一类微分方程模型稳定的数值模拟毕业论文

微分方程中的数值解法稳定性分析数值解法是微分方程求解中常用的方法之一。

对于许多复杂的微分方程，往往无法通过解析方法获得精确解，因此需要借助数值方法来进行近似求解。

然而，不同的数值解法存在着不同的稳定性特点，其对解的精确度和稳定性有着重要影响。

本文将对微分方程中常见的数值解法进行稳定性分析。

一、欧拉法欧拉法是最简单直观的数值解法，它采用离散化的方式逼近微分方程的解。

对于一阶常微分方程dy/dt = f(t,y)，欧拉法的迭代格式为：y_i+1 = y_i + h*f(t_i, y_i)其中，h为步长，t_i为离散的时间点。

欧拉法的稳定性分析可以通过线性稳定性分析方法进行。

假设精确解为y(t)，采用欧拉法得到的数值解为y_i，则欧拉法的局部截断误差为O(h^2)，即e_i = O(h^2)。

由此可以推导出欧拉法的增长因子为：g(h) = 1 + hf'(t_i, y_i)当|h*f'(t_i, y_i)| < 1时，欧拉法是稳定的；当|h*f'(t_i, y_i)| > 1时，欧拉法是不稳定的。

因此，欧拉法的稳定性要求步长h不能太大，且f(t, y)的绝对值不能太大。

二、改进的欧拉法（Heun法）改进的欧拉法，也称为Heun法，是对欧拉法的一种改进。

它通过估计两个点处的斜率来提高解的精确度。

Heun法的迭代格式为：k_1 = hf(t_i, y_i)k_2 = hf(t_i + h, y_i + k_1)y_i+1 = y_i + 0.5*(k_1 + k_2)Heun法的稳定性分析类似于欧拉法。

同样地，当|h*f'(t_i, y_i)| < 1时，Heun法是稳定的。

三、Runge-Kutta法Runge-Kutta法是一类常用的数值解法，包括二阶(两步)、四阶(四步)、六阶(六步)等不同阶数的方法。

以四阶Runge-Kutta法为例，其迭代格式为：k1 = hf(t_i, y_i)k2 = hf(t_i + h/2, y_i + 0.5*k1)k3 = hf(t_i + h/2, y_i + 0.5*k2)k4 = hf(t_i + h, y_i + k3)y_i+1 = y_i + (1/6)*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)与欧拉法和Heun法相比，四阶Runge-Kutta法具有更高的精确度和稳定性。

微分方程的基本理论及稳定性研究摘要：本文利用常微分方程和数学建模二者之间的联系，了解微分方程的一般理论、微分方程解的存在惟一性、微分方程的稳定性问题、通过几个典型的数学模型如人口模型等例子来体现微分方程在数学建模中的应用。

用数学理论解决实际生活中的问题。

微分方程的出现以及微分方程在数学建模中的应用，就是为了更好地使更多的人理解并运用数学理论，更好的解决实际生活中的问题。

努力在各个领域利用并渗透数学知识。

关键词：常微分方程；数学建模；数学模型一、前言常微分方程的发展、形成与许多学科都有着密切的联系，例如几何学、物理学、化学、生物学、经济学甚至电子科技、航天航空等。

计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供有力的工具。

数学若想解决实际问题，就要通过观察研究实际对象的特征和内在的关系规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数学模型。

而在数学模型求解的问题上，常微分方程是最重要的知识工具，因此继续探讨研究常微分方程在数学建模中的应用依然是有着及其重要的学术价值和及其深刻的现实意义。

目前，已有很多学者对此方面进行了研究，例如，朱美玲在《太远城市职业技术学院报》中简要介绍了常微分方程的发展和数学建模的过程以及常微分方程在数学建模中的一些应用，并对数学建模在数学教学中的地位和作用作了一些展望；王英霞在《才智》2011年12期中介绍常微分方程的发展、数学建模的特点，重点介绍了常微分方程与数学建模相互结合，总结常微分方程在数学建模中的重要性；赵家林在《中国科教创新导刊》2009年第1期中描述了客观是数量关系的一种重要数学模型。

数学领域的中心学科常微分方程至今已有近300年的发展历史，为了寻求、解决类似自由落体下落过程中下落距离和时间的函数关系，研究火箭在空中飞行时的飞行轨道等这类实际性的问题，往往就要求我们找到满足某些特定条件的一个或多个未知数方程，为了解决这类实际问题从而产生了微分方程。

把含有未知函数及未知函数导数或微分的方程称之为微分方程。

微分方程数值解方法与稳定性分析微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于自然科学、工程技术等领域。

求解微分方程的精确解并非总是可行的，因此需要借助数值方法来逼近方程的解。

本文将介绍微分方程数值解方法以及稳定性分析。

一、欧拉方法欧拉方法是最简单的数值解法之一，它基于微分方程的定义，通过离散化自变量的步长来逼近解。

假设我们有一个一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，初始条件为y(x0) = y0，我们可以将自变量x离散化为x0, x1, x2, ..., xn，步长为h = (xn - x0)/n。

利用欧拉方法，我们可以得到逼近解y1, y2, ..., yn。

具体而言，我们可以通过迭代公式y_{i+1} = y_i + h*f(x_i, y_i)，其中i = 0,1, ..., n-1，来计算逼近解。

这个迭代过程从初始条件y0开始，一步一步地逼近真实解。

然而，欧拉方法的精度较低，容易积累误差，并且对于某些微分方程可能不稳定。

二、改进的欧拉方法为了提高数值解的精度，可以使用改进的欧拉方法，如改进的欧拉方法和改进的欧拉-Cauchy方法。

改进的欧拉方法是在欧拉方法的基础上，利用两个点的斜率来逼近解。

具体而言，我们可以使用迭代公式y_{i+1} = y_i + h*(f(x_i, y_i) + f(x_{i+1}, y_i + h*f(x_i,y_i))/2)，来计算逼近解。

这种方法可以减小误差，并提高数值解的精度。

改进的欧拉-Cauchy方法是在欧拉方法的基础上，利用四个点的斜率来逼近解。

具体而言，我们可以使用迭代公式y_{i+1} = y_i + h*(f(x_i, y_i) + 3*f(x_{i+1}, y_i + h*f(x_i, y_i))/4)，来计算逼近解。

这种方法进一步提高了数值解的精度。

三、龙格-库塔方法龙格-库塔方法是一类常用的数值解法，包括经典的四阶龙格-库塔方法。

它通过计算多个点的斜率来逼近解，并且具有较高的精度和稳定性。

微分方程的数值解法与稳定性分析微分方程是研究自然现象和物理问题的重要数学工具。

在实际问题中，许多微分方程往往难以解析求解，因此需要借助计算机进行数值求解。

本文将介绍微分方程的数值解法以及稳定性分析。

一、欧拉法欧拉法是最简单、最基础的数值解法之一。

基本思想是将微分方程中的导数用差商逼近，得到差分方程，再求解差分方程以获得离散的数值解。

考虑一阶常微分方程 dy/dx = f(x, y)，将自变量 x 分割为若干小区间，步长为 h。

欧拉法的迭代公式为 y_{i+1} = y_i + h * f(x_i, y_i)，其中 y_i 和 x_i 是第 i 个点的数值解和自变量值。

欧拉法的简单易懂，但存在局限性。

当步长过大时，数值解的稳定性较差，可能出现数值误差增大、解发散等问题。

二、改进的欧拉法（改进欧拉法）为克服欧拉法的局限性，改进的欧拉法在迭代过程中增加了更高阶的差商项，提高了数值解的精度和稳定性。

举例说明，考虑一阶常微分方程 dy/dx = f(x, y)，改进的欧拉法的迭代公式为 y_{i+1} = y_i + h * (f(x_i, y_i) + f(x_{i+1}, y_i + h * f(x_i, y_i))) / 2。

