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2020高考数学 高考模拟试卷(二)(时间：150分钟 满分：200分)数学Ⅰ试题一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1.已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|kx －y －2≤0}，其中x ，y ∈R .若A ⊆B ，则实数k 的取值范围是________. 答案 [－3， 3 ]解析 要使A ⊆B ，只需直线kx －y －2＝0与圆相切或相离，所以圆心到直线的距离d ＝21＋k 2≥1，解得－3≤k ≤ 3. 2.函数y ＝lg(3x ＋1)＋12－x的定义域是________. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－13且x ≠2 解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0，2－x ≠0，解得x >－13且x ≠2，故函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－13且x ≠2. 3.如图所示的茎叶图(图一)为高三某班50名学生的数学考试成绩，(图二)的流程图中输入的a i 为茎叶图中的学生成绩，则输出m ，n 的值分别是________.(图一)(图二)答案 26,12解析 分析流程图可知，n 为50名学生中成绩在[80，100)的人数，m 为50名学生中成绩在[60,80)的人数，分析茎叶图即可知n ＝12，m ＝26.4.某企业3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量比为1∶2∶1，用分层抽样的方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h ，1 020 h ，1 032 h ，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________ h. 答案 1 013解析 由于三个分厂的产量比为1∶2∶1，所以从三个分厂抽出产品数量的比例也应为1∶2∶1， 所以100件产品的使用寿命的平均值为 980×1＋1 020×2＋1 032×14＝1 013(h).5.现有红桃1,2,3和黑桃4,5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红桃的概率为________. 答案310解析 从5张中取2张共有基本事件10个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5).其中2张均为红桃的有3个：(1,2)，(1,3)，(2,3)，则所求概率为310.6.若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为__________.答案 2解析 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6＜2π3，∴f (x )max ＝2.7.在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为________. 答案 34解析 根据函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点， 得4a 2－4(π－b 2)≥0，即a 2＋b 2≥π.建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD 及其内部，使函数f (x )有零点的区域为图中阴影部分，且S 阴影＝4π2－π2＝3π2.故所求概率为P ＝S 阴影S 矩形＝3π24π2＝34.8.设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点A (a,0)，B (0，b )，已知原点到直线l的距离为34c ，则双曲线的离心率为________. 答案 2解析 如图所示，在△OAB 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OE ＝34c ， AB ＝a 2＋b 2＝c . 因为AB ·OE ＝OA ·OB ， 所以c ·34c ＝ab ，即34(a 2＋b 2)＝ab ， 两边同除以a 2，得34⎝⎛⎭⎫b a 2－b a ＋34＝0， 解得b a ＝3或b a ＝33(舍去).所以e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2.9.(2018·绍兴模拟)若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，x 2＋4y 2＋9z 2＝1，则实数z 的最小值是________. 答案 －19解析 x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＝1－2y －3z ，据此可得 (1－2y －3z )2＋4y 2＋9z 2＝1， 整理得4y 2＋(6z －2)y ＋(9z 2－3z )＝0，满足题意时上述关于y 的一元二次方程有实数根， 则Δ＝(6z －2)2－16(9z 2－3z )≥0， 整理可得(3z －1)(9z ＋1)≤0，则－19≤z ≤13.则实数z 的最小值是－19.10.在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＋2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为________. 答案255解析 S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab 1－cos 2C＝12(ab )2－(a 2＋b 2－c 2)24＝12(ab )2－(8－3c 2)24，而2ab ≤a 2＋b 2＝8－2c 2，即ab ≤4－c 2， 所以S △ABC ≤12(4－c 2)2－(8－3c 2)24＝14c 2(16－5c 2) ≤14×5c 2＋(16－5c 2)25＝255， 当且仅当a ＝b ，c 2＝85时取等号.11.设S n 为数列{a n }的前n 项和，若不等式n 2a 2n ＋4S 2n ≥λn 2a 21对任何等差数列{a n }及任何正整数n 恒成立，则λ的最大值为________. 答案 12解析 当a 1＝0时，λ∈R ；当a 1≠0时，n 2a 2n ＋4S 2n ≥λn 2a 21， 即n 2a 2n ＋4S 2n n 2a 21≥λ，所以a 2na 21＋()a 1＋a n 2a 21≥λ，所以2⎝⎛⎭⎫a n a 12＋2⎝⎛⎭⎫a n a 1＋1≥λ.即2⎝⎛⎭⎫a n a 1＋122＋12≥λ， 所以λ≤12，即λmax ＝12.12.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝DC ＝2，若E ，F 分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC →·EF →的取值范围是________.答案 [－4,6]解析 方法一 因为AC →＝AB →＋BC →，EF →＝EC →＋CF →，所以AC →·EF →＝(AB →＋BC →)·(EC →＋CF →)＝AB →·EC →＋BC →·CF →＝3|EC →|－2|CF →|. 因为E ，F 分别是线段DC 和BC 上的动点，且BC ＝DC ＝2， 所以|EC →|∈[0,2]，|CF →|∈[0,2]，所以由不等式的性质知，AC →·EF →的取值范围是[－4,6].方法二 以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则C (3,2)，因为E ，F 分别是线段DC 和BC 上的动点，且BC ＝DC ＝2， 所以可设E (x,2)，F (3，y )，且x ∈[1,3]，y ∈[0,2]， 所以AC →＝(3,2)，EF →＝(3－x ，y －2)，所以AC →·EF →＝3(3－x )＋2(y －2)＝5－3x ＋2y ∈[－4,6]， 即AC →·EF →的取值范围是[－4,6].13.