高考数学考前必看__错题重做篇

高三数学错题分析与纠正高三是学生备战高考的重要一年，数学作为一门核心科目，在学生备考中扮演着重要角色。

然而，由于数学知识点繁多、题型多样，很多学生在做题过程中难免会出现一些错误。

本文将对高三数学错题进行分析，并介绍纠正错题的方法，帮助学生提高数学成绩。

一、错题分析1. 错题类型在高三数学学习中，常见的错误类型主要包括以下几种：1) 概念理解错误：学生对某些概念理解不透彻，无法正确运用。

2) 计算错误：学生在计算过程中出现粗心、马虎等错误。

3) 题意理解错误：学生对题目的意思理解错误，导致答案与标准答案不符。

4) 解题思路错误：学生在解题过程中思路混乱，导致答案错误。

2. 错题原因分析了解错题出现的原因是纠正错题的关键。

高三数学错题的原因主要有以下几点：1) 学习方法不当：学生在学习数学时没有采取科学有效的学习方法。

2) 知识巩固不够：学生在高中前两年数学基础没有打好，导致高三数学学习困难。

3) 注意力不集中：学生在考试或做题时注意力分散，容易出现低级错误。

二、错题纠正方法1. 加强基础知识的巩固在高三数学学习中，基础知识的巩固是提高成绩的关键。

学生可以通过复习高中前两年的知识点，加强对基础知识的理解和记忆。

此外，也可以参加补习班或请教老师，及时解决自己在学习过程中遇到的问题。

2. 做题技巧的培养提高解题技巧是解决高三数学错题的有效方法。

学生可以通过多做题、多总结，在解题中积累经验，提高自己的解题能力。

同时，积极借鉴他人的解题思路和方法，培养自己的解题思维能力。

3. 考试注意力的调控在考试或做题时，学生应注意力集中，避免粗心和马虎导致的低级错误。

可以通过改善学习环境、调整学习状态、细心审题等方法来提高注意力的集中程度，减少错误的发生。

4. 小组互助学习组建学习小组，与同学共同学习、讨论数学问题，可以促进学生之间的互相学习和进步。

通过互相纠正错题、分享解题思路，学生可以更好地理解和掌握数学知识，提高解题的准确性。

1.已知函数2()()ln f x ax x x x =+-在[1,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ; 【答案】12a e≥【错因】单调增转化为在这个区间上大于零还是大于等于零的纠结．【正解】由题意得：()(21)ln 10f x ax x '=+--≥在[1,)+∞上恒成立，即max ln (),(1)2x a x x ≥≥，因为ln ,2x y x =则由21ln 02xy x -'==得x e =，所以当(1,)x e ∈时，0y '>；当(,)x e ∈+∞时，0y '<；因此当x e =时，ln 2x y x =取最大值1.2e即实数a 的取值范围是12a e≥. 2. 若关于x 的方程ax 2－x ＋1＝0至少有一个正根，则a 的取值范围为________． 【答案】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14【错因】原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．3. 函数y ＝12log (x 2－5x ＋6)的单调递增区间为__________．【答案】 (－∞，2)【解析】 由x 2－5x ＋6＞0知{x |x ＞3或x ＜2}．令u ＝x 2－5x ＋6，则u ＝x 2－5x ＋6在(－∞，2)上是减函数，∴y ＝12log (x 2－5x ＋6)的单调增区间为(－∞，2)．易错分析 忽视对函数定义域的要求，漏掉条件x 2－5x ＋6>0.4. 函数f (x )＝⎩⎨⎧ax 2＋1，x ≥0，a 2－ax，x <0在(－∞，＋∞)上单调，则a 的取值范围是________________．【答案】 (－∞，－2]∪(1，2]5. 已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则a ＋b ＝________. 【答案】 －7【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得⎩⎨⎧f＝3＋2a ＋b ＝0， ①f＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， ②联立①②得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－11，或⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)． 在x ＝1两侧的符号相反，符合题意． 当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2在x ＝1两侧的符号相同， 所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去． 综上可知，a ＝4，b ＝－11，∴a ＋b ＝－7.易错分析 把f ′(x 0)＝0作为x 0为极值点的充要条件，没有对a ，b 值进行验证，导致增解．6. 已知函数f (x )＝sin(2x ＋π4)，为了得到函数g (x )＝cos 2x 的图象，只要将y＝f (x )的图象向左至少平移_______个单位长度 【答案】π8【解析】 g (x )＝sin(2x ＋π2)＝sin2(x ＋π8)＋π4]， ∴y ＝f (x )的图象向左平移π8个单位长度即可得到y ＝g (x )的图象． 易错分析 ①没有将f (x )，g (x )化为同名函数；②平移时看2x 变成了什么，而没有认识到平移过程只是对“x ”而言．7. 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是____________． 【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫λ|λ>－12且λ≠28. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列{a n }的公比q ＝________. 【答案】 1或－1【解析】 ①当q ＝1时，S 3＋S 6＝9a 1，S 9＝9a 1， ∴S 3＋S 6＝S 9成立．②当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9， 得a 1－q 31－q＋a 1－q 61－q＝a 1－q 91－q.∴q 9－q 6－q 3＋1＝0，即(q 3－1)(q 6－1)＝0. ∵q ≠1，∴q 3－1≠0，∴q 6＝1，∴q ＝－1. 易错分析 没有考虑等比数列求和公式S n ＝a 1－q n 1－q中q ≠1的条件，本题中q＝1恰好符合题目条件．9. 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，求数列{a n }的通项a n . 【解析】 因为a n ＋1＝2S n ， 所以S n ＋1＝3S n ，所以S n ＋1S n＝3. 因为S 1＝a 1＝1，所以数列{S n }是首项为1、公比为3的等比数列，S n ＝3n －1 (n ∈N *)． 所以当n ≥2时，a n ＝2S n －1＝2×3n －2(n ≥2)， 所以a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2×3n －2，n ≥2.易错分析 a n ＝S n －S n －1成立的条件是n ≥2，若忽略对n ＝1时的验证则出错．10. 函数y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值为________．【答案】5211. 如图所示是某公司(共有员工300人)2016年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有______人．【答案】72【解析】由所给图形，可知员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.08＋0.10＋0.10)×2＝0.24，所以员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有300×0.24＝72(人)易错分析解本题容易出现的错误是审题不细，对所给图形观察不细心，认为员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.10)×2＝0.60，从而得到员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有300×1－(0.02＋0.08＋0.10)×2]＝180(人)的错误答案．12. 执行下边的程序框图，若p＝0.8，则输出的n＝________.【答案】 4。

