高中数学通用模型解题精编版通用解体模型

高中数学分解模型教案模板主题：分解模型教材目标：能够理解和运用分解模型进行数学问题的解决。

教学目标：1. 理解分解模型的概念和原理。

2. 掌握如何运用分解模型解决数学问题。

3. 提高解决问题的思维能力和逻辑推理能力。

教学内容：1. 分解模型的概念和基本原理。

2. 利用分解模型解决代数表达式的因式分解问题。

3. 运用分解模型解决实际生活中的问题。

教学过程：1. 导入：教师通过提出一个简单的问题引入分解模型的概念。

2. 概念讲解：教师讲解分解模型的定义、原理和运用方法。

3. 实例演练：用一些简单的代数表达式让学生尝试进行因式分解，并解释每一步的思路。

4. 练习训练：让学生进行一些练习题，加深对分解模型的理解和应用能力。

5. 拓展应用：让学生运用所学的知识解决一些实际应用问题。

6. 总结：教师和学生一起总结本节课所学的知识点和解题方法。

教学资源：1. 教学课件：包括分解模型的定义、原理和应用实例。

2. 习题册：包括一些代数表达式的因式分解题目，供学生练习。

3. 视频资源：可以引入一些相关的视频资源帮助学生理解分解模型。

评估方式：1. 课堂练习：根据学生在课堂上的表现来评估其对分解模型的掌握程度。

2. 作业：布置一些相关的作业题目，检查学生对分解模型的理解和运用能力。

3. 小测验：可以利用小测验来检验学生在分解模型方面的能力。

教学反思：1. 针对学生的反馈，及时调整教学方法和内容，确保学生能够有效地掌握分解模型。

2. 不断提高教学质量，创造更多互动和探索的机会，激发学生学习的兴趣。

教学建议：1. 定期进行复习和总结，巩固学生对分解模型的理解和应用能力。

2. 鼓励学生进行探索和实践，培养其解决问题的能力和创新思维。

专题一　墙角模型如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点．考查学生的空间想象能力以及化归能力．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．空间几何体的外接球与内切球十大模型1．墙角模型；2．对棱相等模型；3．汉堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鳄鱼模型；8．已知球心或球半径模型；9．最值模型；10．内切球模型．【方法总结】墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R= a2+b2+c2．)，秒杀公式：R2=a2+b2+c24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：【例题选讲】例1.[例]　(1)已知三棱锥A-BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC=3，BC=2，CD=5，则球O的表面积为( )A.12πB.7πC.9πD.8π(2)若三棱锥S−ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球半径为( )．A.3B.6C.36D.9(3)已知S，A，B，C，是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=2，则球O的表面积等于( )．A.4πB.3πC.2πD.π(4)在正三棱锥S-ABC中，M，N分别是棱SC，BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是________．(5)(2019全国Ⅰ)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为( )．A.86πB.46πC.26πD.6π(6)已知二面角α-l-β的大小为π3，点P∈α，点P在β内的正投影为点A，过点A作AB⊥l，垂足为点B，点C∈l，BC=22，PA=23，点D∈β，且四边形ABCD满足∠BCD+∠DAB=π．若四面体PACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．【对点训练】1．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为( )A.7πB.14πC.72πD.714π32．等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B-AD-C，则三棱锥B-ACD的外接球的表面积为( )A.5πB.203πC.10πD.34π3．已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=2，则球O的体积等于________.4．已知四面体P-ABC四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC=1，AB=PB =2，则球O的表面积为________．5．三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=3，PA⊥PB，三棱锥P-ABC的外接球的体积为( )A.272πB.2732π C.273π D.27π6．在空间直角坐标系Oxyz中，四面体ABCD各顶点的坐标分别为A(2，2，1)，B(2，2，-1)，C(0，2，1)，D (0，0，1)，则该四面体外接球的表面积是( )A.16πB.12πC.43πD.6π7．在平行四边形ABCD中，∠ABD=90°，且AB=1，BD=2，若将其沿BD折起使平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A-BDC的外接球的表面积为(　D　)A.2πB.8πC.16πD.4π8．在正三棱锥S-ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=22，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为( )A.6πB.12πC.32πD.36π9．在古代将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，已知四面体A-BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，且AB=BC=36CD，若此四面体的体积为833，则其外接球的表面积为________．10．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为32的正方形，AA1=3，E是线段A1B1上一点，若二面角A-BD-E的正切值为3，则三棱锥A-A1D1E外接球的表面积为________．专题二　对棱相等模型【方法总结】对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即2R=a2+b2+c2(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2=x2+y2+z28(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．【例题选讲】例2.[例]　(1)正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为________．(2)在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为________．(4)在正四面体A-BCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为7，则该正四面体的外接球的体积是( )A.6πB.6πC.3632π D.3 2π(5)已知三棱锥A-BCD，三组对棱两两相等，且AB=CD=1，AD=BC=3，若三棱锥A-BCD的外接球表面积为9π2．则AC=________．【对点训练】1．已知正四面体ABCD的外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为________．2．表面积为83的正四面体的外接球的表面积为( )A.43πB.12πC.8πD.46π3．已知四面体ABCD满足AB=CD=6，AC=AD=BC=BD=2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________．4．三棱锥中S-ABC，SA=BC=13，SB=AC=5，SC=AB=10．则三棱锥的外接球的表面积为______.5．已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB=CD=a，AC=AD=BC =BD=5，则a=________.6．正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是( )A.12πB.32πC.8πD.24π专题三　汉堡模型【方法总结】汉堡模型是直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O 的位置是△ABC 的外心O 1与△A 1B 1C 1的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1=r ，OO 1=h 2，∴R 2=r 2+h 24．【例题选讲】例3.[例]　(1)(2013辽宁)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB =3，AC =4，AB ⊥AC ，AA 1=12，则球O 的半径为( )．A.3172 B.210 C.132 D.310(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )．A.πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D.37πa 2(3)(2009全国Ⅰ)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB =AC =AA 1=2，∠BAC =120°，则此球的表面积等于( )．A.10π B.20πC.30πD.40π(4)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A.4πB.16π3C.32π3D.16π(5)若一个圆柱的表面积为12π，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为( )A.(125-12)πB.123πC.(123+3)πD.16π【对点训练】一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为( )A.28π3B.22π3C.43π3D.7π2．