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2014-2015年辽宁省大连市高一上学期数学期末试卷(解析版)

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2014-2015学年辽宁省大连市高一（上）期末数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）已知点A（﹣3，1，5）与点B（0，2，3），则A，B之间的距离为（）A． B．2 C． D．2．（5.00分）集合A={（x，y）|y=ax+1}，B={（x，y）|y=x+3}，且A∩B={（2，5）}，则（）A．a=3 B．a=2 C．a=﹣3 D．a=﹣23．（5.00分）a，b，c为空间中三条直线，若a⊥b，b⊥c，则直线a，c的关系是（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能4．（5.00分）直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足（）A．ab＞0，bc＞0 B．ab＞0，bc＜0 C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0 5．（5.00分）两条平行线l1：3x﹣4y﹣1=0与l2：6x﹣8y﹣7=0间的距离为（）A．B．C．D．16．（5.00分）若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．B．C．D．7．（5.00分）若a=20.5，b=logπ3，c=log20.3，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c8．（5.00分）若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．2+D．1+9．（5.00分）已知圆C：x2+y2=10，过点P（1，3）作圆C的切线，则切线方程为（）A．x+3y﹣10=0 B．x﹣3y+8=0 C．3x+y﹣6=0 D．3x﹣y+10=010．（5.00分）如图所示，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1﹣ABC1的体积为（）A．B．C．D．11．（5.00分）已知函数f（x）=3﹣2|x|，g（x）=x2，构造函数F（x）=，那么函数y=F（x）（）A．有最大值1，最小值﹣1 B．有最小值﹣1，无最大值C．有最大值1，无最小值D．有最大值3，最小值112．（5.00分）若半径均为2的四个球，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这四个球都外切，则这个小球的半径为（）A．B．﹣2 C．﹣3 D．2﹣2二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）13．（5.00分）计算（lg2）2+lg20•lg5=．14．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等边三角形，若其体积为8，则a=．15．（5.00分）已知两圆相交于两点（1，3）和（m，1），且两圆的圆心都在直线上，则m+c的值是．16．（5.00分）过点（2，3）且与圆（x﹣1）2+y2=1相切的直线方程．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB=4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l，并且AC=3，BD=12，求CD 的长．18．（12.00分）设，其中a为常数；（1）f（x）为奇函数，试确定a的值；（2）若不等式f（x）+a＞0恒成立，求实数a的取值范围．19．（12.00分）圆C过点A（6，0），B（1，5），且圆心在直线l：2x﹣7y+8=0上．（1）求圆C的方程；（2）P为圆C上的任意一点，定点Q（8，0），求线段PQ中点M的轨迹方程．20．（12.00分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，对角线AC，BD相交于点O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=3．求证：（1）OM∥平面ABD；（2）平面ABC⊥平面MDO．21．（12.00分）已知函数f（x）=log4（ax2+2x+3）（1）若f（1）=1，求f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．22．（12.00分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．（1）求以点A为圆心，以为半径的圆与直线l相交所得弦长；（2）设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．2014-2015学年辽宁省大连市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）已知点A（﹣3，1，5）与点B（0，2，3），则A，B之间的距离为（）A． B．2 C． D．【解答】解：∵A（﹣3，1，5），B（0，2，3），∴|AB|===，故选：C．2．（5.00分）集合A={（x，y）|y=ax+1}，B={（x，y）|y=x+3}，且A∩B={（2，5）}，则（）A．a=3 B．a=2 C．a=﹣3 D．a=﹣2【解答】解：联立得：，把x=2，y=5代入得：5=2a+1，解得：a=2，故选：B．3．（5.00分）a，b，c为空间中三条直线，若a⊥b，b⊥c，则直线a，c的关系是（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能【解答】解：如图满足a⊥b，b⊥c，则a，c的关系可能平行，可能相交，可能异面，故选：D．4．（5.00分）直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足（）A．ab＞0，bc＞0 B．ab＞0，bc＜0 C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0【解答】解：直线ax+by+c=0化为：，∵直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限，∴，＞0，∴ab＞0，bc＜0．故选：B．5．（5.00分）两条平行线l1：3x﹣4y﹣1=0与l2：6x﹣8y﹣7=0间的距离为（）A．B．C．D．1【解答】解：两条平行线l1：3x﹣4y﹣1=0，即6x﹣8y﹣2=0，与它平行的直线l2：6x﹣8y﹣7=0，故它们之间的距离为d==，故选：A．6．（5.00分）若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．B．C．D．【解答】解：∵圆柱的侧面展开图是一个正方形，∴设正方形的边长为a，可得圆柱的母线长为a，底面周长也等于a底面半径r满足：2πr=a，得r=，因此，该圆柱的底面圆面积为S=πr2=，底圆柱的全面积与侧面积的比为=，故选：D．7．（5.00分）若a=20.5，b=logπ3，c=log20.3，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c【解答】解：∵a=20.5＞1，1＞b=logπ3＞0，c=log20.3＜0，∴a＞b＞c．故选：D．8．（5.00分）若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．2+D．1+【解答】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选：C．9．（5.00分）已知圆C：x2+y2=10，过点P（1，3）作圆C的切线，则切线方程为（）A．x+3y﹣10=0 B．x﹣3y+8=0 C．3x+y﹣6=0 D．3x﹣y+10=0【解答】解：由点P（1，3），圆x2+y2=10，得到P在圆上，则过P作圆的切线与CP所在的直线垂直，因为CP所在直线的斜率为3，所以切线的斜率为﹣，则切线方程为：y﹣3=﹣（x﹣1）即x+3y﹣10=0．故选：A．10．