一元三次方程求根公式推导过程

一元三次方程的根一元三次方程的根是数学中比较重要的一个概念，对于初学者来说可能有些难以掌握。

一元三次方程形如ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c、d为常数且a≠0，x 为未知数。

求解一元三次方程的根需要使用到复数和求根公式等知识，接下来我们将深入探讨一元三次方程的根。

1. 求解一元三次方程的基本步骤（1）将一元三次方程化为标准形式，即将所有项都移项并化为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的形式。

（2）通过套用公式，求出一元三次方程的根。

（3）根据根的符号，可得出方程的解析式。

2. 求解一元三次方程的通用公式求解一元三次方程需要使用到通用公式，即克拉默公式。

克拉默公式的形式如下：X = (-b + √(b^2 - 4ac)) / 2a 或 X = (-b -√(b^2 - 4ac)) / 2a其中，a、b、c分别为一元三次方程的系数。

3. 一元三次方程的三个根一元三次方程有三个根，其中可能存在实根和虚根。

（1）实根如果一元三次方程的解都是实数，那么这些解就是实根。

这些实根可能是正数、负数或0。

（2）虚根一元三次方程的解如果涉及到负数的平方根，那么就是虚根。

在求实数解之后，我们需要检查是否存在虚根。

（3）重根一元三次方程还可能存在重根，即有两个或三个根是相同的。

在使用求根公式时，如果分母为0，那么这个方程就有重根。

4. 一元三次方程的多项式系数不同的一元三次方程，其系数可能是正数、负数或0。

根据系数的符号，可以大致判断出它的根的性质。

（1）正系数如果一元三次方程的系数都是正数，那么所有解都是正数，且所有根的和等于负数的系数b/a。

（2）负系数如果一元三次方程的系数都是负数，那么所有解都是负数，且所有根的和等于正数的系数b/a。

（3）零系数一般而言，如果一元三次方程的系数中存在0，则其根的性质需要单独讨论，也可能有实根和虚根。

5. 一元三次方程的例子（1）求解方程：x^3 - 3x^2 + x + 2 = 0首先，将方程化为标准形式，即x^3 - 3x^2 + x + 2 = 0。

一、一元二次方程的回顾和启示学过初中数学都知道任何一个实系数一元二次方程 ax^2+bx+c=0,~a \neq 0通过配方可以得到 \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}，根据判别式 \Delta=b^2-4ac的符号，可以判断方程实根的个数，并且可以得到求根公式x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\\\Delta>0时方程有 2个不同的实根，\Delta=0时有 1个二重实根，\Delta<0时有是 1对共轭虚根 \Delta<0；计算重数的情况下都是 2个根。

记两根为x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} ,~ x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\由根的表达式可以直接验证韦达定理：两根之和 x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}以及两根之积 x_1x_2=\dfrac{c}{a}，判别式 \Delta=a^2(x_1-x_2)^2.求根公式看上去复杂，但如果把上述两式代入求根公式，就可以得到x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\left(-\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}}=\frac{x_1+x_2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)^2}=\frac{x_1+x_2}{2}\pm\frac{x_1-x_2}{2}\\注：如果 x_1,~x_2是共轭虚根，x_1-x_2就是纯虚数，对负数 \left(\dfrac{x_1-x_2}{2}\right)^2开方不能得到 \dfrac{|x_1-x_2|}{2}.几何意义：记 s=\dfrac{x_1+x_2}{2}=-\dfrac{b}{2a}是两根的平均值，乘积为 p=x_1x_2=\dfrac{c}{a}. 如果 x_1,~x_2都是实根，则 d=\dfrac{|x_1-x_2|}{2}=\sqrt{s^2-p}是根到平均值的距离。

一元三次求根公式方法一、一元三次方程概述1.定义及符号表示一元三次方程是指只含有一个未知数、未知数的最高次数为三次的方程。

通常用字母x表示未知数，方程一般形式为：ax+bx+cx+d=0。

2.基本性质一元三次方程有以下几个基本性质：（1）一元三次方程有三个解（实根或复根）；（2）一元三次方程的解可能有两个实根，一个虚根；（3）一元三次方程的解可能有一个实根，两个虚根；（4）一元三次方程的解可能三个都是虚根。