高考数学高分秘诀：把整理错题作到极致学习中，很多同学都会有这样的体会，很多考题明明老师讲过、自己也做过，甚至还考过，但是最终答题的时候还是出现错误，其实，在这些错题背后，隐藏着我们学习过程中所产生的漏洞，只有总结失败原因，才能够更好的接近成功，所以整理错题集是非常不错的一种方法，而且要把整理错题养成习惯，做到极致。

常见的“错题集”有三种类型：一是订正型，即将所有做错题的题目都抄下来，并做出订正;二是汇总型，将所有做错题目按课本的章节的顺序进行分类整理;三是纠错型，即将所有做错的题目按错误的原因进行分类整理。

新型的“错题集”——活页型错题集，其整理步骤为：1 分类整理。

将所有的错题分类整理，分清错误的原因：概念模糊类、粗心大意类、顾此失彼类、图型类、技巧类、新概念类、数学思想类等等，并将各题注明属于某一章某一节，这样分类的优点在于既能按错因查找，又能按各章节易错知识点查找，给今后的复习带来简便，另外也简化了“错题集”，整理时同一类型问题可只记录典型的问题，不一定每个错题都记。

2 记录方法。

老师试卷评讲时，要注意老师对错题的分析讲解，该题的引入语、解题的切入口、思路突破方法、解题的技巧、规范步骤及小结等等。

并在该错题的一边注释，写出自己解题时的思维过程，暴露出自己思维章碍产生的原因及根源的分析。

这种记述方法开始时可能觉得较困难或写不出，不必强行要求自己，初始阶段可先用自己的语言写出小结即可，总结得多了，自然会有心得体会，渐渐认清思维的种种章碍(即错误原因)。

