1.二分法及迭代法
- 格式:ppt
- 大小:1022.50 KB
- 文档页数:12
python中的迭代法Python中的迭代法迭代法是一种常用的问题求解方法,在Python中也有广泛的应用。
它通过重复执行某个过程,逐步逼近问题的解,直到满足预定的条件为止。
本文将介绍Python中迭代法的基本概念、应用场景以及一些常见的迭代法算法。
一、迭代法的基本概念迭代法是一种基于循环的计算方法,通过多次重复执行相同的操作,逐步逼近问题的解。
在Python中,可以使用循环结构(如for循环、while循环)实现迭代法。
迭代法的基本思想是将问题分解为多个小的子问题,通过解决子问题逐步逼近最终解。
二、迭代法的应用场景迭代法在实际问题求解中有广泛的应用,以下是一些常见的迭代法应用场景:1. 数值计算:如求解方程的根、计算数列的和等;2. 优化问题:如求解最优化问题、最小二乘法等;3. 迭代算法:如迭代法求解线性方程组、迭代法求解非线性方程组等;4. 图像处理:如图像的模糊处理、边缘检测等。
三、常见的迭代法算法1. 二分法:二分法是一种简单而常用的迭代法算法,用于求解单调函数的零点。
基本思想是通过不断缩小目标值所在的区间,最终找到目标值的近似解。
例如,可以使用二分法求解一个函数f(x)=0的解。
2. 牛顿法:牛顿法是一种迭代法求解方程根的算法,具有快速收敛的特点。
它通过利用函数的切线逼近方程的解,不断迭代求解。
例如,可以使用牛顿法求解一个函数f(x)=0的解。
3. 雅可比迭代法:雅可比迭代法是一种常用的迭代法求解线性方程组的算法。
它通过将线性方程组转化为迭代形式,逐步逼近方程组的解。
例如,可以使用雅可比迭代法求解线性方程组Ax=b。
4. 高斯-赛德尔迭代法:高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进算法,具有更快的收敛速度。
它通过使用前一次迭代得到的解来逼近方程组的解,不断迭代求解。
例如,可以使用高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组Ax=b。
四、总结迭代法是一种常用的问题求解方法,在Python中也有广泛的应用。
⽜顿迭代法、⼆分法,定点法的区别与联系⽜顿迭代法、⼆分法,定点法的区别与联系⽜顿迭代法⽜顿迭代法,它是⽜顿在17世纪提出的⼀种在实数域和复数域上近似求解⽅程的⽅法。
多数⽅程不存在求根公式,因此求精确根⾮常困难,甚⾄不可能,从⽽寻找⽅程的近似根就显得特别重要Newton法是求解⽅程f(x)=0的最著名的和最有效的数值⽅法之⼀,其基本思想可以是将⽅程转化为线性⽅程来求解,设f(x)连续可微,则将函数f(x)在x点处k进⾏taylor展开,即如果,取taylor展开式的线性部分近似代替f(x),得到f(x)=0的近,则得到似⽅程,将此⽅程的根记作xk+1这就是Newton迭代公式迭代函数为不动点迭代将⽅程f(x)=0改写成等价⽅程则⽅程的根⼜称为函数的不动点.,⽤迭代格式为了求的不动点,取⼀个初始近似值x,k=1,2产⽣序列{x},这种迭代法我们称之为不动点迭代,或简单迭代⼜称为迭k代函数.假设⼀个迭代法产⽣的序列{x},k=0,1,2,,收敛,,X*是⽅k程f(x)=0的⼀个解.区间对分法区间对分法是求解⽅程f(x)=0的⼀种直观⽽⼜简单的迭代法,它是建⽴在介值定理的理论基础之上的,第⼀个取值点取在含优区间的1/2处,然后逐渐逼近最优值的单因素试验设计⽅法。
联系都是⽤来近似求⽅程根的⽅法,利⽤数列收敛于⽅程的根。
在应⽤⽅⾯,区间对分法可⽤来求根的初始近似值,以供其它对初始值要求严格的迭代法使⽤,⽜顿法和不定点迭代法都有局限性,收敛有⽅向性,如果初始值选的不恰当,则⽅程不收敛,也就不能得到⽅程的根。
另外,⽅程f(x)=0和x=是等价的,于是 Newton迭代公式也属于不动点迭代。
区别对分法每次50%的区间舍弃,试验选值跨跃的幅度过⼤,会使对分法漏掉了最佳值。
从此误差估计式看出,近似解的误差下降速度较慢.但此⽅法⽐较简单,且安全可靠.在实际应⽤中,.需要注意的是此⽅法只能求单实根,⽽不能求复根或偶数重根.在⽜顿迭代和不动点迭代中,对不动点⽅程x=,它导出的迭代过程有可能发散,也可能收敛得⾮常缓慢,注意到x=x和x=都是不动点⽅程,它们的加权平均h(x)=也是不动点⽅程,⽽h(x) 和有完全相同的不动点。
