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非均匀介质中光线的传输4.1引言：傍轴方程在第三章里，我们得到了在折射率为n 0=c /v 的均匀介质中传输光场的相位部分所满足的亥姆霍兹方程，其中c 为真空中光速，v 是光束在介质中的传输速度：020222222=+∂∂+∂∂+∂∂p p p p k z y x ϕϕϕϕ, vk 00ω=4.1.1如果把Ψp 写成)exp(),,(),,(0z jk z y x z y x e p -=ϕϕ 4.1.2并且假设Ψe 是z 的缓变函数，即0/k zee 〈〈∂∂ϕϕ 4.1.3就可得到Ψe 的傍轴波动方程e t e jk z ϕϕ2021/∇=∂∂ 4.1.4 其中，(∇t )2为横向拉普拉斯算子2222yx ∂∂+∂∂，对方程4.1.4进行傅里叶变换得到以x ，y 为变量的常微分方程e y x e k k k j dz d Φ+=0222)(ϕ 4.1.5 解该方程课得到与下述方程类似的旁轴传输函数]2)(exp[),,(022k zk k j z k k H y x y x e += 4.1.6当我们考虑光波在传播常数或者折射率是位置的函数的介质中传输时，这种折射率渐变效应是由材料本身的侧面（例如由折射率渐变光纤或介质的三阶非线性效应决定）或者三阶非线性效应导致的，傍轴方程可写成e e t e nk j jk z ϕϕϕ02021/∆-∇=∂∂ 4.1.7 其中△n 是相对于主折射率n 0的偏离量。
当传播常数或者波数是与位置（x , y , z ）有关的方程时，如光栅、光纤或者是折射率与光强有关的介质是，可以把标量波方程4.1.4进行修正得到4.1.7.旁轴传输方程4.1.7是一个偏微分方程，不一定有解析解。
但在某些特殊情况下，如△n 的空间变化率是确定的或者在非线性光学里，可以用精确的积分或者逆散射法寻找该偏微分方程（PDE ）的特殊解。
接下来，我们首先将讨论针对这些情况的一些精确解和解析解。
在非線性介質中的光傳播行為文／石明豐一、簡介1834年時，一位蘇格蘭科學家John S. Russell[1]沿著一條窄而淺的運河旁騎馬，他發現了如下景象，當一艘小船突然停下後，原本在船艏前方被推動的水因慣性的關係繼續向前進，奇特的是，在這單一“突起的水”的前方和後方，運河的水面是非常平靜而沒有任何波動，他好奇地騎馬跟隨這單一“突起的水”走了好幾哩後，發現這“突起的水”的形狀、大小仍不見有任何改變，Russell 於是在他的筆記本記下了他觀察到這樣一個“孤立升起”(solitary elevation)的水波現象。
50年後，兩位荷蘭科學家Korteweg 和de Vries 發現要觀察上述“孤立升起”的水波現象，這升起水面的振幅必須非常的大，如果這升起水面的振幅不夠大時，就只能引起一般的水波，而且在傳播不久後就會消散。
他們了解到，這表示著大的振幅和小的振幅會使水波有不同的行為，也可以說水--這個傳播水波的介質--對水波振幅的反應是非線性的。
現在回到我們的主題--光在非線性材料中傳播的行為，雖然我們在大學時學電磁學及電磁波的時候，教科書總會在例題或習題中假設，電磁波傳播的介質是線性的，意即不管電磁波的振輻大小，折射率(介電係數和介磁係數的函數)總是不會改變，這樣在解題時，線性的微分方程式是比較容易解的，然而介電係數代表的是電場(E)和極化強度(P)之間的比例關係，如同彈簧的虎克定律一樣，當外力大到某一個程度時，彈簧的形變量和外力就不再是成正比，相同地，當電場強度大到某一個程度時，極化強度和電場就不再是正比關係，如此介電係數在電磁波的電場振幅較大時，和電場振幅較小時的值必然不同，這就表示這個傳播電磁波的介質對電磁波振幅的反應是非線性的，換句話說，折射率將會是電磁波振幅的一個函數。
在光學上，我們也可以說，折射率不是一個定值而是一個光強度的函數。
但如此一來，要解一個電磁波或光波在介質中的行為就變得複雜的多了，而且在不同材料中，折射率和電場關係也不儘相同，所以我們無法找到一個電磁波或光波在非線性材料中傳播的通解，甚至在很多的情況下，找不到解析解。
第三章 单模光纤的传输特性及光纤中的非线性效应单模工作模特性及光功率分布 ............................................................. 错误!未定义书签。
单模光纤中LP 01模的高斯近似 ............................................................... 错误!未定义书签。
单模光纤的双折射（单模光纤中的偏振态传输特性） ............................. 错误!未定义书签。
双折射概念 ............................................................................................... 错误!未定义书签。