一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为________.3．已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面积为334，一个侧面的周长为63，则正三棱柱ABC -A 1B 1C 1外接球的表面积为( )A.4πB.8πC.16πD.32π4．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB =3，AC =1，∠BAC =60°，AA 1=2，则该三棱柱的外接球的体积为( )A.40π3B.4030π27 C.32030π27 D.20π5．已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，E，F分别为AB，CD的中点，将四边形AEFD沿EF折起，使二面角A-EF-C的大小为120°，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为( )A.6πB.5πC.4πD.3π6．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB=AC=1，AA1=23，∠BAC= 2π3，则球O的体积为( )A.32π3B.3πC.4π3D.8π7．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为60°，若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的( )A.2倍B.2倍C.22倍D.3倍8．正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，二面角A1-BD-C1的大小为π3，则该正四棱柱外接球的表面积为( )A.12πB.14πC.16πD.18π9．正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，设四棱柱的外接球的球心为O，动点P在正方形ABCD的边上，射线OP交球O的表面点M，现点P从点A出发，沿着A→B→C→D→A运动一次，则点M经过的路径长为________．10．已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥P-ABC的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O．若三棱锥P-ABC的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为____ ____．专题四　垂面模型【方法总结】垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1=r，OO1=h2，∴R2=r2+h24．【例题选讲】例4.[例]　(1)已知在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB=30°，AC=2AB=23，SA=1．则该三棱锥的外接球的体积为( )A.13813πB.13πC.136πD.13136π(2)三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( )A.23πB.234πC.64πD.643π(3)在三棱锥S-ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB=5，BC=8，∠ABC=60°，SA=25，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.643πB.2563πC.4363πD.2048327π(4)在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC=120˚，PA=AB=AC=2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.103πB.18πC.20πD.93π(5)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120°，AC=2，AB=1，设D为BC中点，且直线PD与平面ABC所成角的余弦值为55，则该三棱锥外接球的表面积为________．【对点训练】1．三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，若SA=AB=BC=AC=3，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.18πB.21π2C.21πD.42π2．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形，若AB=2，则球O的表面积为( )A.4πB.12πC.16πD.32π3．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=23，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为( )A.4πB.12πC.16πD.64π4．在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC=60°，PA=2，AB=AC=3，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.4π3B.82π3 C.8π D.12π5．在三棱锥A-BCD中，AC=CD=2，AB=AD=BD=BC=1，若三棱锥的所有顶点，都在同一球面上，则球的表面积是________．6．如图，在△ABC中，AB=BC=6，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P-BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )A.7πB.5πC.3πD.π7．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形．若PA=26，则△OAB的面积为( )．A.3B.22C.33D.638．三棱锥P-ABC中，AB=BC=15，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积为________．9．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD=5，ED=3，若鳖臑P-ADE的外接球的体积为92π，则阳马P-ABCD的外接球的表面积为________．10．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AP=2，点M是矩形ABCD内(含边界)的动点，且AB= 1，AD=3，直线PM与平面ABCD所成的角为π4．记点M的轨迹长度为α，则tanα=________．；当三棱锥P-ABM的体积最小时，三棱锥P-ABM的外接球的表面积为________．专题五　切瓜模型【方法总结】切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A-BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则R2=r2+m2，R2=d2+(h-m)2，解得R．可用秒杀公式：R2=r21+r22-l24(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)【例题选讲】例5.[例]　(1)已知在三棱锥P-ABC中，V P­ABC=433，∠APC=π4，∠BPC=π3，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P-ABC外接球的体积为________．(2)如图，已知平面四边形ABCD满足AB=AD=2，∠A=60˚，∠C=90˚，将△ABD沿对角线BD翻折，使平面ABD⊥平面CBD，则四面体ABCD外接球的体积为________．(3)已知三棱锥A-BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为( )A.10π3B.5πC.6πD.20π3(4)已知ΔABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC=3，PB=22，PC=5，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为________．(5)已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D，E分别为AB，AC的中点，沿DE将△ABC折成直二面角(如图)，则四棱锥A-DECB的外接球的表面积为________．【对点训练】1．把边长为3的正方ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC⊥平面ADC，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为( )A.32πB.27πC.18πD.9π2．在三棱锥A-BCD中，△ACD与△BCD都是边长为4的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为________．3．已知如图所示的三棱锥D-ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB=3，AC=3，BC=CD=BD=23，则球O的表面积为( )A.4πB.12πC.16πD.36π4．在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，ΔABC是边长为2的正三角形，若∠BDC=π4，三棱锥的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为( )．A.52π3B.3πC.4πD.28π35．已知空间四边形ABCD，∠BAC=23π，AB=AC=23，BD=4，CD=25，且平面ABC⊥平面BCD，则该几何体的外接球的表面积为( )A.24πB.48πC.64πD.96π6．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AD=22，PA=PD=AB=2，则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为( )A.2πB.4πC.8πD.12π7．在四棱锥A-BCDE中，ΔABC是边长为6的正三角形，BCDE是正方形，平面ABC⊥平面BCDE，则该四棱锥的外接球的体积为( )A.2121πB.84πC.721πD.2821π8．