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上册刘徽九章算术刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。
《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。
在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。
在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。
在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果。
他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……，割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”他计算了3072边形面积并验证了这个值．刘徽提出的计算圆周率的科学方法，奠定了此后千余年中国圆周率计算在世界上的领先地位。
刘徽在数学上的贡献极多，在开方不尽的问题中提出“求徽数”的思想，这方法与后来求无理根的近似值的方法一致，它不仅是圆周率精确计算的必要条件，而且促进了十进小数的产生；在线性方程组解法中，他创造了比直除法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一致；并在中国数学史上第一次提出了“不定方程问题”；他还建立了等差级数前n项和公式；提出并定义了许多数学概念：如幂（面积）；方程（线性方程组）；正负数等等．刘徽还提出了许多公认正确的判断作为证明的前提。
他的大多数推理、证明都合乎逻辑，十分严谨，从而把《九章算术》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基础之上．虽然刘徽没有写出自成体系的著作，但他注《九章算术》所运用的数学知识实际上已经形成了一个独具特色、包括概念和判断、并以数学证明为其联系纽带的理论体系．刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作．《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目．刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。
《动态数学思维》教案本讲教材及练习册答案：教材：例1：1×9+2×（99-9）+3×（124-99）=264（个）变式练习: 1×9+2×（99-9）+3×（138-99）=306（个）例2：1到9页：9个，10到99页：180个，100到999页：3×（999-99）=2700（个）3209-9-180-2700=320，320÷4=80（页），999+80=1079（页）例3：被撕掉的是第15，16页。
大胆闯关1. 872. 258页3. 1+2+…+80=3240，3240-3233=7，是第7页。
4.第2002个数字是7。
练习册：1. 9+180+（186-99）×3= 450（个）2. (2205-9-180)÷3+99=771（页）3. 1+2+… +64=2080,2080-2009=71所以是35，364. 个位上10个，十位上10个。
共20个。
补充练习：1.小青买了一本《动物世界》，共有354页。
这本书编页码共需多少个数字？2.一本书共126页，把这本书的页码累加起来时，有一个页码漏加了，结果得到的和是7973。
这个被漏加的页码是多少？3. 一本书共有204页，将这本书的页码依次排列为1、2、3、4、5、6、……，问：在这204页书中，数字“2”一共出现了多少次？4. 希望小学学生使用的学生证能反映很多信息，比如19980415，表示这位同学是1998年入学、4班、学号是15号。
（1）明明捡到一张学生证，你认为他能找到失主吗？为什么？（2）你认为还可以在学生证中增添哪些信息，使该校学生信息更具体？5.先了解我国身份证号码的基本信息，然后回答下面问题。
