高中数学课件-正方体截面的形状

高中数学截面问题方法总结高中数学里的截面问题啊，那可真是有点头疼呢！但别怕，咱一起来好好捋一捋。

你想想看，截面就像是给一个立体图形来个“切片”。

要解决这类问题，首先得对各种立体图形特别熟悉，就像了解自己的手掌纹路一样。

比如说正方体吧，那可是最常见的啦。

要找正方体的截面，你就得发挥想象力，把自己想象成一个小蚂蚁，在正方体里爬来爬去，看看能截出个啥形状。

有时候可能是个三角形，有时候是个四边形，甚至还可能是个五边形或者六边形呢！这多神奇呀！再比如棱柱、棱锥这些家伙，它们的截面可就更复杂啦。

这时候就得仔细分析它们的特点，看看从哪里下“刀”合适。

这就好比切蛋糕，你得找准位置才能切出漂亮的一块儿。

还有啊，画图可太重要啦！把图形画出来，就好像把难题给“抓”到了眼前，能更清楚地看到问题所在。

别小看这一笔一划，有时候就是这简单的几笔，能让你豁然开朗呢！做截面问题的时候，可别死脑筋哦。

要多角度去思考，就像孙悟空一样，七十二变，总有一个角度能找到答案。

还有个小技巧，那就是找特殊点和特殊线。

这些特殊的地方往往就是解决问题的关键。

就像黑暗中的一盏明灯，一下子就能照亮你解题的路。

比如说，在一个三棱锥里，找到顶点和底边的中点连线，这可能就是一个重要的截面呢。

哎呀，说了这么多，其实关键还是要多练习呀！只有多做几道题，才能真正掌握这些方法。

就像学骑自行车，一开始可能会摔倒，但多骑几次，不就熟练了嘛！总之呢，高中数学的截面问题虽然有点难，但只要我们用心去学，去思考，就一定能把它拿下！加油吧，同学们！让我们一起在数学的海洋里畅游，把这些难题都当成是我们前进路上的小怪兽，一个一个地打败它们！相信自己，我们一定行！。

优质课例 ^l W\聚焦核心素养，构建生动课堂—“正方俥截面的形状”教字设计与思考■曾敏《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出：数 学课程应倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习 数学的方式。

这些方式有助于发挥学生学习的主动 性，对培养学生良好的数学思维习惯、抽象能力及交 流合作能力大有裨益，从而促进学生发展，提高学生 数学核心素养。

截面问题是立体几何的典型问题。

教学“正方 体截面的形状”这节课时，教师利用正方体玻璃缸、水、量杯等实验工具开展数学探究活动，让学生在实 验探究中以分组讨论的方式开展研究性学习。

教师 通过问题导向、合作探究、数学实验，引导学生逐步 探究“正方体截面形状有哪些”和“正方体截面形状 的特征”，加深对截面问题的理解，实现由“教”到 “学”的转变,从而提升学生的核心素养。

教材分析“正方体截面的形状”是北师大版高中数学必修 2第1章“立体几何初步”中的课题学习内容。

在教 学中，我们希望学生通过“正方体截面的形状”的课 题学习，体会到“如何获得知识，比关注得到别人给 予的知识更重要”,体会到“问题是思考的结果，是深 人思考的开始；数学学习不仅要提高解决别人提出40 I X灰t 问题的能力，还要保持永不满足的好奇心，大胆地发 现问题、提出问题，养成问题意识和交流的习惯”，让 学生在学会数学的同时，培养数学核心素养。

学情分析学生已经学习了“立体几何初步”，对三维空间 有初步的认识，对简单几何体的基本特性和直观图、三视图有基本了解。

对空间的点、线、面的位置关系 也有了一定的理解，并初步学会用数学语言来描述 和论证某些位置关系（特别是平行和垂直关系）。

对 直观感知、操作确认、思辨论证和度量计算等方法有 了一定的体验。

有一定的空间想象能力，初步有了 推理论证和运用图形语言进行交流的能力。

教学过程一、创设情境，引人课题教师播放视频：《舌尖上的中国》(如下图），学生 观看视频。

Q I&S I S I 师：从视频中我们能感受到中国饮食文化的色、香、味、形。

正方体截面的探究教学设计无为县襄安中学李向林背景介绍为了使课改工作开展的更有成效，很重要的方面，就是要重构课堂，在现代课堂的教学中，我们应该清楚地认识到：1.课堂不是教师表演的舞台，而是师生之间交流、互动的舞台。