已知空间四边形ABCD，∠BAC=2π3，AB=AC=23，BD=CD=6，且平面ABC⊥平面BCD，则空间四边形ABCD的外接球的表面积为( )A.60πB.36πC.24πD.12π9．在三棱锥P-ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，PB=PC=43，平面PBC⊥平面ABC，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为________．10．在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AP=25,AB=6,∠ACB=π3，且直线PA与平面ABC所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.13πB.52πC.52π3D.5213π3 10．答案　B　解析　如图，过点P作PE⊥AB于E，D为AB的中点，设ΔABC的外心是O1，半径是r，连接O1B，O1E，O1D，由正弦定理得2r=ABsin∠ACB=43，则O1B=r=23，D为AB的中点，BD=AD=12AB=3，O1D⊥AB，所以O1D=O1B2-BD2=3，因为平面PAB⊥平面ABC，PE⊥AB于E，平面PAB∩平面ABC=AB，则PE⊥平面ABC，所以直线PA与平面ABC所成的角是∠PAE，则tan∠PAE=PEAE=2，即PE =2AE，因为AP=PE2+AE2=25，所以PE=2AE=4，则DE=1，故O1E=2，设三棱锥P-ABC外接球球心是O，连接OO1，OB，OP，过O作OH⊥PE于H，则OO1⊥平面ABC，于是OO1⎳PE，从而O1OHE是矩形，所以外接球半径R满足R2=OO21+O1B2=OH2+(PE-HE)2=O1E2+(PE-OO1)2，解得R=13．所以外接球的表面积为4πR2=52π．专题六　斗笠模型【方法总结】圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R=h2+r22h(其中h为几何体的高，r为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心)【例题选讲】例6.[例]　(1)一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60°，若该圆锥的侧面积为33π，则该圆锥外接球的表面积为________．(2)(2020·全国Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π(3)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=26,AC=AB=4，且AC⊥AB，则该三棱锥外接球的表面积为________．(4)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B.16πC.9πD.27π4(5)如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，CD的中点，cos∠PEF=22，若A，B，C，D，P在同一球面上，则此球的体积为________．(6)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=1，BC=3，则该三棱锥外接球的体积为( )A.4π3B.823πC.43πD.323π【对点训练】1．已知圆锥的顶点为P，母线PA与底面所成的角为30°，底面圆心O到PA的距离为1，则该圆锥外接球的表面积为________．2．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=3，侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为( )A.πB.π3C.4πD.4π33．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=6，AC=AB=2，且AC⊥AB，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.4πB.8πC.16πD.9π4．已知体积为3的正三棱锥P -ABC 的外接球的球心为O ，若满足OA +OB +OC =0 ，则此三棱锥外接球的半径是( )A.2 B.2C.32D.345．已知正四棱锥P -ABCD 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为2，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为( )A.124π3B.625π81C.500π81D.256π96．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°，若ΔSAB 的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是________．7．已知圆台O 1O 2上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为22，圆台的外接球的球心为O ，且球心在圆台的轴O 1O 2上，满足|O 1O |=3|OO 2|，则圆台O 1O 2的外接球的表面积为________．8．在六棱锥P -ABCDEF 中，底面是边长为2的正六边形，PA =2且与底面垂直，则该六棱锥外接球的体积等于________．9．在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =2，AB =2，BC =10，∠APC =π2，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为________．10．在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =92，AB =8，AC =6．顶点P 在平面ABC 内的射影为H ，若AH =λAB +μAC 且μ+2λ=1，则三棱锥P -ABC 的外接球的体积为________．专题七　鳄鱼模型【方法总结】鳄鱼模型即普通三棱锥模型，用找球心法可以解决．如果已知其中两个面的二面角，则可用秒杀公式：R2= m2+n2-2mn cosαsin2α+l24(其中l=|AB|)解决．【例题选讲】例7.[例]　(1)在三棱锥A-BCD中，ΔABD和ΔCBD均为边长为2的等边三角形，且二面角A-BD-C的平面角为60°，则三棱锥的外接球的表面积为________．(2)在等腰直角ΔABC中，AB=2，∠BAC=90°，AD为斜边BC的高，将ΔABC沿AD折叠，使二面角B-AD-C为60°，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为________．(3)在四面体ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=60°，∠BCD=90°，二面角A-BD-C的大小为150°，则四面体ABCD外接球的半径为________．(3)在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是-33，若S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是( )A.4πB.6πC.8πD.9π(4)已知三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=22，BC=3，PA=PB=32，且二面角P-AB-C的大小为150°，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为( )A.100πB.108πC.110πD.111π(5)在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，三角形PAC为等边三角形，二面角P-AC-B的余弦值为-63，当三棱锥P-ABC的体积最大值为13时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为________．(6)在体积为233的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，ΔPAB为等边三角形，二面角P-AB-C为锐角，则四棱锥P-ABCD外接球的半径为( )A.213B.2C.3D.32【对点训练】1．在三棱锥S-ABC中，SB=SC=AB=BC=AC=2，二面角S-BC-A的大小为60°，则三棱锥S-ABC外接球的表面积是( )A.14π3B.16π3C.40π9D.52π92．已知三棱锥A -BCD ，BC =6，且ΔABC 、ΔBCD 均为等边三角形，二面角A -BC -D 的平面角为60°，则三棱锥外接球的表面积是________．3．已知边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD =120°，沿对角线AC 折成二面角B -AC -D 的大小为θ的四面体且cos θ=13，则四面体ABCD 的外接球的表面积为________．4．在三棱锥P -ABC 中，顶点P 在底面ABC 的投影G 是ΔABC 的外心，PB =BC =2，且面PBC 与底面ABC 所成的二面角的大小为60°，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为________．5．直角三角形ABC ，∠ABC =π2，AC +BC =2，将ΔABC 绕AB 边旋转至ΔABC 位置，若二面角C -AB -C 的大小为2π3，则四面体C -ABC 的外接球的表面积的最小值为( )A.6π B.3π C.32π D.2π6．已知空间四边形ABCD 中，AB =BD =AD =2，BC =1，CD =3，若二面角A -BD -C 的取值范围为π4，2π3 ，则该几何体的外接球表面积的取值范围为________．7．在三棱锥S -ABC 中，底面ΔABC 是边长为3的等边三角形，SA =3，SB =23，二面角S -AB -C 的大小为60°，则此三棱锥的外接球的表面积为________．8．在四面体ABCD 中，BC =CD =BD =AB =2，∠ABC =90°，二面角A -BC -D 的平面角为150°，则四面体ABCD 外接球的表面积为( )A.313πB.1243πC.31πD.124π9．在三棱锥A -BCD 中，AB =BC =CD =DA =7，BD =23，二面角A -BD -C 是钝角．若三棱锥A -BCD 的体积为2．则三棱锥A -BCD 的外接球的表面积是( )A.12πB.373πC.13πD.534π10．