41270119491024××45 41270119761220××55 41270119480606××38（）（）（）（1）上面分别是爷爷、奶奶和爸爸的身份证号码，请你判断并在括号中填出分别是谁的身份证号码？（2）根据身份证号码的信息，爸爸出生于（）年（）月（）日。
第9讲小小足球迷——列方程解应用题【教学内容】《佳一数学思维训练教程》秋季全国版，5年级第9讲“小小足球迷——列方程解应用题”。
【教学目标】知识技能使学生进一步掌握列方程解应用题的步骤和思路，能比较熟练地找出应用题数量之间的相等关系，提高列方程解应用题的能力。
数学思考通过让学生独立思考，合作探索等方法让学生能根据应用题的特点选择恰当的方法来解答。
问题解决1.尝试从日常生活中发现并提出简单的数学应用题，并利用列方程的方法加以解决；2.探索分析解决简单应用题的有效方法，了解解决问题方法的多样性。
情感态度进一步培养学生分析数量关系的能力，发展学生的思维。
【教学重点和难点】教学重点能根据应用题的特点灵活地选择恰当的方法来解答应用题。
教学难点能根据应用题的特点灵活地选择恰当的方法来解答应用题。
【教学准备】动画多媒体语言课件。
第一课时教学过程：第二课时教学过程：本讲教材及练习册答案：教材：例1：五年级有96人，六年级有32人报名参加足球队。
变式练习：足球小组39人，篮球小组13人。
例2：第一组原来有78人，第二组原来有50人。
变式练习：欢欢原来有29张。
例3：乐乐买了90个苹果大胆闯关：1． 8本。
2． 70米。
3．第一条剩下72米，第二条剩下24米。
4. 6千克。
5. 相距18千米。
练习册：1．11年前2．D3．大船7只，小船3只4．B5． 5元的有20张，10元的有20张，2元的有40张。
本讲内容的补充习题：1．甲数是90，乙数比甲数少25，设乙数是X，可列方程（），解得X=（）。
X+25=90 X=652．兄弟两人的年龄相差8岁，今年哥哥的年龄正好是弟弟年龄的3倍，哥哥和弟弟今年各是多少岁？弟弟4岁，哥哥12岁3．水果店有苹果和香蕉共150千克，苹果和香蕉各卖出15千克后，剩下的苹果刚好是香蕉的3倍，水果店原来有苹果和香蕉各多少千克？香蕉45KG 苹果105KG4．一个梯形的上底是18厘米，高是15厘米，面积是2400平方厘米，这个梯形的下底是多少厘米？302厘米5.爷爷养了212只鸡，比鸭的只数的3倍多44只，爷爷养了多少只鸭？56只鸭6.妈妈买了6千克豆角和5千克土豆，付了20元，找回3.9元，已知每千克豆角1.6元，每千克土豆多少元？1.3元7.美术老师给同学们分画纸，如果每人分4张则多9张，如果每人分6张则少5张，有多少位同学？多少张画纸？7位同学，37张画纸。
![[数学]五年级数学思维训练](https://img.taocdn.com/s1/m/9e9574d5f90f76c661371a63.png)
五年级数学思维秋季班方法讲义：专题一《解方程》方法点播：我们先认识几个有关方程的基本概念：（1）方程是指含有未知数的等式。
（2）这个未知数的值叫做方程的解。
（3）求方程的解的过程叫做解方程。
解方程时一般要先观察未知数在整个式子中的位置，然后运用四则运算中各部分的关系来求解。
常用到的关系有：一个加数=和－另一个加数，被减数=差＋减数，减数=被减数－差，一个因数=积÷另一个因数，被除数=商×除数，除数=被除数÷商。
【典型例题】【例1】解方程：3x－2=2x＋3分析及解：方程的两边都含有未知数x，不便于求解，因此我们思考如果能消掉方程一边的未知数，则可求解。
等式中有这样的性质：在等式的两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。
分析与解：3x－2=2x＋33x－2－2x =2x＋3－2x (两边同时减去2x)3x－2－2x=3x－ 2 = 3x－ 2 ＋2 = 3＋2 (两边同时加上2)x = 5上述过程可简化为移项，移项是指将某一项从等式的一边移动到另一边。
特别注意：移项要改变运算符号。