2.课堂不是对学生进行训练的场所，而是引导学生发展的场所。

3.课堂不只是传授知识的场所，而更应该是探究知识的基地。

4.课堂不是教师教学行为模式化运作的天堂，而是教师教育智慧充分展现的竞技场。

在进行立体几何中“如何求作平面与平面的交线”这部分内容的教学时，为了提高学生学习立体几何的兴趣，帮助一些学生克服对立体几何的畏惧心理，我适时补充了“正方体的截面”这个内容。

考虑到要通过会“求作平面与平面的交线”从而学会“过已知点求作正方体的截面”对学生而言是有一定难度的。

因此，能否通过这节课的学习让学生体会到数学知识就在我们身边、感悟到数学的美，激发出学生学习数学的兴趣和强烈的求知欲望，初步培养学生动手实验、观察比较、归纳总结的能力和探究意识、创新意识，就成为这节课首要解决的问题。

为了更好地突破以上难点，落实新课标的精神，我运用"学生为主体，教师为引导，问题为核心，体验为红线"的探究性学习方式，逐步培养学生的创造性思维；在教学策略上我通过实物操作与电脑演示相结合的方法帮助学生了解正方体截面的各种可能的形状以及有否特殊的形状。

教材分析《正方体截面的探究》是人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2》关于正方体的“截面”问题的教学设计。

本课是在学生已经学习了平面的三个基本性质的基础上，为了更深刻地理解平面图形与立体图形之间的关系及求作平面与平面的交线，帮助学生初步建立空间观念，发展几何直觉，而安排的一节以实验操作为主的探究课。

新课程标准强调课程实施应从学生的学习兴趣，生活经验和认知水平出发，倡导体验、实践、参与、交流的学习方式和任务型的教学途径，发展学生的主动思维能力和大胆实践的创新精神。

【教学主题】正方体截面的形状【教材分析】本节内容是高中数学必修2中的一个探究性课题，安排学习完本章内容之后讲授，通过对几何体的切截活动，交流等过程，提升学生的空间观念，积累数学知识.【学生分析】从认知特点来看，学生爱问好动、求知欲强，想象力丰富，对实际操作活动有着浓厚的兴趣，对直观的事物感知较强，是形象思维向抽象思维逐步过渡的阶段，他们希望得到的充分的展示和表现，因此，在学习充分发挥学生在教学中的主体作用，采取让学生自已观察、大胆动手操作、进行小组间的讨论和交流、利用课件自主探索等方式，让学生主动地学习.【教学目标】知识与技能目标：经历切截正方体的活动过程，探索发现正方体的截面形状，体会几何体在切截过程中面与体的变化.过程与方法目标：通过对几何的切截活动，经历、观察、操作、想像、交流等过程，发展学生的空间观念，积累数学活动经验.情感与态度目标：通过学生自主探索与合作交流，培养学生与人合作，与人交流的良好品质，激发学生对知识需求的欲望和探索创新的精神，培养用数学的意识，激发学生对数学的热爱.【教学重点】探索截面形状的过程【教学难点】从切截活动中发现对同一几何体不同角度切截所得截面的不同形状的想象与如何截.【教学准备】在正式上课前一周给学生安排布置任务.根据课本必修2课题学习内容：用一个平面去截正方体，截面的形状是什么样的？要求学生通过自己具体实验操作，如可以利用切土豆或其他物体,也可以找一个正方体的封闭塑料桶灌上带有颜色的水等,组内讨论探究等形式，逐一解决课本上提出的问题，最后形成结论，完成课题学习报告.首先由课代表将全班学生分成6组，指定组长，提出课下讨论、研究的要求和建议.发给各小组课题学习报告表格.让学生课后进行实验和研究，最后形成小组的研究成果的报告.老师在这个阶段要不断的通过课代表了解各组实验及研究进程，及时予以指导.对一些错误的做法要及时给予纠正.【教学过程】一．新课导入1.立体几何中的三个公理分别是什么？2.面和面的位置关系有几种？3.面面平行的性质定理是什么？4.截面的定义用一个平面去截几何体，就得到一个平面图形，这个平面图形叫做截面.二．问题探究1.用一个平面截一个正方体，截面分别是什么形状？2.观察截正方体所得截面，问题探究截面可能是七边形吗？三．问题小结1.几何体的截面由平面与几何体各表面交线构成；一般的截面和几何体的几个面相交就能得到几条交线，截面就是几边形.2.正方体的截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形.四.例题讲解例 1.证明正方体的截面是锐角三角形.若正方体的棱长是1,则截面是三角形时，面积最大是多少？例2.如图正方体的棱长是a，C,D分别是两条棱的中点.(1)证明四边形ABCD（图中阴影部分）是一个梯形；(2)求四边形ABCD的面积.例3、已知正方体A1B1C1D1—ABCD，E、F、H分别是A1B1、B1C1、AD的中点，过三点E、F、H作该正方体的截面．五.课堂练习1. 如图，若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（）A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台解：因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH⊄平面BCC1B1，平面EFGH∩平面BCC1B1=FG，所以EH∥平面BCB1C1，又EH⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面BCB1C1=FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所以选项A、C正确；因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，所以EH⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，所以选项B也正确，故选D．本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力．2.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z （x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（）A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关解：从图中可以分析出，△EFQ的面积永远不变，为面A1B1CD面积的14而当P点变化时，它到面A1B1CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化．故选D．六.数学文化资料医学CT影像技术. CT是一种医学影像诊断技术，它就是类似于今天所要学习的“截一个几何体”的方法，只不过这里的“截”并不是真正的截，这里的“几何体”是病人某个患病器官，“刀”是射线，它的原理是用射线透射人体，然后用检测器测定透射后的放射量，通过计算机进行处理，重建人体断层图象并作出诊断，这是数学的“图象重建原理”在医学上的成功应用．CT的发明具有划时代的意义,获得了诺贝尔奖.七.课堂小结1、正方体截面可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四边形、梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形2、正方体截面不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形八.课外思考正四面体的截面的形状有哪些？九．信息技术应用思路本节讲授的是正方体的截面形状，如何让学生对截面有一个直观地认识，因此在讲解截面为三角形、四边形、五边形、六边形时运用PPT中的动画技术，给学生一个直观的呈现，让学生直观地感受到了信息技术的魅力，也为课堂增加了丰富的画面，为学生对本节知识点的掌握奠定了良好的基础。