（5.00分）如图所示，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1﹣ABC1的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，==∴底面△ABC为正三角形，面积S△ABC又∵AA1⊥底面ABC，AA1=1∴三棱柱ABC﹣A 1B1C1的体积V=S△ABC•AA1=∵三棱锥A﹣A1B1C1、三棱锥C1﹣ABC与三棱柱ABC﹣A1B1C1等底等高∴V=V=V=﹣ABC1的体积V=V﹣V﹣V=由此可得三棱锥B故选：A．11．（5.00分）已知函数f（x）=3﹣2|x|，g（x）=x2，构造函数F（x）=，那么函数y=F（x）（）A．有最大值1，最小值﹣1 B．有最小值﹣1，无最大值C．有最大值1，无最小值D．有最大值3，最小值1【解答】解：由g（x）﹣f（x）=x2﹣3+2|x|≥0得，|x|≥1；故F（x）=；故作F（x）=的图象如下，故有最大值1，没有最小值．故选：C．12．（5.00分）若半径均为2的四个球，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这四个球都外切，则这个小球的半径为（）A．B．﹣2 C．﹣3 D．2﹣2【解答】解：连接四个球的球心，得到一个棱长为4的正四面体，可将该正四面体补成一个正方体，设正方体的边长为a，则有4=a，由正方体的对角线长即为球的直径，可得a=2r，则该正四面体的外接球半径为，若这四个球之间有一个小球和这四个球都外切，则小球的球心与四面体的外接球球心重合，因为由小球与其它四球外切，所以球心距（即正四面体外接球半径）等于大球半径与小球半径之和，所以小球的半径为﹣2．故选：B．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）13．（5.00分）计算（lg2）2+lg20•lg5=1．【解答】解：原式=（lg2）2+（lg2+1）•l g5=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=1．故答案为：1．14．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等边三角形，若其体积为8，则a=2．【解答】解：由三视图可知：该几何体为正三棱柱，底面正三角形的边上的高为2，棱柱的高为a，∴底面正三角形的边长=4，∴该正三棱柱的体积V==，解得a=2．故答案为：2．15．（5.00分）已知两圆相交于两点（1，3）和（m，1），且两圆的圆心都在直线上，则m+c的值是3．【解答】解：已知两圆相交于两点（1，3）和（m，1），且两圆的圆心都在直线上，所以公共弦方程为：y﹣3=﹣1（x﹣1），所以x+y﹣4=0，因为（m，1）在公共弦上，m=3；中点在连心线上，即（2，2）在连心线上，所以c=0，所以m+c=3；故答案为：3．16．（5.00分）过点（2，3）且与圆（x﹣1）2+y2=1相切的直线方程4x﹣3y+1=0或x=2．【解答】解：当切线的斜率不存在时，切线的方程为x=2，当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线的方程为y﹣3=k（x﹣2），即kx﹣y+3﹣2k=0，由圆心（1，0）到切线的距离等于半径得∴k=，此切线的方程4x﹣3y+1=0，综上，圆的切线方程为x=2或4x﹣3y+1=0，故答案为：x=2或4x﹣3y+1=0．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB=4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l，并且AC=3，BD=12，求CD 的长．【解答】解连接BC．∵AC⊥l，∴BC===5．又∵BD⊥l，α⊥β，α∩β=l，∴BD⊥α．又∵BC⊂α，∴BD⊥BC．∴CD===13．∴CD长为13cm．18．（12.00分）设，其中a为常数；（1）f（x）为奇函数，试确定a的值；（2）若不等式f（x）+a＞0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即a﹣=﹣a+，∴2a=+=+=2，∴a=1；（2）f（x）+a＞0恒成立，即a﹣+a＞0，2a＞恒成立，等价于2a＞（）max，而2x＞0，2x+1＞1，∴0＜＜2，故2a≥2，解得a≥1，故实数a的取值范围[1，+∞）．19．（12.00分）圆C过点A（6，0），B（1，5），且圆心在直线l：2x﹣7y+8=0上．（1）求圆C的方程；（2）P为圆C上的任意一点，定点Q（8，0），求线段PQ中点M的轨迹方程．【解答】解：（1）直线AB的斜率，所以AB的垂直平分线m的斜率为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）AB的中点的横坐标和纵坐标分别为．因此，直线m的方程为．即x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）又圆心在直线l上，所以圆心是直线m与直线l的交点．联立方程组解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）所以圆心坐标为C（3，2），又半径，则所求圆的方程是（x﹣3）2+（y﹣2）2=13．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（2）设线段PQ的中点M（x，y），P（x0，y0）M为线段PQ的中点，则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）解得．P（2x﹣8，2y）代入圆C中得（2x﹣8﹣3）2+（2y﹣2）2=13，即线段PQ中点M的轨迹方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12.00分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，对角线AC，BD相交于点O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=3．求证：（1）OM∥平面ABD；（2）平面ABC⊥平面MDO．【解答】证明：（1）由题意知，O为AC的中点，∵M为BC的中点，∴OM∥AB．，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）．又∵OM⊄平面ABD，BC⊂平面ABD．∴OM∥平面ABD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由题意可知：OM=OD=3，DM=，∴OM2+OD2=DM2．∴∠DOM=90°，即OD⊥OM，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又∵四边形ABCD是菱形，∴OD⊥AC，∵OM∩AC=O，AC⊂平面ABC，∴OD⊥平面ABC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵OD⊂平面ADO，∴平面ABC⊥平面MDO，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12.00分）已知函数f（x）=log4（ax2+2x+3）（1）若f（1）=1，求f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵f（x）=log4（ax2+2x+3）且f（1）=1，∴log4（a•12+2×1+3）=1⇒a+5=4⇒a=﹣1可得函数f（x）=log4（﹣x2+2x+3）∵真数为﹣x2+2x+3＞0⇒﹣1＜x＜3∴函数定义域为（﹣1，3）令t=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4可得：当x∈（﹣1，1）时，t为关于x的增函数；当x∈（1，3）时，t为关于x的减函数．∵底数为4＞1∴函数f（x）=log4（﹣x2+2x+3）的单调增区间为（﹣1，1），单调减区间为（1，3）（2）设存在实数a，使f（x）的最小值为0，由于底数为4＞1，可得真数t=ax2+2x+3≥1恒成立，且真数t的最小值恰好是1，即a为正数，且当x=﹣=﹣时，t值为1．∴⇒⇒a=因此存在实数a=，使f（x）的最小值为0．22．（12.00分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．（1）求以点A为圆心，以为半径的圆与直线l相交所得弦长；（2）设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．【解答】解：（1）设直线l ：y=2x ﹣4与圆A 相交的弦为线段BC 则圆心到直线l 的距离．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分） 由题意知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） 解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）因为圆心在直线y=2x ﹣4上，所以圆C 的方程为（x ﹣a ）2+[y ﹣2（a ﹣2）]2=1．设点M （x ，y ），因为|MA |=2|MO |， 所以，化简得x 2+y 2+2y ﹣3=0，即x 2+（y +1）2=4，所以点M 在以D （0，﹣1）为圆心，2为半径的圆上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由题意，点M （x ，y ）在圆C 上，所以M 是圆C 与圆D 的公共点，则|2﹣1|≤|CD |≤2+1，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） 即得所以点C 的横坐标a 的取值范围为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-xx x(q)0x①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

