北京大学附属中学2021届上学期高三阶段性检测数学试题

北京市北京工业大学附属中学2024-2025学年高二上学期10月阶段性检测数学试题一、单选题1．直线10x y +-=的倾斜角是（ ） A ．π4B ．π3C ．3π4D ．2π32．若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．(0，＋∞) B ．(0，2)C ．(1，＋∞)D ．(0，1)3．过点)，且与椭圆2212516y x +=有相同焦点的椭圆的标准方程为（ ）A ．221189x y +=B ．221189y x +=C ．221123x y +=D ．221123y x +=4．已知点()()1,3,2,1A B --.若直线():21l y k x =-+与线段AB 相交,则k 的取值范围是（ ） A ．12k ≥ B ．2k ≤- C ．12k ≥或2k ≤- D ．122k -≤≤5．已知圆的一条直径的端点分别是()1,0A -，()3,4B -，则该圆的方程为（ ） A ．()()22128x y ++-= B ．()()22128x y -++= C ．()()221232x y ++-=D ．()()221232x y -++=6．若椭圆22194x y +=的弦AB 被点()1,1P 平分，则AB 所在直线的方程为（ ）A ．49130x y +-=B ．94130x y +-=C ．230x y +-=D ．340x y +-=7．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP V 面积的取值范围是（ ）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．D ．⎡⎣8．直线y =与圆22(1)1x y -+=的位置关系是( ) A ．相交但直线不过圆心 B ．相切C ．相离D ．相交且直线过圆心9．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=10．吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆22221y x a b +=（0,0y a b ≥>>且为常数）和半圆()2220x y b y +=<组成的曲线C 如图2所示，曲线C 交x 轴的负半轴于点A ，交y 轴的正半轴于点G ，点M是半圆上任意一点，当点M 的坐标为12⎫-⎪⎪⎝⎭时，AGM V 的面积最大，则半椭圆的方程是（ ）A ．()2241032x y y +=≥B ．()22161093x y y +=≥C ．()22241033x y y +=≥D ．()22421033x y y +=≥11．油纸伞是中国传统工艺品，使用历史已有1000多年.以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面.油纸伞是世界上最早的雨伞，纯手工制成，全部取材于天然，是中国古人智慧的结晶.在某市开展的油纸伞文化艺术节中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子，此时阳光照射方向与地面的夹角为75°，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则该椭圆的长轴长为（ ）A B C ． D 12．已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1 a >b >0 的左，右焦点分别为12,F F ，过点1F 垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，2π4,3AB AF B =∠=，若点P 是椭圆C 上的动点，则下列说法错误的是（ ）A ．12cos F PP ∠的最小值为13-B ．12PF F V 的面积的最大值为C ．12PF PF ⋅u u u r u u u u r的取值范围为[]3,6D ．C 上有且只有4个点P ，使得12PF P V 是直角三角形二、填空题13．两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点为. 14．点()2,0P 关于直线l ：10x y ++=的对称点Q 的坐标为.15．直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=. 16．已知12,F F 分别为椭圆()222:109x y C b b+=>的左，右焦点，52,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为C 上一点，12PF F V 内切圆的半径为．17．把半椭圆：()222210x y x a b+=≥和圆弧：()()22210x y a x -+=<合成的曲线称为“曲圆”，其中点()10F ,是半椭圆的右焦点，12,A A 分别是“曲圆”与x 轴的左、右交点，12,B B 分别是“曲圆”与y 轴的上、下交点，已知012120B FB ∠=，过点F 的直线与“曲圆”交于,P Q 两点，则半椭圆方程为（0x ≥），1A P Q V 的周长的取值范围是.三、解答题18．已知ABC V 顶点()1,2A 、()3,1B --、()3,3C -． (1)求边BC 的垂直平分线1l 的方程；(2)若直线2l 过点A ，且2l 的纵截距是横截距的2倍，求直线2l 的方程．19．已知圆C ：()()22124x y -+-=. (1)求过点()3,1M 的圆C 的切线方程；(2)若直线40ax y -+=与圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为a 的值.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>长轴长为4，且椭圆C 其左右焦点分别为12,F F ．(1)求椭圆C 的方程；(2)设斜率为2F 的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点，求1F PQ V 的面积．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，124F F =，且a ．（1）求C 的方程．（2）若A ，B 为C 上的两个动点，过2F 且垂直x 轴的直线平分2AF B ∠，证明：直线AB 过定点．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且椭圆C 经过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）已知过点()4,0P 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，与直线1x =交于点Q ，设AP PB λ=u u u r u u u r，(,)AQ QB μλμ=∈R u u u r u u u r ，求证：λμ+为定值．。

北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣，则M N = （）A ．{21}x x -≤<∣B ．{21}x x -<≤∣C ．{2}xx ≥-∣D ．{1}xx <∣2．设ln 2a =，cos 2b =，0.22c =，则（）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．b a c<<D ．a b c <<3．设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．将y =cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，所得图象的函数解析式为（）A ．sin 2y x =B ．cos 2y x =C ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．已知函数()21xf x =-，则不等式()f x x ≤的解集为（）A ．(],2-∞B ．[]0,1C ．[)1,+∞D ．[]1,26．设函数()e ln x f x x =-的极值点为0x ，且0x M ∈，则M 可以是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,47．在ABC V 中，90,4,3C AC BC =︒==，点P 是AB 的中点，则CB CP ⋅=（）A ．94B ．4C ．92D ．68．已知{}n a 是递增的等比数列，其前n 项和为*(N )n S n ∈，满足26a =，326S =，若2024n n S a +>，则n 的最小值是（）A ．6B ．7C ．9D ．109．设R c ∈，函数(),0,22,0.x x c x f x c x -≥⎧=⎨-<⎩若()f x 恰有一个零点，则c 的取值范围是（）A ．()0,1B ．{}[)01,+∞ C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．{}10,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式．如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab 个小球，第二层有(1)(1)a b ++个小球，第三层有(2)(2)a b ++个小球……依此类推，最底层有cd 个小球，共有n 层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为[(2)(2)()]6n b d a d b c c a ++++-．若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题11．若复数4i1iz =-，则复数z 的模z =．12．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若16a =，260a a +=，则8S =．13．在ABC V 中，222a cb +=+．则B ∠的值是；cos y A C =+的最大值是．14．设函数()()()11,1,lg 1.x a x x f x x a x ⎧-++<=⎨-≥⎩①当0a =时，((10))f f =；②若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是．15．已知函数()222f x x x t =-+，()e xg x t =-.给出下列四个结论：①当0t =时，函数()()y f x g x =有最小值；②t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =在区间[)1,+∞上单调递增；③t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =+没有最小值；④t ∃∈R ，使得方程()()0f x g x +=有两个根且两根之和小于2.其中所有正确结论的序号是.三、解答题16．如图，在ABC V 中，2π3A ∠=，AC ，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，CD =(1)求ADC ∠的值；(2)求BC 的长度；(3)求BCD △的面积．17．已知函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的最小正周期为π．(1)若2A =，(0)1f =，求ϕ的值；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定()f x 的解析式，并求函数()()2cos 2h x f x x =-的单调递增区间．条件①：()f x 的最大值为2；条件②：()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；条件③：()f x 的图象经过点π12⎛ ⎝．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．18．为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了20152023-年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．年份201520162017201820192020202120222023产量万台 3.37.213.114.818.723.736.644.343.0销量万台6.98.713.815.414.015.627.129.731.6记20152023-年工业机器人产量的中位数为a ，销量的中位数为b ．定义产销率为“100%=⨯销量产销率产量”．(1)从20152023-年中随机取1年，求工业机器人的产销率大于100%的概率；(2)从20202318-年这6年中随机取2年，这2年中有X 年工业机器人的产量不小于a ，有Y 年工业机器人的销量不小于b ．记Z X Y =+，求Z 的分布列和数学期望()E Z ；(3)从哪年开始的连续5年中随机取1年，工业机器人的产销率超过70%的概率最小．结论不要求证明19．已知椭圆2222:1x y E a b+=过点()2,1P -和()Q .(1)求椭圆E 的方程；(2)过点()0,2G 作直线l 交椭圆E 于不同的两点,A B ，直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交y 轴于点N .若2GM GN ⋅=，求直线l 的方程.20．已知函数()ln ()x a f x x-=．(1)若1a =，求函数()f x 的零点：(2)若1a =-，证明：函数()f x 是0,+∞上的减函数；(3)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行，求a 的值．21．已知()12:,,,4n n A a a a n ≥ 为有穷数列．若对任意的{}0,1,,1i n ∈- ,都有11i i a a +-≤（规定0n a a =）,则称n A 具有性质P ．设()(){},1,22,1,2,,n i j T i j a a j i n i j n =-≤≤-≤-= ．(1)判断数列45:1,0.1, 1.2,0.5,:1,2,2.5,1.5,2A A --是否具有性质P ？若具有性质P ,写出对应的集合n T ;(2)若4A 具有性质P ,证明:4T ≠∅;(3)给定正整数n ,对所有具有性质P 的数列n A ,求n T 中元素个数的最小值．。