【例2】解方程：6(3x－1)=21－4(3－4x)解法训练（一）一、解下列方程：⒈1.2 x＋2=23.6 ⒉4.2=x÷12⒊36－4x=8 ⒋3x－3.3=7.8⒌126÷x－26=16 ⒍x÷2－5=16⒎3×5＋3x=75 ⒏8x＋7－5x=25⒐2x＋23×4＋4x=134⒑3x＋6－x=26⒒7x＋4＋5x－3=37⒓4(x＋10)＋2(x－7)=122二、解下列方程：⒈(2x－27)×5.7=92.34 ⒉45×（17＋18x）=1008⒊13＋(2x－27)×5=192 ⒋100－2（15＋5x）=45⒌1.2(3x－1)=13.2⒍4(3x－15)＋30－2x =120⒎15x－3（25－2x）=30 ⒏(0.01÷x＋100)÷11=9.091 ⒐（x＋24）＋3(2 x－7)=108⒑2（8＋4x）－3（x －8）=80⒒15（2x－3）－3(5 x－20)=150⒓4（16＋3x）－3（3x ＋30）=34三、解下列方程：⒈3x=x＋5 ⒉2x＋18=4x⒊2.8x=19.32－6.4x ⒋5x＋6 = x＋24⒌3x＋5 = 5x－8 ⒍60－7x = 9x＋40 ⒎13＋7x = 5x＋20 ⒏2x－18 = 5x－48 ⒐24x＋6 = 26x－34 ⒑14x－6=10x＋8 ⒒2x＋8x－3=16＋5x⒓2x－34=(41－3x)×2四、解下列方程：⒈2(5x－9)=2x－2⒉39x＋5=64(x－1)－6⒊3x＋2=2(x＋11) ⒋5x－（13－7x ）= 10x＋13⒌2(x－1)=4x－7 ⒍3（2x＋5）= 5（x＋20）⒎7x－535=（x－3）×6 ⒏3(x－2)－1=15－2(x＋2)⒐12＋5(3x－4)=24－2(x－1) ⒑32x＋5 = 46×（x－1）＋23⒒26－（2x－5）×3 = 4x－11 ⒓0.4(x－0.2)＋1.5=0.7(2x＋1.2)专题二《列方程解应用题》方法点播：列方程解应用题指的是在解答应用题时将应用题中的未知量用字母表示，并将它作为条件来使用，然后对题目进行分析，找出题目中相等的数量关系，根据此等量关系列出方程，再解出方程即可。
《动态数学思维》教案本讲教材及练习册答案：变式练习：例1:6例1变式：4.8÷1.5=3.2例2：58.65例2变式：132.8÷8.3=16 3.8×16=60.8例3：1.2 9.58例3变式：1.3.33÷（10-1）=0.37 0.37×10=3.72.62×30+12=1872 1872÷36=52大胆闯关1. 72. 893. 37 0.374. 0.755. A：51.37÷（10+1）=4.67 B：4.67×10=46.76. 4.8÷0.3=16 10.8÷0.4=27 16×27=432练习册：1. 9.62. 25503. 5.6÷0.4=14 14＋1=15 15×0.8＋0.4=12.44. A：63.8÷（10＋1）=5.8 B：5.8×10=585. 3.6＋1.8=5.4 5.4×0.6=3.24 3.24×0.6＋1.8=3.744补充练习：1．两个因数积是100，其中的一个因数缩小8倍，另一个因数缩小125倍，积是（）。
2．小媛在计算一道乘法题时，把其中一个因数6.4看成了4.6，结果得276，原结果应该是多少？3. 两个数的和是9.4，小宾计算时将其中一个加数的小数点漏掉了，结果算出的和是60.7，求这两个数各是多少？4. 鹏鹏在计算一道除法题时，把除数65写成了56，结果得到的商是13还余52。
正确的商是多少？5. 彩虹做减法题时，把被减数个位上的3错写成5，把十位上的1错写成7，这样算得的结果是201。
正确的差应该是多少？6. 小宇和小辉同做一道乘法题，小宇将一个因数的个位数4错写成1，得出的积是525，小辉将这个因数的个位数错写成8，得出的积是700。
正确的积应是多少？7．小明在计算一道乘法题时，把因数0.65看成了6.5，结果积增加了7.02，那么原来的积应是多少？8. 两个数相乘，如果一个因数增加0.4，另一个因数不变，那么积增加0.28，如果一个因数不变，另一个因数减少0.6，那么积减少1.38，原来的正确乘积是多少？补充练习答案：1. 0.12. 3843. 3.7和5.74. 125. 1396. 6007. 0.788. 1.61。
1 小数乘法例1:用竖式计算。
3.2×2.1 1.82×0.45 3.1×0.45即学即练计算：0.25×0.58 1.35×0.18例2:计算下列题目，并且验算。
