正方体的截面问题研究知识讲解

立体几何中的截面(解析版)在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等），得到的平面图形。

总共有三种截面方式，分别为横截、竖截、斜截。

我们需要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。

正六面体的基本斜截面不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。

圆柱体的基本截面也有其特殊性质。

我们可以运用线、面平行的判定定理与性质求截面问题，或者结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题。

此外，我们还可以灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等。

建立函数模型也是求最值问题的一种方法。

在一个透明的塑料制成的长方体内灌进一些水，固定底面一边于地面上，再将倾斜，有四个命题。

其中，水的部分始终呈棱柱状，棱AD始终与水面平行，当倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值。

水面的面积在转动过程中会改变，而BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH。

因此，正确的命题序号为①③④。

一个容积为1立方单位的正方体，在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G。

若此可以任意放置，则该可装水的最大容积是多少？分析本题，不能用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形。

进一步地，截面也不能为正五边形。

这是因为正方体的每个面都是正方形，而五边形无法与正方形相切。

因此，无论如何调整平面的位置，都不能得到五边形的截面。

而且OE=OC是抛物线的直线准线，所以焦点F在OC上，且OF=OC=1.故选：D二、完形填空在数学课上，老师讲到一个有趣的问题：如何用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形。

这个问题引起了我的思考，我开始想象一个平面在正方体中穿过的情景。

我发现，如果截面是一个正五边形，那么这个五边形的五条边必须分属于正方体的五个不同的面。

但是，正方体的每两个相对的面是平行的，所以这五条边中必有两条边是平行的。

细说正方体的截面图形在实际生活中时常出现实物几何体的切面所形成的截面图形形状，在中学数学中也学习了几何体的截面图形，截面是一个平面去截一个几何体得到的平面图形或一个平面与几何体表面交线围成的封闭图形，。

截面图形更好的将平面几何与立体几何联系起来，探究具体几何体的截面图形有助于更深入的认识几何体，发展正确的空间观念。

对于一个几何体不同的切截方式所得到的截面图形可能出现不同的情况。

现具体以正方体为例来探究正方体的截面图形形状。

一个平面截正方体与各面的交线都是线段，因此正方体的截面图形都是平面图形。

正方体有六个面，用一个平面去截正方体至少要经过正方体的三个面而最多要经过六个面，所有出现的截面图形边数至少是三条而最多是六条，则只可能出现三角形、四边形、五边形、六边形。

一、截面图形是三角形用一平面去截正方体经过正方体三个面时得到的截面图形是三角形1.截面图形是锐角三角形如下图，一个平面截正方体任意三个面得到截面△EFG ，BE=a,BF=b,BG=c.可得EF=22b a +,EG=22c a +,FG=22c b +.（1）如图①，当a ≠b ≠c 时，则EG ≠FG ≠EF,即截面△EFG 是一般三角形。

（2）如图②，当a=b ≠c 时，则EG=FG ≠EF 即截面△EFG 是等腰三角形。

同理可得a=c ≠b 或b=c ≠a 时截面△EFG 是等腰三角形。

（3）如图③,当a=b=c 时EF=FG=EG 即截面△EFG 是等边三角形2.截面图形不能是直角三角形如图①，2EF =22b a +，2FG =22c b +,2EG =22c a +,则222EG FG EF +<,222EG EF FG +<,222EG FG EF +<,所以截面三角形不可能是直角三角形。

3.截面图形不可能是钝角三角形如图①，cos ∠FEG=EG EF FG EG EF ⋅-+2222=22222222222ca b a c b c a b a +⋅+--+++ =22222c a b a a +⋅+>0,则0<∠FEG< 90.同理可得0<∠EFG< 90.0<∠EGF< 90. 所有截面图形不可能是钝角三角形。

正方体的截面问题研究研究性学习报告——正方体的截面形状【课题】正方体的截面形状【作者】刘可歆岳新茹【摘要】探究正方体截面形状，通过实践和图示证明其结果，列举特例。

