常微分方程积分因子问题综述 毕业论文

毕业论文文献综述数学与应用数学几类常微分方程的典型解法一、前言部分(说明写作的目的,介绍有关概念、综述范围,扼要说明有关主题争论焦点)常微分方程,是一个有长期历史,而又正在不断发展的学科;是一个既有理论研究意义,又有实际应用价值的学科;是一个既得力于其他数学分支的支持,又为其他数学分支服务的学科,是一个表现客观自然规律的工具学科,又是一个数学可以为实际服务的学科.常微分方程的形成于发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展相互促进和相互推动的.数学的其他分支的新发展如复变函数、组合拓扑学等都给常微分方程的发展已深刻地影响.当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题.但是,数学家发现,不是所有的微分方程的通解都能求出,从以前的”求通解”到”求解定解问题”的转变,所以能求出问分方程的解是十分重要的.本文主要总结了几种常微分方程的典型解法及其相关应用.二、主题部分(阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向,以及对这些问题的评述)当牛顿、莱布尼兹创立了微积分以后,数学家便开始谋求用微积分这一有力的工具去解决愈来愈多的物理问题,但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题,这类问题不能通过简单的积分解决,要解决这类问题需要专门的技术,这样,微分方程这门学科就应运而生了.常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一.常微分的发展主要可以分为四个阶段: 常微分的经典阶段--以通解为主要研究内容、常微分方程的适定性理论阶段--以定解问题的适定性理论为研究内容、常微分方程的解析理论阶段--以解析理论为研究内容、常微分方程的定性理论阶段--以定性与稳定性理论为研究内容[1].尽管在耐皮尔(John Napier,1550-1617)所创立的对数理论及达芬奇提出的饿狼扑兔问题中都已涉及到微分方程发展的思想萌芽,但微分方程作为一门学科是伴随着微积分的形成而产生的.就像微积分在17世纪后期与18世纪前期的著作一样,常微分方程最早的著作出现在数学家门的彼此通信中,1676年,莱布尼兹在给牛顿的通信中,第一次提出”微分方程”这个数学名词.17世纪到18世纪是常微分方程发展的经典阶段,以求通解为主要内容.牛顿和莱布尼兹在建立微分方程与积分运算时就指出了它们的互逆性,实际上是解决了最简单的微分方程()y f x '=的求解问题.此外,牛顿、莱布尼兹也都应用了无穷级数和待定系数法解出了某些初等微分方程[1].伯努利一家(这个非凡的瑞士家族在三代时间里出了八个数学家,其中Jacob Bernoulli ,1654-1705;Johann Bernoulli,1667-1748和他的儿子Daniel Bernoulli,1700-1782的工作较突出)对变量分离法和换元法;欧拉(Euler,1707-1783)对降阶法、积分因子法和求常系数齐次线性方程的通解;达郎帕尔(D ’Allmbert,1717-1783)关于非齐次线性方程通解的叠加原理;拉格朗日(Lagrange,1716-1813)有齐次线性方程通解经常数变易法得出非齐次方程的特解;克莱洛(Clarant,1713-1765)关于全微分方程的充要条件和奇解的概念[2],以及十九世纪末引进算子方法和拉普拉斯(Laplace,1749-1827)变换等,都是求通解时期的成就[3]. 莱布尼兹最早使用变量分离法解微分方程.他用这种方法解决了形如()()dx y f x g y dy=的方程,因为只要把它写成()()dx dy g x f x y=就能在两边进行积分.但莱布尼兹没有建立一般的方法.可以用变量分离法求解的方程的特点是右端为仅含有x 的函数和仅含有y 的函数的乘积,焦宝聪等将此类方程分成了当()0g y ≠以及存在实数α,使得()0g α=两种情况进行讨论[4].同时,在文献[5]、[6]、[7]、[8]、[9]中同样也详细介绍了变量分离法,且举了些例子帮助读者进行理解.文献[5]除了介绍()()dy h x g y dx=类型的方程用变量分离法求解之外,还介绍了1122()()()()0f x g x dx f x g x dy +=这一类型的方程用变量分离法求解.由此,我们可以看出,变量分离方程的求解思路主要分为三步:(1)分离变量,(2)对方程两边同时积分并整理得通解,(3)由初始条件求方程的特解[10].在莱布尼兹使用变量分离法求解出形如()()dx y f x g y dy=微分方程的同一年,他又解出了一阶齐次方程()y y f x '=.他令y vx =代入方程,即可使用变量分离法求解方程.而过了50余年之后,欧拉用自变量代换t x e =把欧拉方程线性化而求得110110n n n n n n n d y d y a x a x a y dx dx ---+++=的通解,其中(1,2,,)i a i n =是常数.一些方程,常常可以通过引入适当变量代换,化为变量已分离型方程或是其他已知解法的方程.文献[9]介绍了齐次方程dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭用变量代换法求解.求解齐次方程的关键是对未知函数进行变量替换y u x=,用一个新的未知函数u 代替原来的未知函数y ,得出一个变量分离方程,故可以通过变量分离法求得它的解.文献[7]介绍了形如111222a x b y c dy dx a x b y c ++=++的方程用变量代换法来求解,作者针对121212,,,,,a a b b c c 的不同取值,分了三种情况进行讨论.文献[4]、[5]、[6]、[9]、[10]、[11]、[12]也详细介绍了上述两种类型的方程用变量代换法求解.除此之外,还有一些文献介绍了其他类型的方程用变量代换法求解,例如:文献[5]还介绍了()()0yf xy dx xg xy dy +=类型的方程,文献[12]介绍了诸如(,)()(,)()0M x y xdx ydy N x y xdy ydx ++-=(,M N 为,x y 的齐次函数,次数可以不同)用变量代换法求解.文献[13]通过对一阶常微分方程中的齐次方程的推广形式--齐次型方程进行研究,并将齐次方程使用”变量代换”求解推广应用到齐次型方程,从而证明了齐次型方程是可积方程,得到了包括部分黎卡提方程和伯努利方程的一阶微分方程的几种新的可积类型.可以看出,变量分离和变量代换的结合使用,是求解微分方程的重要方法,很多方程并不是一开始就可以用变量分离法求解的,而是要通过变量代换之后才可以使用.1693年惠更斯在《教师学报》中明确提到了微分方程,而莱布尼兹同年则在另一家杂志的另一篇文章中称微分方程为特征三角形的边的函数,并给出了线性方程()()dy p x y q x dx=+的通解表达式()()()(())p x p x dx y x e q x e dx c -⎰⎰=+⎰,其中c 是任意常数.对于上述类型的方程,我们通常采用常数变易法来求解.常数变易法是前人专门针对一阶线性方程()()()0dy a x b x y c x dx++=和高阶线性方程、线性方程组,创造、总结出来的一种特定的方法,它能规范化地求出线性方程的通解,还能写出线性方程的通解公式[5].已知一阶齐次线性方程的通解()()p x y x ce ⎰=(c 为任意常数),将常数c 变易为x 的待定函数()c x ,即()()P x dx y c x e ⎰=,对其进行积分、代入,并可求得一阶非齐次线性微分方程的通解[7].文献[8]介绍了两种类型方程的常数变易法解法.针对二阶常系数非齐次线性微分方程求解的现有方法的局限性,文献[14]中给出了常数变易法求二阶常系数非齐次线性微分方程解的方法,并给出四个求特解的公式. 常数变易法是求解一阶非齐次线性常微分方程行之有效的方法.文献[15]从求解特殊的方程()()dy P x y Q x dx=+入手,证明了变量分离方程、伯努利方程、部分齐次方程以及其他形式的一阶非线性常微分方程可用常数变易法求解,从而将常微分方程中的常数变易法推广.与变量代换法和变量分离法一样,常数变易法也不是单独存在的,解一个方程,可能会需要这几种发放或者是更多的方法的结合.1694年,瑞士数学家约翰·伯努利在《教师学报》上对分离变量法和齐次方程的求解做了更加完整的说明.他的哥哥雅各布·伯努利发表了关于等时问题的解答,虽然莱布尼兹已经给出了这个问题的一个分析解.1965年,雅各布·伯努利提出了著名的伯努利(Bernoulli)方程()()n dy P x y Q x y dx=+,()0,1n ≠[19].并在1969年在《教师学报》上用变量分离法将它解出.同年莱布尼兹证明利用变量代换1n Z y -=,可以将它作为一阶线性方程求解.伯努利(Bernoulli)方程是一种特殊的一阶非线性常微分方程,在机械工程等方面有非常广泛的应用.对求伯努利方程通解的研究具有重要的理论意义很广泛的应用价值.求伯努利方程解法也比较多.现在,学者们总结出了许多求解伯努利(Bernoulli)方程的方法,如:文献[20]从一阶微分方程入手,归纳、总结出伯努利方程的几种新解法,这些新解法在学习和应用微分方程时给出解决问题的思维方式和思路,令人深思,它打破了沿用至今的伯努利方程的传统解法.为了避免伯努利方程的传统解法的繁琐、易出错等问题,文献[21]介绍一种通过部分凑微分法求解伯努利方程的新解法.文献[21]通过对伯努利方程常规解法的进一步探讨,总结出使求解过程简化的具体做法,从而对伯努利方程的解法进行了公式化或半公式化,提高了求解速度及准确性.在17世纪,作为微积分的一部分,微分方程跟微积分彼此不分.到了18世纪,由于天文学、力学、物理学的需要,同时也因为要解决许多较为复杂的问题,需要专门的技术,这样,微分方程开始成为一门独立的学科而存在.在1734-1735年的论文中,欧拉提出了全微分方程,即方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=中的(,)(,)M x y dx N x y dy +是某个函数的恰当微分,并给出所给方程的全微分条件M N Y X∂∂=∂∂.他确立了课采用积分因子的方程类型,证明了凡是分离变量的方程,均可以用积分因子方法求解,还证明了如果知道了任何一个常微分方程的两个积分因子,那么令他们的比等于常数,就是微分方程的一个通解[16].有些方程虽然不是全微分方程,但我们可以乘上一个积分因子,使它成为全微分方程[4].而且我们需要注意的是,方程的积分因子有无穷多个[17]. 寻求积分因子,使一阶常微分方程转化为全微分方程形式来求解是一种好方法,但通常情况下所得到的积分因子需满足的条件为一个偏微分方程,因而给积分因子的求解带来了一定的复杂性.近几年来很多数学工作者对方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=给予了很多很多的关注,给出了方程具有不同形式的积分因子的一系列理论及求解方法.文献[18]研究了方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=具有乘积形式()()t s f x y g ax by cx y αβ+++的积分因子,,,,,,,a b c t s R αβ∈,得到方程具有上述积分因子的充要条件,并结合实例给出具有上述形式积分因子的求解方法.1743-1751年,欧拉又将积分因子法推广到高阶方程,并通过特征方程法和降阶法解决了常系数线性齐次方程和非齐次的n 阶线性常微分方程,并利用变换t X e =提出欧拉方程.17-18世纪是常微分方程发展的经典理论阶段,以求通解为主要研究内容.