3 必要的补充。

前面的工作仅是一个开始，最重要的工作还在后面，对“错题集”中的错题，不一定说订正得非常完美了，就证明你这一知识的漏洞就已经弥补好了。

对于每一个错题，还必须要查找资料或课本，找出与之相同或相关的题型，并作出解答。

如果没有困难，说明这一知识点，你可能已经掌握了，如果还是不能解决，则对于这一问题的处理还要再深入一点。

因为在下一次测试中，在这一问题上，你可能还要犯同样的错误。

高考数学考前必看系列材料之四错题重做篇一、集合与简易逻辑部分1．已知集合A=｛x x 2+(p+2)x+1=0, p ∈R ｝,若A ∩R +=φ。

则实数P 的取值范围为 。

2．已知集合A={x| －2≤x ≤7 }, B={x|m+1＜x ＜2m －1｝，若A ∪B=A ，则函数m 的取值范围是_________________。

A ．－3≤m ≤4B ．－3＜m ＜4C ．2＜m ＜4D ． m ≤43．命题“若△ABC 有一内角为3π，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题是（ ） A ．与原命题真值相异 B ．与原命题的否命题真值相异C ．与原命题的逆否命题的真值不同D ．与原命题真值相同二、函数部分4．函数y=3472+++kx kx kx 的定义域是一切实数，则实数k 的取值范围是_____________ 5．判断函数f(x)=(x －1)x x -+11的奇偶性为____________________ 6．设函数f(x)=132-+x x ,函数y=g(x)的图象与函数y=f －1(x+1)的图象关于直线y=x 对称，则g （3）=_____________7. 方程log 2(9 x －1－5)－log 2(3 x －1－2)－2=0的解集为___________________-三、数列部分8．x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件9．已知数列｛a n ｝的前n 项和S n =a n －1(a 0,≠∈a R ),则数列｛a n ｝_______________A.一定是A ·PB.一定是G ·PC.或者是A ·P 或者是G ·PD.既非等差数列又非等比数列10．A ·P ｛a n ｝中, a 1=25, S 17=S 9,则该数列的前__________项之和最大，其最大值为_______。

高中数学错题本范例一、函数与方程组1.已知函数f(x) = 2x^2 - 5x + 3，求函数f(x)的自变量x的取值范围。

解析：由函数的定义可知，f(x)是一个二次函数。

对于二次函数，其自变量x的取值范围是实数集R。

因此，函数f(x)的自变量x的取值范围为全体实数。

2.解方程组：{2x + y = 5{x - 3y = 10解析：可以采用消元法解方程组。

首先，将第二个方程全部乘以2，得到：{2x + y = 5{2x - 6y = 20然后将第二个方程减去第一个方程，消去x，得到：{2x + y = 5{-7y = 15解得y = -15/7。

将y的值代入第一个方程，解得x = 35/7。

因此，方程组的解为{x = 5, y = -15/7}。

二、立体几何1.已知棱长为3cm的正方体A，求其体对角线的长度。

解析：体对角线的长度可以使用勾股定理求解。

对于正方体A，其体对角线的长度等于边长的根号3倍。

所以，正方体A的体对角线长度为3根号3 cm。

2.已知四面体的底面是等腰三角形，顶点在底面上的垂直平分线上，求证该四面体是正四面体。

证明：为了证明四面体是正四面体，需要证明其四个面都是等边三角形。

由题目已知，底面是等腰三角形，即底面的三条边长相等。

又因为顶点在底面上的垂直平分线上，所以连接顶点与底面三个顶点的线段长度也相等。

由此可知，四面体的四个面都是等边三角形，因此该四面体是正四面体。

三、概率与统计1.某班级参加考试的学生中，有25%的学生没有及格，其余的学生的及格率为80%，求该班级学生的及格率。

解析：设班级总人数为x，则有25%的学生没有及格，即有0.25x 人没有及格。

其余的学生的及格率为80%，即有0.8x人及格。

则班级学生的及格率为(0.8x)/(x) = 0.8。

因此，该班级学生的及格率为80%。

2.某班级参加一次数学竞赛，已知总共有60个学生参加，其中46%的学生获得奖项，求获得奖项的学生人数。

2019年高考数学复习备考好用纠错笔记一、集合与简易逻辑易错点1遗忘空集致误错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合BA，就有B=A，φ≠BA，B≠φ，三种状况，在解题中假如思维不够缜密就有可能忽视了B≠φ这种状况，导致解题结果错误。

尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分留意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种状况。

空集是一个特殊的集合，由于思维定式的缘由，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。

易错点2忽视集合元素的三性致误错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特殊是带有字母参数的集合，事实上就隐含着对字母参数的一些要求。

在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再详细解决问题。

易错点3四种命题的结构不明致误错因分析：假如原命题是“若A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A则┐B”，逆否命题是“若┐B 则┐A”。

这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。

在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，确定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。

另外，在否定一个命题时，要留意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

如对“a,b都是偶数”的否定应当是“a,b不都是偶数”，而不应当是“a,b都是奇数”。

易错点4充分必要条件颠倒致误错因分析：对于两个条件A，B，假如A=B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；假如B=A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；假如AB，则A，B互为充分必要条件。

解题时最简单出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时确定要依据充要条件的概念作出精确的推断。