0.042×0.54 0.76×0.32 0.25×0.046 验算：验算：验算：即学即练计算：0.532×0.38 1.32×0.57 5.68×3.14验算：验算：验算：例3:四川乐山大佛的高度是76米，无锡灵山大佛高度比四川乐山大佛的1.15倍还多0.6米，无锡灵山大佛高度是多少米？即学即练鸵鸟的最高速度比非洲野狗的1.3倍还多1.12千米，非洲野狗的最高速度是56千米／时，鸵鸟的最高速度是多少千米／时？综合拓展计算，结果保留两位小数。
6.03×0.25即学即练计算，结果保留两位小数。
3.45×1.242 整数乘法运算定律推广到小数情景体验程程在商店买了6.5元的笔记本，付钱时，她交给营业员10元钱，营业员说：“你再给我5角钱，我找给你4元整。
”营业员说对了吗？你知道营业员为什么能这么快算出来吗？告诉你吧，因为小数也继承了整数运算中的运算定律和技巧，并形成了自己独特的技巧，营业员就是运用了相关技巧，从而快速地计算出基础巩固例1:0.125×9×0.8 4.8×0.25 2.33×0.5×4即学即练简便计算。
1.25×4.8 0.25×2.4 12.5×0.4×2.5×8例2:简便计算。
4.3×0.99 1.5×105计算：9.5×1.01 1.2×2.5+0.8×2.5综合拓展例3:用不同的办法对下列各题进行简便计算。
4.8×0.25 888×1.25即学即练计算：4.4×0.25 0.125×32例4:用简便方法计算。
回族区南关小学特色校本课程数学思维训练教程五年级数学思维训练兴趣小组试用回族区南关小学五年级数学思维训练兴趣小组活动目的：通过配合课堂教学，延伸课内知识，进行有计划、有步骤的课外数学思维能力专项训练，对于进一步激发学有余力学生的学习兴趣、开阔数学视野、培养数学思维、掌握数学学习方法具有莫大的好处，为学生中学阶段学好数学奠定坚实的基础。
动内容活：自编数学思维训练教材，主要包括小数的简便运算和循环小数与计算、数的整除、质数与合数、分解质因数、因数的个数与因数的和、最大公因数与最小公倍数、奇数与偶数、巧算表面积和体积等。
活动时间：每周四下午两节课后进行（其中，期中考试和期末考试复习期间暂停3次）活动地点：多媒体教室组织办法：在开学第二周，在学生自愿报名的基础上，结合学生平时的数学学习情况，选拔活动小组成员。
效果评价：以作业、上课表现和测试结果来进行评价。
参加人员：五年级学生指导教师：王建民第一讲小数乘法的运算技巧探究目标：1、能熟练的根据乘法运算的规则、数字特征、运算定律、性质、公式等，进行简算和速算。
2、培养善于观察、灵活运用基础知识的能力，能正确、迅速、合理、灵活的解答有关运算问题。
3、养成整体观察、深入理解、有序思考、细心解题的良好习惯。
探究过程：例1计算：（1）438.9×5 （2）574.62 ×25解析：（1）由于5=10÷2，因此，可以先把438.9乘以10，再除以2，所得的商就是438.9与5的积。
即解：438.9×5=4389÷2=2194.5（2）由于25=100÷4，因此，可以先把574.62乘以100，再除以4，所得的商就是574.62乘25的积。
即解：574.62×25=57462÷4=14365.5或574.62×25=574.62÷4×100=14365.5例2计算（1）47.39÷0.5 （2）12.348÷0.25解析：（1）47.39÷0.5=473.9÷5= 473.9×2÷10=94.78（2）12.348÷0.25 或12.348÷0.25=1234.8÷25 =1234.8÷25=1234.8÷5÷5 =1234.8×4÷100=246.96÷5 =4939.2÷100=49.392 =49.392例3:计算1.25×0.25×0.05×64解析：根据题目中的数字特点，为了凑整，将64分解成2×4×8，然后根据乘法交换律和结合律进行简算。