在平面五边形ABCDE 中，∠A =60°，AB =AE =63，BC ⊥CD ，DE ⊥CD ，且BC =DE =6．将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120°，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积是________．专题八　已知球心或球半径模型【例题选讲】例8.[例]　(1)(2017·全国Ⅰ)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．(2)已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为3，BC= 3，BD=3，∠CBD=90˚，则球O的体积为________．(3)(2012全国Ⅰ)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22(4)(2020·新高考全国Ⅰ)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．(5)三棱锥S-ABC的底面各棱长均为3，其外接球半径为2，则三棱锥S-ABC的体积最大时，点S到平面ABC的距离为( )A.2+3B.2-3C.3D.2【对点训练】1．已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB=22，∠ACB=90°，PA为球O 的直径且PA=4，则点P到底面ABC的距离为( )A.2B.22C.3D.232．已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，AB=6，BC=23，且四棱锥O-ABCD 的体积为83，则R等于( )A.4B.23C.479D.133．已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P-ABC的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A.16π3B.40π3C.64π3D.80π34．已知三棱锥A-SBC的体积为233，各顶点均在以PA为直径球面上，AB=AC=2,BC=2，则这个球的表面积为_____________．5．(2017·全国Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．6．(2020·全国Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π7．(2020·全国Ⅱ)已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为( )A.3B.32C.1D.328．如图，半径为R的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的38，则这两个圆锥高之差的绝对值为( )A.R2B.2R3C.4R3D.R9．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是( )A.4πB.πC.2πD.π210．在三棱锥A-BCD中，底面为Rt△，且BC⊥CD，斜边BD上的高为1，三棱锥A-BCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A-BCD的体积的最大值为________．专题九　最值模型【方法总结】最值问题的解法有两种方法：一种是几何法，即在运动变化过程中得到最值，从而转化为定值问题求解．另一种是代数方法，即建立目标函数，从而求目标函数的最值．【例题选讲】例9.[例]　(1)已知三棱锥P-ABC的顶点P，A，B，C在球O的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为________．(2)在四面体ABCD中，AB=1，BC=CD=3，AC=2，当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为( )A.2πB.3πC.6πD.8π(3)已知四棱锥S-ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16+163，则球O的体积等于( )A.42π3 B.162π3 C.322π3 D.642π3(4)三棱锥A-BCD内接于半径为5的球O中，AB=CD=4，则三棱锥A-BCD的体积的最大值为( )A.43B.83C.163D.323(5)已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为_ _______．【对点训练】1．三棱锥P-ABC的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )A.4B.6C.8D.102．(2015·全国Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π3．已知点A，B，C，D均在球O上，AB=BC=6，AC=23．若三棱锥D-ABC体积的最大值为3，则球O的表面积为________．4．在三棱锥A-BCD中，AB=1，BC=2，CD=AC=3，当三棱锥A-BCD的体积最大时，其外接球的表面积为________．5．已知三棱锥D-ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB=BC=2，AC=22，若三棱锥D-ABC体积的最大值为2，则球O的表面积为( )A.8πB.9πC.25π3D.121π96．三棱锥A-BCD的一条棱长为a，其余棱长均为2，当三棱锥A-BCD的体积最大时，它的外接球的表面积为( )A.21π4B.20π3C.5π4D.5π37．已知三棱锥O-ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O-ABC的体积为( )A.32B.233C.23D.138．(2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )A.123B.183C.243D.5439．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，∠ASC=∠BSC=30˚，则棱锥S-ABC的体积最大为( )A.2B.83C.3D.2310．四棱锥P-ABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P在球面上，则四棱锥P-ABCD体积的最大值为( )A.8B.83C.16D.16311．(2016·全国Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB=6，BC =8，AA1=3，则V的最大值是( )A.4πB.9π2C.6πD.32π312．已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为___．13．如图，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=2a，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，连接A1C．若当三棱锥A1-CDE的体积取得最大值时，三棱锥A1-CDE外接球的体积为82π3，则a=( )A.2B.2C.22D.414．已知三棱锥S-ABC的顶点都在球O的球面上，且该三棱锥的体积为23，SA⊥平面ABC，SA=4，∠ABC=120°，则球O的体积的最小值为________．专题十　内切球模型【方法总结】以三棱锥P -ABC 为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P -ABC 体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，球心为O ，建立等式：V P -ABC =V O -ABC +V O -PAB +V O -PAC +V O -PBC ⇒V P -ABC =13S △ABC ·r +13S △PAB ·r +13S △PAC ·r +13S △PBC ·r =13(S △ABC +S △PAB +S △PAC +S △PBC )·r ；第三步：解出r =3V P -ABC S O -ABC +S O -PAB +S O -PAC +S O -PBC =3V S 表．秒杀公式(万能公式)：r =3V S 表【例题选讲】例10.[例]　(1)已知一个三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的内切球的体积为________．(2)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．(3)阿基米德(公元前287年~公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论．要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边．若表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为( )A.4πB.16πC.36πD.64π3(4)已知三棱锥P -ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA =PB =PC =2，则三棱锥P -ABC 的外接球与内切球的半径比为________．(5)正四面体的外接球和内切球上各有一个动点P 、Q ，若线段PQ 长度的最大值为436，则这个四面体的棱长为________．【对点训练】1．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2=________.2．已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O (重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的78时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( )A.7π6 B.4π3 C.2π3 D.π23．已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形，且PA =PB =PC =PD ，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( )A.6 B.5C.92D.944．将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为( )A.π B.2π C.3π D.4π。