数理化 解题研究2019年第28期总第449期正方体的截面问题武增明(云南省玉溪第一中学653100)摘要：正方体的截面问题，涉及到截面形状的判定、截面面积和周长的计算、截面图形的计数、截面图形 的性质的判定、截面图形的面积和周长的最值（取值范围）的求解.本文仅举例说明正方体的截面面积和周长 的最值（取值范围）的求解方法以及截面图形的性质的判定方法.关键词：正方体；截面；面积；最值;性质中图分类号:G 632文献标识码:A文章编号：1008 -0333(2019)28 -0010-03一个平面与一个正方体表面的交线围成的封闭平面 图形称为正方体的截面图形，简称正方体的截面.正方体 的截面，对三角形来说，可以是锐角三角形、等腰三角形、 等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；对四 边形来说，可以是等腰梯形、平行四边形、菱形、矩形，但 不可能是直角梯形；对五边形来说，可以是任意五边形， 但不可能是正五边形；对六边形来说，可以是正六边形. 正方体的截面至多是六边形.判断正方体的截面的形状 的理论依据是，高中立体几何中确定平面的三个公理及 其三个推论.正方体的截面问题，涉及到截面形状的判定、截面面 积和周长的计算、截面图形的计数、截面图形的性质的判 定、截面图形的面积和周长的最值（取值范围）的求解.本 文仅介绍正方体的截面面积和周长的最值（取值范围）的 求解方法，以及截面图形的性质的确定方法.解决这三个 问题的关键都是截面形状的判定.下面举例说明.―、正方体的截面面积的最值问题例1 (2018年高考全国卷I .理12)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面a 所成的角都相等，则 a 截此正方体所得截面面积的最大值为A . 了B •丁C .—D.y解析因为在正方体/^(^-^^"，中，/^//^：/) //4,B , //C ,£», ,AD //BC //B , C j /AK D ,,A A j /B B j /CC , //所以当平面a 与棱所在的直线所成的角 相等时，正方体的所有棱所在的直线与平面a 所成的角都相等，由正方体的性质易得平面与棱所在的直线所成的角相等，则平面a //平面七BC ,或平面 a 为平面由图易得当平面a 过棱C ,£>,,的中点时，a 截此正方体所得截面面积最大，此时截面是边长为f的正六边形，如图1.则其面积为6x f x (f )2=手,故选 A .评注根据正方体的性质确定平面a 的位置是解题 的关键.图1图2例2 (2004年湖南省数学竞赛试题）过正方体4BCD的对角线仙,的截面面积为S ,记S ,和S 2分别为S 的最大值和最小值，则^为（）.V f#2/J2/6A . 2B . 2L . 3D . 3解析由已知可得如图2,设正方体的棱长为1，故当 M ，/V 分别为A 4,，(：(：,的中点时，截面的面积最小，最小为+勝xBZ ),•当截面为就时，截收稿日期:2019 - 07 - 05作者简介：武增明（1965. 5 -),男，云南省玉溪市易门县人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学及其研究. —10—2019年第28期总第449期数理化解题研究面的面积最大，最大为1x W=力.故S,，于D, /!是从而选C.S23D;........2/D x C, Q Ax/-L/Z)；-B i二、正方体的截面的周长问题例3在正方体/^(：£>-/1",/),中，若过/)1；8的平面截正方体所得的平面四边形的周长的最小值为则正方体的体积K=( )•A.27B. 16C.9D.8分析先由四边形是平行四边形将四边形的周长转化为2( BA/ + MD,),再将正方体的侧面 展开，得到BM+ MD,的最小值，由已知条件求得a的值即 可求解.解析设正方体的棱长为a,如图3,M，yv分别是平面四边形A与A4,,CC,的交点，由题意可知四边形是平行四边形，所以四边形BM Z),；V的周长为2(BM+ MD.).图3沿将正方体的侧面展开，在矩形B Z W,中，易知当且仅当三点共线时, + MD,取得最小值，为V§a.