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辽宁省大连市高一上学期数学期末联考试卷

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辽宁省大连市高一上学期数学期末联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·长春月考) 下列各组函数中,表示同一函数的是（）A . 与B . 与C . 与D . , 与 ,3. （2分）直线的参数方程可以是（）A . （为参数）B . （为参数）C . （为参数）D . （为参数）4. （2分）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A .B .C .D .5. （2分）若，当时，的大小关系为（）A .B .C .D .6. （2分）下列四个函数中，在区间上是减函数的是（）A .B .C .D .7. （2分）已知函数f（log4x）=x，则等于（）A .B .C . 1D . 28. （2分）已知函数f（x）=是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A . [，）B . [，）C . [， 1）D . （0，）9. （2分） (2019高二上·瓦房店月考) 直线l：与圆C：的位置关系是A . 相切B . 相离C . 相交D . 不确定10. （2分）若点和点到直线的距离依次为和，则这样的直线有（）A . 条B . 条C . 条D . 条11. （2分）(2019·永州模拟) 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（）①平面平面；② 平面；③异面直线与所成角的取值范围是；④三棱锥的体积不变.A . ①②B . ①②④C . ③④D . ①④12. （2分）(2017·孝义模拟) 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=A1D1=a，A1B1=2a，点P在线段AD1上运动，当异面直线CP与BA1所成的角最大时，则三棱锥C﹣PA1D1的体积为（）A .B .C .D . a3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·重庆月考) 计算： ________.14. （1分） (2017高一下·盐城期中) 直线y=3x﹣1的斜率为________．15. （1分）函数的定义域为________．16. （1分）(2018·泉州模拟) 在三棱锥中， ,若三棱锥的所有顶点，都在同一球面上，则球的表面积是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高一下·东丰期末) 已知的三个顶点，（1）求边上的高所在直线方程；（2）求边的垂直平分线所在直线方程。

辽宁省大连市高一数学上学期期末试卷(含解析)

辽宁省大连市高一数学上学期期末试卷(含解析)

辽宁省大连市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知点A（﹣3，1，5）与点B（0，2，3），则A，B之间的距离为（）A．B．2C．D．2．（5分）集合A={（x，y）|y=ax+1}，B={（x，y）|y=x+3}，且A∩B={（2，5）}，则（）A．a=3 B．a=2 C．a=﹣3 D．a=﹣23．（5分）a，b，c为空间中三条直线，若a⊥b，b⊥c，则直线a，c的关系是（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能4．（5分）直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足（）A．ab＞0，bc＞0 B．ab＞0，bc＜0 C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜05．（5分）两条平行线l1：3x﹣4y﹣1=0与l2：6x﹣8y﹣7=0间的距离为（）A．B．C．D．16．（5分）若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．B．C．D．7．（5分）若a=20.5，b=logπ3，c=log20.3，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c8．（5分）若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．2+D．1+9．（5分）已知圆C：x2+y2=10，过点P（1，3）作圆C的切线，则切线方程为（）A．x+3y﹣10=0 B．x﹣3y+8=0 C．3x+y﹣6=0 D．3x﹣y+10=010．（5分）如图所示，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1﹣ABC1的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=3﹣2|x|，g（x）=x2，构造函数F（x）=，那么函数y=F（x）（）A．有最大值1，最小值﹣1 B．有最小值﹣1，无最大值C．有最大值1，无最小值D．有最大值3，最小值112．（5分）若半径均为2的四个球，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这四个球都外切，则这个小球的半径为（）A．B．﹣2 C．﹣3 D．2﹣2二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）13．（5分）计算（lg2）2+lg20•lg5=．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等边三角形，若其体积为8，则a=．15．（5分）已知两圆相交于两点（1，3）和（m，1），且两圆的圆心都在直线上，则m+c的值是．16．（5分）过点（2，3）且与圆（x﹣1）2+y2=1相切的直线方程．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB=4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l，并且AC=3，BD=12，求CD的长．18．（12分）设，其中a为常数；（1）f（x）为奇函数，试确定a的值；（2）若不等式f（x）+a＞0恒成立，求实数a的取值范围．19．（12分）圆C过点A（6，0），B（1，5），且圆心在直线l：2x﹣7y+8=0上．（1）求圆C的方程；（2）P为圆C上的任意一点，定点Q（8，0），求线段PQ中点M的轨迹方程．20．（12分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，对角线AC，BD相交于点O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=3．求证：（1）OM∥平面ABD；（2）平面ABC⊥平面MDO．21．（12分）已知函数f（x）=log4（ax2+2x+3）（1）若f（1）=1，求f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．（1）求以点A为圆心，以为半径的圆与直线l相交所得弦长；（2）设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．