四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，P A ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1，BC ∥AD ，已知Q 是四边形ABCD 内部一点，且二面角Q －PD －A 的平面角大小为π4，若动点Q 的轨迹将ABCD 分成面积为S 1，S 2(S 1<S 2)的两部分，则S 1∶S 2＝________. 答案 35－4∶4解析 以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：设Q 的轨迹与y 轴的交点坐标为Q (0，b,0)(b >0). 由题意可知A (0,0,0)，D (2,0,0)，P (0,0,1)， ∴DP →＝(－2,0,1)，DQ →＝(－2，b,0)，AD →＝(2,0,0).设平面APD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面PDQ 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DP →＝0，n 1·AD →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧n 2·DP →＝0，n 2·DQ →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1＋z 1＝0，2x 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋z 2＝0，－2x 2＋by 2＝0， 令y 1＝1，得n 1＝(0,1,0)，令z 2＝2，得n 2＝⎝⎛⎭⎫1，2b ，2， ∴n 1·n 2＝2b，|n 1|＝1，|n 2|＝5＋4b2， ∵二面角Q －PD －A 的平面角大小为π4，∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝22，即2b 5＋4b2＝22， 解得b ＝255.∴S △ADQ ＝12AD ·AQ ＝12×2×255＝255.S 四边形BCDQ ＝S 梯形ABCD －S △ADQ ＝12×(1＋2)×1－255＝32－255.∵S 1<S 2，∴S 1＝32－255，S 2＝255.∴S 1∶S 2＝35－4∶4.14.(2018·如皋调研)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2＋mx ＋12(x ∈R )，且y ＝f (x )在x ∈[0,2]上的最大值为12，若函数g (x )＝f (x )－ax 2有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为________. 答案 (0,1)解析 若m ≥0，则f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2＋mx ＋12在[0,2]上单调递增，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2＋mx ＋12有最小值12，不合题意，∴要使f (x )在[0,2]上的最大值为12，m 必然小于0，如果－m 2≥2，即m ≤－4，则f (2)＝⎪⎪⎪⎪2m ＋92≤12， 得－52≤m ≤－2，不合题意；如果－m2<2，则⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪2m ＋92≤12，⎪⎪⎪⎪12－m 24≤12，即⎩⎪⎨⎪⎧－52≤m ≤－2，－2≤m <0，解得m ＝－2，∴m ＝－2，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12， 若g (x )＝f (x )－ax 2有四个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝ax 2的图象有四个交点， 只有y ＝ax 2开口向上，即a >0，当y ＝ax 2与y ＝－⎝⎛⎭⎫x 2－2x ＋12有一个交点时， 方程ax 2＋x 2－2x ＋12＝0有一个根，由Δ＝0，得a ＝1，此时函数g (x )＝f (x )－ax 2有三个不同的零点，不合题意， 要使函数g (x )＝f (x )－ax 2有四个不同的零点， y ＝ax 2与y ＝－⎝⎛⎭⎫x 2－2x ＋12有两个交点， 则抛物线y ＝ax 2的开口要比y ＝x 2的开口大， 可得a <1，∴0<a <1，即实数a 的取值范围为(0,1). 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15.(14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，P A ＝3，∠ABC ＝120°，G 为线段PC 上的点.(1)求证：BD ⊥平面P AC ； (2)若PC ⊥平面BGD ，求PGGC的值.(1)证明 由已知得△ABC 是等腰三角形，且底角等于30°. 由AB ＝BC ，AD ＝CD ，BD ＝BD ， 得△ABD ≌△CBD ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，且∠BAC ＝30°， 所以BD ⊥AC .又因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥P A .又P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ， 所以BD ⊥平面P AC .(2)解 在△ABC 中，由余弦定理得AC ＝23，则PC ＝P A 2＋AC 2＝3＋12＝15， 因为PC ⊥平面BGD ，GD ⊂平面BGD ， 所以PC ⊥GD .在△PDC 中，PD ＝3＋7＝10，CD ＝7，PC ＝15， 设PG ＝x ，则GC ＝15－x ， 所以PD 2－PG 2＝CD 2－GC 2， 即10－x 2＝7－(15－x )2，所以PG ＝x ＝3155，GC ＝2155，所以PG GC ＝32.16.(14分)在平行四边形OABC 中，已知过点C 的直线与线段OA ，OB 分别相交于点M ，N ，若OM →＝sin θ·OA →，ON →＝cos θ·OB →，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)求sin 2θ的值；(2)记△OMN 的面积为S 1，平行四边形OABC 的面积为S ，试求S 1S 的值.解 (1)由题意得OC →＝AB →＝OB →－OA →， 所以MC →＝OC →－OM →＝OB →－OA →－sin θ·OA → ＝OB →－(1＋sin θ)·OA →.又MN →＝ON →－OM →＝cos θ·OB →－sin θ·OA →， 由M ，N ，C 三点共线，得cos θ1＝sin θ1＋sin θ，则sin θ－cos θ＝sin θ·cos θ，两边平方，得1－2sin θ·cos θ＝sin 2θ·cos 2θ， 即sin 22θ＋4sin 2θ－4＝0，解得sin 2θ＝22－2或－22－2(舍去). 所以sin 2θ＝22－2.(2)由题意得S 1＝12|OM →|·|ON →|sin ∠AOB＝12sin 2θ·S △AOB ＝2－12S ，即S 1S ＝2－12. 17.(14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝ 1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线的距离为6 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线P A 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N .