下载文档原格式
春季讲义七年级（一）“三线八角”专题〖有关三线八角的介绍〗一条直线分别同两条直线相交(或者说两条直线被第三条直线所截) , 构成8个角,这些角中,没有公共顶点的两个角之间有以下三种位置关系:同位角、和同旁内角.同位角定义：共有 对 内错角定义： 共有 对 同旁内角定义： 共有 对〖探索1〗如图,直线AB 、CD 与直线EF 相交,图中哪几对角是同位角?哪几对角是内错角?哪几对角是同旁内角?〖探索2〗如图,直线AB 、CD 与直线EF 相交,∠5和_____是同位角,和____是内错角,与______是同旁内角. 〖探索3〗如图,直线AB 、CD 与直线EF 相交,图中哪几对角是同位角?哪几对角是内错角?哪几对角是同旁内角?〖探索4〗如图,找出∠1的内错角,用红笔一笔画出它们,先观察这两个角是否像英文字母"N", 再指出它们是哪两条直线被哪一条直线所截而成.〖探索5〗如图,已知四边形ABCD 是梯形,你能用红笔一笔画出图中任意一对同旁内角吗?图中一有几对同旁内角?A B C D 1 2 34 5E F A B CD 1 2 34 5 F E 6 7 8AB E D 1 2 34 5 F C 6 7 8 A B C D 1 23 4 5 F E 6 7 8 B CA B 1 D C〖探索6〗如图,直线EF 、CD 与直线AB 相交,任意找出一对同位角,分别记为∠1和∠2,你能用红笔一笔画出这两个角吗?【巩固练习】1.如图,BE 是AB 的延长线,指出下面的两个角是哪两条直线被哪一条直线所截而成?它们是什么角?(1)∠A 和∠D;(2)∠A 和∠CBA;(3)∠C 和∠CBE.2.如图,∠1与∠2是哪两条直线被哪一条直线所截而成?它们是什么角? ∠1与∠3是哪两条直线被哪一条直线所截而成?它们是什么角?3.如图,∠A 与哪个角是内错角?它们是由哪两条直线被哪一条直线所截而成的?试用彩色笔画出这两个角. ∠A 与哪个角是同旁内角?它们是由哪两条直线被哪一条截而成的?试用彩色笔验证答案.4.找出图中∠DEC 的同位角,内错角和同旁内角.找出图中∠ADE 的同位角,内错角和同旁内角.5.如图，∠6和∠2是_________角，∠5和∠6是_________角，∠5和∠7是_________角，∠1和∠5是_________角，∠4和∠6是_________角，∠3和∠1是_________角。
2023七年级三线八角课件CATALOGUE 目录•引言•三线八角的定义和性质•基础概念和定理•习题解答和分析•课堂互动与拓展•教学反思和总结01引言1课程背景23学生在小学阶段已经接触过简单的图形知识七年级数学上册第一章已经学习了线段和角本课件是为了帮助学生巩固所学知识并深入理解三线八角相关内容掌握三线八角的概念及基本性质会用符号表示三线八角能利用三线八角解决实际问题课程目标教学内容三线八角的概念及基本性质三线八角的表示方法利用三线八角解决实际问题02三线八角的定义和性质三线八角的定义七年级数学中三线八角是指由同一条直线上的三条线段或射线组成的八个角。
底角: 在三角形中，相邻两边之间的夹角小于90度，这个角叫做底角。
顶角: 在三角形中，相邻两边之间的夹角大于90度，这个角叫做顶角。
等角: 如果两个角的度数相等，那么这两个角叫做等角。
如果两个角是等角，那么它们所对的边也是相等的。
等角对等边 在两条平行线被第三条直线所截的情况下，内错角相等。
内错角相等 在两条平行线被第三条直线所截的情况下，同位角相等。
同位角相等 对顶角相等是指如果两个角是对顶角，那么它们的度数相等。
对顶角相等在几何证明中，三线八角是一种常见的几何图形，常常被用来进行各种几何证明。
在解决一些实际问题时，三线八角也常常被用来作为辅助线或者构造一些几何形状。
03基础概念和定理基础概念射线一个点沿着一定方向无限延伸形成的图形。
直线一个或多个点沿着一定路径无限延伸形成的图形。
线段两个点之间的距离形成的图形。
平行线永远不会相交的两条直线。
相交线两条直线或射线在同一点相遇形成的交点。
定理的证明和解读对顶角相等两个相交的直线或射线在形成两个角，这两个角互为对顶角，它们的大小相等。
