河南省开封市2020年高一下学期末数学答案

河南省开封市2020年高一下学期数学期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高二上·钦州期末) 高二（1）班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、18号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是（）A . 11B . 21C . 31D . 413. （2分） (2019高二上·水富期中) 已知向量满足且，则与的夹角为（）A .B .C .D .4. （2分）(2020·阜阳模拟) 某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）A .B .C .D .5. （2分）已知a=tan50°，b=1+cos20°，c=2sin160°，则这三个数的大小关系为（）A . b＜c＜aB . a＜b＜cC . c＜a＜bD . c＜b＜a6. （2分）(2018·重庆模拟) 已知随机事件发生的概率满足条件，某人猜测事件发生，则此人猜测正确的概率为（）A . 1B .C .D . 07. （2分）函数的部分图象如右图所示，设P是图象的最高点，A,B是图象与x轴的交点，则= （）A . 10B . 8C .D .8. （2分） (2019高三上·广东期末) 拿破仑为人好学，是法兰西科学院院士，他对数学方面很感兴趣，在行军打仗的空闲时间，经常研究平面几何。

他提出了著名的拿破仑定理：以三角形各边为边分别向外（内）侧作等边三角形，则它们的中心构成一个等边三角形。

如图所示，以等边的三条边为边，向外作个正三角形，取它们的中心，顺次连接，得到，图中阴影部分为与的公共部分。

2019-2020学年河南省开封市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知sinα＝，则cos（+α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．2．在空间直角坐标系O﹣xyz中，记点A（1，2，3）在xOz平面内的正投影为点B，则|OB|＝（）A．B．C．D．3．若直线x+y＝0与圆（x﹣m）2+（y﹣1）2＝2相切，则m＝（）A．1B．﹣1C．﹣1或3D．﹣3或14．已知α∈（﹣，），sin2α＝﹣cosα，则tanα＝（）A．﹣B．C．D．5．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件），若这两组数据的中位数相等，且极差也相等，则x和y的值分别为（）A．3，5B．5，5C．3，7D．5，76．在△ABC中，AD为BC边上的中线，且＝，则＝（）A．﹣B．﹣C．+D．7．“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“─”和“﹣﹣”，其中“─”在二进制中记作“1”，“﹣﹣”在二进制中记作“0”．如符号“☱”对应的二进制数011（2）化为十进制的计算如下：011（2）＝0×22+1×21+1×20＝3（10）．若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为（）A．B．C．D．8．已知在△ABC中，角A满足sin A+cos A＝m，m∈（0，1），则角A的值可能是（）A．B．C．D．9．函数f（x）＝ln||图象大致为（）A．B．C．D．10．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，c依次为e e，πe，ππ，其中e是自然对数的底数，则输出的m为（）A．e e B．πe C．ππD．eπ11．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E是AB边上的中点，点F是BC边上的动点，则•的取值范围是（）A．[0，]B．[，]C．[，3]D．[0，3]12．设函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有3个零点，下述四个结论：①f（x）的周期可能为π；②f（x）在（0，2π）有且仅有3个对称轴；③f（x）在（0，）单调递增；④ω的取值范围是[，）．其中所有正确结论的编号是（）A．①②B．②③C．①④D．③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020—2021学年度下学期期末考试高一数学试题卷答案1．B 因为121sin,cos 6232ππ===-，所以点的坐标为11(,22-，所以tan 1y xα==-，故选B 2．B解：()cos 70k -︒=()sin 70∴-︒=()()()sin 70tan 70cos 70k -︒∴-︒==-︒()()tan110tan 18070ta 1n 70k k ︒︒︒︒∴-===-3．A根据题意画出扇形，设圆的半径为：OB=r,根据直角三角形直角边与斜边之比为对应角的正弦，得到1sin sin 0.5BE OB BOE ==∠，弧长为1sin 0.5l r α==.4．B 5．C6．A 7．A ，由几何概型可知235a π=，则235a π=.8、C 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项：在A 中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A 不成立．在B 中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B 不成立；在C 中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C 成立；在D 中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D 不成立；9.C 六十四卦中符号“”表示二进制数的010110，转化为十进制数的计算为01234502121202120222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=..10.解：将函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像向右平移16个单位长度后得到函数()y g x =为()sin(())sin()1g x 2x 2x 66ωωϕωϕ=-+=-+，因为ABC 是等腰直角三角形，所以1AC k =，即()C 201x 1-=--，解得1C x =，所以周期24T =，即8T =，故28πω=，解得4πω=，当1x =-时，()0g x =，即sin(())10424ππϕ⨯--+=，解得：,7k k z 24πϕπ-+=∈，因为||2πϕ≤，所以724πϕ=，故选D.11．因为对任意(),6x f x f π⎛⎫∈≤⎪⎝⎭R 恒成立，所以sin 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π2π6k ϕ=+或()7π2π6k k Z ϕ=+∈，当π2π6k ϕ=+时，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()11222f f ππ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭（舍去），当7π2π6k ϕ=+时，()7sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()11222f f ππ⎛⎫=>=- ⎪⎝⎭，符合题意，即()7sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令375222262k x k πππππ+≤+≤+，解得263k x k ππππ-≤≤+，即()f x 的单调递增区间是2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎣⎦Z ；故选C.12．B 作出两个函数的图象，易得共有7个交点，即127,,,x x x 不妨设127x x x <<< ，127S x x x =+++ ，两个函数均以(1,0)为对称中心，∴71625342,2,2,1x x x x x x x +=+=+==，∴3217S =⨯+=.