二、一元三次求根公式推导1.公式推导过程一元三次方程的求根公式由意大利数学家卡尔丹（Cardano）于16世纪首次推导出来。

求根公式为：x1,2,3 = [-b ± √(b-3ac)] / (3a)2.公式含义及适用范围该公式适用于一元三次方程ax+bx+cx+d=0（a≠0），通过该公式可以求得一元三次方程的三个解。

三、一元三次方程的解法1.直接开平方法直接开平方法适用于一元三次方程ax+bx+cx+d=0（a≠0，且a、b、c、d为实数），通过直接开平可以求得一元三次方程的解。

2.公式法利用一元三次方程的求根公式，可以求得一元三次方程的三个解。

公式法适用于一元三次方程ax+bx+cx+d=0（a≠0）。

3.图像法通过绘制一元三次函数的图像，观察与x轴的交点个数，可以判断一元三次方程的解的个数。

图像法适用于直观地了解一元三次方程的解的情况。

4.数值法利用数值方法（如牛顿法、二分法等）求解一元三次方程，适用于需要求解实数解的情况。

四、一元三次方程实际应用案例1.数学建模中的应用在数学建模中，一元三次方程常用于构建复杂数学模型，如人口增长模型、经济模型等。

2.物理、工程领域的应用一元三次方程在物理、工程领域中有广泛应用，如振动系统的动力方程、电磁场的麦克斯韦方程等。

五、一元三次方程求根公式的优缺点1.优点（1）公式具有普遍性，适用于各种一元三次方程；（2）求解过程较为简便，计算量较小；（3）可以求得实根、复根，以及虚根。

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的,用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如320ax bx cx d +++=的标准型一元三次方程形式化为30x px q ++=的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到,即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。

归纳出来的形如 30x px q ++=的一元三次方程的求根公式的形式应该为x 型,即为两个开立方之和。

一元三次方程的求根公式主要有两种，即卡尔丹公式和盛金公式。

其中卡尔丹公式是历史上首个完整解决一元三次方程的求根问题的重要公式，它所具有的历史意义是重大的，是不可磨灭的。

下面就首先简略介绍一下卡尔丹公式的内容及其推导过程。

一元三次方程320ax bx cx d +++=的求根公式是1545年由意大利学者卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式（有的数学资料叫“卡尔丹公式”）。

方程30x px q ++=，（p ，q ∈R ）判别式23(/2)(/3)q p ∆=+。

1x =；22x ；23x =。

这就是著名的卡尔丹公式。

卡尔丹公式的推导如下：第一步：320ax bx cx d +++= 为了方便，约去a 得到320x kx mx n +++=令/3x y k =- ，代入方程32(/3)(/3)(/3)0y k k y k m y k n -+-+-+=，3(/3)y k -中的2y 项系数是-k ，2(/3)k y k -中的2y 项系数是k ，所以相加后2y 抵消 ，得到30y py q ++=其中 p m =，32(/3)/3q k km n =-+。

第二步：方程30x px q ++=的三个根为：1x =；2x ω=3x ω= ；其中(1/2ω=-+。

1、方程31x =的解为11x =，2(1/2x ω=-+=，3(1/2x ω=--= ；2、方程3x A =的解为1x =2x =，23x =，3、一般三次方程320ax bx cx d +++=(0)a ≠,两边同时除以a ,可变成320x sx tx u +++=的形式。

一元三次方程怎么解求根公式一元三次方程，是数学中最基本的方程，它的应用非常广泛，但很多时候遇到它，都不知如何求解它的根，这里就介绍一元三次方程怎么解求根的基本公式，希望能够对有此需求的朋友有所帮助。

一元三次方程的求根公式一元三次方程的求根公式是卡塔兰数（Caterane Numbers）中的公式，它的基本形式是：x^3 + ax^2 + bx + c = 0其中a、b、c可以是实数。