三角形内角和为180度一个三角形内的三个角的度数之和等于180度。
四边形内角和为360度一个四边形内的四个角的度数之和等于360度。
定理的应用利用对顶角相等，可以证明两个角是否相等。
帮你识别三线八角河南两条直线被第三条直线所截，构成了八个角，一般称为“三线八角”。
如图1。
其中没有公共顶点的角可分为三类，即同位角、内错角、同旁内角。
它们既是进一步学习直线平行的条件和性质的基础，又是以后学习三角形、相似形、圆等不可缺少的知识。
那么怎样才能学好“三线八角”呢？一、注意弄清截线与被截线辨别“三线八角”的关键是分清哪一条直线截哪两条直线形成了哪些角，因此必须弄清截线与被截线。
最简单的方法是：两个角公共边所在的直线是截线，共余两边所在直线是被截线。
如图1，直线c与直线a、b相交，则直线c为截线。
可见，若在两个角的顶点附近观察，与两条直线都相交的直线，就是这两条直线的截线，它是相对于其他两条直线而言的。
图1二、注意掌握三类角的基本特征同位角、内错角、同旁内角是根据每对角所在的位置而命名的，因而它们都有各自的特征。
1、同位角的基本特征：“同旁同侧”，即在两条直线（被截段）的同旁，第三条直线（截线）的同侧，如图1中的∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
这几对角的边所在的直线构成任意旋转的“F”字形。
2、内错角的基本特征：“内部两旁”，即在两条直线（被截线）的内部，第三条直线（截线）的两侧，如图1中的∠3与∠5、∠4与∠6。
两角的边所在直线构成任意旋转的“Z”字形。
3、同旁内角的基本特征：“内部同旁”，即在两条直线（被截线）的内部，第三条直线（截线）的同侧，如图1中的∠3与∠6，∠4与∠5。
两角的边所在直线构成任意旋转的“”形。
三、注意图形的识别1、基本图形的识别方法。
识别基本图形中各种相关的角时，可直接根据各类角的基本特征进行识别判断。
2、复杂图形的识别方法。
复杂图形是由简单图形组合而成的。
在识别比较复杂的图形时，要善于将图形分解，即根据自己所思考的问题，只重视与所考察的角有关的直线或线段，而对那些与问题无关的直线或线段要视而不见，把复杂图形的识别转化为简单的基本图形的识别。
例（教科书第19页第6题）根据图2中所给出的条件，找出互相平行的直线和互相垂直的直线。
《三线八角》教案泉州市泉港区三川中学陈碧辉一、教学背景分析1、教材的地位与作用几何推理证明是初中数学另一个重要知识之一，中考必考内容之一。
本学期刚开始涉及到几何推理证明的知识，同时这一节课的内容三线八角（同位角、内错角、同旁内角）是后面几何（平行线、三角形、四边形等）推理证明必不可少的元素，因此直接影响后面的几何知识的学习，可见本节课知识的重要性。
本节课的内容是在学生基本掌握了两条直线相交（一个交点）形成的四个角相互之间的关系（邻补角、对顶角）、性质（邻补角互补、对顶角相等）原有认知的基础上，进一步探究两条直线都与第三条直线相交（两个交点）形成的八个角间的关系——三线八角（同位角、内错角、同旁内角）。
本人在这节课的教学上打破了过去灌输给学生的教学方式，而是利用多媒体技术、引导学生：观察（图形）——总结（结论）——定结论——模仿寻找——应用结论这一系列学习过程，可以让学生快速的、准确的从复杂图形中抽象出同位角、内错角、同旁内角的基本图形，从而找到图形中的同位角、内错角、同旁内角，这就为后面的几何知识的学习打下良好的基础。
2、学习者知识基础分析学生是在基本掌握了两条直线相交（一个交点）形成的四个角相互之间的关系（邻补角、对顶角）、性质（邻补角互补、对顶角相等）的基础上进一步学习两条直线都与第三条直线相交（两个交点）形成的八个角间的关系——三线八角（同位角、内错角、同旁内角），这两节课的内容学生特别容易混淆，以致影响后面知识的学习。
而初一学生，求知欲强、好奇心重、参与意识较强，还具备一定的合作、探究能力。
为了实现本节课的教学目标，在教学中设置以下环节：复习导入为本节课新知识做好铺垫，教师引导，观察、描述角的位置，得出结论（方法——从复杂图形中抽象出基本图形）、应用解决实际问题，巩固应用使学生掌握扎实，归纳总结明确目标；应用数学知识解决我们身边的数学加强学生应用的意识，通过知识的迁移拓展学生思维，提高学生辨析能力二、媒体资源的运用利用多媒体辅助手段，发挥其快捷、简洁、生动、形象的辅助作用，激发学生兴趣。