①当直线P A 的斜率为12时，求△FMN 的外接圆的方程；②设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△APQ 的面积的最大值.解 (1)由题意，得⎩⎨⎧c a ＝22，c ＋a2c ＝62，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝22，则b ＝22，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由题可设直线P A 的方程为y ＝k (x ＋4)，k ＞0， 则M (0,4k )，所以直线FN 的方程为y ＝224k (x －22)，则N ⎝⎛⎭⎫0，－2k . ①当直线P A 的斜率为12，即k ＝12时，M (0,2)，N (0，－4)，F (22，0)，因为MF ⊥FN ，所以圆心为(0，－1)，半径为3， 所以△FMN 的外接圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝9. ②联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋4)，x 216＋y 28＝1，消去y 并整理，得(1＋2k 2)x 2＋16k 2x ＋32k 2－16＝0，解得x 1＝－4或x 2＝4－8k 21＋2k 2，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－8k 21＋2k 2，8k 1＋2k 2， 直线AN 的方程为y ＝－12k(x ＋4)，同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－41＋2k 2，－8k 1＋2k 2，所以P ，Q 关于原点对称，即PQ 过原点. 所以△APQ 的面积S ＝12OA ·(y P －y Q )＝2×16k 1＋2k2＝322k ＋1k ≤82， 当且仅当2k ＝1k ，即k ＝22时，等号成立.所以△APQ 的面积的最大值为8 2.18.(16分)如图，ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为90米的底面为扇形小山(P 为圆弧TS 上的点)，其余部分为平地.今有开发商想在平地上建一个两边落在BC 及CD 上的长方形停车场PQCR .(1)设∠P AB ＝θ，试将矩形PQCR 面积表示为θ的函数；(2)求停车场PQCR 面积的最大值及最小值.解 (1)S 矩形PQCR ＝f (θ)＝(100－90cos θ)(100－90sin θ) ＝8 100sin θcos θ－9 000(sin θ＋cos θ)＋10 000 , θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (2)由(1)知S 矩形PQCR ＝f (θ)＝8 100sin θcos θ－9 000·(sin θ＋cos θ)＋10 000 ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. 令sin θ＋cos θ＝t ，则t ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4∈[1，2]. ∴S 矩形PQCR ＝8 1002t 2－9 000t ＋10 000－8 1002， 当t ＝109时，S 矩形PQCR 取得最小值950(m 2)，当t ＝2时，S 矩形PQCR 取得最大值14 050－9 0002(m 2).答 停车场面积的最大值和最小值分别为14 050－9 0002(m 2)和950(m 2).19.(16分)对于数列{a n }，记Δa n ＝a n ＋1－a n ，Δk ＋1a n ＝Δk a n ＋1－Δk a n ，k ，n ∈N *，则称数列{Δk a n }为数列{a n }的“k 阶差数列”. (1)已知Δa n ＝⎝⎛⎭⎫－12n . ①若{a n }为等比数列，求a 1的值；②设t 为任意正数，证明：存在k ∈N *，当n >m ≥k ，n ∈N *，m ∈N *时总有|a n －a m |≤t ； (2)已知Δ2a n ＝3n －2，若a 1＝1，且a n ≥a 3对n ∈N *恒成立，求a 2的取值范围. (1)①解 因为a 2＝a 1＋Δa 1＝a 1－12，a 3＝a 2＋Δa 2＝a 1－14，且{a n }为等比数列，所以a 22＝a 1·a 3，即⎝⎛⎭⎫a 1－122＝a 1⎝⎛⎭⎫a 1－14， 解得a 1＝13，当a 1＝13时，当n ≥2时，a n ＝Δa n －1＋…＋Δa 1＋a 1＝⎝⎛⎭⎫－12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n －11－⎝⎛⎭⎫－12＋13＝13·⎝⎛⎭⎫－12n －1. 当n ＝1时，符合上式， 所以{a n }为等比数列，即a 1＝13.②证明 因为a n －a m ＝Δa n －1＋…＋Δa m＝⎝⎛⎭⎫－12m ⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n －m 1－⎝⎛⎭⎫－12＝23·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－12m －⎝⎛⎭⎫－12n ， 所以|a n －a m |＝23·⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫－12n －⎝⎛⎭⎫－12m ≤23·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12n ＋⎝⎛⎭⎫12m ≤43·⎝⎛⎭⎫12m ， 令43·⎝⎛⎭⎫12m ≤t ，则m ≥log 243t， 故k 可取不小于log 243t 的正整数，则对任意n >m ≥k ，n ∈N *，m ∈N *，|a n －a m |≤43·⎝⎛⎭⎫12m ≤t .(2)解 因为Δa n ＝Δ2a n －1＋…＋Δ2a 1＋Δa 1 ＝3(1－3n －1)1－3－2(n －1)＋Δa 1＝3n 2－2n ＋12＋Δa 1 ＝3n 2－2n ＋a 2－12. 由Δ2a n ＝3n －2>0知，{Δa n }是递增的. 所以a n ≥a 3对n ∈N *恒成立，当且仅当满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δa 2＝a 3－a 2≤0，Δa 3＝a 4－a 3≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤0，a 2＋7≥0， 解得－7≤a 2≤0.所以a 2的取值范围是[－7,0].20.(16分)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，g (x )＝－ln x .(1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线；(2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，讨论h (x )零点的个数.解 (1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0,0)， 则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0，解得x 0＝12，a ＝－34.因此，当a ＝－34时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线.(2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0， 从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0， 故h (x )在(1，＋∞)上无零点. 