求根公式为：x = [a/3 + (a/3)^2 + (a/3)^3 + (b/2)^2]^(1/2) + (b/2) (a/3) x = [a/3 (a/3)^2 (a/3)^3 + (b/2)^2]^(1/2) (b/2) (a/3)x = [(b/2) + (a/3) + (a/3)^2 + (a/3)^3 + (b/2)^2]^(1/2) (b/2) + (a/3)x = [(b/2) (a/3) (a/3)^2 (a/3)^3 + (b/2)^2]^(1/2) + (b/2) + (a/3)求根公式的应用当a、b、c都已知时，可以应用求根公式求解三次方程，如：求解方程：x^3 + 2x^2 11x + 6 = 0则由公式：x = [2/3 + (2/3)^2 + (2/3)^3 + (11/2)^2]^(1/2) + (11/2) (2/3)x = [2/3 (2/3)^2 (2/3)^3 + (11/2)^2]^(1/2) (11/2) (2/3) x = [(11/2) + (2/3) + (2/3)^2 + (2/3)^3 + (11/2)^2]^(1/2) (11/2) + (2/3)x = [(11/2) (2/3) (2/3)^2 (2/3)^3 + (11/2)^2]^(1/2) + (11/2) + (2/3)计算得x = 1, 2, 3其他求根方法除了卡塔兰数求根公式外，还有其他一些求根方法，如：（1）因式分解法：当三次方程中出现多项式的时候，可以尝试使用因式分解的方法求解，这种方法比较容易，但是无法处理复杂的一元三次方程。

求实系数一元三次方程根的实用公式(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--求实系数一元三次方程根的实用公式在数学书籍或数学手册中，对一元三次方程求根公式的叙述都是沿用“卡丹公式”，即：对于一元三次方程：设，则它的三个根的表达式如下：其中，我们先用该公式解一个一元三次方程：。

解：p= 9，q=6，T= 3，D= 18，原方程的三个根为这样求出的三个根的表达式有两个不妥之处：其一、当时，方程有三个实根（下文给出证明），但这里的、、表达式不明确。

其二、当时，以及（如此例中的）违背了现行中等数学的表示规范，也不能具体地求出其值。

因此，用“卡丹公式”解出的一元三次方程的根，往往是不实用、不直观、不严密的。

下面我们推导一个实用的改进型求根公式。

实系数一元三次方程可写为（1）令，代入（1）得（2）其中，不失一般性，我们只要讨论实系数一元三次方程的求根公式即可。

不妨设p、q均不为零，令y=u+v（3）代入（2）得，（4）选择u、v，使得，即（5）代入（4）得，（6）将（5）式两边立方得，（7）联立（6）、（7）两式，得关于的方程组：，且问题归结于上述方程组的求解。

即求关于t的一元二次方程的两根、，设，，，又记的一个立方根为，则另两个立方根为，，其中，为1的两个立方虚根。

以下分三种情形讨论：1）若，即D>0，则、均为实数，可求得，，取，，在，组成的九个数中，有且只有下面三组满足，即、；、；、，也就是满足，方程（2）的根为，，，这是方程（2）有一个实根，两个共轭虚根，，其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式，这里的根式及都是在实数意义下的。

2）若，即时，可求得，取同理，可求得方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。

3）若，即D<0时，，p<0，，则、均为虚数，求出、并用三角式表示，就有，，其中T，都是实数，同理，其中，且取，，则显然，当且仅当取，；，；，这三组时才满足，于是方程（2）得三个实根为，，，具体表示出来就为：其中当时，方程（2）有三个实根。

韦达定理一元三次方程根的关系韦达定理是解一元三次方程根的公式之一，它可以帮助我们求解形如ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的一元三次方程的根。