1.三线八角计数规律是什么？
答：三线八角计数规律：一看三线，二找截线，三查位置来分辫。
【拓展资料】
三线八角是几种常见的位置相关角，指同一平面上的两条直线被第三条直线所截形成的八个角，有同位角，内错角，外错角，同旁内角，同旁外角。
在同一平面内，两条直线被一条直线相截所形成的八个角称为“三线八角”。
八个角的相对位置：
两条直线被第三条直线所截，所得的八个角，叫做三线八角。
如图1所示：图1中的：L1,L2,L3
和∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8就是三线八角。
按上述八个角的相互位置，给以下列不同名称：。
【课题】2.2同位角、内错角、同旁内角（“三线八角”） 【学习目标】会找同位角（“F 型”）、内错角（“Z 型”）、同旁内角（“U 型”） 【学习重点】会认各种图形下的“三线八角” 【学习过程】 知识预备 如图，①12∠∠与是由直线 和直线_____被第三条直线______所截而成的 角； ②∠4与∠5是由直线 和直线____被第三条直线____所截而成的 角； ③∠2与∠5是由直线 和直线____被第三条直线____所截而成的 角；知识运用 （一）基础达标 例1、如图，①12∠∠与是 角；它们是由直线 和直线 ，被直线 所截得的； ②14∠∠与是 角；它们是由直线 和直线 ，被直线 所截得的； ③∠3与∠5是 角；它们是由直线 和直线 ，被直线 所截得的。
能力提升 例2、(1) (2)（1）∠1 与 是同位角，∠1 与 是同旁内角；∠3 与 是内错角。
(2)∠1与____是同位角；∠C 的内错角是____；∠B 的同旁内角有_______。
ba n m 2 3 145HGFEDCBA432121ED CB A3412C BDA（三）知识拓展例3、已知AB ⊥BC 于点B ，BC ⊥CD 于点C ，（1）∠1与∠3、∠2与∠4关系是___________________；（2）∠3的内错角是____________； （3）∠ABC 的内错角是_________________； （4）∠1与∠2是内错角吗？为什么？四、巩固练习： A 组1、如图是同位角关系的两角是 ，是互补关系的两角是 ，是对顶角的是 。
2、两条直线被第三条直线所截,则( )A 、同位角相等B 、内错角的对顶角一定相等C 、同旁内角互补D 、内错角不一定相等3、如图（1）∠1与∠4可以看成是 和 被 所截而形成的 角。
∠2与∠3可以看作是 和 被 所截而形成的 。
（1） （2）4、如图（2）已知四条直线AB ，BC ，CD ，DE ，回答以下问题：①∠1和∠2是直线______和直线_____被直线____所截而成的___ 角. ②∠1和∠3是直线____和直线____被直线___所截而成的____ 角. ③∠4和∠5是直线_____和直线_____被直线____所截而成的____ 角. ④∠2和∠5是直线____和直线_____被直线____所截而成的__ 角.五、课堂反思：1、今天，你学习了什么知识？ 2、对今天的课，你还有哪些困惑？4321。
帮你学习“三线八角”两条直线被第三条直线所截，构造了八个角，一般称为“三线八角”．如图1，其中没有公共顶点的角可分为三类，即同位角、内错角、同旁内角．它们是进一步学习平行线的一个重要基础，又是以后学习三角形、相似形及圆等不可缺少的知识．那么怎样学好“三线八角”呢？一、注意弄清截线与被截线辨别“三线八角”的关键是哪两条直线被哪一条直线所截．因此必须弄清截线与被截线．如图1，直线 c 与直线a 、b 相交，则直线c 为截线； 如图2，直线AB 、BC 、CA 两两相交， 对于直线AB 、AC 来说，直线BC 是截线； 对于直线AB 、BC 来说，直线AC 是截线； 对于直线AC 、BC 来说，直线AB 是截线 .可见，与两条直线都相交的直线就是这两条直线的截线. 