万能解题模型(十五) 十字架模型正方形ABCD 类型1 运用正方形内十字架模型解题 第一境界 正方形十字架模型的基本应用【例1】 如图，将边长为12 cm 的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在边CD 上的E 点处，然后压平得折痕FG.若GF 的长为13 cm ，则线段CE 的长为7cm .【思路点拨】 根据折叠的性质可知，FG ⊥AE ，则本题中存在正方形的十字架模型，从而易得FG ＝AE ＝13.再在Rt △ADE 中，根据勾股定理可以求出DE 的长度，从而得到CE 的长度．【变式训练1】 如图，将边长为8 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 的中点E 处，折痕为MN ，点N 在CD 边上，则折痕MN 的长是第二境界 构造正方形十字架模型【例2】 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，D 是BC 边上的中点，BE ⊥AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ，则AF ∶FC ＝2．【思路点拨】 图中有一个垂直的十字架，可以考虑将十字架放在一个正方形或矩形中，运用模型解题．如图，过点C 作CG ∥AB ，过点A 作AG ∥BC ，两条直线交于点G ，则可得四边形ABCG 是正方形，延长BF 交CG 于点H.根据“正方形内十字架模型”可以得到△ABD ≌△BCH ，则CH ＝BD.在根据△AFB ∽△CFH ，由相似的性质可以求出AF ∶FC 的值．类型2 运用矩形内十字架模型解题 第一境界 矩形十字架模型的基本应用【例3】 如图所示，在矩形ABCD 中，EF ⊥GH ，AM ⊥BN.EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，点M ，N 分别在BC ，CD 上．若EF GH ＝79，则BN AM ＝79．【思路点拨】 分析出图中的十字架模型，然后根据矩形内十字架模型可以求出． 【变式训练2】 (九上北师大教材P 19第4题改编)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，将纸片折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，则EF 的长为152．提示：∵EF ⊥AC ，∴EF AC ＝ABBC，即EF 10＝68.∴EF ＝152. 第二境界 构造矩形十字架模型【例4】 如图，在▱ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，且∠B ＝45°，将▱ABCD 对折，使点B 和点D 重合，则折痕MN 3【思路点拨】 图中有垂直的十字架，补全图形将十字架放在矩形中，过点B 作BE ⊥AD于点E ，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，则由矩形十字架型可得MN BD ＝BEDE.【变式训练3】 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝10，BC ＝CD ＝5，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在BC ，AB 边上，求DNAM的值．解：连接AC ，易证△ADC ≌△ABC(SSS )，∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°. 过点D 作EF ∥AB ，过点A 作AF ⊥EF 于点F ，延长BC 交EF 于点E. 易证△DEC ∽△AFD ，且相似比为1∶2. 设CE ＝x ，则DF ＝2x ，∴DE ＝10－2x. ∴AF ＝20－4x ＝BE ＝5＋x. ∴x ＝3.∴BE ＝8.根据“矩形内十字架模型”可得DN AM ＝BE AB ＝45.启示：一般情况下，当矩形、正方形、直角三角形等图形内出现“垂直”情况时，可考虑十字架结构模型，通过相似(或全等)求线段的长．1．如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点E ，F 分别在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝2，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为(B )A ．25B .342C ．42D .8532．如图，已知直线y ＝－12x ＋2分别与x 轴、y 轴交于B ，A 两点，将△AOB 沿着AB 翻折，使点O 落在点D 上．若反比例函数y ＝kx的图象经过点D ，则k 的值为(D )A ．4B .12125C ．5D .128253．(2019·张家界)如图，正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别为BC ，CD 边的中点，连接AE ，BF 交于点P ，连接PD ，则tan ∠APD ＝2．4．(2017·安徽)已知正方形ABCD ，点M 为边AB 的中点．(1)如图1，点G 为线段CM 上的一点，且∠AGB ＝90°，延长AG ，BG 分别与边BC ，CD 交于点E ，F.求证： ①BE ＝CF ； ②BE 2＝BC·CE.(2)如图2，在边BC 上取一点E ，满足BE 2＝BC·CE ，连接AE 交CM 于点G ，连接BG 并延长交CD 于点F ，求tan ∠CBF 的值．解：(1)①∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCF ＝90°. ∴∠ABG ＋∠CBF ＝90°.∵∠AGB ＝90°，∴∠ABG ＋∠BAG ＝90°. ∴∠BAG ＝∠CBF.∴△ABE ≌△BCF(ASA )． ∴BE ＝CF.②∵∠AGB ＝90°，点M 为AB 的中点， ∴MG ＝MA ＝MB.∴∠GAM ＝∠AGM. 又∵∠CGE ＝∠AGM ，∠GAM ＝∠CBG ， ∴∠CGE ＝∠CBG.又∵∠ECG ＝∠GCB ，∴△CGE ∽△CBG. ∴CE CG ＝CGBC，即CG 2＝BC·CE. 由∠CFG ＝∠GBM ＝∠BGM ＝∠CGF 得CF ＝CG ， 由①知BE ＝CF ， ∴BE ＝CG. ∴BE 2＝BC·CE.(2)延长AE ，DC 交于点N ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ∥CD.∴∠N ＝∠EAB. 又∵∠CEN ＝∠BEA ， ∴△CEN ∽△BEA. ∴CE BE ＝CNBA，即BE·CN ＝AB·CE. ∵AB ＝BC ，BE 2＝BC·CE ，∴CN ＝BE.∵AB ∥DN ，∴CN AM ＝CG GM ＝CFBM.∵AM ＝MB ， ∴FC ＝CN ＝BE.设正方形的边长为1，BE ＝x ，由BE 2＝BC·CE 可得x 2＝1×(1－x)，解得x 1＝5－12，x 2＝－5－12(舍去)．∴BEBC ＝5－12.FC BC＝BEBC＝5－12.则tan∠CBF＝。