在这一阶段还出现了许多精彩的成果.例如1964年莱布尼兹发现了方程解族的包络,1718年泰勒提出奇解的概念,克莱洛和欧拉对奇解进行了全面研究,给出从微分方程本身求得奇解的方法[1].19世纪是微分方程严格理论的奠定时期.18世纪以后不断出现的特殊的微分方程的求解问题,如里卡蒂方程22dy x y dx=+求解问题,使数学家招架不住了,于是转向对解的存在性问题的思考,即给定一个微分方程,它在给定的初始条件下是否有解？这个问题的解决不仅可以使数学家们避免对一些根本无解的方程做无谓的探索,而且直接影响着微分方程基础理论的建立[22].第一个考虑微分方程解的存在性的是柯西(A.Cauchy,1789-1857),19世纪20年代,他建立了柯西问题00(,)()dy f x y dx y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩解的存在唯一性定理.1873年,德国数学家李普希兹(RudolphLipschitz.1832-1903)提出著名的”李普希兹条件”,对柯西的存在唯一性定理做了改进.在适定性理论的研究中,与柯西、李普希兹同一时期的还有皮亚拿跟皮卡,他们先后于1875年和1876年给出常微分方程的逐次逼近法,皮亚拿在仅仅要求(,)f x y 在00(,)x y 点领域连续的条件下证明了柯西问题解的存在性.后来这方面的理论有了很大的发展,这些基本理论包括:解的存在及唯一解,延展性,解的唯一存在性,解对初值和参数的连续依赖性和可微性,奇解等,这些问题是微分方程的一般基础理论问题[1].19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段,这一阶段的主要理论结果是微分方程的解析理论,运用幂级数和广义幂级数解法,求出一些重要的二阶线性方程的级数解,并得到及其重要的一些函数.1816年,贝塞尔研究行星运动时,开始系统地研究贝塞尔方程222()0x y xy x n y '''++-=,贝塞尔得出了此方程的两个级数解,分别称为第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数.文献[23]利用朗斯基行列式和贝塞尔函数的近似公式,给出了贝塞尔方程通解的一个新方法.1818年,贝塞尔证明了第一类贝塞尔函数有无穷个零点.1824年,贝塞尔给出一个有关第一类、第二类贝塞尔函数的递推公式.后来,有很多数学家、天文学家得出贝塞尔函数的数以百计的关系式和表达式.1944年,剑桥大学出版了G.N.Watson 的巨著《贝塞尔函数教程》,是贝塞尔函数研究成果的集成.在解析理论中另一个重要内容是勒让德方程的级数解和勒让德多项式方面的成果.1784年他出版的代表作《行星外形的研究》中研究了勒让德方程2(1)2(1)0x y xy n n '''--++=,并且给出了幂级数解的形式.高斯研究了高斯几何方程,并且得到了级数解,同时,他还建立了公式()()(,,,1)()()F γγαβαβγγαγβΓΓ--=Γ-Γ-,并指出对,,αβγ不同值,此级数包括了几乎所有的初等函数和类似贝塞尔函数的特征函数.19世纪方程解析理论中另外一个重点成果是关于奇点的富克斯理论.随后斯图姆和刘维尔,各自相应的研究,丰富了方程解析理论的内容.在19世纪后半叶,天体力学及其他技术科学提出的一些问题中,需要研究较复杂的微分方程的解的局部和全局性质.但由于绝大多数的这种方程不能用初等函数的积分表达通解,因此学者们考虑直接根据微分方程的结构来研究微分方程解的属性.为此,法国数学家庞加莱(Henri Poincare,1854-1912)就开始了微分方程的定性研究,从1881年到1886年先后发表了四篇论文,他说:”要解答的问题是动点是否描出一条闭曲线？它是否永远逗留在平面某一部分内部？换句话说,并且用天文学的话来说,我们要问轨道是稳定的还是不稳定的？”从1881年起,庞加莱独创出微分方程的定性理论.此后,为了寻求只通过考察微分方程本身就可以问答关于稳定性等问题的方法,他从非线性方程出发,发现微分方程的奇点起关键作用,并把奇点分为四类(焦点、鞍点、节点、中心),讨论了解在各个奇点附近的性状.庞加莱关于常微分方程定性理论的一系列课题,成为动力系统地开端.美国数学家伯克霍夫以三体问题为背景,扩展了动力系统的研究.另一位常微分方程定性理论的主要创始人是挪威数学家班迪克逊,从1900年起,他开始从事由庞加莱开创的微分方程轨线的拓扑性质的研究工作,1901年发表著名论文《由微分方程定义的曲线》[1].常微分方程定性理论中另一个重要领域是1892年由俄国数学家李雅普诺夫(1857-1918)创立的运动稳定性理论.李雅普诺夫在他的博士论文《运动稳定性的一般问题》中创造了两种新方法;首创了运动稳定性的一半理论,在最一般的假定下,解决了以下问题:什么时候,首次近似就是稳定性问题的解.关于李雅普诺夫意义下的稳定性和伯克霍夫意义下的极限集的表现形式是多姿多彩的.到1937年数学家庞特里亚金提出结构稳定性概念,且严格证明了其充要条件,使动力系统的研究向大范围转化.稳定性理论在美国迅速地变成训练自动控制方面的工程师的一个标准部分.目前,稳定性理论的方法结果已经推广到泛函微分方程、随机微分方程、偏微分方程以及动力系统中去.同时,在自动控制系统、电子技术、卫星姿态动力学、大型动力系统以及生态学等新技术、新领域中均有重要的应用.二十世纪自然科学和技术科学的发展,一个显著的特点是多学科的互相渗透,数学向各个学科的渗透更为普遍和突出.常微分方程作为数学模型广泛地应用于现代生物学、生态学、生理学、医学、经济学、化学等领域,如:传染病模型[24]、两生物种群生态模型[25]、人口模型[25]等.与此同时,国内一些定性理论工作者在80年代迅速转向生物学,开展生物微分方程的研究,做出了有意义的成果[25],一些稳定性理论工作者在70年代末期开展了泛函微分方程的研究,李森林等著的《泛函微分方程》总结了他们近期的工作.同时还有不少人从事研究离散动力系统的稳定性、随机微分方程的稳定性、大型控制系统等.微分方程是一门十分有用又十分有魅力的学科,自1693年微分方程概念的提出到动力系统地长足发展,常微分方程经历漫长而又迅速地发展,极大丰富了数学家园的内容.同时数学的其他分支的新发展如复变函数、组合拓扑学等都给常微分方程的发展以深刻地影响.当前,计算机的发展为常微分方程的应用及理论提供了非常有力的工具.随着社会技术的发展和需求,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题.应该说,应用常微分方程已经取得了很大的成就.也就是说,它和天文学、力学、物理学等许多学科有广泛的联系,在数学领域,它和其他一些分支学科相互渗透,是理工科院校数学专业重要的基础课程,理工科其他专业的高等数学课程也将会有越来越多的常微分方程内容[27].比如偏微分方程的迅速发展.可以预测:随着依赖数学为基础的其他学科的发展,微分方程还会继续扩展.虽然,常微分方程发展快速,且在被应用于各个领域,但它的现有理论还远远不能满足当今科学发展的需求,还有待于进一步发展,使这门学科的理论更加完善.三、总结部分(将全文主题进行扼要总结,提出自己的见解并对进一步的发展方向做出预测)常微分方程的产生与发展给现代人的生活做出了很大的贡献.它是一个有长期历史,而又正在不断发展的学科;是一个既有理论研究意义,又有实际应用价值的学科;是一个既得力于其他数学分支的支持,又为其他数学分支服务的学科,是一个表现客观自然规律的工具学科,又是一个数学可以为实际服务的学科.它的形成于发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展相互促进相互推动的.数学的其他分支的新发展如复变函数、李群、组合拓扑学等都给常微分方程的发展以深刻的影响．当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具．现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等．这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题．应该说,应用常微分方程理论已经取得了很大的成就,但是,它的现有理论也还远远不能满足需要,还有待于进一步的发展,使这门学科的理论更加完善[27].求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标,一旦求出通解的表达式,就容易从中得到问题所需要的特解．也可以由通解的表达式,了解对某些参数的依赖情况,便于参数取值适宜,使它对应的解具有所需要的性能,还有助于进行关于解的其他研究．后来的发展表明,能够求出通解的情况不多,在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解．当然,通解是有助于研究解的属性的,但是人们已把研究重点转移到定解问题上来．一个常微分方程是不是有特解呢？如果有,又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题,数学家把它归纳成基本定理,叫做存在和唯一性定理．大部分的常微分方程求不出十分精确的解,而只能得到近似解．当然,这个近似解的精确程度是比较高的．另外还应该指出,用来描述物理过程的微分方程,以及由试验测定的初始条件也是近似的,这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决．微分方程的理论逐步完善的时候,利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律,只要列出相应的微分方程,有了解方程的方法．微分方程也就成了最有生命力的数学分支.常微分方程经历漫长而又迅速的发展,极大地丰富了数学家园的内容.随着社会科学技术的发展及要求,微分方程会有更大的发展.如:自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等.四、参考文献(根据文中参阅和引用的先后次序按序编排)[ 1] 张良勇,董晓芳.常微分方程的起源与发展[J].高等函授学报(自然科学版).2006,20(3):34-39.[ 2] G.F.塞蒙斯.微分方程一附应用及历史注记[M].张理京译.北京:人民教育出版社,1981. [ 3] 杨世藩.常微分方程发展概况[J].贵州大学学报(自然科学).1989,6(3):47-54.[ 4] 焦宝聪、王在洪、时红廷.常微分方程[M].北京:清华大学出版社,2008:10-33.[ 5] 钱祥征、黄立宏.常微分方程[M].长沙:湖南大学出版社,2007:9-36.[ 6] 王素云、李千路.常微分方程[M].西安:西安电子科技大学出版社,2008:25-26.[ 7] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程[M].第二版.北京:高等教育出版社,2006:30-61.[ 8] 邹黎桥.求常微分方程解的方法[J].内江师范学院报.2010,25(zl):114-115.[ 9] 林武忠、汪志鸣、张九超.常微分方程[M].北京:科学出版社,2003:16-34.[10] 江磊.几类应用变量代换求解的常微分方程[J].成都纺织高等专科学报.2005,22(4):19.[11] 窦霁虹.常微分方程导教·导学·导考[M].第二版.西安:西北工业大学出版社,2007:12-13.[12] 邓小青.一类常微分方程的初等解法浅析[J].教师.2009,”“(8).[13] 高进青、赵国伟.齐次方程及其求解[J].湖州师范学院报.2009,31(4):122-126.。