当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋54≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0，故x ＝1是h (x )的零点；若a <－54，则f (1)<0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)<0，故x ＝1不是h (x )的零点.当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x >0. 所以只需考虑f (x )在(0,1)上的零点个数.①若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0,1)上无零点，故f (x )在(0,1)上单调.而f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当a ≤－3时，f (x )在(0,1)内有一个零点；当a ≥0时，f (x )在(0,1)上没有零点.②若－3<a <0，则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－a 3，1上单调递增，故在(0,1)中，当x ＝－a3时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 3＝2a3－a 3＋14. (ⅰ)若f ⎝⎛⎭⎫－a 3>0，即－34<a <0，f (x )在(0,1)上无零点； (ⅱ)若f ⎝⎛⎭⎫－a 3＝0，即a ＝－34，则f (x )在(0,1)上有唯一零点； (ⅲ)若f ⎝⎛⎭⎫－a 3<0，即－3<a <－34， 由于f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当－54<a <－34时，f (x )在(0,1)上有两个零点；当－3<a ≤－54时，f (x )在(0,1)上有一个零点.综上所述，当a >－34或a <－54时，h (x )有一个零点；当a ＝－34或a ＝－54时，h (x )有两个零点；当－54<a <－34时，h (x )有三个零点.数学Ⅱ(附加题)21.[选做题](本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)A.(10分)[选修4－1：几何证明选讲]如图，P A 是圆O 的切线，A 为切点，PO 与圆O 交于点B ，C ，AQ ⊥OP ，垂足为Q .若P A ＝4，PC ＝2，求AQ 的长.解 如图，连结AO .设圆O 的半径为r .因为P A 是圆O 的切线，PB 是圆O 的割线， 所以P A 2＝PC ·PB . 因为P A ＝4，PC ＝2，所以42＝2×(2＋2r )，解得r ＝3.所以PO ＝PC ＋CO ＝2＋3＝5，AO ＝r ＝3.由P A 是圆O 的切线得P A ⊥AO ，所以△APO 是直角三角形. 因为AQ ⊥PO ，由面积法可得12AQ ·PO ＝12AP ·AO ，所以AQ ＝AP ·AO PO ＝4×35＝125.B.(10分)[选修4－2：矩阵与变换] 曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1在二阶矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1a b 1的作用下变换为曲线x 2－2y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求M 的逆矩阵M －1.解 (1)设P (x ，y )为曲线x 2－2y 2＝1上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎡⎦⎤1 a b 1 ⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎡⎦⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋ay ′，y ＝bx ′＋y ′，代入x 2－2y 2＝1得(x ′＋ay ′)2－2(bx ′＋y ′)2＝1得(1－2b 2)x ′2＋(2a －4b )x ′y ′＋(a 2－2)y ′2＝1，及方程x 2＋4xy ＋2y 2＝1，从而⎩⎪⎨⎪⎧1－2b 2＝1，2a －4b ＝4，a 2－2＝2，解得a ＝2，b ＝0.(2)因为M ＝⎪⎪⎪⎪1201＝1≠0，故M－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11 －2101 11＝⎣⎡⎦⎤1 －20 1.C.(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，求直线θ＝π4(ρ∈R )被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长.解 方法一 在ρ＝4sin θ中，令θ＝π4，得ρ＝4sin π4＝22，即弦长为2 2.方法二 以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. 直线θ＝π4(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝x ，① 曲线ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以直线θ＝π4(ρ∈R )被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长为(2－0)2＋(2－0)2＝2 2.D.(10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]. (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.(1)解 因为f (x ＋2)＝m －|x |，所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m . 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }. 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1. (2)证明 由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，又a ，b ，c ∈R＋，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.当且仅当a ＝2b ＝3c 时，等号成立. 所以a ＋2b ＋3c ≥9.[必做题](第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)22.(10分)抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率. 解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0). ∵点P (1,2)在抛物线上， ∴22＝2p ×1，解得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1).∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， ∴k P A ＝－k PB ，由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线上，得 y 21＝4x 1， ① y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1， ∴y 1＋2＝－(y 2＋2)， ∴y 1＋y 2＝－4， 直线AB 的斜率 k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2＝－44＝－1(x 1≠x 2).23.