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求解三次方程的根
介绍
本文档将介绍如何求解三次方程的根。
三次方程是一个三次多项式方程，可以用以下通用形式表示：
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
其中，a、b、c和d是已知系数，x是要求解的未知数。
解法
要求解三次方程的根，可以通过以下步骤进行：
1. 确定系数
首先，确定方程中的系数a、b、c和d的值。
2. 应用求根公式
三次方程的求根公式比较复杂，我们可以转而应用数值计算方法来逼近解。
在这里，我们可以使用牛顿迭代法来求解三次方程的根。
步骤：
1. 选择一个初始近似值x0。
2. 使用以下迭代公式进行迭代计算，直到满足收敛条件：
x(n+1) = x(n) - f(x(n))/f'(x(n))
其中，x(n)表示第n次迭代的近似值，f(x)表示三次方程的函数，f'(x)表示三次方程的导函数。
3. 当满足收敛条件时，近似值x(n+1)即为方程的一个根。
3. 解的个数和精度
三次方程可能有一个实根或三个实根。
当求解过程中产生一个
根时，可以通过多次迭代来寻找其他根。
另外，牛顿迭代法的精度取决于初始近似值的选择和迭代次数。
为了得到更精确的根，可以尝试多次迭代并选择更合适的初始近似值。
结论
求解三次方程的根是一个复杂的过程。
本文介绍了使用牛顿迭
代法来逼近解的方法。
通过选择适当的初始近似值和进行多次迭代，
可以得到较精确的根。
你也可以尝试其他数值计算方法来解决这个问题。
求根公式推导引言求根公式是一种用来求解二次方程的方法，它可以求解形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是已知的实数，且a不等于0。
求根公式可以帮助我们找到方程的根，即方程的解。
在本文中，我们将推导出求根公式，并说明如何使用它来解决二次方程。
二次方程的一般形式二次方程的一般形式可以表示为：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b和c分别表示已知的实数。
我们的目标是找到方程的根x。
推导过程假设我们已知一个二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们使用求根公式来找到方程的根x。
首先，我们可以通过移项将方程变形为：ax^2 + bx = -c接下来，我们将方程两边同时除以a，得到：x^2 + (b/a)x = -c/a现在，我们的目标是将方程变成一个完全平方的形式。
我们可以通过添加一个恰当的常数项来实现这一点。
根据二项式平方公式，我们知道：(x + p)^2 = x^2 + 2px + p^2将上述公式应用于我们的方程，我们可以将左边变成一个完全平方：(x + \\frac{b}{2a})^2 = x^2 + 2(\\frac{b}{2a})x + (\\frac{b}{2a})^2将右边的常数项化简，我们得到：(\\frac{b}{2a})^2 = \\frac{b^2}{4a^2}现在，方程变为：(x + \\frac{b}{2a})^2 = -c/a + \\frac{b^2}{4a^2}继续化简右边的分数项，我们得到：(\\frac{b}{2a})^2 = \\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}接下来，我们对方程两边开方，得到：x + \\frac{b}{2a} = \\pm \\sqrt{\\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}继续变形，我们得到：x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}这就是我们所要寻找的求根公式。
三次方程求根公式
设一元三次方程在复数集中的根是x1,x2,x3，那么
其中。
早在古巴伦的文献中，已有一些三次、四次的数字方程。
7世纪初期，我国唐朝的数学家土孝通所著的《缉古算经》一书记载了不少三次方程。
阿拉伯人也很早就研究过三次方程。
但是在上千年的漫长岁月里，人们寻求一般三次方程的求根公式没有进展。
直到1494年，意大利数学家帕克里还宣称一般的三次方程是不可能解的。
1500年波伦亚的数学教授菲洛终于找到了形如
的三次方程的一般解法。
但他向外保密，只是秘传给他的一个学生。
在菲洛死后近十年，这个学生以上述三次方程求解问题向当时意大利数学家塔塔里亚挑战。
塔塔里亚也找到了方程（1）的一般解法，并公开了结果。
但他也不肯公布推导过程。
这件事为数学物理教授卡丹所知，便要塔塔里亚把解题的秘诀告诉他，塔塔里亚在卡丹发誓绝对保密的情况下，将证明方法告诉卡丹。
卡丹不顾他的誓言，把这个解法发表在他的《重要的艺术》一书中，为此塔塔里亚向卡丹提出责难，引起双方一场论战。
三次方程求根公式现在仍称为卡丹公式。
塔塔里亚与卡丹的解法如下：
作变换，使方程（1）化成
令，得
解这个二次方程，得出后，就可得到y的六个值，然后再利用关系式就可得到x的值。
根据卡丹公式，我们就能解一般的三次方程：。
首先把它改写为。
令就可化成缺平方项的三次方程
这里。
三次方程求根公式卡丹公式卡丹公式，又称三次方程求根公式，是用来求解三次方程的根的一种公式。
在数学中，三次方程是指一个变量的三次多项式方程，通常表示为ax^3+bx^2+cx+d=0。
三次方程的解析解较为复杂，因此卡丹公式的引入使得求解三次方程的过程更加简便和高效。
卡丹公式的形式如下：x = -\frac{b}{3a} + \frac{\sqrt[3]{Q + \sqrt{Q^2 + R^3}}}{3a\sqrt[3]{2}} + \frac{\sqrt[3]{Q - \sqrt{Q^2 + R^3}}}{3a\sqrt[3]{2}}其中，Q = \frac{3ac - b^2}{9a^2} 和 R = \frac{9abc - 27a^2d - 2b^3}{54a^3}。
卡丹公式的推导相对复杂，这里不做详细讨论。
下面我们将通过一个具体的例子来展示卡丹公式的应用。
假设我们要求解方程2x^3 + 3x^2 - x - 1 = 0的根。
我们计算Q和R的值：Q = \frac{3(2)(-1) - (3)^2}{9(2)^2} = -\frac{1}{4}，R = \frac{9(2)(-1)(-1) - 27(2)^2(-1) - 2(3)^3}{54(2)^3} = 0接下来，我们将Q和R的值代入卡丹公式，计算出方程的三个根：x_1 = -\frac{3}{4}，x_2 = \frac{1}{4}，x_3 = -1通过卡丹公式，我们成功求解了该三次方程的根。
卡丹公式的引入极大地简化了求解三次方程的过程。
在没有卡丹公式之前，求解三次方程需要通过复杂的代数运算和因式分解来获得解析解，计算过程繁琐而复杂。
而有了卡丹公式，我们只需要计算出Q和R的值，代入公式即可得到方程的三个根，大大提高了求解的效率。
需要注意的是，卡丹公式只适用于一般的三次方程，对于特殊情况，如方程存在重根或虚根，或者方程的系数不满足一定条件时，卡丹公式的应用可能会有限。
三次方程的根与系数关系公式嘿，朋友们！咱们今天来聊聊三次方程的根与系数关系公式，这可是数学里相当有趣的一部分哟！你想啊，一个三次方程就像是一个神秘的宝箱，而根与系数关系公式就是打开这个宝箱的神奇钥匙。
先来说说啥是三次方程。
简单讲，就是形如 ax³ + bx² + cx + d = 0 这样的式子，这里的 a、b、c、d 都是数，而且 a 还不能等于 0 。
这就好比是一场数学的冒险之旅，我们要找到能让这个等式成立的根。
那根与系数关系公式到底是啥呢？它就像是方程世界里的一条隐藏法则。
比如说，方程的三个根分别是 x₁、x₂、x₃，那它们和系数之间就有着奇妙的联系。
咱举个例子感受一下。
比如说有个三次方程 x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 ，通过一些方法咱算出它的三个根是 1、2、3 。
这时候你会发现，根的和 x₁ + x₂ + x₃就等于 6 ，恰好就是二次项系数 -6 的相反数；根的两两乘积之和 x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃就等于 11 ，正好就是一次项系数；而根的乘积 x₁x₂x₃就等于 6 ，这不就是常数项嘛！神奇不？这就好像是一场巧妙安排的游戏，每个数字都有它的使命和位置。