辽宁省大连市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知点A（﹣3，1，5）与点B（0，2，3），则A，B之间的距离为（）A．B．2C．D．考点：空间两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：根据空间两点间的距离公式进行计算即可．解答：解：∵A（﹣3，1，5），B（0，2，3），∴|AB|===，故选：C点评：本题主要考查空间两点间的距离的计算，比较基础．2．（5分）集合A={（x，y）|y=ax+1}，B={（x，y）|y=x+3}，且A∩B={（2，5）}，则（）A．a=3 B．a=2 C．a=﹣3 D．a=﹣2考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据A，B，以及两集合的交集，确定出a的值即可．解答：解：联立得：，把x=2，y=5代入得：5=2a+1，解得：a=2，故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）a，b，c为空间中三条直线，若a⊥b，b⊥c，则直线a，c的关系是（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据空间直线垂直的位置关系进行判断即可．解答：解：如图满足a⊥b，b⊥c，则a，c的关系可能平行，可能相交，可能异面，故选D．点评：本题主要考查空间直线的位置关系的判断，比较基础．4．（5分）直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足（）A．ab＞0，bc＞0 B．ab＞0，bc＜0 C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：直线ax+by+c=0化为：，利用斜率与截距的意义即可得出．解答：解：直线ax+by+c=0化为：，∵直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限，∴，＜0，∴ab＞0，bc＜0．故选：B．点评：本题考查了直线斜率与截距的意义，属于基础题．5．（5分）两条平行线l1：3x﹣4y﹣1=0与l2：6x﹣8y﹣7=0间的距离为（）A．B．C．D．1考点：两条平行直线间的距离．专题：直线与圆．分析：把两直线的方程中x、y的系数化为相同的，然后利用两平行线间的距离公式，求得结果．解答：解：两条平行线l1：3x﹣4y﹣1=0，即6x﹣8y﹣2=0，与它平行的直线l2：6x﹣8y﹣7=0，故它们之间的距离为 d==，故选A．点评：本题主要考查两平行线间的距离公式的应用，要注意先把两直线的方程中x、y的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式，属于中档题．6．（5分）若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．B．C．D．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：设侧面展开正方形边长为a，可得底面半径r满足：2πr=a，得r=，从而算出底面圆面积S底=，由此加以计算即可算出这个圆柱的全面积与侧面积的比．解答：解：∵圆柱的侧面展开图是一个正方形，∴设正方形的边长为a，可得圆柱的母线长为a，底面周长也等于a底面半径r满足：2πr=a，得r=，因此，该圆柱的底面圆面积为S底=πr2=，圆柱的全面积与侧面积的比为=，点评：本题给出侧面展开为正方形的圆柱，求全面积与侧面积之比．着重考查了圆柱的侧面展开和圆的周长、面积公式等知识，属于基础题．7．（5分）若a=20.5，b=logπ3，c=log20.3，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=20.5＞1，1＞b=logπ3＞0，c=log20.3＜0，∴a＞b＞c．故选：D．点评：本题考查了对数函数与指数函数的单调性，属于基础题．8．（5分）若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．2+D．1+考点：斜二测法画直观图．专题：空间位置关系与距离．分析：水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．解答：解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选：C点评：本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，也可利用原图和直观图的面积关系求解．属基础知识的考查．9．（5分）已知圆C：x2+y2=10，过点P（1，3）作圆C的切线，则切线方程为（）A．x+3y﹣10=0 B．x﹣3y+8=0 C．3x+y﹣6=0 D．3x﹣y+10=0考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：判断出P在圆上即P为切点，根据圆的切线垂直于过切点的直径，由圆心和P的坐标求出CP确定直线方程的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1，求出切线的斜率，根据P 坐标和求出的斜率写出切线方程即可．解答：解：由点P（1，3），圆x2+y2=10，得到P在圆上，则过P作圆的切线与CP所在的直线垂直，因为CP所在直线的斜率为3，所以切线的斜率为﹣，则切线方程为：y﹣3=﹣（x﹣1）即x+3y﹣10=0．点评：此题考查学生掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系，掌握两直线垂直时斜率所满足的关系，会根据一点的坐标和直线的斜率写出直线的方程，是一道综合题．10．（5分）如图所示，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1﹣ABC1的体积为（）A．B．C．D．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，三棱柱ABC﹣A1B1C1是棱长均为1的正三棱柱，算出它的体积V=．再根据锥体的体积公式得三棱锥A﹣A1B1C1、三棱锥C1﹣ABC的体积都等于三棱柱ABC﹣A1B1C1体积的，由此用三棱柱ABC﹣A1B1C1体积减去两个三棱锥的体积，即可算出三棱锥B1﹣ABC1的体积．解答：解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，∴底面△ABC为正三角形，面积S△ABC==又∵AA1⊥底面AB C，AA1=1∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC•AA1=∵三棱锥A﹣A1B1C1、三棱锥C1﹣ABC与三棱柱ABC﹣A1B1C1等底等高∴V=V=V=由此可得三棱锥B1﹣ABC1的体积V=V﹣V﹣V=故选：A点评：本题给出棱长均为1的正三棱柱，求其中的三棱锥B1﹣ABC1体积．着重考查了正三棱柱的性质、柱体和锥体的体积公式等知识，属于中档题．11．（5分）已知函数f（x）=3﹣2|x|，g（x）=x2，构造函数F（x）=，那么函数y=F（x）（）A．有最大值1，最小值﹣1 B．有最小值﹣1，无最大值C．有最大值1，无最小值D．有最大值3，最小值1考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：由g（x）﹣f（x）=x2﹣3+2|x|≥0得|x|≥1，从而可得F（x）=，作函数图象求解．解答：解：由g（x）﹣f（x）=x2﹣3+2|x|≥0得，|x|≥1；故F（x）=；故作F（x）=的图象如下，故有最大值1，没有最小值．故选C．点评：本题考查了函数的图象的应用，属于中档题．12．（5分）若半径均为2的四个球，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这四个球都外切，则这个小球的半径为（）A．B．﹣2 C．﹣3 D．2﹣2考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离；球．分析：将这四个球的球心连接成一个正四面体，并根据四球外切，得到四面体的棱长为2，求出外接球半径，由于这四个球之间有一个小球和这四个球都外切，则小球的球心与四面体外接球球心重合，进而再由小球与其它四球外切，球心距（即正四面体外接球半径）等于大球半径与小球半径之和，得到答案．