(10分)已知函数f 0(x )＝x (sin x ＋cos x )，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *. (1)求f 1(x )，f 2(x )的表达式；(2)写出f n (x )的表达式，并用数学归纳法证明. 解 (1)因为f n (x )为f n －1(x )的导数，所以f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x ＋cos x )＋x (cos x －sin x ) ＝(x ＋1)cos x ＋(x －1)(－sin x )， 同理，f 2(x )＝－(x ＋2)sin x －(x －2)·cos x .(2)由(1)得f 3(x )＝f 2′(x )＝－(x ＋3)cos x ＋(x －3)sin x ， 把f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )分别改写为f 1(x )＝(x ＋1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋(x －1)·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2， f 2(x )＝(x ＋2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π2＋(x －2)·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π2， f 3(x )＝(x ＋3)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2＋(x －3)·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2，猜测f n (x )＝(x ＋n )sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2＋(x －n )·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2. (*)下面用数学归纳法证明上述等式. ①当n ＝1时，由(1)知，等式(*)成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式(*)成立，即 f k (x )＝(x ＋k )sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋(x －k )cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2， 则当n ＝k ＋1时，f k ＋1(x )＝f k ′(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋(x ＋k )cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋(x －k )·⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2 ＝(x ＋k ＋1)cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋[x －(k ＋1)]·⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2 ＝[x ＋(k ＋1)]sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k ＋12π＋[x －(k ＋1)]·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k ＋12π，即当n ＝k ＋1时，等式(*)也成立.综上所述，当n ∈N *时，f n (x )＝(x ＋n )sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2＋(x －n )·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2成立.。

2020年高考数学第二次模拟试卷（文科）一、选择题1．已知集合M＝{x|≤0}，N＝{x|x2﹣6x+5＜0}，则M∪N＝（）A．{x|1＜x＜7}B．{x|1＜x≤7}C．{x|3＜x＜5}D．{x|3≤x＜5} 2．已知i为虚数单位，若复数z满足zi＝（1﹣i）（2+i），则z＝（）A．﹣1﹣3i B．3+i C．1+3i D．﹣3+i3．从某校高三年级学生中按分层抽样的方法从男、女同学中共抽取90人进行考前心理辅导，若在女同学层次中每个个体被抽到的概率为，则高三年级总人数为（）A．560B．300C．270D．274．函数y＝A sin（ωx+φ）+b在一个周期内的图象如图（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜），则函数的解析式为（）A．y＝2sin（x+）+1B．y＝2sin（2x+）+1C．y＝2sin（x﹣）+1D．y＝2sin（2x﹣）+15．如图，在△ABC中，＝2，P是BN上一点，若＝t+，则实数t的值为（）A．B．C．D．6．若＝3，则sinθcosθ+cos2θ的值是（）A．1B．﹣C．D．﹣17．函数f（x）满足3f（x）f（y）＝f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），且f（1）＝，则f （2020）＝（）A．B．﹣C．﹣D．8．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且倾斜角为的直线与物线交于A，B两点，若|AB|＝16，则抛物线的方程为（）A．y2＝2x B．y2＝3x C．y2＝4x D．y2＝8x9．在三棱锥P﹣ABC中，AP⊥平面PBC，PA＝2PB＝2PC＝2，BC＝，则三棱锥P﹣ABC的外接球体积为（）A．3πB．C．8πD．π10．设α，β为两个平面，命题p：α∥β的充要条件是α内有无数条直线与β平行；命题q：α∥β的充要条件是α内任意一条直线与β平行，则下列说法正确的是（）A．“￢p∧￢q”为真命题B．“p∧q”为真命题C．“￢p∧q”为真命题D．“p∨￢q”为真命题11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b＝a（cos C+sin C），若a＝1，c ＝，则角C的大小为（）A．B．或C．D．或12．已知函数f（x）＝（e x﹣1）2﹣|e x﹣1|+k恰有1个零点，则k的取值集合是（）A．{k|k＜0}B．{k|0}C．{}D．{0}二、填空题13．2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有对垃圾分类或未投放到指定垃圾桶内都会被处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投收到楼下的“可回收物”、“有害垃圾、“湿垃圾”，“干垃圾”四个垃圾桶内，则该居民会被处罚的概率为．14．计算：log10+log50.25﹣（）＝．15．已知函数f（x）＝x﹣2f'（1）ln（x+1）﹣f（0）e x，则f（x）的单调递减区间为．16．过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作渐近线的垂线l，垂足为M，l与y 轴交于点P，若＝λ，且双曲线的离心率为，则λ的值为．三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，S4+S6＝31且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n﹣3a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．18．某手机生产企业为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到单价x（单位：千元）与销量y（单位：百件）的关系如表所示：单价x（千元）1 1.52 2.53销量y（百件）10876t已知＝，y i＝7．