《线性代数》练习题行列式部分

行列式的概念一、选择题1． 下列选项中错误的是 ( )a b c d (B)a b d b (A)da b ； c dc ；caa 3cb 3d a b a ba b (C)cdc ； (D)c dc.dd答案： D2．行列式 D n 不为零，利用行列式的性质对 D n 进行变换后，行列式的值（）．(A) 保持不变； (B) 可以变成任何值；(C) 保持不为零； (D)保持相同的正负号．答案： C二、填空题1.log a b 1 =.1log b a解析： log ab1 log a b log b a1 1 1 0 .1 log b acos sin2.36=.sincos 3 6cos sin解析：3 6 cos cos sin sin cos0sin cos 3 63 6 23 62x 1 33. 函数 f (x)x x 1 中， x 3 的系数为；21 x2x 1 1g( x)x x x 中， x 3的系数为.12x答案： -2 ； -2.阶行列式 D n中的n最小值是.答案： 1.1 2 35.三阶行列式0 2 4 中第2行第1列元素的代数余子式3 1 1等于.答案： 5.6.若 2x 8 0 ，则x= .1 2答案： 2.7. 在n 阶行列式 D a ij 中，当 i<j 时，aij 0(i, j 1,2, L ,n) ，则D= .答案： a11 a22 a nn.a b 0b a 0 0.1 0 1a b 0( 1ab )解析： b a 0 ( a2 b2 ) 01 0 1b a故 a 0, b 0 .三、解答题1.用行列式的定义计算 .0 1 0 11 0 1 0(1)1 0；0 00 0 1 11 1 0 1 0 1 解：原式 =1 ( 1)1 20 0 0 1 ( 1)1 4 0 1 00 1 0 0 0 18. 设a, b 为实数，则当a=, b=时，0 0 1 0 1解：由对角线法则，得 D 111 2 , D 21 0 0 111 2a b 0 0 若 D 1 D 2 , 则 于是1或 1.0 c d 0(2)四、证明题0 0 e.f1. （略）g h 0行列式的性质c d 0 0 d 0原式 = a 0 efb 0 ef一、选择题h 0 0g 0 0x 0 1 2 3 2e f0 f 0 f1．设行列式 D 10 x 1 0 , D 2 1 5 3 , 若 D 1 D 2 ,10 x3 1 1=a cdbdh g= adfhbdfg则 x 的取值为 ( ).(A)2 ，-1 ； (B)1 ， -1 ；(C)0 ，2；(D)0，1．0 1 3 1 1答案： B2. 设行列式 D 10 1 0 ,D 2 2 3 2 , 若 D 1 D 2 ,a 11 a 12 a 1311 5 32．若 Da 21a 22a233 ，求 的值 .a31a32a332a11 5a13 a12 a13则 D1 2a21 5a23 a22 a23=（）．2a31 5a33 a32 a33(A)30；(B) -30 ；(C)6 ；(D)-6．答案： C二、填空题1．若三阶行列式 D 的第一行元素分别是1,2,0, 第三行元素的余子式分别是8，x，19，则 x =.解析： 1 8 2x 0 19 0, x 4 .2016 2018=.2．201620142016 2018 2 2 2 2 解析：2016 2014 2016 0 4 .2014 2a b c3. 行列式D b a c ，则 A11 A21 A31= .d b c1 b c解析： A11 A21 A31 1 a c 0 .1 b c5x 1 2 34. 行列式D42 1 x 3x x 2的展开式中， x 4的系数31 2 1 3x为； x3 的系数为.5x 1 2 3 5x 1 2 32 1 x3 x x 2 3解析： D 4x 2 3 2 1 x 3x1 2 1 3x 1 2 1 3x5x 1 2 30 x1 8 125 5 52 1 x 31 2 1 3x含 x4， x3的项仅有主对角线上元素之积项，故x 4， x3的系数分别为 15， -3.三、解答题1. 计算下列行列式 .1 2 3 42 3 4 1 (1)；3 4 1 2 4 1 2 3解：各行加到第一行，得10 10 10 10 1 1 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 原式 =4 1 2 104 1 2 3 3 41 2 3 4 1 2 31 1 1 1 1 1 1 10 1 2 1 0 1 2 1 = 101 2 1 100 4 160 .0 0 0 03210 041 1 1 1 11 234 52 2 22(2) 12 3 4 5 ；3 3 3 3 1 2 345 4444 1 234 5解：原式 =(5-4)(5-3)(5-2)(5-1)(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1) =288.1 4 9 16 4 9 16 25 ；(3)16 25 3691625 36491 4 9 16 1 4 9 16 3 5 7 9 3 5 7 9 原式 =7 9 11 2 2 2 0 .5 2 7 9 11 132 2 2 20 y 0 xx 0 y 0；(4)x 0 yy 0 x 0x y 0 x 0 y 原式 = y 0 0 y x 0 x 0y x 0 y 0 x= y 2 xy x 2 x y ( x 2 y 2 ) 2 . y x y x1 x yz(5) 1 y zx ；1 z xy1 x yz原式 = 0 y x z( y x)0 z x y( z x)=1 z( y x)( z x) ( x y )( y z )( z) .y x11 0 1 0 00 2 1 0 0(6) 3 1 0 0 0 ；0 0 0 2 10 0 0 0 21 0 1 01 0 1 1 0 10 2 1 04 0 2 1 4 0 2 1原式 = 21 0 033 1 0 0 1 30 0 0 2=2 14 20 .1 31 x1 1 1 11 1 x2 1 1；(7)1 1 1 x3 11 1 1 1 x41 x1 x1 x1 x1解：原式 = 1 x2 0 0 1 0 x3 0 1 0 0 x41x1 x1 x1x1 x1 x1 x1x3x2 x4= 0 x2 0 00 0 x3 00 0 0 x4= x1 x2 x3 x4 x2 x3 x4 x1 x3 x4 x1 x2 x4 x1 x2 x3.1 5 1 31 1 3 4，计算 A41 A42 A43 A44的值.2. 设D1 2 312 23 4其中 A4 j ( j 1,2,3,4) 是 D 的代数余子式.1 5 1 3解： A41 A42A431 1 3 4A441 26 .1 31 1 1 13 5 2 13. 已知D1 1 0 1 M11M21M31M41.1 3 1, 求12 4 1 1解： M 11M21M31M41=1 M11( 1)M 21 1 M 31 ( 1)M 411 52 11 1 0 1=3 1=0.1 11 4 1 14. 计算下列n 阶行列式.2 1 1 1 1 1 1 (1) 1 2 1 ；y x y y解：原式 = x (n 1) y y y x y1 1 2n 1 1 1 1 1 1解：原式n 1 2 1 1 2 1 = = (n 1)n 1 1 2 1 1 21 1 1= (n 1) 0 1 0.n 1 0 0 1x y y yy x y y (2) y y x y ；y y y xy y y x1 1 1 10 x y 0 0= x (n 1) y 0 0 x y 00 0 0 x y= x (n 1) y ( x y) n 1.0 1 1 11 x1 0 0(3) 1 0 x2 0 ( x i 0,i 1,2, ,n) .1 0 0 x nn1111i 1 x i解：原式 =0 x 1 0 0 00 x 2 0x n=x 1 x 2x n (n1) .i 1x i四、证明题11 1= (b a)(c a)112ab a 2c 2ac a 2b= (b a)(c a)(c 2 b 2ac ab)= (b a)(ca)(c b)( a b c) =0,由于 a , b , c 是互异的实数，故要上式成立，当且仅当 a+b+c=0.abcd2. 证明a a+ba b c c a b c da 4a 2ab 3a 2b 4a 3b 2cd a3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d1. 设 a , b , c 是互异的实数，证明a b c 0 的充分必要条 a bc da 3b 3c 3r 4r 30 a a ba b c件是 a+b+c=0.证明：左边r 3 r 2a2a b3a2bc11 1 1r 2r 10 a 3a b 6a 3b c证明： ab c a b a c a a bc d a bc da3b 3c 3a 3b 3 a 3c 3 a 3r 3 0 a a b a b c0 a a b a b cr 44r 3 r 21 0 0ar 4r 3a ab ac a2a b 0 2a b =a 3 c 3 a 30 0a3a b0 0ab 3=右边克莱姆法则一、选择题x1 x2 x3 1,1．