韦达定理的应用可以使得我们更深入地理解一元三次方程的根之间的关系，从而有助于我们在数学领域更灵活地进行推理和运用。

一、韦达定理的数学表达式我们先来看一下韦达定理的数学表达式。

对于一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，我们可以根据韦达定理的公式进行求解：1. 设该方程的三个实数根分别为x1、x2、x3，则有x1 + x2 + x3 = -b/a。

2. 且有x1*x2 + x2*x3 + x3*x1 = c/a。

3. 且有x1*x2*x3 = -d/a。

二、韦达定理的深入理解从韦达定理的公式中，我们可以深入地理解一元三次方程根之间的关系。

x1 + x2 + x3 = -b/a告诉我们方程根之和与系数之间的关系。

x1*x2 + x2*x3 + x3*x1 = c/a告诉我们方程根的两两乘积与系数之间的关系。

x1*x2*x3 = -d/a告诉我们方程根的乘积与系数之间的关系。

韦达定理为我们提供了一种直观而深刻的方式来理解一元三次方程根之间的联系，为我们在数学推理中提供了便利。

三、个人观点和理解对于韦达定理，我个人认为它不仅仅是一种求解一元三次方程根的工具，更是一种深入理解数学规律的方法。

通过运用韦达定理，我们可以更全面地把握一元三次方程根的性质，加深对数学知识的理解。

韦达定理的应用也为我们解决实际问题提供了便利，使得我们可以更灵活地运用数学知识来解决现实中的复杂情况。

总结回顾通过本文的阐述，我们对韦达定理有了更加深入和全面的理解。

我们学习了韦达定理的数学表达式，以及其对一元三次方程根之间关系的深入解读。

我也共享了我对韦达定理的个人观点和理解。

通过对韦达定理的全面探讨，相信我们对数学中的一元三次方程有了更加深刻和灵活的理解。

希望本文可以帮助你更好地理解韦达定理，并在数学领域的学习和应用中有所帮助。

一元三次方程求根公式卡尔丹定理卡尔丹定理是一元三次方程求根的重要公式。

在数学中，一元三次方程是指形如ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的方程，其中a、b、c、d为已知系数，x为未知数。

解一元三次方程的问题在数学中具有重要的意义，它在实际生活中的应用也非常广泛。

卡尔丹定理是由法国数学家卡尔丹于16世纪提出的。

该定理通过对方程的系数进行变量替代，将一元三次方程转化为一个二次方程和一个一次方程的求解问题。

通过求解这两个方程，可以得到原方程的根。

我们将一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的系数进行变量替代，令x = y - b/3a。

将此代入原方程，可得到一个新的方程ay^3 + Py + Q = 0，其中P和Q是与原方程的系数相关的新的常数。

接下来，我们对新方程应用求解二次方程的公式，将其转化为一个二次方程求解问题。

通过求解这个二次方程，我们可以得到两个根y1和y2。

我们将得到的根y1和y2代入原方程中，得到两个新的一次方程，通过求解这两个一次方程，我们可以得到另外两个根x1和x2。

需要注意的是，卡尔丹定理对于一元三次方程可能存在的重根和虚根也是适用的。

重根是指方程有两个或三个相等的根，虚根是指方程的根不是实数。

在使用卡尔丹定理求解一元三次方程时，我们需要对不同情况进行分类讨论，并得出相应的结论。

除了卡尔丹定理，还有其他方法可以求解一元三次方程，比如牛顿迭代法和龙贝格-维尔斯特拉斯算法等。

这些方法在不同的情况下可能更加高效或精确，但卡尔丹定理作为一种经典的方法，仍然被广泛使用。

卡尔丹定理是一元三次方程求根的重要公式。

通过对方程的系数进行变量替代，将一元三次方程转化为一个二次方程和一个一次方程的求解问题，卡尔丹定理为我们解决一元三次方程提供了一种简洁而有效的方法。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解一元三次方程，以解决各种问题。

一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”一元三次方程的一般形式是x3+sx2+tx+u=0如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。

所以我们只要考虑形如x3=px+q的三次方程。

假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。

代入方程，我们就有a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q整理得到a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，3ab+p=0。