（Ⅰ）若变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（百件）关于试销单价x（千元）的线性回归方程＝x+；（Ⅱ）用（Ⅰ）中所求的线性回归方程得到与x i对应的产品销量的估计值，当销售数据（x i，y i）对应的残差满足|i﹣y i|＜0.3时，则称（x i，y i）为一个“好数据”，现从5个销售数据中任取3个，求其中“好数据”的个数至少为2个的概率．参考公式：＝＝，＝﹣．19．如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC＝4，∠ABC＝120°，E为AD的中点．现分别沿BE，EC将△ABE和△ECD折起，点A折至点A1，点D折至点D1，使得平面A1BE⊥平面BCE，平面ECD1⊥平面BCE，连接A1D1，如图2．（Ⅰ）若M、N分别为EC、BC的中点，求证：平面D1MN∥平面A1BE；（Ⅱ）求多面体A1BCD1E的体积．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过其右焦点F与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点M，且|MF|＝．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P是椭圆上的动点，且点P与点A，B 不重合，直线PA，PB与直线x＝﹣4分别交于点S，T，求证：以线段ST为直径的圆过定点Q（﹣1，0），G（﹣7，0）．21．已知函数f（x）＝e x﹣2ax﹣2a，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝0处的切线垂直于y轴，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求实数a的取值范围，并证明：（x1+1）（x2+1）＜1．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（φ为参数，0≤φ≤π），在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是ρ＝4，等边△ABC的顶点都在C2上，且点A，B，C按照逆时针方向排列，点A的极坐标为（4，）．（Ⅰ）求点A，B，C的直角坐标；（Ⅱ）设P为C1上任意一点，求点P到直线BC的距离的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝﹣x2+3﹣|x+1|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥0的解集M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若m，n∈M，求证：|m+n|≤|mn+1|．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M＝{x|≤0}，N＝{x|x2﹣6x+5＜0}，则M∪N＝（）A．{x|1＜x＜7}B．{x|1＜x≤7}C．{x|3＜x＜5}D．{x|3≤x＜5}【分析】求出集合M，N，由此能求出M∪N．解：∵集合M＝{x|≤0}＝{x|3≤x＜7}，N＝{x|x2﹣6x+5＜0}＝{x|1＜x＜5}，∴M∪N＝{x|1＜x＜7}．故选：A．2．已知i为虚数单位，若复数z满足zi＝（1﹣i）（2+i），则z＝（）A．﹣1﹣3i B．3+i C．1+3i D．﹣3+i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵zi＝（1﹣i）（2+i）＝3﹣i，∴z＝．故选：A．3．从某校高三年级学生中按分层抽样的方法从男、女同学中共抽取90人进行考前心理辅导，若在女同学层次中每个个体被抽到的概率为，则高三年级总人数为（）A．560B．300C．270D．27【分析】由题意利用分层抽样的定义，求得结果．解：设高三年级总人数为x，则由题意可得＝，∴x＝300（人），故选：B．4．函数y＝A sin（ωx+φ）+b在一个周期内的图象如图（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜），则函数的解析式为（）A．y＝2sin（x+）+1B．y＝2sin（2x+）+1C．y＝2sin（x﹣）+1D．y＝2sin（2x﹣）+1【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解：结合函数y＝A sin（ωx+φ）+b在一个周期内的图象，可得A＝＝2，b＝1，•＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2×+φ＝0，求得φ＝﹣，故函数的解析式为y＝2sin（2x ﹣）+1，故选：D．5．如图，在△ABC中，＝2，P是BN上一点，若＝t+，则实数t的值为（）A．B．C．D．【分析】根据即可得出，进而可得出，然后根据B，P，N三点共线即可得出t的值．解：∵，∴，∴，且B，P，N三点共线，∴，解得．故选：C．6．若＝3，则sinθcosθ+cos2θ的值是（）A．1B．﹣C．D．﹣1【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanθ的值，进而利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求值得解．解：∵＝＝3，∴tanθ＝﹣2，∴sinθcosθ+cos2θ＝＝＝＝﹣1．故选：D．7．函数f（x）满足3f（x）f（y）＝f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），且f（1）＝，则f （2020）＝（）A．B．﹣C．﹣D．【分析】先计算f（0），再根据恒等式寻找f（x）的周期或规律得出答案．解：取x＝1，y＝0，得3f（0）f（1）＝f（1）+f（1）＝，∴f（0）＝，取x＝n，y＝1，有3f（n）f（1）＝f（n+1）+f（n﹣1），即f（n）＝f（n+1）+f（n﹣1），同理：f（n+1）＝f（n+2）+f（n），∴f（n+2）＝﹣f（n﹣1），∴f（n）＝﹣f（n﹣3）＝f（n﹣6）所以函数是周期函数，周期T＝6，故f（2020）＝f（3×336+4）＝f（4）．∵3f（x）f（y）＝f（x+y）+f（x﹣y）令x＝y＝1，得3f2（1）＝f（2）+f（0），可得f（2）＝﹣，令x＝2，y＝1，得3f（2）f（1）＝f（3）+f（1），解得f（3）＝﹣，令x＝3，y＝1，得3f（3）f（1）＝f（4）+f（2），解得f（4）＝﹣．∴f（2020）＝﹣；故选：C．8．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且倾斜角为的直线与物线交于A，B两点，若|AB|＝16，则抛物线的方程为（）A．y2＝2x B．y2＝3x C．y2＝4x D．y2＝8x【分析】由题意可得直线AB的方程为：y＝（x﹣），与抛物线方程联立，利用韦达定理得到x A+x B＝7p，由抛物线的定义可知：|AB|＝x A+x B+p＝8p＝16，即可求出p的值，从而求出抛物线的方程．解：∵抛物线C：y2＝2px，∴P（，0），∴直线AB的方程为：y＝（x﹣），联立方程，消去y得：，∴x A+x B＝7p，由|AB|＝16，及抛物线的定义可知：|AB|＝x A+x B+p＝8p＝16，∴p＝2，∴抛物线的方程为：y2＝4x，故选：C．9．在三棱锥P﹣ABC中，AP⊥平面PBC，PA＝2PB＝2PC＝2，BC＝，则三棱锥P﹣ABC的外接球体积为（）A．3πB．C．8πD．π【分析】设三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R．由PB＝PC＝1，BC＝，根据勾股定理的逆定理可得：PB⊥PC．根据AP⊥平面PBC，可得：AP⊥PB，AP⊥PC．可得三棱锥P﹣ABC的外接球的半径与三条棱长的关系，进而得出：三棱锥P﹣ABC的外接球体积．