目录第一讲质数与合数 (2)第二讲分解质因数 (5)第三讲格点图形面积 (9)第四讲割补法求面积 (13)第五讲流水行船问题 (17)第六讲位值原理 (21)第八讲倍数关系求面积 (24)第九讲加乘原理问题 (29)第十讲因数与倍数 (34)第十一讲公约数与公倍数 (38)第十二讲列方程解应用题 (42)第十三讲往返相遇与追及问题一 (46)第十四讲往返相遇及追及问题二 (53)第一讲质数与合数小热身：判断下面的数能否拆成两个数的乘积（拆出的数要大于1）6、9、11、24、29、35、37、87、10、16知识精讲什么是质数?每一个数都能写成若干个数相乘的形式,考虑到任何一个数都能写成若干个1乘以它本身的形式,所以不考虑1作为乘数的情况:6=2×3,8=2×4=2×2×2、12=2×6=3×4=2×2×3……这些数都能拆成若干个不为1的数相乘的形式,我们把这样的数称为合数.而像2、3、7……这些不能拆成若干个不为1的数相乘形式的数,我们称之为质数.如果说得形象一点,质数就是“折不开”的数,合数就是拆得开的数.严格说来,质数就是只能被1和自身整除的数;合数是除了1和它本身之外,还能被其它数整除的数,注意：1既不是质数也不是合数.100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.质数是我们后面学习的基础,因此同学们一定要牢牢记住常见的质数.当然,上面的这些质数只是质数大军中的冰山一角.在100以上还有无穷多个质数,比如接着100的就有四个质数:101、103、107、109.例1：下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友、幼长相亲同切磋；比赛联谊欢声响、念一笑慰来者多；九天九霄志凌云、九七共庆手相握；聚起华夏中兴力、同唱移山壮丽歌.将诗中56个字第一行左边第一字起逐字编为1-56号、再将号码中的质数由小到大找来、将它们对应的字依次排成一行、组成一句话、请写出这句话.练1：自然数N是一个两位数、它是一个质数、而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有哪几个？知识精讲两个不同质数相加，如果和是奇数、根据奇+偶=奇、其中一个加数肯定是2、因为2是唯一的质偶数；如果和是偶数、根据奇+偶=偶、两个加数都是奇数.例2：如果两个不同的质数相加等于25、那么这两个质数的乘积是多少？练2：如果两个不同的质数相加等于15、那么这两个质数的乘积是多少？例3：如果两个不同的质数相加等于26、那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出. 练3:如果两个不同的质数相加等于16、那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出.例4：三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数的乘积可能是多少？请全部写出. 练4：如果三个互不相同的质数相加、和为52、这三个质数可能是多少？思维拓展甲、乙两人的年龄和为一个两位质数、这个数的个位与十位数字的和是13、甲比乙大13岁、那么乙今年多大？第二讲分解质因数小热身：尝试把下面的数分别拆成两个数的乘积（拆出的数要大于1）：12、25、39、87、121、134、345.知识精讲通过前面的学习、我们知道了质数与和合数的概念.而每个合数也都可以写成几个质数相乘的形式、比如30=2×3×5.其中质数2、3、5、我们称之为30的质因数、那么这个拆分的过程就叫做分解质因数.同学们请注意：分解式应该把质因数按从小到大的顺序写好、每个数分解质因数的形式是唯一的.我们一般使用短除法来分解因数.如下图所示、我们将30分解质因数、在计算的过程中要善用各种特殊数的整除特性.能整除30的质数2 相除后得到的商3100在分解质因数时也可以写成：100=2²×5²；280在分解因数时也可以写成280=2²×5×7.这种写法更简洁更方便、其中位于质因数右上角、表示质因数个数的数叫作指数、如：指数指数100=2²×5²280= 2³×5×7这里280的分解式中5和7的指数都是1、写的时候可以省略.例1：请把下面的数分解质因数：（1）360；（2）539；（3）999.练1：请把下面的数分解质因数：（1）370；（2）12660知识精讲分解质因数是学习数论问题时非常重要的方法、大家一定要能熟练的将一个数分解质因数、这应该作为一项基本的能力来培养.下面我们来看看如何利用分解质因数来解决问题.