这样上式就成为a3-b3=q两边各乘以27a3，就得到27a6-27a3b3=27qa3由p=-3ab可知27a6 + p = 27qa3这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。

进而可解出b和根x.除了求根公式和因式分解外还可以用图象法解，中值定理。

很多高次方程是无法求得精确解的，对于这类方程，可以使用二分法，切线法，求得任意精度的近似解。

参见同济四版的高等数学。

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。

我归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。

归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。

方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)可化为(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)后记：一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。

一元三次方程根与系数关系推导嘿，朋友们！咱们今天来聊聊一元三次方程根与系数的关系推导，这可真是个有趣又有点小挑战的事儿！你想啊，方程就像一个个神秘的密码箱，咱们得找到正确的钥匙才能打开它，找到里面隐藏的宝贝。

一元三次方程呢，就是那种稍微复杂一点的密码箱。

咱们先来看一个一般形式的一元三次方程：$ax^3 + bx^2 + cx + d =0$ ，假设它的三个根分别是$x_1$、$x_2$、$x_3$ 。

咱们可以把这个方程变个形，写成$(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0$ ，展开来就是：$x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x -x_1x_2x_3 = 0$对比一下原来的方程$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ ，是不是能发现点啥？这不就有了：$- (x_1 + x_2 + x_3) = \frac{b}{a}$ ，那$x_1 + x_2 +x_3 = -\frac{b}{a}$ 。

还有啊，$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}$ ，$x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$ 。

这就像是在拼图，一块一块地把线索拼起来，最终找到完整的答案。

比如说，咱们假设一个一元三次方程$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ ，那它的三个根假设是 1，2，3 。

按照咱们刚才推导的关系，$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{-6}{1} = 6$ ，这不正好 1 + 2 + 3 = 6 嘛！$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{11}{1} = 11$ ，1×2 + 1×3 + 2×3 = 11 。

$x_1x_2x_3 = -\frac{-6}{1} = 6$ ，1×2×3 = 6 。

一元三次方程复数根求根公式一元三次方程是指形如ax^3+bx^2+cx+d=0的方程，其中a、b、c、d为实数且a≠0。

如果该方程没有实数根，则它一定有一对共轭复数根。

下面我们来介绍一元三次方程的复数根求根公式。

设一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的三个根分别为α、β、γ，由于它们是复数，因此可以表示为：α = p + qiβ = r + siγ = u + vi其中，p、q、r、s、u、v均为实数。

根据复数的定义，α、β、γ满足方程：(ax^2+bx+c)(x-α)(x-β)(x-γ) = 0将x=α、x=β、x=γ代入上式，可得：(ax^2+bx+c)(p-α)(p-β)(p-γ) = 0(ax^2+bx+c)(r-α)(r-β)(r-γ) = 0(ax^2+bx+c)(u-α)(u-β)(u-γ) = 0将上述三个式子相加，得到：(ax^2+bx+c)[(p-α)(p-β)(p-γ)+(r-α)(r-β)(r-γ)+(u-α)(u-β)(u-γ)] = 0因为ax^2+bx+c≠0，所以有：(p-α)(p-β)(p-γ)+(r-α)(r-β)(r-γ)+(u-α)(u-β)(u-γ) = 0对上式进行展开，得到：pqr + pqs + prs + qru + qsu + rsu - (p^2s + p^2u + q^2r + q^2u + r^2p + r^2s + s^2p + s^2u + u^2q + u^2r + v^2p + v^2q + v^2r + v^2s + v^2u) = 0移项后，得到：(pq + pr + qr + qu + rs + su) - (p^2 + q^2 + r^2 + s^2 + u^2 + v^2) + i(ps - qr) = 0因为α、β、γ是一对共轭复数根，所以它们的实部相等，虚部互为相反数，即：p + r + u = -b/aq + s + v = 0ps = qr代入上式，得到：3pq - b/a(p+q) + c/a = 0将ps = qr代入ax^3+bx^2+cx+d=0，得到：a(x-α)(x^2+px+q) = 0因为α是原方程的一个根，所以x=α代入上式应该成立，即： a(α-α)(α^2+pα+q) = 0即：α^2 + pα + q = 0同理，β、γ的方程分别为：β^2 + pβ + q = 0γ^2 + pγ + q = 0将α、β、γ的式子代入ps = qr，得到：(p+q)(r+s)(u+v) - 3(pq+rs+uv) = 0即：(p+q+r+s+u+v)^2 - 3(p^2+q^2+r^2+s^2+u^2+v^2) = 0 所以，解得：p+q+r+s+u+v = 0p^2+q^2+r^2+s^2+u^2+v^2 = (b^2-3ac)/a^2综上所述，一元三次方程的复数根求根公式为：p、q、r、s、u、v分别为：p = -(b/a)/3 + (2/3)√[(b^2-3ac)/a^2]q = -(b/a)/3 - (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]r = -(b/a)/3 - (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]s = -(b/a)/3 + (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]cos(θ)u = -(b/a)/3 + (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]cos(θ+2π/3) v = -(b/a)/3 + (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]cos(θ-2π/3) 其中，θ为任意角度。