你想想，如果没有这个关系公式，咱们要找到这些规律得多费劲啊！有人可能会说，这有啥用啊？用处可大了去啦！比如说，知道了系数，咱能大概猜出根的范围；或者知道了根，能快速检验系数对不对。
这在解决很多数学问题的时候，那可真是如虎添翼。
而且，这种关系不仅仅存在于数学的课本里，它在实际生活中也有影子呢。
就像建筑师设计大楼，工程师计算桥梁的受力，都可能用到这样的原理。
所以啊，别小看这三次方程的根与系数关系公式，它就像是数学世界里的一座宝藏，等待着咱们去挖掘，去发现其中的奇妙之处。
总之，三次方程的根与系数关系公式是数学中非常重要且有趣的一部分，值得咱们好好去琢磨和掌握！。
一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”一元三次方程的一般形式是x3+sx2+tx+u=0如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。
所以我们只要考虑形如x3=px+q的三次方程。
假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。
代入方程，我们就有a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q整理得到a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，3ab+p=0。
这样上式就成为a3-b3=q两边各乘以27a3，就得到27a6-27a3b3=27qa3由p=-3ab可知27a6 + p = 27qa3这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。
进而可解出b和根x.除了求根公式和因式分解外还可以用图象法解，中值定理。
很多高次方程是无法求得精确解的，对于这类方程，可以使用二分法，切线法，求得任意精度的近似解。
参见同济四版的高等数学。
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。
我归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。
归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。
方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)可化为(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)后记：一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。
一元三次方程求根公式三次方程新解法——盛金公式解题法Shengjin’s Formulasand Shengjin’s Distinguishing Meansand Shengjin’s Theorems from the Writingsto introduce to you and to solving a problem in mathematics盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
盛金公式Shengjin’s Formulas一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b－3ac；B=bc－9ad；C=c－3bd，总判别式：Δ=B－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①（WhenA=B=0，Shengjin’s Formula①）：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B－4AC>0时，盛金公式②（WhenΔ=B－4AC>0，Shengjin’s Formula②）：X1=(－b－(Y1＋Y2))/(3a)；X2，3=(－2b＋Y1＋Y2±3 (Y1－Y2)i)/(6a)；其中Y1，2=Ab＋3a (－B±(B－4AC))/2，i=－1。
当Δ=B－4AC=0时，盛金公式③（WhenΔ=B－4AC =0，Shengjin’s Formula ③）：X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B－4AC<0时，盛金公式④（WhenΔ=B－4AC<0，Shengjin’s Formula④）：X1= (－b－2Acos(θ/3) )/(3a)；X2，3= (－b＋A(cos(θ/3)±3sin(θ/3)))/(3a)；其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A)，(A>0，－1<T<1)。
一元三次方程求根公式三次方程新解法——盛金公式解题法Shengjin’s Formulasand Shengjin’s Distinguishing Meansand Shengjin’s Theorems from the Writingsto introduce to you and to solving a problem in mathematics盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
盛金公式Shengjin’s Formulas一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b－3ac；B=bc－9ad；C=c－3bd，总判别式：Δ=B－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①（WhenA=B=0，Shengjin’s Formula①）：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B－4AC>0时，盛金公式②（WhenΔ=B－4AC>0，Shengjin’s Formula②）：X1=(－b－(Y1＋Y2))/(3a)；X2，3=(－2b＋Y1＋Y2±3 (Y1－Y2)i)/(6a)；其中Y1，2=Ab＋3a (－B±(B－4AC))/2，i=－1。
当Δ=B－4AC=0时，盛金公式③（WhenΔ=B－4AC =0，Shengjin’s Formula ③）：X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B－4AC<0时，盛金公式④（WhenΔ=B－4AC<0，Shengjin’s Formula④）：X1= (－b－2Acos(θ/3) )/(3a)；X2，3= (－b＋A(cos(θ/3)±3sin(θ/3)))/(3a)；其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A)，(A>0，－1<T<1)。
一元三次方程求根公式推导推导一元三次方程的求根公式可以基于维尔斯特拉斯方程，该方程是一个带参数的三次方程，具有一根已知解。
我们将在推导的过程中应用维尔斯特拉斯方程。
下面是详细的推导步骤：1.令y=x-α，其中α是一个待定常数。
将y代入原一元三次方程，并进行变形，得到新的方程a(y+α)^3+b(y+α)^2+c(y+α)+d=0。
展开并对y进行整理，得到a(y^3+3αy^2+3α^2y+α^3)+b(y^2+2αy+α^2)+c(y+α)+d=0。
2. 对表达式进行分组，得到 (ay^3 + by^2 + cy + d) + 3α(ay^2 + by + c) + 3α^2(ay + b) + α^3a + α^2b + αc + d = 0。
3. 根据原一元三次方程的定义，ay^3 + by^2 + cy + d = 0，因此第一项为 0，可以消去。
4. 对剩下的表达式控制进行整理，得到3α(ay^2 + by + c) +3α^2(ay + b) + α^3a + α^2b + αc + d = 0。
5. 接下来，我们需要选择α 的值，使得3α(ay^2 + by + c) +3α^2(ay + b) + α^3a + α^2b + αc + d = 0 中的二次项系数为 0。