方程组x1 x2 x3 1, ,有唯一解,则( ).x1 x2 x3 1(A) 1且 2 ；(B) 1 且 2 ；(C) 1且 2 ；(D) 1 且 2 ．1 1解析：由克莱姆法则，当 1 1 (2 )( 1) 2 0 ，即1 11且 2 ，选B.ax z 0,2. 当a （）时，方程组2x ax z 0, 只有零解.ax 2 y z 0(A) -1 ；(B) 0 ；(C) -2 ； (D) 2.解析：由克莱姆法则，a 0 1 0 0 1当 2 a 1 2 a a 1 2(a 2) 0a 2 1 0 2 1即a 2 ，选D.三、解答题1.用克莱姆法则下列解方程组 .x 2 y z 2,(1) x 2 y 2z 3,2x y z 3;1 2 1解： D 1 2 2 3 0 ，2 1 1由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，22 1D13 2 2 3 ，31 11 2 1 1 2 2D 2 1 3 2 6 ， D 3 1 3 3 9 ，2 3 1 2 3 3因此方程组的解为D1 D 22 ， z D 33 .x 1, yDD Dx1 2 x2 x3 x4 1,2x1 3x2 x3 2x4 3, (2)3x2 2x3 x4 ..x1 2, 2x1 4x2 3x3 3x4 21 2 1 1解： D 2 3 1 24 01 32 12 43 3由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，1 2 1 1 1 1 1 13 3 1 28 ， D 22 3 1 2D13 2 1 1 2 22 ,2 12 43 3 2 2 3 31 2 1 1 1 2 1 12 3 3 2D 42 3 1 32 .D33 22 ,1 32 21 12 4 23 24 3 2因此方程组的解为D12 , x2D 2 1 D 3 1 D 4 1x1D， x3D, x4D.D 2 2 22x1 2x2 x3 0,2. 判断线性方程组x1 2x2 4 x3 0, 是否有非零解5x1 8x2 2x3 02 2 1 1 2 4解：因为系数行列式 D 1 2 4 2 2 15 8 2 5 8 21 2 4 1 2 4= 0 6 9 0 6 9 30 0 ,0 18 22 0 0 5所以，方程组只有零解.x1 kx2 x3 0,3. 已知齐次线性方程组kx1 x2 x3 0, 有非零解，求k 的值.2x1 x2 x3 0解：因为齐次线性方程组有非零解，所以该方程组的系数行列式必为零，即1 k 1 1 k 1k 1 1 0 1 k 2 1 k2 1 1 0 1 2k 3= 3(1 k 2 ) (1 k)(1 2k)= (1 k)( 4 k ) 0解得， k=-1 或 k=4.2x1 4x2 ( 1) x3 0 4. 当取何值时，齐次线性方程组 ( 3) x1 x2 2x3 0 有非x1 (1 ) x2 x3 0 零解解：由齐次线性方程组有非零解的条件可知，2 4 13 1 2 0 ,解得0,2,3 .1 1 1第一章综合练习一、判断题1. n 阶行列式D n中的 n 最小为2.( ╳ )2. 在 n 阶行列式D a ij 中元素 a ij (i, j 1,2, L) 均为整数，则D必为整数 .( √ )a 11 0a 14a22a23a 14 a 23a 32 a 41 .(╳3.a32a33a 11a22 a 33 a44a410 0a44)二、选择题1. 若 D 13x 1 x 2x 11 1x 1， D 2x，则 D 1 与 D 2 的大12小关系是 ( ).(A) D 1D 2 ； (B) D 1 D 2 ； (C) D 1 D 2 ； (D) 随 x 值变化而变化 . 答案： Ca bcos20 sin 40 =.1.cos40sin 20解析：cos20 sin 40 cos20 cos40sin 20cos401cos60.2 2. 若 x 2y 2 x x , 则 x+y =. 1 1yy解析：由 x2y 2 xx ，得 x 2 y 21 1 y y即 ( xy) 2 0 ，从而 x+y =0.sin 20 sin 402xy2. 行列式 (a,b,c, d 1,1,2 ) 的所有可能值中， 最大 c d的是 ( ).(A) 0 ； (B)2 ； (C)4 ； (D)6.答案： D3. 已知x2 0,x y 1，则 y = .1 1 11x 2 x y 解析：由1 10,1 , 得 x =2, x-y =1, 从而 y =11 1三、填空题13 54.若a2b2c2a2 A2b2 B2c2 C 2,则 C 2化简后的结果24 6等于.解析： C21 32 .2 42x x 1 25. 设f ( x) 1 x 1 14 的系数为； x3的3 2 x，则 x11 1 1 x系数为.解析：当 f ( x)的主对角线的 4 个元素相乘才能得出x 4，系数3为 2；含x的项只能是a12 , a21, a33 , a44的乘积，系数为-1.1 2 3 4 51 1 12 26. 设D 3 2 1 4 6 ,2 2 2 1 14 3 2 10则 (1) A31A32 A33= ； (2)A34A35 ；（ 3）A51 A52 A53 A54 A55 .解析： A31A32A33 2( A34 A35 ) 02(A31A32 A33 ) ( A34 A35 ) 0于是A31 A32 A33 0 ， A34 A35 0 .1 2 3 4 51 1 12 2A51A52A53A54A55 3 2 1 4 62 2 2 1 11 1 1 1 11 2 3 4 51 1 12 23 2 14 60 .3 3 3 3 31 1 1 1 1即 A51A52A53A54A550 .四、解答题1.计算下列行列式 .x1 y1 x1 y2 x1 y3 x1 y4(1) x2 y1 x2 y2 x2 y3 x2 y4 ；x3 y1 x3 y2 x3 y3 x3 y4x4 y1 x4 y2 x4 y3 x4 y4x1 y1 y2 y1 y3 y1 y4 y1x2 y1 y2 y1 y3 y1 y4 y1 解：原式 =x3 y1 y2 y1 y3 y1 y4 y1x4 y1 y2 y1 y3 y1 y4 y1x1 y1 y2 y1 y3 y1 y4 y1x2 x1 0 0 0 =x1 0 00 .x3 0x4 x1 0 0 01 x1 1 1 11 1 x2 1 1(2) ；1 1 1 x3 11 1 1 1 x41 x1 x1 x1 x11 x2 0 0解：原式 =0 x3 011 0 0 x41x1 x1 x1x1 x1 x1x1x3 x4x2= 0 x2 0 00 0 x3 00 0 0 x4= x1 x2 x3 x4 x2 x3 x4 x1 x3 x4 x1 x2 x4 x1 x2 x3.0 0 0 1 0 0 0 2 0 0(3)2005 0 0 .0 02006 0 0 0 00 0 0 0 20072006 2005解：原式 = 2007 ( 1) 2 2006! = 2007!1 2 3 4 52 2 2 1 12. 已知D 3 1 2 4 527 ,1 1 12 24 3 15 0求 (1) A41A42 A43；(2)A44A45.解： 1 A41 1 A42 1 A43 2( A44 A45 ) 272( A41 A42 A43 ) ( A44 A45 ) 0得 A41A42A439 , A44A4518 .3.计算下列 n 阶行列式.1 1 12 2 2 2n(1) D n 3 32 3n；n n 2 n n解：（利用范德蒙行列式计算）1 1 1D n D n T1 2 nn! 3 32 3n1 2n 1 n n 1n!(2 1)(3 1) ( n 1)(3 2)(4 2) (n 2) n ( n 1)n!(n 1)!( n 2)! 2! .2 1 1(2) 1 2 1 ；1 1 2n 1 1 1 1 1 1解：原式n 1 2 1 1 2 1 = = (n 1)n 1 1 2 1 1 21 1 1= (n 1) 0 1 0.n 1 0 0 1x1 m x2 x nx1 x2 m x n(3) D nx1 x2 x n m解：将第 2 列，L，第n列分别加到第一列，并提取第一列的公因子，得x1 x2 x n m x2 x nD nx1 x2 x n m x2 m x nx1 x2 x n m x2 x n m1 x2 x n( x1 x2 x n1 x2 m x nm)1 x2 x n m1 0 0( x1 x 2 x n1 m 0m)1 0 m( x1 x2 x n m)( m) n1b1 b2 b3 b n 1 b na1 a2 0 0 0 (4) D n 0 a2 a3 0 00 0 0 a n 1 a n（其中 a i 0,i 1,2, , n ）a1 a2 0 0 解： D n ( 1)1 n b n0 a2 0 00 0 0 an 1b1 b2 b n 2 b n 1a1 a2 0 0 a n 0 a2 0 00 0 a n 2 an 1a1 a2 a n b nanDn 1a na1 a2 nb i.a na ii 1三、证明题1. 试证：如果n次多项式f ( x) a0 a1 x a n x n对 n+1 个不同的 x 值都是零，则此多项式恒等于零.( 提示：用范德蒙行列式证明)。