北大附中2024届高三阶段性检测数学2022.10一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{2,1,2}A =-,{|(2)(1)0}B x x x =+-≤，则A B ⋂=（）A.(2,1)-B.[2,1]- C.{2,1}- D.{2,1,2}-【答案】C 【解析】【分析】先解一元二次不等式化简B ，再根据交集的概念可求出结果.【详解】由(2)(1)0x x +-≤，得21x -≤≤，所以[2,1]B =-，因为{2,1,2}A =-，所以A B ⋂={2,1}-.故选：C2.命题“0x ∀≤，sin 1x ≤”的否定是（）A.0,sin 1x x ∃≤>B.1x x ∃>≤ C.0,sin 1x x ∀≤> D.0,sin 1x x ∀>≤【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题的否定判断即可.【详解】“0x ∀≤，sin 1x ≤”的否定是“0x ∃≤，sin 1x >”.故选A.3.下列函数中既是增函数又是奇函数的是（）A.1()f x x=- B.3()f x x = C.()2xf x = D.()ln f x x=【答案】B 【解析】【分析】由幂函数、指数函数、对数函数的奇偶性与单调性即可求解.【详解】解：对A ：1()f x x=-是奇函数，在(),0-∞和()0,+∞上单调递增，但在定义域为没有单调性，故错误；对B ：3()f x x =是奇偶性，在R 上单调递增，故正确；对C ：()2x f x =不具有奇偶性，是增函数，不符合题意；对D ：()ln f x x =不具有奇偶性，是增函数，不符合题意；故选：B4.已知角α的终边为射线(0)y x x =≤，则下列正确的是（）A.54πα=B.cos 2α=C.tan 12πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D.sin 14πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由题知角α的集合为5=+2,Z 4k k πααπ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭，再结合诱导公式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为角α的终边为射线(0)y x x =≤，所以，角[]0,2απ∈时，54πα=，所以，角α的集合为5=+2,Z 4k k πααπ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故A 选项错误；所以，5cos cos 242k παπ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，故B 选项错误；53tan tan 2tan 12424k ππππαπ⎛⎫⎛⎫+=++==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 选项正确；53sin sin 2sin 14442k ππππαπ⎛⎫⎛⎫+=++==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 选项错误.故选：C5.已知函数()=e e x x f x --，则下列说法错误的是（）A.()f x 有最大值B.()f x 有最小值C.00x ∃≠，使得()()00f x f x -=D.x ∀∈R ，都有()()f x f x -=-【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数的单调性得到()f x 的最值情况，即可判断AB 选项；根据()()f x f x -=-、()0=0f 和函数的单调性判断CD 即可.【详解】根据()e e x x f x -=-得()f x 在定义域内单调递增，所以()f x 没有最大值也没有最小值，故AB 错；()()()x x x x f x f x ---=-=--=-e e e e ，故D 正确；()0=0f ，()f x 在定义域内单调递增，所以当00x ≠时，()00f x ≠，又()()f x f x -=-，所以不存在00x ≠，使()()00f x f x -=，故C 错.故选：ABC.6.设ln 2a =，122b =，133c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b a c<< C.a c b<< D.c a b<<【答案】A 【解析】【分析】通过0ln 21<<，所以判断出01a <<；又对122b =，133c =进行化简，得到121628b ==，131639c ==，从而判断出a ，b ，c 的大小关系.【详解】 ln 2a =，而0ln 21<<，所以01a <<；又121628b ==，131639c ==∴令16()f x x =，而函数()f x 在(0,)+∞上递增∴1b c <<∴a b c<<故选：A7.要得到函数ln(2)y x =的图像，只需将函数ln y x =的图像（）A.每一点的横坐标变为原米的2倍B.每一点的纵坐标变为原来的2倍C.向左平移ln2个单位D.向上平移ln2个单位【答案】D 【解析】【分析】根据图象平移结合对数运算逐个分析判断.【详解】对A ：所得函数为=ln2xy ，A 错误；对B ：所得函数为=2ln y x ，B 错误；对C ：所得函数为()ln 2y x =-，C 错误；对D ：所得函数为()ln ln 2ln 2y x x =+=，D 正确；故选：D.8.ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .则“A B >”是“sin sin a A b B +>+”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据正弦定理和大边对大角，小边对小角的性质判断即可.【详解】当A B >时，根据三角形中大边对大角，小边对小角，得a b >，再根据正弦定理得sin sin A B >，所以sin sin a A b B +>+;当sin sin a A b B +>+时，根据正弦定理2sin sin a bR A B==，得()()2sin sin 2sin sin 21sin 21sin R A A R B B R A R B +>+⇒+>+，又210R +>，所以sin sin A B >，根据正弦定理得a b >，所以A B >；所以“A B >”是“sin sin a A b B +>+”的充分必要条件.故选：C.9.已知函数1π()sin 223f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像在()()11,x f x 处的切线与在()()22,x f x 处的切线相互垂直，那么12x x -的最小值是（）A.π4 B.π2C.πD.2π【答案】B 【解析】【分析】求出()f x '，根据导数的几何意义得到12ππcos(2)cos(2)133x x +⋅+=-，根据余弦函数的最值可得1πcos(2)13x +=且2πcos(2)13x +=-，或1πcos(2)13x +=-且2πcos(213x +=，分两种情况求出12x x -，然后求出其最小值即可.【详解】因为1π()sin 223f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1ππ()cos(2)2cos(2233f x x x '=+⨯=+，依题意可得12()()1f x f x ''⋅=-，所以12ππcos(2)cos(2)133x x +⋅+=-,所以1πcos(2)13x +=且2πcos(2)13x +=-，或1πcos(2)13x +=-且2πcos(213x +=，当1πcos(2)13x +=且2πcos(2)13x +=-时，11π22π3x k +=，1k Z ∈，22π22π+π3x k +=，2k Z ∈，所以1212π()π2x x k k -=--，1k Z ∈，2k Z ∈，所以1212π|||()π|2x x k k -=--，1k Z ∈，2k Z ∈，所以当120k k -=或121k k -=时，12||x x -取得最小值π2.当1πcos(213x +=-且2πcos(2)13x +=时，11π22π+π3x k +=，1k Z ∈，22π22π3x k +=，2k Z ∈，所以1212π()π2x x k k -=-+，1k Z ∈，2k Z ∈，所以1212π|||()π|2x x k k -=-+，1k Z ∈，2k Z ∈，所以当120k k -=或121k k -=-时，12||x x -取得最小值π2.综上所述：12x x -的最小值是π2.故选：B10.对于201个黑球和100个白球的任意排列（从左到右排成一行），下列说法一定正确的是（）A.存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B.存在一个白球，它右侧的黑球个数等于白球个数的三倍C.存在一个黑球，它右侧的黑球个数等于白球个数的二倍D.存在一个黑球，它右侧的黑球个数大于白球个数的二倍【答案】C【解析】【分析】ABD 选项都可以利用反例推出不成立，对于C 选项，从最右端出发，分类讨论进行证明.【详解】A 选项，从左到右先排100个白球，再排201个黑球，可知每一个白球右侧都是201个黑球，不可能个数一样，A 错误；B 选项，从左到右依次排200个黑球，100个白球，1个黑球，那么每个白球右侧都是1个黑球，黑球无法成为白球的三倍，B 错误；D 选项，从左到右，先排201个黑球，然后100个白球，第一个黑球右侧有200黑球，100个白球，恰好二倍，但从第2个黑球起，其右侧黑球数量减少，白球始终是100个，比例会小于二倍，不会超过二倍，D 错误；C 选项，若从左至右，最后一个是黑球，那么这个球右侧0黑0白，满足黑球是白球的二倍，若最后一个是白球，从右至左进行“计数”操作，当白球比黑球为1:2的形式时，视作一个组合，每计数完这样一个组合，继续向左操作，若刚结束的组合左侧为黑球，那么这个黑球就为C 选项所找，若为白球，重复上述操作，直至刚找完的组合左侧为黑球为止，由于黑球总量是白球总量的二倍多一个，所以最极端的情况是找完所有组合，黑球在最左侧第一个，总之这样的黑球可以找到.故选：C二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()ln 2y x =-的定义域为___________【答案】(),2-∞【解析】【分析】根据对数的真数大于零，可求出函数定义域.【详解】要使函数()ln 2y x =-有意义，必有20x ->，即2x <.故答案为：(),2-∞12.复数z 满足()1i 1i z +=-，=z ___________.【答案】1【解析】【分析】根据复数的四则运算可得z ，再利用模长公式直接得解.【详解】由()1i 1i z +=-，则()()()()221i 1i 1i 12i i 2ii 1i 1i 1i 1i 2z ----+-=====-++--，所以1z ==，故答案为：1.13.能够说明“若()g x 在R 上是增函数，则()xg x 在R 上也是增函数”是假命题的一个()g x 的解析式()g x =___________.【答案】x (答案不唯一，符合题意即可)【解析】【分析】根据单调性的概念分析理解.【详解】例如：()g x x =在R 上是增函数，则2()xg x x =在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，所以()xg x 在R 上不是增函数故答案为：x (答案不唯一，符合题意即可).14.已知函数2e ,0,()=2,>0x x x f x ax x x ⎧≤⎨-⎩，①当=1a -时，函数()f x 的最大值为___________.②如果()f x 存在最小值且最小值小于1e-，则实数a 的取值范围是___________.【答案】①.0；②.0<a <e.【解析】【分析】①分别求0x ≤和0x >时的最大值，然后比较大小即可；②分别求0x ≤和0x >时的最小值，让最小值小于1e-，解不等式即可.【详解】①当1a =-时，()2e ,0=2,>0x x x f x x x x ≤--⎧⎨⎩，当0x <时，0x x <e ，=0x 时，0x x =e ，所以此时()max 0f x =；当0x >时，没有最大值，且()0f x <，所以()f x 的最大值为0；②当0x ≤时，()()1e xf x x '=+，所以1x <-时，()0f x '<，()f x 递减；10x -<<时，()0f x '>，()f x 递增，所以0x ≤时，()()min 11f x f =-=-e；当0x >时，因为()f x 存在最小值且最小值小于1e -，所以>011<e a f a -⎧⎪⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得0e a <<；故答案为：①0；②0e a <<.15.生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型：()000()e rtKN N t N K N -=+-，其中0N ，r ，K 是常数，0N 表示初始时刻种群数量，r 叫做种群的内秉增长率，K 是环境容纳量.()N t 可以近似刻画t 时刻的种群数量.下面给出四条关于函数()N t 的判断：①如果03KN =，那么存在00,()2t N t N >=；②如果00N K <<，那么对任意0,()t N t K ≥<；③如果00N K <<，那么存在0,()t N t >在t 点处的导数()0N t '<；④如果002KN <<，那么()N t 的导函数()N t '在(0,)+∞上存在最大值.全部正确判断组成的序号是___________.【答案】①②④【解析】【分析】①解方程，求出2ln 2t r=，故①正确；②作差法比较大小，证明出结论；③求导，结合00N K <<，0t >，得到导函数大于0恒成立，③错误；.【详解】当03K N =时，()12e rt N t K -=+，令02212e 3rt K KN -==+，解得：2ln 2t r=，因为r 为种群的内秉增长率，0r >，所以2ln 20t r=>，①正确；()()()000000e ()e e rt rtrtK N KN N t K K N K N N K K N -----=-=+-+--，因为00N K <<，0t ≥，所以()()000e 0ert rtK N N K N K ---<+--，故对任意的0,()t N t K ≥<，②正确；()()00200e ()e rtrt N K N N t N K rK N ---'=⎡⎤+-⎣⎦，因为00N K <<，那么任意的0,()t N t >在t 点处的导数()0N t '>恒成立，故③错误；令()()()00200e ()e rtrtN K r N f N K t N t N K ---'==⎡⎤+-⎣⎦，则()()()()00003002e e e rt rtrtN K N K N N f t N K r K N ---⎡⎤--⎣⎦'=⎡-⎤+-⎣⎦因为002K N <<，令()0f t '>得：()00e0rtK N N -->-，解得：010ln K N t r N -<<，令()0f t '<得：()00e 0rtK N N --<-，解得：001ln K N t r N ->，所以()f t 在0010,lnK N rN -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在001ln ,+K N r N -∞⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，那么()N t 的导函数()N t '在(0,)+∞上存在极大值，也是最大值，④正确.故答案为：①②④【点睛】导函数研究函数的单调性，极值和最值情况，常常用来解决实际问题，本题中，函数本身较为复杂，二次求导时要保证正确率，才能把问题解决.三､解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数2()2sin(f x x x x π=--+.（1）求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）求()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【答案】（1）0（2）T π=，()max f x 【解析】【分析】（1）根据三角函数诱导公式，降幂公式，倍角公式，结合辅助角公式，可得答案；（2）根据（1）可得函数的解析式，根据周期计算公式，利用整体代入的方法，结合正弦函数的性质，可得答案.