改进的欧拉法相比于欧拉法具有更好的数值稳定性和精度，但复杂度略高。

三、龙格-库塔法（RK方法）龙格-库塔法是一类常用的高精度数值解法，其思想是通过多个对函数 f(x, y) 的估计来提高数值解的准确性。

最常见的四阶龙格-库塔法（RK4）是利用四个不同的斜率估计来计算数值解。

其迭代公式为：k_1 = h * f(x_i, y_i)k_2 = h * f(x_i + h/2, y_i + k_1/2)k_3 = h * f(x_i + h/2, y_i + k_2/2)k_4 = h * f(x_i + h, y_i + k_3)y_{i+1} = y_i + (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) / 6龙格-库塔法具有较高的精度和数值稳定性，适用于各种类型的微分方程。

差分方程模型的稳定性分析及其应用The Stability Analysis and Application of the Differential Equation Model专业：2011信息与计算科学姓名：郭甜甜指导教师：申请学位级别：学士论文提交日期：2015年5 月25日学位授予单位：天津科技大学摘要本文首先对差分方程这一门课程进行全面深入的研究，了解差分方程的背景，学习差分方程的理论知识，在此基础上对差分方程的稳定性进行学习.并研究相应的数学模型，不仅使这一类常见问题更容易得到解决，更增加了人们的实践经验.差分方程模型作为一种重要的数学模型可以使复杂的生活问题准确、形象地反映出来，并通过对结果的分析对问题进行评估与改善.我主要研究了五个差分模型，分别为金融问题：其一贷款问题研究了欠款，利率，还款额等的关系，其二养老保险问题研究了交保费，保险收益，利率等的关系；减肥计划模型：此模型研究了节食与运动对维持体重的影响关系，制定了减肥方案并给出了维持体重的办法；市场经济中的蛛网模型:通过产品的销售价格和生产产量建立数学模型，在得出市场经济趋于稳定的条件，并且对结果进行分析,最后探讨了在市场经济不稳定时政府能够采用的干预措施；人口控制与预测模型：研究了人口总数的变化状况；军备力量模型：研究了军备力量参与预测战争时的影响.在整个过程中，用MATLAB软件进行计算和画图.关键词：差分方程；稳定性；数学建模；MATLABABSTRACTThis paper firstly gives a profound and systematic overview of the course of diff erential equation, including its background and the related theories, and uses these kn owledge as a basis to study the stability of the differential equations. Then the study o f the related mathematical model is given, which will not only make solving this kind of common problems easier, but also provide more practical experience for future stu dies. As an important mathematical model, the differential equation can reflect the co mplicated problems in people's life both accurately and vividly. And analyzing the out come of the differential equation will lead to the evaluation and improvement of the p roblem. In this paper, I mainly analyze five types of models by using differential equa tions: the first one is the financial model which can be further divided into two parts --- the loan model which studies the relationship of the debt, the interest rate, the repay ment and other related elements and the endowment insurance model which studies th e relationship of the premium, the insurance proceeds, the interest rate and other relate d elements; the second one is the weight-loss plan model which studies the influence of diet and exercise on keeping fit and has created a plan to lose weight and keep fit; t he third one is the cobweb model in market economy which is created by taking into a ccount the price and production volume of the product and whose outcome is studied after the condition in which the market economy is heading to stability is achieved, an d then discusses about the measures the government can take to enhance its interventi on when the market is unstable; the forth one is the population control and prediction model which studies the pattern of the variation in population; the fifth one is the arm s race model which studies the impact of arms race on predicting wars. In the whole p rocess, I have used the software --- MATLAB to do calculation and drawings.Key words: differential calculation; stability; creating mathematic models; MATLAB目录1 基础知识 (1)1.1差分方程 (1)1.2MATLAB介绍 (3)1.3数学建模 (3)2 金融问题模型 (5)2.1贷款问题 (5)2.2养老保险模型 (6)3 减肥计划模型 (9)3.1问题重述 (9)3.2问题分析 (9)3.3模型假设 (9)3.4符号说明 (9)3.5建立模型 (9)4 蛛网模型 (12)4.1问题重述 (12)4.2问题分析 (12)4.3符号说明 (12)4.4蛛网模型 (12)4.5差分方程模型 (14)4.6干预办法 (15)4.7模型的推广 (16)5 人口的预测与控制模型 (18)5.1问题重述 (18)5.2问题分析 (18)5.3建立模型 (18)5.4模型的扩展 (20)6 军备力量模型 (21)6.1问题重述 (21)6.2问题分析 (21)6.3建立模型 (21)结论 (25)参考文献 (1)致谢 (2)1 基础知识差分方程表达的为有关离散变量的取值与变换的规律.它是根据所要解决的问题，引进过程中或系统的离散变量，依照实际问题中背景的本质、规律、相关联系，写出离散变量符合的关系等式，进而建立差分方程.得到方程的解后利用分析方程的解，或分析方程的解的某些特性（如稳定性、周期性等），进而明确这些离散变量的变换进程的规律，然后再连同其他分析，从而得到原问题的解.1.1 差分方程差分方程的使用范围十分普遍，因为能够使离散变量的逼近与近似来表示连续变量，所以许多模型就可以类似于差分方程模型来解决.所以差分方法既可以在建立离散的数学模型进程中使用，也可以在连续模型化为离散模型的数值计算中广泛的使用.一般来说，但凡涉及到有关变量的规律、本质，便能够使用差分方程模型去表达与分析求解.1.1.1 差分方程的概念差分：对于数列{}n x ，称n x 在n 处的前向差分为差分算子∆：n x x x n n -=∆+1.并且称n x 在n 处的后向差分为差分算子∆：1+-=∆n x x x n n .本文皆是只前向差分.可知n x 是关于n 的函数.进而可以定义为n 处的二阶差分为n x ∆的差分：()n n x x 2∆=∆∆，它反映的为量的增量.同理可以定义()()n k n k x x ∆=∆∆-1为n 处的k 阶差分.差分方程：由某个函数多个不同时期值的符号或者某个函数的差分组成的方程称为差分方程，其中大多形式为 0),...,,,,(2=∆∆∆x n x x x y y y y x F或 0),...,,,,(21=+++n x x x x y y y y x G或 0),...,,,,(21=---n x x x x y y y y x H通过差分方程的性质和定义能够知道，各种表达形式的差分方程能够互相变换，各自相通.差分方程的解：若将某函数代入差分方程，让方程两边相等，那么就称此函数为差分方程的解，要是差分方程的阶数与此方程的所有解中拥有互相独立的任意常数的个数相同，那么就称此解释差分方程的通解,以便体现在变化过程中某一事物的客观规律性，通常依据此事物在初始时刻所处情况，在差分方程上添加一定的条件，称此为初始条件，若初始条件确定了通解中任意常数后，此解称之为差分方程的特解[1].1.1.2 差分方程常用解法常系数线性差分方程的解方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （1-1） 其中k a a a ,...,,10是常数，则称方程（1-1）为常系数线性方程.并且称方程 0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （1-2） 是方程（1-1）相对应的齐次方程.若（1-2）的解形式为n n x λ=，代近方程中可以得到0...1110=++++--k k k k a a a a λλλ （1-3）则称方程（1-3）是方程（1-1）和（1-2）的特征方程.