令3α(ay^2 + by + c) + 3α^2(ay + b) = 0，消去α，并整理表达式，得到ay^2 + (2aα + b)y + α(ay + b) + c = 0。
6.根据二次项系数为0的条件，2aα+b=0，解得α=-b/(2a)。
7. 将α 的值代入到原一元三次方程中，得到a(y+α)^3 +b(y+α)^2 + c(y+α) + d = 0，展开并整理表达式，得到 a y^3 + (3αa + c)y^2 + (3α^2a + 2αc + d)y + (α^3a + α^2c + αd) = 0。
一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”一元三次方程的一般形式是x3+sx2+tx+u=0如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。
所以我们只要考虑形如x3=px+q的三次方程。
假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。
代入方程，我们就有a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q整理得到a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，3ab+p=0。
这样上式就成为a3-b3=q两边各乘以27a3，就得到27a6-27a3b3=27qa3由p=-3ab可知27a6 + p = 27qa3这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。
进而可解出b和根x.除了求根公式和因式分解外还可以用图象法解，中值定理。
很多高次方程是无法求得精确解的，对于这类方程，可以使用二分法，切线法，求得任意精度的近似解。
参见同济四版的高等数学。
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。
我归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。
归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。
方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)可化为(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)后记：一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。
一元三次方程的求根公式及其推导有三个实数根。
有三个零点时，当有两个实数根。
有两个零点时，当有唯一实数根。
有唯一零点时，当。
，有两实根，为，则方程若有唯一实数根。
有唯一零点有一实根，则方程若有唯一实数根。
有唯一零点没有实根，则方程若实数根的个数。
点的个数即方程零即方程则设实数根的判定：程即可。
因此，只需研究此类方的特殊形式即公式化为均可经过移轴三次方程由于任一个一般的一元0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(33:0)(0)3(0)()(0)(,0).2(0)()(0)(',0).1(0)(,00)(,)(.1,0,0)2792()3)(39()3(0)3272()3)(3(3(032323221''3333233232323=⇔<+=∙=⇔=+=∙=⇔>+=∙--==-===<=⇔===⇔=>=++=++=++==++=+-++-++=+-++-++=+++x F x F p q F F x F x F p q F F x F x F p q F F px px x F p x F x F x F p x F x F x F p q px x x F q px x x F q px x x F q px x D A ABC B B Ax AB AC B Ax D A BC A BA Bx A B C A B x A D Cx Bx Ax βαβαβαβα33233232323323233231322321323232333333333333333333333332332332323212811210861128112108610)1281(811)27(41281121086112811210861181281918128190)1281(811)27(402727,3)(300)(33)(3)(.1.200128100128100128112810)1281(8110)0.(0.p q q p q q x p q p q p q q a B pq q a A B A pq q a p q q a p q p q p qa a B A qB A p B A q B A p AB q B A p AB q px x B A ABx x ABx B A B A AB B A B A x B A x B A B A B A x q px x p q q px x p q q px x p q p q p q p q p q p +--+++-=≤+=--⎪⎩⎪⎨⎧+--==++-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=++-=>+=--=-+⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==+-=-=++=+--++=+++=+=+=+==++<+=∆=++=+=∆=++>+=∆+=∆>+≥式，为：实数根的方程的求根公上方法只能导出有一个）。
三次方的方程解法嘿，朋友们！今天咱们来唠唠三次方方程的解法，这就像是一场奇妙的冒险呢！你看啊，三次方方程长这样：ax³ + bx² + cx + d = 0。
这就好比是一个神秘的大怪物，里面有各种小零件（系数a、b、c、d），咱们得想办法把这个怪物给驯服喽。
首先呢，有一种方法叫试根法。
这就像是猜谜语一样，咱们先猜猜看有没有比较简单的根。
比如说，±1、±2之类的，就像在一堆钥匙里先找一找有没有能直接打开怪物笼子的那把。
要是运气好，找到了一个根，比如说x = k是这个方程的根，那咱们就可以像拆乐高一样，把这个方程分解成(x - k)和一个二次方程的乘积。
这二次方程咱就熟悉啦，就像见到了老朋友一样，用求二次方程的方法就能继续搞定它。
还有一种卡丹公式，这卡丹公式可不得了，就像是超级英雄的绝招。
不过这绝招有点复杂，用起来就像走迷宫一样。
你得小心翼翼地把那些系数代入到公式里，就像把宝藏的密码一个一个对准锁孔。
要是不小心算错了一点，那就像在迷宫里走错了路，得重新来过。
那如果方程是x³ = a这种特殊形式呢，这就简单得像吃蛋糕一样。
直接开立方根，x就等于三次根号下a。
这就像是怪物自己把弱点暴露出来了，咱们轻轻松松就能打败它。
有时候啊，咱们可以通过换元法来简化这个三次方怪物。
比如说设y = x + b/3a，这就像给怪物换了一身衣服，让它看起来没那么吓人了。
换完元之后，方程可能就变得简单多了，咱们就能更好地对付它。
要是遇到系数比较复杂的三次方方程，那就像走进了一片大雾弥漫的森林，看啥都迷糊。
这时候呢，咱们就得耐心一点，把系数整理清楚，就像在森林里先找到方向标一样。
三次方方程的图像也很有趣哦。
它就像一座起伏的小山，那些根呢，就是小山和x轴的交点。
想象一下，咱们在找这些交点的过程，就像在山上寻宝一样。
还有哦，当咱们用各种方法解三次方方程的时候，就像是一个探险家在尝试不同的路线去寻找宝藏。
三次方程与代数方程解法代数方程是数学中重要的一部分，通过代数方程的求解，我们可以得到很多有用的信息。
在代数方程中，三次方程是一种特殊的形式，它的求解方法有自己的规律和技巧。
本文将讨论三次方程的求解方法以及代数方程的解法技巧。
一、三次方程的求解方法三次方程通常可以表示为ax^3+bx^2+cx+d=0，其中a,b,c,d是常数，x是未知数。
三次方程的求解方法有以下几种：1. 特殊公式法三次方程的求解可以使用特殊公式法。
在推导过程中，需要使用立方差公式，将原式转化成合适的形式。