易错点5逻辑联结词理解不准致误错因分析：在推断含逻辑联结词的命题时很简单因为理解不精确而出现错误，在这里我们给出一些常用的推断方法，希望对大家有所帮助：p∨q真p真或q真，命题p∨q假p假且q假（概括为一真即真）；命题p∧q真p真且q真，p∧q假p假或q假（概括为一假即假）；┐p真p假，┐p假p真（概括为一真一假）。

高考数学考前10天每天必看系列材料之一一、基本知识篇（一）集合与简易逻辑1.研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如：{}x y x lg |=与{}x y y lg |=及{}x y y x lg |),(=2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；4.判断命题的真假要以真值表为依据。

原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与其否命题是等价命题 ，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；5.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系"A B B A "⇒⇔⇒判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；6.（1）含n 个元素的集合的子集个数为2n，真子集（非空子集）个数为2n－1； （2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆（3）(),()I I I I I I C A B C A C B C A B C A C B == 。

二、思想方法篇 （一）函数方程思想函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。

1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想；2.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想；3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成函数方程思想。

高中数学错题再练教案
错题：在数轴上，点A、B、C三点满足AB=3，BC=4，AC=7，则点A、B、C是否共线？
再练教案：
知识点：数学几何
一、考点分析及解题思路：
1. 要判断三点是否共线，可以利用中学数学中常见的几何定理，如共线性定理等。