二、注意掌握三类角的基本特征同位角、内错角、同旁内角是根据每对角所在的位置而命名的，因而它们都有各自的特征．1.同位角的基本特征：同旁同侧，即在两条直线的同旁，第三条直线（截线）的 同侧．如图1，∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8．故两角的边所在直线构成任意旋转的“F ”字形 .2.内错角的基本特征：内部两旁，即在两条直线的内部，第三条直线（截线）的两旁．如图1，∠3与∠5，∠4与∠6．故两角的边所在直线构成任意旋转的“Z ”字形 .3.同旁内角的基本特征：内部同旁，即在两条直线的内部，第三条直线（截线）的同旁．如图1，∠3与∠6，∠4与∠5．故两角的边所在直线构成任意旋转的“U ”字形 .由此可见，在截线的同旁，找同位角和同旁内角；在截线的两旁，找内错角．图112 3 4 56 7 8abc（图2） A BC三、注意图形的识别1.基本图形的识别方法. 识别基本图形中各种相关的角时，可直接根据各类角的基本特征进行识别判断.例 1 如图3，指出所标出的各角中的同位角、内错角和同旁内角． 析解：直线AB 、AC 被直线EF 所截， 所以∠3与∠4是同位角，∠1与∠4是内 错角，∠2与∠4是同旁内角．2.复杂图形的识别方法复杂的图形是由简单的图形组合而成的．在识别比较复杂的图形时，要善于将图形分解，即根据自己所思考的问题，把图形定位，抽出只与所考察的角有关的直线或线段，去掉那些与问题无关的直线或线段，从而把复杂图形的识别转化为简单的基本图形的识别．例 2 如图4，指出图中所有的同位角、内错角和同旁内角． 析解：把相关的两个角从图4中分离出来，得到如图5所示的简单图形，这样就容易判断出：图5∠1与∠4是同位角（图5①）；∠2与∠5是内错角（图5②）；∠3与∠4是同旁内角（图5③），∠4与∠5是同旁内角（图5④），∠3与∠5是同旁内角（图5⑤）.A（图3） C 1 BE F 2 3 41 2 3 4 5（图4）35142 534 54① ② ③④⑤。
用图形分离法学习“三线八角”
（长沙市二十九中 董辉初）
图形分离法就是面对一个比较复杂的图形时，从解题需要的角度出发，在保持图形中各元素（点、线、角等）相对位置不变的情况下，提取出原图的一部分来进行分析问题的解题方法。
分离出来的图形，与原图相比，肯定要简单些，少了许多来自于一些不相干的图形元素的干扰，比较容易找到解题的突破口。
图形简化了，难题就不难了，看着简化图形，结合基本知识，诸多问题便可迎刃而解了。
如图1，直线AB 、CD 与EF 相交（也可以说两条直线AB 、CD 被第三条直线EF 所截），形成了8个小于平角的角，我们通常将这样的几何模型简称为“三线八角”。
这8个角中，有些角是有公共顶点的，如∠1与∠3,∠5与∠8等，本文所探讨的是另一类角，如∠1与∠5，∠3与∠5,∠4与∠5等，这几对角没有公共的顶点，但
都存在一边共线，也就是说每一个角都有一条边在直线EF 上，这是人教版七年级数学第5.1.3节的教学内容，即“同位角、内错角、同旁内角”，这是本章知识的重点，也是难点，对这一知识掌握的好与坏将直线影响到后续知识的学习。
实践证明，“图形分离法”在这里就能大显身手，使教与学的活动收到了事半功倍的效果。
在讲授“同位角、内错角、同旁内角”的基本概念时，为了能让学生比较直观地识别出这三种角，我就将图1分离出图2这些比较简单的图形。
再由图形的象形特征，指出这8个分离图形中有三类，分
A B
C
D
E F 4 3 1
2 8 7 5 6 图1
别是“F 型”、“Z 型”、“U 型”，分别对应于同位角、内错角、同旁内角。
这样一来，学生自然就容易掌握了。
在学完“同位角、内错角、同旁内角”的基本概念后，为了使学生加深理解，必然要进行一系列的练习。
纵观所有的练习题，不外乎以下三类：（1）指出图中某一对角是同位角、内错角还是同旁内角；（2）指出图中某一个角的所有同位角、内错角和同旁内角；（3）指出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。
下面就分这三类，分别介绍如何利用“图形分离法”来求解。
类型一：指出图中某一对角是同位角、内错角还是同旁内角。
