高二数学椭圆(一)人教版知识精讲

（a>b>0） 高二数学椭圆（一）人教版

【同步教育信息】

一. 本周教学内容

椭圆（一）

二. 重点、难点

1. 定义：212122FFcaPFPF（其中P为椭圆上一点，21FF焦点）

2. 椭圆的标准方程：12222byax

12222bxay

3. 椭圆的性质

)0(12222babyax

（1）ax by

（2）x、y轴为椭圆对称轴，原点为对称中心。

（3）顶点)0,(a),0(b

（4）离心率ace)(222bac

4. 直线与椭圆的位置关系

l：0CByAx

椭圆M：12222byax

代入：222222)(baBcAxabx ※

研究※式的判别式

（1）0 无交点

（2）0 一个交点（相切）

（3）0 两个不同的交点

弦长2121xxk（k为l的斜率，21xx为※式的根）

【典型例题】

[例1] 求满足下面条件的椭圆的方程。

（1）求焦点为)0,3(，)0,3(，离心率31e的椭圆。

解：3c 9a 26b ∴ 1728122yx

（2）求中心在原点，两准线间距离为5，焦距为4的椭圆方程。

解：522ca 2c ∴ 5a 1b ∴ 1522yx或1522xy

（3）求中心在原点、焦点在x轴，椭圆上点M)12,8(到左焦点距离为20的椭圆方程。

解：2222012)8(c 2216)8(c 8c

2221212)88( ∴ 3212202a 16a

∴ 119225622yx

（4）椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴，直线1xy与椭圆交于M、N若ONOM且210MN求椭圆方程。

解：设椭圆122nymx 当1xy交),(11yxM ),(22yxN

1)1(112222xnmxxynymx

即：012)(2nnxxnm

∴

nmnxxnmnxx122121

ONOM ∴ 02121yyxx 0)1x)(1x(xx2121 ①

2101121xxMN ②

由①②2123nm （舍）2321nm ∴ 132222yx

[例2] 直线mxy与椭圆191622yx的交点的个数，并求最大弦长。

解：mxyyx191622 0)9(16322522mmxx

)25(9642m

（1）5m时 只有一个交点

（2）),5()5,(m 没有交点

（3）)5,5(m时 有两个交点A、B

212212212214)(2)()(xxxxyyxxAB

)25(9)25(64225)9(641600)2532(22222mmm （0m）时

3258222524 [例3] 已知椭圆141622yx，)1,1(M在椭圆内求M为中点的椭圆的弦AB的直线方程。

解：设),(11yxA，),(22yxB ∴

222121yyxx

∴ 14162121yx 14162122yx

相减04))((16))((21212121yyyyxxxx

)(42121yyxx ∴ 412121xxyy

∴ ABl：)1(411xy ∴ 054yx

[例4] P椭圆12222byax一点（不在x轴上）F1 F2为焦点21PFF，求21PFFS。

解：221222142aPFPFPFPF

22122214cos2cPFPFPFPF

相减2214)cos1(2bPFPF ∴ cos12221bPFPF

12121PFSPFF 2tansin22bPF

[例5] 椭圆12222byax )0(ba的长轴的两端点为A、B。若椭圆上存在一点P使120APB，求椭圆离心率e的取值范围。

解：在短轴顶点取得最大值

∴ 60tanba )(332222caba

∴ 2232ca 3222ac ∴ )1,36(e

),(00yxP为椭圆上一点

220200220200000211tanayxayaxyaxyaxyKKKKAPBPAPBPAPB

)1(222200bayay0222022012ycabycbay

只研究第一象限],0(0by，随0y变大，APBtan为负且变大 ∴ APB变大

[例6] 椭圆)0(12222babyax上任意一条不垂直对称轴的弦A、B，D为AB中点，求证ODABKK为定值。 设),(11yxA ),(22yxB ),(00yxD

000210022212102122xyKyyyyxabxxyyKxxxODAB

∴ 22abKKODAB为定值

[例7] 已知P为椭圆12222byax（0ba）上异于顶点的任一点，21BB为短轴端点，PB1，PB2交x轴于M、N，求证ONOM为定值。

设),(00yxP )0,(mM )0,(nN ),0(1bB ),0(2bB

1,,BMP三点共线bybxm21

2,,BMP三点共线bybxn00

2220202abyxbnmONOM

[例8] 过椭圆1222yx的右焦点F作直线l交椭圆于A、B，O为原点，求AOBS的最大值及相应l的方程。

（1）xl轴 22OABS l：1x

（2）\\lx轴 l：)1(xky

12)1(22yxxky02)21(222kkyyk

21221214)(12121yyyyyyOFS

22)12(222122k ∴ l：1x

【模拟试题】

1. 椭圆192522yx上有一点P到左准线的距离为25则P到椭圆右焦点的距离为（ ）

A. 8 B. 265 C. 29 D. 815

2. 若方程aaxy31lg22表示焦点在x轴上的椭圆则a的取值范围是（ ）

A. )31,0( B. ),31( C. )101,0( D. )31,101( 3. 若方程12sinsin22yx表示椭圆，则的取值范围是（ ）

A. )2,(kk Zk B. )22,2(kk Zk

C. )42,2(kk Zk D. 以上皆不正确

4. 若直线1kxy)(Rk与椭圆1522myx恒有公共点，则m的取值范围是 。

5. xy1交椭圆122nymx于M、N，MN中点为P若22OPK（O为原点）则nm 。

6. 椭圆：9922yx交直线l：022yx于A、B，则AB 。

7. 求以椭圆364922yx的长轴端点为短轴端点，且过点)1,4(的椭圆标准方程。

8. 求椭圆14922yx共焦点的且过)2,3(M的椭圆方程。

9. 椭圆)0(12222babyax，23e设点)23,0(P到该椭圆上所有点的最远距离为7，求椭圆方程及最远点坐标。

试题答案

1. A 2. D 3. D 4. ),5()5,1[ 5. 22 6. 1.2

7. 19222yax )1,4(代入 182a ∴ 191822yx

8.

51492222baba 101522ba ∴ 1101522yx

9. ∵ 23e ∴ 142222bybx ),(00yxQ为椭圆上一点

49344)23(02020220202yyybyxd

34)21(3222by

],[0bby

① ]21,0(b时，by0时723maxbd 不合题意

② ),21(b时，210.y时 73422maxbd

∴ 1b ∴ 1422yx 最远点)21,3(，)21,3(