2. 根据题意，点A，B，C分别位于数轴上的不同点，并且已知AB=3，BC=4，AC=7，因此我们可以推导出点A，B，C之间的关系。

二、解题步骤：
1. 首先根据已知条件，我们可以列出等式AB+BC=AC，即3+4=7，满足等式。

2. 根据等式AB+BC=AC，可以得出结论：点A，B，C三点共线。

三、答案验证：
通过以上步骤分析和推导，我们可以得出结论：点A，B，C三点共线。

四、重点难点剖析：
1. 关于共线性定理的应用；
2. 注意题目中明确给出的等式关系，及时进行运算和推导。

五、课堂拓展：
可以通过类似的几何题目进行拓展练习，加深学生对几何知识的理解和应用能力。

六、课后作业：
练习类似的几何题目，巩固共线性定理的掌握。

专题14二项式定理、复数易错点一：忽略了二项式中的负号而致错（（a-b）n 化解问题）Ⅰ：二项式定理一般地，对于任意正整数n ，都有：011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做n b a )( 的二项展开式．式中的r n r r n C a b 做二项展开式的通项，用1r T 表示，即通项为展开式的第1r 项：1r n r r r n T C a b ，其中的系数r n C （r =0，1，2，…，n ）叫做二项式系数，Ⅱ：二项式()n a b 的展开式的特点：①项数：共有1n 项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第1r 项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；④项的系数：二项式系数依次是012r n n n n n nC C C C C ，，，，，，，项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）．Ⅲ：两个常用的二项展开式：①011()(1)(1)n n n r r n r r n n nn n n n a b C a C a b C a b C b （*N n ）②122(1)1n r r nn n n x C x C x C x xⅣ：二项展开式的通项公式二项展开式的通项：1r n r rr n T C a b0,1,2,3,,r n 公式特点：①它表示二项展开式的第1r 项，该项的二项式系数是r n C ；②字母b 的次数和组合数的上标相同；③a 与b 的次数之和为n ．注意：①二项式()n a b 的二项展开式的第r +1项rn rr n C ab 和()n b a 的二项展开式的第r +1项r n r r n C b a 是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．②通项是针对在()n a b 这个标准形式下而言的，如()n a b 的二项展开式的通项是1(1)r r n r rr n T C a b （只需把b 看成b 代入二项式定理）．易错提醒：在二项式定理()n a b 的问题要注意b 的系数为1 ，在展开求解时不要忽略.例、已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则 a （）B．C．6D．6错解：552155CC rrr rr r r T a x，令1r ，可得530a ，∴6a ．错因分析：二项式5，忽略了负号而出现了错解．正解：D5215C 1r rrrr T a x，令1r ，可得530a ，∴6a ．变式1：在5223x x的展开式中，x 的系数是．【详解】二项式5223x x展开式的通项为 5251031552C 3C 32rr r r r rr r T x xx （其中05r 且N r ），令1031r ，解得3r ，所以 33245C 32720T x x ，所以展开式中x 的系数是720 .故答案为：720 变式2：621x x展开式的常数项为.【详解】展开式的通项公式为66316621C (1)C kkkk k kk T x x x，令630k ，解得2k ，所以常数项为236C 15T ，故答案为：15.变式3：612x x的展开式中4x 的系数为.【详解】设展开式中的第1r 项含有4x 项，即6662661C 212C rrr rr r r x x x，令624r ，解得1r ，即 1515144661C 22C 192x x xx，所以展开式中4x 的系数为192 .故答案为：1921．712x x的二项式展开式中x 的系数为（）A．560B．35C．-35D．-560【答案】D【分析】712x x中利用二项式定理可求得x 的系数，从而求解.【详解】由题意知712x x 的展开式为 77721771C 21C 2rr r r r r rr T x x x，令721r ，得3r ，所以x 的系数为 337371C 2560 ，故D 项正确.故选：D.2．若*31N nx n x的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则231nx x 的展开式中的常数项为（）A．6B．8C．28D．56【答案】C【分析】根据31n x x 的展开式中所有项的二项式系数之和求出n 的值，从而写出231nx x的展开式的通项公式，再令x 的指数为0，即可求解常数项．【详解】由*31N nx n x的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得216n ，所以4n ，则二项式831x x的展开式的通项公式为848331881C C rr rrrr T x x x（08r 且N r ），令8403r，解得2r ，易错点二：三项式转化不合理导致计算麻烦失误（三项展开式的问题）求三项展开式式中某些特定项的系数的方法第一步：通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解第二步：两次利用二项式定理的通项公式求解第三步：由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量易错提醒：对于三项式的展开问题，一般采取转化为二项式再展开的办法进行求解，但在转化为二项式的时候，又有不同的处理策略：一是如果三项式能够化为完全平方的形式，或者能够进行因式分解，则可通过对分解出来的两个二项展开式分别进行分析，进而解决问题（如本例中的解法二）；二是不能化为完全平方的形式，也不能进行因式分解时，可直接将三项式加括号变为二项式，套用通项公式展开后对其中的二项式再利用通项展开并进行分析求解，但要结合要求解的问题进行合理的变形，以利于求解.例、 5232x x 的展开式中，x 的一次项的系数为（）A．120B．240C．320D．480易错分析：本题易出现的错误是盲目套用解决三项式展开的一般方法（转化为二项式处理：5232x x），而不针对要求解的问题进行合理的变通，导致运算繁杂并出现错误．