【研究方法】首先经过猜想，列举出猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法证明猜想是否正确。

再通过网络查询资料，寻找未猜想到的情况。

【研究过程】探究1：当截面为三角形根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:====由上图可知，正方体可以截得三角形截面。

特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：====》正三棱锥探究2：当截面是四边形1.正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：====》》》由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。

====》》》由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。

2.矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。

其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。

3.平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：==》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。

4．菱形：如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：5．梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：==》》》探究3：当截面是五边形6.五边形：如图所示，可以截得五边形截面：=》探究3：当截面是六边形7.六边形：如图所示，可以截得六边形截面：=》特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：【拓展探究】1. 正方体最大面积的截面三角形：如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角形。

2. 正方体最大面积的截面四边形:通过猜想及查询资料可知，正方体截面可能得到的四边形有：正方形、矩形、梯形、平行四边形。

结论如下：1、可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四边形、梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形2、不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形正方体的截面形状一：问题背景在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。

若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？二：研究方法先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。

三：猜想及其他可能的证明：1.正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：====》》》由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。

====》》》由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。

2.矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。

其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。

例如，正方体的六个对角面都是矩形。

3.平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：==》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。

4.三角形：根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:==》》》由上图可知，正方体可以截得三角形截面。

但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：==》得到：正三棱锥5.猜想之外的截面形状：（1）菱形：如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：（2）梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：==》》》（3）五边形：如图所示，可以截得五边形截面：=》通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。

（4）六边形：如图所示，可以截得六边形截面：=》特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：拓展探究：1.正方体最大面积的截面三角形 2.正方体最大面积的截面四边形3.最大面积的截面形状4.截面五边形、六边形性质1.正方体最大面积的截面三角形：如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角形。

正方体的截面问题研究报告研究报告：正方体的截面问题一、引言：正方体是一种具有六个面都是正方形的立体，它具有许多有趣的性质和特点。

其中一个问题是关于正方体的截面问题，即在不同位置和方式截取正方体，观察其截面形状和特征。

本研究报告将对正方体的截面问题进行研究和分析。

二、研究目的：1. 研究正方体的截面形状及特征。

2. 探索正方体的不同截面位置和方式对截面形状的影响。

3. 分析正方体的截面特性与其它几何形体的关系。

三、研究方法：通过数学分析与计算机模拟相结合的方式进行研究。

首先，研究者将正方体进行截面，观察并记录截面形状、面积和其他特征。

然后，通过数学模型和计算机模拟，研究者将确定各种截面形状的数学方程，并分析其特性和关系。

四、实验过程与结果：1. 实验过程：研究者首先在正方体的不同位置划定截面平面，包括水平截面、垂直截面和倾斜截面。

然后，使用切割工具在规定的截面平面上进行截取操作，获得正方体的截面。

最后，通过测量和计算，记录截面的形状、面积及其他特征。

2. 实验结果：不同位置和方式的截面形状各不相同。

水平截面和垂直截面一般为正方形，但大小和位置不同。

而倾斜截面则为一种四边形，具有奇特的形状。

截面的面积也因位置和方式的不同而有差异。

五、分析与讨论：1. 正方体的截面形状与其位置和方式密切相关。

对于水平和垂直截面，截面形状为正方形，且大小和位置相对稳定。

而倾斜截面则更具变化性，形状可能是一种特殊的四边形。

2. 正方体的截面特性与其他几何形体有一定的关系。

在特定的截面位置和方式下，正方体的截面形状可能与柱体、圆柱体等具有相似的形态。

3. 正方体的截面问题与数学几何有密切关系，通过研究正方体的截面形状和特性，可以深入理解几何形体的性质，丰富几何学科的研究。

六、结论：通过对正方体的截面问题进行研究和分析，我们发现正方体的截面形状与其位置和方式密切相关，同时也与其他几何形体具有一定的关系。

正方体的截面问题在数学几何研究中具有一定的重要性，对于深入理解几何形体的性质具有积极的作用。

有关正方体的截面问题
①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形；
②截面三角形是锐角三角形；截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形；
③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行；
④截面不能是直角梯形；
⑤截面可以是五边形；截面五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等；截面五边形不可能是正五边形；
⑥截面可以是六边形；截面六边形必有分别平行的边，同时有两个角相等；
⑦截面六边形可以是等角(均为120°)的六边形，特别地可以是正六边形．
对应截面图形如下图中各图形所示．。