故选：B.13．系统抽样的抽样间隔为6003020=，又第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为2，则第4组抽取的号码为303030292+++=.故答案为：9214．由题意,根据茎叶图可知5,6x y ==，成绩在85分及以上的学生一共有5名，其中甲班有2名，乙班有3名，随机抽取2名，至少有1名来自甲班的概率：23257110C P C =-=．故答案为710．15.216．(0,1)解:画出函数y=cosx+2|cosx|,以及直线y=k 的图象,如图所示;由f(x)的图象与直线y=k 有且仅有四个不同的交点,可得0<k<1.故答案为:(0,1).17．（1）由题意，//AB x 轴，可得3AOB BAO π∠=∠=，所以3COA π∠=，所以23COB π∠=，则31sin tan 22COB COB COB ∠=∠=-∠=-.................................5分（2）由（1）得sin tan 2θθ==又由sin()cos()2sin sin 2sin 222tan sin tan sin tan()cos()2ππθθθθθπθθθθπθθ+--⨯--===---+-++..................5分18.解：解（1）先后抛掷两次正四面体的基本事件：1,1,1,2,1,3,1,42,1,2,2,2,3,2,43,1,3,2,3,3,3,44,1,4,2,4,3,4,4共16个基本事件．............3分用 表示满足条件“ 为整数”的事件，则A 包含的基本事件有：1,1,2,1,2,2,3,1,3,3,4,1，4,2,4,4，共8个基本事件．...................................6分所以 =816=12．..................................................................7分故满足条件“ 为整数”的事件的概率为12．（2）用 表示满足条件“ − <2”的事件，则 包含的基本事件有：1,1,1,2,1,3,1,42,1,2,2,2,3,2,43,2,3,3,3,4,4,34,4，共13个基本事件．...................................10分则 =1316，........................................11分故满足条件“ − <2”的事件的概率为1316． (12)19.20．(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x ＋0.005＋0.0025)×20＝1得：x ＝0.0075，所以直方图中x 的值是0.0075.-------------3分(2)月平均用电量的众数是2202402+＝230.-------------5分因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a －220)＝0.5得：a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224.------------8分(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户，月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10户，月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户，-------------10分抽取比例＝112515105+++＝15，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5户．--12分21．（1）由表可知A ＝5，3πω+φ2π=①，56πω+φ32π=②，联立①②解得ω＝2，φ6π=-，x ωϕ+02ππ32π2πx12π3π712π56π1312πsin()A x ωϕ+0505-0()5sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.................................................................................................................................4分（2） 5sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平行移动(0)θθ>个单位后可得：5sin 226x y x θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）可得：5sin 426y x θπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令542,246k k Z πθππ⨯+-=∈∴1,23k k Z πθπ=-∈∴当1k =时，此时θ最小值为6π；.....................................................8分（3）因为()5sin 46g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，所以11,62122k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，又02x π≤≤，∴012x π≤≤或32x ππ≤≤，∴()f x 增区间为0,,,1232πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦......................................................12分22．（1)因为0ω>，根据题意有342{02432ππωωππω-≥-⇒<≤≤.............................................................4分(2)()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++4π-πk x =或7,12x k k Z ππ=-∈，即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π，...........................................10分故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=．...................12分。

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在空间四边形ABCD 中，2AD = ， BC =E ，F 分别是AB ， CD 的中点 ，EF =则异面直线AD 与BC 所成角的大小为（ ）A ．150︒B ．60︒C ．120︒D ．30︒ 2．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )A ．对立事件B ．互斥但不对立事件C ．不可能事件D ．必然事件3．两个正实数a b ，满足31a b +=，则满足213m m a b+≥-，恒成立的m 取值范围（ ） A ．[]43-， B ．[]34-， C ．[]26-， D ．[]62-，4．若函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象上所有的点向右平移6π个单位长度后得到的函数图象关于,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则ϕ的值为 A ．π B ．34π C ．56π D ．23π 5．已知m ，n ，l 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是A ．若m α⊂，n ⊂α，l β⊂，m l ，n l ∥，则αβ∥B ．若m α，n α，m β，n β，则αβ∥C ．若m α⊂，m n A =，l m ⊥，l n ⊥，l β⊥，则αβ∥D ．