可见，只要能够得到方程（1-3）的根，就能够求出方程（1-2）的解.一般结果为：如果方程（1-3）存在k 个不相同的实根，那么方程（1-2）有通解：n k k n n n c c c x λλλ+++= (2211)如果方程（1-3）存在m 重根λ,那么方程（1-2）通解可以表示为：()n m m n n c n c c x λ121...-+++=如果方程（1-3）存在两个单复根βαλi ±=，记ϕρλ±=e ，22βαρ+=， αβϕarctan =,那么方程（1-2）通解可以表示为: n c n c x n n n ϕρϕρsin cos 21+=如果方程（1-3）存在m 重复根βαλi ±=，记ϕρλ±=e ，那么方程（1-2）通解可以表示为:()()n n c n c c n n c n c c x n m m m m n m m n ϕρϕρsin ...cos ...1221121-++-+++++++=由上可知，由于方程（1-3）恰好有k 个根，所以方程（1-2）的通解定有k 个相互独立的任意常数.记方程（1-2）的通解为：n X ,若可以得到方程（1-1）的一个特解：*n x ，那么方程（1-1）定有通解：*n n n x X x +=差分方程的Z 变换解法在差分方程的左右取有关n x 的Z 变换，然后写出k n x +的Z 变换，利用n x 的Z 变换)(z F ，最后利用求解代数方程的方法求出)(z F ，同时将)(z F 展开成洛朗级数在0=z 解析圆环域里，此系数即为所要求的n x .1.1.3 差分方程稳定性k 阶常系数线性差分方程（1-1）稳定的充分必要条件为它所相应的特征方程（1-3）所有的特征根k i i ...2,1,=λ满足1<i λ[1].一阶非线性差分方程)(1n n x f x =+ （1-4） 的平衡点*x 由方程)(**x f x =所决定，展开为泰勒形式将)(n x f 在点*x 处，因此： 当()1'<x f 时，方程（1-4）的解*x 是稳定的.当()1'>x f 时，方程（1-4）的平衡点*x 是不稳定的.1.2 MATLAB 介绍MATLAB 为一个面向科学与工程计算的高级语言，一个具有超强能力的数值计算和可视化特点的软件.相对于别的计算机软件，MATLAB 的运行方式与人们计算公式时的思考方法非常类似，它编写程序的过程就如同人们在演算纸上罗列出公式进行求解，这避免了较多的重复、繁琐的机械性的编写程序细节，把重点放在有创造性问题上，在最短的时间内得到更具价值的结果.MATLAB 具有许多特点，比如功能性强、容易学懂、效率高、应用面广泛、操作简单、节约时间等.MATLAB 不仅简单好用，而且数据和图像处理能力很是强大并且可以完成数值分析、管理与调度优化计算、通讯系统设计与仿真、工程与科学绘图等众多功能.现在MATLAB 已经演变成为一种大型软件应用在多科学、多工作平台，被各个国家所接收和认可并在一定程度上体现了国际上计算机软件的总体水平，也成为了众多大学生应该熟练掌握的一项基本技能.本文在研究进程中将会使用到制作图像和求解功能.1.3 数学建模数学建模是通过数学的知识和思想来简单清晰的表示现实问题中的重点方面，以此完成现实中的问题，即通过使用各种数学办法来完成现实问题. 数学建模是一个模拟过程，它是用程序、图像、数学的公式等对实际问题进行抽象、假设、简化后用数学方式描述出来，它可以预料将来的进行情况，可以说明一些客观存在的现象，也可以为有些现象的未来走向提供在特定环境中最合适的方案或相对好的方法.数学模型建立不但要求对现实问题谨小慎微的分析和观察，而且要求熟练应用各个方面的数学知识.建立数学模型多数应有如下几个阶段：最开始应该明确研究的角色、目标以及问题的类型是确定型还是随机型；把问题简单化后列出将要研究的因素，并把这些因素用参量和变量的方式表现出来；应用数学知识和方法表达出问题中变量之间的联系，一般是列成数学表达式，进而建立了数学模型；通过各种数学知识、数学软件等解出模型的解；把模型的结果转换为与实际问题相适应的清晰易懂的语言；最后进行模型的检测与评估.2 金融问题模型2.1贷款问题2.1.1问题重述由于社会经济的飞速增长，人们生活水平的持续攀升，人们的经济需要更加增多.越来越多的人尤其是工薪阶层需要通过贷款来实现一些经济活动，比如买房、买车、向银行贷款等等.作为贷款人必须清楚贷款的整个运行过程，了解每一个细节尤其是要知道还款方式是等额本息还款法、等额本金还款法或是等本等息等额还款法亦或是其他方法.还应清楚贷款总额，各种还款方式每期应还款额，贷款时间以及贷款利率等.2.1.2问题分析在日常生活中较为常用的就是等额本息还款法，因此在本文中只讨论此贷款方法.等额本息还款法即为每期的所要还的钱数是一定的，而每期所还的本金在逐渐增多，利息越来越少,将通过贷款总值、贷款时间、贷款利率、每期还款额这些因素相互的联系建立模型，再通过数学的递推思想得出第k 期的欠款额，令欠款额为零时即可得到每期还款额的表达式[6].2.1.3模型假设● 贷款期间贷款利率一直不变；● 贷款人能如期偿还每期的还款额；● 贷款期间不考虑其他的经济问题影响.2.1.4符号说明0A :贷款总额；N :贷款期限（以月计算）；k A :第k 个月的欠款额(0=N A )；R :贷款月利率； x ：每月还款额. 2.1.5建立模型等额本息还款法中每月所还的钱应等于每月所还的本金加上每月利息，即为R A A A x k k k +-=+1则有第1+k 个月还款后欠款额：()x R A A k k -+=+11第1个月还款后欠款额：()x R A A -+=101第2个月还款后欠款额：()()()x x R R A x R A A -+-+=-+=1112012 第3个月还款后欠款额：()()()()x x R x R R A x R A A -+-+-+=-+=111123023. . .第k 个月还款后欠款额：()()()()x x R x R R A x R A A k k k k -+--+-+=-+=--1 (1111)01 应用数学归纳法和等比级数求和公式可得当到达最后期限即N k =时，有0=N A ，带入（2-1）式可得(2-2)式即为等额本息还款法中每月还款额.2.1.6举例买一辆11万元的汽车，首付%30.分12个月还完，年利率为%57.6，分别用等额本息和等额本金还款法计算，并进行分析.等额本息还款法：贷款期限N 为12个月；每月还款额为x所以还款总额803611275.6696=⨯=W 元,其中总利息为3361元.等额本金还款法：其中总利息为2740.24元. 由上可知，等额本金还款法所付的利息相对等额本息还款法要少些，并且还款时间越长，利息差值越大.2.2养老保险模型2.2.1问题重述随着社会的不断发展，人们生活水平的持续攀升，人们平均寿命也有所增加，以至于我国慢慢进入老龄化阶段.为了确保人们老年后的生活有所保障，使得养老保险问题备受关注.现有一保险公司提出了一个养老保险策略，为投保人每月缴费200元一直到59岁末，从60岁开始领取养老金.如果投保人从25岁开始投保，那么60岁以后每月可得2282元养老金，如果投保人从35岁开始投保，那么60岁以后每月可得1056元养老金. 2.2.1问题分析本文要研究此保险公司每月至少要有多少投资收益率才能确保保险责任.即保险公司为确保保险人的保险收益必需利用保险人所交的保费最少收获多少利润.通过缴纳的保费和收益的总值，每月收益率，60岁前每月缴费额，60岁后每月领取额，终止缴纳保险费与终止领取养老金的月份之间的关系建立数学模型.2.1.3模型假设投保人能按期缴纳保险费2.1.4符号说明k F ：截止到第k 个月所交保费和收益的总额()M k ,...,0=;r ：每月收益率;p ：60岁前每月缴费额;q ：60岁后每月领取额;N :停缴保险费的月份; M :停领养老金的月份.2.1.5建立模型在全部过程中，可知：()()M N k q r F F N k p r F F k k k k ,...,,11...,1,0,111=-+=-=++=++ (2-3)其中k F 代表的是从投保人开始交保费月后算起的. 所要研究的是在第M 个月时，k F 的数值为多少.若k F 为正数，那么代表保险公司最终获；若k F 为负数，那么代表保险公司最终亏损；若k F 为零，那么代表保险公司最终一无所有，投保人最终获益.2.1.6举例某男子从25岁开始投保，假设男子活到75岁，所以420,2282,200===N q p 0,6000==F M ,由（2-3）式可得：在（2-4）式中，分别取M k N k ==,,可得设r x +=1 利用MATLAB 软件编写代码如下：syms xF=x^600-12.14*x^180+11.41; x=solve(F)由于x 一定大于1，对众多的根进行分析可得，00485.1=x ，即求出每月收益率为：00485.0=r用同样的方法也可求出，35岁开始投保的每月收益率为：00461.0=r3 减肥计划模型3.1问题重述在现代社会中，越来越多的人们尤其女性认为瘦是衡量美的一种重要标准，因此许多自感肥胖的人开始尝试用各种方法减肥，但是减肥药和节食等方法都是存在安全隐患的.专家表明：想要在健康的条件下达到减肥的效果并且维持下去，只有利用控制饮食和进行适当的运动.通常用体重指标（简记BMI ）来衡量体重，BMI 为体重（千克）除以身高（米）的平方.当255.18<<BMI 时，体重为正常；当25>BMI 时，体重为超重；当30>BMI 时，体重为肥胖.3.2问题分析一般，但凡人体内的能量守恒被破坏就将会导致体重的变化.人们在饮食过程中吸收热量，以至体重增加；人们又通过运动以及代谢消耗热量，以至体重减少.当然减肥的前提是不伤害身体，所以要求每天吸收的热量不能过多，体重减少的也不能过快了.由此就可以通过体重，吸收热量，消耗热量的关系建立数学模型.3.3模型假设（Ⅰ） 增加的体重与吸收的热量成正比，每吸收8000千卡热量体重增加1千克, 由代谢导致的体重减少与体重成正比，一般一公斤体重每周消耗200千卡到320千卡的热量（每人不同），即为一个70千克的人每天消耗2000千卡到3200千卡的热量[7].（Ⅱ）运动导致的体重减少与体重成正比，并且与运动的时间和形式相关.（Ⅲ）为保证身体的健康，一周内吸收的热量不能小于10000千卡，一周内体重减少不能超过1.5千卡.3.4符号说明)(k w ：第k 周末体重；)(k c ：第k 周吸收的热量；α：热量转换系数；γ：每小时每千克体重运动消耗的热量（千卡）t ：每周运动的时间（小时）1β：代谢消耗系数（因人而异）；2β：运动消耗系数3.5建立模型可知体重变化的方程为()()()()(),...2,1,0,1121=+-++=+k k w k c k w k w ββα （3-1）3.5.1减肥计划的提出现为一个具体的人制定减肥计划来探讨此模型的应用.某人高为1.7米，体重为100千克，6.34=BMI ，现在每周平均吸收20000千卡热量，并保证体重不发生改变.