一元三次方程求根公式推导推导一元三次方程的求根公式可以基于维尔斯特拉斯方程，该方程是一个带参数的三次方程，具有一根已知解。

我们将在推导的过程中应用维尔斯特拉斯方程。

下面是详细的推导步骤：1.令y=x-α，其中α是一个待定常数。

将y代入原一元三次方程，并进行变形，得到新的方程a(y+α)^3+b(y+α)^2+c(y+α)+d=0。

展开并对y进行整理，得到a(y^3+3αy^2+3α^2y+α^3)+b(y^2+2αy+α^2)+c(y+α)+d=0。

2. 对表达式进行分组，得到 (ay^3 + by^2 + cy + d) + 3α(ay^2 + by + c) + 3α^2(ay + b) + α^3a + α^2b + αc + d = 0。

3. 根据原一元三次方程的定义，ay^3 + by^2 + cy + d = 0，因此第一项为 0，可以消去。

4. 对剩下的表达式控制进行整理，得到3α(ay^2 + by + c) +3α^2(ay + b) + α^3a + α^2b + αc + d = 0。

5. 接下来，我们需要选择α 的值，使得3α(ay^2 + by + c) +3α^2(ay + b) + α^3a + α^2b + αc + d = 0 中的二次项系数为 0。

令3α(ay^2 + by + c) + 3α^2(ay + b) = 0，消去α，并整理表达式，得到ay^2 + (2aα + b)y + α(ay + b) + c = 0。

6.根据二次项系数为0的条件，2aα+b=0，解得α=-b/(2a)。

7. 将α 的值代入到原一元三次方程中，得到a(y+α)^3 +b(y+α)^2 + c(y+α) + d = 0，展开并整理表达式，得到 a y^3 + (3αa + c)y^2 + (3α^2a + 2αc + d)y + (α^3a + α^2c + αd) = 0。

三种解决一元三次方程的求根公式三种解决一元三次方程的求根公式导语：一元三次方程的标准形式(即所有一元三次方程经整理都能得到的形式)是ax3+bx2+cx+d=0(a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0)。

一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。

两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。

由于用卡尔丹公式解题存在复杂性，相比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。

一元三次方程求根公式下面介绍三种三次方求根计算方法：第一：计算方法X(n+1)=Xn+[A/X^2-Xn)1/3n，n+1是下角标，A被开方数。

例如，A=5，5介于1的.3次方至2的3次方之间。

X0可以取1.1;1.2;1.3;1.4;1.5;1.6;1.7;1.8;1.9;2.0我们可以随意代入一个数，例如2，那么：第一步，2+[5/(2×2)-2]×1/3=1.7=X1;第二步，1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71=X2;第三步，1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709=X3;每次多取一位数。

公式会自动反馈到正确的数值。

第二：置换群解法一元三次方程系数和根的关系如下：求出X,Y，后有这是个线性方程，其中为原方程的三个根!第三：公式法(卡尔丹公式)若用A、B换元后，公式可简记为：x1=A^(1/3)+B^(1/3);x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2;x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。