正解：解法一由于55223223x x x x，展开式的通项为5215C 23rr rr T x x ，0≤r≤5，当且仅当r＝1时，展开式才有x 的一次项，此时 412125C 23r T T x x ．所以展开式中x 的一次项为14454C C 23x ，它的系数为14454C C 23240 ．故选B．解法二由于 55523212x x x x ，所以展开式中x 的一次项为4555445555C C 2C C 2240x x x ．故x 的一次项的系数为240．故选B．变式1：在 523a b c 的展开式中，含22a b c 的系数为.【详解】把 523a b c 的展开式看成是5个因式(23)a b c 的乘积形式，展开式中，含22a b c 项的系数可以按如下步骤得到：第一步，从5个因式中任选2个因式，这2个因式取a ，有25C 种取法；第二步，从剩余的3个因式中任选2个因式，都取2b ，有23C 种取法；第三步，把剩余的1个因式中取3c ，有11C 种取法；根据分步相乘原理，得；含22a b c 项的系数是22211531C 2C 3C 360故答案为：360.变式2： 521x y 展开式中24x y 的系数为（用数字作答）．【详解】由于 521x y 表示5个因式21x y 的乘积，故其中有2个因式取2y ，2个因式取x ，剩余的一个因式取1 ，可得含24x y 的项，故展开式中24x y 的系数为 22253C C 0(1)13 ，故答案为：30 ．变式3：在5(2)x y z 的展开式中，形如3(,)m n x y z m n N 的所有项系数之和是．【详解】 5522x y z x y z 展开式的通项为515C 2rrrr T x y z ．令53r ，得2r ．令1y z ，得所求系数之和为2325C 22320 ．故答案为：3201．811x 的展开式中的常数项为（）Ⅰ：二项式展开式中的最值问题1.二项式系数的性质①每一行两端都是1，即0n n n C C ；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即11m m m n n n C C C ．②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即m n m n nC C ．③二项式系数和令1a b ，则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ，变形式1221r n n n n n n C C C C ．④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令11a b ，，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C ，从而得到：0242132111222r r nn nn n n n n n C C C C C C C ．⑤最大值：如果二项式的幂指数n 是偶数，则中间一项12n T 的二项式系数2nnC 最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，则中间两项12n T ，112n T 的二项式系数12n nC，12n nC相等且最大．2.系数的最大项求()n a bx 展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为121n A A A ，，，，设第1r 项系数最大，应有112r rr r A A A A ，从而解出r 来．Ⅱ：二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：（1）设 011222nn n n r n r r n n n nn n n a b C a C a b C a b C a b C b ，二项式定理是一个恒等式，即对a ，b 的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取a ，b 的值．①令1a b ，可得：012n nn n nC C C ②令11a b ，，可得： 012301nn n n n n n C C C C C ，即：02131n n n n n n n n C C C C C C （假设n 为偶数），再结合①可得：0213112n n n n n n n n n C C C C C C ．（2）若121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a ，则①常数项：令0x ，得0(0)a f ．②各项系数和：令1x ，得0121(1)n n f a a a a a ．注意：常见的赋值为令0x ，1x 或1x ，然后通过加减运算即可得到相应的结果．易错提醒：二项式定理()n a b 的问题要注意：项的系数与二项式系数的区别与联系（求所有项的系数只要令字母值为1）.例、设(n x 的展开式中，第三项的系数为36，试求含2x 的项．错解：第三项的系数为2C n ，依题意得2C 36n ，化简得2720n n ，解此方程并舍去不合题意的负值，得n＝9，设9(x 的展开式中2x 项为第r＋1项，则919C (r r r r T x ，由9－r＝2，得r＝7，故9(x 的展开式中含2x的项为727289C (T x ．错因分析：错解将“二项展开式中的第三项的二项式系数”当作了“第三项的系数”，解答显然是错误的．正解：(n x的展开式的第三项为2223C (n n T x，∴22C (36n ，即2120n n ，解此方程并舍去不合题意的负值，得n＝4，设4(x 的展开式中2x 项为第r＋1项，则414C (r r r r T x ，由4－r ＝2，得r＝2，即4(x 的展开式中2x项为22224C (36x x．变式1：求5的展开式中第3项的系数和二项式系数．【详解】二项式5展开式通项公式为515r r rr T C ，第三项为：53225262352391090T C x x x，所以第三项系数为90，第3项的二项式系数为25C 10 ．变式2：计算 92x y 的展开式中第5项的系数和二项式系数．【详解】因为 92x y 的展开通项为 949199C 22C 09,N kk k k k kk T x y x y k k ，所以 92x y 的展开式中第5项是445454592C 2016T x y x y ，故所求第5项的系数是2016，第5项的二项式系数是49C 126 ．变式3：求6的展开式中常数项的值和对应的二项式系数．【详解】因为6611222x x，所以展开式中的第1k 项为611666322221666C 2C 2C 2kkk kk k k k k k k T x x x x．要得到常数项，必须有30k -=，从而有3k ，因此常数项是第4项，且3633346C 2160T x ．