例2：三个自然数的乘积为84，其中两个数的和正好等于第三个数.求这三个数.练2：3个连续自然数的乘积是210，这三个自然数分别是多少？知识精讲通过上面例题的讲解，相信大家能体会到分解质因数的好处.它就像手术刀一样、把整数解剖开来、让我们把整数的组成结构看得一清二楚.很多看似复杂的问题、如果从分解质因数的角度来看、就变得非常简单.例3:算式1×2×3×…×100的计算结果的末尾有多少个连续的0？练3:算式1×2×3×…×30的计算结果的末尾有多少个连续的0？例4:算式31×32×33×…×200的计算结果的末尾有多少个连续的0？练4:算式11×12×13×…×75的计算结果的末尾有多少个连续的0？思维拓展三个连续自然数的乘积等于39270、那么这三个数的和等于多少？第三讲格点图形面积小热身：（1）已知一个三角形的一条边长为8、这条边上的高是6、那么三角形的面积是多少？（2）已知一个长方形的面积为60、长为12、那么宽是多少？（3）已知一个正方形的边长为6、那么面积是多少？（4）已知一个平行四边形的面积为20、底为5、该底所对应的高是多少？知识精讲在平面几何知识中，面积计算是最重要的组成部分之一．我们已经学过了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形面公式，你还记得这些公式吗？这一讲我们将学习格点图形的面积、用线段连结格点围成的封闭图形称之为格点图形.虽然我们已经学习了基本直线形的面积公式，然而大多数的格点图形都无法直接计算面积，需要我们通过这节课的探索学习去找到方法．常见的格点有正方形格点和三角形格点.将大块不规则图形“分割”成许多规则的图形，这种方法称为“分割法”；但是不一定每个图形都很容易分割，有时我们把不好算的图形“添补”成规则的大图形，计算时用大图形的面积减去空白部分的面积、这种方法称为“添补法”.分割法，正所谓“大事化小”、把不规则的大图形化为規则的小图形.添补法则正好相反，是“以小见大”，把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算.使用割补法的时候，一般应该从形的顶点出发，尽量沿着格线划分，以便与小方格的面积找到联系或者利用垂直等性质.例1：图中每个小正方形的面积是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？练1：图中相邻两格点间的距离均为1厘米、那么阴影部分的面积分别是多少平方厘米？知识精讲对于简单的格点图形、都可以使用割补法计算面积，但是对于复杂的格点图形，使用割补法会非常繁琐，有没有更简单明了的方法呢？我们接下来看一个简单快捷的方法，从格点数入手.围成阴影部分的边线、经过了一些格点.这些边界上的格点叫做边界格点、简称边点；格点图形还完全盖住了一些格点、这些图形内部的格点叫做内部格点、简称内点.正方形格点图形面积＝（内点＋边点÷2-1）×单位正方形面积；三角形格点图形面积＝（2×内点＋边点－2）×单位三角形面积.例2：图中相邻格点围成的小正方形的面积均为1平方厘米.这个多边形的面积是多少平方厘米？练2：图中相邻格点围成的最小正方形面积为1平方厘米，这个多边形的面积是多少平方厘米？例3：如图，每一个最小正方形的面积是3平方厘米.阴影部分的面积是多少平方厘米？练3：如图、每一个最小正方形的面积是3平方厘米.阴影部分的面积是多少平方厘米？例4：如图、每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？练4:如图、每个最小等边三角形的面积都是2平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？思维拓展图中每个小三角形的边长为1厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？第四讲割补法求面积小热身：(1)已知一个长方形的面积为72、长是12、那么宽是多少？(2)已知一个正方形的边长为5、那么面积是多少？(3)已知一个正方形的对角线为6、那么面积是多少？(4)已知一个平行四边形的面积为10、底为5、那么这个底所对应的高是多少？知识精讲我们学习了如何计算格点图形的面积、介绍了正方形格点面积计算公式.