偏振模色散概念 ..................................................................................... 错误!未定义书签。
单模光纤中偏振状态的演化 ................................................................. 错误!未定义书签。
单模单偏振光纤 ..................................................................................... 错误!未定义书签。
单模光纤色散 ................................................................................................... 错误!未定义书签。
色散概述 ................................................................................................ 错误!未定义书签。
2.7光波在非线性介质中的传播激光出现后，强光场足以展现物质对光场的非线性响应。
这种与光强有关的光学效应通常称为非线性光学效应。
将非线性光学介质中感应极化强度P展开为外光场E的幂级数形式，即+++=3)3(2)2()1(ˆˆˆE E E P χχχ(2.7-l)1. 非线性电极化率介质的感应极化强度克表示为NL L NL L P E P P P+=+=χεˆ0，取)ˆ1(ˆ0L χεε+=，则有 220220ˆtP t EE NL ∂∂-∂∂-=⨯∇⨯∇ μεμ (2.7-2) “物理光学”用经典线性谐振子模型导出了线性极化率的表达式ωγωωωχi mNe 2)(1)(ˆ2202--= (2.7-3)非简谐运动方程为)(2220t E m e Ar r rr -=+++ωγ(2.7-4)当给定电场E (t )，解出r ，由感应极化强度P =Ner 及P 和电场E 的幂级数形式，就可求出P 和电极化率χˆ。
一般用微扰法对方程逐级近似求解。
考虑频率为ω1和ω2的光场..)]exp()exp([21)(2211c c t i E t i E t E +-+-=ωω(2.7-5)可解得)(2])([12)(12)(1),(ˆ21221202222012122321ωωγωωωγωωωγωωωωωχ+-+-⨯⨯----=i i i mA Ne (2.7-6)由以上各个解看出，非线性响应的特点是频率为ω1和ω2的光场在非线性介质中感应的电极化强度，不仅具有频率ω1和ω2的分量，还具有频率为2ω1，2ω2，ω1±ω2的分量。
这些极化强度分量作为次波辐射源，将辐射出2ω1，2ω2，ω1±ω2的电磁波，这就是非线性光学中的倍频、和频以及差频等光学效应。
2. 光波在非线性介质中的传播设相互作用的光波为单色平面波，则其振幅不随时间而变化。
把非线性激励项作为一种微扰处理。
单色平面波的振幅相对变化很小，即可用慢变化近似。
光强传输方程光强传输方程是光学中用来描述光在介质中传输行为的方程。
它是根据光的强度随着距离变化的规律得出的一种数值关系，可以用来描述光的传输过程以及介质中的吸收、散射等现象。
在光学领域中，光强传输方程被广泛应用于光学通信、光电子技术等领域。
光强传输方程的基本形式是：I = I₀ * exp(-α * d)其中，I是光的强度，I₀是初始光强度，α是材料的吸收系数，d是光线传输的距离。
光强传输方程的物理意义可以通过分析其各个参数的影响来理解。
首先，初始光强度I₀表示光线在传输起点的强度，它决定了光的初始强度水平。
吸收系数α表示材料对光的吸收能力，即光在介质中被吸收的程度。
吸收系数越大，说明介质对光的吸收越强，光线传输距离越短。
散射系数描述了光在介质中的散射行为，反映了光在介质中的传播方向变化和能量分布的改变。
通过光强传输方程可以得到光线在介质中的衰减关系。
衰减是指光在传输过程中强度的减少。
当距离d增加时，指数项exp(-α * d)会使光的强度指数级下降。
这意味着光线传输距离越远，光的强度越小。
因此，光强传输方程可以用来预测光在介质中的传输距离，并且可以用来优化光学系统中的光路径布局和设计。
光强传输方程在光学通信领域中有着广泛的应用。
在光纤通信系统中，通过分析光强传输方程可以评估不同纤芯材料对光信号的吸收程度，并确定最佳的传输距离。
此外，在光学传感器、光电子器件等领域中，光强传输方程也被用于计算光的能量衰减情况，从而确定光学器件的性能和使用寿命。
值得注意的是，光强传输方程假设光线传输过程中没有其他因素的影响，比如散射和折射。
在实际应用中，这些因素的存在会对光线传输产生一定的影响，因此需要在使用光强传输方程时进行综合考虑和修正。
综上所述，光强传输方程是一种描述光在介质中传输行为的数学方程，它可以用来分析光的强度随传输距离变化的规律。
在光学通信、光电子技术等领域中，光强传输方程被广泛应用于光学系统设计和性能评估中，它为我们研究光的传输行为提供了重要的理论基础。