所以二4尽，得a=2, 所以 F= 23 =8.评注解答本题的关键是将正方体的侧面展开，找 到使得平面四边形的周长取得最小值时点M的位置.解析对于①，②，如图5,因为正方体4SCZ) - 的棱长为1,当时，，这时过P，P三点的截面与正方体表面交于点D,,= f，且,截面S为等腰梯形；当0 < C(?< ^■时，过/>，(？三点的截面与正方体表面的交点在棱上，截 面S为四边形，故①，②正确.对于③，④，⑤，如图6,延长(?/?交的延长线于点/V,连接4/V交4, £»,于点M，连接MC,.取/!£»的中点G,作C////PC»交DD,于点//，可得，GH// AN，R GH =专 AN.设 CQ(+<«吳1)，则 = = 2i/ /!RC,「.当-时，可得C,f f:，故③正确.当+<t<l时，S为五，ND'D,R2tC,R1J\R=~2边形，故④错误.当《 = 1时,M为/l,D,的中点，S为菱形狀=尸c,，，：及』的面积=菱三、正方体截面图形的性质问题例4 (2013年高考安徽卷.文15理15)如图4,正方体/1BCZ)-义fi,C,/?,的棱长为1,P为6C的中点，()为 线段CC,上的动点，过点/I，P，（(的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是____(写出所有正确命题的编号）.①当0<(^<士时，S为四边形；②当时，S为等腰梯形；③当C(?= |时，S与C,£>,的交点/?满足C,尺=+;④当|< 1时,S为六边形；⑤当〇?=丨时，S的面积为形 /1PC,A/ 的面积二 2S A C，抑=2x士 f，故⑤正确.故所有正确命题的编号为①，②，③，⑤.例5 (2005年全国高中数学联赛试题）如图7,已知正方体/1B C D任作平面《与对角线/1C,垂直，使得平面a与正方体的每个面都有公共点.记这样得到 的截面多边形的面积为S,周长为Z.则（）.A. S为定值，/不为定值B. S与/均为定值C. S不为定值，/为定值C.S与Z均不为定值解析先考察特殊情形.不妨设正方体棱长为1.如图7，取£，F，C,//，/,1/分别为六条棱的中—11—数理化 解题研究2019年第28期总第449期点，显然，正六边形是符合要求的截面，它的周长 =於,面积S , =¥.当截面为正W D 时，其周长/2 =3/5"，面积 S 2=f .注意到= Z 2 ,S , #S 2，由此可以断定S 不为定值，而/ 有可能为定值.再考察一般情形•设六边形W, G ,//,/,为任意一个符合要求的截面，则此截面与前面两个特殊的截面平行.由相似三角形对应边成比例，得£丨尸,_B ,£,Z ),B ,所以=在A A=在B A ，J ,E , +E ,F , =^2(A ,E , +B lE l)—=^/2 .同理,另四边之和为2尽.因此，六边形■/,£，,(；,//,/,的周长为定值3^.故选C .评注解本题应用了由特殊到一般的思维方法，这 是求解复杂问题的常用方法之一.参考文献：[1]陆珂•截面[J ].中学数学教学参考（上旬），1995(4) ：43 -45.[2] 傅钦志•立体几何中的截面问题[J ].中等数学，2007(3) ：5 -9.[3] 蒋孝国•立体几何中的最值问题[J ] •数学通讯(上半月），2016(3) :40-43.[责任编辑：杨惠民]一个正三角形面积最值的求法探究许银伙(福建省泉州外国语中学362〇00)摘要：本文对一个正三角形的面积最值问题，分别运用坐标法、几何性质法、三角函数法、向量法、复数 法等多种知识，从不同角度和方法进行分析解决，提高知识应用能力.关键词：三角函数；坐标法；向量法；正三角形中图分类号：G 632文献标识码：A文章编号：丨008 -0333(2019)28 -0012 -03问题已知中，乙/l 〇e =90°，04=l ，O B =W ， 等边A £F C 的三个顶点分别在A /10S 的三边上运动，求 A £F C 面积的最小值•分析一以边〇/1,所在直线分别为*,y 轴，建立 直角坐标系，通过正三角形的直观性质三边相等和已知 条件求出的长度关系，进而求出的最小值.解法一如图1，建立平面直角坐标系，则点/!(1，〇)，B (0，万），设点 £(*。