若m n ，m α⊥，n β⊥，则αβ∥6．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S ，且2S =A 等于（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 7．向量()()4,5,,1a b λ=-=，若()//a b b -，则λ的值是（ ）A ．54-B ．43-C ．45-D ．2-8．在△ABC 中，D 是边BC 的中点，则AD AC -＝A ．CB B ．BC C ．12CBD ．12BC 9．已知等比数列{}n a 中，141,8a a =-=，该数列的公比为A ．2B ．-2C ．2±D ．3 10．设二次函数()22f x ax ax c =-+在区间[]0,1上单调递减，且()()0f m f ≤，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0，2]11．不等式220ax bx +-≥的解集为1{|2}4x x -≤≤-，则实数,a b 的值为（ ）A ．8,10a b =-=-B ．1,9a b =-=C ．4,9a b =-=-D ．1,2a b =-= 12．sin(210)-的值为A ．12-B ．12C ．3-D ．3 二、填空题：本题共4小题13．过点(0,0)O 作直线与圆22(45)(8)169x y -+-=相交，则在弦长为整数的所有直线中，等可能的任取一条直线，则弦长长度不超过14的概率为______________.14．函数2arccos 1y x =-的定义域是________15．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.16．已知角α的终边经过点()3,4P ，则cos α的值为____________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

河南省开封市2024届高一数学第二学期期末综合测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1=pa n ＋q ，且a 2＝3，a 4＝15，则p ，q 的值为( )A ．36p q =-⎧⎨=⎩B ．21p q =⎧⎨=⎩C ．36p q =-⎧⎨=⎩或21p q =⎧⎨=⎩D ．以上都不对 2．要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度3．已知1sin cos 5αα+=，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2α=（ ）A ．247-B ．43-C ．724D ．2474．在下列区间中，函数()34x f x x =+的零点所在的区间为（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．在区间[]0,π上随机取一个数x ，使得1sin 2x ≤的概率为（ ） A ．13B ．2πC ．12D ．236．下列结论中错误的是（ ） A ．若0ab >，则2b a a b+≥ B ．函数1cos 0cos 2y x x x π=+<<（）的最小值为2C ．函数22x x y -=+的最小值为2D ．若01x <<，则函数1ln 2ln x x+≤- 7．一个三棱锥A BCD -内接于球O ，且3AD BC ==，4AC BD ==，13AB CD ==O 到平面ABC 的距离是（ ）A ．152B 15C ．154D ．1568．设{}n a 为等比数列，给出四个数列：①{}2n a ，②{}2n a ，③{}2na ，④{}2log||n a .其中一定为等比数列的是（ ） A ．①③B ．②④C ．②③D ．①②9．已知0a >，0b >，1a b +=，则14y a b=+的最小值是（ ） A ．72B ．4C ．9D ．510．在OAB ∆中，P 为线段AB 上的一点，OP xOA yOB =+，且2BP PA =，则 A ．23x =，13y = B ．13x =，23y = C ．14x =，34y =D ．34x =，14y = 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2024届河南省开封高级中学数学高一第二学期期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．将函数3cos sin ()y x x x R =+∈的图象向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．56π 2．函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象如图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向左平移6π个单位 3．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝)3,1-，n ＝(cos A ，sin A )，若m 与n 夹角为3π，则a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B 等于( ) A ．6π B ．3π C ．4π D ．23π 4．两直角边分别为3的表面积是( ) A ．332+ B ．3π C ．9234+ D ．(323)π+5．已知向量()()(),1,21,30,0m a n b a b =-=->>，若//m n ，则21a b+的最小值为（ ）.A ．12B ．843+C ．16D ．1023+6．已知平面向量,a b 的夹角为23π，且1,2a b ==，则a b +=( ) A ．3B ．3C ．7D ．77．在正项等比数列{}n a 中，274a a =，则212822log log log a a a ++⋯+=（ ） A ．5B ．6C ．7D ．88．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若 cos cos 2cos a B b A c C +=,则C =（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．233ππ或9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱10．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ） A ．8岁B ．11岁C ．20岁D ．35岁二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2019-2020学年开封市五县联考高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知sin(π−α)−cos(π+α)=√23(π2<α<π)，则sin(π2+α)+cos(π2+α)=( )A. −43B. 43C. ±43D. −792.如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点(点N 与点C 不重合)，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1x +1y−1的最小值为( ) A. 2 B. 1+√2 C. 32 D. 2+2√23.执行如图所示的程序框图．若输出，则框图中①处可以填入( )A. B. C. D.4. 已知扇形面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的半径是( )A.B. C. D.5.采用系统抽样方法从480人中抽取 16人做问卷调查，为此将他们随机编号为1、2、…、480，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为12抽到的16人中，编号落人区间[1,160]的人做问卷A ，编号落入区问[161,320]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则被抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A. 4B. 5C. 6D. 76.