现若让此人体重减到75千克并且保持下去，请依照以下三点制定减肥计划：● 当不进行任何运动时计划划分为两个阶段，第一阶段：每周控制饮食慢慢减少吸收的热量，使每周体重减1千克，一直到所吸收热量的最低点（10000千卡）；第二阶段：每周吸收的热量维持在下限，直至达到减肥的目标.● 在第二阶段添加运动以加速减肥速度，重新制定第二阶段方案.● 制定一个达到目标体重后保持体重的策略.3.5.2减肥计划的制定（Ⅰ）在不进行运动时，可知02=β，已知20000=c 千卡，100=w 千克，80001=α（千克/千卡），由（5-1）式可得w c w w 1βα-+= 025.01008000200001=⨯==w cαβ 也就是每周每千克体重消耗20010020000=千卡的热量. 第一阶段：需要每周体重减1千克，一直到所吸收的热量成为最低点（10000千卡），可得()()11=+-k w k w ()()k w k w -=0带入（5-1)式可得()()[]αβαββαk w k w k c +-=-=+1)0(111 再将100)0(,025.0,80001===w βα带入上式，又因吸收热量的下限为10000千卡，可得 ()10000200120001≥-=+k k c 说明第一阶段为10周，热量的吸收是依照()9,...,1,0,200120001=-=+k k k c 使得每周体重减少1千克，到第10周末体重减为90千克.第二阶段：每周吸收的热量维持在下限，要将体重减到75千克，由（3-1）可得c k w k w αβ+-=+)()1()1( （3-2）对（5-2）式进行递推并用等比数列求和可得[]βαβαβββαβc c k w c k w n k w nn n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-++-++-=+-)()1()1(...)1(1)()1()(1 （3-3） 将90)(,75)(,10000,025.0,80001==+===k w n k w c βα代入（3-3）可得 50)5090(975.075+-=n （3-4）19975.0lg )4025lg(==n 说明第二阶段为19周，在吸收的热量每周维持在10000千卡时，依照 减到目标体重75千克.（Ⅱ）依据查询资料可知每小时每千克体重各项运动消耗的热量如下：表5-1 各项运动消耗的热量在第二阶段添加运动以加速减肥进程，其中t αγβ=2，在此取003.0=t αγ，故24=t γ，那么（3-4）式中的025.01=β应改为028.021=+ββ,则（3-4）式为6.44)6.4490(975.075+-=n说明如果在第二阶段增加24=t γ的运动（如一周骑10小时自行车或跳8小时的舞蹈），那么第二阶段将会减为14周.（Ⅲ）若想达到目标后保持体重，那么要使每一周吸收的热量都维持某常数c ， 并让体重维持不变，由（3-1）式可得()()αββββαw c w c w w 2121+=⇒+-+=可得出：如果不运动，1500075025.08000=⨯⨯=c 千卡；如果运动，1680075028.08000=⨯⨯=c 千卡.4 蛛网模型4.1问题重述在处于完全自由的经济市场里，许多商品的销售和生产明显表现出周期性.主要体现在：在一定时期里商品的生产产量、销售价格和销售量是稳定的，所以这些经济数据在某个时期里是离散变量的形式.商品的销售价格和生产产量是最为关注的两个因素，若要做好经营，获得较好的经济效益，必须掌握好这两个经营过程中的最重要的因素.4.2问题分析由于本期产品的销售价格决定于消费者的需求关系，产品数量越少就会导致价格越高.然而下一期产品的数量决定于供应关系，产品的价格越高生产的数量就越多.市场经济中的产品数量与价格产生的振荡决定于这种供求关系.事实上，存在各种形式的振荡，既有可能振幅越来越小直至趋于平稳，也有可能振幅越来越大，此时若没没有外界的干预（如政府）极有可能致使经济崩溃.通过产品的销售价格和生产产量建立数学模型，在得出市场经济趋于稳定的条件，并且对结果进行分析，再探讨政府能够采用的干预措施在市场经济不稳定时.4.3符号说明k x ：第k 时段产品的数量k y ：第k 时段产品的数量f K :平衡点在函数f 的斜率的绝对值g K ：平衡点在函数g 的斜率的绝对值4.4蛛网模型将时间离散化划分为若干段，产品的一个生产周期即为一个时段，由于在一个时间段中产品的销售价格由产品产量决定，因此可设：)(k k x f y = （4-1） 它是需求函数，体现的是此商品与消费者的需求关系.由于产品的销售产量与价格成反比，故f 是单调递减的函数.由于上一个时段的销售价格决定了下一个时段产品的产量，因此可设： )(1k k y h x =+或)(1+=k k x g y （4-2） g 为h 的反函数，它们都是供应函数，体现的是生产者的供应关系.由于本时段价格与下时段生产产量成正比，故g 是单调递增的函数.通过函数f 和g 反映k x 和k y 的变化过程，把点列),(k k y x 和),(1k k y x +利用对应的几何关系画出来，即将点列()),...,(),,(,,),,(231221122111y x p y x p y x p y x p 连接起来（见图4-1），则将连成折线形似蛛网，因此这种用图形来研究市场经济的稳定性称为蛛网模型.图4-1 图4-2 可见，若点列()),...,(),,(,,),,(231221122111y x p y x p y x p y x p 最终收敛于点),(000y x p ，即00,y y x x n n →→而且点0p 是函数f 和g 的交点，则代表市场经济在未来的一段时间里将会趋向稳定.若没有收敛于一点（见图4-2），则代表市场经济将会趋向不稳定.通常，f 是由消费者的消费能力和需求程度决定的，g 是由生产者的经营能力和生产能力等因素决定的[8].通过分析图形可知：当g f K K <时，点0p 是稳定的；当g f K K >时，点0p 是不稳定的.举例说明蛛网模型：设：产品的本期产品数量s t Q 由上期的销售价格1-t P 决定，那么供给函数是()1-=t s t P f Q ，产品本期的需求量d t Q 由本期产品销售价格t P ，那么需求函数是()t d t P f Q =，那么结合动态供需均衡模型，蛛网模型可以表达为：st d t t s t td t Q Q P Q P Q =--=-=-1γδβα其中γδβα,,,都是正值.由上述三式可得：1-+-=-t t P P γδβα （4-3）因此能够知道第t 期的产品价格是：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=----t t t t t t t t t t P P P P P P P βγγβδαβγβγβγβδαβγβγβγβγβδαβγβγβδαβγβδαβδαβγβγβδαβγ111...1...1001202221 由于市场是均衡的，故有均衡价格1-==t t e P P P ，带入（4-3）式得γβδα++=e P ，将其带入上式有 ()e t t e t t P P P P P P +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=βγβγβγ001 （4-4） 对（4-4）式进行分析可得：● 当1<βγ时，那么e t P P →，称为收敛型蛛网； ● 当1>βγ时，那么∞→t P ，称为发散型蛛网； ● 当1=βγ时，那么t P 是常数，称为封闭型蛛网. 4.5差分方程模型分别取函数f 和h 在0p 点附近的近似曲线，可得：0),(00>--=-ααx x y y k k （4-3） 0),(001>-=-+ββy y x x k k （4-4） 将（4-3）和（4-4）合并后能得：,...1,0),(001=--=-+k x x x x k k αβ （4-5） 对（4-5）进行递推可得：())(0101x x x x kk --=-+αβ （4-6） 由（4-6）可得，当∞→k 时0x x k →，则当1<αβ或βα1<时0p 点稳定； 当∞→k 时∞→k x ， 则当1>αβ或βα1>时0p 点稳定； 由于α-是0p 点在f 上的切线斜率，β1是0p 点在g 上的切线斜率，则有βα1,==g f K K ，可见差分方程模型与蛛网模型结果是相同的. 从（4-3）可得，α的意义是产品的数量下降一单位时销售价格的上升幅度，因此α代表的是购买者对产品需要的灵敏度，若是生活必需的产品，并且消费者的状态是持币待购，一旦产品的数量缺少，人们就会抢购，则α相对较大.β的意义为这期销售价格上升一单位是产品数量的增加量，因此β代表生产者对产品价格的灵敏度，若生产者贪图当下的高利润，一旦价格上升就增多生产，则β相对较大.4.6干预办法综上可知，当β一定时，α越小，代表购买者对产品需要的灵敏度就越小，越对经济稳定有利;当α一定时，β越小，代表生产者对产品价格的灵敏度就越小，越对经济稳定有利.相反的，当α，β越大时，越对经济稳定不利.图4-3 图4-4存在两种干预办法在市场经济倾向不稳定时，第一种是让α尽可能小，为了更加明显研究0=α的情况，也就是f 的图像为水平直线（见图4-3），此刻市场经济永远是稳定的无论g 如何变化（也就是无论β多大）.现实中就相当于控制价格不能变化，不管产品数量为多少，即政府控制物价.第二种是让β尽可能小，为了更加明显研究0=α的情况，也就是g 的图像为竖直直线（见图4-4），此刻市场经济永远是稳定的无论f 如何变化（也就是无α多大）.现实中就相当于不管产品的价格为多少，产品数量不能变化，当供不应求时将从其他地方购买或调货过来，当供应多于需要时，收购多于部分. 4.7模型的推广为了更加谨慎生产者在计算下一期的产品数量1+k x 时，不但考虑这期的销售价格k y 也考虑前一期的销售价格1-k y ，则（4-2）式将变为：)2(11-++=k k k y y h x （4-7） （4-2）式的近似直线（4-4）相应的改为：()010122y y y x x k k k -+=--+β（4-8）由于（4-1）式和（4-3）式没有变化，所以合并（4-3）式和（4-8）式可得：(),...2,1,12012=+=++++k x x x x k k k αβαβαβ （4-9） 只要方程的特征根都在单位圆里，那么当∞→k 时0x x k →，即0p 点稳定. （4-9）式的特征方程为：022=++αβαβλλ（4-10）并得出（4-10）的特征根为()4822,1αβαβαβλ-±-= （4-11）当8>αβ时，有()44822αβαβαβαβλ-<---=因而22>λ，故2λ不在单位圆内，所以舍去.当8<αβ时，可由（4-11）式得：22,1αβλ=如果让所有特征根在单位圆里，也就是12,1<λ，所有2<αβ （4-12） （4-12）式即为0p 点稳定的条件.与之前0p 点稳定的条件1<αβ相比，这个模型的βα,的使用范围都放宽了，即稳定性条件变宽了.若要更深一步的研究这个模型，在计算下一期的产品数量1+k x 时，可考虑最近三年来的价格，即)3(211--+++=k k k k y y y h x .。