立体几何中的截面问题傅钦志(浙江省衢州中专,324000) 收稿日期:2006-12-19　修回日期:2006-12-28 (本讲适合高中)截面问题涉及到截面形状的判定、截面面积和周长的计算、截面图形的计数、截面图形的性质及截面图形的最值.本文介绍此类问题的求解方法.1　判断截面图形的形状例1　过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 的中点E 、F 作一个截面,使截面与底面所成的角为45°.则此截面的形状为( ).(A )三角形或五边形(B )三角形或六边形(C )六边形(D )三角形或四边形(第六届希望杯全国数学邀请赛)图1讲解:如图1,显然,过点E 、F 必有一个截面与棱BB 1相交,此截面是三角形.设过点D 1的截面与底面所成的角为α,易求得tan α=tan ∠D 1G D=223<1.故α<45°.设过A 1C 1的截面与底面所成的角为β,易求得tan β=tan ∠O 1G O =22>1.故β>45°.于是,所求的另一截面应与A 1D 1、D 1C 1相交(不过其端点),为六边形.故选(B ).评注:先计算出特殊位置的截面与底面所成的角,再根据截面所处的位置确定截面的形状.若截面与棱DD 1相交,则截面为五边形;若截面与棱A 1D 1、D 1C 1都相交(但不过其端点),则截面为六边形;若截面与棱A 1B 1、B 1C 1都相交(但不过点B 1),则截面为四边形.2　截面面积和周长的计算 例2　如图2,正方体的三条棱为AB 、图2BC 、CD ,AD 是体对角线.点P 、Q 、R 分别在AB 、BC 、CD 上,A P =5,P B =15,BQ =15,CR =10.那么,平面PQR 向各方向延伸后与正方体的交线组成的多边形的面积是多少?(第16届美国数学邀请赛)讲解:因为B P =BQ ,所以,PQ ∥AC .这样,过点R 且平行于PQ 的直线交A F 于点U ,且AU =CR .因为过点R 且平行于PQ 的直线在平面PQR 上,所以,U 是相交得出的多边形的顶点.又UR 的中点是正方体的中心,故相交得出的多边形上的点关于正方体中心对称.因此,它的面积是梯形PQRU 面积的2倍.易知UR =202,PQ =152,PU =5 5.故所求面积为(UR +PQ )PU 2-UR -PQ22=35×2×2252=525.评注:解此题的关键是,正确画出平面PQR 与正方体相截的截面,并判断出它是关于正方体中心对称的.例3　一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”.棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是AB 的中点,F 是CC 1的中点.则过D 1、E 、F三点的截面图形的周长等于( ).(A )112(25+213+95)(B )112(15+413+95)(C )112(25+213+65)(D )112(15+413+65)(第十四届希望杯全国数学邀请赛)分析:要计算截面图形的周长,先要作出截面,其依据是平面的基本性质和确定平面的条件.作截面一般有两种方法:一是延长交线得交点;二是作平行线.图3解法1:如图3,分别延长D 1F 、DC 得交点P ,作直线EP 交BC 于点N ,交DA 的延长线于点S ,联结D 1S 交A 1A 于点M ,则五边形D 1MEN F 为截面图形.由相似三角形对应边成比例得A 1M =3MA ,CN =2NB .易得截面五边形D 1MEN F 的周长为112(25+213+95).故选(A ).图4解法2:如图4,作EM ∥A 1S ∥D 1F 交A 1A 于点M (S 为B 1B 的中点),作FN∥C 1T ∥D 1M 交BC于点N (B T =AM ),则五边形D 1MEN F为截面图形.同解法1知应选(A ).3　计算截面图形的个数例4　设四棱锥P -ABCD 的底面不是平行四边形,用平面α去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形.则这样的平面α( ).(A )不存在(B )只有一个(C )恰有两个(D )有无数多个(2005,全国高中数学联赛江苏赛区初赛)图5讲解:如图5,延长BA 、CD 交于点M ,联结PM ,则PM 为侧面P AB 与侧面PCD 的交线.同理,PN 为侧面P AD 与侧面P BC 的交线.设由直线PM 、PN 所确定的平面为β.作与平面β平行的平面α与四棱锥的各个侧面相截,则截得的四边形是平行四边形(图5中的四边形A 1B 1C 1D 1).