具体求解过程见下：对于三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，令y=x+((b/3a))，则有：a(y-((b/3a)))^3+b(y-((b/3a)))^2+c(y-((b/3a)))+d=0化简得：ay^3+(c-(b^2/3a))y+(2b^3/27a^2)-d=0此时方程已化为y的一次方程，使用求解一次方程的方法即可得解。
再使用x=y-((b/3a))，即可求得原三次方程的解。
2. 图像法三次方程的图像法指的是通过绘制函数y=ax^3+bx^2+cx+d的图像来求解方程。
根据图像的特点，可以找到函数的根点。
例如，当方程ax^3+bx^2+cx+d=0的图像与x轴有一个交点时，x轴上的这个点即为方程的实数根。
对于无理数根，则需要通过描点法逼近求解。
3. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种逼近解的方法，在三次方程的求解中也适用。
具体过程如下：设F(x)=ax^3+bx^2+cx+d，F’(x)=3ax^2+2bx+c，x0为初值，x1为逼近值，则有：x1=x0-(F(x0)/F’(x0))依次迭代，直到收敛到要求的精度为止。
二、代数方程的解法技巧代数方程的问题千差万别，解题方法也不尽相同。
但是，有一些比较通用的技巧，可以提高解题的效率和准确性。
以下是几个代数方程解法的技巧：1. 注意变量的合理取值范围在求解方程的过程中，需要注意变量的合理取值范围。
一般实系数三次方程的谢国芳求根公式和判别法作者：谢国芳（Roy Xie ） Email: roixie@【摘要】本文给出了远比卡丹公式和盛金公式简明快捷的求解一般实系数三次方程320ax bx cx d +++= 的新求根公式及相应的根的判别法则。
【资料来源】 同作者已发表的学术论文《一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则》（2012年第21期《数学学习与研究》）和网页专题研究论文集《三次方程研究》一般实系数三次方程的谢国芳求根公式（形式1）和根的判别法则对于实系数三次方程320ax bx cx d +++=，定义第一判别式（first discriminant ） 23D b ac =-,关键比（key ratio ）32 =r ,则有如下根的判别法则和求根公式：（一）当230D b ac =-<时，方程有一个实根和两个共轭虚根：12,31)3111(2233b K K x a b K K K K x i a a ⎧-+-⎪=⎪⎪⎨⎪--+⎪=±⎪⎩))（1.1）其中K =（二）当230D b ac=->，1r>时，方程也有一个实根和两个共轭虚根：12,31)3111(2233bxabx ia aκκκκκκ⎧-++⎪=⎪⎪⎨⎪-+-⎪=±⎪⎩))（1.2）其中κ=（三）当230D b ac=->，1r=时，方程有两个相等的实根（即一个两重实根）和另一个与之不等的实根，此时仍可用求根公式（1.2）求解.当1r=时，1κ==，代入式（1.2）即得1x=,23x x==.当1r=-时，1κ==-，代入式（1.2）即得13bxa--=,233bx xa-==.（四）当230D b ac=->，1r<时，方程有三个互异的实根：1232cos 3322cos()33322cos()333b x ab x ab x aθθπθπ⎧-+⎪=⎪⎪⎪-++⎪=⎨⎪⎪-+-⎪=⎪⎪⎩（1.3）其中1cos r q -=.以上求根公式的推导参见2012年第21期《数学学习与研究》上同作者的论文《一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则》。
一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则—— 谢国芳 Email: roixie@【摘要】 本文利用复三角函数推导出了远比卡丹公式简明快捷的可直接用来求解一般三次方程（包括复系数情形）320ax bx cx d +++=的新求根公式，进而又针对实系数的情形讨论了根的情况，得到了方便的根的判别法则。
【关键词】 三次方程 复三角函数 欧拉公式 求根公式 判别法1 一般三次方程的简化对于一个一般形式的三次方程320ax bx cx d +++= (0)a ≠, 两边同除以a ，即可化为首项系数为1的三次方程320b c dx x x a a a+++=, 然后作变量代换3bx y a =-,（1） 可消去二次项，将它化为下面的形式：30y py q ++=, （2） 其中2233b ac p a -=-, 323922727abc b a dq a --=-.（3） 下面我们把形如式（2）的三次方程称为简约三次方程. 并约定其一次项系数0p ≠.[1]2 简约三次方程的三角函数解法和求根公式在方程（2）中作变量代换[2]y z =, （4） 利用三倍角公式3cos34cos 3cos z z z =-,方程（2）即化为cos3z =, （5）定义参数χ=, （6）称之为三次方程30y py q ++=的关键比(key ratio)，于是式（5）即cos3z χ=. （7）当χ为实数且1χ≤时，令1cos θχ-=，可得其一般解为32z n θπ=±+, 即 233n z θπ=±+()n ∈ 取0,1,1n =-，即可得到z 在一个周期内的六个值：22, , 33333z θθπθπ=±±+±-但cos z 只取下面这三个值：22cos cos , cos(), cos()33333z θθπθπ=+-代入式（4），即得方程30y py q ++=的三个根：12332cos()332)33y y y θθπθπ⎧=⎪⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩（8） 其中1cos θχ-=, χ=(, 1)c c 危.当关键比χ为绝对值大于1的实数或虚数时，方程（7）在实数域内无解，但如果我们把三角函数的定义域扩大到复数域，即考虑复变量的三角函数，则对于任意复数χ都可求得其解.根据复三角余弦函数的定义（欧拉公式）：cos 2iz ize e z -+=, （9）方程（7）等价于332iz ize e χ-+=, 它可以化为一个以3iz e 为元的二次方程：323()2()10iz iz e e χ-+=,解得3iz e χ=±（10）定义参数 W χ=+ （11）注意到恒等式( 1χχ-+=, （12）由式（10）可解得ize =或代入式（9），再由式（4）即得方程30y py q ++=的根为y =+, （13） 其中W χ=+,χ=. （14）三个值正好对应于方程的三个根. [3]3 简约三次方程的另一个求根公式定义参数λ （15）亦称之为三次方程30y py q ++=的关键比，对比关键比χ的定义式（6），若规定平方根的取值满足（参见注2和附录1）= （16）则i χλ=, 于是(W i i i χλλλ=+=+=+=+定义参数Z λ=+, 则W iZ =, 故（参见附录1中的式（31）及其解释）/6i e π=,代入求根公式（13）可得/2/6/62/3( i i i i y e e e e ππππ-===-因为2/3i e π乘以的三个值，所以上式即y =, （17） 其中Z λ=+,l =（18）的三个值亦正好对应于方程的三个根.4 一般三次方程的两个求根公式为了把求根公式（13）和（17）推广到一般三次方程320ax bx cx d +++=，只需把相应的简约三次方程30y py q ++=的关键比χ和l 直接用系数,,,a b c d 表出即可.将由式（3）给出的,p q 值代入χ和l 的定义式（参见式（6）、（15））可得[4]323239227abc b a dχ--32λ.定义23D b ac =-, 则有32χ=,32λ=. （19）我们可以把它们称为三次方程320ax bx cx d +++=的关键比. 分别根据求根公式（13）和求根公式（17），并注意到23D p a =-和3b x y a=-（参见式（1）、（3）），我们就得到了下面的结果.定理1（一般三次方程的求根公式Ⅰ）对于三次方程320ax bx cx d +++=, 定义参数23D b ac =-,32χ=,W χ=+（20）则当0D ≠时它的根为[5]x =（21）设i W W e β=，W 为复数W 的模，arg W β=为其幅角主值（πβπ-<≤），的三个值为/3i β,(2)/3i βπ+,(2)/3i βπ-.