线性代数练习题（行列式）线性代数练习题（行列式）A一、填空题1、-=--3622366232、=00010020030040003、_____________)631254(=N 4、四阶行列式)det(ij a 的反对角线元素之积（即41322314a a a a ）一项的符号为5. 行列式243012321---中元素0的代数余子式的值为_______二、选择题 1、=11a a（）----+1111A a B a C aD a3、+=-010111111aa（） +++-11(1)(1)A a B a C a D a a5、若≠3140010xx x，则=x （）≠≠≠≠≠≠020202且或A x x B x x C x D x6、=1110110110110111（）--2331A B CD7、=222111xy z x y z （） ---+++++()()()()()()A y x z x z y B xyz C y x z x z y Dx y z三、设行列式 2921702163332314----=D ，不计算ij A 而直接证明：444342412A A A A =++线性代数练习题（行列式）B一、填空题1、设ij A 是n 阶行列式中元素ij a 的代数余子式，则=∑1nikjk k aA =2、设=3(1,2,3,4)i A i 是行列式1234567823486789中元素3i a 的代数余子式，+++=132********A A A A3、各列元素之和为零的n 阶行列式之值等于4、设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，则=00A B；=00A B5、设=(,1,2)ij A i j 为行列式=2131D 中元素ij a 的代数余子式，则=11211222A A A A 6、方程-+-=----132136012214x x x x 的根为7、已知齐次线性方程组λ+-=??+-=??-+=?1231231232020340x x x x x x x x x 有非零解，则λ=8、若11223344,,,a a a a 都不等于零，则方程组+++=??++=?+=??=?1111221331441222233244233334433444a x a x a x a x b a x a x a x b a x a x b a x b 有解。

线性代数习题集带答案第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若573411111326478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3-(D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是. 18．若齐次线性方程组??=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a d c ba d cb a++++++++3333222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x ；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b----)1(111121111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222 111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a a a a aa a D ---------= 110001100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a x b a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b adc b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明01 11333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ;12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-；2. )(233y x +-；3. 1,0,2-=x ;4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

线性代数第一章行列式训练题一、单项选择题1．二阶行列式1221−−k k ≠0的充分必要条件是（ ）A ．k ≠–1B ．k ≠3C ．k ≠–1且k ≠3D ．k ≠–1或≠3答案：C2．设行列式2211b ab a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ ）A ．–3B ．–1C ．1D ．3 注22112211222111c a c a b a b a c b a c b a +=++答案：D3.如果方程组=+=−=−+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ ） A.–2 B.–1C.1D.2 注：使04014013=−−kk答案：B4．设行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A ．–15 B ．–6 C ．6D ．15答案：C 5．3阶行列式ji a =011101110−−−中元素21a 的代数余了式21A =（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．2 0111)1(12−−+ 答案：C6.已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a −−−=（ ） A.–24 B.–12 C.–6D.12答案：B 7．行列式11110111111110−−−−−−第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．2答案：B 8.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ ）A.m–nB.n–mC.m+nD.–（m+n ）答案：B二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。