文献综述浅谈常微分方程的数值解法及其应用一、前言部分微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解.后来瑞士数学家雅各布•贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论.微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的数学分支.总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程.在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型等.因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的. [1]“常微分方程”是理学院数学系所有专业学生的重要专业基础课之一，也是工科、经济等专业必学内容之一.其重要性在于它是各种精确自然科学、社会科学中表述基本定律和各种问题的根本工具之一，换句话说，只要根据实际背景，列出了相应的微分方程，并且能（数值地或定性地）求出这种方程的解，人们就可以预见到，在已知条件下这种或那种“运动”过程将怎样进行，或者为了实现人们所希望的某种“运动”应该怎样设计必要的装置和条件等等.例如，我们要设计人造卫星轨道，首先，根据力学原理，建立卫星运动的微分方程，列出初始条件，然后求出解，即卫星运行轨道.随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，微分方程的应用范围更广泛. [2]从数学自身的角度看，微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展.从这个角度说，微分方程变成了数学的中心. [3]总之，微分方程从它诞生起即日益成为人类认识并进而改造自然、社会的有力工具，成为数学科学联系实际的主要途径之一.文章就常微分的数值解法以及应用展开简单的论述。

二、主体部分2.1微分方程概念介绍2.1.1 微分方程概况由一元函数得到的方程.即：称含有自变量，未知函数及其导数的关系式22(,,,,...,)0n n dy d y d y F x y dx dx dx=. （1） 为常微分方程.其中出现的最高阶导数的阶数，叫做常微分方程的阶.例如 dy dx=x ，dy y dx = ，是一阶常微分方程. 22sin 0d g dt pθθ+=是二阶常微分方程.设)(x y ϕ=定义于 区间J 上，有直到n 阶的导数，将它代入（1），使（1）变成关于x 的恒等式，即()()(,(),,...,)0,n n d x d x F x x x J dx dxϕϕϕ=∈. 就称y ＝()x ϕ为（1）的一个定义于J 上的解，并称J 为该解的定义区间. [4]如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程.2.2微分方程产生的历史背景微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。