【小问1详解】2()2sin()cos f x x x x π=--1cos 22sin cos2xx x -=-sin 22x x =12sin 2cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2sin 20663f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】由（1）可知()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则22T ππ==，由5,12x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则772,363x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令23t x π=+，则()2sin g t t =，则()g t 在73,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在37,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当73t π=，即x π=时，()()max f x f π==17.已知ABC 中，222a c b ac +=+.（1）求角B ；（2）若3sin b C A ==，求ABC 的面积.【答案】（1）3π（2）332【解析】【分析】（1）利用余弦定理计算可得；（2）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出a 、c ，最后由面积公式计算可得.【小问1详解】解：因为222a c b ac +=+，所以2221cos 22a c b B ac +-==，又()0,B π∈，所以3B π=；【小问2详解】解：因为sin 3sin C A =，由正弦定理可得3c a =，又b =222a c b ac +=+，所以222293a a a +=+，解得a =c =，所以11sin 2222ABC S ac B === .18.已知函数32()f x x ax bx c =-+++.（1）从以下三个条件中选择两个作为已知，使()f x 存在且唯一确定，并求()f x 的极值点；条件：①(1)=2f ；条件②：()f x 的图像关于点(0,0)对称；条件③：()f x '是偶函数.（2）若2b a =，且()f x 在[]1,2上单调递增，求a 的取值范围.【答案】（1）选择①和②，3()3f x x x =-+，且()f x 的极小值点为1x =-，极大值点为=1x .（2）6a ≤-或2a ≥【解析】【分析】（1）化简条件①、②和③，分别选择①和②、①和③、②和③求出,,a b c ，可知只能选择①和②.再根据极值点的概念可求出结果；（2）转化为22()32(3)()f x x ax a x a x a '=-++=-+-0≥在[]1,2上恒成立，再利用二次函数图象列式，可求出结果.【小问1详解】则由条件：①(1)=2f ，可得3a b c ++=，由条件②：()f x 的图像关于点(0,0)对称，可得()f x 为奇函数，则有()()f x f x -=-，即3232x ax bx c x ax bx c +-+=---，即2+=0ax c 对R x ∈恒成立,所以0a c ==，由条件③：()f x '是偶函数，可得2()32f x x ax b '=-++为偶函数，则()()f x f x ''-=，即223232x ax b x ax b --+=-++，即40ax =对R x ∈恒成立，所以=0a ，若选①和②，由++=3==0a b c a c ⎧⎨⎩，得0a c ==，=3b ，此时3()3f x x x =-+，所以2()33f x x '=-+，由()0f x '>，得11x -<<，由()0f x '<，得1x <-或1x >，所以()f x 的极小值点为1x =-，极大值点为=1x .若选①和③，由++=3=0a b c a ⎧⎨⎩，得=0a ，3b c +=，此时()f x 不唯一确定，不符合题意；若选择②和③，由==0=0a c a ⎧⎨⎩，可知b 不确定，此时()f x 不唯一确定，不符合题意；综上所述：只能选条件：①(1)=2f ；条件②：()f x 的图像关于点(0,0)对称，此时3()3f x x x =-+，且()f x 的极小值点为1x =-，极大值点为=1x .【小问2详解】若2b a =，则322()f x x ax a x c =-+++，则22()32f x x ax a '=-++，因为()f x 在[]1,2上单调递增，所以22()32(3)()f x x ax a x a x a '=-++=-+-0≥在[]1,2上恒成立，当=0a 时，2()30f x x '=-≤，不合题意；当0a >时，由二次函数的图象可知，132a a -≤≥⎧⎪⎨⎪⎩，解得2a ≥；当0a <时，由二次函数的图象可知，123a a ≤-≥⎧⎪⎨⎪⎩，解得6a ≤-.综上所述：a 的取值范围为6a ≤-或2a ≥.19.已知函数()()sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图像如下图所示.（1）直接写出()f x 的解析式；（2）若对任意0,3s π⎡⎤∈⎢⎣⎦，存在[]0,t m ∈，满足()()f s f t =-，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()sin 33f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）1118m π≥【解析】【分析】（1）根据函数图象直接可得函数周期及ω，再代入点5,118π⎛⎫⎪⎝⎭，可得ϕ；（2）由（1）函数解析式可得()f s 的取值范围，设()f s -的取值范围为A ，()f t 的取值范围为B ，可知A B ⊆，根据函数单调性及最值情况可得参数取值范围.【小问1详解】由图象可知5231894T ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得23T π=，则23Tπω==，所以()()sin 3f x x ϕ=+，又函数图象经过点5,118π⎛⎫⎪⎝⎭，则5sin 3118f πϕ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭，解得23k πϕπ=-+，Z k ∈，又22ππϕ-<<，所以3πϕ=-，所以()sin 33f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；【小问2详解】由0,3s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得23,333s πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当332s ππ-=时，()f s 取最大值为1，当333s ππ-=-时，()f s 取最小值为32-，所以()3,12f s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()31,2f s A ⎡-∈-=⎢⎣⎦，由对任意0,3s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在[]0,t m ∈，满足()()f s f t =-，设()f t 的取值范围为B ，则A B ⊆，即32B ⎡-⊆⎢⎣⎦，又函数()sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令32,2322x k k πππππ⎡⎤-∈-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，解得252,183183x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，令332,2322x k k πππππ⎡⎤-∈++⎢⎥⎣⎦Z k ∈，解得52112,183183x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，所以函数()f x 在252,183183k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈上单调递增，在52112,183183k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈上单调递减，所以函数()f x 在50,18π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在511,1818ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；又()02f =，518f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，11118π⎫=- ⎪⎝⎭，所以1118m π≥.20.已知函数()2()1e x f x ax x -=++，其中a ∈R .（1）当=0a 时，求曲线=()y f x 在(1,(1))f --处的切线方程；（2）当0a >时，若函数()f x 在区间[1,1]-上有最小值1，求a 的取值范围；（3）当0a ≤时，直接写出函数()()e g x f x x =-零点的个数（不用说明理由）.【答案】（1）e(1)y x =+（2）[e 2,)-+∞（3）2个【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求得=1x -处的切线斜率，进而求得切线方程；（2）根据(0)1f =以及题意可知，=0x 为极小值点，结合二次函数的性质可知，另一极值点12x a =-必在=0x 右边，抓住12x a=-与=1x 的位置关系分类讨论即可求解；（3）将求()g x 的零点个数转化为探究11y ax x =++与1e x y +=的图象交点个数即可．【小问1详解】当=0a 时，()(1)e x f x x -=+，则()e (1)e e x x x f x x x ---'=-+=-，(1)e,(1)0f f '∴-=-=．所以，曲线=()y f x 在(1,(1))f --处的切线方程为e(1)y x =+．【小问2详解】当0a >时，[]()(21)e x f x x ax a -'=-+-，设()()21x x ax a ϕ=-+-，即()()e x f x x ϕ-'=，令()=0f x '，解得1210,2x x a==-，注意到(0)1f =，而函数()f x 在区间[1,1]-上有最小值1，所以，=0x 是函数()f x 的极小值点，即在=0x 附近的左侧，()0f x '<，函数()f x 单调递减，在=0x 附近的右侧，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增，因为()()21x x ax a ϕ=-+-（0a >）为二次函数，结合二次函数图象（如下图）知，所以120a ->，即12a >．①若121a-≥，即1a ≥，则函数()f x 在[)1,0-上递减，在(]0,1上单调递增，所以()f x 在区间[1,1]-上的最小值为(0)1f =，符合题意；②若1021a <-<，即112a <<，则函数()f x 在[)1,0-上递减，在10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在12,1a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上递减，因为函数()f x 在区间[1,1]-上有最小值1，而(0)1f =，所以只要2(1)1e a f +=≥，即e 2a ≥-时满足题意，又112a <<，所以，e 21a -≤<．综上，a 的取值范围为[e 2,)-+∞．【小问3详解】当0a ≤时，由()0g x =得2(1)e e x ax x x -++=，易知0x =不是函数()g x 的零点，所以，111e x ax x +++=，令11()e 1x h x ax x+=---，121()e 0x h x a x +'=-+>，()h x ∴在()(),0,0,-∞+∞上递增．当0x >时，2(1)e 20h a =-->，且0x →时，()h x →-∞，0(0,1)x ∴∃∈使得0()0h x =，即当0x >时，()0g x =有唯一零点；当0x <，易知0x →，()h x →+∞，且x →-∞时，()h x →-∞，1(,0)x ∴∃∈-∞使得1()0h x =，即0x <时，()0g x =有唯一零点，综上：函数()()e g x f x x =-零点的个数为2个．2）中，抓住函数(0)1f =，即函数过定点这条性质先缩小a 的范围，从而减少分类讨论；在小问（3）中，探究函数的零点个数一般转化为左右两个函数图象的交点个数，因此，通过图象的直观性判断出零点个数，再用数学语言表达之．21.已知集合(){}{}()12|,,0,1,1,22n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥ ，对于()()1212,,,,,,,n n n n A a a a S B b b b S =⋯∈=⋯∈，定义A 与B 之间的距离：1122(,)n n d A B a b a b a b =-+-+⋯+-.若(,)1d A B =，则称A ，B 相关，记为A B ↔.若n S 中不同的元素12,,,(2)m A A A m ⋯≥，满足1211,,,m m m A A A A A A -↔⋯↔↔，则称12,,,m A A A ⋯为n S 中的一个闭环.（1）请直接写出2S 中的一个闭环1234,,,A A A A ；（2）若12,,,m A A A ⋯为n S 中的一个闭环，证明：m 为偶数；（3）若12,,,m A A A ⋯为2023S 中的一个闭环，求m 的最大值.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）4046【解析】【分析】（1）写出集合2S ，按照(),1d A B =即可写出.（2）因为(),1d A B =，且各元素为0或1，所以若1i i A A +↔，则1i i A A +，只能有一个元素由0变为1或由1变为0，所以集合中元素有k 个1时，由0变为1的集合有+1k 个，由1变为0的集合有1k -个，即集合个数为2k ，即可得证.（3）由（2）可知，2m k =，k 的最大值为2023，可求出m 的最大值.【小问1详解】解：()()()(){}20,0,0,1,1,1,1,0S =，()()()()12340,0,0,1,1,1,1,0A A A A ====.【小问2详解】解：(){}{}()12|,,0,1,1,22n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥ ，所以不妨设()10,0,0A = ，因为(,)1d A B =，所以2A 中只有一个元素为1，其余为0，可设()21,0,0A = ，同理，()31,1,00A = ，，直至 11,11,0,,0k k A +⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，若21,k k A A ++↔则2k A +中有1k -个1，1n k -+个0，且2k k A A +≠，可设210,1,10k k A +-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，，0，直至210,0,1,0,0k k A -⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，21,k A A ↔所以2m k =，即m 为偶数；【小问3详解】由（2）可知，若12,,,m A A A ⋯为2023S 中的一个闭环，则2m k =，k 最大值为2023，所以m 最大值为4046.【点睛】思路点睛：解决本题的关键在于充分理解(),1d A B =，即前后相关的两个集合只能有一个元素由0变为1或由1变为0，所以若集合中出现k 个1，则由0变为1的集合有+1k 个，由1变为0的集合有1k -个，即可证明结论。