易知,这样的平面α有无数个.故选(D ).例5　过正四面体ABCD 的顶点A 作一个形状为等腰三角形的截面,且使截面与底面BCD 所成的角为75°.这样的截面共可作出个.(第六届希望杯全国数学邀请赛)讲解:设正四面体的棱长为1.过点A 作AO ⊥平面BCD 于点O ,则AO =63.以O 为圆心、63cot 75°为半径在平面BCD 上作圆.易知此圆在△BCD 内,且所求截面与平面BCD 的交线是该圆的切线.当切线与△BCD 的一边平行时,对应的截面△AMN 是等腰三角形,则这样的截面有6个.图6当CB 1=DC 1,且B 1C 1和圆相切时(如图6),对应的截面△AB 1C 1是等腰三角形,这样的截面也有6个.作BE 与圆相切,交CD 于点E .由△BCE △ACE ,可得B E =A E ,对应的截面△AB E 也是等腰三角形,这样的截面也有6个.综上,满足条件的截面一共有18个.评注:借助于圆,进行恰当地分类,使问题巧妙地获得解决.4　确定截面图形的性质图7 例6　如图7,已知正方体ABC D -A 1B 1C 1D 1.任作平面α与对角线AC 1垂直,使得平面α与正方体的每个面都有公共点.记这样得到的截面多边形的面积为S ,周长为l .则( ).(A )S 为定值,l 不为定值(B )S 与l 均为定值(C )S 不为定值,l 为定值(D )S 与l 均不为定值(2005,全国高中数学联赛)讲解:先考察特殊情形.不妨设正方体棱长为1.如图7,取E 、F 、G 、H 、I 、J 分别为六条棱的中点,显然,正六边形EFGHIJ 是符合要求的截面,它的周长l 1=32,面积S 1=334.当截面为正△A 1BD 时,其周长l 2=32,面积S 2=32.注意到l 1=l 2,S 1≠S 2,由此可以断定S 不为定值,而l 有可能为定值.再考察一般情形.设六边形J 1E 1F 1G 1H 1I 1为任意一个符合要求的截面,则此截面与前面两个特殊的截面平行.由相似三角形对应边成比例,得J 1E 1D 1B 1=A 1E 1A 1B 1,E 1F 1A 1B =B 1E 1A 1B 1.所以,J 1E 1=2A 1E 1,E 1F 1=2B 1E 1,J 1E 1+E 1F 1=2(A 1E 1+B 1E 1)=2A 1B 1= 2.同理,另四边之和为2 2.因此,六边形J 1E 1F 1G 1H 1I 1的周长为定值3 2.故选(C ).评注:解本题应用了由特殊到一般的思维方法,这是求解复杂问题的常用方法之一.5　求截面图形的最值 例7　如图8,四面体ABCD 的各面都是图8锐角三角形,且AB =CD =a ,AC =BD =b ,AD =BC =c ,平面π分别截棱AB 、BC 、CD 、DA 于点P 、Q 、R 、S .则四边形PQRS的周长的最小值是( ).(A )2a (B )2b (C )2c (D )a +b +c (第十三届希望杯全国数学邀请赛)讲解:如图9,将四面体的侧面展开成平面图形.由于四面体各个面均为锐角三角形,图9且AB =CD ,AC =BD ,AD =BC ,所以,在展开的平面图形中AD BC A ′D ′,ABCD ′,其中,A 与A ′、D 与D ′在四面体中是同一个点,故A 、C 、A ′,D 、B 、D ′分别三点共线,且AA ′=DD ′=2BD .又四边形PQRS 在展开图中变为折线S PQRS ′(S 与S ′在四面体中是同一点),因而,当P 、Q 、R 在SS ′上时,S P +PQ +QR +RS ′最小,即四边形PQRS 周长最小.因为SA =S ′A ′,所以,最小值为l =SS ′=DD ′=2BD =2b .故选(B ).评注:解本题的关键是应用降维的思维方法,化空间为平面.例8　在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =a ,BC =b ,CC 1=c (a >b >c ).记过BD 1的截面的面积为S .求S 的最小值,并指出当S 取最小值时截面的位置(即指出截面与有关棱的交点的位置).(第五届希望杯全国数学邀请赛)分析:先考虑截面所有可能的情形(截面可能是矩形,可能是平行四边形),再比较各种情形下截面面积的大小.讲解:(1)截面ABC 1D 1、截面BCD 1A 1、截面DBB 1D 1均为矩形,它们的面积分别记为S 1、S 2、S 3,则S 1=a b 2+c 2,S 2=b c 2+a 2,S 3=ca 2+b 2.因a >b >c ,易证S 1>S 2>S 3.故只须考虑截面DBB 1D 1即可.