从而可知常数项的值为160，其对应的二项式系数为36C 20 ．1．在二项式612x 的展开式中，二项式系数最大的是（）综上， 12nx展开式中系数最大的项为910366080T x ，二项式系数最大的项为67109824T x 与78219648T x .易错点四：混淆虚部定义致错（求复数虚部）Ⅰ：复数的概念①复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，a ，b 分别是它的实部和虚部，i 叫虚数单位，满足21i （1）当且仅当b ＝0时，a ＋b i 为实数；（2）当b ≠0时，a ＋b i 为虚数；（3）当a ＝0且b ≠0时，a ＋b i 为纯虚数．其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．②两个复数,(,,,)a bi c di a b c d R 相等a cb d（两复数对应同一点）③复数的模：复数(,)a bi a b R 的模，其计算公式||||z a bi Ⅱ：复数的加、减、乘、除的运算法则1、复数运算（1）()()()()i a bi c di a c b d （2）()()()()a bi c di ac bd ad bc i 22222()()z z ||||)2a bi a bi a b z z z z z a(注意其中||z z 的模；z a bi 是z a bi 的共轭复数(,)a b R ．（3）2222()()()()(0)()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c d c di c di c di c d．实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．2、复数的几何意义（1）复数(,)z a bi a b R 对应平面内的点(,)z a b ；（2）复数(,)z a bi a b R 对应平面向量OZ ；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．（4）复数(,)z a bi a b R 的模||z 表示复平面内的点(,)z a b 到原点的距离．易错提醒：1、求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋b i(a，b∈R)，则该复数的③z是纯虚数⇔z2＜0例、复数113i的虚部是（）A.110iB.110C.310 D.310i【错解】D【错因分析】误认为复数的虚部为b i.【正解】因为1131313(13)(13)1010iz ii i i，所以复数113zi的虚部为310.故选：D.变式1：已知复数1i2iz（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．35-B．3i5C．35D．35i【详解】因为1i2i1i13i13i2i2i2i555z，即13i55z ，所以z的共轭复数为13i55z ，其虚部为35.故选：C.变式2：已知i是虚数单位，则复数12i1i的虚部是（）A．12B．12C．32D．32【详解】12i1i12i3i31i1i1i1i222，所以复数12i1i的虚部为12，故选：A.变式3：已知复数 2i 1i z ，则复数z 的虚部为，z ．【详解】由题意 22i 1i 22i i i 3i z ，所以复数z 的虚部为1，z.1．5(2i)(12i)i的虚部为（）复数的模：复数(,)a bi a b R 的模，其计算公式||||z a bi 易错提醒：复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离.例、若z C ，且22i 1z ，则22i z 的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【错解】设 i ,z a b a b R ，因此有 22i 1a b ．即 22221a b 又22i z因为a R ，所以最小值为1.【错因分析】利用复数代数形式令i z a b ，得 22221a b ，而22i z ．此时会因不会确定a 的范围导致出错；若用数形结合法．错在一般是看不出22i 1z 表示的几何意义．【正解】方法一：设 i ,z a b a b R ，因此有 22i 1a b ．即 22221a b 又22i z而21a 即31a ，∴当1a 时，22i z 取最小值3．方法二：（利用数形结合法）22i 1z 表示圆心在（-2，2），半径为1的圆．而22i z 表示圆上点与点（2，2）的距离，其最小值为3．变式1：已知复数z 满足1i z ，z 为z 的共轭复数，则z z 的最大值为.【详解】设 i ,z a b a b R ，则1i z 的几何意义为z 在复平面内所对应的点 ,a b 到()1,1-的距离为，所以z 所对应的点 ,a b 的轨迹是以()1,1-为圆心，而22z z a b 可看作该圆上的点 ,a b 到原点的距离的平方，所以2max 22218z z .故答案为：18.变式2：已知i 为虚数单位，且2i 1z ，则z 的最大值是.【详解】设 i ,z a b a b R ，由2i 1z 的几何意义知：z 对应的点 ,a b 的轨迹是以 0,2为圆心，1为半径的圆，即 2221a b ，z ∵的几何意义为点 ,a b 到坐标原点 0,0的距离，22max 002013z.故答案为：3.变式3：已知复数z 满足|2|2|2i |z z ，则||z 的最大值为．【详解】设复数i(,R)z x y x y ，由|2|2|2i |z z ，得2222(2)2(2)x y x y ，整理得224164033x y x y，即222832()()339x y ，因此复数z 在复平面内对应点(,)x y 在以点28(,)33C 为圆心，423为半径的圆，O 为原点，所以22max 42284221742||||()()33333z OC.故答案为：2174231．设复数z 满足|2i |3z z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（）A．22(2)3x y B．22(2)3x y C．22(2)3x y D．22(2)3x y4．若复数z 满足3i 1z A．1B．2【答案】C【分析】设i z a b ,R a b 简，即可得出答案.z8．已知复数z满足3iA．1B．3【答案】A【分析】设复数z在复平面内对应的点为z z ，得方法二：由11则复数1z对应点1Z的集合是以10．已知复数z满足3z【答案】433/433【分析】根据复数模公式，复数的几何意义及椭圆的定义可得复数结合条件即可求解．根据复数模的几何意义可知，z 的最小值是点A与 0,1i故答案为：21 .。