一中2021-2021学年第一学期高三年级阶段性检测〔一〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日数学学科一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分．，，那么___________．【答案】【解析】【分析】此题是集合A与集合B取交集。

【详解】因为，所以【点睛】交集是取两集合都有的元素。

是虚数单位)是纯虚数，那么实数的值是___________．【答案】-2【解析】【分析】此题考察的是复数的运算，可以先将复数化简，在通过复数是纯虚数得出结果。

【详解】，因为是纯虚数，所以。

【点睛】假如复数是纯虚数，那么。

3.“〞是“直线与直线互相垂直〞的___________条件〔填“必要不充分〞“充分不必要〞“充要〞或者“既不充分又不必要〞〕．【答案】充分不必要【解析】【分析】可以先通过“直线与直线互相垂直〞解得的取值范围，再通过与“〞进展比照得出结论。

【详解】因为直线与直线互相垂直，所以两直线斜率乘积为或者者一条直线与轴平行、一条与轴平行，所以或者者，解得或者者，由“〞可以推出“或者者〞，但是由“或者者〞推不出“〞，所以为充分不必要条件。

【点睛】在判断充要条件的时候，可以先将“假设A那么B〞中的A和B化为最简单的数集形式，在进展判断。

的递增区间是___________．【答案】【解析】【分析】此题可以先通过的取值范围来将函数分为两段函数，再依次进展讨论。

【详解】当时，，开口向下，对称轴为，所以递增区间是，当时，，开口向上，对称轴是，所以在定义域内无递增区间。

综上所述，递增区间是。

【点睛】在遇到带有绝对值的函数的时候，可以根据的取值范围来将函数分为数段函数，在依次求解。

5.按如下图的程序框图运行后，输出的结果是63，那么判断框中的整数的值是___________．【答案】5【解析】【分析】此题中，，可根据这几个式子依次推导出每一个A所对应的S的值，最后得出结果。