函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为4√2，则函数f(x)图象的一条对称轴的方程为()A. x=π4B. x=π2C. x=4D. x=27.根据如表样本数据，x345678y4 2.5−0.5−1−2−3得到了回归直线方程：ŷ=bx+a，则()A. a>0，b>0B. a<0，b>0C. a>0，b<0D. a<0，b<08. 阅读下面的程序框图，若输出的，则输入的的值可能为()A.B.C.D.9. 函数y=x+1，x∈(0,3)的值域为A，函数y=√x−2的定义域为B.在A中任取一个元素，求其属于B的概率()A. 12B. 13C. 0.3D. 2310. 据统计，甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5、0.4，若甲、乙两人各投一次，则有人投中的概率是()A. 0.2B. 0.3C. 0.7D. 0.811. 设函数f(x)=cos(2x −2π3)−sin(2x −3π2)，将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则φ的最小值是( )A. π12B. π6C. π3D. 5π1212. 已知F 1、F 2是两定点，|F 1F 2|=4，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=4，则动点M 的轨迹是( )A. .椭圆B. 直线C. 圆D. 线段二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取____________名学生． 14. 已知a ⃗ ，b ⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，则|a ⃗ +b ⃗ |= ______ ．15. 甲、乙两名学生选修4门课程(每门课程被选中的机会相等)，要求每名学生必须选1门且只需选1门，则他们选修的课程互不相同的概率是______ ．16. 设函数f(x)在其定义域D 上的导函数为f′(x).如果存在实数a 和函数ℎ(x)，其中ℎ(x)对任意的x ∈D 都有ℎ(x)>0，使得f′(x)=ℎ(x)(x 2−ax +1)，则称函数f(x)具有性质P(a).给出下列四个函数：①f(x)=13x 3−x 2+x +1；②f(x)=lnx +4x+1； ③f(x)=(x 2−4x +5)e x ； ④f(x)=x 2+x2x+1，其中具有性质P(2)的函数是______ .(写出所有满足条件的函数的序号) 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知sinα−cosα=√105，α∈(π,2π)，(1)求sinαcosα的值； (2)求sinα+cosα的值．18. 如图，在△OAB 中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，Q 是OB 中点． (Ⅰ)若O(0,0)，A(1,3)，B(83,0)，且ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标和模？(Ⅱ)若AQ 与OP 的交点为M ，又OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数t 的值．19. 甲乙两位学生参加数学竞赛培训，并根据成绩从中选派一人参加数学竞赛，在培训期间，进行了5次预赛，据统计，甲的5次预赛平均成绩为85，方差为28.6，乙的成绩记录如下： 序号 1 2 3 4 5 成绩 84 93 86 84 78(Ⅰ)用茎叶图表示乙的成绩，并求乙成绩的中位数；(Ⅱ)根据预赛成绩，你认为选派哪位学生参加更合适？请说明理由．20. 已知函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的图象过点P(π12,0)，图象上与点P 最近的一个最高点是Q(π3,5) (1)求函数的解析式； (2)指出函数的单调递增区间； (3)求使y ≤0的x 的取值范围．21. 某市预测2000年到2004年人口总数与年份的关系如表所示年份200x(年) 0 1 2 3 4 人口数y(十)万5781119(1)请根据上表提供的数据，计算x −，y −，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂． (2)据此估计2005年该城市人口总数．(参考数值：0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，02+12+22+32+42=30参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y −∑x i 2n i=1−nx−2,a ̂=y −−b ̂x −)22. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，m⃗⃗⃗ =(b,c)，n ⃗ =(cosC,cosB)且m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2acosA ，(Ⅰ)求角A ；(Ⅱ)若a =2√3，△ABC 的面积为√3，求b ，c ．【答案与解析】1.答案：B解析：解：由已知得sinα+cosα=√23，两边平方得1+2sinαcosα=29，∴2sinαcosα=−79而sin(π2+α)+cos(π2+α)=cosα−sinα ，(sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=1−(−79)=169，又π2<α<π，得sinα>0，cosα<0，∴cosα−sinα=43． 故选B ．整理sin(π−α)−cos(π+α)两边平方求求得sinαcosα的值，整理sin(π2+α)+cos(π2+α) 结果为1−2sinαcosα，把前边求的sinαcosα的值代入即可求的答案．本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．要特别注意函数正负号的判定．2.答案：A解析：此题考查了向量的变换和基本不等式的用法，属于中档题．利用重心性质及M ，N ，G 共线得到x ，y 的关系式，再构造基本不等式，求出最小值． 解：∵G 为△ABC 的重心，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，且x ≥1,y >1， 又∵G 在线段MN 上，∴13x +13y =1，∴x +y =3， ∴x +(y −1)=2，∴1x +1y −1=12[x +(y −1)](1x +1y −1) =12(1+1+x y −1+y −1x) ≥12(2+2)=2，当且仅当{x =y −1x +(y −1)=2，即x =1,y =2时等号成立．故选A ．3.答案：B解析：试题分析：依次循环的结果为：；；；.因为输出，所以可满足，故选．考点：程序框图．4.答案：B解析：解：设扇形半径为r，αr 2则扇形面积为S=12 ∴2=1×4×r 22解得：r=1故选：B．5.答案：C解析：解：由480÷16=30，故由题意可得抽到的号码构成以12为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=12+30(n−1)=30n−18．∴161≤30n−18≤320由n为正整数可得6≤n≤11，且n∈z，故做问卷B的人数为6，故选：C．由题意可得抽到的号码构成以12为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=12+(n−1)×30，由161≤a n≤320求得正整数n的个数，即为所求．本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．6.答案：D解析：解：∵f(x)=2cos(ωx+φ)为奇函数，∴f(0)=2cosφ=0，∴cosφ=0，又0<φ<π，∴φ=π；2)∴f(x)=2cos(ωx+π2=−2sinωx=2sin(ωx+π)，又ω>0，∴其周期T=2πω；设A(x1,2)，B(x2,−2)，则|AB|=√(x2−x1)2+[2−(−2)]2=4√2，∴|x1−x2|=x1−x2=4.