随机微分方程数值解稳定性研究综述作者：邓飞其莫浩艺来源：《南京信息工程大学学报（自然科学版）》2017年第03期摘要本文回顾了近年来随机微分方程数值方法的稳定性的研究成果.作为相关话题，收敛性问题也有所涉猎.以经典It型随机微分方程、中立型随机泛函微分方程、Markov跳随机微分方程和Poisson跳随机微分方程为代表，主要介绍了几类数值方法稳定性研究的成果.这些方法包括常见的 EulerMaruyama 方法、Backward EulerMaruyama方法、θ方法、分步方法等.文中分析了关于稳定性等价性定理经典论文的学术思路，提出了随机微分方程数值计算与仿真所面临的挑战及所要解决的问题.关键词随机微分方程；数值格式；稳定性；仿真中图分类号P393文献标志码A1华南理工大学自动化科学与工程学院，广州，5106402广东工业大学应用数学学院，广州，5100061典型数值方法及其收敛性由于大多数随机微分方程解析解的显式表达式都很难得到，快速高效的数值算法对于随机微分方程的应用显得格外重要.对于随机微分方程数值解的研究，大体来说可以分为两类：有限时间的收敛性和随着时间变量趋于无穷的渐近性.本节主要是对有限时间的收敛性的相关研究进行回顾.其中向量n=Yn+f（Yn）Δ+g（Yn）Δ.通过重复运用Taylor展式，对方程f和g展开的阶数越高，所获得格式的收敛阶数会越高，可以达到15阶或20阶，但其形式也更复杂，从而影响其广泛应用.请参见专著[1].针对不同模型和精度，格式的构造和分析有许多后续进展，取得了丰富的成果，这里不一一列举.例如，Liang等[4]研究了一类线性随机Volterra积分方程，在Lipschitz条件下，证明了EM方法是1阶强收敛的；Wang等[5]分析了带有加性噪声的半线性随机偏微分方程隐式Euler 方法的弱收敛性.在众多数值算法中，EM型算法由于结构简单、易于编程等特点受到很多学者的关注[69].它是所有随机微分方程数值算法里最简单的一种.经典的Euler型算法，即EM算法，是常微分方程的向前Euler算法的自然推广.上面提到，在全局Lipschitz条件下，经典的EM方法是强05阶收敛的，但是当漂移项或扩散项不满足全局Lipschitz条件时，EM方法将不收敛.Hutzenthaler等[10]对于这种不收敛性（发散性）给出了严格的证明.那么，针对非Lipschitz方程，各类格式是否也可用？精度又如何？为此，学者们开展了系列的探讨.例如，为了处理一类漂移项不满足全局Lipschitz条件的随机微分方程，特别是当漂移项满足多项式增长时，Hutzenthaler等[11]提出了具有05阶强收敛性的Tamed（驯服）Euler方法.简单来说，Tamed Euler方法在经典的EM算法基础上增加了对漂移项的控制，它的格式如下：同时，该文还利用类似的技巧提出了具有1阶强收敛性的Balanced Milstein方法.我们注意到，上述不同种类Euler型算法虽然结构不同，但是证明思路多是先证明数值解和解析解的p阶矩有界，然后再根据不同的算法格式证明强收敛性和收敛阶.这种证明思路或多或少借鉴了文献[7].在文献[7]中，作者给出了在已知Euler型数值解矩有界时推导收敛性和收敛速率的技巧.另一种利用数值解局部收敛性推导全局收敛性的技巧也非常重要.在全局Lipschitz条件以及Khasminskii条件下，数值解的全局误差可以由局部误差推导出的结论，可分别在文献[20]和文献[21]中找到.综上所述，当我们想构造显式的Euler型方法来数值逼近漂移项和扩散项不满足全局Lipschitz条件的随机微分方程时，采用的方法主要是在经典的EM方法基础上利用一些约束方式来控制漂移项和扩散项.一个很自然的问题是：以上这些理论上具有05阶（或者1阶）强收敛性的方法孰优孰劣？对于这个开放性问题，也许文献[22]中关于最优强收敛系数K1的讨论是一个思路.2数值方法的稳定性我们先来谈谈微分方程数值计算格式的稳定性的来源.微分方程的数值计算格式稳定性概念的提出源于计算数学领域对数值计算舍入误差传播问题的考虑.众所周知，由于计算工具限制等各种原因，在数值计算过程中，舍入误差在所难免，某一步计算的舍入误差一定会随计算格式带入往后各步，也就是说，舍入误差将向后传播.如果计算格式对该误差具有敏感性，则该误差将随格式进行传播，被累计、被放大，甚至产生蝴蝶效应.当年，费肯鲍姆就是因为运用数字计算格式时出现了初值误差而发现了混沌现象.如果格式对该误差不敏感，则该误差的影响将被逐渐消除，无积累效应，不被严重放大.即在一定条件下得到控制，从而被最终屏蔽.基于此考虑，在计算数学领域提出了微分方程数值计算格式的稳定性概念，用以描述计算格式对舍入误差的敏感性.如果一个格式对舍入误差敏感，则称格式不稳定；否则，称其稳定.所以，微分方程数值计算格式的稳定性，是一个定性概念.微分方程数值计算格式稳定，意味着计算格式可以自行消化舍入误差，不在传播中因累计而放大.最常见的数值计算格式稳定性概念是绝对稳定性，在此不赘述.本文所述计算格式稳定性概念与此相同.在系统与控制科学领域，我们同样需要考虑格式的收敛性（逼近度）和稳定性.我们的目的是：如何将计算格式用于系统仿真，并通过系统仿真分析（原）系统的稳定性.在随机系统数值计算方面，数值方法的收敛性和稳定性是学者们主要讨论的两大类内容.由于大部分随机系统的非线性性和耦合性，很难求出其解析解.所以通过离散化的数值方法来研究系统的稳定性是一种有效的途径，它是窥探系统内部结构和性态的一种手段.目前探讨的问题主要是：1）在一定条件下，比照连续模型与离散格式的稳定性，看看离散格式是否复制了连续模型的稳定性质；2）连续模型与离散格式的稳定性的逻辑互推.本文将主要讨论几类It随机微分方程数值方法的稳定性.数值方法的稳定性主要包括：矩意义下的渐近稳定、p阶矩指数稳定、几乎必然指数稳定、依概率稳定、A稳定等[2].其研究内容和方法要比确定型常微分系统丰富很多.下面，先介绍本文讨论的几大类稳定性定义，其中p>0.值得指出，对连续模型解的稳定性也有类似于上面的定义，只需要在上述定义中将数值解Xk换成解析解x（t），k→∞替换为t→∞即可.在这些稳定性定义中，p阶矩指数稳定可推出渐近稳定，而在文献中，一般同时关注几乎必然指数稳定与矩指数稳定性，但实际上它们之间并无必然联系，因此，都是分开单独推证得出相关结论.如果附加一定的条件，比如线性增长条件，则由p阶矩指数稳定可推出几乎必然指数稳定[2].一般而言，p阶矩指数稳定可以通过估计解的矩E|x（t，x0）|p来得到，这时需要借助某个适当的Lyapunov函数V（t，x）来估计EV （t，x（t）），因此Lyapunov方法是研究矩稳定的一个很有效的方法.与矩指数稳定性不同，几乎必然指数稳定是一种轨道稳定，它依赖于解的轨道估计，通常有下面三种方法可推出几乎必然指数稳定：1）由解的矩指数稳定，利用Chebyshev不等式推出解的几乎必然指数稳定；2）利用非负半鞅收敛定理，直接证明解的几乎必然指数稳定；3）通过指数鞅不等式和BorelCantelli引理证明解的几乎必然指数稳定.文献中，对随机微分方程数值解稳定性的研究，一般采用直接的推证方法，很少套用Lyapunov稳定性定理，但其中同样含有Lyapunov函数或者泛函的思想方法.下面，从模型推广与方法创新的角度，分别介绍几类It型随机微分方程数值方法稳定性研究所取得的进展.21中立型随机泛函微分方程经典的It随机微分方程（SDE）已经被许多学者研究[24，2630].随着科学技术的高速发展，实践中的许多领域，如生物工程、机械工程等都涉及到时间滞后的现象.由于时滞带的存在，系统状态的变化不仅与当前的时间状态相关，而且还与过去的历史状态有关.从而，诞生了描述这类系统的随机时滞微分方程：中提出，其意义是将确定中立型泛函微分方程推广到随机中立型泛函微分方程.后来，Mao[3233]分别讨论了中立型泛函型随机微分方程解析解的均方指数稳定性以及运用Razumikhin技术证明解的指数稳定性.其后，相关学者开展一系列出色的研究工作，如Liao等[34]研究了中立型随机时滞微分方程解析解的几乎必然指数稳定性；Luo等[35]为了克服文献[36]中要求函数满足线性增长条件和时滞为常数，提出局部Lipschitz条件，建立了相应的稳定性定理，证明了中立型时滞微分方程解析解的指数均方稳定性；如果随机θ方法满足假设1和假设2.那么，研究θ方法的p阶矩指数稳定性可以得到方程（27）解的p阶矩指数稳定性.这类结果揭示了：数值格式的稳定性与连续模型稳定性在逻辑上可以互推.因此，这是目前数值研究中不多见的一种研究思路，其进一步的研究，也相当具有挑战性.4对逼近度方法学术思路的分析从终极目标看，我们的研究目的是提供可靠的理论保障，使我们能从系统仿真结果推断系统的渐近性态，如稳定性.因此，需要先确定系统解析解与数值解稳定性可以从逻辑上互推的性质，提供严密的理论依据.显然，为实现这类互推，需要建立两种解之间的关联，否则，不可能存在互推.而这种关联，用逼近度描述正好合适，其原因在于：1）我们设计方程求解的数值格式，分析其逼近度是最主要的一项基础工作，对我们的需要来说，是顺手的事；2）符合互推稳定性的需要.所以，在毛学荣教授及其合作者的系列论文中，提出了这类假设，即数值格式具有高于零阶的逼近度，其实就是局部截断误差、收敛性[9596].当然，我们也注意到，这类假设直接涉及方程的解析解和数值解本身，而问题是：我们并不具体知道它们.正是因为方程难以求解，我们才借助数值计算与仿真.所以，其实这类条件本身是不能直接验证的.因此，需要采用其他条件对此予以保证，例如Lipschitz条件.在Mao[98]提出一般理论之前，以前的相关文献直接采用Lipschitz条件，高于零阶的逼近度是其自然推论.从这个角度来看，采用Lipschitz条件而不是采用逼近度的假设，更加符合研究结果的描述与验证.但是，如果有Lipschitz条件，则当然有了高于零阶的逼近度，所以，逼近度条件其实更弱.这里，为清晰和比较起见，我们不妨称逼近度方法所得结果为命题，而采用Lipschitz条件的结果为判据.5随机微分方程数值计算与仿真所面临的的挑战51关于等价性结论与数值仿真结果的意义与运用通过数值仿真真的可以确定系统解析解的稳定性吗？难！实际上，当我们在一定条件下建立了解析解与数值解之间的稳定性等价性定理，我们所得的是系统稳定性之间的等价性，是系统与系统之间的互推关系，是集合与集合之间的互推关系，而不是两个系统个别解之间的互推关系.原理上，我们的仿真一次只确定一个解的渐近性态，而一般地，基于一个解的渐近性态，例如就是指数渐近稳定性，我们还是不足以推断整个数值格式的稳定性，更不能推断关于解析解的任何性质，哪怕我们就是想推断一个解的性质，那也不能，因为没有依据.那么，我们如何从仿真结果确定数值格式以及原系统解析解系统的稳定性呢？首先，我们需要有等价性结论作基础；其次，我们需要确证数值格式稳定.在假设第一个问题已有结论的前提下，我们来看第二个问题，即确定数值格式稳定的难度.为讨论方便，我们先放下随机微分方程，回到确定型方程.简单说，这个问题其实就是差分格式通解的构成问题.如果差分格式的通解可以由若干互不相关的特解构成，例如就是线性组合，而我们又能确定若干互不相关的特解的渐近性态，那问题就解决了.所以，如果我们的格式是n阶常系数线性差分格式，则需要n个互不相关的特解的渐近性态，也就是说：我们需要n个初值线性无关的特解的仿真结果.当然，如果n=1，一个仿真结果就够了.但是，如果方程再略微复杂，则难以有如此明确的结论，问题的难度也陡增.例如，如果我们的格式是非线性格式、随机格式，因为一般不存在关于通解构成的基础理论，我们就不完全知道需要用多少个特解来确定通解（即便是存在所谓的通解）.因此，也就不知道需要用多少个仿真来确定格式的稳定性.我们认为：可以用多少个、用什么样的仿真结果确定数值格式的稳定性从而可以推断原系统解析解的稳定性是一个具有挑战性的问题.52面向渐近稳定性的等价性结论因为推导的需要，目前的等价性结论都是面向指数稳定性的.但是，实际上，数字计算与仿真提供的是具有直观属性的数字与图形.一般地，从一个仿真结果很难看出一个数值解是否真的就是指数稳定，只能看出是否是渐近稳定.只有面向渐近稳定性的等价性结论才有实用价值.因此，我们需要建立面向渐近稳定性的等价性结论，而这，其论证难度陡增，也是今后可以考虑但具有相当难度的一个挑战课题.结束语与致谢：由于时间、篇幅和水平所限，本文所综述的工作只是相关工作中的一点点，难免挂一漏万，敬请谅解.在本文写作过程中，吴付科教授、宋明辉教授、宗小峰博士、刘暐博士、付余老师、杨慧子博士及赵桂华老师等给予了大力指导、支持与协助.在此，向为本文写作给予了支持的所有师生表示衷心的感谢.参考文献References[1]Kloeden 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stochastic differential equations，stochastic functional differential equations of the neutral type， and the stochastic differential equations with Markov or Poisson jumps.The involved numerical schemes include the EulerMaruyama scheme，the Backward EulerMaruyama scheme，the θ scheme，and the splitstep scheme，etc.The paper analyzes the academic thoughts in some classical literatures on the stability equivalence theorems and proposes some problems and challenges for further investigations on the numerical computations and simulations of stochastic differential equations at the end of the paper.Key wordsstochastic differential equations；numerical schemes；stability；simulations。