【详解】因为当时输出结果，所以【点睛】在计算程序框图时，理清每一个字母之间的关系，假如次数较少的话可以依次罗列出每一步的运算结果，最后得出答案。

2022—2023学年度第一学期高三年级数学学科12月练习一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}|0A x x =≥，{}0,1,2B =，则（）A.ABB.BAC.A B B⋃= D.A B ⋂=∅2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为A.()1,0 B.()2,0 C.()0,1 D.()0,23.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.1y x =-+ B.()21y x =- C.ln y x= D.12y x=4.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是它的前n 项和，若132,12a S ==，则4S =A.24B.20C.16D.105.已知平面向量()0,1,0a = ，130,,22b ⎛=- ⎝⎭ ，则a 与a b + 的夹角为（）A.π3B.2π3C.π6D.5π66.直线l ：10mx y m -+-=与圆C ：22(1)5x y +-=的位置关系是（）A .相交B.相切C.相离D.不确定7.定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且()()5f x f x +=.若()21f >，()3f a =，则（）A .3a <- B.3a > C.1a <- D.1a >8.已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，那么使//m α成立的一个充分条件是（）A.//m β，αβ∥B.m β⊥，αβ⊥C.m n ⊥，n α⊥，m α⊄ D.m 上有不同的两个点到α的距离相等9.我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积：曲线2(0)y x y L =≤≤绕y 轴旋转一周得几何体Z ，将Z 放在与y 轴垂直的水平面α上，用平行于平面α，且与Z 的顶点O 距离为l 的平面截几何体Z，得截面圆的面积为2l ππ=.由此构造右边的几何体1Z ：其中AC ⊥平面α，AC L =，1AA α⊂，1AA π=，它与Z 在等高处的截面面积都相等，图中EFPQ 为矩形，且PQ π=，FP l =，则几何体Z 的体积为A.2L πB.3L π C.212L πD.312L π10.在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形1111D C B A 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有A.0个B.1个C.2个D.3个二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若0.31(2a =，20.3b -=，12log 2c =，则a ，b ，c 按从大到小的顺序排列依次为______．12.圆C ：222210x y x y +--+=的圆心坐标是__________；直线l ：0x y -=与圆C 相交于A ，B 两点，则||AB =__________．13.若抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则p =_________．14.已知ABC ，6a =，给出下列结论：①若10b =，3A π=，则B 的值唯一；②若6A π=，则ABC S 有最大值；③若10b c +=，则cos A 的最小值为725.其中，所有正确的结论序号为___________.15.已知函数(2)(),1,()1, 1.x a a x x f x a x --≤=->（1）若0a =，[04],x ∈，则()f x 的值域是________；（2）若()f x 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是_________．三､解答题共4小题，共55分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.16.已知函数()()sin f x x ωϕ=+()0,ωϕπ><的图像如图所示.（1）求,ωϕ的值；（2）设()()4g x f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，求函数()g x 的单调递增区间.17.如图1，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E 分别是AC，AB 上的点，且DE∥BC，DE＝2．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C⊥CD，如图2．(1)求证：A 1C⊥平面BCDE；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．18.已知函数()1e ln xf x a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中R a ∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值；（2）当()0ln2a ∈，时，证明：()f x 存在极小值.19.已知椭圆C 的两个焦点分别为()1F ，)2F ，短轴长为2.（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）M ，D 分别为椭圆C 的左､右顶点，过M 点作两条互相垂直的直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，直线AB 是否过定点？并求出DAB 面积的最大值.2022—2023学年度第一学期高三年级数学学科12月练习一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}|0A x x =≥，{}0,1,2B =，则（）A.A BB.BAC.A B B⋃= D.A B ⋂=∅B【分析】判定出两集合的关系判断选项AB ；求得A B A ⋃=否定选项C ；求得A B ⋂≠∅否定选项D.【详解】由{}|0A x x =≥，{}0,1,2B =，可得B A故选项A 判断错误；选项B 判断正确；{}{}{}0||0,1,20A B x x x x B =⋃=≥≥≠⋃，则选项C 判断错误；{}{}{}00,1,20,1|,2A B x x ⋂=≥⋂=≠∅，则选项D 判断错误.故选：B2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为A.()1,0 B.()2,0 C.()0,1 D.()0,2B 【分析】【详解】试题分析：∵2(1i )(1i)1i 2z =+-=-=，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为()2,0.考点：复数的乘法运算、复数与复平面的点的对应关系.3.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.1y x =-+ B.()21y x =- C.ln y x= D.12y x=D【分析】利用一次函数单调性判断选项A ；利用二次函数单调性判断选项B ；化简ln y x =，则可得到单调区间，即可判断选项C ；利用幂函数单调性判断选项D.【详解】1y x =-+在区间()0,∞+上单调递减，则选项A 判断错误；()21y x =-在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增,则选项B 判断错误；ln ,1ln ln ,01x x y x x x ≥⎧==⎨-<<⎩在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增,则选项C 判断错误；12y x =在区间()0,∞+上单调递增，则选项D 判断正确故选：D4.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是它的前n 项和，若132,12a S ==，则4S =A.24 B.20C.16D.10B【分析】根据等差数列的前n 项和公式化简312S =，将12a =代入求出公差d 的值，然后由首项1a 和公差d ，利用等差数列的前n 项和公式求出4S 即可．【详解】由132,12a S ==得3132363122S a d d ⨯=+=+=解得2d =所以41434812202S a d ⨯=+=+=故选B.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，属于基础题．5.已知平面向量()0,1,0a =，10,,22b ⎛=- ⎝⎭，则a 与a b + 的夹角为（）A.π3B.2π3C.π6D.5π6A【分析】由题意可得1(0,,22a b += ，设a 与a b + 的夹角为θ，由()cos ||||a a b a a b θ⋅+=⋅+求解即可.【详解】解：因为()0,1,0a = ，130,,22b ⎛=- ⎝⎭，所以13(0,,22a b += ，设a 与a b +的夹角为θ，则1()12cos 112||||a a b a a b θ⋅+===⨯⋅+，又因为[0,π]θ∈，所以π3θ=.故选：A6.直线l ：10mx y m -+-=与圆C ：22(1)5x y +-=的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不确定A 【分析】由直线方程可得直线过定点(11)，，又点(11)，在圆内，得到答案.【详解】直线l ：10mx y m -+-=过定点(11)，，因为221(11)5+-<，则点(11)，在圆22(1)5x y +-=的内部，∴直线l 与圆相交，故选：A.7.定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且()()5f x f x +=.若()21f >，()3f a =，则（）A.3a <-B.3a > C.1a <- D.1a >C【分析】由()()5f x f x +=可知函数()f x 的周期为5，即()()23f f a -==，再结合函数()f x 为奇函数，所以()()221f f a =--=->，进而可得1a <-.【详解】因为()()5f x f x +=，所以函数()f x 的周期为5，所以()()23f f a -==，又因为函数()f x 为奇函数，所以()()221f f a =--=->，所以1a <-.故选：C.8.已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，那么使//m α成立的一个充分条件是（）A.//m β，αβ∥B.m β⊥，αβ⊥C.m n ⊥，n α⊥，m α⊄ D.m 上有不同的两个点到α的距离相等D【分析】根据直线与平面，平面与平面的关系可得.【详解】对于A 项，//m β，αβ∥则可能m α⊂，故A 不正确；对于B 项，m β⊥，αβ⊥则可能m α⊂，故B 不正确；对于C 项，m n ⊥，n α⊥，m α⊄，则//m α，故C 正确；对于D 项，m 上有不同的两个点到α的距离相等，则可能m 与α相交故选：D9.我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积：曲线2(0)y x y L =≤≤绕y 轴旋转一周得几何体Z ，将Z 放在与y 轴垂直的水平面α上，用平行于平面α，且与Z 的顶点O 距离为l 的平面截几何体Z ，得截面圆的面积为2l ππ=.由此构造右边的几何体1Z ：其中AC ⊥平面α，AC L =，1AA α⊂，1AA π=，它与Z 在等高处的截面面积都相等，图中EFPQ 为矩形，且PQ π=，FP l =，则几何体Z 的体积为A.2L πB.3L π C.212L π D.312L πC【分析】通过截面面积相等可求得BC 的长度，再利用三棱柱体积公式即可求解.【详解】由题意可知：在高为L 处，截面面积为L π，且截面面积相等11BB C C S L π∴=BC L ⇒=111212ABC A B C ABC V S L ππ-∆∴=⋅=本题正确选项：C 【点睛】本题考查空间几何体中柱体体积的求解，属于基础题.10.在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形1111D C B A 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有A.0个B.1个C.2个D.3个C【详解】因为线段D 1Q 与OP 互相平分，所以四点O ，Q ，P ，D 1共面，且四边形OQPD 1为平行四边形．若P 在线段C 1D 1上时，Q 一定在线段ON 上运动，只有当P 为C 1D 1的中点时，Q 与点M 重合，此时λ＝1，符合题意．若P 在线段C 1B 1与线段B 1A 1上时，在平面ABCD 找不到符合条件Q ；在P 在线段D 1A 1上时，点Q 在直线OM 上运动，只有当P 为线段D 1A 1的中点时，点Q 与点M 重合，此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有两个故选C.二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若0.31(2a =，20.3b -=，12log 2c =，则a ，b ，c 按从大到小的顺序排列依次为______．b ac >>【分析】可看出0.321210()1,031,log 202．-<<，从而比较出a ，b ，c 的大小．【详解】解：0.30110(()122<<=，200.30.31->=，1122log 2log 10<=；b ac ∴>>．故答案为b a c >>．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，根据单调性比较数的大小的方法．12.圆C ：222210x y x y +--+=的圆心坐标是__________；直线l ：0x y -=与圆C 相交于A ，B 两点，则||AB =__________．①.(1,1)②.2【分析】由圆的一般式方程，利用配方法，整理得圆的标准方程，可得圆心坐标与半径，根据圆心与已知直线的位置关系，可得答案.【详解】圆22:2210C x y x y +--+=，即22(1)(1)1x y -+-=，所以圆心为(1,1),半径为1,圆心(1,1)在直线:0l x y -=上,所以AB 为直径，所以2AB =.故答案为：(1,1)；2.13.若抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则p =_________．4【分析】根据双曲线顶点和抛物线焦点相关知识直接求解即可.【详解】双曲线2214x y -=右顶点坐标为()2,0，抛物线22y px =的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，所以22p=，即4p =.故答案为：414.已知ABC ，6a =，给出下列结论：①若10b =，3A π=，则B 的值唯一；②若6A π=，则ABC S 有最大值；③若10b c +=，则cos A 的最小值为725.其中，所有正确的结论序号为___________.②③【分析】利用正弦定理，余弦定理以及均值不等式逐项进行检验即可求解.【详解】对于①，因为10b =，3A π=，由正弦定理可得：sin sin a b A B =，所以5sin sin 1326b B A a ==⨯=>，所以ABC 无解，故①错误；对于②，由余项定理可得：2222cos a bc bc A =+-，也即2236(2b c bc =+≥-（当且仅当b c =时取等号）所以36(2bc ≤=+，则11sin 9(224ABC S bc A bc ==≤+ ，所以ABC S 有最大值，故②正确；对于③，由余弦定理可得：22222()232cos 122b c a b c bc a A bc bc bc+-+--===-，又因为2()252b c bc +≤=（当且仅当b c =时取等号），所以327cos 12525A ≥-=，故③正确，故答案为：②③.15.已知函数(2)(),1,()1, 1.x a a x x f x a x --≤=->（1）若0a =，[04],x ∈，则()f x 的值域是________；（2）若()f x 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是_________．①.[1,1]-②.(,0)-∞【详解】（1）因为0a =时，2,1,()1, 1.x x f x x -≤=->，01x ≤<时，210,x -≤-<14x ≤≤时，011,≤-≤所以，[04],x ∈，则()f x 的值域是[]1,1-；（2）当1a >时，没有零点；当1a =时有一个零点1x =，当01a <<时，有一个或有两个零点，当0a =时只有一个零点，当a<0时，有三个零点()2,2,1x a x a x a ===-，所以()f x 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是(),0-¥，故答案为[]1,1-，(),0-¥.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式和性质、函数的零点与方程、分类讨论思想及方程的根与系数的关系.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.三､解答题共4小题，共55分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.16.已知函数()()sin f x x ωϕ=+()0,ωϕπ><的图像如图所示.（1）求,ωϕ的值；（2）设()()4g x f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求函数()g x 的单调递增区间.（1）2ω=，2πϕ=-；（2）[,]()2828k k k Z ππππ-+∈.【分析】（1）由图象可知44T π=，则T π=，可求出2ω=，再根据图象过点(,1)2π，求出ϕ的值；（2）利用第（1）题的结果，化简()f x ，再得出()g x 的解析式，利用正弦函数的单调性，求复合函数的单调区间.【详解】解：（1）由图可知44T π=，则T π=，22πωπ∴==，图象过点(,1)2π，则2222k ππϕπ⨯+=+，()k ∈Z 22k πϕπ∴=-又ϕπ<Q ，2πϕ∴=-，故2ω=，2πϕ=-；（2）由（1）可得()sin(2)cos 22f x x x π=-=-，则()()()4g x f x f x π=-cos 2[cos 2()]4x x π=---cos 2sin 2x x =1sin 42x =由24222k x k ππππ-≤≤+，解得2828k k x ππππ-≤≤+，故函数()g x 的单调递增区间为[,]()2828k k k Z ππππ-+∈.【点睛】本题考查了由三角函数的图象求解析式，余弦型复合函数的单调区间求解问题，属于中档题.17.如图1，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E 分别是AC，AB 上的点，且DE∥BC，DE＝2．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C⊥CD，如图2．(1)求证：A 1C⊥平面BCDE；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．（1）略（2）4π(3)见解析【考点定位】此题第二问是对基本功的考查，对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答．第三问的创新式问法，难度非常大【详解】试题分析：（1）证明A 1C ⊥平面BCDE ，因为A 1C ⊥CD ，只需证明A 1C ⊥DE ，即证明DE ⊥平面A 1CD ；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A 1BE 法向量，=（﹣1，0，），利用向量的夹角公式，即可求得CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为（0，a ，0），则a ∈[0，3]，求出平面A 1DP 法向量为假设平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，则，可求得0≤a≤3，从而可得结论．（1）证明：∵CD ⊥DE ，A 1D ⊥DE ，CD∩A 1D=D ，∴DE ⊥平面A 1CD ，又∵A 1C ⊂平面A 1CD ，∴A 1C ⊥DE又A 1C ⊥CD ，CD∩DE=D∴A 1C ⊥平面BCDE（2）解：如图建系，则C （0，0，0），D （﹣2，0，0），A 1（0，0，2），B （0，3，0），E （﹣2，2，0）∴，设平面A 1BE 法向量为则∴∴∴又∵M （﹣1，0，），∴=（﹣1，0，）∴∴CM 与平面A 1BE 所成角的大小45°（3）解：设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为（0，a ，0），则a ∈[0，3]∴，设平面A 1DP 法向量为则∴∴假设平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，则，∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2∵0≤a≤3∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角．18.已知函数()1e ln x f x a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中R a ∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线e x y =-垂直，求a 的值；（2）当()0ln2a ∈，时，证明：()f x 存在极小值.（1）0a =（2）见解析【分析】（1）由题意，求得函数的导数()f x '，由()1e f '=，即可求得a 的值；（2）求得导数()f x '，得到()f x '与221ln a x x x +-+同号，构造()221ln g x a x x x =+-+，求得()g x '，求得函数()g x 在存在01(,1)2x ∈，使得()00g x =，进而得到()f x 在1(,1)2上的调性，即可作出证明.【小问1详解】()f x 的导函数为()2211121e ln e e ln x x xf x a x a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+++-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⋅⎝⋅⎭⎭⎭，依题意，有()()1e 1e f a +'==，解得0a =.【小问2详解】由()221e ln x f x a x x x ⎛⎫'=++- ⎪⋅⎝⎭及e 0x >知：()f x '与221ln a x x x++-同号.令()221ln g x a x x x =++-，则()2322x x g x x -+'==()2311x x-+.所以对任意()0,x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在()0,x ∈+∞单调递增.因为0ln2a ∈（，），所以110g a =+>（），012ln 2g a ⎛⎫ ⎪-⎝=<⎭故存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =.()f x 与()f x '在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上的情况如下：x 01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭0x ()0,1x ()f x '-0+()f x ↘极小值↗所以()f x 在区间01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间()0,1x 上单调递增.所以()f x 存在极小值()0f x .【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数问题的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.19.已知椭圆C 的两个焦点分别为()1F ，)2F ，短轴长为2.（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）M ，D 分别为椭圆C 的左､右顶点，过M 点作两条互相垂直的直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，直线AB 是否过定点？并求出DAB 面积的最大值.（1）2214x y +=，32e =（2）直线过定点，DAB 面积的最大值6425【分析】（1）根据条件求出,,a b c 的值即可；（2）联立直线方程x ty m =+和椭圆方程后利用两直线垂直可算出m ，然后利用点到直线的距离算三角形面积，利用函数性质求最值即可.【小问1详解】解：由题意得：c =22b =故可知2224a b c =+=椭圆方程为：2214x y +=，离心率为：32c e a ==【小问2详解】M ，D 分别为椭圆C 的左､右顶点又由（1）可知：(2,0)M -设直线AB 的方程为：x ty m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y 联立方程可得：22222(4)24044x ty m t y mty m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩有韦达定理可知：12224mt y y t +=-+，212244m y y t -=+又2AMB π∠=()()12121212122202()40x x y y x x x x y y ∴+++=⇒++++=又1122x ty m x ty m=+⎧⎨=+⎩ 221212(1)(2)()(2)0t y y mt t y y m ∴++++++=2222222(1)(4)24(44)(4)0t m m t mt m m t +---++++=展开后整理得：2516120m m ++=，解得：65m =-或2m =-（舍去）65x ty ∴=-直线恒过定点6(,0)5-()()122122125464254t y y t y y t ⎧+=⎪+⎪∴⎨⎪=-⎪+⎩12216322564(2)25254DAB S y y t =+-==⋅+V 令(8)u u =≥则2232323236642536425DAB u u S u u u u =⋅==-+++△由对勾函数的单调性可知：363625882u u +≥+=所以6425DAB S ≤V ，当且仅当8u =，即0=t 时取等号此时DAB S 的最大值为：6425。