【例1】如图3，∠1与∠6是直线____与直线____被直线____所截而形成的___________角。
这类题目相对来讲，是最简单的了。
要得出正确答案，只要找到∠1与∠6的边，将图形分离出来，便会一目了然了。
如图4，不难看出，
这是属于“Z 型”，于是，就可以得出答案：∠1与∠6是直线AC 与直线EB （或EF ）被直线AB （或AD ）所截而形成的内错角。
类型二：指出图中某一个角的所有同位角、内错角和同旁内角。
【例2】如图3，指出∠1的所有同位角、内错角和同旁内角。
B D
E
F
1 5
图2
8
4 D B
C A
E
6 2 F
C
A 7 3 （F 型）
（Z 型）
（U 型）
3 5
4
6 3
5
4 6 A
D
C B
C
A
B D
图3
M
N
A B
E
C
F
D
1 4 5 2
3 9
6 7 8 10
11 图4
A E
B
C
1
6
〖分析〗我们知道，“三线八角”中的同位角、内错角和同旁内角都有一个共同特征，那就是有一边共线，即每一对角都有两条边与截线在同一直线上。
因此，∠1的两条边AD 与AC 都可能是“三线八角”中的截线，所以在解这道题时，要分两种情况考虑，一是把AD 看成截线，二是把AC 看成截线，相应的另一边则是被截线之一，再分别画出分离图形。
如果把AD 看成截线，则是直线AC 、EF 被直线AD 所截（这时，以点C 为顶点的角就不用管了），分离图形如图5，不难看出，∠1与∠8是同位角，∠1与∠6是内错角，∠1与∠2是同旁内角。
如果把AC 看成截线，则是直线AD 、EF 被直线AC 所截（这时，以点B 为顶点的角就不用管了），分离图形如图6，不难看出，∠1与∠9是内错角，∠1与∠3是同旁内角。
综上所述，就可以得到以下解答：
〖解〗∠1的同位角有：∠8
∠1的内错角有：∠6、∠9 ∠1的同旁内角有：∠2、∠3
类型三：指出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。
【例3】如图3，指出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。
〖分析〗解答这类题目的关键是找准截线，而且图中的每一条线（直线、身线或线段）都有可能成为截线，这要具体问题具体分析。
图5
A B
E
C
F
D
1
2 6 7 8
图6
A B
E
C
F
D
1
3 9
一条线能否成为截线，就要看能否找到另两条线与这条线相交，并且有两个交点，如果能找到，则可以看成截线，否则，就不能看成截线。
如图3中的直线MN ，与AD 、AC 都相交，但只有一个交点A ，这时，EF 就不是截线了。
图3中共有4条线，只有AD 、AC 、EF 可以看成截线，即MN 、EF 被AD 所截（图7）；AC 、EF 被AD 所截（图8）；MN 、EF 被AC 所截（图9）；AD 、EF 被AC 所截（图10）；AD 、AC 被EF 所截（图11），分别画出分离图形如下：
以上各图中的同位角、内错角和同旁内角如下表所示：
图7
M
N
A
B
E
F D
5
2 6 7 8 10
图9 M
N
A E
C
F
4
3 9 11
图8
A B
E
C
F D
1
2 6 7 8 图10
A B E
C
F D
1
3 9 图11
A
B
E
C
F
D
2 3 9 6 7 8
综上所述，就可以得到以下解答：
〖解〗同位角有：∠5与∠7、∠10与∠8、∠1与∠8、∠2与∠9、∠6与∠3；
内错角有：∠5与∠2、∠10与∠6、∠1与∠6、∠3与∠4、∠11与∠9、∠1与∠9、∠8与∠3；
同旁内角有：∠5与∠6、∠10与∠2、∠1与∠2、∠11与∠3、∠4与∠9、∠1与∠3、∠2与∠3。
“图形分离法”增强了学生对图形的认知力，消除了学生对几何题的恐惧感，能大大提高分析问题与解决问题的速度。
一个难题之所以难，是因为做题者缺少解题思路，没有方法可依，一旦有了思路可循，难题自然也就不攻自破了，而“图形分离法”显然是解决部分几何难题的高手。
学生有了这个武器后，再来解决象“三线八角”这样的问题可谓是如虎添翼，胜券在握了。
2009-2-15。