线性代数部分练习题线性代数部分练习题⼀、⾏列式、矩阵的运算 (第⼀、⼆章)1.设a ,b 为实数，且000101ab ba-=--，则（）A.a =0,b =0;B.a =1,b =0;C.a =0,b =1;D.a =1,b =1 2．排列53142的逆序数(53142)τ=（） A ．7 ; B ．6; C ．5 ; D ．43. 计算⾏列式=----32320200051020203（） A.-180; B.-120; C.120; D.1804. 设⾏列式D 1=22221111a c b a a c b a ac b a +++，D 2=222111c b a c b a c b a ，则D 1= ）A ．0;B ．D 2;C ．2D 2;D ．3D 25. 已知⾏列式a52231521-=0，则数a =( )A.-3;B.-2;C.2;D.36. 设⾏列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213212223313233232323a a a a a a a a a ------=（） A ．-12; B ．-6; C ．6; D ．12 7. 设⾏列式==1111034222,1111304z y x zy x 则⾏列式( )A.32; B.1; C.2; D.38 8. 设⾏列式01110212=-k k ，则k 的取值为（）A.2;B.-2或3;C.0 ;D.-3或29. 设矩阵A =（1，2），B =?4321，C ???? ??=654321则下列矩阵运算中有意义的是（） A ．ACB; B ．ABC; C ．BAC; D ．CBA 10．设A 为三阶⽅阵，且|A |=2，则|-2A |=（） A ．-16; B ．-4; C ．4; D ．1611．设矩阵123456709??=A ，则*A 中位于第2⾏第3列的元素是（）A ．-14;B ．-6;C ．6;D ．1412．设A 是n 阶矩阵，O 是n 阶零矩阵，且2-=A E O ，则必有（）A ．1-=A A ; B ．=-A E ; C ．=A E ; D ．1=A13．下列等式中正确的是（） A ．()222B BA AB A B A +++=+B ．()T T TB A AB =C ．()()22B A B A B A -=+- D ．()A A A A 233-=-14. 设A =?4321，则|2A *|=（） A.-8; B.-4; C.4; D.815. 设A ，B ，C 均为n 阶⽅阵，AB =BA ，AC =CA ，则ABC =（） A ．ACB; B ．CAB; C ．CBA ; D ．BCA16. 设A 为3阶⽅阵，B 为4阶⽅阵，且⾏列式|A |=1，|B |=-2，则⾏列式||B |A |的值为（） A ．-8; B ．-2; C ．2; D ．817. 设矩阵A =-11，B =（1，1）则AB =（）A ．0;B ．（1，-1）;C ．???? ??-11 ;D ．--111118. 设n 阶矩阵A 、B 、C 满⾜ABC =E ，则C -1=( ) A. AB; B. BA; C. A -1B -1; D. B -1A -119.已知2阶⾏列式第1⾏元素为2和1，对应的余⼦式为-2和3，则该⾏列式的值为__________.20.阶⾏列式011101110---=ij a 中元素a 21的代数余⼦式A 21=____________.21. 在四阶⾏列式中，项a 31a 22a 43a 14的符号是____________.22. 在五阶⾏列式中，项a 21 a 32 a 45 a 14 a 53的符号为_____________.23. 已知四阶⾏列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的代数余⼦式依次分别为5，-3，-7，-4，则D=_______24. 设⾏列式304222532D =-，其第3⾏各元素的代数余⼦式之和为____________.25. 已知⾏列式333222111c b a c b a c b a =1,则333333222222111111c b a b a a c b a b a a c b a b a a +--+--+--=______________. 26. ⾏列式11124641636=________.27. 已知3阶⾏列式|A|中第3列元素依次为-1，2，0，它们的余⼦式依次为5，3，-7，则|A|=__________.28. 3阶⾏列式767367949249323123=________.29.设矩阵011001000?? ?= ?A ，则A 2=______．30.111,,2(2),16A B A B A A --==-是两个四阶⽅阵，且则|B |=__________. 31.设A ，B 都是3阶矩阵，且|A |=2，B = -2E ，则|A -1B |=_________. 32.设A 、B 均为三阶⽅阵，|A |=4，|B |=5，则|2AB |=__________. 33.排列12453的逆序数为____________.34.已知A 2-2A -8E =0，则(A +E )-1=____________. 35. 设矩阵A =?-2112，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满⾜BA=B +E ，则|B |=___________. 36. 设A =411023, B =,010201则AB =___________. 37. 已知矩阵A =（1，2，-1），B =（2，-1，1），且C =A T B ，则C 2=__________.38. 设矩阵A =100012021，B =????? ??310120001，则A+2B =_____________.40．计算四阶⾏列式1234123412341234------41. 已知3阶⾏列式1120212x x-中元素12a 的代数余⼦式A 12=2，求元素21a 的代数余⼦式A 21的值.43. 求D =012010122101021046. 计算3112513420111533------47. 计算1 1 -1 2-1 -1 -4 12 4 -6 11 2 4 250. 计算422223222222222153. n 阶⾏列式n a b b b b a bb D bb ab b b ba=.56.计算123110311211230123(1)n n n n n nD nn ------=--------. 57. n 阶⾏列式11111 1111111n n n D nn=. 58. 设A ＝210011001??-??，B ＝102101?? ? ? ???，⼜AX ＝B ，求矩阵X.60. 已知矩阵A =111210101??- ? ?，B =100210021?? ? ? ???，求：（1）A T B ；（2）| A T B |.63.2A A A E O --2=设⽅阵满⾜⽅程：，+2A A E 证明：与都可逆，并求它们的逆矩阵。

《线性代数与解析几何》练习题行列式部分一．填空题：1．已知41132213----=D 用ij A 表示D 的元素ij a 的代数余子式，则21222323______A A A --+=，31323323____A A A --+=，行列式__________333231232221131211=A A A A A A A A A 2．12434003209106412a a a a a 的的代数余子式的值等于________。

3.设512312123122x x x D xxx=，则D 的展开式中3x 的系数为______4.4阶行列式111213142122232414423132333441424344a a a a a a a a D a a a a a a a a a a =展开式中含有因子的项为______和______5.行列式234234234234a a a ab b b b Dc c c c dd d d =＝______6．设xx x x x f 321132213321)(=则(4)_____f = 7．设0112520842111111154115212111111541132111111323232=++-x x xx x xx x x上述方程的解______________________=x8．行列式112233440000000a b a b D b a b a ==__________ 9．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ 只有零解，则λ应满足_________条件。

10．若方程123123123020kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩有非零解，则k ＝_________或k ＝________。