代入式（21），即得方程的三个根：123x x x ⎧⎪⎪=⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎩定义实参数ρ=并利用欧拉公式cos sin i e i q q q =+，可将它们改写为12311)cos ()sin )3331212)cos()()sin())333331212)cos()()sin())33333b i x a b i x a b i x a ββρρρρβπβπρρρρβπβπρρρρ⎧-+++-⎪=⎪⎪⎪-++++-+⎪⎪=⎨⎪⎪-++-+--⎪⎪=⎪⎪⎩（22）其中ρ=arg W β=, W χ=+定理2（一般三次方程的求根公式Ⅱ）对于三次方程320ax bx cx d +++=, 定义参数23D b ac =-,32λ=Z λ=+, （23）则当0D ≠时它的根为x =（24）设i Z Z e α=，Z 为复数Z 的模，arg Z α=为其幅角主值（παπ-<≤），的三个值为/3i α,(2)/3i απ+,(2)/3i απ-.代入式（24），同样利用欧拉公式，并定义实参数σ=，可得方程的三个根：12311)cos ()sin )3331212)cos()()sin())333331212)cos()()sin())33333b i x a b i x a b i x a αασσσσαπαπσσσσαπαπσσσσ⎧-+-++⎪=⎪⎪⎪-+-++++⎪=⎨⎪⎪-+--++-⎪=⎪⎪⎩（25）其中σ=arg Z α=, Z λ=+.注意求根公式Ⅰ和求根公式Ⅱ是完全等价的，它们的区别仅在于关键比χ和l 的定义式中D 前面的符号不同一个为正一个为负（这导致χ和l 相差一个因子i ），从而也使得参数W 和Z 的定义式中出现了一个符号的差别（参见式（20）、（23））.在实际应用中，我们可以使用这两个求根公式中的任意一个求解（可视方便而定），除了根的编号可能不同之外，得到的结果当然是完全相同的.例题1 解复系数三次方程 320x ix x i ++-=.解法1 （用求根公式Ⅰ求解）：1a =, b i =, 1c =, d i =-,223()3114D b ac i =-=-⨯⨯=-,323198χ===-, 198W χ=+=-+=arg W βπ==, 0.604401892838194ρ==≈, 代入式（22），即得方程的三个根：111)cos ()sin)33311)cos0.6062907292071990.4()sin )33319643377607081 ,b i x ai i i ββρρρρππρρρρ-+++-=-++++-=≈21212)cos()()sin())333331.839286755214,161i i x i ππππρρρρ-++++-+=≈-31212)cos()()sin()0.60629)3333307292071990.41964337760708 ,1 i i x i ππππρρρρ-++-+--=≈-+解法2（用求根公式Ⅱ求解）：323198i λ===,198Z i λ=+=+=, arg 2Z πα==,1.654528239983047σ==≈,代入式（25），即得方程的三个根：111)cos ()sin )33311)cos0.6062907292071990.419643()sin )663377607081,b i x ai i i αασσσσππσσσσ-+-++=-+-+≈++=21212)cos()()sin())0.6062907292071990.4196433776076363081,3i i x i ππππσσσσ-+-+++=≈-++31212)cos()()sin()) 636 1.83928673355214161.i ii x ππππσσσσ-+---++-=≈和前面解法1用求根公式Ⅰ求解所得结果的差别只是后两个根的编号不同.对于实系数的三次方程，当然亦完全可以直接用求根公式Ⅰ或求根公式Ⅱ求解，但为了尽可能地简化计算，特别是避免复数运算，下面我们将推导出一组更简单的专门适用于实系数三次方程的求根公式.5 一般实系数三次方程的求解和根的判别法则（D c -判别法）对于实系数三次方程320ax bx cx d +++=，我们可以根据参数23D b ac =-的值，选择使用求根公式Ⅰ和求根公式Ⅱ中较方便的一个求解，进而判定根的情况.5.1 0D <的情形当230D b ac =-<时，显然用求根公式Ⅱ求解比较方便，因为这时关键比λ为实数（参见式（23）），Z λ=+亦为实数，设其实立方根为K ，三个值为K , 2/3i e K π,2/3i e K π-，代入式（24）即得方程的三个根为12,31)31212cos sin3333b K K x a b K K K K x i a a ππ⎧-+-⎪=⎪⎪⎨⎪-+-+⎪=±⎪⎩))（26）其中K =32λ=（λ∈ , K ∈ ）.显然1x 为实根，2x , 3x 为共轭虚根.5.2 0D >的情形当230D b ac =->时，显然用求根公式Ⅰ求解比较方便，因为这时关键比χ为实数（参见式（20）），参数W χ=+1χ≥和1χ<这二种情形.（一）若1χ≥，则W χ=+κ三个值为κ, 2/3i e πκ, 2/3i e πκ-，代入式（21）即得方程的三个根为12,31)31212cos sin3333b x ab x i a a κκππκκκκ⎧-++⎪=⎪⎪⎨⎪-++-⎪=±⎪⎩))（27）其中κ=χ∈ , 1χ≥, κ∈ ）.易见1x 为实根. 当1χ>时2x ,3x 为共轭虚根. 当1χ=，即1χ=±时，1κ=±，2x ,3x 为两个相等的实根.（二）若1χ<，设cos χθ=（0q p <<），即1cos θχ-=，于是有cos cos sin i W i e θχθθθ=+=+=+=,三个值为/3i e θ, (2)/3i e θπ+, (2)/3i e θπ-，代入式（21）即得方程的三个根为[6]1232cos 3322cos()33322cos()333b x a b x a b x a θθπθπ⎧-+⎪=⎪⎪⎪-++⎪=⎨⎪⎪-+-⎪=⎪⎪⎩（28） 其中1cos θχ-=（χ∈ , 1χ<）.显然1x ,2x ,3x 全都是实根，且易证它们互不相等.实际上可证当0a >时132x x x >>，当0a <时132x x x <<. 由0q p <<可知033θπ<<,22333πθππ<+<, 223333πθππ-<-<-. 因此1cos 123θ<<, 211cos()332θπ-<+<-, 121cos()2332θπ-<-<. 根据式（28），当0a >时即可判定各根的范围如下：133b b x a a -+-+<<,333b b x a a---+<<, 233b b x a a----<<. 显然132x x x >>；当0a <时上面三个不等式中的不等号反向，即132x x x <<.5.3 0D =的情形当230D b ac =-=（即关键比的分母为0）时，方程320ax bx cx d +++=可以配成完全立方求解，两边同除以a ，再利用23b c a=可将它改写为33()()33b b d x a a a+=-. 解得123x x x ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎪⎩（29） 其中w为三次单位根（122w =-+，2122ω==--）. 易见当3227b a d ≠时，1x 为实根. 2x ,3x 为共轭虚根. 当3227b a d =时，1233b x x x a ===-，即方程有一个三重实根3ba-.5.4 一般实系数三次方程的根的判别法则（D c -判别法）综合上面三小节所述，我们就得到了如下的判别一般实系数三次方程的根的法则，我们可以把它称为D c -判别法，参数23D b ac =-（注意它和二次方程判别式的相似性）可称为第一判别式（first discriminant ），它和关键比32χ合在一起就能简单快捷地判定实系数三次方程320ax bx cx d +++=的根的情况，并决定相应的最便捷的求根公式：(1) 当230D b ac =-<时[7]，方程有一个实根和两个共轭虚根.可用求根公式（26）求解.(2) 当230D b ac =->，1χ>时，方程亦有一个实根和两个共轭虚根. 可用求根公式（27）求解.