北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期统练1数学试题一、单选题1．已知集合(){}2log 12A x x =+<，{}22530B x x x =--≤，则A B =U （ ）．A ．132x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭B ．{}13x x -<≤C ．132x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭D ．{}3x x ≤2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是 A ．()ln ||f x x = B ．()2-=x f x C ．3()f x x =D ．2()f x x =-3．已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>4．为了得到函数2log (22)y x =-的图象，只需把函数2log y x =的图象上的所有点（ ） A ．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 B ．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 C ．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 5．设x R ∈且0x ≠,则“1x >”是“12x x+>”成立的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知22{R |240}A x x mx m =∈++-<，{N |||1}B x x =∈<，且A B B =I ，那么实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,1)-B ．[1,1]-C ．(2,2)-D ．[2,2]-7．设函数()f x x x =，则不等式()()332log 3log 0f x f x +-<的解集是（ ）A ．1,2727⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,27⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,27D ．()27,+∞8．若函数2()()x f x ax bx e =+的图像如图所示，则实数,a b 的值可能为A ．1,2a b ==B ．1,2a b ==-C ．1,2a b =-=D ．1,2a b =-=-9．德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率y 随时间t （小时）变化的趋势可由函数0.2710.6y t =-近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（ ）（参考数据：lg20.30,lg30.48≈≈） A ．2小时B ．0.8小时C ．0.5小时D ．0.2小时10．已知函数2,0,()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩当1324m ≤<时，方程1()8f x x m =-+的根的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．计算1ln1lg 2lg 3lg54+-+=．12．已知方程221)42(0x m x m -+-=+的两根一个比2大另一个比2小，则实数m 的范围是．13．若不等式20ax bx c --<的解集是{23}xx <<∣，则不等式20cx bx a -->的解集为． 14．已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[0，3]上的最大值为2，则t =15．已知函数()e 2x f x =-，()2g x x ax =+（a ∈R ），()21h x kx k =-+（k ∈R ），给出下列四个命题，其中真命题有．（写出所有真命题的序号） ①存在实数k ，使得方程()()f x h x =恰有一个根；②存在实数k ，使得方程()()f x h x =恰有三个根；③任意实数a ，存在不相等的实数12,x x ，使得()()()()1212f x f x g x g x -=-； ④任意实数a ，存在不相等的实数12,x x ，使得()()()()1221f x f x g x g x -=-．三、解答题16．已知二次函数()2f x ax bx =+(,a b 为常数，且0)a ≠ 满足条件：()()13f x f x -=-，且方程()2f x x =有等根. （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数m 、()n m n <，使()f x 定义域和值域分别为［m ，n ］和［4m ，4n ］，如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由. 17．已知函数2()e x f x ax =-．(1)若()f x 在(0,)+∞上单调递增，求a 的最大值；(2)若2a =，是否存在1x ，2(0,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点()()11,x f x 和点()()22,x f x 处的切线互相垂直？说明理由．（参考数据：e 2.72≈，ln 20.69≈）18．已知：集合{}12{(,,,,),0,1,1,2,,}n i n i X X x x x x x i n Ω==∈=L L L ，其中3n ≥．12(,,,,,)i n n X x x x x ∀=∈ΩL L ，称i x 为X 的第i 个坐标分量．若n S ⊆Ω，且满足如下两条性质：①S 中元素个数不少于4个．②X ∀，Y ，Z S ∈，存在{1,2,}m n ∈L ,，使得X ，Y ，Z 的第m 个坐标分量都是1．则称S 为n Ω的一个好子集．（1）若{,,,}S X Y Z W =为3Ω的一个好子集，且(1,1,0)X =，(1,0,1)Y =，写出Z ，W ． （2）若S 为n Ω的一个好子集，求证：S 中元素个数不超过12n -．（3）若S 为n Ω的一个好子集且S 中恰好有12n -个元素，求证：一定存在唯一一个{1,2,,}k n ∈L ，使得S 中所有元素的第k 个坐标分量都是1．。

统练5一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2.在复平面内，复数所对应的点的坐标，为（ ）A.2 B.D.2i3.设，则（ ）A. B. C.D.4.如图，在中，是的中点.若，，则（ ）A. B. C. D.5.已知函数，则（ ）A.是奇函数，且在上单调递增 B.是奇函数，且在上单调递减C.是偶函数，且在上单调递增 D.是偶函数，且在上单调递减6.已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，.设，则满足的的取值范围是（ ）A. B. C. D.7.在中，“”是“”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.记为等比数列的前项和，已知，，则数列（）A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项9.声音的等级（单位：dB ）与声音强度（单位：）满足.喷气式飞机{}13A x x =-<<{}04B x x =<≤A B = ()0,3()1,4-(]0,4(]1,4-z ()1,1-z z ⋅=2i -0a b <<11a b <b a a b >2a b +>2b a a b+ABC △D BC AB a = AD b = AC = 32a b-2a b -2a b -+1122a b +()e ex x f x -=-()f x ()0,+∞()0,+∞()0,+∞()0,+∞()f x R (],0-∞()11f =-()()2log 3g x x =+()()f x g x ≥x (],1-∞-[)1,-+∞(]3,1--(]3,1-ABC △sin cos A B =π2C n '=n S {}n a n 18a =41a =-{}n S ()f x x 2W/m ()1210lg 110x f x -=⨯⨯起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ）A.倍B.倍C.倍D.倍10.已知函数，是函数的一个零点，且是其图象的一条对称轴.若在区间上单调，则的最大值为（ ）A.18 B.17 C.14 D.13二、填空题 共5道小题，每小题5分，共25分.11.在，，三个数中，最大数的是______.12.已知，且有，则______.13.已知正方形边长为2，为的中点，是正方形及其内部的点构成的集合，设集合，则表示的曲线的长度为______.14.若实数，且，满足方程组，则______，______.（写出一组值即可）15.设是由实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.记为所有这样的数表构成的集合.对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积，令.给出以下四个结论：①存在，使得；②存在，使得；③若，则的取值范围是；④若，则满足的数表共有个其中所有正确结论的序号是______.三、解答题 共6道小题，共85分。