11．行列式xy yyx y yyx＝______ 12.行列式1110110110110111＝______13．行列式000000000ab c de f＝______14．方程组12312321231x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有唯一解时，对λ的要求是______二．计算题： 1．已知5阶行列式270513422111542131122254321=求434241A A A ++和4544A A +，其中ij A 是元素ij a 的代数余子式。

第1章 行列式及其应用一、填空题1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 .2．排列36715284的逆序数是 。

3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = ， s = ，t = . 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 . 5．若54435231a a a a a j i 为五阶行列式带正号的一项，则 i = , j = .6.设行列式275620513--=D ，则第三行各余子式之和的值为 . 7.行列式=30092280923621534215 .8．行列式=1110110********* .9.多项式0211111)(321321321321=+++++=x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有根是 .10．若方程225143214343314321x x -- = 0 ，则 .11．行列式 ==2100121001210012D12. 行列式122305403-- 中元素3的代数余子式是 . 13. 设行列式4321630*********=D ，设j j A M 44,分布是元素j a 4的余子式和代数余子式，则44434241A A A A +++ = ，44434241M M M M +++= . 14.已知四阶行列D 中第三列元素依次为1-，2，0，1，它们的余子式依次分布为5，3，,7-4，则D = .15. 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解，则k .二．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x （ ）.（A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3-2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = （ ）.（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x 根的个数是（ ）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 （ ）. （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为（ ）.（A ）3,2==l k ，符号为正 （B ）3,2==l k ，符号为负 （C ）2,3==l k ，符号为正 （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是（ ）.(A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于等于n 个7．如果133********21131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ，则=1D （ ）. （A ）8 （B ）12- （C ）24- （D ）24 8．如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，2323331322223212212131111352352352a a a a a a a a a a a a D ---=，则=1D （ ）. （A ）18 （B ）18- （C ）9- （D ）27-9． 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a =（ ）. （A ）8 （B ）2 （C ）0 （D ）6- 10．若111111111111101-------=x A ，则A 中x 的一次项系数是 （ ）.（A ）1 （B ）1- （C ）4 （D ）4-11．4阶行列式443322110000000a b a b b a b a 的值等于 （ ）.（A ）43214321b b b b a a a a - （B ）))((43432121b b a a b b a a --（C ）43214321b b b b a a a a + （D ）))((41413232b b a a b b a a -- 12．如果122211211=a a a a ，则方程组 ⎩⎨⎧=+-=+-022221211212111b x a x a b x a x a 的解是（ ）.（A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x = （B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x = （C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x ----= （D ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x -----=13. 方程0881441221111132=--x x x的根为 （ ）. （A ）3,2,1 （B ）2,2,1- （C ）2,1,0 （D ）2,1,1-14. 已知a a a a a a a a a a =333231232221131211,那么=+++323133312221232112111311222a a a a a a a a a a a a （ ）. （A ）a （B ）a - (C)a 2 （D ）a 2-15. 已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++0030z y z y x z y x λλλ仅有零解，则 （ ）.（A ）0≠λ且1≠λ （B ）0=λ或1=λ （C ）0=λ （D ）1=λ三、判断题。

线性代数第1章行列式试卷及答案第一章行列式一、单项选择题1.行列式D 非零的充分条件是( D )(A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式1221--k k ≠0的充分必要条件是（ C ）A ．k ≠-1B ．k ≠3C ．k ≠-1且k ≠3D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ B ）+n （m+n ）4.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x 则行列式（ A ） A.32D.38 5．下列行列式等于零的是(D )A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 2 61422613-6．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ）A ．-2B ．-1C ．1D ．28．如果方程组??=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则k =（ B ）9．（考研题）行列式0000000ab a bcd c d=（ B ）A.()2ad bc - B.()2ad bc -- C.2222a d b c - D.2222b c a d -二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112aa a a 。

2. 行列式1112344916中（3，2）元素的代数余子式A 32=___-2___.3. 设7343690211118751----=D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。

解答：5A 14+A 24+A 44=1501343090211115751-=---4．已知行列式011103212=-a ，则数a =____3______.5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100a b b a 0。

一、填空题1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题1.由定义计算行列式nn 00000010020001000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ-= （ ）. （A ）!n（B ）!)1(2)1(n n n --（C ）!)1(2)2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n --2．在函数xx x x xx f 21123232101)(=中，3x 的系数是（ ）.（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）33．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8.三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列；2． 各项以列标为标准顺序排列；3． 各项行列标均以任意顺序排列.四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.一、填空题1．若D=._____324324324,13332313123222121131211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则2．方程229132513232213211x x --=0的根为___________ .二、计算题 1． 8171160451530169144312----- 2．dc b a100110011001---3．abbb a b b b a D n ΛΛΛΛΛΛΛ=4.111113213211211211211nn n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ---+=5．计算n 阶行列式)2(212121222111≥+++++++++=n nx x x n x x x n x x x D n n n n ΛΛΛΛΛΛΛ。

测试题一（行列式）答案一. 单项选择题1. B;2. B;3. A;4. D;5. D.二. 填空题 1. 10; 2. –4; 3. (8,3); 4. 120; 5. –1.三. 判断题（正确打V ，错误打×）1. 错；2. 对；3. 对；4. 错；5. 错。

四. 解：44434241A A A A +++11111011130112101-=-=. 五. 计算行列式(1) 2000；(2)4x ；这两道题讲过，略。

(3) 1；提示：第一行加到第二行，第二行加到第三行，依次进行下去，最后化成上三角行列式。

(4) –50； (5) 11n n i i a b b -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑；提示：把第二列，直到第n 列都加到第一列； (6) 2(2)!n --，提示：把第一行乘以-1依次加到下面各行。

测试题二（矩阵）答案一． 单项选择题1. D; 2．A; 3．D; 4．B; 5．C ．二．填空题1．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2143; 2．2; 3．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-53005322b b a a ; 4．3E ; 5．3． 三．判断题（正确打V ，错误打×）1． 错； 2． 对； 3．错； 4． 对； 5． 对。

四．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1011117541A ． 五．⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12)1(01001n n n n A n （用数学归纳法证明）． 六．略。

七．无论a 为何值，矩阵A 的秩都为2。

八．略。

九．()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--1000110204211B E A 。

十．2),,,(4321=ααααR ，4321,,,αααα线性相关，最大无关组为21,αα，2132ααα+-=，21432ααα+-=。

测试题三（线性方程组）答案一．单项选择题1. C;2. D;3. A;4. B;5. C.二．填空题1.)1,1,1,1(--=x ;2. ),,,(000110010101001199219921R k k k k k k ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- ; 3. 0; 4. 04321=+++a a a a ; 5. –1.三. 判断题（正确打V ，错误打×）1. 对；2. 错；3. 错；4. 对；5. 对。