判别法当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，有一个实根和一对个共轭虚根;当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等;当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，有三个不相等的实根。

推导第一步：ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)为了方便，约去a得到x^3+kx^2+mx+n=0令x=y-k/3 ，代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ，(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ，k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ，所以相加后y^2抵消，得到y^3+py+q=0，其中p=-k^2/3+m ，q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。

1元3次方程推导过程要推导1元3次方程，我们首先需要了解什么是一元三次方程以及如何求解它。

一元三次方程是指含有一个未知数的三次方程，它的一般形式为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c、d是已知系数，x是未知数。

要求解一元三次方程，一般可以通过以下步骤进行推导：1. 将方程形式化。

将给定的三次方程的各项按照次数从高到低排列，并将其整理为标准形式，即ax^3 + bx^2 + cx + d = 0。

这一步骤主要是为了方便后续的计算和推导。

2.运用代数运算法则。

首先使用代数运算法则化简方程，将各项合并求和或求差。

然后，可以通过因式分解、配方法或因式定理等方法，将方程进一步化简为更简单的形式。

3.使用换元法。

有时候，我们可以通过引入新的未知数，将三次方程转化为二次方程或其他更简单的方程形式，从而更容易求解。

这就是换元法，通过适当的代换将原方程变为新方程。

4.求解方程。

通过使用因式分解、配方法、求根公式等方法，将方程求解为x的值。

对于三次方程，一般可以通过尝试解和合并同类项来求解。

下面，我们以一个具体的例子来进行推导：假设我们要推导解ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c、d是已知系数，x是未知数。

首先，我们将方程形式化：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0然后，我们通过代数运算法则进行化简：x^2(ax + b) + (cx + d) = 0接着，我们可以尝试使用换元法将方程进一步化简。

假设我们引入新的未知数y，令y=x+α，其中α是一个待定的常数。

则原方程可以写成：a(y-α)^3+b(y-α)^2+c(y-α)+d=0我们可以展开方程并合并同类项a(y^3-3αy^2+3α^2y-α^3)+b(y^2-2αy+α^2)+c(y-α)+d=0化简后得到：ay^3 + (3α^2 - b)y^2 + (3αb - 2α^2 - c)y + (α^3 - α^2 + αc - d) = 0通过选择适当的α值，可以使得方程进一步简化。

一元三次方程求根公式的通俗推导一元三次方程求根的公式是怎么来的？我们如何理解这个东西？在本文中，我尽量用最简单通俗的方式来讲这个东西，保证一元三次方程求根的公式变得非常简单。

要解一元三次方程，就看看一元二次方程是怎么解的。

一元二次方程的解法，其实核心是“配方法”，就是配出来一个平房项。

比方说解 x^2+6x+8=0 这个方程，为了配方，要左右两边加个1，变成 x^2+6x+9=1 ，这样就能变成 (x+3)^2=1 ，于是 x+3=1 或者 x+3=-1 ，所以x=-2或x=-4。

对于一元三次方程，我们也这么搞一下。

我们这回直接用字母运算。

一元三次方程的通式是 ax^3+bx^2+cx+d=0 ，等式除以a，变成 x^3+b'x^2+c'x+d'=0 ，然后根据 x^3,x^2 的系数，写出x和常数的系数，写成这样的形式：a^3+3a^2b+3ab^3+b^3 ，这样就可以组合成 (a+b)^3 了。

令a=x,b=\frac{b'}{3} ，把x和常数的系数凑出来：x^3+b'x^2+\frac{b'}{3}x+\frac{b'^3}{27}，于是x^3+b'x^2+\frac{b'}{3}x+\frac{b'^3}{27}=\frac{b'}{3}x+ \frac{b'^3}{27}-c'x-d ，这样左边的项凑成了立方和的形式： (x+\frac{b'}{3})^3 ，而右边的只有x的一次项和常数项。