立体几何中的截面问题一．基本原理：过正方体（长方体）上三点做截面.1.三点中有两点共面例1.如图，在正方体ABCD－A 1B 1C 1D 1中，E，F，G 分别在AB，BC，DD 1上，求作过E，F，G 三点的截面．思路：当三点中有两点共面时，做截面的思路就是先找共面两点所在直线与该平面所有的棱交点，而这些交点由同时在另外一个平面中，即该截面和正方体某个侧面的交点，这样利用公理1，逐次相连找到所有的交点，即可得到截面.解析：作法：①.由于F E ,共面，在底面AC 内，过F E ,作直线EF ，与DA 于L ，显然，此时L 即在侧面D A 1内，又在欲求截面内，而该截面与侧面D A 1又交于点G ，根据公理1，截面与侧面D A 1交于L .同理，过F E ,作直线EF 与DC 的延长线交于M ，此时M 即在侧面1DC 内，又在欲求截面内，根据公理1，截面与侧面1DC 交于M .②在侧面D A 1内，连接LG 交1AA 于K .③在侧面1DC 内，连接GM 交1CC 于H .④连接FH KE ,.则五边形EFHGK EFHGK 即为所求的截面．练习1.（三点两两共面）P，Q，R 三点分别在直四棱柱AC 1的棱BB 1，CC 1和DD 1上，试画出过P，Q，R 三点的截面作法．解析：作法：（1）连接QP，QR 并延长，分别交CB，CD 的延长线于E，F.（2）连接EF 交AB 于T，交AD 于S.（3）连接RS，TP.则五边形PQRST 即为所求截面．例2.（三点所在的棱两两异面）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，R Q P ,,分别为111,,CC AB D A 上三点，求过这三点的截面.分析：此题的难点在于R Q P ,,三点均不在同一个侧面（底面）中，这样我们就暂时无法通过侧面（底面）中连线与棱的交点来找到截面的边界点，于是需要先做出一个平面来，让上面三点RQ P ,,中有两点共面，这就转化成例1的情形，从而解决问题.解：如图，作1//BB QE 交11B A 与E ，则1,RC QE 确定一个平面，转化为例1的情形.连接QR EC ,1,交于点F ；连接PF 交1111,B A D C 延长线于H G ,；连接HQ 交11,BB AA 延长线于J I ,；连接JR 交BC 于K .则KRGPIQK 为所作截面.例3.利用平行关系确定截面在三棱锥A BCD -中，AB CD a ==，截面MNPQ 与AB ，CD 都平行，则截面MNPQ 的周长等于（）A．2a B．4a C．a D．无法确定解析：设AM k CM=，因为//AB 平面MNPQ ，平面ABC 平面MNPQ MN =，AB Ì平面ABC ，所以//MN AB ，同理可得//PQ AB ，//MQ CD ，//NP CD ，故四边形MNPQ 为平行四边形，所以11MN PQ AB AB k ==+，1MQ NP k CD CD k ==+.因为AB CD a ==，所以1a MN PQ k==+，1ak MQ NP k ==+，所以四边形MNPQ 的周长为2211a ak MN PQ MQ NP a k k ⎛⎫+++=+= ⎪++⎝⎭.故选：A.二．截面的的画法小结1.确定截面的主要依据有（1）平面的四个公理及推论．（2）直线和平面平行的判定和性质．（3）两个平面平行的性质．2.作截面的几种方法（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。