行列式的概念一、选择题1． 下列选项中错误的是( ) (A)ba d c dc b a -= ； (B)acb d dc b a =；(C)dc b a dcd b c a =++33； (D)dc b a dc b a -----=.答案：D2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（ ）．(A)保持不变； (B)可以变成任何值； (C)保持不为零； (D)保持相同的正负号． 答案：C二、填空题1.ab b a log 11log = .解析：0111log log log 11log =-=-=ab abb a ba . 2.6cos3sin6sin3cosππππ= . 解析：02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6cos 3sin6sin3cos==-=πππππππππ3.函数x x xxx f 121312)(-=中，3x 的系数为 ； xx xx x x g 21112)(---=中，3x 的系数为 . 答案：-2；-2.阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1.5. 三阶行列式11342321-中第2行第1列元素的代数余子式等于 . 答案：5.6.若02182=x，则x = . 答案：2. 7.在n阶行列式ija D =中，当i<j 时，),,2,1,(0n j i a ij L ==，则D = .答案：nn a a a Λ2211.8.设a ,b 为实数，则当a = ,b = 时，010100=---ab b a .解析：0)()1(1010022=+-=--=---b a ab ba abb a故0,0==b a .三、解答题1.用行列式的定义计算.(1)1100001001011010；解：原式=100010101)1(1010000011)1(14121++-⨯+-⨯110010100-=--=(2)000000hgf e d c b a.原式=00000gf e d b hf e dc a - =00000g f bd hf df e c a +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=bdfg adfh -2. 设行列式λλλ01010101-=D , 3512321132=D ,若21D D =,求λ的值.解：由对角线法则，得()()0,11221=-+=D D λλ若21D D =,则()()0112=-+λλ于是1-=λ或1.四、证明题1.（略）行列式的性质一、选择题1．设行列式x x xD 0101011-=, 1133512322=D ,若21D D =,则x 的取值为 ( ).(A)2，-1； (B)1，-1； (C)0，2； (D)0，1．答案：B2．若3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则3332333123222321131213111525252a a a a a a a a a a a a D +++==（ ）． (A)30； (B) -30； (C)6； (D)-6． 答案：C二、填空题1．若三阶行列式D 的第一行元素分别是1,2,0,第三行元素的余子式分别是8，x ，19，则x = . 解析：1820190,4x x ⨯-+⨯==. 2．2016201420182016 = .解析：4202220162014222016201420182016===.3.行列式cb dc a bcb aD =，则312111A A A ++= . 解析：312111A A A ++0111==cb c acb .4.行列式xx x xx D 31213231232154-=的展开式中，4x 的系数为 ；3x 的系数为 .解析：xxx x x x x x xx D 312131232321531213231232154--=-=xx x x 3121312512585103215---= 含4x ，3x 的项仅有主对角线上元素之积项，故4x ，3x 的系数分别为15，-3.三、解答题1.计算下列行列式 .(1)3214214314324321；解：各行加到第一行，得原式=32142143143211111032142143143210101010==160400400121011111012301211210111110=---=------.(2)4444333322225432154321543215432111111；解：原式=(5-4)(5-3)(5-2)(5-1)(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1) =288.(3)49362516362516925169416941；原式=02222222297531694113119711975975316941==.(4)000000xyy x y x x y ；原式=xy x yx x xyy y xy 00000000-- =22222)(y x xyy x xxyy x y--=-.(5)xy z zx yyzx111； 原式=)(0)(01x z y x z x y z x y yzx------ =))()((11))((x z z y y x yz x z x y ---=---.(6)200012000000130012000101--；原式=31012010140131201014200013012001012---=--=--=2031124=---. (7)43211111111111111111x x x x ++++；解：原式=432111110010011x x x x x x x ---+=432111413121100000001x x x x x x x x x x x x x ---++++ =3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++.2.设4322321143113151-=D ，计算44434241A A A A +++的值.其中)4,3,2,1(4=j A j 是D 的代数余子式.解：44434241A A A A +++61111321143113151=-=.3. 已知1142113110111253------=D ,求41312111M M M M +++.解：41312111M M M M +++=41312111)1(1)1(1M M M M --⋅+--⋅=1141113110111251-------=0.4.计算下列n 阶行列式.(1)211121112ΛMM M ΛΛ； 解：原式=211121111ΛM M MΛΛ+++n n n =211121111)1(ΛMMM ΛΛ+n =1100010111)1(+=+n n ΛMM M ΛΛ. (2)xy yyy x y yy y x yy y y x ΛM M M M ΛΛΛ ； 解：原式=[]x y y y y x y yy y x yy n x ΛM M M M ΛΛΛ1111)1(-+ =[]yx y x y x y n x ----+ΛM M M MΛΛΛ0000001111)1(=[]1)()1(---+n y x y n x .(3)),,2,1,0(010011111021n i x x x x i nΛΛM M M M ΛΛΛ=≠.解：原式=nni ix x x x ΛM M M M ΛΛΛ0000000011101211∑=- =)1(121∑=-ni in x x x x Λ.四、证明题1.设a ,b ,c 是互异的实数，证明0111333=c b a c b a的充分必要条件是a+b+c=0.证明：33333333001111a c ab aa c ab acbac b a----==3333a c a b a c a b ----=222211))((a ac c a ab b a c a b ++++--=))()((22ab ac b c a c a b -+--- =))()()((c b a b c a c a b ++---=0,由于a ,b ,c 是互异的实数，故要上式成立，当且仅当a+b+c=0.2.证明4+2324323631063a b c d a a b a b c a b c da a ab a bc a b cd a a b a b c a b c d +++++=++++++++++++证明：左边43322102320363a b c d r r a a b a b cr r a a b a b c r r a a b a b c-+++-+++-+++433210002003a b c d r r a a b a b ca ab r r a a b-++++-+4430002000a b c d a a b a b cr r a a a b a+++-=+=右边克莱姆法则一、选择题1．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++1,1,1321321321x x x x x x x x x λλλ, 有唯一解,则( ).(A)1-≠λ且2-≠λ； (B) 1≠λ且2-≠λ；(C) 1≠λ且2≠λ； (D) 1-≠λ且2≠λ．解析：由克莱姆法则，当0)1)(2(1111112≠-+=λλλλλ，即1≠λ且2-≠λ，选B.2.当≠a （ ）时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02,02,0z y ax z ax x z ax 只有零解.(A) -1 ；(B) 0 ；(C) -2 ；(D) 2. 