《数值分析》课程论文参考选题1．插值与拟合方法在×××问题解决中的应用论文提纲: 1引言(提出问题)、2插值与拟合方法介绍(知识准备)、3×××问题的插值模型（必须附相应的MATLAB求解程序）、4×××问题的拟合模型（必须附相应的MATLAB求解程序）、5检验与分析2．几种插值方法在解决×××问题中的比较研究论文提纲: 与上面的类似3．高次插值逼近效果分析论文提纲: 1引言(提出问题)、2插值方法介绍(知识准备)、3应用实例一（必须附相应的MATLAB求解程序，无龙格现象）、4应用实例二（必须附相应的MATLAB求解程序，有龙格现象）、5结果分析4．Romberg算法及其MATLAB实现与应用论文提纲: 1引言(提出问题)、2 Romberg算法及其MA TLAB程序、3应用实例一（必须附相应的MATLAB求解程序）、4应用实例二（必须附相应的MATLAB求解程序）、5结果分析5．常见数值求积公式的MATLAB实现与应用论文提纲: 1引言(提出问题)、2 常见数值求积公式及其MA TLAB程序、3应用实例一（必须附相应的MA TLAB求解程序）、4应用实例二（必须附相应的MA TLAB求解程序）、5结果分析6．Richardson外推加速法在数值微分公式设计中的应用论文提纲: 1 Richardson外推加速法介绍、2 某具体的数值微分公式的Richardson外推加速与MA TLAB实现（必须推出相应的算法公式，并附MATLAB通用程序）、3应用举例7．解线性方程组的迭代方法介绍及数值实验8．解非线性方程的几种迭代法的收敛性分析与数值实验9．用NEWTON迭代法解代数方程的算法设计及MATLAB实现10．解非线性方程的迭代函数的求法与应用11．解非线性方程的迭代方法的加速技巧与应用12．常微分方程数值求解方法的MA TLAB与应用13．一类×××模型（微分方程模型）的数值模拟研究14．×××算法的改进与数值实验1 / 1。