高考中高频的108个模型总结高考中的数学题型有很多种，按照题目的性质和解题方法可以分为不同的模型。

经过总结，我们可以将高考中的数学题型归纳为108个模型，这些模型涵盖了从初中到高中数学的各个知识点，并且在高考中出现的频率较高。

这些模型不仅可以帮助我们系统地复习数学知识，还可以帮助我们有效地解决高考中的数学题目。

首先，我们来看一些常见的基础模型。

例如，解形如ax+b=cx+d的一元一次方程，解形如a/x+b/y=c的一元一次方程组，以及解形如ax^2+bx+c=0的一元二次方程等等。

这些基础模型在高考中出现的频率很高，掌握好这些基础模型可以为我们解决其他更加复杂的问题打下基础。

其次，高考中还经常出现几何模型。

比如，通过已知条件求证两条直线平行或垂直，通过已知条件求证三角形全等或相似，通过平移、旋转、翻折等方法求解几何题目等等。

几何模型不仅需要我们熟练掌握基本的几何知识，还需要我们发挥想象力和逻辑推理能力来解决问题。

另外，在高考中还经常出现函数模型。

比如，通过函数的定义域、值域、奇偶性等性质求解函数的图像，通过函数的导数或积分求解函数的极值、拐点等问题，通过函数的周期性、对称性等性质求解函数的周期、对称轴等问题等等。