解析：由克莱姆法则，当0)2(212012100121210≠-=--=-a aaa aa即2≠a ，选D.三、解答题1.用克莱姆法则下列解方程组.(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-+;32,322,22z y x z y x z y x解： 03112221121≠=---=D ， 由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，31132231221=---=D ，61322311212=-=D ，93323312213==D ，因此方程组的解为11==D D x ,22==D Dy ，33==DD z .(2)..23342,223,3232,124321432143214321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++=+-+=-++x x x x x x x x x x x x x x x x解：043342123121321121≠=---=D由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，833421232213311211=---=D ， 233221221213211112-=---=D ,232421231233211213=--=D ,223422231313211214=-=D .因此方程组的解为211==D D x ,2122-==D D x ，2133==D D x ,2144==D D x . 2.判断线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0285,042,022321321321x x x x x x x x x 是否有非零解解：因为系数行列式285122421285421122----=---=D=0305009604212218960421≠-=--=----, 所以，方程组只有零解.3.已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=-+02,0,0321321321x x x x x kx x kx x 有非零解，求k 的值.解：因为齐次线性方程组有非零解，所以该方程组的系数行列式必为零，即32101101111211112k k kk kk --+--=--=)21)(1()1(32k k k +++- =0)4)(1(=-+k k 解得，k =-1或k =4.4.当μ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=-+-=-++0)1(02)3(0)1(42321321321x x x x x x x x x μμμ有非零解解：由齐次线性方程组有非零解的条件可知，0111213142=------μμμ,解得3,2,0=μ.第一章综合练习一、判断题1. n 阶行列式n D 中的n 最小为2.( ╳ )2. 在n 阶行列式ij a D =中元素),2,1,(L =j i a ij 均为整数，则D 必为整数.( √ )3.413223144433221144413332232214110000000a a a a a a a a a a a a a a a a -=.( ╳)二、选择题1.若11131--+=x x x D ，211122-+=x x D ，则1D 与2D 的大小关系是( ).(A)21D D <； (B)21D D >；(C)21D D =；(D)随x 值变化而变化.答案：C 2.行列式{})2,1,1,,,(-∈d c b a dc b a 的所有可能值中，最大的是( ).(A) 0； (B)2； (C)4； (D)6.答案：D三、填空题1.︒︒︒︒40cos 20sin 40sin 20cos = .解析：︒︒-︒︒=︒︒︒︒40sin 20sin 40cos 20cos 40cos 20sin 40sin 20cos2160cos =︒=. 2.若y y x x y x -=-1122,则x+y = . 解析：由y y x x y x -=-1122，得xy y x 222-=+ 即0)(2=+y x ，从而x+y =0.3.已知111,0112==yx x ，则y = . 解析：由111,0112==yxx ,得x =2,x-y =1,从而y =14. 若222222222642531C c B b A a c b a ++=,则2C 化简后的结果等于 . 解析：242312=-=C .5.设xxx x xx f 111123111212)(-=，则4x 的系数为 ；3x 的系数为 .解析：当f (x )的主对角线的4个元素相乘才能得出4x ，系数为2；含3x 的项只能是44332112,,,a a a a 的乘积，系数为-1. 答案：2，-1.6.设0123411222641232211154321=D ,则(1)333231A A A ++= ； (2)3534A A + ； （3）5554535251A A A A A ++++ . 解析：0)(23534333231=++++A A A A A 0)()(23534333231=++++A A A A A于是0333231=++A A A ，03534=+A A .5554535251A A A A A ++++1111111222641232211154321=01111133333641232211154321==. 即0555*******=++++A A A A A .四、解答题1.计算下列行列式.(1)44342414433323134232221241312111y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++++++++++++++++；解：原式=14131214141312131413121214131211y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x ---+---+---+---+=000000000014131214131211=------+x x x x x x y y y y y y y x .(2)43211111111111111111x x x x ++++；解：原式=432111110010011x x x x x x x ---+=432111413121100000001x x x x x x x x x x x x x ---++++ =3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++.(3)2007000002006000200500020001000ΛΛΛMM M M M ΛΛ. 解：原式=!2006)1(2007220052006⨯-⋅=!2007-2.已知123452221127312451112243150D ==, 求(1)434241A A A ++；(2)4544A A +. 解：27)(21114544434241=++⋅+⋅+⋅A A A A A0)()(24544434241=++++A A A A A得9434241-=++A A A ,184544=+A A . 3.计算下列n 阶行列式.(1)nn n n n n n D ΛM M M ΛΛΛ222333222111=； 解：（利用范德蒙行列式计算）1122133321111!--==n n n Tn n n n n D D ΛM MMΛΛΛ [])1()2()24)(23)(1()13)(12(!--------=n n n n n ΛΛΛ!2)!2()!1(!Λ--=n n n .(2)211121112ΛMM M ΛΛ； 解：原式=211121111ΛM M MΛΛ+++n n n =211121111)1(ΛMMM ΛΛ+n =1100010111)1(+=+n n ΛMM M ΛΛ.(3)mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=ΛM M M ΛΛ212121解：将第2列，L ，第n 列分别加到第一列，并提取第一列的公因子，得m x x mx x x x m x m x x x x x m x x x D n n n n n n n --+++--+++-+++=ΛΛM M MΛΛΛΛ221221221mx x x m x x x m x x x n n n n ---+++=ΛMM M ΛΛΛ22221111)(mm m x x x n ---+++=ΛM M M ΛΛΛ0101001)(21121))((---+++=n n m m x x x Λ(4)nn n n n a a a a a a b b b b b D 1322113210000000-----=ΛM M M M M ΛΛΛ （其中n i a i ,,2,1,0Λ=≠）解： 1221100000000)1(-+----=n nn n a a a a b D ΛM M M M ΛΛ1222112210000000------+n n n n n a a a a a b b b b a ΛM M M M ΛΛΛ 121-+⋅=n n nnn D a a b a a a Λ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑=n i i in a b a a a 121ΛΛ. 三、证明题1.试证：如果n 次多项式n n x a x a a x f +++=Λ10)(对n+1个不同的x 值都是零，则此多项式恒等于零.(提示：用范德蒙行列式证明)。