解答：解：连接四个球的球心，得到一个棱长为4的正四面体，可将该正四面体补成一个正方体，设正方体的边长为a，则有4=a，由正方体的对角线长即为球的直径，可得a=2r，则该正四面体的外接球半径为，若这四个球之间有一个小球和这四个球都外切，则小球的球心与四面体的外接球球心重合，因为由小球与其它四球外切，所以球心距（即正四面体外接球半径）等于大球半径与小球半径之和，所以小球的半径为﹣2．故选B．点评：本题考查棱锥的结构特征，球的结构特征，其中根据已知条件求出四个半径为2的球球心连接后所形成的正四面体的棱长及外接球半径的长是解答本题的关键．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）13．（5分）计算（lg2）2+lg20•lg5=1．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．解答：解：原式=（lg2）2+（lg2+1）•lg5=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=1．故答案为：1．点评：本题考查了对数的运算法则、lg2+lg5=1，属于基础题．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等边三角形，若其体积为8，则a=2．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体为正三棱柱，底面正三角形的边上的高为2，棱柱的高为a，即可得出该几何体的体积．解答：解：由三视图可知：该几何体为正三棱柱，底面正三角形的边上的高为2，棱柱的高为a，∴底面正三角形的边长=4，∴该正三棱柱的体积V==，解得a=2．故答案为：2．点评：本题主要考查了正三棱柱的三视图及其体积计算公式、等边三角形的边角关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、化归与转化能力，属于中档题．15．（5分）已知两圆相交于两点（1，3）和（m，1），且两圆的圆心都在直线上，则m+c的值是3．考点：相交弦所在直线的方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题．分析：两圆的公共弦的方程与两圆连心线垂直，求出公共弦的方程，然后求出m，利用中点在连心线上，求出c，即可求出结果．解答：解：已知两圆相交于两点（1，3）和（m，1），且两圆的圆心都在直线上，所以公共弦方程为：y﹣3=﹣1（x﹣1），所以x+y﹣4=0，因为（m，1）在公共弦上，m=3；中点在连心线上，即（2，2）在连心线上，所以c=0，所以m+c=3；故答案为：3．点评：本题是基础题，考查两圆的位置关系，公共弦的方程与连心线方程的关系，考查计算能力，逻辑推理能力．16．（5分）过点（2，3）且与圆（x﹣1）2+y2=1相切的直线方程4x﹣3y+1=0或 x=2．考点：圆的切线方程．专题：计算题；分类讨论．分析：当切线的斜率不存在时，写出切线的方程；当切线的斜率存在时，设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于半径求出斜率，从而得到切线的方程．解答：解：当切线的斜率不存在时，切线的方程为 x=2，当切线的斜率存在时，设切线的斜率为 k，则切线的方程为 y﹣3=k（x﹣2），即 kx﹣y+3﹣2k=0，由圆心（1，0）到切线的距离等于半径得∴k=，此切线的方程 4x﹣3y+1=0，综上，圆的切线方程为 x=2或4x﹣3y+1=0，故答案为：x=2或4x﹣3y+1=0．点评：本题考查求圆的切线方程的方法，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB=4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l，并且AC=3，BD=12，求CD的长．考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：连接BC．由AC⊥l，利用勾股定理可得BC=．利用面面垂直与线面垂直的判定及其性质定理可得BD⊥BC．再利用勾股定理可得CD=，即可得出．解答：解连接BC．∵AC⊥l，∴BC===5．又∵BD⊥l，α⊥β，α∩β=l，∴BD⊥α．又∵BC⊂α，∴BD⊥BC．∴CD===13．∴CD长为13cm．点评：本题考查了面面垂直与线面垂直的判定及其性质定理、勾股定理，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）设，其中a为常数；（1）f（x）为奇函数，试确定a的值；（2）若不等式f（x）+a＞0恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由奇函数定义可得f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，由此可得a值；（2）f（x）+a＞0恒成立，可化为2a＞恒成立，等价于2a＞（）max，利用基本函数的性质可求得（）max；解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即a﹣=﹣a+，∴2a=+=+=2，∴a=1；（2）f（x）+a＞0恒成立，即a﹣+a＞0，2a＞恒成立，等价于2a＞（）max，而2x＞0，2x+1＞1，∴0＜＜2，故2a≥2，解得a≥1，故实数a的取值范围可得函数f（x）=log4（﹣x2+2x+3）∵真数为﹣x2+2x+3＞0⇒﹣1＜x＜3∴函数定义域为（﹣1，3）令t=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4可得：当x∈（﹣1，1）时，t为关于x的增函数；当x∈（1，3）时，t为关于x的减函数．∵底数为4＞1∴函数f（x）=log4（﹣x2+2x+3）的单调增区间为（﹣1，1），单调减区间为（1，3）（2）设存在实数a，使f（x）的最小值为0，由于底数为4＞1，可得真数t=ax2+2x+3≥1恒成立，且真数t的最小值恰好是1，即a为正数，且当x=﹣=﹣时，t值为1．∴⇒⇒a=因此存在实数a=，使f（x）的最小值为0．点评：本题借助于一个对数型函数，求单调性与最值的问题，着重考查了函数的单调性与值域和二次函数的图象与性质等知识点，属于中档题．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．（1）求以点A为圆心，以为半径的圆与直线l相交所得弦长；（2）设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）设直线l：y=2x﹣4与圆A相交的弦为线段BC，求出圆心到直线l的距离，利用垂径定理求解即可．（2）设圆C的方程为（x﹣a）2+2=1．设点M（x，y），通过|MA|=2|MO|，化简，利用点M（x，y）在圆C上，推出|2﹣1|≤|CD|≤2+1，求解即可．解答：解：（1）设直线l：y=2x﹣4与圆A相交的弦为线段BC则圆心到直线l的距离．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由题意知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）因为圆心在直线y=2x﹣4上，所以圆C的方程为（x﹣a）2+2=1．设点M（x，y），因为|MA|=2|MO|，所以，化简得x2+y2+2y﹣3=0，即x2+（y+1）2=4，所以点M在以D（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由题意，点M（x，y）在圆C上，所以M 是圆C与圆D的公共点，则|2﹣1|≤|CD|≤2+1，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）即得所以点C的横坐标a的取值范围为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．。

2014-2015学年辽宁省沈阳市高一(上)期末数学试卷(解析版)

2014-2015学年辽宁省沈阳市高一(上)期末数学试卷(解析版)