毕业论文文献综述数学与应用数学几类常微分方程的典型解法一、前言部分(说明写作的目的,介绍有关概念、综述范围,扼要说明有关主题争论焦点)常微分方程,是一个有长期历史,而又正在不断发展的学科;是一个既有理论研究意义,又有实际应用价值的学科;是一个既得力于其他数学分支的支持,又为其他数学分支服务的学科,是一个表现客观自然规律的工具学科,又是一个数学可以为实际服务的学科.常微分方程的形成于发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展相互促进和相互推动的.数学的其他分支的新发展如复变函数、组合拓扑学等都给常微分方程的发展已深刻地影响.当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题.但是,数学家发现,不是所有的微分方程的通解都能求出,从以前的”求通解”到”求解定解问题”的转变,所以能求出问分方程的解是十分重要的.本文主要总结了几种常微分方程的典型解法及其相关应用.二、主题部分(阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向,以及对这些问题的评述)当牛顿、莱布尼兹创立了微积分以后,数学家便开始谋求用微积分这一有力的工具去解决愈来愈多的物理问题,但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题,这类问题不能通过简单的积分解决,要解决这类问题需要专门的技术,这样,微分方程这门学科就应运而生了.常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一.常微分的发展主要可以分为四个阶段: 常微分的经典阶段--以通解为主要研究内容、常微分方程的适定性理论阶段--以定解问题的适定性理论为研究内容、常微分方程的解析理论阶段--以解析理论为研究内容、常微分方程的定性理论阶段--以定性与稳定性理论为研究内容[1].尽管在耐皮尔(John Napier,1550-1617)所创立的对数理论及达芬奇提出的饿狼扑兔问题中都已涉及到微分方程发展的思想萌芽,但微分方程作为一门学科是伴随着微积分的形成而产生的.就像微积分在17世纪后期与18世纪前期的著作一样,常微分方程最早的著作出现在数学家门的彼此通信中,1676年,莱布尼兹在给牛顿的通信中,第一次提出”微分方程”这个数学名词.17世纪到18世纪是常微分方程发展的经典阶段,以求通解为主要内容.牛顿和莱布尼兹在建立微分方程与积分运算时就指出了它们的互逆性,实际上是解决了最简单的微分方程()y f x '=的求解问题.此外,牛顿、莱布尼兹也都应用了无穷级数和待定系数法解出了某些初等微分方程[1].伯努利一家(这个非凡的瑞士家族在三代时间里出了八个数学家,其中Jacob Bernoulli ,1654-1705;Johann Bernoulli,1667-1748和他的儿子Daniel Bernoulli,1700-1782的工作较突出)对变量分离法和换元法;欧拉(Euler,1707-1783)对降阶法、积分因子法和求常系数齐次线性方程的通解;达郎帕尔(D ’Allmbert,1717-1783)关于非齐次线性方程通解的叠加原理;拉格朗日(Lagrange,1716-1813)有齐次线性方程通解经常数变易法得出非齐次方程的特解;克莱洛(Clarant,1713-1765)关于全微分方程的充要条件和奇解的概念[2],以及十九世纪末引进算子方法和拉普拉斯(Laplace,1749-1827)变换等,都是求通解时期的成就[3]. 莱布尼兹最早使用变量分离法解微分方程.他用这种方法解决了形如()()dx y f x g y dy=的方程,因为只要把它写成()()dx dy g x f x y=就能在两边进行积分.但莱布尼兹没有建立一般的方法.可以用变量分离法求解的方程的特点是右端为仅含有x 的函数和仅含有y 的函数的乘积,焦宝聪等将此类方程分成了当()0g y ≠以及存在实数α,使得()0g α=两种情况进行讨论[4].同时,在文献[5]、[6]、[7]、[8]、[9]中同样也详细介绍了变量分离法,且举了些例子帮助读者进行理解.文献[5]除了介绍()()dy h x g y dx=类型的方程用变量分离法求解之外,还介绍了1122()()()()0f x g x dx f x g x dy +=这一类型的方程用变量分离法求解.由此,我们可以看出,变量分离方程的求解思路主要分为三步:(1)分离变量,(2)对方程两边同时积分并整理得通解,(3)由初始条件求方程的特解[10].在莱布尼兹使用变量分离法求解出形如()()dx y f x g y dy=微分方程的同一年,他又解出了一阶齐次方程()y y f x '=.他令y vx =代入方程,即可使用变量分离法求解方程.而过了50余年之后,欧拉用自变量代换t x e =把欧拉方程线性化而求得110110n n n n n n n d y d y a x a x a y dx dx ---+++=的通解,其中(1,2,,)i a i n =是常数.一些方程,常常可以通过引入适当变量代换,化为变量已分离型方程或是其他已知解法的方程.文献[9]介绍了齐次方程dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭用变量代换法求解.求解齐次方程的关键是对未知函数进行变量替换y u x=,用一个新的未知函数u 代替原来的未知函数y ,得出一个变量分离方程,故可以通过变量分离法求得它的解.文献[7]介绍了形如111222a x b y c dy dx a x b y c ++=++的方程用变量代换法来求解,作者针对121212,,,,,a a b b c c 的不同取值,分了三种情况进行讨论.文献[4]、[5]、[6]、[9]、[10]、[11]、[12]也详细介绍了上述两种类型的方程用变量代换法求解.除此之外,还有一些文献介绍了其他类型的方程用变量代换法求解,例如:文献[5]还介绍了()()0yf xy dx xg xy dy +=类型的方程,文献[12]介绍了诸如(,)()(,)()0M x y xdx ydy N x y xdy ydx ++-=(,M N 为,x y 的齐次函数,次数可以不同)用变量代换法求解.文献[13]通过对一阶常微分方程中的齐次方程的推广形式--齐次型方程进行研究,并将齐次方程使用”变量代换”求解推广应用到齐次型方程,从而证明了齐次型方程是可积方程,得到了包括部分黎卡提方程和伯努利方程的一阶微分方程的几种新的可积类型.可以看出,变量分离和变量代换的结合使用,是求解微分方程的重要方法,很多方程并不是一开始就可以用变量分离法求解的,而是要通过变量代换之后才可以使用.1693年惠更斯在《教师学报》中明确提到了微分方程,而莱布尼兹同年则在另一家杂志的另一篇文章中称微分方程为特征三角形的边的函数,并给出了线性方程()()dy p x y q x dx=+的通解表达式()()()(())p x p x dx y x e q x e dx c -⎰⎰=+⎰,其中c 是任意常数.对于上述类型的方程,我们通常采用常数变易法来求解.常数变易法是前人专门针对一阶线性方程()()()0dy a x b x y c x dx++=和高阶线性方程、线性方程组,创造、总结出来的一种特定的方法,它能规范化地求出线性方程的通解,还能写出线性方程的通解公式[5].已知一阶齐次线性方程的通解()()p x y x ce ⎰=(c 为任意常数),将常数c 变易为x 的待定函数()c x ,即()()P x dx y c x e ⎰=,对其进行积分、代入,并可求得一阶非齐次线性微分方程的通解[7].文献[8]介绍了两种类型方程的常数变易法解法.针对二阶常系数非齐次线性微分方程求解的现有方法的局限性,文献[14]中给出了常数变易法求二阶常系数非齐次线性微分方程解的方法,并给出四个求特解的公式. 常数变易法是求解一阶非齐次线性常微分方程行之有效的方法.