解：设三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R．∵PB＝PC＝1，BC＝，∴PB2+PC2＝BC2，∴PB⊥PC．又AP⊥平面PBC，∴AP⊥PB，AP⊥PC．∴（2R）2＝12+12+22＝6，解得：R＝．则三棱锥P﹣ABC的外接球体积＝π×＝π．故选：D．10．设α，β为两个平面，命题p：α∥β的充要条件是α内有无数条直线与β平行；命题q：α∥β的充要条件是α内任意一条直线与β平行，则下列说法正确的是（）A．“￢p∧￢q”为真命题B．“p∧q”为真命题C．“￢p∧q”为真命题D．“p∨￢q”为真命题【分析】根据面面平行的判定方法及线面平行几何特征，可以判断P的真假；根据面面平行的定义及判定定理可得q的真假．解：如果平面内有无数条相互平行的直线都与平面平行，则两个平面不一定平行，故P 为假命题；如果平面内任意一条直线都与平面平行，由面面平行的判定定理，可得两个平面平行，故q为真命题．∴￢p∧￢q为假命题；“p∧q”为假命题；“￢p∧q”为真命题；“p∨￢q”为假命题．故选：C．11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b＝a（cos C+sin C），若a＝1，c ＝，则角C的大小为（）A．B．或C．D．或【分析】由已知结合正弦定理及和角公式进行化简可求A，然后结合正弦定理可求sin C，进而可求C．解：因为b＝a（cos C+sin C），由正弦定理可得，sin B＝sin A cos C+sin A sin C，所以sin A cos C+sin C cos A＝sin A cos C+sin A sin C，所以sin A＝cos A，即A＝，因为a＝1，c＝，由正弦定理可得，，所以sin C＝，因为c＞a，所以C＞A，故C＝．故选：B．12．已知函数f（x）＝（e x﹣1）2﹣|e x﹣1|+k恰有1个零点，则k的取值集合是（）A．{k|k＜0}B．{k|0}C．{}D．{0}【分析】函数f（x）＝（e x﹣1）2﹣|e x﹣1|+k恰有1个零点，即方程|e x﹣1|2﹣|e x﹣1|+k ＝0有一个根，令t＝|e x﹣1|，则方程化为t2﹣t+k＝0，作出函数t＝|e x﹣1|的图象，可得方程t2﹣t+k＝0有根的情况，然后分类利用根的分布分析，列关于k的不等式组求解．解：函数f（x）＝（e x﹣1）2﹣|e x﹣1|+k恰有1个零点，即f（x）＝|e x﹣1|2﹣|e x﹣1|+k恰有1个零点，也就是方程|e x﹣1|2﹣|e x﹣1|+k＝0有一个根，令t＝|e x﹣1|，则方程化为t2﹣t+k＝0．作出函数t＝|e x﹣1|的图象，要使方程|e x﹣1|2﹣|e x﹣1|+k＝0有一个根，则方程t2﹣t+k＝0有根的情况为：①两相等0根，该种情况不存在；②两相等大于等于1的根，该种情况也不存在；③一根大于等于1，而另一个小于0，此时，解得k＜0．∴k的取值集合是{k|k＜0}．故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有对垃圾分类或未投放到指定垃圾桶内都会被处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投收到楼下的“可回收物”、“有害垃圾、“湿垃圾”，“干垃圾”四个垃圾桶内，则该居民会被处罚的概率为．【分析】基本事件总数n＝4，该居民会被处罚包含的基本事件个数m＝3，由此能求出该居民会被处罚的概率．解：2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有对垃圾分类或未投放到指定垃圾桶内都会被处罚．某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投收到楼下的“可回收物”、“有害垃圾、“湿垃圾”，“干垃圾”四个垃圾桶内，基本事件总数n＝4，该居民会被处罚包含的基本事件个数m＝3，则该居民会被处罚的概率为p＝．故答案为：．14．计算：log10+log50.25﹣（）＝．【分析】由已知结合对数的运算性质及对数恒等式即可求解．解：log10+log50.25﹣（）＝2log510+log50.25﹣（）＝log5100×0.25﹣＝2﹣．故答案为：15．已知函数f（x）＝x﹣2f'（1）ln（x+1）﹣f（0）e x，则f（x）的单调递减区间为（﹣1，0]．【分析】先求导，再令x＝1，求出函数的解析式，再根据导数和函数的单调性的关系即可求出．解：∵f（x）＝x﹣2f'（1）ln（x+1）﹣f（0）e x，∴f′（x）＝1﹣2f'（1）•﹣f（0）e x，令x＝1可得f′（1）＝1﹣2f'（1）•﹣f（0）e，由f（0）＝﹣f（0），∴f（0）＝0，∴f′（1）＝1﹣f'（1），∴f′（1）＝，∴f（x）＝x﹣ln（x+1），x＞﹣1，∴f′（x）＝1﹣≤0，解得﹣1＜x≤0，故答案为：（﹣1，0]．16．过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作渐近线的垂线l，垂足为M，l与y 轴交于点P，若＝λ，且双曲线的离心率为，则λ的值为2．【分析】先利用FM与渐近线垂直，写出直线FM的方程，从而求得点P的坐标，利用|FM|＝λ|PM，求得点M的坐标，最后由点M在渐近线上，代入得a、b、c间的等式，进而变换求出离心率．解：设F（c，0），则c2＝a2+b2∵双曲线C：﹣＝1的渐近线方程为y＝±x，∴垂线FM的斜率为﹣，∴直线FM的方程为y＝﹣（x﹣c），令x＝0，得P的坐标（0，），设M（x，y），∵|FM|＝λ|PM|，∴（x﹣c，y）＝λ（﹣x，﹣y），∴x﹣c＝﹣λx且y＝﹣4y，即x＝，y＝，代入y＝x，得，即λa2＝b2，∴λa2＝c2﹣a2，∴（λ+1）a2＝c2，∴a＝c，∵e＝，∴λ＝2，故答案为：2．三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，S4+S6＝31且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n﹣3a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）由等差数列的通项公式、求和公式，以及等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）由等比数列的通项公式可得b n﹣3a n，进而得到b n，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．解：（Ⅰ）根据题意得：S4+S6＝4a1+6d+6a1+15d＝10a1+21d＝31，由a1，a3，a9成等比数列可得，∴，∴，∵d≠0，∴a1＝d＝1，∴a n＝1+（n﹣1）＝n，n∈N*；（Ⅱ）由题意可得，即b n＝3n﹣1+3a n，∴，∴T n＝b1+b2+…+b n＝（30+31+…+3n﹣1）+3（1+2+…n）＝．18．某手机生产企业为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到单价x（单位：千元）与销量y（单位：百件）的关系如表所示：单价x（千元）1 1.52 2.53销量y（百件）10876t已知＝，y i＝7．（Ⅰ）若变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（百件）关于试销单价x（千元）的线性回归方程＝x+；（Ⅱ）用（Ⅰ）中所求的线性回归方程得到与x i对应的产品销量的估计值，当销售数据（x i，y i）对应的残差满足|i﹣y i|＜0.3时，则称（x i，y i）为一个“好数据”，现从5个销售数据中任取3个，求其中“好数据”的个数至少为2个的概率．参考公式：＝＝，＝﹣．【分析】（Ⅰ）根据已知数据和参考公式计算出这两个系数即可得到回归直线方程；（Ⅱ）先算出每组数据的残差，并判断出是否为”好数据“，然后结合古典概型，分别找出基本事件和总事件的个数，即可求出概率．解：（Ⅰ）由，可得t＝4，，，，代入得，，∴回归直线方程为．（Ⅱ），，，，，共有3个“好数据”．