(3) 当230D b ac =->，1χ=时，方程有一个两重实根和一个单重实根.仍可用求根公式（27）求解，也可以用三角求根公式（28）求解[8]. (4) 当230D b ac =->，1χ<时，方程有三个互异的实根.可用三角求根公式（28）求解.(5) 当230D b ac =-=，3227b a d ≠时[9]，方程亦有一个实根和两个共轭虚根.可配成完全立方或用式（29）求解.(6) 当230D b ac =-=，3227b a d =时[10]，方程有一个三重实根3b a-.例题2 判别方程32272840x x x -+-=根的情况并求解. 解：27a =, 2b =-, 8c =, 4d =-,223(2)3278644D b ac =-=--⨯⨯=-,由0D < 可知该方程有一个实根和两个共轭虚根，可用求根公式（26）求解.3232 ,2.290292896392045λ≈1.685620470846232K =≈,111)2)33270.366928020961414,b K K K K x a-+-+-==≈⨯2,31112()223273270.146426973443670 0.618313639592 831 .K K K K x i i -+--+=±⨯⨯≈)例题3 判别方程320.2760.01360.000430 x x x -+-=根的情况并求解. 解：223(0.276)30.00.035376136D b ac =-=--⨯=,3231.49366201124 5,549χ≈由0D >，1χ> 可知该方程有一个实根和两个共轭虚根，可用求根公式（27）求解.1.375628929048766κ=≈,111)0.276)0.223820634031594,33b x aκκκκ-+++==≈2,31110.276()0.0260896829842030.0352208697227033190.x i i κκκκ-+-=±+≈)例题4 判别方程320.58560.0720.0020x x x -+-=根的情况并求解. 解：223(0.5856)30.0720.12692736D b ac =-=--⨯=,323 0.84218618343,1575χ≈由0D >, 1χ<可知该方程有三个互异的实根，可用三角求根公式（28）求解.10.56947125co 8305s 003θχ-=≈,12cos 0.58562cos0.4284461259031433333,b x aθθ-++==≈220.58562cos()3330.039765810249773,x θπ++=≈320.58562cos()3330.117388063847084.x θπ+-=≈【注解】【1】当0p =时它退化为平凡的三次方程30y q +=值.【2】注意复数的平方根有二个值（它们相差一个符号），本文中的所有平方根都可以取其两个值中的任意一个值，最终得到的解是完全相同的（除了根的编号可能不同之外），这可以称为方根取值的自由性原则，它的原理其实就隐含在下面对各求根公式的推导过程中，因为我们对其中出现的平方根都没有限定它取哪一个值，即它可以取任意一个值. 在实际应用中，为了方便计算，可约定各求根公式中的平方根全都取主值（参见附录1）. 【3】将χ=代入，并利用恒等式（12）即可得到著名的卡丹（J. Cardan ）公式.【4】对于任意非零复数a ，我们总可以选取平方根=（因为2223()9b aca -=-，所以，参见附录1和注2. 【5】 当0D =时方程的根由式（29）给出（其中的系数可取复数值）. 【6】式（28）也可以从前面简约三次方程的三角求根公式（式（8））导出. 【7】即当关键比χ为虚数时.【8】当1χ=时，1κ==，1cos 10θ-==，代入式（27）和式（28）都得到13b x a -+=，233b x x a-==；当1χ=-时，1κ==-，1cos (1)θπ-=-=，代入式（27）得到13b x a --=, 233b x x a-+==，代入式（28）得到133b x x a-+==，23b x a --=，两者的差别只是根的编号不同.【9】即当关键比c 的分母为0而分子不为0时.【10】即当关键比c 的分母和分子都为0时.附录1 复数的方根及其性质满足n w z =的复数w 称为复数z 的n 次方根，和实数的方根一样用符号w =.设z 为复数z 的模，θ为其幅角主值（πθπ-<≤），则其n 的一般值由下式给出：(2)/22)sin())i k n k k i nnθπθπθπ+++==+ , （30）其中k 为任意整数，当0,1,2, ..., 1k n =-时，上式正好给出n 个不同的值，等价地说，是一个多值函数，共有n 个值，我们可以把0k =/i n θ的主值.特别地，在式（30）中取2n =,0,1k =，即得平方根的两个值为/2i θ,iθ，前者为主值./2易见复数的方根有下面的性质：=（31）鉴于复数方根的多值性，上式中等号的意义是等式两边的值的集合相同，更具体地说，我们可以对它作如下更精细的解释：(1) .(2) 的一个值，（共有n个）时，的所有值（亦共有n个）.(3) .参考文献[1]（美）迪克森（L.E.Dickson）著；黄缘芳译.代数方程式论[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2011.3.。
三次方程求根公式
设一元三次方程在复数集中的根是x1,x2,x3，那么
其中。
早在古巴伦的文献中，已有一些三次、四次的数字方程。
7世纪初期，我国唐朝的数学家土孝通所著的《缉古算经》一书记载了不少三次方程。
阿拉伯人也很早就研究过三次方程。
但是在上千年的漫长岁月里，人们寻求一般三次方程的求根公式没有进展。
直到1494年，意大利数学家帕克里还宣称一般的三次方程是不可能解的。
1500年波伦亚的数学教授菲洛终于找到了形如
的三次方程的一般解法。
但他向外保密，只是秘传给他的一个学生。
在菲洛死后近十年，这个学生以上述三次方程求解问题向当时意大利数学家塔塔里亚挑战。
塔塔里亚也找到了方程（1）的一般解法，并公开了结果。
但他也不肯公布推导过程。
这件事为数学物理教授卡丹所知，便要塔塔里亚把解题的秘诀告诉他，塔塔里亚在卡丹发誓绝对保密的情况下，将证明方法告诉卡丹。
卡丹不顾他的誓言，把这个解法发表在他的《重要的艺术》一书中，为此塔塔里亚向卡丹提出责难，引起双方一场论战。
三次方程求根公式现在仍称为卡丹公式。
塔塔里亚与卡丹的解法如下：
作变换，使方程（1）化成
令，得
解这个二次方程，得出后，就可得到y的六个值，然后再利用关系式就可得到x的值。
根据卡丹公式，我们就能解一般的三次方程：。
首先把它改写为。
令就可化成缺平方项的三次方程
这里。
则。
一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则—— 谢国芳 Email: roixie@【摘要】 本文利用复三角函数推导出了远比卡丹公式简明快捷的可直接用来求解一般三次方程（包括复系数情形）320ax bx cx d +++=的新求根公式，进而又针对实系数的情形讨论了根的情况，得到了方便的根的判别法则。
【关键词】 三次方程 复三角函数 欧拉公式 求根公式 判别法1 一般三次方程的简化对于一个一般形式的三次方程320ax bx cx d +++= (0)a ≠, 两边同除以a ，即可化为首项系数为1的三次方程320b c dx x x a a a+++=, 然后作变量代换3bx y a =-,（1） 可消去二次项，将它化为下面的形式：30y py q ++=, （2） 其中2233b ac p a -=-, 323922727abc b a dq a --=-.（3） 下面我们把形如式（2）的三次方程称为简约三次方程. 并约定其一次项系数0p ≠.[1]2 简约三次方程的三角函数解法和求根公式在方程（2）中作变量代换[2]y z =, （4） 利用三倍角公式3cos34cos 3cos z z z =-,方程（2）即化为cos3z =, （5）定义参数χ=, （6）称之为三次方程30y py q ++=的关键比(key ratio)，于是式（5）即cos3z χ=. （7）当χ为实数且1χ≤时，令1cos θχ-=，可得其一般解为32z n θπ=±+, 即 233n z θπ=±+()n ∈ 取0,1,1n =-，即可得到z 在一个周期内的六个值：22, , 33333z θθπθπ=±±+±-但cos z 只取下面这三个值：22cos cos , cos(), cos()33333z θθπθπ=+-代入式（4），即得方程30y py q ++=的三个根：12332cos()332)33y y y θθπθπ⎧=⎪⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩（8） 其中1cos θχ-=, χ=(, 1)c c 危.