二分法和牛顿迭代法求解方程的比较200822401018 徐小良一、问题叙述求解1232cos 0x x -+=的解;通过编写matlab 程序分别用分析二分法和牛顿迭代法求解方程,通过两种方法的比较,分析二者求解方程的快慢程度。
二、问题分析由matlab 画图命令,容易得到此方程解的范围为(2,4);两种迭代方法,在使用相同的误差(0.00001)的情况下,得出matlab 迭代次数,通过次数的比较得出二者求解速度快慢比较。
三、实验程序及注释(1)、二分法程序:clear; %清除所有内存数据; f=inline('12-3*x+2*cos(x)');format long %数据显示格式设为长型; a=2;b=4; %求解区间; er=b-a;ya=f(a);k=0;er0=0.00001; %误差分析; while er>er0 x0=.5*(a+b); y0=f(x0); if ya*y0<0b=x0; %二分法求解程序; elsea=x0; ya=y0; enddisp([a,b]);er=b-a;k=k+1 %显示各个区间值和求解次数; enddisp([a,b]); %显示最后一个区间值; (2)、牛顿迭代法程序:clear; %清除所有内存数据; f=inline('12-3*x+2*cos(x)');format long %数据显示格式设为长型; b=3;a=4;k=0; %求解区间; y0=f(b);y=f(a);while abs(b-a)>0.00001 t=a-y*(a-b)/(y-y0);b=a;y0=y; %牛顿迭代法求解程序; a=t;y=f(a); k=k+1;disp([b,a]);k %显示各个区间值和求解次数; enddisp([b,a]); %显示最后一个区间值;四、实验数据结果及分析表2:牛顿迭代法程序结果五、实验结论通过表1可知,在二分法下,程序迭代了17次后和第18次的结果一致,即程序迭代了17次达到要求的试验误差;通过表2可知,在牛顿迭代法下,程序迭代了4次后和第5次的结果一致,即程序迭代了4次达到要求的试验误差;二者比较明显可以看出牛顿迭代法的求解效率要远远优于二分法。
整数开方快速算法整数开方是计算一个正整数的平方根的操作,即找到一个整数x,使得x的平方小于或等于给定的整数n,而x+1的平方大于n。
在计算机科学中,常用的整数开方算法有三种:二分法、牛顿迭代法和位操作法。
下面将详细介绍这三种算法。
1.二分法:二分法是一种基于二分查找的算法,在整数范围内逐渐缩小查找区间,直到找到最接近目标整数的平方根。
算法步骤如下:-初始化左边界l为0,右边界r为给定整数n。
-循环直到找到最接近目标整数的平方根:- 计算中间值mid = (l + r) / 2- 如果mid的平方大于n,则将r更新为mid-1,否则将l更新为mid+1-返回l作为整数开方的结果。
二分法的时间复杂度为O(logn),因为每次区间减半。
2.牛顿迭代法:牛顿迭代法是一种迭代求解方程的方法,通过反复迭代的方式逼近函数的根。
对于求解整数开方的问题,可以将其转化为求解方程x^2-n=0,其中n为给定整数。
算法步骤如下:-初始化初始值x0为n。
-循环直到收敛:-计算新的近似值x1=(x0+n/x0)/2-如果x1与x0的差值小于一个很小的阈值,则停止迭代。
-否则,将x1作为新的近似值,继续迭代。
-返回x1作为整数开方的结果。
牛顿迭代法的时间复杂度取决于迭代次数,通常收敛得非常快,因此可以认为是常数时间复杂度。
3.位操作法:位操作法是一种利用位运算的技巧来计算整数开方的方法。
算法步骤如下:-初始化变量x为给定整数n。
-如果x大于1:- 计算tmp = (x + n / x) / 2- 如果tmp等于x,则返回x作为整数开方的结果。
- 否则,将tmp赋值给x,继续循环。
位操作法的时间复杂度同样取决于迭代次数,但通常比牛顿迭代法多一些迭代次数。
综上所述,整数开方的三种常见算法为二分法、牛顿迭代法和位操作法。
不同的算法在时间复杂度和实际运行效率上有所差异,选择合适的算法取决于具体的应用场景和需求。