2014-2015学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）已知集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B=（）A．∅B．{1}C．{0，2}D．{0，1，2}2．（5.00分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，则f[f（5）]的值为（）A．1 B．2 C．4 D．53．（5.00分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（﹣3，﹣4，5）关于平面xOz的对称点的坐标为（）A．（3，﹣4，5）B．（﹣3，﹣4，﹣5）C．（3，﹣4，﹣5） D．（﹣3，4，5）4．（5.00分）过点A（2，﹣4）且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为（）A．x+2y﹣8=0 B．2x﹣y﹣8=0 C．x+2y﹣4=0 D．2x﹣y=05．（5.00分）函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）6．（5.00分）圆C1：x2+y2+4x+4y+4=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0公切线条数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5.00分）由函数y=lg（1﹣2x）的图象得到函数y=lg（3﹣2x）的图象，只需要（）A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移2个单位D．向右平移2个单位8．（5.00分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（）A．42+6B．30+6C．66 D．449．（5.00分）已知幂函数f（x）=（m∈Z）在区间（0，+∞）上是单调增函数，且y=f（x）的图象关于y轴对称，则f（﹣2）的值为（）A．16 B．8 C．﹣16 D．﹣810．（5.00分）已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m∥α且n∥β，则α∥βB．若m⊥n，m∥α且n∥β，则α⊥βC．若m∥α且n⊥m，则n⊥α D．若m⊥n，m⊥α且n⊥β，则α⊥β11．（5.00分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣2，1）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）12．（5.00分）对于平面直角坐标系中任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），我们将|x1﹣x2|+|y1﹣y2|定义为PQ两点的“耿直距离”．已知A（0，0），B（3，1），C（4，4），D（1，3），设M（x，y）是平面直角坐标系中的一个动点．若使得点M到A、B、C、D的“耿直距离”之和取得最小值，则点M应位于下列哪个图中的阴影区域之内．（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13．（5.00分）若=，则x=．14．（5.00分）若直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0互相垂直，则m的值为．15．（5.00分）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，这个球的表面积是4π，则这个三棱柱的体积是．16．（5.00分）已知f（x）=在区间（m2﹣4m，2m﹣2）上能取得最大值，则实数m的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知函数f（x）=的定义域为A，B={y|y=（）x，﹣4≤x≤0}．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）若C={x|m﹣6≤x≤4m}且B⊆C，求m的取值范围．18．（12.00分）已知直线l：3x+4y+3=0和圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0．（Ⅰ）判断直线l与圆C的位置关系；（Ⅱ）若P是直线l上的动点，PA是圆C的一条切线，A是切点，求三角形PAC 的面积S的最小值．19．（12.00分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB=AC，BC=CD，∠BCD=60°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）再若AB=CB=4，AD=2，求三棱锥A﹣BCD的体积．20．（12.00分）提高五爱隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况，现将隧道内的车流速度记作υ（单位：千米/小时），车流密度记作x（单位：辆/千米）．研究表明：当隧道内的车流密度达到180辆/千米时，会造成该路段道路堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为50千米/小时；当30≤x≤180时，车流速度υ是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0＜x≤180时，求函数υ（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多少时，车流量（单位时间内通过隧道内某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•υ（x）可以达到最大，并求出最大值．21．（12.00分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、M、N分别是AB、AA1、BC1的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABC；（Ⅱ）再若AC=BC，BB1=AB，试在BB1上找一点F，使A1B⊥平面CDF，并证明你的结论．22．（12.00分）已知圆M的圆心在x轴上，半径为1，直线l：y=3x﹣1被圆M 所截得的弦长为，且圆心M在直线l的下方．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设A（0，t），B（0，t+4）（﹣3≤t≤﹣1），过A，B两点分别做圆M的一条切线，相交于点C，求由此得到的△ABC的面积S的最大值和最小值．2014-2015学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）已知集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B=（）A．∅B．{1}C．{0，2}D．{0，1，2}【解答】解：集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B={0，1，2}．故选：D．2．（5.00分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，则f[f（5）]的值为（）A．1 B．2 C．4 D．5【解答】解：由表格可知：f（5）=2，f[f（5）]=f（2）=4．故选：C．3．（5.00分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（﹣3，﹣4，5）关于平面xOz的对称点的坐标为（）A．（3，﹣4，5）B．（﹣3，﹣4，﹣5）C．（3，﹣4，﹣5） D．（﹣3，4，5）【解答】解：空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（﹣3，﹣4，5）关于平面xOz的对称点的坐标是（﹣3，4，5）．故选：D．4．（5.00分）过点A（2，﹣4）且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为（）A．x+2y﹣8=0 B．2x﹣y﹣8=0 C．x+2y﹣4=0 D．2x﹣y=0【解答】解：与直线2x﹣y+3=0平行的直线的斜率为：2，所求直线方程为：y+4=2（x﹣2）．即2x﹣y﹣8=0．故选：B．5．（5.00分）函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【解答】解：易知函数f（x）=3x+x﹣3在R上是增函数且连续，f（0）=1+0﹣3＜0，f（1）=3+1﹣3＞0；故函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（0，1）；故选：C．6．