正方体截面的形状-(3)

正方体截面的形状

1.按截面图形的边数分类：

三边形（锐角三角形，等腰三角形，等边三角形）

四边形（矩形，菱形，正方形，等腰梯形，梯形）

五边形（五边形）

六边形（六边形，正六边形）

2.（1）证明：截面是三角形

①锐角三角形

证明：∵设三边为a,b,c ，

∴则证明a^2+b^2>c^2,且

cosC>0,C为锐角。

同理可证，B、C也是锐角，所以三角形ABC是锐角三角形。

②等腰三角形

证明：取相邻两边任意两点，距离两边交点相等，在第三边取任意一点（与交点不重合）

∵AB长确定，AC=AD,∠CAB=∠DAB=90°。

∴根据勾股定理可知CB=DB

且三角形为等腰三角形

③等边三角形

证明：

在AB.AC.AD上,取三点距离原点A相同。

∵图形为正方体。∴AB=AC=AD

又∵三线两两垂直，根据勾股定理知

BC=CD=BD，且截面为等边三角形。

（2）证明：截面是四边形。

①．矩形.正方形。

证明：：

取任意一平面平行于上下底面或侧面。且所截图形为正方形。

又∵正方形是特殊的矩形，∴截面可以是矩形。

∵ABCD平行于上底面，∴AB=BC=CD=AD

又∵AB.BC.CD.AD相交互相垂直，所以截面为正方形。

②．菱形

证明：

以相对顶点为菱形对点，取与顶线不相交的相对侧棱中点，所截平面。

∵图形为正方体，所以对边平行且相等。

∴截面为平行四边形。

又∵AB=BD,AE=DF.∠BAE=∠BDF=90°，

且BE=BF. ∴截面为菱形

③梯形.等腰梯形

证明：

当平面不垂直底面时,且在上底面的截线段平行对角线,所得的截面图形可能为梯形。当上下底面的截线段都平行于同一条对角线，所得的截面图形可能为等腰梯形。

∵AB∥CD, ∴ABCD为梯形。

作AF’⊥CF，BF1⊥FD

又∵AE=BE,CF=FD,AF’=BF1=EF. ∴AC=BD

且截面为等腰梯形。

（3）证明：截面是五边形。

证明：

第一个为五边形，在正面上画一个直线，直线一端为右下角另一段为左前侧棱1/2往上这样将直线延长与正上棱相交

同样的道理在右侧面画一条直线

直线一端为右下角（与上同理）

另一段为后右侧棱1/2往上这样将直线延长与上右侧棱相交

由图得所截平面为五边形。

（4）证明：截面是六边形。

证明：截面是六边形.正六边形。

取各边的中点，再连接两个平行面的不同位置的中点，所成截面为正六边行。

当平面与正方体的六个面相交时，可以切出六边形。

∵取点为每边中点，图形为正方体。且过六个面

∴截面为六边形

又∵链接AC.AD 得AC=AD=AE，

且截面为正六边形。

3．由2证明得，截面多边形的边数最多有6条。

为什么六边形以上的多边形无法切出来？

解析：因为正方体只有6个面，所以截面所在的平面与这6个面所在的平面最多只能有6条交线，所以截面的边数至多是6。

4. 为什么正方体的截面不能是直角梯形？

解析：正方体各面全等，并且每条对边互相平行，但直角梯形上底和下底平行，且并不相等，两条腰也不平行，所以不能是直角梯形。

5．为什么切一个正方体所能切出的切面不能为正五边形？

解析：五个边，一定有两边来自一组平行的面，此两边平行，这个五边形就不可能是正五边形