文献[15]从求解特殊的方程()()dy P x y Q x dx=+入手,证明了变量分离方程、伯努利方程、部分齐次方程以及其他形式的一阶非线性常微分方程可用常数变易法求解,从而将常微分方程中的常数变易法推广.与变量代换法和变量分离法一样,常数变易法也不是单独存在的,解一个方程,可能会需要这几种发放或者是更多的方法的结合.1694年,瑞士数学家约翰·伯努利在《教师学报》上对分离变量法和齐次方程的求解做了更加完整的说明.他的哥哥雅各布·伯努利发表了关于等时问题的解答,虽然莱布尼兹已经给出了这个问题的一个分析解.1965年,雅各布·伯努利提出了著名的伯努利(Bernoulli)方程()()n dy P x y Q x y dx=+,()0,1n ≠[19].并在1969年在《教师学报》上用变量分离法将它解出.同年莱布尼兹证明利用变量代换1n Z y -=,可以将它作为一阶线性方程求解.伯努利(Bernoulli)方程是一种特殊的一阶非线性常微分方程,在机械工程等方面有非常广泛的应用.对求伯努利方程通解的研究具有重要的理论意义很广泛的应用价值.求伯努利方程解法也比较多.现在,学者们总结出了许多求解伯努利(Bernoulli)方程的方法,如:文献[20]从一阶微分方程入手,归纳、总结出伯努利方程的几种新解法,这些新解法在学习和应用微分方程时给出解决问题的思维方式和思路,令人深思,它打破了沿用至今的伯努利方程的传统解法.为了避免伯努利方程的传统解法的繁琐、易出错等问题,文献[21]介绍一种通过部分凑微分法求解伯努利方程的新解法.文献[21]通过对伯努利方程常规解法的进一步探讨,总结出使求解过程简化的具体做法,从而对伯努利方程的解法进行了公式化或半公式化,提高了求解速度及准确性.在17世纪,作为微积分的一部分,微分方程跟微积分彼此不分.到了18世纪,由于天文学、力学、物理学的需要,同时也因为要解决许多较为复杂的问题,需要专门的技术,这样,微分方程开始成为一门独立的学科而存在.在1734-1735年的论文中,欧拉提出了全微分方程,即方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=中的(,)(,)M x y dx N x y dy +是某个函数的恰当微分,并给出所给方程的全微分条件M N Y X∂∂=∂∂.他确立了课采用积分因子的方程类型,证明了凡是分离变量的方程,均可以用积分因子方法求解,还证明了如果知道了任何一个常微分方程的两个积分因子,那么令他们的比等于常数,就是微分方程的一个通解[16].有些方程虽然不是全微分方程,但我们可以乘上一个积分因子,使它成为全微分方程[4].而且我们需要注意的是,方程的积分因子有无穷多个[17]. 寻求积分因子,使一阶常微分方程转化为全微分方程形式来求解是一种好方法,但通常情况下所得到的积分因子需满足的条件为一个偏微分方程,因而给积分因子的求解带来了一定的复杂性.近几年来很多数学工作者对方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=给予了很多很多的关注,给出了方程具有不同形式的积分因子的一系列理论及求解方法.文献[18]研究了方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=具有乘积形式()()t s f x y g ax by cx y αβ+++的积分因子,,,,,,,a b c t s R αβ∈,得到方程具有上述积分因子的充要条件,并结合实例给出具有上述形式积分因子的求解方法.1743-1751年,欧拉又将积分因子法推广到高阶方程,并通过特征方程法和降阶法解决了常系数线性齐次方程和非齐次的n 阶线性常微分方程,并利用变换t X e =提出欧拉方程.17-18世纪是常微分方程发展的经典理论阶段,以求通解为主要研究内容.在这一阶段还出现了许多精彩的成果.例如1964年莱布尼兹发现了方程解族的包络,1718年泰勒提出奇解的概念,克莱洛和欧拉对奇解进行了全面研究,给出从微分方程本身求得奇解的方法[1].19世纪是微分方程严格理论的奠定时期.18世纪以后不断出现的特殊的微分方程的求解问题,如里卡蒂方程22dy x y dx=+求解问题,使数学家招架不住了,于是转向对解的存在性问题的思考,即给定一个微分方程,它在给定的初始条件下是否有解？这个问题的解决不仅可以使数学家们避免对一些根本无解的方程做无谓的探索,而且直接影响着微分方程基础理论的建立[22].第一个考虑微分方程解的存在性的是柯西(A.Cauchy,1789-1857),19世纪20年代,他建立了柯西问题00(,)()dy f x y dx y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩解的存在唯一性定理.1873年,德国数学家李普希兹(RudolphLipschitz.1832-1903)提出著名的”李普希兹条件”,对柯西的存在唯一性定理做了改进.在适定性理论的研究中,与柯西、李普希兹同一时期的还有皮亚拿跟皮卡,他们先后于1875年和1876年给出常微分方程的逐次逼近法,皮亚拿在仅仅要求(,)f x y 在00(,)x y 点领域连续的条件下证明了柯西问题解的存在性.后来这方面的理论有了很大的发展,这些基本理论包括:解的存在及唯一解,延展性,解的唯一存在性,解对初值和参数的连续依赖性和可微性,奇解等,这些问题是微分方程的一般基础理论问题[1].19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段,这一阶段的主要理论结果是微分方程的解析理论,运用幂级数和广义幂级数解法,求出一些重要的二阶线性方程的级数解,并得到及其重要的一些函数.1816年,贝塞尔研究行星运动时,开始系统地研究贝塞尔方程222()0x y xy x n y '''++-=,贝塞尔得出了此方程的两个级数解,分别称为第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数.文献[23]利用朗斯基行列式和贝塞尔函数的近似公式,给出了贝塞尔方程通解的一个新方法.1818年,贝塞尔证明了第一类贝塞尔函数有无穷个零点.1824年,贝塞尔给出一个有关第一类、第二类贝塞尔函数的递推公式.后来,有很多数学家、天文学家得出贝塞尔函数的数以百计的关系式和表达式.1944年,剑桥大学出版了G.N.Watson 的巨著《贝塞尔函数教程》,是贝塞尔函数研究成果的集成.在解析理论中另一个重要内容是勒让德方程的级数解和勒让德多项式方面的成果.1784年他出版的代表作《行星外形的研究》中研究了勒让德方程2(1)2(1)0x y xy n n '''--++=,并且给出了幂级数解的形式.高斯研究了高斯几何方程,并且得到了级数解,同时,他还建立了公式()()(,,,1)()()F γγαβαβγγαγβΓΓ--=Γ-Γ-,并指出对,,αβγ不同值,此级数包括了几乎所有的初等函数和类似贝塞尔函数的特征函数.19世纪方程解析理论中另外一个重点成果是关于奇点的富克斯理论.随后斯图姆和刘维尔,各自相应的研究,丰富了方程解析理论的内容.在19世纪后半叶,天体力学及其他技术科学提出的一些问题中,需要研究较复杂的微分方程的解的局部和全局性质.但由于绝大多数的这种方程不能用初等函数的积分表达通解,因此学者们考虑直接根据微分方程的结构来研究微分方程解的属性.为此,法国数学家庞加莱(Henri Poincare,1854-1912)就开始了微分方程的定性研究,从1881年到1886年先后发表了四篇论文,他说:”要解答的问题是动点是否描出一条闭曲线？它是否永远逗留在平面某一部分内部？换句话说,并且用天文学的话来说,我们要问轨道是稳定的还是不稳定的？”从1881年起,庞加莱独创出微分方程的定性理论.此后,为了寻求只通过考察微分方程本身就可以问答关于稳定性等问题的方法,他从非线性方程出发,发现微分方程的奇点起关键作用,并把奇点分为四类(焦点、鞍点、节点、中心),讨论了解在各个奇点附近的性状.庞加莱关于常微分方程定性理论的一系列课题,成为动力系统地开端.美国数学家伯克霍夫以三体问题为背景,扩展了动力系统的研究.