2021-2022学年北京市中国人民大学附属中学高一上学期期中练习数学试题一、单选题1．已知全集{1U =，2，3，4，5}，{2A =，4，5}，{3B =，5}，则()U A B =⋃（ ） A ．{3} B ．{2，4} C ．{1，2，3，4} D ．{1，2，4，5}【答案】D【分析】根据并集和补集的知识求得正确答案. 【详解】全集{1U =，2，3，4，5}，{3B =，5}，{1U B ∴=，2，4}，{2A =，4，5}，(){1U A B ∴=⋃，2，4，5}，故选：D2．下列图象中，以{}01M x x =≤≤为定义域，{}01N x x =≤≤为值域的函数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据函数的定义，依次分析选项中的图象，结合定义域值域的范围即可得答案． 【详解】对于A ，其对应函数的值域不是{}01N y y =≤≤，A 错误；对于B ，图象中存在一部分与x 轴垂直，即此时x 对应的y 值不唯一，该图象不是函数的图象，B 错误；对于C ，其对应函数的定义域为{|01}M x x =，值域是{|01}N y y =，C 正确； 对于D ，图象不满足一个x 对应唯一的y ，该图象不是函数的图象，D 错误； 故选：C ．3．命题“0x ∃∈R ，2010x x ++<”的否定是（ ） A ．不存在0x ∈R ，20010x x ++≥B ．0x ∃∈R ，20010x x ++≥C ．x ∀∈R ，210x x ++<D ．x ∀∈R ，210x x ++≥ 【答案】D【分析】根据特称命题的否定直接判断.【详解】根据特称命题的否定，可得命题“0x ∃∈R ，20010x x ++<”的否定是“x ∀∈R ，210x x ++≥”. 故选：D4．设1x ，2x 是方程2330x x +-=的两个实数根，则2112x x x x +的值为（ ） A ．5 B ．5- C ．1 D ．1-【答案】B【分析】由题意利用韦达定理可得12+x x 和12x x ⋅的值，再根据22112121212()2x x x x x x x x x x +-⋅+=⋅，计算求得结果．【详解】由1x ，2x 是方程2330x x +-=的两个实数根， 可得123x x +=-，213x x ⋅=-，∴22112121212()29653x x x x x x x x x x +-⋅++===-⋅-. 故选：B 5．不等式2301xx ->-的解集为（ ） A ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()2,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】将不等式化为()()1320x x --<，从而可得答案. 【详解】解：不等式2301xx ->-可转化成()()1320x x --<， 解得213x <<. 故选：D .6．在下列各组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ）A ．()f x x =，()2g x =B ．()f x x =，(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩C ．()1f x =，()x g x x= D ．()2f x x =，()()21g x x =+【答案】B【分析】根据相等函数的定义即可得出结果.【详解】若()f x 与()g x 表示同一个函数，则()f x 与()g x 的定义域和解析式相同.A ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为[0)+∞，，故排除A ； B ：0()0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，，，与()g x 的定义域、解析式相同，故B 正确；C ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{0}x x ≠，故排除C ；D ：()f x 与()g x 的解析式不相同，故排除D. 故选：B 7．“1x >”是“11x<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式性质和分式不等式的求解分别验证充分性和必要性即可得到结论. 【详解】当1x >时，11x <成立，故充分性成立；当11x<时，0x <或1x >，故必要性不成立 ∴“1x >”是“11x<”的充分不必要条件 故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，涉及到不等式的性质和分式不等式的求解的知识，属于基础题.8．在用“二分法”求函数()f x 零点近似值时，第一次所取的区间是[]3,5-，则第三次所取的区间可能是（ ） A ．[]1,5 B ．[]2,1- C ．[]1,3 D ．[]2,5【答案】C【分析】由第一次所取的区间是[]3,5-，取该区间的中点，可得第二次所取的区间，利用同样的方法得到第三次所取的区间. 【详解】因为第一次所取的区间是[]3,5-， 所以第二次所取的区间可能是[][]3,1,1,5-，则第三次所取的区间可能是[][][][]3,1,1,1,1,3,3,5---， 故选：C9．张老师国庆期间驾驶电动车错峰出行，并记录了两次“行车数据”，如表：记录时间累计里程（单位：公里）平均耗电量（单位：kW h /⋅公里）剩余续航里程（单位：公里） 2021年10月2日 20000.1253802021年10月3日 22000.124 166（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电数指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=累计耗电量累计里程，剩余续航里程)=剩余电量平均耗电量，下面对该车在两次记录时间段内行驶1公里的耗电量（单位：kW h /⋅公里）估计正确的是（ ）A ．0.104B ．0.114C ．0.118D ．0.124【答案】B【分析】根据题目中平均耗电量的定义，计算出行驶200公里的平均耗电量，即可求解． 【详解】由题意可得，累计200公里内的平均耗电量为kW h /⋅公里，故对该车在两次记录时间段内行驶1公里的耗电量为0.114kW h /⋅公里． 故选：B10．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b C ．c >b >a D ．a >c >b【答案】A【分析】把给出的已知条件c ﹣b ＝4﹣4a +a 2右侧配方后可得c ≥b ，再把给出的两个等式联立消去c 后，得到b ＝1+a 2，利用作差可得b 与a 的大小关系． 【详解】由c ﹣b ＝4﹣4a +a 2＝（2﹣a ）2≥0，∴c ≥b ． 再由b +c ＝6﹣4a +3a 2① c ﹣b ＝4﹣4a +a 2②①﹣②得：2b ＝2+2a 2，即b ＝1+a 2． ∵22131()024a a a +-=-+＞，∴b ＝1+a 2＞a ．∴c ≥b ＞a ． 故选A ．【点睛】本题考查了不等式的大小比较，考查了配方法，训练了基本不等式在解题中的应用，是基础题．11．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB 上取一点C ，使得AC a =，BC b =，过点C 作CD AB ⊥交圆周于D ，连接OD .作CE OD ⊥交OD 于E .则下列不等式可以表示CD DE≥的是（ ）A ()20,0abab a b a b>>+ B ．)0,02a bab a b +>> C ()220,022a b a ba b ++>> D ．()2220,0a b ab a b +≥>>【答案】A【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD 和D E 的长度，利用CD >D E 即可得到答案.同时这是几何法构造基本不等式及其推论的一种方法.【详解】连接DB ，因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=，所以在Rt ADB ∆中，中线22AB a bOD +==，由射影定理可得2CD AC CB ab =⋅=，所以CD ab =在Rt DCO ∆中，由射影定理可得2CD DE OD =⋅，即222CD ab abDE a b OD a b ===++，由CD DE ≥2abab a b+， 故选：A12．已知函数()f x 是定义在[]12,m m -上的偶函数，[]12,0,x x m ∀∈，当12x x ≠时，()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则不等式()()12f x f x -≤的解集是A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】先根据偶函数的定义域关于原点对称求出m ，再根据偶函数的对称性和题设给的[]0,x m ∈的增减性解题即可【详解】 ()f x 是定义在[]12,m m -上的偶函数，120m m ∴-+=，解得1m =，()f x 的定义域为[]1,1- 又[]12,0,1x x ∀∈，当12x x ≠时，()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦()f x ∴在[]0,1x ∈单调递减，再由偶函数的对称性可知()()[][]11,11221,112x f x f x x x x⎧-∈-⎪-≤⇔∈-⎨⎪-≥⎩，解得10,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦答案选C【点睛】本题考查偶函数的基本性质、利用偶函数的性质解不等式，易错点为解题过程中忽略()f x 所有括号中的取值都必须在定义域内二、多选题13．设函数()1,2,x QD x x Q∈⎧=⎨∉⎩，则下列结论正确的是（ ）A ．()D x 的值域为[]0,1B ．()()π 3.14D D >C ．()D x 是偶函数 D ．()D x 是单调函数【答案】BC【分析】由()D x 的值域为{}1,2判断A ，由()()π2 3.141D D =>=判断B ，根据奇偶性的定义判断C ；由()()()1231D D D ===判断D. 【详解】()D x 的值域为{}1,2，故A 错误；()()π2 3.141D D =>=，故B 正确；定义域关于原点对称，当x Q ∈时，x Q -∈，则()()1D x D x -==；当x Q ∉时，x Q -∉，则()()2D x D x -==，即()D x 是偶函数，故C 正确；因为()()()1231D D D ===，所以()D x 不是单调函数，故D 错误； 故选：BC三、填空题14．函数1()1f x x =+的定义域为_____________. 【答案】(,1)(1,2]-∞-⋃-【分析】根据题意列关于x 的不等式组即可求解.【详解】由题要使得()f x 有意义，则2010x x -≥⎧⎨+≠⎩，故2x ≤且1x ≠-，从而()f x 的定义域为(,1)(1,2]-∞-⋃-， 故答案为：(,1)(1,2]-∞-⋃-.15．满足{}{}11,2,3A ⊆⊆的集合A 的个数为____________个.【答案】4【解析】根据子集的定义即可得到集合A 的个数； 【详解】{}{}11,2,3A ⊆⊆，∴{}1A =或{}1,2或{}1,3或{}1,2,3，故答案为：4.【点睛】本题考查子集的定义，属于基础题.16．已知函数(3)1,1()1,1a x x f x ax x x a --≤⎧⎪=+⎨>⎪+⎩在(,)-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】(3,5]【分析】由分段函数在其定义域内单调得在各段单调，且在连接点处须注意函数值大小，得2301041a a a ->⎧⎪-<⎨⎪-⎩，从而求出实数a 的取值范围． 【详解】解：∵(3)1,1()1,1a x x f x ax x x a --≤⎧⎪=+⎨>⎪+⎩2(3)1,11,1a x x a a x x a --≤⎧⎪=⎨-+>⎪+⎩，且函数在(,)-∞+∞上单调递增， ∴2301041a a a ->⎧⎪-<⎨⎪-⎩， 解得：35a <≤， 故答案为：(3,5].【点睛】本题主要考查函数的单调性的性质，分段函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．17．已知定义在非零实数上的奇函数()f x ，满足()123f x f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则()1f 等于______. 【答案】3-【分析】由()123f x f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭可得()()1123f f +-=，再根据奇函数的定义，即可求解.【详解】∵()123f x f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∴()()1123f f +-=，∵()f x 为定义在非零实数上的奇函数， ∴()()11f f -=-，即()()1123f f -=， ∴()13f =-. 故答案为：3-.18．已知函数()221x f x x =+，则()()()111122021232021f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.