根据公式、我们可以求出正方形格点面积是最小正方形面积的几倍.随着几何学习的步步深入大家会发现除了用公式法直接求面积之外、还有很多简介求面积的方法.尤其是对于不规则图形、我们并不知道这些图形的面积公式、但是通过分割、添补等各种方法把它们变换为规则的图形.例1：图中的数分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积.（单位：厘米）练1：图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积.（单位：厘米）例2：如图所示、正方形ABCD内部有一个长方形EFGH.已知正方形ABCD的边长是6厘米、图中线段AE、AH都等于2厘米.求长方形EFGH的面积.练2：如图所示、在正方形ABCD内部有一个长方形CEF.已知正方形ABCD的边长是12厘米，图中线段AE、AF都等于4厘米.求三角形CEF的面积是多少平方厘米？例3：如图所示、大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形最近的一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？练3：如图所示、大正三角形的边长为10平方厘米.连接大三角形的各边中点得四个小正三角形、取各个小正三角形的中心、再将小正三角形的中点和顶点相连、得到三个一样的小三角形、那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例4：如图，是把两个同样大小的正方形分别分成的方格表.左图阴影部分的面积是162、请问：右图中阴影部分的面积是多少？练4：如图，把两个相同的正三角形分别分成三等分和四等分、并连接这些等分点。
已知左图中阴影部分的面积是48平方分米.请问：右图中阴影部分的面积是多少平方分米？思维拓展如图所示、已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数、这个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）第五讲流水行船问题小热身：小高和小斯相距360米、小高和小斯的跑步速度分别为5米/秒和7米/秒、同时出发、那么如果两个人相向跑去、要多久相遇？如果小斯在后面追小高、要多久追上？知识精讲如同飞机在飞行的时候会受到风速的影响一样,当船在水中航行时,也会受到水速的影响,具体是怎样的影响,我们现在就来研究一下.当船在水中航行时,如果水是静止不动的,那船的行驶速度就只由船本身决定,这个速度称为船的静水速度,即船本身的速度.大家可以设想一下,如果船本身停止运动,那么它还是会顺着水流前进,这时的速度等于水流的速度,我们可以把水流的速度简称为水速.当船顺水而行时,船的静水速度和水速会叠加起来,行驶速度会变快,此时的速度我们称之为顺水速度;反之,如果船逆水而行,水速会抵消掉一部分船本身的速度,行驶速度会变慢,此时的速度我们称之为逆水速度.下面的两个基本公式就给出了对应的计算方法:顺水速度=静水速度+水速；逆水速度=静水速度一水速；很容易的,根据和差问题的计算方法,我们可以得到如下结论:水速=(顺水速度一逆水速度)÷2；静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2.这四个公式是流水行船问题中最基本的速度计算公式.下面我们就利用这四个公式,解决几个典型的流水行船问题.例1:甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度.练1:一艘飞艇，顺风6小时行驶了900千米、在同样的风速下、逆风行驶600千米，也用了6小时.那么在无风的时候，这艘飞艇行驶1000千米要用多少小时？例2:甲河是乙河的支流、甲河水速为每小时3千米，乙河水速为每小时2千米.一艘船沿甲河顺水7小时后到达乙河，共航行133千米.这艘船在乙河逆水航行84千米，需要花多少小时？练2:A.B两港相距120千米.甲船的静水速度是20千米/时，水流速度是4千米/时.那么甲船在两港间往返一次需要多少小时？知识精讲下面我们来看看流水行船问题中的相遇与追及问题.