(2)截面为平行四边形,有如图10(a )、(b )、(c )三种位置(截面B ED 1F 、截面B PD1Q 、截面BRD 1S ),设它们的面积分别为S 4、S 5、S 6.图10对于截面B ED 1F ,作EH ⊥BD 1于点H (如图10(a )),则S 4=EH ·BD 1.因为BD 1是定值,所以,当EH 取最小值时,S 4有最小值S ′4.当EH 是异面直线BD 1、AA 1的公垂线时,它有最小值,且最小值是点A 1到平面DBB 1D 1的距离,即为Rt △A 1B 1D 1斜边B 1D 1上的高ab a 2+b 2.故S ′4=aba 2+b2·a 2+b 2+c 2.同理,S ′5=aca 2+c2·a 2+b 2+c 2,S ′6=bc c 2+b2·a 2+b 2+c 2.易证S ′4>S ′5>S ′6且S ′6<S 3.故截面BRD 1S 面积最小,最小值为bcb 2+c2·a 2+b 2+c 2.此时,B 1R =OG =ac2b 2+c2(如图10(d )).练习题1.正方体的截平面不可能是:①钝角三角形;②直角三角形;③菱形;④正五边形;⑤正六边形.下述选项正确的是( ).(A )①②⑤ (B )①②④(C )②③④ (D )③④⑤图11 (2005,全国高中数学联赛浙江省预赛)(提示:正方体的截面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形,但不可能是钝角三角形、直角三角形;对四边形来讲,可以是等腰梯形、平行四边形、菱形、矩形,但不可能是直角梯形;对五边形来讲,可以是任意五边形,不可能是正五边形;对六边形来讲,可以是正六边形.答案:(B ).)2.已知正四面体ABCD 的棱长为2,所有与它的四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为( ).(A )4 (B )3 (C )3 (D )3+3(2003,全国高中数学联赛山东省预赛)(提示:截面分两类:(1)截面的一侧有1个点,另一侧有3个点,这种截面共有4个;(2)截面的两侧各有2个点,这种截面共有3个.答案:(D ).)3.过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1的截面面积为S ,记S 1和S 2分别为S 的最大值和最小值.则S 1S 2为( ).(A )32(B )62(C )233(D )263(2004,湖南省数学竞赛)(答案:(C ).)4.证明:经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体一个侧面的面积.(第18届全苏数学奥林匹克)(提示:易知截面为四边形或六边形.若截面为四边形,那么,它与正方体某两相对侧面不相交,且截面在这两个侧面上的射影为整个侧面.若截面为六边形,考察正方体侧面展开图,知截面周长p ≥32a ,截面面积S >12p ×a2≥324a 2>a 2.)5.如图11,棱锥S -ABCD 的底面是中心为O的矩形ABCD ,AB =4,AD =12,SA =3,SB =5,SO =7.过顶点S 、底面中心O 和棱BC 上一点N 作棱锥的截面.问BN 为何值时,所得的截面△SMN 的面积取得最小值?这个最小值是多少?(1996,北京市数学竞赛复赛(高一))(提示:由条件易知SA ⊥平面ABCD .又OM =ON ,故S △SMN =2S △SMO .易知,当点M 到SO 的距离为异面直线AB 、SO 的距离时,S △SMO 最小.此时,S △SMO =421313,BN =71113.)●命题与解题●一类分式不等式的一种统一证法张友意 张 (湖南师范大学数学与计算机科学学院,410081) 收稿日期:2006-09-07　修回日期:2006-12-26 文[1]给出了赫尔德(H lder )不等式的等价形式:设{a i },{b i },…,{l i }(i =1,2,…,n )为正数列,α,β,…,λ为正数,且δ=α-(β+…+λ)≥1,n ≥2,则∑ni =1a αibβi…l λi≥(∑ni =1a i )αnδ-1(∑ni =1b i )β…(∑ni =1l i )λ.①式①等号成立的充要条件是,当δ=1时,各数列中对应的各项成比例,而当δ>1时,各数列均为常数列.特别地,当n ≥2且α=m +1,β=m (m >0)或　α=-m ,β=-(m +1)(m <-1)时,可得下面的权方和不等式.权方和不等式:若a i >0,b i >0(i =1,2,…,n ),m >0或m <-1,则。