函数模型是高等数学的重要内容，也是高考中的一个重点。

此外，高考中还可能出现概率与统计模型。

比如，通过条件概率、全概率公式、贝叶斯公式等方法求解概率问题，通过频率分布、均值、方差等统计量求解统计问题，通过正态分布、卡方分布等概率分布求解相关问题等等。

概率与统计模型需要我们灵活运用各种概率统计方法来解决实际问题。

总的来说，高考中的数学题型有很多种，但是它们都可以归纳为一些基础的模型。

通过系统地掌握这些模型，我们可以更加高效地解决高考中的数学问题。

在复习阶段，我们可以按照模型分类进行复习，先复习基础模型，再复习几何模型、函数模型、概率与统计模型等，以此来提高解题效率。

希望我们每一个高考数学的考生都能够顺利地应对高考挑战，取得优异的成绩。

专题03 立体几何大题解题模板一、证明平行或垂直的主要方法：1、证明线线平行的方法：(1)利用直线平行的传递性：31//l l ，32//l l ⇒21//l l ；(2)利用垂直于同一平面的两条直线平行：α⊥1l ，α⊥2l ⇒21//l l ；(3)中位线法：选中点，连接形成中位线；(4)平行四边形法：构造平行四边形；(5)利用线面平行推线线平行：2l =βα ，β⊂1l ，α//1l ⇒21//l l ；(6)建系：),,(1111z y x l =，),,(2222z y x l =，21l l λ=⇒21//l l 。

2、证明线面平行的方法：(1)利用线面平行的判定定理(主要方法)：α⊄1l ，α⊂2l ，21//l l ⇒α//1l ；(2)利用面面平行的性质定理：βα//，β⊂1l ⇒α//1l ；(3)利用面面平行的性质：βα//，α⊄1l ，β//1l ⇒α//1l 。

(4)建系：),,(1111z y x l =，平面α的法向量),,(222z y x n =，01=⋅n l ⇒α//1l 。

3、证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的判定定理(主要方法：证明两个平面内的两组相交直线相互平行)：31//l l ，42//l l ，A l l =21 ，B l l =43 ，α⊂21l l 、，β⊂43l l 、⇒βα//；(2)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)：α⊥1l ，β⊥1l ⇒βα//；(3)利用平面平行的传递性：γα//，γβ//⇒βα//。

(4)建系：平面α的法向量),,(1111z y x n =，平面α的法向量),,(2222z y x n =，21n n λ=⇒βα//。

4、证明线线垂直的方法：(1)利用平行直线的性质：31l l ⊥，32//l l ⇒21l l ⊥；(2)利用直面垂直的推理：α⊥1l ，α⊂2l ⇒21l l ⊥；(3)中线法：等腰三角形中选中点，三线合一；(4)利用勾股定理的逆定理：若222c b a +=，则ABC ∆是直角三角形；(5)建系：),,(1111z y x l =，),,(2222z y x l =，021=⋅l l ⇒21l l ⊥。

高中数学解答题通用答题模板1. 三角变换与三角函数的性质问题①解题路线图§ 不同角化同角。

§ 降幂扩角。

§ 化f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h。

§ 结合性质求解。

②构建答题模板§ 化简：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。

§ 整体代换：将ωx＋φ看作一个整体，利用y＝sin x，y＝cos x的性质确定条件。

§ 求解：利用ωx＋φ的范围求条件解得函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h的性质，写出结果。

§ 反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。

2. 解三角函数问题①解题路线图§ 化简变形；用余弦定理转化为边的关系；变形证明。

§ 用余弦定理表示角；用基本不等式求范围；确定角的取值范围。

②构建答题模板§ 定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。

§ 定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。

§ 求结果。

§ 再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。

3. 数列的通项、求和问题①解题路线图§ 先求某一项，或者找到数列的关系式。

§ 求通项公式。

§ 求数列和通式。

②构建答题模板§ 找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。

§ 求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。

§ 定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)。

§ 写步骤：规范写出求和步骤。

§ 再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范。

高中数学解题方法1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？A 表示函数y=lgx 的定义域，B 表示的是值域，而C 表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

{}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301若，则实数的值构成的集合为B A a ⊂ （答：，，）-⎧⎨⎩⎫⎬⎭1013显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。

故B 只能是-1或者3。

根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。

3. 注意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。

同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有2n种选择， 即集合A 有2n个子集。

当然，我们也要注意到，这2n种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为21n-，非空真子集个数为22n-（）若，；2A B A B A A B B ⊆⇔==I Y（3）德摩根定律：()()()()()()C C C C C C U UUUUUA B A B A B A B Y I I Y ==，有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂,A B A B A B A B ==U I I U4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x aM M M a --<∈∉50352的取值范围。

