，与直线l的交点即为点P
典例精析
例 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A，B(1，0)，与y轴交于点C， 直线y＝ x－1 2经过点A、C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l.
【温馨提示】要求△BSK周长的最小值，可分别作点B关 于y轴和直线AC的两个对称点B′、B″，连接B′B″与y轴和 直线AC交点即为使得△BSK的周长最小的点S、K，最小 值即线段B′B″的长．
解：存在．如图，作点B关于y轴的对称点B′，关于直线AC的对称点B″，连接
B′B″与y轴、直线AC的交点即为△BSK周长最小时的S、K，连接BB″交AC于点
5
5
＝
（－16）2＋（12）2
5
5
＝4，
综上所述，存在点S(0，－3)，点K(1，－3 )使得△BSK的周长最小，最
4
2
小值为4；