（5.00分）圆C1：x2+y2+4x+4y+4=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0公切线条数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵圆C1：x2+y2+4x+4y+4=0的圆心C1（﹣2，﹣2），半径r1=2，圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0的圆心C2（2，1），半径r2=3，|C1C2|==5，∵|C1C2|=r1+r2，∴圆C1：x2+y2+4x﹣4y+4=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣10y+13=0相外切，∴圆C1：x2+y2+4x+4y+4=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0公切线条数为3条．故选：C．7．（5.00分）由函数y=lg（1﹣2x）的图象得到函数y=lg（3﹣2x）的图象，只需要（）A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移2个单位D．向右平移2个单位【解答】解：函数y=lg（1﹣2x）的图象向右平1个单位可得函数y=lg[1﹣2（x ﹣1）]=lg（3﹣2x）．故选：B．8．（5.00分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（）A．42+6B．30+6C．66 D．44【解答】解：由三视图可得多面体的底面是侧视图，高为3的四棱柱，所以该多面体的表面积是+2×3+4×3+3××2=42+6，故选：A．9．（5.00分）已知幂函数f（x）=（m∈Z）在区间（0，+∞）上是单调增函数，且y=f（x）的图象关于y轴对称，则f（﹣2）的值为（）A．16 B．8 C．﹣16 D．﹣8【解答】解：∵幂函数f（x）=（m∈Z）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）=（m∈Z）是偶函数，又∵幂函数f（x）=（m∈Z）在（0，+∞）上为增函数，∴﹣m2+2m+3是偶数且﹣m2+2m+3＞0，∵m∈N*，∴m=1，∴幂函数f（x）=x4，f（﹣2）=16．故选：A．10．（5.00分）已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m∥α且n∥β，则α∥βB．若m⊥n，m∥α且n∥β，则α⊥βC．若m∥α且n⊥m，则n⊥αD．若m⊥n，m⊥α且n⊥β，则α⊥β【解答】解：A．若m∥n，m∥α且n∥β，则α∥β或α与β相交．故A错误，B．若m⊥n，m∥α且n∥β，则α⊥β或α与β相交．故B错误，C．若m∥α且n⊥m，则n⊥α或n∥α或n⊂α，故C错误，D．若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，若n⊥β，则α⊥β，故D正确，故选：D．11．（5.00分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣2，1）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【解答】解：∵f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增又∵f（x）是定义在R上的奇函数根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增∴f（x）在R上单调递增∵f（2﹣a2）＞f（a）∴2﹣a2＞a解不等式可得，﹣2＜a＜1故选：B．12．（5.00分）对于平面直角坐标系中任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），我们将|x1﹣x2|+|y1﹣y2|定义为PQ两点的“耿直距离”．已知A（0，0），B（3，1），C （4，4），D（1，3），设M（x，y）是平面直角坐标系中的一个动点．若使得点M到A、B、C、D的“耿直距离”之和取得最小值，则点M应位于下列哪个图中的阴影区域之内．（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知M（2，2）满足椭圆，点M到A、B、C、D的“耿直距离”之和为：12．当M（1，1）时，点M到A、B、C、D的“耿直距离”之和为12．排除C，当M（0，0）时，点M到A、B、C、D的“耿直距离”之和为16．排除A，当M（1，3）时，点M到A、B、C、D的“耿直距离”之和为12．排除D，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13．（5.00分）若=，则x=．【解答】解：∵=，∴=2﹣3，∴log3x=﹣3，∴x=3﹣3=，故答案为：．14．（5.00分）若直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0互相垂直，则m的值为或﹣2．．【解答】解：∵直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0互相垂直，∴（m+2）（m﹣2）+3m（m+2）=0，即（m+2）（m﹣2+3m）=0，解得m=或﹣2故答案为：或﹣215．（5.00分）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，这个球的表面积是4π，则这个三棱柱的体积是．【解答】解：如图所示，设球心为O，上下底面的中心分别为O1，O2，球O与三个侧面相切的切点分别A，B，C．设球的半径为R，∵球的表面积是4π，∴4πR2=4π，解得R=1．∴O1O2=2，为三棱柱的高．在等边三角形中，由OA=OB=OC=1，可得AB==，可得三棱柱的底面边长=．∴三棱柱的底面面积S==3．∴这个三棱柱的体积=S•O1O2=6．故答案为：6．16．（5.00分）已知f（x）=在区间（m2﹣4m，2m﹣2）上能取得最大值，则实数m的取值范围为（1，3] ．【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，结合图象可知，；解得，1＜m≤3；故实数m的取值范围为（1，3]；故答案为：（1，3]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知函数f（x）=的定义域为A，B={y|y=（）x，﹣4≤x≤0}．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）若C={x|m﹣6≤x≤4m}且B⊆C，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，log2（x﹣1）≥0，故x≥2；故A=[2，+∞），∵﹣4≤x≤0，∴1≤（）x≤16，故B=[1，16]，故A∩B=[2，16]；（Ⅱ）∵C={x|m﹣6≤x≤4m}，B=[1，16]，且B⊆C，∴，解得，4≤m≤7．18．（12.00分）已知直线l：3x+4y+3=0和圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0．（Ⅰ）判断直线l与圆C的位置关系；（Ⅱ）若P是直线l上的动点，PA是圆C的一条切线，A是切点，求三角形PAC 的面积S的最小值．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0化为标注方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，圆心坐标为C（1，1），半径为r=1（I）∵圆心C（1，1）到直线l：3x+4y+3=0的距离为d==2＞r∴直线l与圆相离；（II）由切线的性质可知，PA⊥AC，且AC=1∴当PC⊥l时，PC取得最小值2∴PA的最小值为此时，△PAC面积取得最小值S===△PAC19．（12.00分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB=AC，BC=CD，∠BCD=60°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）再若AB=CB=4，AD=2，求三棱锥A﹣BCD的体积．【解答】（I）证明：如图所示，取BC的中点O，连接OD，AD．∵BC=CD，∠BCD=60°．∴△BCD是正三角形，∴OD⊥BC，又∵AB=AC，∴OA⊥BC．∵OA∩OD=O，∴BC⊥平面OAD．∴AD⊥BC．（II）解：又AB=CB=4，AB=AC，∴△ABC是正三角形，∵△BCD是正三角形，∴OA=OD=2，∴△OAD是正三角形，==3．∴S△OAD∴三棱锥A﹣BCD的体积V===4．20．（12.00分）提高五爱隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况，现将隧道内的车流速度记作υ（单位：千米/小时），车流密度记作x（单位：辆/千米）．