另一位常微分方程定性理论的主要创始人是挪威数学家班迪克逊,从1900年起,他开始从事由庞加莱开创的微分方程轨线的拓扑性质的研究工作,1901年发表著名论文《由微分方程定义的曲线》[1].常微分方程定性理论中另一个重要领域是1892年由俄国数学家李雅普诺夫(1857-1918)创立的运动稳定性理论.李雅普诺夫在他的博士论文《运动稳定性的一般问题》中创造了两种新方法;首创了运动稳定性的一半理论,在最一般的假定下,解决了以下问题:什么时候,首次近似就是稳定性问题的解.关于李雅普诺夫意义下的稳定性和伯克霍夫意义下的极限集的表现形式是多姿多彩的.到1937年数学家庞特里亚金提出结构稳定性概念,且严格证明了其充要条件,使动力系统的研究向大范围转化.稳定性理论在美国迅速地变成训练自动控制方面的工程师的一个标准部分.目前,稳定性理论的方法结果已经推广到泛函微分方程、随机微分方程、偏微分方程以及动力系统中去.同时,在自动控制系统、电子技术、卫星姿态动力学、大型动力系统以及生态学等新技术、新领域中均有重要的应用.二十世纪自然科学和技术科学的发展,一个显著的特点是多学科的互相渗透,数学向各个学科的渗透更为普遍和突出.常微分方程作为数学模型广泛地应用于现代生物学、生态学、生理学、医学、经济学、化学等领域,如:传染病模型[24]、两生物种群生态模型[25]、人口模型[25]等.与此同时,国内一些定性理论工作者在80年代迅速转向生物学,开展生物微分方程的研究,做出了有意义的成果[25],一些稳定性理论工作者在70年代末期开展了泛函微分方程的研究,李森林等著的《泛函微分方程》总结了他们近期的工作.同时还有不少人从事研究离散动力系统的稳定性、随机微分方程的稳定性、大型控制系统等.微分方程是一门十分有用又十分有魅力的学科,自1693年微分方程概念的提出到动力系统地长足发展,常微分方程经历漫长而又迅速地发展,极大丰富了数学家园的内容.同时数学的其他分支的新发展如复变函数、组合拓扑学等都给常微分方程的发展以深刻地影响.当前,计算机的发展为常微分方程的应用及理论提供了非常有力的工具.随着社会技术的发展和需求,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题.应该说,应用常微分方程已经取得了很大的成就.也就是说,它和天文学、力学、物理学等许多学科有广泛的联系,在数学领域,它和其他一些分支学科相互渗透,是理工科院校数学专业重要的基础课程,理工科其他专业的高等数学课程也将会有越来越多的常微分方程内容[27].比如偏微分方程的迅速发展.可以预测:随着依赖数学为基础的其他学科的发展,微分方程还会继续扩展.虽然,常微分方程发展快速,且在被应用于各个领域,但它的现有理论还远远不能满足当今科学发展的需求,还有待于进一步发展,使这门学科的理论更加完善.三、总结部分(将全文主题进行扼要总结,提出自己的见解并对进一步的发展方向做出预测)常微分方程的产生与发展给现代人的生活做出了很大的贡献.它是一个有长期历史,而又正在不断发展的学科;是一个既有理论研究意义,又有实际应用价值的学科;是一个既得力于其他数学分支的支持,又为其他数学分支服务的学科,是一个表现客观自然规律的工具学科,又是一个数学可以为实际服务的学科.它的形成于发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展相互促进相互推动的.数学的其他分支的新发展如复变函数、李群、组合拓扑学等都给常微分方程的发展以深刻的影响．当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具．现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等．这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题．应该说,应用常微分方程理论已经取得了很大的成就,但是,它的现有理论也还远远不能满足需要,还有待于进一步的发展,使这门学科的理论更加完善[27].求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标,一旦求出通解的表达式,就容易从中得到问题所需要的特解．也可以由通解的表达式,了解对某些参数的依赖情况,便于参数取值适宜,使它对应的解具有所需要的性能,还有助于进行关于解的其他研究．后来的发展表明,能够求出通解的情况不多,在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解．当然,通解是有助于研究解的属性的,但是人们已把研究重点转移到定解问题上来．一个常微分方程是不是有特解呢？如果有,又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题,数学家把它归纳成基本定理,叫做存在和唯一性定理．大部分的常微分方程求不出十分精确的解,而只能得到近似解．当然,这个近似解的精确程度是比较高的．另外还应该指出,用来描述物理过程的微分方程,以及由试验测定的初始条件也是近似的,这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决．微分方程的理论逐步完善的时候,利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律,只要列出相应的微分方程,有了解方程的方法．微分方程也就成了最有生命力的数学分支.常微分方程经历漫长而又迅速的发展,极大地丰富了数学家园的内容.随着社会科学技术的发展及要求,微分方程会有更大的发展.如:自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等.四、参考文献(根据文中参阅和引用的先后次序按序编排)[ 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常微分方程求解的高阶方法毕业论文常微分方程求解的高阶方法毕业论文目录第一章前言 (1)1.1案例引入微分方程概念 (1)1.2微分方程的基本概念 (1)1.2.1微分方程及微分方程的阶 (1)1.2.2微分方程的解、通解与特解 (1)1.2.3微分方程的初值条件及其提法 (2)1.2.4微分方程的解的几何意义. (2)1.3从解析方法到数值方法概述 (3)1.4常温分方程的离散化 (4)第二章数值解法公共程序模块分析 (5)第三章欧拉（Euler）方法 (7)3.1 Euler方法思想 (7)3.2 Euler方法的误差估计 (8)3.3改进的Euler方法 (8)3.3.1梯形公式 (8)3.3.2改进Euler法 (9)第四章休恩方法 (10)4.1 休恩方法思想 (10)4.2休恩方法的步长和误差 (10)第五章泰勒级数法 (11)5.1泰勒定理 (11)5.2 N次泰勒方法 (12)第六章龙格-库塔（Runge—Kutta法） (13)6.1龙格-库塔（Runge—Kutta）方法基本思想 (13) 6.2 阶龙格-库塔（Runge—Kutta）方法公式 (14) 第七章预报-校正方法 (15)7.1 Milne-Simpon方法 (16)7.2误差估计于校正 (16)7.3 正确的步长 (17)第八章一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法 (17)8.1 一阶微分方程组的数值解法 (17)8.2 高阶微分方程的数值解法 (18)第九章常微分方程模型数值解法在数学建模中的应用 (19)9.1耐用消费新产品的销售规律模型 (19)9.1.1 问题的提出 (19)9.1.2 模型的构建 (19)9.1.3 模型的求解 (20)9.2 司机饮酒驾车防避模型的数值解法 (21)9.2.1 模型假设 (22)9.2.2 模型建立 (22)9.2.3 模型求解 (24)9.2.4 模型评价 (25)9.2.5 诚恳建议 (25)9.2.6 模型推广 (26)主要参考文献 (26)致谢 (27)第一章前言1.1案例引入微分方程概念在科技、工程、经济管理、生态、生态、刑侦等各个领域微分方程有着广泛的应用。