143个高中高频数学解题模型一、一元一次方程与一元一次方程组1. 一元一次方程的定义一元一次方程指的是只含有一个变量，并且最高次数为一的方程，通常表示为ax+b=0。

解一元一次方程的方法主要有求解法和图解法。

2. 一元一次方程组的概念一元一次方程组指的是由若干个一元一次方程组成的方程组，通常表示为a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2解一元一次方程组的方法主要有代入法、加减法和等系数消去法。

二、一元二次方程与一元二次不等式1. 一元二次方程的特点一元二次方程指的是最高次数为二的方程，通常表示为ax^2+bx+c=0。

解一元二次方程的方法主要有配方法和求根公式。

2. 一元二次不等式的解法一元二次不等式指的是最高次数为二的不等式，通常表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0。

解一元二次不等式的方法主要有因式分解法和图像法。

三、二元二次方程与二元二次不等式1. 二元二次方程的定义二元二次方程指的是含有两个变量且最高次数为二的方程，通常表示为ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0。

解二元二次方程的方法主要有配方法和消元法。

2. 二元二次不等式的概念二元二次不等式指的是含有两个变量且最高次数为二的不等式。

解二元二次不等式的方法主要有图解法和代数法。

四、指数与对数1. 指数的基本性质指数是幂运算的一种表示方式，有基本性质包括乘法法则、除法法则和零指数法则。

2. 对数的基本概念对数是幂运算的逆运算，有基本性质包括对数的乘除法则和对数的换底公式。

五、三角函数与解三角形1. 三角函数的基本性质三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，有基本性质包括奇偶性、周期性和对称性。

2. 解三角形的基本方法解三角形主要包括利用三角函数和利用三角恒等式两种方法，主要应用于解直角三角形和不定角三角形。

六、平面向量的运算1. 平面向量的基本定义平面向量是具有大小和方向的量，有基本运算包括数乘、加法和减法。

高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型墙角模型是指三条线段两两垂直的几何体，通过公式(2R) = a + b + c，即2R = a^2 + b^2 + c^2，可以求出其外接球半径R。

例1：1）已知顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，求该球的表面积。

解：由V = ah = 16，得a = 2，4R = a + a + h = 4 + 4 + 16 = 24，S = 24π，答案为C。

2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，求其外接球的表面积。

解：由2R = a + b + c = 3 + 3 + 3 = 9，得R = 9/4，S =4πR^2 = 9π。

3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA = 23，求正三棱锥S-ABC外接球的表面积。

解：由墙角模型的特点可知，正三棱锥的对棱互垂直。

连接AB、BC的中点D、E，连接AE、CD，交于H，则H是底面正三角形ABC的中心。

由AM⊥MN，SB//MN，可得AM⊥SB，AC⊥SB，故SB⊥平面SAC，SB⊥SA，SB⊥SC，即SB⊥SA，BC⊥SA，故SA⊥平面SBC，SA⊥SC。

因此，三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，由2R^2 = 23^2 + 23^2 + 23^2 = 36，得R^2 = 9，S = 36π。

类型二、棱台模型棱台模型是指上底面和下底面都是正多边形，且两底面中心连线与侧棱垂直的几何体。

通过勾股定理和相似三角形，可以求出其外接球半径R和内切球半径r。

例2：1）已知棱台的上底面和下底面都是正三角形，上底边长为3，下底边长为6，侧棱长为5，求其外接球半径R和内切球半径r。

解：由勾股定理可得棱台的高为4√3.设外接球半径为R，内切球半径为r，则有R/r = (a + b + c)/(a + b - c) = (3 + 6 +5)/(3 + 6 - 5) = 7，解得R = 7r。

1、数统逻辑，有11个秒杀模型，分别是纯虚实法、交点代入法、取最值法、双绝对值之和、二元和最值、变量相等模型、交并排除法、交并集理论、公式推测法、选择题选项法、估算法；
2、数列，有6个秒杀技巧，分别是常备数列法、单条件法、等差等比求和、特殊值法、特征根法、等差类通项；
3、导数，这部分有10个秒杀技巧，分别是必备不等式、三次函数因次分解、三次函数极值点、三次函数切线问题、必备复合函数、变号零点相同模型、零点比大小模型、端点效应、导向法、幸运数字法；
4、知识是三角与向量，这部分有15个秒杀技巧，分别是1的妙用、勾股定理、周期口诀、最值问题、射影定理、角平分定理、面积公式、特殊三角形、伪降幂公式、中点转化式、特殊值求向量、画图法、几何求模长、等和线、奔驰定理；
5、知识是解析几何，有11个秒杀技巧，分别是切线模板、内外分弦、焦端点三角形、离心率模型、中点弦模型、焦点弦径模型、焦点相关面积模型、交点相关面积模型、仿射变换、平移齐次法、点线对称；
6、立体几何知识，这部分有6个秒杀技巧，分别是还原三视图、方体模型、内切球模型、外接球模型、空间余弦定理、射影面积求二面角；
7、基本初等函数了，这个部分有8个秒杀技巧，分别是1/0比较法。

参数问题、知式求图、抽象具体化、对称最值、中值模型、周期对称、双括号不等式。