通过一些具体的例子我们可以发现，如果两船相向而行，两船的速度和就是静水速度之和；如果两船同向而行、两船的速度差就是静水的速度之差.因此、相遇时间和追及时间与水速大小无关.例3:A.B两码头之间河流河流长为300千米，甲、乙两船分别从A、B码头同时起航.如果相向而行5小时相遇，如果同向而行10小时甲船追上乙船.求两船在静水中的速度.练3:A、B两码头间河流长为24千米，甲、乙两船分别从A、B两码头同时起航.如果相向而行2小时相遇，如果同向而行12小时甲船追上乙船.求甲船在静水中的速度.例4:小高在河里游泳，逆流而上.他在A处掉了一只水壶，向前又游了20分钟后，才发现丢了水壶，立即返回追寻，在离A处2千米的地方追到.假定小高在静水中的游泳速度为每分钟60米，求水流速度.练4:小斯在河里游泳，逆流而上.他在A处掉了一只水壶、向前又游了10分钟后，才发现丢了水壶，立即返回追寻，在离A处1千米的地方追到.假定小高在静水中的游泳速度为每分钟70米，求水流速度.思维拓展甲、乙两船分别从A港出发逆流而上行驶180千米外的B港、静水中甲船每小时航行15千米、乙船每小时行12千米、水流速度每小时3千米.乙船出发两小时、甲船出发、当甲船追上乙船的时候、甲已离开A港多少千米？若甲船到达B港之后立即返回、则甲、乙两船相遇地点离刚才甲追上乙船的地点多少千米？第六讲位值原理小热身：（1）1000+200+30+4=___________.（2）20000+200+2=____________.知识精讲在十进制中，每个数都是由0~9这十个数字中的若干个组成的，每个数字在数中都占一个数位，数的大小是由数字和数字所处的数位两方面共同决定．比如一个数由1、2、3三个数字组成、我们并不能确定这个数是多少、因为1、2、3能组成很多数、例如213、321、123、132、……但如果说1在百位，2在十位，3在个位这样去组成一个数，就能很清楚地知道这个数应该是123.1 2 31个100 2个10 3个1从这个例子可以看出，一个数字在不同的数位上表示不同的大小：个位上的数字代表几个1；十位上的数字代表几个10；百位上的数字代表几个100；……那么可以利用这种办法将一个多位数拆开，例如123＝1x100＋2×10＋3x1，这个结论被称为位值原理，有的时候，为了分析问题方便，我们井不将多位数逐位展开，而是采用整体展开的办法，如23456＝23×1000+45×10＋6、我们将在后面的例题中看到这些方法的具体应用.例1：一个两位数等于它的数字和的6倍，求这个两位数.练1：一个两位数等于它的数字和的7倍，这个两位数可能是多少？例2：在一个两位数的数字中间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，求这个两位数.练2：在一个两位数的两个数字之间加一个0，所得的三位数是原数的6倍，求这个两位数.例3：一个三位数，把它的个位和百位调换位置之后，得到一个新的三位数，这个新三位数和原三位数的差的个位数字是7．试求两个数的差．练3：把一个三位数颠倒顺序后得到一个新数，这个数比原数大792，那么原来的三位数最大可以是多少?知识精讲在出现若干个多位数的位值原理问题中、单个的多位数条件有限、无从下手、这个时候可以考虑、先用位值原理将字母表示的多位数展开、观察特性、从而更轻松地解决问题.例4：从1至9这9个数字中取出三个数字，用这三个数字可以组成6个不同的三位数，若这六个三位数之和是1998，这三个数字和是多少？这六个三位数中最大的数是多少？练4：从1至9这9个数字中取出三个数字，用这三个数字可以组成6个不同的三位数，若这六个三位数之和是2886，这三个数字和是多少？这六个三位数中最大的数最大是多少？思维拓展在等式“祝福母亲节=母亲节祝福×五÷月”中、相同的汉字代表相同的数字、不同汉字表示不同数字，”其中“五”代表“五”、“月”代表“8”、那么“祝福母亲节”所代表的五位数是多少？第八讲倍数关系求面积小热身：1、有一个大三角形和一个小三角形、大三角形的底是小三角形底的2倍、它们高相等、那么大三角形的面积是小三角形面积的几倍？2、如右图、已知A、B、C的面积分别是6、3、2、那么D的面积是多少？知识精讲迄今为止、同学们已经学会了很多图形计算面积的方法。