交点，交线，截面问题（一）南昌大学附中温伟明教学背景本课为以立体几何的交线为核心，第一课时，首先让学生学会用基本的公理，定理来分析立体几何中的作图问题，帮助学生找到作交点，交线，截面的正确定思路，后面微课通过借助《几何画板》的实际模拟和探索功能进行学习，由学生自我探究，进行知识迁移，通过类比，自己去尝试并最终解决问题。

教师在此过程中进行必要的总结和在学生出现困难时进行指导，由此培养学生思维的独立和发散性，使学生真正成为学习的主体，最后利用微课，让学生自主深入学习，发现规律，总结规律，为第二课时深入探索正方体截面打下基础教学目标：1．知识目标：能正确的作出立体几何的交点，交线，截面2．能力目标：学生利用基本公理，定理探索问题的能力，以培养学生知识迁移能力，发散思维和类比思维能力。

3．情感目标：培养学生探索创新能力，激发学生学习的热情和积极性。

重点与难点重点：空间几何体的交线的作法；正方体截面的作法难点：空间几何图形的交点，交线，截面；正方体截面相关的计算教学策略与教法设计策略：教师提出问题，用先学提纲然后逐层展开，分步进行研究（需学生进行探索和分析），学生进行小组讨论和实际操作，后面通过微课自主学习、探究学习、合作学习达到认知的意义建构。

教法1．演示法：把制作的课件展示给学生，便于学生对知识的深层次的把握，并从中获得启发，从而解决问题。

2．讨论法：就学生探索所得成果，各小组可自由提问，或者师生共同评价，最后总结成整体观点。

3讲练结合：通过例题，变式的逐步深入，在共同探讨，思维碰撞中，让学生感受到公理，定理运用所带来的帮助，让学生更加清晰找到思路教学过程设计一．预备知识：【公理1】过的三点，有且只有一个平面．〖推论1〗经过一条直线和的一点，有且只有一个平面．〖推论2〗经过两条，有且只有一个平面．〖推论3〗经过两条 ，有且只有一个平面．【公理2】如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内．符号表示：【公理3】如果两个不重合的平面有 公共点，那么它们有且只有一条过该点的 ．符号表示：【公理4】平行于同一条直线的两条直线互相通过基本公理的填写，让学生自己检测自己对公理的熟练程度，并且学生用三种语言描述公理，进而达到真正理解并掌握公理，期间教师会对公理进行分类（点面，线面，面面，线线），四层关系反应出空间点线面的关系，这这也正是学习其他定理的基础，也是帮助学生由二维平面图形到三维立体图形的良好过渡，明确公理在今后学习的重要性二预备练习1 四面体ABCD 中,G E ,分别为AB BC ,的中点,F 在CD 上,H 在AD 上,且有3:2::==HA DH FC DF ,求证：BD GH EF ，，三线共点．发挥学生自主学习的特点，我们采取分组进行自我探索，相互协作，小组讨论，通过课前完成相应练习。