安阳师范学院本科学生毕业论文一阶常微分方程初等解法作专年学日学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.签名：导师签名：日期：一阶常微分方程初等解法田丰(安阳师范学院数学与统计学院，河南安阳 100801066)摘要: 文章对一阶常微分方程运用变量分离,积分因子,恰当微分方程等各类初等解法进行了归纳与总结,同时结合例题演示了常微分方程的求解问题。

关键词:一阶常微分方程;变量分离;恰当微分方程;积分因子1 引言常微分方程在微积分概念出现后即已出现,对常微分方程的研究也可分为几个阶段.发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”时代.莱布尼茨曾专门研究利用变量变换解决一阶常微分方程的求解问题,而欧拉则试图用积分因子处理.但是求解热潮最终被刘维尔证明里卡蒂方程不存在一般初等解而中断.加上柯西初值问题的提出,常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代.在20世纪六七十年代以后,常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期,从求“求所有解”转入“求特殊解”时代,发现了具有新性质的特殊的解和方程,如混沌（解）、奇异吸引子及孤立子等. 微分方程里各项的次数，其实说的是方程各项中未知函数（y）及其导数（y'，y''，y'''……）的次数但是一般接触到的有解析解的微分方程都不会超过1次，所以齐次一般指的就是方程各项中未知函数（y）及其导数（y'，y''，y'''……）的次数为1也就是说方程各项中必须出现且只出现单独的y，y'，y''，y'''……，而不出现它们的平方、n次方，也不出现它们互相相乘，也不出现常数项（次数为0）其中的常见的求解一阶微分2 一阶常微分方程的初等解法2.1 变量分离法2.1.1 一般变量分离法()()dy f x y dxϕ=, )1.2( 的方程,称为变量分离方程,()f x ,()y ϕ分别是x ,y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数.如果()0y ϕ≠,我们可将)1.2(改写成()()dy f x dx y ϕ=, 这样,变量就分离开来了.两边积分,得到 ()()dy f x dx c y ϕ=+⎰⎰. )2.2(这里我们把积分常数c 明确写出来,而把⎰)(y dy ϕ, ⎰dx x f )(分别理解为)(1y ϕ,)(x f 的原函数.常数c 的取值必须保证)2.2(有意义,如无特别声明,以后也做这样理解. 因)2.2(式不适合0)(=y ϕ情形.但是如果存在0y 使0)(0=y ϕ,则直接验证知0y y =也是)1.2(的解.因此,还必须寻求0)(=y ϕ的解0y ,当0y y =不包括在方程的通解)2.2(中时,必须补上特解0y y =例1 求解方程dx dy -=xy 解 将变量分离,得到xdx ydy -=,两边积分,即得22222c x y +-=, 因而,通解为c y x =+22.这里c 是任意正常数,或者解出y ,写出显函数形式的解2x c y -±=.例2 求解方程y x p dxdy )(=, )1.3( 的通解,其中是)(x p x 的连续函数解 将变量分离,得到dx x p y dy )(=, 两边积分,即cdx x p y ~)(||ln +=⎰. 这里c~是任意常数.由对数定义,有 c dx x p ey ~)(||+⎰=, 即dx x p c e e y ⎰⋅±=)(~,令c e c =±~,得到⎰=dx x p ce y )(, )2.3( 此外,0=y 显然也是方程)1.3(的解,如果允许)2.3(中允许0=c 则0=y 也就包括在)2.3(中,因而)1.3(的通解为)2.3(,其中c 为任意常数2.1.2 用变量分离解齐次微分方程2.1.2.1 用变量分离法解齐次微分方程类型一形如)(yx g dx dy =, 的方程,称为齐次微分方程,这里)(u g 是u 的连续函数.作变量变换xy u =, 即ux y =,于是u dxdu x dx dy +=. 代入原方程可得)(u g u dxdu x =+, 整理后,得到x u u g dx du -=)(. )3.2( 因)3.2(是一个变量分离方程.则可按照变量分离方法求解,然后代回原来的变量,即可得到原方程的解例3 求解方程x y xy dx dy tan += 解 这是齐次微分方程,以u dxdu x dx dy u x y +==及代入,则原方程变为 ,tan u u u dxdu x +=+ 即xu dx du tan =. )3.3( 将上式分离变量,既有,cot x dx udu = 两边积分,得到cx u ~||ln |sin |ln +=. 这里c~是任意常数,整理后,得到 u sin =,~x e c ⋅±c e=±~得到 cx u =sin . )4.3( 此外,方程)3.3(还有解 0tan =u .如果在)3.3(中允许0=c ,则0tan =u 也就包括在)4.3(中,这就是说,方程)3.3(的通解为)4.3(带回原来的变量,得到方程的通解为.sin cx x y=例4 求解方程y xy dx dyx =+2（0<x ）解 将方程改写为x yx y dx dy +=2,这是齐次微分方程.以u dx dux dx dy u x y+==及代入,则原方程变为 .2u dx dux =)5.3( 分离变量,得到,2x dxu du =两边积分,得到)5.3(的通解.)ln(c x u +-=即当0)ln(>+-c x 时,2])[ln(c x u +-=.这里c 时任意常数.此外,方程)5.3(还有解.0=u注意,此解并不包括在通解)5.3(中.代入原来的变量,即得原方程的通解为.])[ln(2c x x y +-=2.1.2.2用变量分离法解齐次微分方程类型二形如222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=, )4.2( 的方程不可直接进行变量分离,但是可以经过变量变换后化为变量分离方程,这里1a ,1b ,1c ,2a ,2b ,2c 均为常数.可分为三种情况来讨论:()1k c c b b a a ===212121(常数)的情形 这时方程可化为k dxdy =, 有通解c kx y +=,其中c 为任意常数.()2212121c c k b b a a ≠==的情形. 令y b x a u 22+=,这时有212222c u c ku b a dx dy b a dx du +++=+=. 是变量分离方程()32121b b a a ≠及21,c c 不全为零的情形 因为方程右端分子,分母都是y x ,的一次多项式,因此⎩⎨⎧=++=++.0,0222111c y b x a c y b x a 代表Oxy 平面上两条相交的直线,设交点为()βα,,若令⎩⎨⎧-=-=,,βαy Y x X 则方程可化为⎩⎨⎧=+=+,0,02211y b x a y b x a 从而方程)4.2(变为.2211⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=X Y g Y b X a Y b X a dX dY 因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,即可得到原方程的解.)4(021==c c 的情形, 此时直接变换xy u =即可. 例5 求解方程111dy dx x y =+-+. 解 令1u x y =-+,则有1y u x -=--,代入所求方程()111d u x dx u---=+, 整理可得1du dx u=-, 由变量分离得22u x c =-+,故所求方程的解为()212x y x c -++=.例6 求解方程 31-++-=y x y x dx dy . 解 解方程组⎩⎨⎧=-+=+-,03,01y x y x 得.2,1==y x 令⎩⎨⎧+=+=,1,1Y y X x 代入上式方程,则有YX YX dX dY +-=. 再令,uX Y XYu ==即则上式可化为 du uu uX dX 2211--+=, 两边积分,得cu u X ~|12|ln ln 22+-+-=, 因此c e u u X ~22)12(±=-+,记,1~c e c=±并带回原变量,得1222c X XY Y =-+,122)1()2)(1(2)2(c x y x y =----+-.此外容易验证0122=-+u u ,即2220,Y XY X +-=也是方程的解 ,因此方程的通解为c x y x xy y =---+26222,其中c 为任意的常数. 2.2常数变易法2.2.1常数变易法类型一一阶线性微分方程()(),x Q y x P dxdy+= 其中()()x Q x P ,在考虑的区间上是x 的连续函数,若Q ()0=x ,方程变为(),y x P dxdy= 称其为一阶齐次线性微分方程,若(),0≠x Q 称其为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为(),⎰=dxx P ce y这里c 是任意常数.现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.不难看出,是特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中c 恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数c 变易为x 的待定函数,使它满足方程,从而求出(),x c 为此,令()(),dxx P e x c y ⎰=两边同时微分,得到()()()()().dx x P dxx P e x P x c e dxx dc dx dy ⎰+⎰= 代入原方程,得到()()()()()()()()(),x Q e x c x P e x P x c e dxx dc dx x P dx x P dx x P +⎰=⎰+⎰ 即()()(),⎰=-dx x P e x Q dxx dc两边同时积分,得到()()(),1c dx e x Q x c dxx P +⎰=-⎰这里1c 是任意常数,求得到()()().1⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-c dx e x Q e y dx x P dxx P就是方程的通解.这种将常数变为待定函数的方法通常被称之为常数变易法.例7 求方程22y x y dx dy -=的通解 解 原方程可改写为yy x dy dx 22-=, 即y x ydy dx -=2, )6.3( 首先,求出齐次线性微分方程x ydy dx 2=, 的通解为2cy x =.其次,利用常数变易法求非齐次线性微分方程)6.3(的通解 把c 看成)(y c ,将方程2cy x =两边同时微分得y y c y dyy dc dy dx )(2)(2+=. 代入)6.3(,得到ydy y dc 1)(-=, 两边同时积分,即可求得cy y c ~ln )(+-=. 从而,原方程的通解为)ln ~(2y cy x -=, 这里c~是任意常数.2.2.2常数变易法类型二形如n y x Q y x P dxdy)()(+=, )5.2( 的方程,称为伯努利方程,这里)(x P ,)(x Q 为x 的连续函数,n ≠0,1是常数.利用变量变换可将伯努利微分方程化为线性微分方程.事实上,对于0≠y ,用n y -乘)5.2(的两边,得到)()(1x Q x P y dxdyy n n+=--, 引入变量变换n y z -=1,从而dxdyy n dx dz n--=)1(. 代入方程)5.2(,得到)()1()()1(x Q n z x P n dxdz-+-=, 这是线性微分方程,可按照前面介绍的方法来求出它的通解,然后代换原来的变量,便得到方程的通解.此外,当0>n 时,方程还有解0=y .例8 求方程的26xy xydx dy -=通解 解 这是2=n 时的伯努利微分方程.令1-=y z ,算得x z xdx dz +-=6, 这是线性微分方程,求得它的通解为826x xc z +=.代入原来的变量y ,得到8126x x c y +=, 或者c x y x =-886, 这就是原方程的通解. 此外,方程还有解0=y 2.3 利用恰当微分方程求解法 对于一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=,若有M Ny x∂∂=∂∂,则该方程必为恰当微分方程. 下面讨论如何求得该恰当微分方程的解. 把(),uM x y x∂=∂看作只关于自变量y 的函数,对它积分可得 ()(),u M x y dx y ϕ=+⎰由此式可得N dyy d dx y x M y y u =+∂∂=∂∂⎰)(),(ϕ, 由此可得dx y x M yN dy y d ⎰∂∂-=),()(ϕ, 又因为]),([]),([⎰⎰∂∂∂∂-∂∂=∂∂-∂∂dx y x M yx x N dx y x M y N x ]),([⎰∂∂∂∂-∂∂=dx y x M x y x N0=∂∂-∂∂=yMx N , 故等式右边只含有y ,积分可得dy ydx x M y N y ⎰⎰∂∂-=]),([)(ϕ, 进而可得dy dx y x M yN dx y x M u ⎰⎰⎰∂∂-+=]),([),(. 则恰当微分方程的通解为c dy dx y x M y N dx y x M =∂∂-+⎰⎰⎰]),([),(, 这里c 是任意常数.例10 求解方程0)1()1(cos 2=-++dy yxy dx y x .解 因为221,1yx N y y M -=∂∂-=∂∂,故方程是恰当微分方程.把方程重新分项组合,得到0)1()1(cos 2=-++dy yxy dx y x ,即0||ln sin 2=-++yxdyydx y d x d , 或者写成0)||ln (sin =++yxy x d .于是,方程的通解为c yxy x =++||ln sin , 这里c 是任意常数2.4 利用积分因子求解法函数(),x y μ为()(),,0M x y dx N x y dy +=积分因子的充要条件是()()M N y xμμ∂∂=∂∂, 即()M N NM x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂. 假设原方程存在只与x 有关的积分因子()x μμ=,则0xμ∂=∂,则μ为原方程的积分因子的充要条件是()M N x y x μμ∂∂∂=-∂∂∂,即()()M Ny x x Nφ∂∂-∂∂=仅是关于x 的函数.此时可求得原方程的一个积分因子为()x dxe φμ⎰=.同样有只与y 有关的积分因子的充要条件是()()M N y xy Mϕ∂∂-∂∂=-是仅为y的函数,此时可求得方程的一个积分因子为()y dye ϕμ⎰=例9 求解方程0)(=-+dy x y ydx . 解 这里,1,1,,-=∂∂=∂∂-==XNy M x y N y M 方程不是恰当的. 因为yy M 2-=∂∂只与y 有关,故方程有只与y 的积分因子 2||ln 221ye eu y y==⎰=--, 以21yu =乘方程两边,得到 0112=-+yxdydy y dx y , 或者写成02=+-y dyyxdy ydx , 因而通解为c y yx=+||ln .3 结束语文章详细介绍了一阶常微分方程的初等解法，即把一阶常微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来。