临近高考，错题重做，前车之鉴，引以为戒.错题重做，因人而异，应立足于平日之积累.本篇精选考生典型错误三十余例，以期抛砖引玉.1.已知a，b∈R，下列四个条件中，使a>b成立的必要而不充分的条件是( )A．a>b－1 B．a>b＋1 C．|a|>|b| D．2a>2b【答案】A【错因】在本题中，选项是条件，而“a>b”是结论．在本题的求解中，常误认为由选项推出“a>b”，而由“a>b”推不出选项是必要不充分条件．2.某几何体及其俯视图如图所示，下列关于该几何体正视图和侧视图的画法正确的是( )【答案】 A【错因】1．易忽视组合体的结构特征是由圆柱切割而得到和正视方向与侧视方向的判断而出错．2．三种视图中，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线一定要画出，但要画成虚线．画三视图时，一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，避免出现错误．【正解】该几何体是由圆柱切割而得，由俯视图可知正视方向和侧视方向，进一步可画出正视图和侧视图(如图所示)，故选A.3.已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是A.72 B ．4 C.92 D ．5 【答案】 C【错因】1．解答本题易两次利用基本不等式，如∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，∴ab≤＋24＝1.又y ＝1a＋4b≥2 4ab＝4 1ab，又ab≤1，∴y≥411＝4.但它们成立的条件不同，一个是a ＝b ，另一个是b ＝4a ，这显然是不能同时成立的，故不正确．2．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．3．在运用重要不等式时，还要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．4.从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生检验表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示.若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为（ ） (A)20 (B) 17 (C) 15 (D) 100 【答案】A【错因】混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错.【正解】选A.该班学生视力在0.9以上的频率为(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝0.40，所以能报A 专业的人数为50×0.40＝20.5.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是( )(A)46 45 56 (B)46 45 53 (C)47 45 46 (D)45 47 53 【答案】A【错因】本题易出现的错误主要有两个方面：(1)中位数计算时中间两数找不准.(2)极差与方差概念混淆导致错误.【正解】选A. 茎叶图中共有30个数据，所以中位数是第15个和第16个数字的平均数，即 ×(45+47)=46，排除C ，D ；再计算极差，最小数据是12，最大数据是68，所以68-12=56，故选A.6.若指数函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则实数a 的值为________． 【答案】 12或2【错因】1．解决上题易忽视对a 的讨论，错认为a 2＝2a ，从而导致得出a ＝2的错误答案．2．求函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)在闭区间[s ，t]上的最值，应先根据底数的大小对指数函数进行分类．当底数大于1时，指数函数为[s ，t]上的增函数，最小值为a s，最大值为a t.当底数大于0小于1时，指数函数为[s ，t]上的减函数，最大值为a s，最小值为a t.7.已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x －2)<f(1－x)，则x 的取值范围为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32【错因】1．上题易忽视函数的定义域为[－1,1]，直接利用单调性得到不等式x －2<1－x ，从而得出x<32的错误答案．2．解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”，从而转化为熟悉的不等式．若函数y ＝f(x)在区间D 上是增函数，则对任意x 1，x 2∈D ，且f(x 1)<f(x 2)，有x 1<x 2；若函数y ＝f(x)在区间D 上是减函数，则对任意x 1，x 2∈D ，且f(x 1)<f(x 2)，有x 1>x 2.需要注意的是，不要忘记函数的定义域．【正解】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x－2≤1－1≤1－x≤1，解得1≤x≤2 ①.因为f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x －2)<f(1－x)，所以x －2<1－x ，解得x<32 ②. 由①②得1≤x<32.8. 函数212log (56)y x x ＝－＋的单调递增区间为__________．【答案】(－∞，2)【错因】忽视对函数定义域的要求，漏掉条件x 2－5x ＋6>0.【正解】由x 2－5x ＋6＞0知{x|x ＞3或x ＜2}．令u ＝x 2－5x ＋6，则u ＝x 2－5x ＋6在(－∞，2)上是减函数， ∴212log (56)y x x ＝－＋的单调增区间为(－∞，2)．9.已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝________.【答案】 12【错因】本题若不能利用sin(α＋β)＝5314<32将α＋β的范围进一步缩小为0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π，误认为α＋β∈(0，π)，则会得出cos(α＋β)＝±1114，进而得出cos β＝12或7198的错误答案．10.若将一枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为________． 【答案】112【错因】解本题时易出现的错误在于对等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻，错误地认为基本事件总数为11(点数和等于2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)，或者将点数和为4的事件错误地计算为(1,3)(2,2)两种，从而导致出错．【正解】将先后掷2次出现向上的点数记作点坐标(x ，y)，则共可得点坐标的个数为6×6＝36，而向上点数之和为4的点坐标有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个，故先后掷2次，出现向上的点数之和为4的概率P ＝336＝112.故填112. 11.已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是_________________．【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠2【错因】误认为θ为锐角⇔cos θ>0，没有排除θ＝0即两向量同向的情况．12.函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在R 上是增函数，则a 的取值范围是________． 【答案】[13，＋∞)【错因】误认为f′(x)＞0恒成立是f(x)在R 上是增函数的必要条件，漏掉f′(x)＝0的情况．【正解】f(x)＝ax 3－x 2＋x －5的导数f′(x)＝3ax 2－2x ＋1，由f′(x)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－12a≤0，解得a≥13. 13.关于x 的实系数方程的一个根在区间[0，1]上，另一个根在区间[1，2]上，则 2a+3b的最大值为 。