设3个“好数据”为A，B，C，2个非“好数据”为D，E，从5个数据中选择3个的取法为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种；其中“好数据”的个数至少为2个的取法有7种，∴概率为．19．如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC＝4，∠ABC＝120°，E为AD的中点．现分别沿BE，EC将△ABE和△ECD折起，点A折至点A1，点D折至点D1，使得平面A1BE⊥平面BCE，平面ECD1⊥平面BCE，连接A1D1，如图2．（Ⅰ）若M、N分别为EC、BC的中点，求证：平面D1MN∥平面A1BE；（Ⅱ）求多面体A1BCD1E的体积．【分析】（Ⅰ）由N、M是BC和CE的中点，得MN∥BE，可得MN∥平面BEA1，再由已知结合平面与平面垂直的性质可得MD1⊥平面BCE，进一步得到MD1∥平面BEA1，然后利用平面与平面平行的判定可得平面MND1∥平面BEA1．（Ⅱ）连接BD1，作CH⊥BE于H，由（Ⅰ）得，MD1∥平面BEA1，则点D1到平面BEA1的距离d等于点M到平面BEA1的距离，等于点C到平面BEA1的距离的，再由求解．【解答】（Ⅰ）证明：∵N、M是BC和CE的中点，∴MN∥BE，又∵MN⊄平面BEA1，BE⊂平面BEA1，∴MN∥平面BEA1，∵△A1BE，△BCE，△ECD1为正三角形，∴MD1⊥CE．又∵平面ECD1⊥平面BCE，平面ECD1∩平面BCE＝CE，MD1⊂平面ECD1，∴MD1⊥平面BCE，又∵平面A1BE⊥平面BCE，MD1⊄平面BEA1，∴MD1∥平面BEA1，∵MD1∩NM＝M，NM⊂平面MND1，MD1⊂平面MND1，∴平面MND1∥平面BEA1．（Ⅱ）解：连接BD1，作CH⊥BE于H，由（Ⅰ）得，MD1∥平面BEA1，∴点D1到平面BEA1的距离d等于点M到平面BEA1的距离，等于点C到平面BEA1的距离的，∴，则．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过其右焦点F与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点M，且|MF|＝．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P是椭圆上的动点，且点P与点A，B 不重合，直线PA，PB与直线x＝﹣4分别交于点S，T，求证：以线段ST为直径的圆过定点Q（﹣1，0），G（﹣7，0）．【分析】（Ⅰ）由题意离心率，及|MF|的值求出a，b，c的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得A，B的坐标，设P的坐标，求出直线PA与x＝﹣4联立求出S的坐标，同理可得T的坐标，进而求出数量积，为0，可证得以线段ST为直径的圆过定点Q（﹣1，0），G（﹣7，0）．解：（Ⅰ）由题意和，得，又因为且a2＝b2+c2，得a＝2，c＝1，，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：设点P（m，n），则得，又设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则，，所以，∴直线PA：y＝k1（x+2），直线PB：，所以点S（﹣4，﹣2k1），，由，所以以线段ST为直径的圆过定点Q，同理，以线段ST为直径的圆过定点G．可证以线段ST为直径的圆过定点Q（﹣1，0），G（﹣7，0）．21．已知函数f（x）＝e x﹣2ax﹣2a，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝0处的切线垂直于y轴，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求实数a的取值范围，并证明：（x1+1）（x2+1）＜1．【分析】（Ⅰ）求出f'（x）＝e x﹣2a，通过切线的斜率，求解a，利用导函数为0．求解极值点即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）有两个零点x1，x2，必须有a＞0且最小值f（ln2a）＝e ln2a ﹣2aln2a﹣2a＝﹣2aln2a＜0，得到a的范围，判断函数的单调性，题目转化证明，利用分析法说明即证：h（x2）＞h（2ln2a﹣x2），令g（x）＝e x﹣e2ln2a﹣x﹣4ax﹣4aln2a（x＞ln2a），求出导函数，判断函数的单调性求解证明即可．解：（Ⅰ）f'（x）＝e x﹣2a，f'（0）＝1﹣2a＝0，∴，∴f'（x）＝e x﹣1，令f'（x）＝0⇒x＝0，f'（x）＞0⇒x＞0，f'（x）＜0⇒x＜0，∴f（x）的极小值为f（0）＝0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）有两个零点x1，x2，必须有a＞0且最小值f（ln2a）＝e ln2a﹣2aln2a﹣2a＝﹣2aln2a＜0，∴ln2a＞0，∴2a＞1，∴，又∵当x→+∞时，h（x）→+∞；当x→﹣∞时，h（x）→+∞，∴，此时，，∴，，∴，要证：（x1+1）（x2+1）＜1，即证：，即证：，即证：x1+x2＜2ln2a，即证：x1＜2ln2a﹣x2，不妨设x1＜x2，∴x1＜ln2a＜x2，∴x1＜2ln2a﹣x2＜ln2a，即证：h（x1）＞h（2ln2a﹣x2），即证：h（x2）＞h（2ln2a﹣x2），令g（x）＝（e x﹣2ax﹣2a）﹣[e2ln2a﹣x﹣2a（2ln2a﹣x）﹣2a]＝e x﹣e2ln2a﹣x﹣4ax﹣4aln2a（x＞ln2a），，当且仅当x＝ln2a时取“＝”，∴g（x）在（ln2a，+∞）上为增函数，∴g（x）＞g（ln2a）＝0，∴h（x2）＞h（2ln2a﹣x2）成立，∴（x1+1）（x2+1）＜1成立．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（φ为参数，0≤φ≤π），在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是ρ＝4，等边△ABC的顶点都在C2上，且点A，B，C按照逆时针方向排列，点A的极坐标为（4，）．（Ⅰ）求点A，B，C的直角坐标；（Ⅱ）设P为C1上任意一点，求点P到直线BC的距离的取值范围．【分析】（Ⅰ）由极坐标与直角坐标的互化公式可得A的直角坐标，画出图形，数形结合可得B与C的直角坐标；（Ⅱ）写出过BC的直线方程，点，由点到直线的距离公式写出点P到直线BC的距离，再由三角函数求最值可得点P到直线BC的距离的取值范围．解：（Ⅰ）由，且点A的极坐标为（4，），可得A点的直角坐标为，∵等边△ABC的顶点都在C2上，且点A，B，C按照逆时针方向排列，∴B点的直角坐标为（﹣4，0），C点的直角坐标为；（Ⅱ）由B（﹣4，0），C，可得BC的直线方程为，设点，则点P到直线BC的距离为，∵0≤φ≤π，∴，∴，即点P到直线BC的距离的取值范围．一、选择题23．已知函数f（x）＝﹣x2+3﹣|x+1|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥0的解集M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若m，n∈M，求证：|m+n|≤|mn+1|．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）根据分析法即可证明．解：（Ⅰ）①当x＜﹣1时，不等式f（x）≥0可化为﹣x2+2x+3≥0，解得：﹣1≤x≤3，故此时x无解；②当﹣1≤x≤1时，不等式f（x）≥0可化为﹣x2+1≥0，解得：﹣1≤x≤1，故有﹣1≤x≤1；③当x＞1时，不等式f（x）≥0可化为﹣x2+2x﹣3≥0，解得：﹣3≤x≤1，故此时x无解；综上，不等式f（x）≥0的解集M＝{x|﹣1≤x≤1}．（Ⅱ）要证|m+n|≤|mn+1|，即证|m+n|2≤|mn+1|2，即证m2+2mn+n2≤m2n2+2mn+1，即证m2+n2≤m2n2+1，即证m2n2﹣m2﹣n2+1≥0，即证（m2﹣1）（n2﹣1）≥0，∵m，n∈M，∴m2﹣1≤0，n2﹣1≤0，∴（m2﹣1）（n2﹣1）≥0成立．∴|m+n|≤|mn+1|成立．。