线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 学号 第一节 n 阶 行 列 式一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ BD ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,24．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。

线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 阶 行 列 式一．选择题1．若行列式x52231521- = 0,则=x ［ C ] （A ）2 （B ）2- (C ）3 （D ）3-2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ］（A ）（13，5) （B ）(13-,5） (C)(13,5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x 根的个数是 ［ C ] （A ）0 （B ）1 (C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 ［ A ] （A ）665144322315a a a a a a （B)655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a (D ）266544133251a a a a a a5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项,则l k ,的值及该项的符号为［ B ］ (A ）3,2==l k ，符号为正; (B)3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n 〉2）阶行列式的值必为零的是 ［ BD ] （A ） 行列式主对角线上的元素全为零 (B ） 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 （C ） 行列式零的元素的个数多于n 个 （D ） 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8，5 s = 5,2,8 ，t = 8,5，2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。

第一章会计算反序数，掌握行列式的性质，会计算行列式，掌握克莱姆法则 第22页 习题一（A 组） 2.计算下列各行列式. （1）|1232121−11|=|132230100|=|323|=−6 （2）307220583 =|307−2201303| =2⋅（−1）2+2⋅|37133| =2(3×3−7×13)=−164. （3）|20000−1000030000−5|=2×(−1)×3×(−5)=30（4）|1111123413610141020|=|11110123013601410|=|1111012300130014|=|1111012300130001|=1 （5）5042111141201121=|5114121301−10010| =|54231−1010|=−|523−1| =11 （6）|11111−11111−11111−1|=|11110−20000−20000−2|=−8（第一行乘-1加到下面各行）4、k 取何值时，下列齐次线性方程组仅有零解？（系数行列式不等于0） （1）{3x +2y −z =0kx +7y −2z =02x −y +3z =0 D =|32−1k7−22−13|=|32−1k −6301150|=-|k −63115|=−(5k −30−33)=−(5k −63)≠0 所以k ≠635(2){kx 1+x 2+x 3=0x 1+kx 2−x 3=02x 1−x 2+x 3=0 D =|k 111k −12−11|=|k 11k +1k +102−k −20|=(k +1)|112−k−2|=(k +1)(−2−2+k )=(k +1)(k −4)≠0 所以k ≠−1并且k ≠−4 第25页习题一（B 组）1.单项选择题（1） 关于行列式，下列命题错误的是（B ）.A. 行列式第一行乘以2，同时第二列除以2，行列式的值不变 B ．互换行列式的第一行和第三行，行列式的值不变 C ．互换行列式的任意两列，行列式仅仅改变符号 D ． 行列式可以按任意一行展开（2） 关于行列式，下列命题正确的是（A ）. A. 任何一个行列式都与它的转置行列式相等B ．互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等C ．如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零D ． 以上命题都不对（3）下列命题错误的是（ B ）.A. 如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组有唯一解 B ．如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组无解C ．如果齐次线性方程组的系数行列式等于零，则该方程组有非零解D ．如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组只有零解 （4）排列1 6 5 3 4 2的逆序数是（ B ）.0+0+1+2+2+4=9 A. 8 B ．9 C ．7 D ． 6（5）212431235-的代数余子式12A 是（ C ）.A. 2143-- B ．2143- C ．4125--D ． 4125-2.填空题.（1）|1−221|= 5（2）|123045006|=1×4×6=24（3）若52k 74356=，则k =_7_________.（4）212431235-的余子式32M =|22−41|，代数余子式32A =−|22−41|.（5）若a c 3b d=，则2a 2c2b 2d-=--12，a 2cb 2d --=--6，2a 2cb d=---6.（6）已知k341k 000k 1-=，则k =_1或3_________.3、在四阶行列式中，确定下列各项的符号.a 13a 24a 31a 42 t （3412）=2+2=4 所以a 13a 24a 31a 42的符号是正号.a 34a 23a 41a 12 将行标按自然顺序排列a 12a 23a 34a 41 t （2341）=1+1+1=3 所以a 34a 23a 41a 12的符号是负号.4、（1）|21413−12112325062|=|2141506212325062|=0 （将第一行加到第二行后，第二行和第四行元素对应相等）（2）方法一：|1201135001561234|=|100111500156134|=|100111000106134|=3⋅(−1)4+3|101110016|=−3|10101−1016|=−3|1−116|=−21方法二：|1201135001561234|=|1201015−101560033|=|15−1156033|=3|15−1007011|=−21|1501|=−21 （3）a b b bb a b b b b a b b b b a=|a +3b b b b a +3b a b b a +3b b a b a +3b b b a | =|a +3b bb b 0a −b 0000a −b 0000a −b| =(a +3b)(a −b)3（4）x yy xx x y yyx x y+++ =|2x +2y yx 2x +2y x +y y 2x +2y x x +y |=|2(x +y)yx0x y −x 0x −y y| =2(x +y )|xy −x x −y y |=2(x +y )[xy +(x −y )2] =2(x 3+y 3)或者：x yy x x x y y yxx y+++=1213222222x y y x c c x y x y y c c x y x x y+++++++11(22)1(22)010y x y xx y x y y x y xy x xx yx yy=++=+-+- 2233(22)2()()2()x y x x y x y x xy y x y x yy-=+=+-+=+-。

行列式练习题(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除2说明：黄色高亮部分是必做题目，其他为选作第一章 行 列 式专业 班 姓名 学号 第一节 行 列 式一．选择题1．若行列式x 52231521- = 0，则=x [ ]（A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3-2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a5[ ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负36．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ ](A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是2．排列的逆序数是3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = s = ，t =三、计算下列行列式（要写计算过程）：1．1322133212．598413111３．yxyx x y x y y x y x+++４．0011000001001004５．000100002000010n n -线性代数练习题 第一章 行 列 式专业 班 姓名 学号第二节 行列式的性质一、 选择题：1．如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ，则=1D [ ] （A ）8 （B ）12- （C ）24- （D ）24（A ）18 （B ）18- （C ）9- （D ）27-53． 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a = [ ] （A ）8 （B ）2 （C ）0 （D ）6- 二、选择题：1．行列式=30092280923621534215 2. 行列式=11101101101101112．多项式0211111)(321321321321=+++++=x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有根是3．若方程225143214343314321x x -- = 0 ，则4．行列式 ==2100121001210012D三、计算下列行列式：62．xa a a x a a a x线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第三节 行列式按行（列）展开一、 选择题：1．若111111111111101-------=x A ，则A 中x 的一次项系数是 [ ]（A ）1 （B ）1- （C ）4 （D ）4-72（A ）43214321b b b b a a a a - （B ）))((43432121b b a a b b a a -- （C ）43214321b b b b a a a a + （D ）))((41413232b b a a b b a a -- 3．如果122211211=a a a a ，则方程组 ⎩⎨⎧=+-=+-0022221211212111b x a x a b x a x a 的解是 [ ] （A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x =（B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x =（C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x ----=（D ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x -----=二、填空题：1．行列式122305403-- 中元素3的代数余子式是式，3．已知四阶行列D 中第三列元素依次为1-，2，0，1，它们的余子式依次分布为5，3，,7-4，则D = 三、计算行列式：81．321421431432432121111111na a ++线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号综 合 练 习一、 选择题：（A ）2 M （B ）－2 M （C ）8 M （D ）－8 M（A）34 （B）25 （C）74 （D）6二、选择题：9。