数理化 解题研究2019年第28期总第449期正方体的截面问题武增明(云南省玉溪第一中学653100)摘要：正方体的截面问题，涉及到截面形状的判定、截面面积和周长的计算、截面图形的计数、截面图形 的性质的判定、截面图形的面积和周长的最值（取值范围）的求解.本文仅举例说明正方体的截面面积和周长 的最值（取值范围）的求解方法以及截面图形的性质的判定方法.关键词：正方体；截面；面积；最值;性质中图分类号:G 632文献标识码:A文章编号：1008 -0333(2019)28 -0010-03一个平面与一个正方体表面的交线围成的封闭平面 图形称为正方体的截面图形，简称正方体的截面.正方体 的截面，对三角形来说，可以是锐角三角形、等腰三角形、 等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；对四 边形来说，可以是等腰梯形、平行四边形、菱形、矩形，但 不可能是直角梯形；对五边形来说，可以是任意五边形， 但不可能是正五边形；对六边形来说，可以是正六边形. 正方体的截面至多是六边形.判断正方体的截面的形状 的理论依据是，高中立体几何中确定平面的三个公理及 其三个推论.正方体的截面问题，涉及到截面形状的判定、截面面 积和周长的计算、截面图形的计数、截面图形的性质的判 定、截面图形的面积和周长的最值（取值范围）的求解.本 文仅介绍正方体的截面面积和周长的最值（取值范围）的 求解方法，以及截面图形的性质的确定方法.解决这三个 问题的关键都是截面形状的判定.下面举例说明.―、正方体的截面面积的最值问题例1 (2018年高考全国卷I .理12)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面a 所成的角都相等，则 a 截此正方体所得截面面积的最大值为A . 了B •丁C .—D.y解析因为在正方体/^(^-^^"，中，/^//^：/) //4,B , //C ,£», ,AD //BC //B , C j /AK D ,,A A j /B B j /CC , //所以当平面a 与棱所在的直线所成的角 相等时，正方体的所有棱所在的直线与平面a 所成的角都相等，由正方体的性质易得平面与棱所在的直线所成的角相等，则平面a //平面七BC ,或平面 a 为平面由图易得当平面a 过棱C ,£>,,的中点时，a 截此正方体所得截面面积最大，此时截面是边长为f的正六边形，如图1.则其面积为6x f x (f )2=手,故选 A .评注根据正方体的性质确定平面a 的位置是解题 的关键.图1图2例2 (2004年湖南省数学竞赛试题）过正方体4BCD的对角线仙,的截面面积为S ,记S ,和S 2分别为S 的最大值和最小值，则^为（）.V f#2/J2/6A . 2B . 2L . 3D . 3解析由已知可得如图2,设正方体的棱长为1，故当 M ，/V 分别为A 4,，(：(：,的中点时，截面的面积最小，最小为+勝xBZ ),•当截面为就时，截收稿日期:2019 - 07 - 05作者简介：武增明（1965. 5 -),男，云南省玉溪市易门县人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学及其研究. —10—2019年第28期总第449期数理化解题研究面的面积最大，最大为1x W=力.故S,，于D, /!是从而选C.S23D;........2/D x C, Q Ax/-L/Z)；-B i二、正方体的截面的周长问题例3在正方体/^(：£>-/1",/),中，若过/)1；8的平面截正方体所得的平面四边形的周长的最小值为则正方体的体积K=( )•A.27B. 16C.9D.8分析先由四边形是平行四边形将四边形的周长转化为2( BA/ + MD,),再将正方体的侧面 展开，得到BM+ MD,的最小值，由已知条件求得a的值即 可求解.解析设正方体的棱长为a,如图3,M，yv分别是平面四边形A与A4,,CC,的交点，由题意可知四边形是平行四边形，所以四边形BM Z),；V的周长为2(BM+ MD.).图3沿将正方体的侧面展开，在矩形B Z W,中，易知当且仅当三点共线时, + MD,取得最小值，为V§a.