即12T=4，∴T=2πω=8，∴ω=π4．∴f(x)=2sin(π4x+π)，∴其对称轴方程由π4x+π=kπ+π2(k∈Z)得：x=4k−2．当k=1时，x=2．故选D．根据题意可求得ω、φ的值，从而可得f(x)的解析式及其对称轴方程，继而可得答案．本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，求得ω是难点，考查分析与运算能力，属于中档题．7.答案：C解析：解：由已知中的数据，x增大时，y也呈现减少趋势，故y与x负相关，所以b<0，且回归方程经过(3,4)与(4,2.5)附近，所以a>0．故选：C．通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．本题考查回归方程的应用，基本知识的考查．8.答案：D解析：由已知程序的功能是计算分段函数，根据输出的，分类讨论可得正确选项为D．9.答案：D解析：解：利用几何概型，其测度为线段的长度．∵x∈(0,3)，∴函数y=x+1的值域为A=(1,4)，函数y =√x −2的定义域为B =[2,+∞)． 故在A 中任取一个元素，其属于B 的概率： P =4−24−1=23． 故选：D ．本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用区间的长度求比值即得．本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．10.答案：C解析：由甲、乙两人各用篮球投篮一次，且两人投中的概率分别为0.5、0.4，我根据对立事件减法公式易得到两人都不中的概率分别为1−0.5=0.5，1−0.4=0.6，再后求出对立事件概率，即可求解． 本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的(分几类)还是分步的(分几步)，然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．解：设甲投篮一次投中为事件A ，则P(A)=0.5， 则甲投篮一次投不中为事件A ，则P(A)=1−0.5=0.5， 设乙投篮一次投中为事件B ，则P(B)=0.4，则乙投篮一次投不中为事件B ，则P(B)=1−0.4=0.6， 则甲、乙两人各用篮球投篮一次有人投中的概率为：P =1−P(A ∩B) =1−0.6×0.5=0.7故选C ．11.答案：D解析：解：函数f(x)=cos(2x −2π3)−sin(2x −3π2)=−12cos2x +√32sin2x −cos2x=√3(12sin2x −√32cos2x)=√3sin(2x −π3).将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)=√3sin(2x +2φ−π3)的图象． 若g(x)为偶函数，则2φ−π3=kπ+π2，k ∈Z ，当k =0时，得到φ的最小值为5π12， 故选：D ．利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的奇偶，求得φ的最小值．本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于中档题．12.答案：D解析：解：若点M与F1，F2可以构成一个三角形，则|MF1|+|MF2|>|F1F2|，∵|F1F2|=4，动点M满足|MF1|+|MF2|=4，∴点M在线段F1F2上．故选：D．首先确定点M在直线F1F2上，再利用长度关系，确定点M在线段F1F2上．本题考查了轨迹的求法，即圆锥曲线定义中的条件问题，是基础题．13.答案：40解析：试题分析：该学院的C专业共有1200−380−420=400，所以，在该学院的C专业应抽取学生数为400×=40．考点：本题主要考查分层抽样。

河南省开封市2019-2020学年高一下期末综合测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．运行如图程序，若输入的是2-，则输出的结果是（ ）A ．3B ．9C ．0D ．3-【答案】B 【解析】分析：首先根据框图中的条件，判断-2与1的大小，从而确定出代入哪个解析式，从而求得最后的结果，得到输出的值.详解：首先判断21-<成立，代入221y x =+中， 得到22(2)19y =⨯-+=，从而输出的结果为9，故选B.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，需要注意的是要明确自变量的范围，对应的函数解析式应该代入哪个，从而求得最后的结果，属于简单题目. 2．设函数()sin cos 422f x a x b x ππαβ⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中,,,a b αβ均为非零常数，若(1977)2f =，则(2019)f 的值是（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．不确定【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦、余弦的诱导公式，由(1977)2f =，可以得到等式，求出(2019)f 的表达式，结合刚得到的等式求值即可. 【详解】(1977)2sin 1977cos 197742cos sin 222f a b a b ππαβαβ⎛⎫⎛⎫=⇒⋅++⋅++=⇒-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为sin 2019cos 20194cos sin 4209)2(21a b a b f ππαβαβ⎛⎫⎛⎫⋅++⋅++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，所以(2019)(2)46f =--+=.故选：C 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，属于基础题． 3．已知函数4(1)1y x x x =+>-，函数的最小值等于（ ） A ．41xx - B ．421+C ．5D ．9【答案】C 【解析】 【分析】 先将41y x x =+-化为()4111y x x =-++-，由基本不等式即可求出最小值. 【详解】 因为()()444112115111y x x x x x x =+=-++≥-⨯+=---，当且仅当411x x -=-， 即3x =时，取等号. 故选C 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求函数的最值问题，需要先将函数化为能用基本不等式的形式，即可利用基本不等式求解，属于基础题型.4．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω）的部分图象如图所示、将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．函数()g x 为偶函数D ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k k Z ππ=+∈【答案】B 【解析】 【分析】本题首先可以根据题目所给出的图像得出函数()f x 的解析式，然后根据三角函数平移的相关性质以及函数()f x 的解析式得出函数()g x 的解析式，最后通过函数()g x 的解析式求出函数()g x 的单调递增区间，即可得出结果． 【详解】由函数()()sin f x A x ωϕ=+的图像可知函数()f x 的周期为π、过点5312，π⎛⎫⎪⎝⎭、最大值为3， 所以A 3=,2T ππω==，ω2=，553sin 231212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()23k k Z πϕπ=-+∈， 所以取0k =时，函数()f x 的解析式为()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 将函数()f x 的图像向左平移3π个单位长度得()3sin 23sin 2333g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当()222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈时，即()5,1212x k k k Z ππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 单调递增，故选B ． 【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数图像的相关性质以及三角函数图像的变换，函数()()sin f x A x ωϕ=+向左平移n 个单位所得到的函数()()sin g x A x n ωϕ⎡⎤=++⎣⎦，考查推理论证能力，是中档题．5．已知三角形ABC 为等边三角形，1AB =，设点P Q ，满足()1AP ABAQ AC R λλλ==-∈，，，若38BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A ．12- B ．12± C D ．12【分析】用三角形的三边表示出BQ CP ⋅，再根据已知的边的关系可得到关于λ的方程，解方程即得。