我们令 x'=x+\frac{b'}{3} ，于是这个式子化成了x'^3=\frac{b'}{3}(x'-\frac{b'}{3})+\frac{b'^3}{27}-c'(x-\frac{b'}{3})-d 。

这样，整个式子中没有二次项。

一元三次方程求根公式对于一般的一元三次方程ax³+bx²+cx+d＝0，我们都可以转化成普通形式，即形如x³+px+q＝0的形式。

这个形式我们的操作方法就是，化三次为2次。

首先，换元，令x＝u+v，那么x³＝(u+v)³＝u³+v³+3u²v+3uv²。

原式＝(u+v)³+p(u+v)+q＝u³+v³+3u²v+3uv²+p(u+v)+q＝(u³+v³+q)+(u+v)(3uv+p)＝0。

要使它有解。

则必须满足两部分都为0，即这个就类似于我们的韦达定理x1+x2＝-b/a，x1x2＝c/a，那么由此，我们可以构造出一个一元二次方程，使其两根恰好为u³和v³，这个方程就是x²+qx-(p/3)³＝0，由求根公式那么这其实是两个值，分别为u³和v³，我们开立方就得到了u和v，即又因为x＝u+v，所以可以得到普通形式下一元三次方程的求根公式，即卡尔达诺公式其实如果你对式子的变换很熟悉你可以读到这里就退出了，因为绝大多数内容已经解决了，比如说题目中出现x³+2x²+x+1＝0，首先我们知道(x+2/3)³＝x³+8/27+3x²2/3+3x4/9＝x³+2x²+4x/3+8/27，所以原式＝(x+2/3)³+x-4x/3+1-8/27＝(x+2/3)³-x/3+19/27＝0，下一步就是令t＝x+2/3，然后变成t³-(t-2/3)/3+19/27＝t³-t/3+2/9+19/27＝t³-t/3+25/27＝0，然后用上述公式即可(如果有打错的不要介意，我没用公式编辑器，我的字体怪怪的很容易打错)。

一元三次方程的求根公式及其推导有三个实数根。

有三个零点时，当有两个实数根。

有两个零点时，当有唯一实数根。

有唯一零点时，当。

，有两实根，为，则方程若有唯一实数根。

有唯一零点有一实根，则方程若有唯一实数根。

有唯一零点没有实根，则方程若实数根的个数。

点的个数即方程零即方程则设实数根的判定：程即可。

因此，只需研究此类方的特殊形式即公式化为均可经过移轴三次方程由于任一个一般的一元0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(33:0)(0)3(0)()(0)(,0).2(0)()(0)(',0).1(0)(,00)(,)(.1,0,0)2792()3)(39()3(0)3272()3)(3()3(032323221''3333233232323=⇔<+=∙=⇔=+=∙=⇔>+=∙--==-===<=⇔===⇔=>=++=++=++==++=+-++-++=+-++-++=+++x F x F p q F F x F x F p q F F x F x F p q F F px p x x F p x F x F x F p x F x F x F p q px x x F q px x x F q px x x F q px x D A ABC B B Ax AB AC B Ax D A BC AB A B x A BC A B x AD Cx Bx Ax βαβαβαβα33233232323323233231322321323232333333333333333333333332332332323212811210861128112108610)1281(811)27(41281121086112811210861181281918128190)1281(811)27(402727,3)(300)(33)(3)(.1.200128100128100128112810)1281(8110)0.(0.p q q p q q x p q p q p q q a B p q q a A B A p q q a p q q a p q p q p qa a B A q B A p B A q B A p AB q B A p AB q px x B A ABx x ABx B A B A AB B A B A x B A x B A B A B A x q px x p q q px x p q q px x p q p q p q p q p q p +--+++-=≤+=--⎪⎩⎪⎨⎧+--==++-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=++-=>+=--=-+⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==+-=-=++=+--++=+++=+=+=+==++<+=∆=++=+=∆=++>+=∆+=∆>+≥式，为：实数根的方程的求根公上方法只能导出有一个）。