当关键比χ为绝对值大于1的实数或虚数时，方程（7）在实数域内无解，但如果我们把三角函数的定义域扩大到复数域，即考虑复变量的三角函数，则对于任意复数χ都可求得其解.根据复三角余弦函数的定义（欧拉公式）：cos 2iz ize e z -+=, （9）方程（7）等价于332iz ize e χ-+=, 它可以化为一个以3iz e 为元的二次方程：323()2()10iz iz e e χ-+=,解得3iz e χ=±（10）定义参数 W χ=+ （11）注意到恒等式( 1χχ-+=, （12）由式（10）可解得ize =或代入式（9），再由式（4）即得方程30y py q ++=的根为y =+, （13） 其中W χ=+,χ=. （14）三个值正好对应于方程的三个根. [3]3 简约三次方程的另一个求根公式定义参数λ （15）亦称之为三次方程30y py q ++=的关键比，对比关键比χ的定义式（6），若规定平方根的取值满足（参见注2和附录1）= （16）则i χλ=, 于是(W i i i χλλλ=+=+=+=+定义参数Z λ=+, 则W iZ =, 故（参见附录1中的式（31）及其解释）/6i e π=,代入求根公式（13）可得/2/6/62/3( i i i i y e e e e ππππ-===-因为2/3i e π乘以的三个值，所以上式即y =, （17） 其中Z λ=+,l =（18）的三个值亦正好对应于方程的三个根.4 一般三次方程的两个求根公式为了把求根公式（13）和（17）推广到一般三次方程320ax bx cx d +++=，只需把相应的简约三次方程30y py q ++=的关键比χ和l 直接用系数,,,a b c d 表出即可.将由式（3）给出的,p q 值代入χ和l 的定义式（参见式（6）、（15））可得[4]323239227abc b a dχ--32λ.定义23D b ac =-, 则有32χ=,32λ=. （19）我们可以把它们称为三次方程320ax bx cx d +++=的关键比. 分别根据求根公式（13）和求根公式（17），并注意到23D p a =-和3b x y a=-（参见式（1）、（3）），我们就得到了下面的结果.定理1（一般三次方程的求根公式Ⅰ）对于三次方程320ax bx cx d +++=, 定义参数23D b ac =-,32χ=,W χ=+（20）则当0D ≠时它的根为[5]x =（21）设i W W e β=，W 为复数W 的模，arg W β=为其幅角主值（πβπ-<≤），的三个值为/3i β,(2)/3i βπ+,(2)/3i βπ-.代入式（21），即得方程的三个根：123x x x ⎧⎪⎪=⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎩定义实参数ρ=并利用欧拉公式cos sin i e i q q q =+，可将它们改写为12311)cos ()sin )3331212)cos()()sin())333331212)cos()()sin())33333b i x a b i x a b i x a ββρρρρβπβπρρρρβπβπρρρρ⎧-+++-⎪=⎪⎪⎪-++++-+⎪⎪=⎨⎪⎪-++-+--⎪⎪=⎪⎪⎩（22）其中ρ=arg W β=, W χ=+定理2（一般三次方程的求根公式Ⅱ）对于三次方程320ax bx cx d +++=, 定义参数23D b ac =-,32λ=Z λ=+, （23）则当0D ≠时它的根为x =（24）设i Z Z e α=，Z 为复数Z 的模，arg Z α=为其幅角主值（παπ-<≤），的三个值为/3i α,(2)/3i απ+,(2)/3i απ-.代入式（24），同样利用欧拉公式，并定义实参数σ=，可得方程的三个根：12311)cos ()sin )3331212)cos()()sin())333331212)cos()()sin())33333b i x a b i x a b i x a αασσσσαπαπσσσσαπαπσσσσ⎧-+-++⎪=⎪⎪⎪-+-++++⎪=⎨⎪⎪-+--++-⎪=⎪⎪⎩（25）其中σ=arg Z α=, Z λ=+.注意求根公式Ⅰ和求根公式Ⅱ是完全等价的，它们的区别仅在于关键比χ和l 的定义式中D 前面的符号不同一个为正一个为负（这导致χ和l 相差一个因子i ），从而也使得参数W 和Z 的定义式中出现了一个符号的差别（参见式（20）、（23））.在实际应用中，我们可以使用这两个求根公式中的任意一个求解（可视方便而定），除了根的编号可能不同之外，得到的结果当然是完全相同的.例题1 解复系数三次方程 320x ix x i ++-=.解法1 （用求根公式Ⅰ求解）：1a =, b i =, 1c =, d i =-,223()3114D b ac i =-=-⨯⨯=-,323198χ===-, 198W χ=+=-+=arg W βπ==, 0.604401892838194ρ==≈, 代入式（22），即得方程的三个根：111)cos ()sin)33311)cos0.6062907292071990.4()sin )33319643377607081 ,b i x ai i i ββρρρρππρρρρ-+++-=-++++-=≈21212)cos()()sin())333331.839286755214,161i i x i ππππρρρρ-++++-+=≈-31212)cos()()sin()0.60629)3333307292071990.41964337760708 ,1 i i x i ππππρρρρ-++-+--=≈-+解法2（用求根公式Ⅱ求解）：323198i λ===,198Z i λ=+=+=, arg 2Z πα==,1.654528239983047σ==≈,代入式（25），即得方程的三个根：111)cos ()sin )33311)cos0.6062907292071990.419643()sin )663377607081,b i x ai i i αασσσσππσσσσ-+-++=-+-+≈++=21212)cos()()sin())0.6062907292071990.4196433776076363081,3i i x i ππππσσσσ-+-+++=≈-++31212)cos()()sin()) 636 1.83928673355214161.i ii x ππππσσσσ-+---++-=≈和前面解法1用求根公式Ⅰ求解所得结果的差别只是后两个根的编号不同.对于实系数的三次方程，当然亦完全可以直接用求根公式Ⅰ或求根公式Ⅱ求解，但为了尽可能地简化计算，特别是避免复数运算，下面我们将推导出一组更简单的专门适用于实系数三次方程的求根公式.5 一般实系数三次方程的求解和根的判别法则（D c -判别法）对于实系数三次方程320ax bx cx d +++=，我们可以根据参数23D b ac =-的值，选择使用求根公式Ⅰ和求根公式Ⅱ中较方便的一个求解，进而判定根的情况.5.1 0D <的情形当230D b ac =-<时，显然用求根公式Ⅱ求解比较方便，因为这时关键比λ为实数（参见式（23）），Z λ=+亦为实数，设其实立方根为K ，三个值为K , 2/3i e K π,2/3i e K π-，代入式（24）即得方程的三个根为12,31)31212cos sin3333b K K x a b K K K K x i a a ππ⎧-+-⎪=⎪⎪⎨⎪-+-+⎪=±⎪⎩))（26）其中K =32λ=（λ∈ , K ∈ ）.显然1x 为实根，2x , 3x 为共轭虚根.5.2 0D >的情形当230D b ac =->时，显然用求根公式Ⅰ求解比较方便，因为这时关键比χ为实数（参见式（20）），参数W χ=+1χ≥和1χ<这二种情形.