2019-2020学年河南开封市五县联考高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．sin（﹣）的值等于（）A．B．C．D．2．已知向量＝（1，2），＝（x，﹣6），若∥，则x的值为（）A．﹣3B．3C．12D．﹣123．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a＝（）A．0B．2C．4D．144．已知扇形的弧长是5π，面积是15π，则该扇形的圆心角的正切值等于（）A．B．C．D．5．为了解高一学生对《中华人民共和国民法典》的学习情况，现从某校高一1205名学生中抽取50名学生参加测试，则首先用简单随机抽样剔除5名学生，然后剩余的1200名学生再用系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（）A．不全相等B．均不相等C．都相等，为D．都相等，为6．设函数在[﹣π，π]的图象大致如图所示，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．D．7．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本的平均数，则由观测的数据所得的线性回归方程可能是（）A．B．C．D．8．若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为Mod（N，m）＝r，例如Mod（10，4）＝2．如图所示的程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的“中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i＝（）A．8B．18C．23D．389．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”．如图，矩形ABCD是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．10．袋中共有5个小球，其中3个红球、2个白球．现从中不放回地摸出3个小球，则下列各对事件为互斥事件的是（）A．“恰有1个红球”和“恰有2个白球”B．“至少有1个红球”和“至少有1个白球”C．“至多有1个红球”和“至多有1个白球”D．“至少有1个红球”和“至多有1个白球”11．已知f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）在区间[]上单调递增，则ω的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]∪[7，]C．[7，]∪[]D．（0，]∪[]12．设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足＝+λ（+），λ∈[0，+∞），则点P的轨迹经过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．雷神山医院从开始设计到建成完工，历时仅十天．完工后，新华社记者要对部分参与人员采访．决定从300名机械车操控人员，160名管理人员和240名工人中按照分层抽样的方法抽取35人，则从工人中抽取的人数为．14．已知向量，满足||＝2，||＝，且⊥（+2），则向量在方向上的投影为．15．新冠肺炎疫情爆发后，某市指定医院组织市民进行核糖核酸检测．某个检测点派出了两名医生，四名护士．把这六名医护人员分为两组，每组一名医生，两名护士，则医生甲与护士乙分在一组的概率为．16．已知函数，给出下列四个结论：①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数；②直线是函数f（x）的一条对称轴；③点是函数f（x）的一个对称中心；④函数f（x）的单调递减区间为其中正确的结论是（填序号）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知角α∈（0，π）且3cos2α﹣8cosα＝5．求下列各式的值．（1）求sin（+α）的值；（2）先化简，再求值．18．如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是线段OB的靠近点B的三等分点，DC 和OA交于点E，设．（1）用和表示向量．（2）若，求实数λ的值．19．为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩（成绩均为整数）分成[40，50），[50，60），…，[90，100]六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的中位数和方差．（每组数据以区间的中点值为代表）．20．已知函数f（x）＝sin（2ωx﹣）﹣4sin2ωx+2（ω＞0），其图象与x轴相邻两个交点的距离为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位得到函数g（x）的图象恰好经过点（﹣，0），求当m取得最小值时，g（x）在[﹣，]上的单调增区间．21．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如表：时间周一周二周三周四周五车流量x（万辆）5051545758 PM2.5的浓度y（微克/立方米）3940424445（1）根据上表数据，求出这五组数据组成的散点图的样本中心坐标；（2）用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）若周六同一时间段车流量是100万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度是多少？（参考公式：，）22．在如图所示的平面直角坐标系中，已知A（1，0）和点B（﹣1，0），＝1，且∠AOC ＝x，其中O为坐标原点．（1）若，设点D为线段OA上的动点，求||的最小值；（2）若，向量，，求的最小值及其对应的x值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．sin（﹣）的值等于（）A．B．C．D．解：sin（﹣）＝sin（﹣6π+）＝sin＝．故选：A．2．已知向量＝（1，2），＝（x，﹣6），若∥，则x的值为（）A．﹣3B．3C．12D．﹣12解：∵向量＝（1，2），＝（x，﹣6），且∥，∴2x﹣1×（﹣6）＝0，解得x＝﹣3，即x的值为﹣3；故选：A．3．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a＝（）A．0B．2C．4D．14解：模拟执行程序框图，可得a＝14，b＝18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b＝4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b＝2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．4．已知扇形的弧长是5π，面积是15π，则该扇形的圆心角的正切值等于（）A．B．C．D．