微分方程研究论文微分方程有限元论文明渠非恒定流问题的数值计算方法摘要：圣·维南方程组属于一阶拟线性双曲型偏微分方程，目前还无法求得其精确的解析解，实践中常采用数值计算方法求其近似解，即将流体力学物理问题转化为偏微分方程初边值的数值解问题。

其求解是在给定初始条件和边界条件下，对方程进行离散化，求其数值解。

求解过程一般分为两步：第一步是把方程组的求解域离散化，即将微分方程连续的定解域离散到定解域中的一些网格点上，把偏微分方程转化为一组代数方程。

第二步是求解这组离散方程，给出这些离散点上解的近似值。

数值模拟的正确性和精确度主要取决于网格划分、方程离散的差值函数、初边值条件等几个环节。

目前常用的计算方法有基于有限差分法的特征线法和直接差分法，以及有限元法等。

关键词：有限元；微分方程1 特征线法特征线法由Aabott M．B．于1966 年提出，其基本思路是先将圣·维南基本方程组（2-1）（2-2）通过线性组合变换为沿特征线的常微分方程组，即顺、逆特征线方程和顺、逆特征方程；然后对常微分方程组结合初始条件和边界条件进行数值计算，而要求的圣·维南方程组的离散解就是求顺、逆特征线的交点。

此法物理概念明确，数学分析严谨，计算精度较高。

2 直接差分法在流体力学数值解法中，广泛应用的是有限差分法，其基本思路是将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，以Taylor级数展开等方法，将控制方程中的微商用差商代替进行离散，再建立代数方程组来求解。

即在离散的网格点上把各偏导数项化为差商来求数值解：选择合适的基本方程，确定相应的定解条件，然后将微分方程离散到差分网格上求解。

差分方法的基本要求是差分方程能准确地代表微分方程。

有限差分法的近似处理会引进误差，包括差分方程的截断误差、差分方程解的离散误差，以及计算过程中引入的舍入误差。

这些误差对计算过程和计算结果的影响，反映在差分方程的数学特性上。

电机模型的数值模拟与分析1. 引言自然界和工程技术中的很多现象，如自动控制系统的运行，电力系统的运行，飞行器的运动，化学反应的过程，生态平衡的某些问题。

其数学模型都是常微分方程（组）的初值问题。

很多偏微分方程（组）也可以化为常微分方程组的初值问题求近似解。

一般来说常微分方程（组）的数值解法是比较成熟的，理论也比较完整，有很多方法可以去选择。

但是，有一类常微分方程组，在求解时却会遇到相当大的问题，该类方程组的变化非常奇特，它的分量有的变化很快，有的变化很慢，常常出现这种现象：变化快的分量很快的趋于它的稳定值，而变化慢的分量缓慢的趋于它的稳定值。