（一）若1χ≥，则W χ=+κ三个值为κ, 2/3i e πκ, 2/3i e πκ-，代入式（21）即得方程的三个根为12,31)31212cos sin3333b x ab x i a a κκππκκκκ⎧-++⎪=⎪⎪⎨⎪-++-⎪=±⎪⎩))（27）其中κ=χ∈ , 1χ≥, κ∈ ）.易见1x 为实根. 当1χ>时2x ,3x 为共轭虚根. 当1χ=，即1χ=±时，1κ=±，2x ,3x 为两个相等的实根.（二）若1χ<，设cos χθ=（0q p <<），即1cos θχ-=，于是有cos cos sin i W i e θχθθθ=+=+=+=,三个值为/3i e θ, (2)/3i e θπ+, (2)/3i e θπ-，代入式（21）即得方程的三个根为[6]1232cos 3322cos()33322cos()333b x a b x a b x a θθπθπ⎧-+⎪=⎪⎪⎪-++⎪=⎨⎪⎪-+-⎪=⎪⎪⎩（28） 其中1cos θχ-=（χ∈ , 1χ<）.显然1x ,2x ,3x 全都是实根，且易证它们互不相等.实际上可证当0a >时132x x x >>，当0a <时132x x x <<. 由0q p <<可知033θπ<<,22333πθππ<+<, 223333πθππ-<-<-. 因此1cos 123θ<<, 211cos()332θπ-<+<-, 121cos()2332θπ-<-<. 根据式（28），当0a >时即可判定各根的范围如下：133b b x a a -+-+<<,333b b x a a---+<<, 233b b x a a----<<. 显然132x x x >>；当0a <时上面三个不等式中的不等号反向，即132x x x <<.5.3 0D =的情形当230D b ac =-=（即关键比的分母为0）时，方程320ax bx cx d +++=可以配成完全立方求解，两边同除以a ，再利用23b c a=可将它改写为33()()33b b d x a a a+=-. 解得123x x x ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎪⎩（29） 其中w为三次单位根（122w =-+，2122ω==--）. 易见当3227b a d ≠时，1x 为实根. 2x ,3x 为共轭虚根. 当3227b a d =时，1233b x x x a ===-，即方程有一个三重实根3ba-.5.4 一般实系数三次方程的根的判别法则（D c -判别法）综合上面三小节所述，我们就得到了如下的判别一般实系数三次方程的根的法则，我们可以把它称为D c -判别法，参数23D b ac =-（注意它和二次方程判别式的相似性）可称为第一判别式（first discriminant ），它和关键比32χ合在一起就能简单快捷地判定实系数三次方程320ax bx cx d +++=的根的情况，并决定相应的最便捷的求根公式：(1) 当230D b ac =-<时[7]，方程有一个实根和两个共轭虚根.可用求根公式（26）求解.(2) 当230D b ac =->，1χ>时，方程亦有一个实根和两个共轭虚根. 可用求根公式（27）求解.(3) 当230D b ac =->，1χ=时，方程有一个两重实根和一个单重实根.仍可用求根公式（27）求解，也可以用三角求根公式（28）求解[8]. (4) 当230D b ac =->，1χ<时，方程有三个互异的实根.可用三角求根公式（28）求解.(5) 当230D b ac =-=，3227b a d ≠时[9]，方程亦有一个实根和两个共轭虚根.可配成完全立方或用式（29）求解.(6) 当230D b ac =-=，3227b a d =时[10]，方程有一个三重实根3b a-.例题2 判别方程32272840x x x -+-=根的情况并求解. 解：27a =, 2b =-, 8c =, 4d =-,223(2)3278644D b ac =-=--⨯⨯=-,由0D < 可知该方程有一个实根和两个共轭虚根，可用求根公式（26）求解.3232 ,2.290292896392045λ≈1.685620470846232K =≈,111)2)33270.366928020961414,b K K K K x a-+-+-==≈⨯2,31112()223273270.146426973443670 0.618313639592 831 .K K K K x i i -+--+=±⨯⨯≈)例题3 判别方程320.2760.01360.000430 x x x -+-=根的情况并求解. 解：223(0.276)30.00.035376136D b ac =-=--⨯=,3231.49366201124 5,549χ≈由0D >，1χ> 可知该方程有一个实根和两个共轭虚根，可用求根公式（27）求解.1.375628929048766κ=≈,111)0.276)0.223820634031594,33b x aκκκκ-+++==≈2,31110.276()0.0260896829842030.0352208697227033190.x i i κκκκ-+-=±+≈)例题4 判别方程320.58560.0720.0020x x x -+-=根的情况并求解. 解：223(0.5856)30.0720.12692736D b ac =-=--⨯=,323 0.84218618343,1575χ≈由0D >, 1χ<可知该方程有三个互异的实根，可用三角求根公式（28）求解.10.56947125co 8305s 003θχ-=≈,12cos 0.58562cos0.4284461259031433333,b x aθθ-++==≈220.58562cos()3330.039765810249773,x θπ++=≈320.58562cos()3330.117388063847084.x θπ+-=≈【注解】【1】当0p =时它退化为平凡的三次方程30y q +=值.【2】注意复数的平方根有二个值（它们相差一个符号），本文中的所有平方根都可以取其两个值中的任意一个值，最终得到的解是完全相同的（除了根的编号可能不同之外），这可以称为方根取值的自由性原则，它的原理其实就隐含在下面对各求根公式的推导过程中，因为我们对其中出现的平方根都没有限定它取哪一个值，即它可以取任意一个值. 在实际应用中，为了方便计算，可约定各求根公式中的平方根全都取主值（参见附录1）. 【3】将χ=代入，并利用恒等式（12）即可得到著名的卡丹（J. Cardan ）公式.【4】对于任意非零复数a ，我们总可以选取平方根=（因为2223()9b aca -=-，所以，参见附录1和注2. 【5】 当0D =时方程的根由式（29）给出（其中的系数可取复数值）. 【6】式（28）也可以从前面简约三次方程的三角求根公式（式（8））导出. 【7】即当关键比χ为虚数时.【8】当1χ=时，1κ==，1cos 10θ-==，代入式（27）和式（28）都得到13b x a -+=，233b x x a-==；当1χ=-时，1κ==-，1cos (1)θπ-=-=，代入式（27）得到13b x a --=, 233b x x a-+==，代入式（28）得到133b x x a-+==，23b x a --=，两者的差别只是根的编号不同.【9】即当关键比c 的分母为0而分子不为0时.【10】即当关键比c 的分母和分子都为0时.附录1 复数的方根及其性质满足n w z =的复数w 称为复数z 的n 次方根，和实数的方根一样用符号w =.设z 为复数z 的模，θ为其幅角主值（πθπ-<≤），则其n 的一般值由下式给出：(2)/22)sin())i k n k k i nnθπθπθπ+++==+ , （30）其中k 为任意整数，当0,1,2, ..., 1k n =-时，上式正好给出n 个不同的值，等价地说，是一个多值函数，共有n 个值，我们可以把0k =/i n θ的主值.特别地，在式（30）中取2n =,0,1k =，即得平方根的两个值为/2i θ,iθ，前者为主值./2易见复数的方根有下面的性质：=（31）鉴于复数方根的多值性，上式中等号的意义是等式两边的值的集合相同，更具体地说，我们可以对它作如下更精细的解释：(1) .(2) 的一个值，（共有n个）时，的所有值（亦共有n个）.(3) .参考文献[1]（美）迪克森（L.E.Dickson）著；黄缘芳译.代数方程式论[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2011.3.。