解：扇形的面积公式＝lr＝15π，解得：r＝6cm，又因为l＝＝5π，所以n＝150°．可得该扇形的圆心角的正切值等于﹣．故选：D．5．为了解高一学生对《中华人民共和国民法典》的学习情况，现从某校高一1205名学生中抽取50名学生参加测试，则首先用简单随机抽样剔除5名学生，然后剩余的1200名学生再用系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（）A．不全相等B．均不相等C．都相等，为D．都相等，为解：根据简单随机抽样和系统抽样原理知，每个个体被抽到的概率相等，所以每人入选的概率为P＝＝．故选：C．6．设函数在[﹣π，π]的图象大致如图所示，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．D．解：由图象知函数的周期T＜π﹣（﹣）＝，即＜，得ω＞，f（x）＝cosω（x+），当ω＞0时，函数f（x）的图象是y＝cos x向左平移得到，由五点对应法得﹣ω+＝﹣，即ω＝+＝，即ω＝，则f（x）的最小正周期为T＝＝，故选：C．7．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本的平均数，则由观测的数据所得的线性回归方程可能是（）A．B．C．D．解：变量x与y正相关，线性回归方程的斜率大于0；又观测数据的样本平均数为，满足方程＝0.4x+2.3．故选：D．8．若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为Mod（N，m）＝r，例如Mod（10，4）＝2．如图所示的程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的“中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i＝（）A．8B．18C．23D．38解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被3除余2，②被5除余3，③被7除余2，最小两位数，故输出的i为23，故选：C．9．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”．如图，矩形ABCD是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．解：设最大正方形的边长为a，则正方形的面积S＝a2，其内部扇形的面积S′＝，其面积之比为＝，其它以下图形的面积之比同理可得也是，由几何概型的概率求解公式可得，矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率为，故选：B．10．袋中共有5个小球，其中3个红球、2个白球．现从中不放回地摸出3个小球，则下列各对事件为互斥事件的是（）A．“恰有1个红球”和“恰有2个白球”B．“至少有1个红球”和“至少有1个白球”C．“至多有1个红球”和“至多有1个白球”D．“至少有1个红球”和“至多有1个白球”解：袋中共有5个小球，其中3个红球、2个白球．从中不放回地摸出3个小球，在A中，“恰有1个红球”和“恰有2个白球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“至少有1个红球”和“至少有1个白球”能同时发生，不是互斥事件，故B 错误；在C中，至多有1个红球”和“至多有1个白球”不能同时发生，是互斥事件，故C正确；在D中，“至少有1个红球”和“至多有1个白球”能同时发生，不是互斥事件，故D 错误．故选：C．11．已知f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）在区间[]上单调递增，则ω的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]∪[7，]C．[7，]∪[]D．（0，]∪[]解：f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（ωx+），由2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z，得2kπ﹣≤ωx≤2kπ+，k∈Z，即≤x≤，即函数的单调递增区间为[，]，k∈Z，∵f（x）在区间[]上单调递增，∴，即，即12k﹣5≤ω≤8k+，∵ω＞0，∴当k＝0时﹣5≤ω≤，此时0＜ω≤，当k＝1时，7≤ω≤，当k＝2时，19≤ω≤16+，此时不成立，综上ω的范围是0＜ω≤或7≤ω≤，即（0，]∪[7，]，故选：B．12．设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足＝+λ（+），λ∈[0，+∞），则点P的轨迹经过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心解：∵，∴＝λ（+）．又∵•（+）＝﹣||+||＝0∴与λ（+）垂直，即⊥，∴点P在BC的高线上，即P的轨迹过△ABC的垂心故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．雷神山医院从开始设计到建成完工，历时仅十天．完工后，新华社记者要对部分参与人员采访．决定从300名机械车操控人员，160名管理人员和240名工人中按照分层抽样的方法抽取35人，则从工人中抽取的人数为12．解：由300+160+240＝700，按分层抽样法从中抽取35人，则从工人中抽取的人数为35×＝12（人）．故答案为：12．14．已知向量，满足||＝2，||＝，且⊥（+2），则向量在方向上的投影为﹣1．解：设向量、的夹角为θ，由||＝2，||＝，且⊥（+2），所以•（+2）＝+2•＝4+2×2××cosθ＝0，解得cosθ＝﹣，所以在方向上的投影为：||cosθ＝×（﹣）＝﹣1．故答案为：﹣1．15．新冠肺炎疫情爆发后，某市指定医院组织市民进行核糖核酸检测．某个检测点派出了两名医生，四名护士．把这六名医护人员分为两组，每组一名医生，两名护士，则医生甲与护士乙分在一组的概率为．解：新冠肺炎疫情爆发后，某市指定医院组织市民进行核糖核酸检测．某个检测点派出了两名医生，四名护士．把这六名医护人员分为两组，每组一名医生，两名护士，基本事件总数n＝＝12，医生甲与护士乙分在一组包含的基本事件个数m＝＝6，则医生甲与护士乙分在一组的概率为p＝＝＝．16．已知函数，给出下列四个结论：①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数；②直线是函数f（x）的一条对称轴；③点是函数f（x）的一个对称中心；④函数f（x）的单调递减区间为其中正确的结论是①②③（填序号）．解：函数＝＝．所以：对于①：函数的最小正周期为T＝，故正确．对于②：当x＝﹣时，f（﹣）＝，故正确．对于③：当x＝时，f（﹣）＝，故正确．对于④：令（k∈Z），解得（k∈Z）．所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z）．故选：①②③三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知角α∈（0，π）且3cos2α﹣8cosα＝5．求下列各式的值．（1）求sin（+α）的值；（2）先化简，再求值．解：（1）∵3cos2α﹣8cosα＝3（2cos2α﹣1）﹣8cosα＝5，∴3cos2α﹣4cosα﹣4＝0，解得cos或cosα＝2（舍）．∵α∈（0，π），∴sinα＝．则sin（+α）＝＝；（2）∵，由（1）知，∴．18．如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是线段OB的靠近点B的三等分点，DC 和OA交于点E，设．（1）用和表示向量．（2）若，求实数λ的值．解：（1）∵，，∴，∵，∴．（2）设，∴，＝＝∵，∴又，且不共线．所以由平面向量基本定理知：，∴19．为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩（成绩均为整数）分成[40，50），[50，60），…，[90，100]六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的中位数和方差．（每组数据以区间的中点值为代表）．