研究表明：当隧道内的车流密度达到180辆/千米时，会造成该路段道路堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为50千米/小时；当30≤x≤180时，车流速度υ是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0＜x≤180时，求函数υ（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多少时，车流量（单位时间内通过隧道内某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•υ（x）可以达到最大，并求出最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，当0≤x≤30时，v（x）=50；当30≤x≤180时，设v（x）=ax+b，由已知可得，解得．所以函数υ（x）=（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=当0≤x≤30时，f（x）=50x为增函数，∴当x=30时，其最大值为1500．当30≤x≤180时，f（x）=﹣x2+60x=﹣（x﹣90）2+2700，当x=90时，其最大值为2700，综上，当车流密度为90辆/千米时，车流量最大，最大值为2700辆．21．（12.00分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、M、N分别是AB、AA1、BC1的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABC；（Ⅱ）再若AC=BC，BB1=AB，试在BB1上找一点F，使A1B⊥平面CDF，并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接A1H（H为B1C1的中点），由M、N分别为AA1、BC1的中点可得，MN∥A1H，又∵A1H⊂平面A1B1C1，MN⊄平面A1B1C1，∴MN∥平面A1B1C1．∴由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，从而有MN∥平面ABC；（Ⅱ）解：作DE⊥A1B交A1B于E，延长DE交BB1于F，连接CF，则A1B⊥平面CDF，点F即为所求．∵CD⊥平面AA1B1B，A1B⊂平面AA1B1B，∴CD⊥A1B．又A1B⊥DF，DF∩CD=D，∴A1B⊥平面CDF．∴此时点F为靠近B的四等分点．22．（12.00分）已知圆M的圆心在x轴上，半径为1，直线l：y=3x﹣1被圆M 所截得的弦长为，且圆心M在直线l的下方．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设A（0，t），B（0，t+4）（﹣3≤t≤﹣1），过A，B两点分别做圆M的一条切线，相交于点C，求由此得到的△ABC的面积S的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）设M（a，0）由题设知，M到直线l的距离是d=，l被圆M所截得的弦长为，则2=，解得d=，由=，解得a=1或﹣，由圆心M在直线l的下方，则a=1，即所求圆M的方程为（x﹣1）2+y2=1；（Ⅱ）设过A（0，t）的切线为y=kx+t，由直线和圆相切的条件：d=r=1，可得=1，解得k=，即切线方程为y=x+t①同理可得过B的切线方程为y=x+t+4②，由①②解得交点C（，），由﹣3≤t≤﹣1，则1≤4+t≤3，t++4∈[，2]，又|AB|=4+t﹣t=4，则△ABC的面积为S=|AB|•=4=4（1﹣），由﹣3≤t≤﹣1，可得t2+4t+1=（t+2）2﹣3∈[﹣3，﹣2]，则当t=﹣2时，△ABC的面积S取得最小值，且为；当t=﹣1或﹣3时，S取得最大值，且为6．。

最新版辽宁省大连市高一数学上学期期末考试试题

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2015—2016学年度上学期期末考试高一数学考试时间：120分钟 试卷分数：150分卷Ⅰ一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.已知M ,N 为集合I 的非空真子集，且M ,N 不相等，若 N ð=M I ∅，则M N = ( ) A.M B.N C.I D.∅ 2.与直线320x y －＝的斜率相等，且过点(－4,3)的直线方程为 ( ) A ．3y －＝-32(4)x ＋B ．3y ＋＝32(4)x －C ．3y －＝32(4)x ＋D ．3y ＋＝－32(4)x －3. 已知过点(2)M a －，和(4)N a ，的直线的斜率为1，则实数a 的值为 ( ) A ．1 B ．2 C ．1或4D ．1或24. 已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半 径为 （ ）A ．2 C 15. 在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为 ( ) ①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直； ②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β； ③若直线l 与平面内的无数条直线垂直，则l ⊥α； ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线； A ．3 B ．2 C ．1 D ．06. 已知函数(lg )f x 定义域是[]0.1,100，则函数()2xf 的定义域是 （ ） A ．[]1,2- B ．[]2,4- C ．[]0.1,100 D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7. 直线10l ax y b ：－＋＝，20l bx y a ：－＋＝(00)a b a b ≠≠≠，，在同一坐标系中的图形大致是图中的（ ）8. 设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为12,S S ，体积为12,V V ，若它们的侧面积相等且1294S S =，则12VV 的值是 （ ） A ．23 B ．32 C ．43 D ．949．设函数1222,0(),0x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，如果0()1f x >，则0x 的取值范围是 （ ）A. 01x <-或01x >B.20log 31x -<<C. 01x <-D. 02log 3x <-或01x > 10．已知函数1()42x x f x a +=--没有零点，则实数a 的取值范围是 ( )A ．1a <-B ．0a ≤C ．0a ≥D ．1a ≤-11．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-.则（ ）A.60.50.7(0.7)(log 6)(6)f f f <<B. 60.50.7(0.7)(6)(log 6)f f f <<C. 60.50.7(log 6)(0.7)(6)f f f <<D. 0.560.7(log 6)(6)(0.7)f f f << 12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各个面中，直角三角形的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）．．13.已知增函数[]3(),1,1f x x bx c x =++∈-，且11()()022f f -<，则()f x 的零点的个数为FCAC 1A 114. 已知22,2()46,2x ax xf x x x ⎧-≥=⎨-<⎩在定义域R 上是增函数，则a 的取值范围是15. 直线(1)210a x y a --++=恒过定点 16. 高为4的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为三、解答题（17题10,其余每题12分）17．已知一个空间组合体的三视图如图所示，其中正 视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，请说出该组合 体由哪些几何体组成，并且求出该组合体的表面 积和体积18．已知偶函数()f x 的定义域为R ,且在(),0-∞上是增函数，试比较3()4f -与2(1)f a a -+的大小。