常微分方程的积分因子每一个微分方程转化为恰当方程之后，可以运用恰当方程的公式进行求解，因此转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要。

课本中只介绍了仅关于x 或仅关于y 的积分因子，这还远远不够。

此论文主要研究几类微分方程积分因子的求法，从而使微分方程的求解变得较简便。

积分因子的定义：若对于一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=其中(),M x y ，(),N x y 在矩形域内是,x y 的连续函数，且有连续的一阶偏导数．若存在连续可微的函数(),0x y μ≠，使得()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+≡，为一恰当方程，即存在函数V ，使Mdx Ndy dV μμ+=． 则称(),x y μ为方程（1）的积分因子．通过计算可得，函数(),x y μ为0Mdx Ndy +=积分因子的充要条件为：()()M N x y μμ∂∂=∂∂， 即M N NM x y y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 1.1、定义1 若方程 0),(),(=+dy y x N dx y x M (1) 的左端恰好是某个二元函数),(y x u 的全微分，则称(1)式为恰当微分方程. 1.2、定义2 如果存在连续可微的函数μ=0),(≠y x μ，使得 ),(y x μdx y x M ),(+ ),(y x μdy y x N ),(=0 为一恰当微分方程，即存在函数v ，使dv Ndy Mdx ≡+μμ， 则称),(y x μ为方程(1)的积分因子.1.3 、定义3 函数),(y x μ为(1)的积分因子的充要条件是y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ，即是μμμ)(x Ny M y M xN ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 2.1 结论1：方程（1）具有积分因子μ=)(y x ±μ的充要条件为1))((-∂∂-∂∂M N x Ny M =)(y x F ±积分因子为μ=⎰±±)()(y x d y x F e证明：""⇒设μ=)(y x ±μ为方程的积分因子，y x t +=，则dt d y t x μμμμ=∂∂∂∂=∂∂,（2）由(1)得 x N yM ∂∂-∂∂=dt d M N y x μμ)()(1-+ ∴M N xNy M -∂∂-∂∂=dt d y x μμ)(1+≡)(y x F +∴1))((--∂∂-∂∂M N x Ny M =)(y x F +为方程具有形如)(y x ±μ积分因子的必要条件. ""⇐ 若M N xN y M -∂∂-∂∂≡)(y x F + 取μ=⎰++)()(y x d y x F e则有x NyM ∂∂-∂∂≡)(y x F +)(M N - 即x N N y x F y x MF y M ∂∂++≡++∂∂)()(,两边乘以μ且由（2），得 μμμ)(x N y M y M x N∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 即y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ⇒μ为原方程的积分因子.同理得1))((-+∂∂-∂∂M N x Ny M =)(y x f -命题得证。

常微分方程初等积分法解法研究常微分方程及积分因子初等积分法解常微分方程的关键在于求解不定积分。

不定积分是解微分方程的主要手段，通过找到合适的积分因子，可以将一个一阶微分方程转化为一个可积的方程。

在本文中，将对常微分方程及积分因子进行研究。

dy/dx = f(x, y)其中，f(x,y)是已知函数。

解这个方程的方法之一就是通过积分来找到y。

我们需要将这个方程转化成一个可积的形式。

考虑一个形式为 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的一阶常微分方程。

要将这个方程转化为可积的形式，需要找到一个因子M(x)，使得通过乘以M(x)可以使得原方程的左侧变为一个可积的形式。

这个因子M(x)被称为积分因子。

要找到积分因子，通常通过求解方程 M(x) = 1/M dM/dx = P(x) 来确定。

最常见的积分因子是指数函数，即M(x) = e^(∫P(x)dx)。

通过乘以这个积分因子，原方程可以变为积分形式：d/dx (M(x)y) = M(x)Q(x)通过对上式两边进行不定积分，可以求解出y。

举个例子来说明。

考虑一阶常微分方程 dy/dx + xy = x^2、我们需要找到一个积分因子。

通过解方程 M(x) = 1/M dM/dx = x，可以得到M(x) = e^(1/2 x^2)。

d/dx (e^(1/2 x^2) y) = x e^(1/2 x^2)对上式两边不定积分，得到：e^(1/2 x^2) y = ∫x e^(1/2 x^2) dx通过不定积分求解上式，可以得到y。

通过求解积分因子，我们可以将一阶常微分方程转化为可积的形式。

这种方法适用于一阶线性常微分方程。

对于高阶常微分方程，可以通过转化为一组一阶微分方程来求解。

总结起来，常微分方程及积分因子的研究是通过寻找积分因子来将一阶常微分方程转化为可积的形式。

通过解不定积分，可以求解出未知函数。

初等积分法解常微分方程是一种常用的方法，对于一阶线性常微分方程特别适用。

《关于常微分方程解法的探究》 班级：数学与应用数学131学号：姓名：丁延辉日期：2016年5月25号摘要常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。

并且常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中。

因此，由实际问题列出微分方程后，其解法非常关键，微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。

关键词：微分方程 降阶法 变量代换法 齐次型 一阶线性 1 一阶微分方程1.1 变量可分离的微分方程形如()()dy f x y dxϕ=(1) 的方程，称为变量分离方程，()f x ，()y ϕ分别是x ，y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．如果()0y ϕ≠，我们可将(1)改写成这样变量就分离开来了.两边积分，得到c 为任意常数．由该式所确定的函数关系式(,)y y x c =就是常微分方程的解． 例1：求解2dy xy dx =的通解。

解：12dy xdx y=→12dy xdx y =⎰⎰→21ln y x c =+→通解：221x c x y e ce +=±= 1.2 齐次型微分方程 （变量代换的思想） 一阶微分方程可以化成dy y f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的形式。

求解：dy y f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭yu x =→y ux =， dy du x u dx dx =+→()du x u f u dx +=→()11du dx f u u x=-（可分离变量）→通解 例2：解方程22dy dy y x xy dx dx+= 1.3 一阶线性微分方程若称为一阶齐次线性微分方程。

毕业论文论文题目：关于对常微分方程中积分因子的研究姓名：学科专业：数学教育指导教师：完成时间：2011年 5 月20 日摘 要研究了四种一阶微分方程的积分因子存在的充要条件，主要通过一些特殊变形的方法来得到这四种类型的常微分方程积分因子的通解，具体可以分为：()(),,y x G y x +=μ()(),,by ax G y x +=μ()()b a y x G y x -=,μ及()()xy G y x =,μ， 四种类型各有特点但又互有联系。

关键词：常微分方程；积分因子；充要条件目录第一章引言 (1)第二章四类常微分方程积分因子的存在充要条件 (2)()()yμ (2),=y x+Gx()()byμ (3)=x+,axGy()()ba yμ (4)x-,=yxG()()xyμ (5),Gx=y参考文献 (7)第一章 引言一阶微分方程()()0,,=+dy y x N dx y x M （）的积分因子的形式，其一，其求解方法是根据类型确定解法，其中一类是全微分方程，所谓全微分方程就是方程（）的左端恰为某个方程的全微分。

我们知道方程（）是全微分的充要条件是,xNy M ∂∂=∂∂当此不满足的时候，方程（）就不是全微分方程，此时若有一个恰当的函数()0,≠y x μ使方程（1）两端乘以后()0,≠y x μ所得的方程()()()()0,,,,=+y x N y x y x M y x μμ （）为全微分方程，则称函数()y x ,μ为方程（）的积分因子。

积分因子存在的充要条件：如何求方程（）的积分因子？一下就是关于()y x ,μ为积分因子的充要条件，微分方程()()()()0,,,,=+y x N y x y x M y x μμ （）为全微分方程的充要条件是： ()()()()()(),,,,,xy x N y x y y x M y x ∂∂=∂∂μμ即()()()()()()()()()()()xy x y x N y y x N y x x y x y x M y y x M y x ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂,,,,,,,,μμμμ （） (),,μμ=y x (),,M y x M = (),,N y x N =上式可以整理到μμμ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂x N y M y M x N（） 所以()y x ,μ为方程（）的积分因子的充要条件是()y x ,μ为方程的解。

积分因子法在求解常微分方程中的应用常微分方程作为现代数学的重要分支，其应用范围广泛，涉及到物理、计算机科学等领域。

求解常微分方程是常微分方程理论的核心，而积分因子法作为其中的重要方法之一，常常被应用于常微分方程的求解中。

1. 什么是积分因子法？积分因子法是利用一个与方程解相关的因子来将常微分方程转化为可积的形式的一种方法。

在求解常微分方程时，为了保证方程解的双曲性或椭圆性，我们可能需要乘上一个符合要求的函数因子使其可以进行精确积分，这个函数因子就被称为积分因子。

2. 如何应用积分因子法？应用积分因子法的关键是需要找到符合要求的积分因子。

一般来说，积分因子需要满足以下条件：（1）积分因子最好能够求得，即它可以具体的表达式表示出来。

（2）积分因子必须非零。

（3）积分因子的乘积与微分方程的系数的组合必须是可积的。

（4）积分因子在微分方程所考虑的区域上必须是连续的。

（5）积分因子应该是一种容易求得的函数形式。

找到符合要求的积分因子后，我们就可以将常微分方程乘上这个因子，从而将其转化为一个可积的形式。

通过对等式两边的乘积进行积分，最终获得方程的解析解。

3. 积分因子法在求解实际问题时的应用积分因子法在求解实际问题时的应用有很多。

例如在物理学中，通过应用积分因子法可以求解出多个物理系统的行为规律。

在这种情况下，微分方程主要描述物理量的变化，而积分因子则为了提高求解的准确度和精度。

在计算机科学领域，积分因子法的应用同样非常广泛。

在进行数值计算时，我们经常需要通过微分方程来描述系统的行为规律。

但由于数值方法的固有误差，我们得出的解往往不够精确。

而在这种情况下，我们可以通过引入一个积分因子来提高求解的精度。

总的来说，积分因子法在求解常微分方程中起着重要的作用。

它可以帮助我们获得更加精确和准确的解析解，而这些解析解在现代数学和其它学科领域中有着广泛的应用。