解：（1）∵各组的频率和等于1，∴第四组的频率为1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10＝1﹣0.7＝0.3．补全的频率分布直方图如图所示．（2）前三组的频率之和为：（0.010+0.015+0.015）×10＝0.4＜0.5前四组的频率之和为：0.4+0.03×10＝0.7＞0.5设中位数为x，则应有x∈（70，80）又∵0.4+（x﹣70）×0.03＝0.5，∴即样本的中位数为抽取学生的平均数约为：，样本的方差为：s2＝（45﹣71）2×0.010+（55﹣71）2×0.015+（65﹣71）2×0.015+（75﹣71）2×0.030+（85﹣71）2×0.025+（95﹣71）2×0.005＝194．20．已知函数f（x）＝sin（2ωx﹣）﹣4sin2ωx+2（ω＞0），其图象与x轴相邻两个交点的距离为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位得到函数g（x）的图象恰好经过点（﹣，0），求当m取得最小值时，g（x）在[﹣，]上的单调增区间．解：（1）函数f（x）＝sin（2wx﹣）﹣4sin2wx+2（w＞0）＝sin2wx﹣cos2wx﹣4•+2＝sin2wx+cos2wx＝sin（2wx+），根据图象与x轴相邻两个交点的距离为，可得函数的最小正周期为2×＝，求得w＝1，故函数f（x）＝sin（2x+）．（2）将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位得到函数g（x）＝sin[2（x+m）+]＝sin（2x+2m+）的图象，再根据g（x）的图象恰好经过点（﹣，0），可得sin（2m﹣）＝0，故m＝，g（x）＝sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ﹣，故函数g（x）的增区间为[kπ﹣，kπ﹣]，k∈z．再结合x∈[﹣，]，可得增区间为[﹣，﹣]、[，]．21．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如表：时间周一周二周三周四周五车流量x（万辆）5051545758 PM2.5的浓度y（微克/立方米）3940424445（1）根据上表数据，求出这五组数据组成的散点图的样本中心坐标；（2）用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）若周六同一时间段车流量是100万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度是多少？（参考公式：，）解：（1），，∴样本中心坐标为（54，42）；（2）∵，，∴＝，，∴线性回归方程为；（3）取x＝100，得（微克/立方米）．故此时PM2.5的浓度是75.12微克/立方米．22．在如图所示的平面直角坐标系中，已知A（1，0）和点B（﹣1，0），＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．（1）若，设点D为线段OA上的动点，求||的最小值；（2）若，向量，，求的最小值及其对应的x值．解：（1）设D（t，0）（0≤t≤1），由题易知C（﹣，），所以+＝（﹣+t，）所以|+|2＝﹣t+t2+＝t2﹣t+1＝（t﹣）2+（0≤t≤1），所以当t＝时，|+|最小，为．（2）由题意，得C（cos x，sin x），m＝＝（cos x+1，sin x），则m•n＝1﹣cos2x+sin2x﹣2sin x cos x＝1﹣cos 2x﹣sin 2x＝1﹣sin（2x+），因为x∈[0，]，所以≤2x+≤，所以当2x+＝，即x＝时，sin（2x+）取得最大值1，所以m•n的最小值为1﹣，此时x＝．。

2020-2021学年河南省开封市中学分校高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若集合A=｛-1，1｝，B=｛0，2｝，则集合C=｛z︱z=x+y,x∈A,y∈B｝的真子集的个数为（）A．6 B.8 C.3D.7参考答案：D略2. 已知同时满足下列三个条件：①最小正周期；②是奇函数；③.若在[0, t)上没有最大值，则实数t的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】先求出函数的解析式为，再利用数形结合分析得到实数t的取值范围.【详解】因为的最小正周期，所以，则.因为是奇函数，所以，即，所以或，. 因为，所以，所以，.所以，所以在，上单调递减，在，上单调递增.因为在上没有最大值，，，所以实数的取值范围是.故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查三角函数解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3. 若向量a =（1，2），b =（1，-3），则向量a与b的夹角等于（）A．B．C．D．参考答案：D4. 对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是（）A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列参考答案：D【考点】8G：等比数列的性质．【分析】利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可．【解答】解：A项中a3=a1?q2，a1?a9=?q8，（a3）2≠a1?a9，故A项说法错误，B项中（a3）2=（a1?q2）2≠a2?a6=?q6，故B项说法错误，C项中（a4）2=（a1?q3）2≠a2?a8=?q8，故C项说法错误，D项中（a6）2=（a1?q5）2=a3?a9=?q10，故D项说法正确，故选D．5. 设集合A={x Q|}，则（）A．B．C．D ．参考答案：B略6. 若函数在一个周期内的图象如下图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且，则（）A． B． C． D．参考答案：A7. 已知为奇函数，，，则（）A. B. 1 C. D. 2参考答案：C已知为奇函数，，令可得，即，则，令可得，故选C.8. 在函数y=sin|x|、y=|sinx|、y=sin（2x+）、y=tan（2x+）中，最小正周期为π的函数的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：B【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的周期等于 T=，y=|Asin（ωx+φ）|的周期为，y=Atan（ωx+φ）的周期为，得出结论．【解答】解：∵函数y=sin|x|不是周期函数，y=|sinx|是周期等于π的函数，y=sin（2x+）的周期等于=π，y=tan（2x+）的周期为，故这些函数中，最小正周期为π的函数的个数为2，故选：B．9. 下列函数在（，）内为减函数的是（A）（B）（C）（D）参考答案：B略10. （5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，则?U A=（）A．? B．{2，4，6} C．{1，3，6，7} D．{1，3，5，7}参考答案：C考点：补集及其运算．专题：计算题．分析： 由全集U ，以及A ，求出A 的补集即可．解答： ∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}， ∴?U A={1，3，6，7}， 故选C点评： 此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数y =有最小值,则a的取值范围是参考答案：1<a<2 12. 已知为的边上一点,若,则的最大值为 .参考答案：613. 已知函数f (x )＝a －，若f (x )为奇函数，则a ＝________．参考答案：略14. 已知幂函数y=f （x ）的图象过点（2，），则f （9）= ．参考答案：3【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f （16）的值【解答】解：由题意令y=f （x ）=x a ，由于图象过点（2，），得=2a ，a=∴y=f（x ）=∴f（9）=3． 故答案为：3．15. 在轴上的截距是5，倾斜角为的直线方程为 。