动力学基本定律 质点的运动微分方程

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动力学
第十章
质点动力学的基本方程
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动力学基本定律 质点的运动微分方程 §11–1 §11–2 §11–3 引言 动力学基本定律 质点的运动微分方程
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动力学
引言
§11–1 引
言
研究物体的机械运动与作用力之间的关系 一.研究对象：
二.力学模型：
1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 例如： 研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平动时,刚体 质点； 质点。
解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。
取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示。
火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用。
mM F f 2 x mM mg f R2 m gR2 F x2
建立质点运动微分方程
m
dx 2 dt
2

mgR2 x2
即：
dvx R 2 mg mvx 2 dx x
动力学
质点动力学的基本方程
dy v0 sin 0 代入最高点A处值，得： v0 sin 0 gt 0, 即 t dt g 将到达A点时的时间t, x=S, y=H 代入运动方程， 得
v0 cos 0
sg 2 gH
v0 sin 0 2gH
发射初速度大小与初发射角 0 为
从该式还可以看出，质点质量越大，其运动状态越不容易 改变，也就是质点的惯性越大，因此，质量是质点惯性的度量； 另外应注意公式中国际单位制（SI）的表示以及国际单位制和 工程单位制的换算关系。
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动力学
第十章
质点动力学的基本方程
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向 相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。 这一定律就是静力学的公理四，它不仅适用于平衡的物体， 而且也适用于任何运动的物体。
2 gR 2 v (v 0 2 gR) x
可见，v 随着 x 的增加而减小。若
2 v0 2 gR
则在某一位置 时，无论
2 2 gR x=R+H 时速度将减小到零，火箭回落。若 v0
x多大（甚至为∞）, 火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一 去不返 时（x ）的最小初速度
v0 2 gR 29.8103 6370 11.2 (km/s) （第二宇宙速度）
动力学
质点动力学的基本方程
2. 质点运动微分方程在自然轴上投影 由运动学知,点的全加速度在自然轴系的的投影为
a at an n
单位矢量，如图 10 1所示，
,
ab 0
式中τ 和 n为沿轨迹切线和主法线 的
质点动力学基本方程在 自然轴系上的投影为
n dv m Fti dt i 1
充填材料抛到距离为S=5米,H=1.5米
的顶板A处。求 (1)充填材料需有多
大的初速度v0 ? (2)初速 0 与水平的 夹角0？ 解：属于已知力为常量的第二类问题。 选择填充材料M为研究对象，受力如图所示，M作斜抛运动。
t 0, x0 0, y0 0; v0 x v0 cos0 v0 y v0 sin 0 , 其中v0 , 0 待求
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动力学
质点动力学的基本方程
§11-3
质点的运动微分方程
质点受到n个力F1，F2，Fn时，由质点动力学第二定律，
有
ma Fi
i 1
n
或
d 2r n m 2 F dt i 1
上式是矢量形式的微分方程，在计算实际问题时， 需应用它的投影形式
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动力学
质点动力学的基本方程
1. 质点运动微分方程在直角坐标轴上投影
静止状态，就是保持其原有的速度（包括大小和方向）不变， 这种性质称为惯性。
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动力学
质点动力学的基本方程
第二定律（力与加速度之间的关系的定律） 该定律的数学表达式为：
ma F
上式称为质点动力学的基本方程。建立了质点的加速度、质量 与作用力之间的定量关系。当质点受到多个力作用时，该式中
的力F应为共点力系的合力。
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动力学
t
则有
质点动力学的基本方程

2
2 时， a x r , cos l 2 r 2 l ，
mr 2 F l 2 r 2 l
得
F mr2 2
AB杆受压力。
l 2 r2
y

O
A
F B β x β
FN B x mg
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动力学 [例5]
质点动力学的基本方程
⑤求解未知量。根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动
的初始条件，求出质点的运动。
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动力学
质点动力学的基本方程
[例1] 桥式起重机跑车吊挂一重为P的重物，沿水平横梁作匀速 运动，速度为 ν0 ，重物中心至悬挂点距离为l。突然刹车，重物 因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
解：①选重物(抽象为质点)为研究对象
设矢径 r 在直角坐标轴上的投影分别为x,y,z,力Fi在轴
上的投影分别Fxi, Fxi, Fxi ，则前式在直角坐标轴上的投影 形式为
d2 x n m 2 Fxi dt i 1
,
d2 y n m 2 Fyi dt i 1
,
d2 z n m 2 Fzi dt i 1
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v0 (v0 cos 0 ) (v0 sin 0 )
2 2
g 2s2 2 gH 10 .5 m/s 2 gH
0 tan
1
பைடு நூலகம்
v0 sin 0 1 2 H tan 31 v0 cos 0 s
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动力学
质点动力学的基本方程
[例3] 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。
t 瞬时 , M A , x S , y H , vx , v y
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动力学
质点动力学的基本方程
列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算 微分方程 积分一次 再积分一次
dvx m d t 0 m dv y m g dt
dx c1 dt dy gt c 2 dt
max F cos
a x r 2 (1 ), 且 0 ，得 当 t 0 时，
AB杆受的拉力
y
d2 x ax 2 r 2 (cos t cos 2t ) dt
F mr 2 (1 )
FN β

O
A
F B β x

B
x mg
质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复杂物体系统 的基础，质点动力学基本方程给出了质点受力与其运动变化的
关系，质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿在
总结前人研究成果基础上提出的，称为牛顿三定律 第一定律（惯性定律） 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
不受力作用的质点（包括受平衡力系作用的质点），不是处于
如图所示得摆动输送机，由曲柄带动货架AB输送木
箱M，两曲柄等长，即O1A=O2B=l=1.5m，O1O2=AB，设在θ＝
45°处由静止开始运动，已知曲柄O1A的初角加速度 0 5rad/s2 。
如启动瞬时木箱不产生滑动，求木箱与货架之间的静滑动摩擦系 数是多少？
y
O1
O2
P
at

A
0
M

F
FN
2.质点系：由有限或无限个有着一定联系
的质点组成的系统。 自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。
非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。
4 质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。
动力学
引言
刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。 三. 动力学分类: 质点动力学 质点动力学是质点 系动力学的基础。
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。
⑤求解未知量。
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动力学
质点动力学的基本方程
第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 解题步骤如下： ①正确选择研究对象。
②正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力
（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。 ③正确进行运动分析。(除应分析质点的运动特征外，还要确 定出其运动初始条件）。 ④选择并列出适当的质点运动微分方程。
质点系动力学
四. 动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。 综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
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动力学
质点动力学的基本方程
§11-2
动力学的基本定律
,
m
v2

Fni
i 1
n
,
0 Fbi
i 1
12
n
动力学
质点动力学的基本方程
应用质点运动微分方程，可以求解下面两类质点动 力学的问题:
第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）
解题步骤和要点： ①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。
d 2 x dvx dvx dx vx dvx ( 2 ) dt dt dx dt dx
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动力学
质点动力学的基本方程
v x m gR2 m vx dvx 2 dx x v0 R