【答案】40412【分析】根据函数解析式求出1()f x ，进而可得1()()1f x f x+=，由此可得结果.【详解】因为22()1x f x x =+，所以2221()11()111()x f x x x==++， 所以22211()()111x f x f x x x +=+=++，所以11(1)(2)(2021)()()22021f f f f f ++++++ 11114041(1)[(2)()][(3)()][(2021)()]202023202122f f f f f f f =++++++=+=. 故答案为：4041219．函数2()20202021f x ax x =-+(a >0)，在区间[1t -，t +1](t ∈R )上函数()f x 的最大值为M ，最小值为N ．当t 取任意实数时，M -N 的最小值为2，则a =________. 【答案】2【解析】求得对称轴，要使M N -最小，1t -与t +1必关于对称轴对称，从而最大值为(1)f t +，最小值为()f t ，由(1)()2f t f t +-=及对称轴可求得a ．【详解】2()20202021f x ax x =-+ (a >0) 对称轴1010x a=要使M N -最小，1t -与t +1必关于对称轴对称 所以1010t a=① (1)()2f t f t +-=22(1)2020(1)202120202021a t t at t +-++-+-220202at a =+-= ②联立①②得2×1010+-a 2020=2 ∴a =2. 故答案为：2．20．若不等式22360x mx m -+->对一切[]2,1m ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是______.【答案】()(),63,-∞-⋃+∞【分析】利用变换主元法将m 看成自变量，将x 看成参数即可求解. 【详解】解：不等式22360x mx m -+->对一切[]2,1m ∈-恒成立 将m 看成自变量，将x 看成参数，将不等式化为：()23260x m x -+->对一切[]2,1m ∈-恒成立令()()2326g m x m x =-+-即()0g m >对一切[]2,1m ∈-恒成立等价于()()2010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩即224120230x x x x ⎧+->⎨-->⎩ 解得：3x >或6x <-所以实数x 的取值范围是：()(),63,x ∈-∞-⋃+∞【点睛】关键点睛：当所给不等式或者等式有两个变量时，将已知变量看成自变量，所求变量看成参数，即变换主元法进行求解.四、双空题21．设2:20p x x -，:()(3)0q x m x m ---，若p 是q ⌝的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 __；若p ⌝是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是 __． 【答案】 (-∞，3)(2-⋃，)+∞ (-∞，3)(2-⋃，)+∞【分析】根据不等式的解法分别求出p ，q 的等价条件，结合充分、必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可．【详解】由220x x -，解得02x ，即:02p x ，由()(3)0x m x m ---，得+3m x m ，即:+3q m x m ，:<q x m ∴⌝或>+3x m ， 若p 是q ⌝的充分不必要条件， 则>2m 或+3<0m ，即>2m 或<3m -．:>2p x ⌝或<0x ，若p ⌝是q 的必要不充分条件，则>2m 或+3<0m ，即>2m 或<3m -，故答案为：(-∞，3)(2-⋃，+)∞；(-∞，3)(2-⋃，+)∞．五、解答题22．已知全集U =R ，非空集合A ，B 满足{}2230A x x x =--≤，{}131B x a x a =-≤≤+. (1)当1a =，求() U A B ⋂；(2)若A B B =，求实数a 的取值范围.【答案】(1){0x x <或}3x > (2)203a ≤≤【分析】（1）根据交集和补集的定义即可求出；（2）由题可得B A ⊆，根据包含关系列出不等式组可求.【详解】(1)（1）当1a =时，{}{}223013A x x x x x =--≤=-≤≤，{}04B x x =≤≤， {}03A B x x ∴⋂=≤≤，(){ 0U A B x x ∴⋂=<或}3x >；(2)若A B B =，则B A ⊆，又A ，B 为非空集合，13111313a a a a -≤+⎧⎪∴-≥-⎨⎪+≤⎩，解得203a ≤≤. 23．已知函数()2x a f x x+=且()12f =. (1)判断并证明函数()f x 在其定义域上的奇偶性；(2)证明函数()f x 在()1,+∞上是增函数.【答案】(1)()f x 是奇函数，证明过程见解析；(2)证明过程见解析.【分析】（1）先求出函数的表达式，再利用奇偶性的定义即可判断；（2）根据单调性的定义进行证明即可.【详解】(1)函数()f x 在其定义域上是奇函数，证明过程如下. 证明：函数()2x a f x x+=且()12f = ∴12a +=，即1a =∴()211x f x x x x+==+ ∴()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称又()()1f x x f x x-=--=- ∴函数()f x 在其定义域上是奇函数(2)证明：设1x ∀，()21,x ∈+∞，且12x x <，则()()()121212211212121212111f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+--=-+⋅⋅-=-⋅12x x < 120x x ∴-<又1x ∀，()21,x ∈+∞121x x ∴⋅>，即1210x x ⋅->()()120f x f x -<∴函数()f x 在()1,+∞上是增函数.24．已知函数()22,0,0x tx x f x x tx x ⎧-+≥=⎨-<⎩（其中0t ≥）. (1)当2t =时，画出函数()f x 的图象，并写出函数()f x 的单调递减区间；(2)若()f x 在区间[]2,4-上的最大值为()h t ，求()h t 的表达式.【答案】(1)图象见解析，单调递减区间为(,0],[1,)-∞+∞(2)()24,010416,10t t h t t t +≤≤⎧=⎨->⎩【分析】（1）当2t =时，可得()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩，结合二次函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意，分别求得()24t f x ≤，且(2)42,(4)416f t f t -=+=-，结合图象分类讨论，即可求解.【详解】(1)解：当2t =时，可得()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩， 结合二次函数的图象与性质，可得函数()f x 的图象，如图所示：可得函数()f x 的单调递减区间为(,0],[1,)-∞+∞.(2)由题意，函数()22,0,0x tx x f x x tx x ⎧-+≥=⎨-<⎩（其中0t ≥）， 若0x ≥时，()2222()244t t t f x x tx x =-+=--+≤，且(2)42,(4)416f t f t -=+=-， 若0x <时，令224t x tx -=，即22440x tx t --=，解得12x -=， （1122-≥-时，即)0421t ≤≤时，可得()()242h t f t =-=+， （2122-<-时，即4(21)t >，此时42t >， 由(2)(4)42(416)202f f t t t --=+--=-，若2020t -≥时，即10t ≤时，可得(2)(4)f f -≥，所以()()242h t f t =-=+； 若2020t -<时，即10t >时，可得(2)(4)f f -<，所以()()4416h t f t ==-，综上可得()f x 在区间[]2,4-上的最大值为()24,010416,10t t h t t t +≤≤⎧=⎨->⎩. 25．已知集合(){1,2,3,,2}A n n N *=∈，对于A 的子集S 若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素1a 、2a ，都有12a a m -≠，则称S 具有性质P .（1）当10n =时，判断集合{|9}B x A x =∈>和{}|31,C x A x k k N *=∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由；（2）若1000n =时，①如果集合S 具有性质P ，那么集合{(2001)|}D x x S =-∈是否一定具有性质P ？并说明理由；②如果集合S 具有性质P ，求集合S 中元素个数的最大值.【答案】（1）集合B 不具有性质P ，集合C 不具有性质P ，理由见解析；（2）①集合D 具有性质P ，理由见解析；②1333，证明见解析.【分析】（1）当10n =时，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,20A =，由题中所给新定义直接判断即可；（2）若1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =，①根据{(2001)|}D x x S =-∈，任取02001d x D =-∈，其中0x S ∈，可得0120012000x ≤-≤，利用性质P 的定义加以验证即可证明；②设集合S 有k 个元素，由①知： 任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 和2001x -中必有一个不超过1000， 所以集合S 和集合D 中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过1000，然后利用性质P 的定义进行分析可得20002k k k t +≤+≤，即20002k k +≤解不等式即可求解. 【详解】（1）当10n =时，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,19,20A =，{}{}|910,11,12,13,,19,20B x A x =∈>=不具有性质P ，因为对于集合B 中任意不大于10的正整数m ，都可以找到该集合中两个元素110b =，210b m =+使得12b b m -=成立，{}|31,C x A x k k N *=∈=-∈S 具有性质P .因为110m =<，对于该集合中任意一对元素1131c k =-，2231c k =-，11,k k N *∈ 都有121231c c k k -=-≠，（2）若1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =，①如果集合S 具有性质P ，那么集合{(2001)|}D x x S =-∈一定具有性质P ， 因为{(2001)|}D x x S =-∈，任取02001d x D =-∈，其中0x S ∈，因为S A ⊆，所以{}01,2,3,,1999,2000x =，从而0120012000x ≤-≤，即t A ∈，所以D A ⊆，由集合S 具有性质P ，可知存在不大于1000的正整数m ，使得对于S 中的一切元素12,s s 都有12s s m -≠，从集合{(2001)|}D x x S =-∈中任取一对元素112001d x =-，222001d x =-，其中12,x x S ∈，则由1212d d x x m -=-≠，所以集合{(2001)|}D x x S =-∈一定具有性质P ，②设集合S 有k 个元素，由①知：若集合S 具有性质P ，那么集合{(2001)|}D x x S =-∈一定具有性质P ， 任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 和2001x -中必有一个不超过1000， 所以集合S 和集合D 中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过1000，不妨设S 中有2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭个元素12,,t b b b 不超过1000，由集合S 具有性质P ，可知存在正整数1000m ≤，使得对于S 中的一切元素12,s s 都有12s s m -≠，所以一定有12,,t b m b m b m S +++∉，又因为100010002000i b m +≤+=， 故12,,t b m b m b m A +++∈，即集合A 中至少有t 个元素不在集合S 中， 因此20002k k k t +≤+≤，所以20002k k +≤，解得：1333k ≤， 当{}1,2,3,,665,666,1334,1999,2000S =时，取667m =，易知对于集合S 中任意两个元素12,y y 都有12667y y -≠，即集合S 具有性质P ， 而此时集合S 中有1333个元素，因此集合S 中元素个数的最大值是1333.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是理解一个具有性质P 的含义，以及集合之间包含关系的判断，要求有较强的抽象思维能力，以及对数的分析.。