所以二4尽，得a=2, 所以 F= 23 =8.评注解答本题的关键是将正方体的侧面展开，找 到使得平面四边形的周长取得最小值时点M的位置.解析对于①，②，如图5,因为正方体4SCZ) - 的棱长为1,当时，，这时过P，P三点的截面与正方体表面交于点D,,= f，且,截面S为等腰梯形；当0 < C(?< ^■时，过/>，(？三点的截面与正方体表面的交点在棱上，截 面S为四边形，故①，②正确.对于③，④，⑤，如图6,延长(?/?交的延长线于点/V,连接4/V交4, £»,于点M，连接MC,.取/!£»的中点G,作C////PC»交DD,于点//，可得，GH// AN，R GH =专 AN.设 CQ(+<«吳1)，则 = = 2i/ /!RC,「.当-时，可得C,f f:，故③正确.当+<t<l时，S为五，ND'D,R2tC,R1J\R=~2边形，故④错误.当《 = 1时,M为/l,D,的中点，S为菱形狀=尸c,，，：及』的面积=菱三、正方体截面图形的性质问题例4 (2013年高考安徽卷.文15理15)如图4,正方体/1BCZ)-义fi,C,/?,的棱长为1,P为6C的中点，()为 线段CC,上的动点，过点/I，P，（(的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是____(写出所有正确命题的编号）.①当0<(^<士时，S为四边形；②当时，S为等腰梯形；③当C(?= |时，S与C,£>,的交点/?满足C,尺=+;④当|< 1时,S为六边形；⑤当〇?=丨时，S的面积为形 /1PC,A/ 的面积二 2S A C，抑=2x士 f，故⑤正确.故所有正确命题的编号为①，②，③，⑤.例5 (2005年全国高中数学联赛试题）如图7,已知正方体/1B C D任作平面《与对角线/1C,垂直，使得平面a与正方体的每个面都有公共点.记这样得到 的截面多边形的面积为S,周长为Z.则（）.A. S为定值，/不为定值B. S与/均为定值C. S不为定值，/为定值C.S与Z均不为定值解析先考察特殊情形.不妨设正方体棱长为1.如图7，取£，F，C,//，/,1/分别为六条棱的中—11—数理化 解题研究2019年第28期总第449期点，显然，正六边形是符合要求的截面，它的周长 =於,面积S , =¥.当截面为正W D 时，其周长/2 =3/5"，面积 S 2=f .注意到= Z 2 ,S , #S 2，由此可以断定S 不为定值，而/ 有可能为定值.再考察一般情形•设六边形W, G ,//,/,为任意一个符合要求的截面，则此截面与前面两个特殊的截面平行.由相似三角形对应边成比例，得£丨尸,_B ,£,Z ),B ,所以=在A A=在B A ，J ,E , +E ,F , =^2(A ,E , +B lE l)—=^/2 .同理,另四边之和为2尽.因此，六边形■/,£，,(；,//,/,的周长为定值3^.故选C .评注解本题应用了由特殊到一般的思维方法，这 是求解复杂问题的常用方法之一.参考文献：[1]陆珂•截面[J ].中学数学教学参考（上旬），1995(4) ：43 -45.[2] 傅钦志•立体几何中的截面问题[J ].中等数学，2007(3) ：5 -9.[3] 蒋孝国•立体几何中的最值问题[J ] •数学通讯(上半月），2016(3) :40-43.[责任编辑：杨惠民]一个正三角形面积最值的求法探究许银伙(福建省泉州外国语中学362〇00)摘要：本文对一个正三角形的面积最值问题，分别运用坐标法、几何性质法、三角函数法、向量法、复数 法等多种知识，从不同角度和方法进行分析解决，提高知识应用能力.关键词：三角函数；坐标法；向量法；正三角形中图分类号：G 632文献标识码：A文章编号：丨008 -0333(2019)28 -0012 -03问题已知中，乙/l 〇e =90°，04=l ，O B =W ， 等边A £F C 的三个顶点分别在A /10S 的三边上运动，求 A £F C 面积的最小值•分析一以边〇/1,所在直线分别为*,y 轴，建立 直角坐标系，通过正三角形的直观性质三边相等和已知 条件求出的长度关系，进而求出的最小值.解法一如图1，建立平面直角坐标系，则点/!(1，〇)，B (0，万），设点 £(*。