从数值解的观点看，当解变化快时应该用小步长积分，当变化快的分量已趋于稳定，或则说已没有变化快的分量出现时，就应该用较大的步长积分，但是理论和实践都说明，传统的解法容易导致数值不稳定现象的出现，进而带来误差的急剧增加，以致掩盖了真实解，使求解的过程无法继续进行下去。

而此类方程的这种特性我们称之为刚性（STIFF）[1].1.1刚性问题的历史回顾对刚性方程的研究，可以追溯到上个世纪。

从1883年，Bashforth 和Adams 发表的著名的论文开始，以及RUNG对单步长的研究，引起了学术界对这一问题的深入探讨的开始。

[10]在20世纪中，有限元方程的常微分数值解法取得了非常巨大的研究成果，前人也总结出了很多行之有效的方法，例如：向后差分法，指数拟合方法，Richardson外插方法，具有可变系数的线性多步方法，边界层方法，经典Gear 方法，隐式Runge-Kutta方法，组合方法，等效系统替代方法，光滑近似特解方法，矩阵分解方法等等[1] 。

在对刚性方程论文的检索中，无论是在动力学模型中，还是电机方程的模型中，或者化学方程模型中都有这样子的一个现象。

工程系统中的很多实际问题，由于其复杂性，传统的方法往往得不到稳定区域以及数值稳定解，这就迫使我们去寻找更多更有效的方法。

数学建模论文六篇数学建模论文范文1那么当前我国高中同学的数学建模意识和建模力量如何呢？下面是节自有关人士对某次竞赛中的一道建模题目同学的作答状况所作的抽样调查。

题目内容如下：某市教育局组织了一项竞赛，聘请了来自不同学校的数名老师做评委组成评判组。

本次竞赛制定四条评分规章，内容如下：（1）评委对本校选手不打分。

（2）每位评委对每位参赛选手（除本校选手外）都必需打分，且所打分数不相同。

（3）评委打分方法为：倒数第一名记1分，倒数其次名记2分，依次类推。

（4）竞赛结束后，求出各选手的平均分，按平均分从高到低排序，依此确定本次竞赛的名次，以平均分最高者为第一名，依次类推。

本次竞赛中，选手甲所在学校有一名评委，这位评委将不参与对选手甲的评分，其他选手所在学校无人担当评委。

（Ⅰ）公布评分规章后，其他选手觉得这种评分规章对甲更有利，请问这种看法是否有道理？（请说明理由）（Ⅱ）能否给这次竞赛制定更公正的评分规章？若能，请你给出一个更公正的评分规章，并说明理由。

本题是一道开放性很强的好题，给同学留有很大的发挥空间，不少同学都有精彩的表现，例如关于评分规章的修正，就有下列几种方案：方案1：将选手甲所在学校评委的评分方法改为倒数第一名记1+分，倒数其次名记2+，…依次类推；（评分标准）方案2：将选手甲所在学校评委的评分方法改为在原来的基础上乘以；方案3：对甲评分时，用其他评委的平均分计做甲所在学校评委的打分；然而也有不少同学为空白，究其缘由可能除了时间因素，同学对于较长的文字表述产生畏惧心理、不能正确阅读是重要因素。

同时，一些同学由于不能正确理解规章（3），得出选手甲的平均得分为，其他选手的平均得分为，从而得出错误结论.不少同学消失“甲所在学校的评委会有意压低其他选手的分数，因而对甲有利”的解释，而没有意识到作出必要的假设是数学建模方法中的重要且必要的一环。

有些同学在正确理解题意的基础上，提出了“规章对甲有利”的理由，例如：排名在甲前的同学少得了1分；甲所在学校的评委不给其他选手最高分（n分），所以甲得最高分的概率比其他选手高；相当于甲所在学校的评委把最高分给了甲；甲少拿一个分数，若少拿最低分，则有利；若少拿最高分，则不利；等等。

第四节 微分方程稳定性理论简介这里简单介绍下面将要用到的有关内容：一、 一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程()dxf x dt= （1） 右端不显含自变量t ，代数方程()0f x = （2）的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足0lim ()t x t x →∞= （3）则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。

判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。

将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为：0'()()dxf x x x dt=- （4） （4）称为（1）的近似线性方程。

0x 也是（4）的平衡点。

关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论：若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。

若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是0'()0()f x t x t ce x =+ （5）其中C 是由初始条件决定的常数。

二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性方程的一般形式可用两个一阶方程表示为112212()(,)()(,)dx t f x x dtdx t g x x dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （6）右端不显含t ，代数方程组1212(,)0(,)0f x x g x x =⎧⎨=⎩ （7） 的实根0012(,)x x 称为方程（6）的平衡点。

记为00012(,)P x x 如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12(),()x t x t 都满足101lim ()t x t x →∞= 202lim ()t x t x →∞= （8） 则称平衡点00012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P 0是不稳定的（不渐近稳定）。

《稳定性分析的微分极限理论》论文
稳定性分析的微分极限理论是从极限理论出发来分析复杂稳定性问题的一种新技术。

它将传统的极限理论应用于复杂的稳定性问题，立足于不等式理论，提供了一种通用的、系统的解决复杂稳定性问题的思路。

本文将阐述稳定性分析的微分极限理论的基本原理和解决方法，并讨论其在工程应用中的实践意义。

稳定性分析的微分极限理论是把传统的极限理论应用到稳定性分析的有效解决方案。

它的核心思想是：在不同的环境下，当系统接近失稳或过度稳定时，可以利用不等式理论，利用如微分方程、微分拉格朗日方程、运动方程等工具对失稳系统进行分析，从而识别出可能引发失稳或过度稳定的因素，指出调整配置和运行非线性系统参数等调节措施，从而改进系统的稳定性。

稳定性分析的微分极限理论是当前复杂稳定性问题分析方法的重要组成部分，它可以有效地帮助系统设计者识别稳定性问题的根源，为参数调整和控制手段的选择提供合理的理论依据，从而改善系统的稳定性。

稳定性分析的微分极限理论的发展为稳定性研究提供了新的思路，并且在工程领域得到了广泛的应用。

例如，在机械设计和结构力学技术方面，可以利用不等式理论对复杂的稳定性问题进行深入探讨，以提高系统的性能和可靠性；在航天技术领域，可以利用可变空气动力学参数分析系统稳定性，从而指导航天器设计、精确控制它们的轨道。

综上所述，稳定性分析的微分极限理论的发展对于提高复杂稳定性问题的研究价值具有重要意义，它可以帮助设计者有效识别出系统可能出现的失稳或过度稳定的原因，并提供一种能够解决这些问题的可靠技术手段。

同时，它也将为系统设计提供有力的理论支撑，带来更高效的设计结果。

硕士学位论文几类随机微分方程解的稳定性的分析Stability Analysis of solution for Several Classes of Stochastic Differential Equations赵鹏程哈尔滨工业大学2014年6月国内图书分类号：××××学校代码：10213 国际图书分类号：××××密级：公开理学硕士学位论文几类随机微分方程解的稳定性的分析硕士研究生：赵鹏程Array导师：李龙锁教授申请学位：理学硕士学科：概率论与数理统计所在单位：理学院答辩日期：2014年6月授予学位单位：哈尔滨工业大学Classified Index: ××××U.D.C: ××××Dissertation for the Master Degree in ScienceStability Analysis of solution for Several Classes of Stochastic Differential EquationsCandidate：Zhao PengchengSupervisor：Prof.Li longsuoAcademic Degree Applied for：Master of ScienceSpeciality：Probability and MathematicalstatisticsAffiliation：School of ScienceDate of Defence：June, 2014Degree-Conferring-Institution：Harbin Institute of Technology摘要摘要随机微分方程（SDES）广泛的被应用于生物、物理、经济、控制等领域。

很久以来，因为缺少有效的求解随机微分方程的数值方法和可以利用的计算机资源，使得在建立数学模型时往往都忽略了随机因素的影响。